Decartse dikd?rtgen bir koordinat sistemi olu?turmak

U?akta

Descartov'un d?zlemin koordinat?n?n dikd?rtgen sistemi, kar??l?kl? olarak dik iki koordinat ekseni taraf?ndan olu?ur ?k?z 1 Ve ?k?z 2 noktada kesi?en O koordinatlar?n ba?lang?c? olarak adland?r?l?r (?ekil 1). Her eksende, oklarla g?sterilen pozitif bir y?n se?ildi ve eksenlerdeki segmentlerin ?l??lme birimi. ?l??m birimleri genellikle t?m eksenler i?in ayn?d?r (zorunlu de?ildir). ???NDE Do?ru elek Koordinat sistemi, ekseni y?nlendirirken eksenlerin pozitif bir y?n? olarak se?ilir ?k?z 2 Yukar?, eksen ?k?z 1 Do?ru g?r?n?yordum. ?k?z 1 - apsis ekseni, ?k?z 2 - Ordinatlar?n ekseni. Koordinat eksenleri taraf?ndan olu?an d?rt k??e (i, ii, iii, iv) ?k?z 1 Ve ?k?z 2 koordinat a??lar? denir veya ?eyrek.

Nokta B. A Koordinat ekseninde ?k?z 1 ;

Nokta C.- noktan?n dik projeksiyonu A Koordinat ekseninde ?k?z 2 ;

Decartse dikd?rtgen bir koordinat sistemi olu?turmak uzayda

Descartov’un uzaydaki dikd?rtgen koordinat sistemi, kar??l?kl? olarak ?? kar??l?kl? koordinat ekseni taraf?ndan olu?ur ?k?z, Oy Ve Oz. Koordinatlar?n eksenleri noktada kesi?ir O, koordinatlar?n ba?lang?c? olarak adland?r?l?r, oklarla g?sterilen pozitif y?n, her eksende ve eksenlerdeki segmentlerin ?l??lme birimi se?ilir. ?l??m birimleri genellikle t?m eksenler i?in ayn?d?r (zorunlu de?ildir). ?k?z- apsis ekseni, Oy- Ordinatlar?n D?zeni, Oz- Ba?vuran?n ekseni.

Sa? elin ba?parma??n? y?n i?in al?rsan?z X, dizin - y?n i?in Y Ve orta - y?n i?in Z?pla sonra formlar Sa? koordinat sistemi. Sol elin benzer parmaklar? sol koordinat sistemini olu?turur. Ba?ka bir deyi?le, eksenlerin pozitif y?n? se?ilir, b?ylece ekseni ?evirirken ?k?z 90 ° 'de saat y?n?nde, pozitif y?n? eksenin pozitif y?n? ile ?ak??t? Oy Bu d?n?? eksenin pozitif y?n?n?n yan?ndan g?zlemlenirse Oz. Sa? ve sol koordinat sistemleri, kar??l?k gelen eksenler ?ak??acak ?ekilde birle?tirilemez (?ekil 2). Nokta F- noktan?n dik projeksiyonu A Koordinat d?zleminde Oksi; Nokta E.- noktan?n dik projeksiyonu A Koordinat d?zleminde OYZ; Nokta G- noktan?n dik projeksiyonu A Koordinat d?zleminde ?k?z Z?pla ;

Kartezyen dikd?rtgen koordinat sisteminin en iyi temsili uzayda ?ekil 3, 4 ve 5'te g?sterilmi?tir.

Kartezyen dikd?rtgen koordinat sistemindeki noktan?n koordinatlar?n?n belirlenmesi

Herhangi bir koordinat sisteminin ana sorunu, d?zleminde veya alan?nda bulunan bir noktan?n koordinatlar?n?n belirlenmesidir.

Kartezyen koordinat sisteminin d?zlemindeki noktan?n koordinatlar?n?n belirlenmesi

Noktan?n konumu A U?akta iki koordinatla belirlenir - X Ve y (?ekil 5). Koordinat X segmentin uzunlu?una e?it Ob, koordinasyon y - segmentin uzunlu?u Oc Se?ilen ?l??m birimlerinde. Segmentler Ob Ve Oc noktadan ?izilen ?izgilerle belirlenir A Eksenlere paralel olarak Oy Ve ?k?z s?ras?yla. Koordinat X Buna apsis denir (Lat. Apsis- segment), koordinat y - koordinat (lat. D?zenler- S?rada bulunur) Puanlar A. ??yle yaz?n:

E?er nokta A Koordinat k??esinde I'de yatar, sonra pozitif apsis ve koordinat vard?r. E?er nokta A Koordinat k??esinde II, o zaman - negatif bir apsis ve pozitif d?zenli. E?er nokta A Koordinat K??esi III'te yatar, o zaman negatif apsis ve s?raya sahiptir. E?er nokta A Koordinat K??esi IV'te yatar - o zaman - pozitif bir apsis ve negatif koordinat.

Dolay?s?yla, d?zlemdeki Kartezyen koordinat sistemindeki koordinatlar belirlenir.

Referans?n genel ba?lang?c? (koordinatlar?n ba?lang?c?) ile birbirine dik iki veya ?? kesi?en eksenli s?ral? sistem ve ortak uzunluk birimine denir. Dikd?rtgen koordinat y?l? .

General Descartes Koordinat Sistemi (Affin koordinat sistemi) dik eksenler de i?erebilir. Frans?z matematik?i Rene Descartes'?n (1596-1662) onuruna, toplam uzunluk biriminin ve eksenin t?m eksenlerde say?ld??? tam olarak b?yle bir koordinat sistemidir.

Dikd?rtgen Descartes U?akta Koordinat Sistemi iki ekseni var ve Dikd?rtgen Descartes uzayda koordinatlar - ?? eksen. D?zlemdeki veya uzaydaki her nokta, koordinat sisteminin uzunlu?u birimine uygun olarak s?ral? koordinat k?mesi ile belirlenir.

Tan?mdan a?a??daki gibi, d?z bir ?izgide, yani bir boyutta bir kara koordinat sistemi oldu?unu unutmay?n. Decartre koordinatlar?n?n d?z bir ?izgide tan?t?lmas?, d?z bir ?izginin herhangi bir noktas?n?n iyi tan?mlanm?? bir malzeme numaras?na, yani koordinata g?re yap?lma yollar?ndan biridir.

Rene Descartes'?n ?al??malar?nda ortaya ??kan koordinat y?ntemi, t?m matemati?in devrimci yeniden yap?land?r?lmas?n? i?aret etti. Cebirsel denklemleri (veya e?itsizli?i) geometrik g?r?nt?ler (grafikler) ?eklinde yorumlamak ve tersine, analitik form?ller, denklem sistemleri kullanarak geometrik problemlere bir ??z?m aramak m?mk?n oldu. Yani e?itsizlik z?pla < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости Somut ve bu d?zlemin ?st?nde 3 birim.

Kartezyen koordinat sisteminin yard?m?yla, belirli bir e?rinin noktas?n?n noktas?, say?s?n?n X Ve y Belirli bir denklemi tatmin eder. Yani, ?evrenin koordinatlar? belirli bir noktada merkezle noktaya i?aret ediyor ( A; B.) denklemi tatmin etmek (X - A)? + ( y - B.)? = R? .

Dikd?rtgen Descartes U?akta Koordinat Sistemi

Ortak prensip ve ayn? b?y?k ?l?ekli birim formu ile d?zlemde iki dikey eksen Descartas Dikd?rtgen Koordinat Sistemi u?akta . Bu eksenlerden birine eksen denir ?k?z, veya Apsis ekseni , ba?ka bir eksen Oy, veya Orderatlar?n ekseni . Bu eksenlere koordinat eksenleri de denir. Biz belirtiyoruz MX Ve My s?ras?yla, keyfi noktan?n projeksiyonu M Eksende ?k?z Ve Oy. Projeksiyon nas?l al?n?r? Point boyunca harcayaca??z M ?k?z. Bu ?izgi ekseni ge?iyor ?k?z noktada MX. Point boyunca harcayaca??z M Do?rudan, dik eksen Oy. Bu ?izgi ekseni ge?iyor Oy noktada My. Bu a?a??daki ?ekilde g?sterilmi?tir.

X Ve y Puan M S?ras?yla y?nlendirilen segmentlerin boyutunu arayaca??z OMX Ve OMy. Bu y?nlendirilmi? segmentlerin de?erleri s?ras?yla hesaplan?r. X = X0 - 0 Ve y = y0 - 0 . Descartes koordinatlar? X Ve y Puan M apsis Ve emir . Nokta oldu?u ger?e?i M Koordinatlar? var X Ve y, a?a??daki gibi belirtilir: M(X, y) .

Koordinat eksenleri u?a?? d?rde b?l?n ?eyrek Numaraland?rma a?a??daki ?ekilde g?sterilmi?tir. Ayr?ca, belirli bir kadrandaki konumlar?na ba?l? olarak noktalar?n koordinatlar?n?n d?zenlenmesini g?sterir.

?yi dikd?rtgen koordinatlara ek olarak, kutup koordinat sistemi genellikle d?zlemde dikkate al?n?r. Bir koordinat sisteminden di?erine ge?i? y?ntemi hakk?nda - derste Kutup koordinat sistemi .

Dikd?rtgen Descartes uzayda koordinatlar

Uzaydaki koordinatlar?n arabalar?, d?zlemdeki dekarter koordinatlar? ile tam bir benzetme ile tan?t?l?r.

Ortak bir ba?lang?? ile uzayda (koordinat eksenleri) kar??l?kl? olarak ?? eksen ( O ve ayn? b?y?k ?l?ekli birim formu Descartas Dikd?rtgen Koordinat Sistemi Uzayda .

Bu eksenlerden birine eksen denir ?k?z, veya Apsis ekseni , ba?ka bir eksen Oy, veya Orderatlar?n ekseni , ???nc? eksen Oz, veya Ba?vuran?n ekseni . ?zin vermek MX, My Mz?pla- keyfi bir noktan?n projeksiyonu M Eksende bo?luk ?k?z , Oy Ve Oz s?ras?yla.

Point boyunca harcayaca??z M ?k?z?k?z noktada MX. Point boyunca harcayaca??z M d?zlem, dik eksen Oy. Bu d?zlem ekseni ge?iyor Oy noktada My. Point boyunca harcayaca??z M d?zlem, dik eksen Oz. Bu d?zlem ekseni ge?iyor Oz noktada Mz?pla.

Kartezyen dikd?rtgen koordinatlar X , y Ve z?pla Puan M S?ras?yla y?nlendirilen segmentlerin boyutunu arayaca??z OMX, OMy Ve OMz?pla. Bu y?nlendirilmi? segmentlerin de?erleri s?ras?yla hesaplan?r. X = X0 - 0 , y = y0 - 0 Ve z?pla = z?pla0 - 0 .

Descartes koordinatlar? X , y Ve z?pla Puan M Buna g?re denir apsis , emir Ve aplike .

Koordinat eksenleri taraf?ndan al?nan ?iftler halinde koordinat d?zlemlerinde bulunur Somut , Yoz Ve Zox .

Kartezyen koordinat sistemindeki puanlar?n g?revleri

?rnek 1.

A(2; -3) ;

B.(3; -1) ;

C.(-5; 1) .

Bu noktalar?n projeksiyonlar?n?n koordinatlar?n? apsis ekseninde bulun.

??z?m. Bu dersin teorik k?sm?ndan a?a??daki gibi, apsis eksenindeki noktan?n projeksiyonu apsis ekseninin kendisinde bulunur, yani eksen ?k?z ve bu nedenle noktan?n apsisine e?it bir apsis ve koordinat (eksende koordinat Oy apsis ekseni 0 noktas?nda kesi?ir, s?f?ra e?ittir. B?ylece bu noktalar?n a?a??daki koordinatlar?n? apsis ekseninde al?r?z:

Ax (2; 0);

B.x (3; 0);

C.x (-5; 0).

?rnek 2. Kartezyen koordinat sisteminde, u?akta noktalar verilir

A(-3; 2) ;

B.(-5; 1) ;

C.(3; -2) .

Bu noktalar?n projeksiyonlar?n?n koordinatlar?n? sipari? ekseninde bulun.

??z?m. Bu dersin teorik k?sm?ndan a?a??daki gibi, sipari? ekseni ?zerindeki noktan?n projeksiyonu, sipari? ekseninin kendisinde bulunur, yani eksen Oy ve bu nedenle noktan?n koordinat?na ve apse (eksende koordinat ?k?z, hangi s?ralar?n ekseni 0 noktas?nda kesi?ir, s?f?ra e?ittir. Bu noktalar?n a?a??daki koordinatlar?n? sipari? ekseninde al?yoruz:

Ay (0; 2);

B.y (0; 1);

C.y (0; -2).

?rnek 3. Kartezyen koordinat sisteminde, u?akta noktalar verilir

A(2; 3) ;

B.(-3; 2) ;

C.(-1; -1) .

?k?z .

?k?z ?k?z ?k?z, bu noktayla ayn? apse ve koordinat kesinlikle bu noktan?n d?zenli ve i?aret taraf?ndan tam tersi a??s?ndan e?ittir. Bu nedenle, eksenle ilgili bu noktalara simetrik noktalar?n a?a??daki koordinatlar?n? al?yoruz. ?k?z :

A "(2; -3) ;

B "(-3; -2) ;

C "(-1; 1) .

Kartezyen koordinat sisteminin sorunlar?n? kendiniz ??z?n ve ard?ndan ??z?mleri g?r?n

?rnek 4. Hangi kadranlarda (?eyrekler, ?eyreklerle ?izim - "U?akta dikd?rtgen Kartezyen koordinat sistemi" paragraf?n?n sonunda), bir nokta bulunabilir M(X; y) , E?er

1) XY > 0 ;

2) XY < 0 ;

3) X - y = 0 ;

4) X + y = 0 ;

5) X + y > 0 ;

6) X + y < 0 ;

7) X - y > 0 ;

8) X - y < 0 .

?rnek 5. Kartezyen koordinat sisteminde, u?akta noktalar verilir

A(-2; 5) ;

B.(3; -5) ;

C.(A; B.) .

Eksene g?re bu noktalara simetrik noktalar?n koordinatlar?n? bulun Oy .

Sorunlar? birlikte ??zmeye devam ediyoruz

?rnek 6. Kartezyen koordinat sisteminde, u?akta noktalar verilir

A(-1; 2) ;

B.(3; -1) ;

C.(-2; -2) .

Eksene g?re bu noktalara simetrik noktalar?n koordinatlar?n? bulun Oy .

??z?m. Eksen etraf?na 180 derece d?n?yoruz Oy Eksenden gelen y?nlendirilmi? segment Oy Bu noktaya kadar. D?zlemin kadranlar?n?n belirtildi?i ?ekilde, eksenle ilgili simetrik nokta verildi?ini g?r?yoruz. Oy, bu nokta ile ayn? d?zenli ve bir apsis, bu noktan?n apsisinin mutlak de?eri a??s?ndan e?it ve i?arette kar??s?nda olacak. Bu nedenle, eksenle ilgili bu noktalara simetrik noktalar?n a?a??daki koordinatlar?n? al?yoruz. Oy :

A "(1; 2) ;

B "(-3; -1) ;

C "(2; -2) .

?rnek 7. Kartezyen koordinat sisteminde, u?akta noktalar verilir

A(3; 3) ;

B.(2; -4) ;

C.(-2; 1) .

Koordinatlar?n ba?lang?c?yla ilgili bu noktalar? simetrik noktalar?n koordinatlar?n? bulun.

??z?m. Koordinatlar?n ba?lang?c?nda 180 derece d?n?yoruz, koordinatlar?n ba?lang?c?ndan bu noktaya gelen y?nlendirilmi? bir segment. D?zlemin karelerinin belirtildi?i ?ekilde, koordinatlar?n ba?lang?c?na ili?kin simetrik noktan?n bir apsis ve s?raya sahip olaca??n?, bu noktan?n apsisinin mutlak de?eri a??s?ndan e?it, ancak z?t olarak g?r?yoruz. ona. B?ylece, koordinatlar?n ba?lang?c?yla ilgili olarak bu noktalara simetrik noktalar?n a?a??daki koordinatlar?n? elde ediyoruz:

A "(-3; -3) ;

B "(-2; 4) ;

C.(2; -1) .

?rnek 8.

A(4; 3; 5) ;

B.(-3; 2; 1) ;

C.(2; -3; 0) .

Bu noktalar?n projeksiyonlar?n?n koordinatlar?n? bulun:

1) U?akta Oksi ;

2) U?akta Oxz ;

3) U?akta Oyz ;

4) apsis ekseninde;

5) orkinatlar?n ekseninde;

6) Cihaz?n ekseninde.

1) U?aktaki noktan?n projeksiyonu Oksi Bu d?zlemin kendisinde bulunur ve bu nedenle bu noktan?n apsis ve koordinat?na e?it bir apsis ve s?raya ve s?f?ra e?it bir cihaza sahiptir. Bu nedenle, bu noktalar?n projeksiyonunun a?a??daki koordinatlar?n? al?yoruz. Oksi :

AXY (4; 3; 0);

B.XY (-3; 2; 0);

C.XY (2; -3; 0).

2) U?aktaki bir noktan?n projeksiyonu Oxz Bu d?zlemin kendisinde bulunur ve bu nedenle bu noktan?n apsisine ve yeti?tirilmesine e?it bir apsis ve bir cihaza ve s?raya e?ittir. Bu nedenle, bu noktalar?n projeksiyonunun a?a??daki koordinatlar?n? al?yoruz. Oxz :

AXZ (4; 0; 5);

B.XZ (-3; 0; 1);

C.XZ (2; 0; 0).

3) U?aktaki bir noktan?n projeksiyonu Oyz Bu u?a??n kendisinde bulunur ve bu nedenle bu noktan?n koordinat?na ve cihaz?na e?it bir koordinat ve bir cihaza ve s?f?ra e?it bir apsis vard?r. Bu nedenle, bu noktalar?n projeksiyonunun a?a??daki koordinatlar?n? al?yoruz. Oyz :

AYZ (0; 3; 5);

B.YZ (0; 2; 1);

C.YZ (0; -3; 0).

4) Bu dersin teorik k?sm?ndan a?a??daki gibi, apsis ekseni ?zerindeki noktan?n izd???m? apsis ekseninde bulunur, yani eksen ?k?z ve bu nedenle noktan?n apsisine e?it bir apsis vard?r ve projeksiyonun koordinat? ve cihaz? s?f?rd?r (orkinatlar?n ve aplokat?n ekseni 0 noktas?nda apsis eksenini ge?ti?i i?in). Absisa ekseninde bu noktalar?n projeksiyonunun a?a??daki koordinatlar?n? al?yoruz:

Ax (4; 0; 0);

B.x (-3; 0; 0);

C.x (2; 0; 0).

5) Sipari? ekseni ?zerindeki noktan?n projeksiyonu, sipari? ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur Oy ve bu nedenle noktan?n koordinat?na e?it bir koordinat vard?r ve projeksiyonun apsis ve cihaz? s?f?rd?r (apsis ekseni ve aplite, 0 noktas?ndaki ordinatlar?n s?ras?n? ge?ti?i i?in). Sipari? ekseninde bu noktalar?n projeksiyonunun a?a??daki koordinatlar?n? al?yoruz:

Ay (0; 3; 0);

B.y (0; 2; 0);

C.y (0; -3; 0).

6) Dikkatin ekseni ?zerindeki noktan?n projeksiyonu, cihaz?n ekseninde, yani eksende bulunur. Oz ve bu nedenle noktan?n kendisine e?it bir cihaza sahiptir ve apsis ve projeksiyonun izd???m? s?f?ra e?ittir (apsis ekseni ve ordinatlar, cihaz?n eksenini 0 noktas?nda ge?ti?inden). Bu noktalar?n ayg?t?n ekseninde izd???m?n?n a?a??daki koordinatlar?n? al?yoruz:

AZ (0; 0; 5);

B.Z (0; 0; 1);

C.Z (0; 0; 0).

?rnek 9. Kartezyen koordinat sisteminde, uzayda noktalar verilir

A(2; 3; 1) ;

B.(5; -3; 2) ;

C.(-3; 2; -1) .

Bu noktalara simetrik noktalar?n koordinatlar?n? g?receli olarak bulun:

1) U?aklar Oksi ;

2) U?aklar Oxz ;

3) U?aklar Oyz ;

4) apsis eksenleri;

5) Ordun eksenleri;

6) cihaz?n ekseni;

7) Koordinatlar?n ba?lang?c?.

1) Eksenin di?er taraf?ndaki noktay? "tan?t?n" Oksi Oksi, bu noktan?n apsisine ve koordinat?na e?it bir apse ve d?zenli ve bu noktan?n cihaz?n?n b?y?kl???nde bir cihaza sahip olacak, ancak bunun tersi. Bu nedenle, u?a?a g?re verilerle simetrik noktalar?n a?a??daki koordinatlar?n? elde ederiz. Oksi :

A "(2; 3; -1) ;

B "(5; -3; -2) ;

C "(-3; 2; 1) .

2) Eksenin di?er taraf?ndaki noktay? "tan?t?n" Oxz Ayn? mesafede. Koordinat alan? g?steren ?izime g?re, eksenle ilgili olarak bunun simetrik oldu?unu g?r?yoruz. Oxz, bu noktan?n apsisine ve cihaz?na e?it bir apsis ve bir cihaza ve bu noktan?n s?ras?n?n b?y?kl???ne e?it, ancak bunun tersi. Bu nedenle, u?a?a g?re verilerle simetrik noktalar?n a?a??daki koordinatlar?n? elde ederiz. Oxz :

A "(2; -3; 1) ;

B "(5; 3; 2) ;

C "(-3; -2; -1) .

3) Eksenin di?er taraf?ndaki noktay? "tan?t?n" Oyz Ayn? mesafede. Koordinat alan? g?steren ?izime g?re, eksenle ilgili olarak bunun simetrik oldu?unu g?r?yoruz. Oyz, bu noktan?n koordinat?na ve cihaz?na e?it bir koordinat ve bir cihaza ve bu noktan?n apsisine e?it bir apsis, ancak bunun tersi olacakt?r. Bu nedenle, u?a?a g?re verilerle simetrik noktalar?n a?a??daki koordinatlar?n? elde ederiz. Oyz :

A "(-2; 3; 1) ;

B "(-5; -3; 2) ;

C "(3; 2; -1) .

D?zlemdeki simetrik noktalar ve uzay noktalar?, d?zlemlere g?re simetrik verilerle benzer ?ekilde, simetri durumunda, uzayda Kartezyen koordinat sisteminin belirli bir eksenine g?re, eksen ?zerindeki koordinat?n, bunlarla ili?kili olarak, Simetri ayarlan?r, i?aretini korur ve di?er iki eksen ?zerindeki koordinatlar kesinlikle bu noktan?n koordinatlar? ile ayn? olacak, ancak i?aretin kar??s?nda.

4) Azl?k i?aretini koruyacak ve koordinat ve alk?? i?aretlerini de?i?tirecektir. B?ylece, apsis ekseninin verileriyle simetrik noktalar?n a?a??daki koordinatlar?n? al?r?z:

A "(2; -3; -1) ;

B "(5; 3; -2) ;

C "(-3; -2; 1) .

5) ??areti koordinat? koruyacak ve apsis ve g?ncelleme i?aretleri de?i?tirecektir. Dolay?s?yla, sipari? eksenine g?re verilerle simetrik noktalar?n a?a??daki koordinatlar?n? elde ederiz:

A "(-2; 3; -1) ;

B "(-5; -3; -2) ;

C "(3; 2; 1) .

6) ??areti cihaz? koruyacak ve apsis ve koordinat i?aretleri de?i?tirecektir. Dolay?s?yla, eksene g?re simetrik verilerin noktalar?n?n a?a??daki koordinatlar?n? al?r?z:

A "(-2; -3; 1) ;

B "(-5; 3; 2) ;

C "(3; -2; -1) .

7) D?zlemdeki noktalar s?z konusu oldu?unda, koordinatlar?n ba?lang?c?na g?re simetri durumunda, simetri durumunda, simetrik olan t?m koordinatlar, bunun koordinatlar?na mutlak de?erde e?it olacakt?r. nokta, ama i?aretin tersi. B?ylece, koordinat?n ba?lang?c? ile simetrik noktalar?n a?a??daki koordinatlar?n? al?yoruz.

Uzaydaki noktan?n konumunu belirlemek i?in, dikd?rtgen koordinatlar?n dekartlar?n? kullanaca??z (?ekil 2).

Uzayda dikd?rtgen bir koordinat sistemi olan descartas, koordinat ?k?z, oy, oz'?n kar??l?kl? olarak dik ?? ekseniyle olu?turulur. Koordinatlar?n eksenleri, koordinatlar?n ba?lang?c? olarak adland?r?lan O noktas?nda kesi?ir, her eksende oklarla g?sterilen pozitif y?n se?ilir ve eksenler ?zerindeki segmentlerin ?l??lmesi birimi. ?l??m birimleri genellikle t?m eksenler i?in ayn?d?r (gerekli de?ildir). ?k?z eksenine apsis ekseni (veya sadece apsis), oy ekseni - koordinat?n ekseni (d?zenli), oz ekseni - lectart'?n ekseni (App Likata).

A noktas?n?n uzaydaki konumu, x, y ve z koordinat? taraf?ndan belirlenir. X koordinat, segment OB uzunlu?una e?ittir, y koordinat?na e?ittir. Segmentler, OC ve OD, s?ras?yla Yoz, Xoz ve Xoy d?zlemlerine paralel noktadan ?izilen u?aklar taraf?ndan belirlenir.

Koordinat X, A noktas?n?n apsisini, y koordinat?n? - A noktas?n?n s?ras?yla, Koordinat Z - A Aptique Noktas? A'y? denir.

Bunu a?a??daki gibi sembolik olarak kaydedin:

veya koordinat kayd?n? dizin kullanarak belirli bir noktaya ba?lay?n:

X A, Y A, Z A,

Her eksen say?sal bir d?z ?izgi olarak kabul edilir, yani pozitif bir y?ne sahiptir ve negatif ???n ?zerindeki noktalar koordinat?n negatif de?erlerine atfedilir (mesafe eksi i?areti ile al?n?r). Yani, ?rne?in, B noktas? ?ekilde oldu?u gibi de?ilse - ?k?z ???n? ?zerinde de?ilse, O noktas?ndan (?k?z ekseninin negatif k?sm?nda) ters y?nde devam etmesi durumunda, o zaman apski x A puanlar? negatif olur (eksi mesafe OB). Benzer ?ekilde di?er iki eksen i?in.

Koordinat Eksenleri Ox, Oy, Oz, ?ek. 2, do?ru koordinat sistemini olu?turun. Bu, Ox ekseninin pozitif y?n? boyunca Yoz d?zlemine bakarsan?z, OY ekseninin Oz eksenine saat y?n?nde hareket etti?i anlam?na gelir. Bu durum BU hisse senedi kural? kullan?larak tarif edilebilir: Bir boletus (sa? ipli?e sahip bir vida) OY ekseninden Oz eksenine y?nelirse, ?k?z ekseninin pozitif y?n? boyunca hareket eder.

Koordinat eksenleri boyunca y?nlendirilen tek bir uzunlu?un vekt?rlerine koordinat ortalar? denir. Genellikle olarak adland?r?l?rlar (?ekil 3). Ayr?ca bir atama var ORTS koordinat sisteminin temelini olu?turur.

Do?ru koordinat sistemi durumunda, Orta'n?n vekt?r ?al??malar?na sahip a?a??daki form?ller ge?erlidir:

Dersin metin kodunu ??zme:

Her biri bir y?n ve tek bir segment se?ilen uzay noktas?ndan paramedik olarak ?? dikey ?izgi ?izilirse, uzayda dikd?rtgen bir koordinat sisteminin yerle?tirildi?ini s?ylerler.

Onlara se?ilen talimatlarla y?nlendirilir ve koordinat eksenleri olarak adland?r?l?r ve a?a??daki gibi belirlenir: Oh, oy, i?letim sistemi, kendi adlar? vard?r: apsis ekseni, s?ras?yla ortinat?rlerin ekseni ve cihaz?n ekseni ve bunlar?n ortaklar? nokta, koordinatlar?n ba?lang?c?d?r. Genellikle O harfi ile g?sterilir.

Koordinat sisteminin tamam? Ohuz taraf?ndan belirtilmi?tir.

E?er OH ve OU, OU ve Oz, Oz ve Oh koordinat?n?n ekseni boyunca, u?aklar? ?izin, o zaman bu u?aklara koordinat u?aklar? olarak adland?r?l?r ve s?ras?yla belirlenir: OHU, OUZ, OZX.

Koordinatlar?n eksenlerinin her birini iki ???na d?n??t?r?r. Y?nlendirme y?n?ne eksen y?n? ile ?ak??an bir ???na pozitif yar? -oks ve di?er ???n -negatif bir yar? -oks olarak adland?r?l?r.

Dikd?rtgen koordinat sisteminde, her alan M noktas? koordinatlar? olarak adland?r?lan ?? say?yla kar??la?t?r?l?r. U?aktaki noktalar?n koordinatlar?na benzer ?ekilde belirlenirler.

Bunun nas?l yap?ld???n? g?relim.

Koordinat eksenlerine dik olan M noktas?ndan ?? d?zlem ?iziyoruz ve m?, m? ve m? arac?l???yla, bu d?zlemlerin kesi?me noktalar?n?, apsis, ordinatlar ve uygulamalarla s?ras?yla belirleriz.

M noktas?n?n ilk koordinat? (apsis olarak adland?r?l?r ve genellikle x harfiyle belirlenir) a?a??daki gibi belirlenir: x = ohm?, e?er m? pozitif bir yar? aksinin noktas? ise;

x = - om?, e?er m? negatif bir kuru?un noktas? ise; X = 0, M? O noktas?na denk geliyorsa.

Benzer ?ekilde, M? noktas? kullan?larak, ikinci koordinat (koordinat) M noktas?nda belirlenir,

Ve M? - ???nc? Koordinat (Ba?vuru Sahibi) Z puanlar? M?'nin yard?m?yla M.

M noktas?n?n koordinatlar?, m noktas?n?n (x; y; z) tan?mlanmas?ndan sonra parantez i?inde kaydedilir.

Az e?lemeyi, ikincisini - koordinat?n, ???nc?s?n?n - uygulamay? belirten ilk ki?inin.

?ekilde sunulan A, B, C, D, E, F noktalar?n?n koordinatlar?n? bulun.

Koordinat eksenlerine dik ?? d?zlemden, daha sonra bu d?zlemlerin kesi?me noktalar?, apsis eksenleri ile s?ras?yla, A noktas?n?n koordinatlar? olacakt?r. = 9, s?radan = 5, Applicat = 10 ve bu ??yle kaydedildi: A (9; 5; 10).

Benzer ?ekilde, a?a??daki noktalar?n koordinatlar? kaydedilmi?tir:

B noktas?n?n koordinatlar? vard?r: ASSSA = 4, Ordinat = -3, Uygulama = 6

C noktas?nda koordinatlar? vard?r: apsis = 9, s?radan = 0, uygulama = 0

Nokta D koordinatlar? vard?r: ASSSA = 4, Ordinat = 0, ba?vuru sahibi = 5

E noktas?n?n koordinatlar? vard?r: ASSSA = 0, Ordinat = 8, ba?vuru sahibi = 0

F Nokta koordinatlar?na sahiptir: ASSSA = 0, Ordinat = 0, ba?vuru sahibi = -3

M (x; y; z) noktas? koordinat eksenindeki koordinat d?zleminde yat?yorsa, koordinatlar?n?n baz?lar? s?f?rd?r.

Mohooho (M noktas? OHU u?a??na aitse), M noktas?n?n uygulanmas? s?f?rd?r: z = 0.

Benzer ?ekilde, e?er moxz (M noktas? Oxz d?zlemine aitse), o zaman y = 0 ve MєoZ (M noktas? OYZ u?a??na aitse), o zaman x = 0.

E?er koordinat?n bir mandas? (apsis ekseninde m nokta) iseniz ve M noktas?n?n uygulanmas? s?f?rd?r: y = o ve z = 0. ?rne?imizde, bu bir S noktas?d?r.

E?er Mutabakat Zapt?ndaysan?z (koordinat ekseninde M nokta), x = 0 ve z = 0. ?rne?imizde, bu E'nin noktas?d?r.

E?er mєz iseniz (M noktas? ba?vuran?n ekseninde bulunursa), o zaman x = 0 ve y = 0. ?rne?imizde, bu F noktas?d?r.

M noktalar?n?n ?? koordinat?n?n hepsi s?f?r ise, bu M = O (0; 0; 0) koordinatlar?n ba?lang?c? oldu?u anlam?na gelir.

K?p ABCDA 1 B 1 C 1 D 1'in d?rt k??esinin koordinatlar?: A (0; 0; 0); B (0; 0; 1); D (0; 1; 0); A 1 (1; 0; 0). K?p?n kalan zirvelerinin koordinatlar?n? bulun.

?ekil bir k?p oldu?undan, t?m taraflar bire e?ittir, t?m y?zler karelerdir.

C noktas? OHU u?a??na aittir, yani Kordinat Z s?f?rd?r, Koordinat X, SD'nin yan?na e?ittir ve AB'ye e?ittir, yani birine e?ittir, Igrek koordinat? tarafa e?ittir K?ba yavrusu, o zaman kan bas?nc?na e?ittir ve birine e?ittir.

Benzer ?ekilde, 1'in noktas? OKZ d?zlemine aittir, daha sonra y koordinat? s?f?rd?r, x koordinat? x koordinat?n?n A1B1 taraf?na e?ittir ve AB'ye e?ittir, birine e?ittir, koordinat Zet'in B1'deki k?p?n yan?na e?ittir AA1'e e?ittir ve ?niteye e?ittir.

D 1 noktas? OUZ d?zlemine aittir, daha sonra x koordinat? s?f?rd?r, koordinat 1 D 1'in yan?na e?ittir ve kan bas?nc?na e?ittir, yani birine e?ittir, Zet, k?p A 1 B 1'in yan?na e?ittir, yani AB'ye e?ittir ve birine e?ittir.

C 1 noktas? herhangi bir d?zleme ait de?ildir, o zaman t?m koordinatlar s?f?rdan farkl?d?r, koordinat X taraf?na e?ittir ve AB'ye e?ittir, yani birine e?ittir, Igrek'in koordinat? 1 s 1 cinsinden k?p?n yan?na e?ittir, yani kan bas?nc?na e?ittir ve birine e?ittir ve zet'in koordinat? CC 1'in yan?na e?ittir, yani, Aa 1 ve ayn? zamanda bire e?ittir.

Oxy, Oxz, Oyz ve koordinat eksenleri Ox, Oy, Oz koordinat d?zlemleri ?zerinde C (;) 'nin projeksiyonlar?n?n koordinatlar?n? bulun.

1) Oxy d?zlemine dik olan? indiriyoruz - bu CN, d?zlemli Oxz - Cl ve d?zlem ?zerinde oyz d?z cr.

Bu nedenle, C noktas?n?n oksi d?zlem ?zerindeki projeksiyonu N noktas?d?r ve ???n x -endin k?k? koordinatlar?na sahiptir, Igrek iki ila iki k?k?n eksidir, zet s?f?r s?f?rd?r .

C noktas?n?n OXZ d?zlemindeki projeksiyonu L noktas?d?r ve x'in koordinatlar?na ???n k?k?n?n eksi?ine e?ittir, Igrek s?f?rd?r, zet be? eksi k?k?ne e?ittir. ???n?n k?k?.

OYZ d?zlemindeki noktan?n projeksiyonu R noktas?d?r ve X'in koordinatlar?na s?f?ra e?ittir, Igrek iki ila iki eksi, zet be? eksi k?k?n k?k?ne e?ittir ??.

2) N noktas?ndan, ?k?z ?zerinde dikeyler - d?z bir ?izgi nk ve i?letim sisteminde - d?z bir ng - ve eksende bir RP noktas?ndan bir dik ?iziyoruz - bu do?rudan bir RP.

C noktas?n?n ?k?z k noktas? ?zerindeki izd???m?, ???n x i?ermeyen eksi k?k?n?n koordinatlar?na sahiptir ve Igrek ve Zen s?f?rd?r.

OY noktas?n?n ekseni ?zerindeki noktan?n projeksiyonu, x ve zen koordinatlar? s?f?rd?r, Igrek iki ila iki k?k?n eksi ile e?ittir.

Oz-Point P ekseni ile projeksiyonu, x'in koordinatlar? vard?r ve igrek s?f?rd?r, ?? eksi k?k?n?n e?it k?k?.

Frans?z bilim adam? Descartes'?n (1596-1650) ad?n? ta??yan dikd?rtgen (di?er isimler - d?z, iki boyutlu) koordinat sistemi, d?zlemdeki Kartezyen koordinat sistemi, u?a?daki kesi?me ile ikisinin dik a??lar?nda (dik olarak) olu?turulur. Birinin pozitif kuru?lar? sa?a (eksen X veya apsis ekseni) ve ikinci - yukar? (eksen veya orkinatlar?n ekseni) y?nlendirilmesi i?in say?sal eksenler.

Eksenlerin kesi?me noktas?, her birinin 0 Noktas? ile ?ak???r ve koordinatlar?n ba?lang?c? olarak adland?r?l?r.

Eksenlerin her biri i?in keyfi bir ?l?ek se?ilir (uzunlukta tek bir segment). D?zlemin her noktas?, d?zlemdeki bu noktan?n koordinatlar? olarak adland?r?lan bir ?ift say?ya kar??l?k gelir. Ve tam tersi, aerodinamik say? ?ifti, bu say?lar?n koordinat oldu?u d?zlemin bir noktas?na kar??l?k gelir.

Noktan?n ilk koordinat?na bu noktan?n apsis denir ve ikinci koordinat koordinat olarak adland?r?l?r.

Koordinatlar?n tamam? 4 ?eyre?e (?eyrek) ayr?lm??t?r. Kadranlar ilkden d?rd?nc? ay?n tersine yerle?tirilir (bkz. ?ekil).

Noktan?n koordinatlar?n? belirlemek i?in apsis eksenine ve sipari? eksenine olan mesafesini bulman?z gerekir. Mesafe (en k?sa) dikey taraf?ndan belirlendi?inden, eksen ?zerindeki iki dik (koordinat d?zlemindeki yard?mc? ?izgiler), b?ylece kesi?im noktas?n?n koordinat d?zlemindeki belirli bir noktan?n yeri noktadan d??er. Eksenlerle dikey kav?ak noktalar?na koordinat ekseni ?zerindeki noktan?n projeksiyonlar? denir.

?lk ?eyrek, apsis ve orkinatlar?n pozitif yar?s? ile s?n?rl?d?r. Bu nedenle, u?a??n bu ?eyre?indeki noktalar?n koordinatlar? pozitif olacakt?r.
(" +" i?aretleri ve

?rne?in, ?stteki ?ekilde M (2; 4) noktas?.

?kinci ?eyrek, negatif adsicissa pennies ve olumlu s?ralar?n s?ras? ile s?n?rl?d?r. Sonu? olarak, apsis ekseni boyunca noktalar?n koordinatlar? negatif (“-” i?areti) ve koordinat ekseni pozitif (“ +” i?areti) olacakt?r.

?rne?in, yukar?daki ?ekilde C (-4; 1) noktas?.

???nc? ?eyrek, negatif adsicissa pennies ve ordinatlar?n negatif penisi ile s?n?rl?d?r. Sonu? olarak, apsis ekseni ve koordinat ekseni boyunca noktalar?n koordinatlar? negatif olacakt?r (“-” ve “-” i?aretleri).

?rne?in, yukar?daki ?ekilde D (-6; -2) noktas?.

D?rd?nc? ?eyrek, pozitif adsicissa pennies ve olumsuz s?ralar?n s?ras? ile s?n?rl?d?r. Sonu? olarak, apsis ekseni boyunca noktalar?n koordinatlar? pozitif olacakt?r (“+” i?areti). Ve koordinat eksenine g?re - negatif (i?aret " -").

?rne?in, yukar?daki ?ekilde R (3; -3) noktas?.

Belirtilen koordinatlar?nda bir nokta olu?turmak

Azl?k eksen ?zerindeki noktan?n ilk koordinat?n? bulaca??z ve i?inden bir yard?mc? ?izgi ?izece?iz;

Noktan?n ikinci koordinat?n? koordinat ekseninde bulaca??z ve ?zerinden bir yard?mc? ?izgi ?izece?iz;

?ki dikeyin (yard?mc? ?izgiler) kesi?me noktas?, belirtilen C koordinatlar?na kar??l?k gelecektir.