Bu say?ya geometrik ilerlemenin paydas? denir, yani her ?ye Q zaman?nda ?ncekinden farkl?d?r. (Q ? 1 oldu?unu varsayaca??z, aksi takdirde her ?ey ?ok ?nemsizdir). N -HH geometrik ilerlemenin genel form?l?n?n B n = b 1 Q n -1 oldu?unu g?rmek kolayd?r; B N ve BM say?lar? olan ?yeler Q n - M'de bir kez farkl?l?k g?sterir.

Zaten eski M?s?r'da sadece aritmetik de?il, ayn? zamanda geometrik ilerlemeyi de biliyorlard?. Burada, ?rne?in, Papir?s Rynda'dan bir g?revdir: “Yedi y?z?n yedi kedisi var; Her kedi yedi fareyi yiyor, her fare yedi kulak kulak yiyor, her ba?aktan yedi arpa ?nlemini b?y?tebilir. Bu serinin say?lar? ve toplamlar??

Pirin?. 1. Geometrik ilerlemenin eski M?s?r g?revi

Bu g?rev bir?ok kez farkl? varyasyonlara sahip di?er halklarda tekrarland?. ?rne?in, xiii y?zy?lda yaz?lm??t?r. Leonardo Pizansky'nin (Fibonacci) “Abak Kitab?” n?n, her biri 7 ?anta olan 7 katl? olan Roma'ya (a??k?as?, hac?lar) giden 7 ya?l? kad?n?n g?r?nd??? bir g?revi var. her biri 7 b??ak olan 7 b??ak olan 7 ekmektir, her biri 7 k?n. G?rev sorusu ka? ??e.

Geometrik ilerlemenin ilk N ?yelerinin toplam? S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1). Bu form?l, ?rne?in a?a??daki gibi kan?tlanabilir: S n = B 1 + B 1 Q + B 1 Q 2 + B 1 Q 3 + ... + B 1 Q N - 1.

B 1 Q n say?s?n? ekleyin ve:

S N + B 1 Q N = B 1 + B 1 Q + B 1 Q 2 + B 1 Q 3 + ... + B 1 Q N - 1 + B 1 Q N = B 1 + (B 1 + B 1 Q + B 1 Q 2 + B 1 Q 3 + ... + B 1 Q N –1) Q = B 1 + S N Q.

Dolay?s?yla S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) ve gerekli form?l? al?yoruz.

Zaten VI y?zy?lla ilgili antik Babil'in kil tabletlerinden birinde. BC. e., 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 miktar?n? i?erir. Do?ru, baz? di?er durumlarda oldu?u gibi, bu ger?e?in nerede bilindi?ini bilmiyoruz Babiller.

?zellikle Hintli bir dizi k?lt?rde geometrik ilerlemede h?zl? bir art??, tekrar tekrar evrenin geni?li?inin g?rsel bir sembol? olarak kullan?lmaktad?r. Satran? g?r?n?m? hakk?nda iyi bilinen bir efsanede, h?k?mdar mucitlerine bir ?d?l se?me f?rsat? verir ve bir satran? tahtas?n?n ilk kafesine konulursa i?e yarayacak kadar bu?day tanesi ister. , ikincisinde ikisi, d?rd? - ???nc?, sekiz - d?rd?nc? ve d?rd?nc? ve d?rd?nc? vb. Vladyka bunu d???nd? ?yle, en b?y?k, yakla??k birka? ?anta, ama yanl?? hesaplad?. Satran? tahtas?n?n t?m 64 h?cresi i?in mucitin 20 basamakl? bir say? ile ifade edilen (2 64-1) tah?l almas? gerekti?ini g?rmek kolayd?r; D?nyan?n t?m y?zeyi ekiyor olsa bile, gerekli say?da taneyi toplamak en az 8 y?l alacakt?r. Bu efsane bazen bir satran? oyununda gizlenmi? neredeyse s?n?rs?z f?rsatlar?n bir g?stergesi olarak yorumlan?r.

Bu say?n?n ger?ekten 20 basamakl? oldu?u ger?e?ini g?rmek zor de?il:

2 64 = 2 4 ? (2 10) 6 = 16 ? 1024 6 ? 16 ? 1000 6 = 1.6 ? 10 19 (daha do?ru hesaplama 1.84 ? 10 19 verir). Ama acaba bu numaran?n hangi numaray? bitirip bitti?ini ??renebilir misin?

Mod?le g?re payda 1'den fazla ise veya birden az ise azal?yorsa geometrik ilerleme artmaktad?r. ?kinci durumda, olduk?a b?y?k n olan Q n say?s? keyfi olarak k???k olabilir. Geometrik ilerlemenin artmas? beklenmedik bir ?ekilde h?zl? bir ?ekilde artar ve h?zl? bir ?ekilde azal?r.

Daha b?y?k n, q n say?s? s?f?rdan farkl?d?r ve geometrik ilerlemenin n ?yelerinin toplam? S = b 1 / (1 - q) S = B 1 / ( 1 - Q). (?rne?in, F. ile birlikte). S say?s?na sonsuz derecede azalan geometrik ilerleme miktar? denir. Bununla birlikte, y?zy?llar boyunca, t?m geometrik ilerlemenin toplam?n?n anlam?n?n, sonsuz say?da ?yesiyle ne kadar a??k olmad??? sorusu matematik?iler i?in a??k de?ildi.

Azalan geometrik ilerleme, ?rne?in Zenon “Yar? ?ndirme” ve “A?il ve Kaplumba?a” aporelerinde g?r?lebilir. ?lk durumda, t?m yolun (1/4, 1/4, 1/8, vb. Sonsuz segment say?s?n?n toplam? oldu?u a??k?a g?sterilmektedir, elbette, Son toplam Geometrik ?lerleme hakk?nda fikirlerin bak?? a??s?. Ve yine de - bu nas?l olabilir?

Pirin?. 2. 1/2 katsay?s? ile ilerleme

A?il hakk?nda Aporia'da durum biraz daha karma??kt?r, ??nk? burada ilerlemenin paydas? 1/2 de?il, ba?ka bir say?d?r. ?rne?in A?il, V h?z?nda ?al???r, kaplumba?a U h?z?nda hareket eder ve aralar?ndaki orijinal mesafe L'dir. Bu mesafe A?il L /V zaman?nda ?al??acakt?r, kaplumba?a bu s?re zarf?nda Lu /V mesafesine ge?ecektir. A?iller de bu segmentten ge?ti?inde, onunla kaplumba?a aras?ndaki mesafe L (U /V) 2'ye e?it hale gelecektir. L'nin ilk ?yesi U /V. Sonunda A?il ile kaplumba?a ile bulu?ma yerine uzanan segment - L / (1 - U / V) = LV / (V - U) 'ya e?ittir. Ancak, yine, bu sonucun nas?l yorumlanaca?? ve neden herhangi bir anlam? var, uzun s?re ?ok a??k de?ildi.

Pirin?. 3. 2/3 katsay?s? ile geometrik ilerleme

Geometrik ilerlemenin toplam?, parabol segmentinin alan?n?n belirlenmesinde Archimedes taraf?ndan kullan?ld?. Parabol?n bu segmentinin AB akoru taraf?ndan s?n?rland?r?lmas?na izin verin ve tanjant?n paralel AB'nin D noktas?nda paralel olmas?na izin verin. C, AB'nin ortas? olsun, E - AC'nin ortas?, F CB'nin ortas?d?r. A, E, F, B noktalar?ndan d?z, paralel DC ?iziyoruz; D noktas?na ?izilen te?et, bu d?z ?izgiler k, l, m, n noktalar?nda kesi?sin. Ayr?ca AD ve DB segmentlerini de ?iziyoruz. D?z ?izginin G noktas?ndaki do?rudan reklam? ve H noktas?ndaki parabol? ge?mesine izin verin; Do?rudan FM, bir q noktas?nda d?z bir DB'yi ve r noktas?nda parabol? ge?er. Konik b?l?mlerin genel teorisine g?re, DC parabol?n ?ap?d?r (yani segment, paralel ekseni); D noktas?ndaki te?et, parabol denkleminin y2 = 2px (x-bu ?ap?n herhangi bir noktas?na olan mesafesi olan x ve y koordinat?n?n eksenleri olarak i?lev g?rebilir, y ?ap?n bu noktas?ndan parabol?n kendisinde bir noktaya kadar bu te?etin ?ap?).

Parabol denklemi sayesinde, dl 2 = 2 ? p ? lh, dk 2 = 2 ? p ? ka ve dk = 2dl'den beri ka = 4lh. T. to. Parabol?n ADB segmentinin alan? DADB ??geninin alan?na e?ittir ve AHD ve DRB segmentlerinin alanlar? birle?tirilir. Buna kar??l?k, AHD segmentinin alan? benzer ?ekilde AHD ??geni ve kalan AH ve HD segmentlerine e?ittir, her biri ayn? i?lemi ger?ekle?tirebilirsiniz - bir ??gene b?l?nmek i?in ) ve kalan iki segment () vb.

??gen DAHD alan?, DLD ??geninin yar?s?n?n yar?s?na e?ittir (ortak bir taban reklam? vard?r ve y?kseklik 2 kez farkl?l?k g?sterir), bu da s?rayla, ??gen DAKD ve dolay?s?yla DACD ??geninin yar?s?. B?ylece, DAHD ??geninin alan? DACD ??geninin d?rtte biridir. Benzer ?ekilde, DDRB ??geninin alan?, DDFB ??geninin alan?n?n d?rtte biridir. Dolay?s?yla, DAHD ve DDRB ??genlerinin birle?tirilmi? alanlar?, DADB ??geninin ?eyre?ine e?ittir. AH, HD, DR ve RB segmentlerine yap?lan uygulamada bu operasyonun tekrarlanmas?, onlardan ??genleri de vurgulayacak, bunlardan bir araya getirilen ??genler DAHD ve ??genlerin alan?ndan 4 kat daha k???k olacak. DDRB, yani DADB ??geninin alan?ndan 16 kat daha az, daha az anlam?na gelir. Ve benzeri:

B?ylece Archimedes, "?izgi ve parabole aras?nda sonu?lanan her segmentin ??genin ??te d?rd? oldu?unu ve onunla ayn? tabana ve e?it y?ksekli?e sahip oldu?unu" kan?tlad?.

Geometrik ilerleme Matematikte aritmeti?e k?yasla daha az ?nemli de?ildir. Geometrik ilerlemeye, her biri bir sonraki ?yesinin B1, B2, ..., B [n] say? dizisi denir ve bir ?ncekini kal?c? bir say? ile ?arpar. Ayn? zamanda ilerlemenin b?y?me oran?n? da karakterize eden bu say?ya denir. Geometrik ilerlemenin paydas? ve ifade et

Geometrik ilerlemenin tam bir atanmas? i?in, paydaya ek olarak, ilk ?yesini bilmeniz veya belirlemeniz gerekir. Paydan?n pozitif de?eri i?in, ilerleme monoton bir sekanst?r ve bu say? dizisi monoton olarak azal?r ve monoton olarak artarsa. Paydan?n pratikte birine e?it oldu?u durum dikkate al?nmaz, ??nk? ayn? say?lar dizimiz var ve bunlar?n toplam? pratik ilgiye neden olmaz.

Geometrik ilerlemenin genel ?yesi Form?l taraf?ndan hesaplanm??t?r

Geometrik ilerlemenin ilk ?yelerinin toplam? Form?l taraf?ndan belirlenir

Geometrik ilerleme i?in klasik problemlerin ??z?mlerini d???n?n. Protozoa ile anlamak i?in ba?layal?m.

?rnek 1. Geometrik ilerlemenin ilk ?yesi 27 ve paydas? 1/3. Geometrik ilerlemenin ilk alt? ?yesini bulun.

??z?m: Sorunun durumunu formda yazaca??z

Hesaplamalar i?in, N-Thre Geometrik ?lerleme Form?l?n?n form?l?n? kullan?yoruz.

Onun temelinde, bilinmeyen ilerleme ?yelerini buluyoruz

G?rd???n?z gibi, geometrik ilerleme ?yelerinin hesaplanmas? basittir. ?lerlemenin kendisi a?a??daki gibi g?r?necek

?rnek 2. Geometrik ilerlemenin ilk ?? ?yesi g?z ?n?ne al?nd???nda: 6; -12; 24. Horozunun paydas?n? ve yedinci oldu?unu bulun.

??z?m: Geometrik ilerlemenin paydas?n? tan?m?na g?re hesapl?yoruz.

Payoru -2'ye e?it olan alternatif bir geometrik ilerleme ald?. Yedinci horozu form?le g?re hesapl?yoruz

Sorun bu konuda ??z?ld?.

?rnek 3. Geometrik ilerleme iki ?yesi taraf?ndan belirlenir . ?lerlemenin onuncu ?yesini bulun.

??z?m:

Belirtilen de?erleri form?ller arac?l???yla yaz?yoruz

Kurallara g?re, bir payda bulmak ve daha sonra istenen de?eri aramak gerekir, ancak onuncu ?ye i?in

Ayn? form?l, giri? verileri olan basit manip?lasyonlar temelinde elde edilebilir. S?ran?n alt?nc? ?yesini ba?ka bire b?l?n, sonu? olarak

Sonu? alt?nc? ?ye ile ?arp?l?rsa, onuncu ki?iyi elde ederiz

B?ylece, bu t?r g?revler i?in, basit d?n???mleri h?zl? bir ?ekilde kullanarak do?ru ??z?m? bulabilirsiniz.

?rnek 4. Geometrik ilerleme tekrarlayan form?ller taraf?ndan ayarlan?r

Geometrik ilerlemenin bir paydas? ve ilk alt? ?yenin toplam?n? bulun.

??z?m:

Belirtilen verileri bir denklem sistemi ?eklinde yaz?yoruz

?kinci denklemi birinciye b?len payday? ifade ediyoruz

?lk denklemden ilerlemenin ilk ?yesini bulun

Geometrik ilerleme miktar?n? bulmak i?in sonraki be? ?yesi hesapl?yoruz

Dersin amac?: ??rencileri yeni bir t?r s?rayla tan?mak - sonsuza dek azalan geometrik ilerlemeyi.
G?revler:
Say?sal sekans s?n?r?n?n ilk fikrinin form?lasyonu;
Sonsuz periyodik fraksiyonlar?, sonsuz azalan geometrik ilerleme miktar?n?n form?l?n? kullanarak s?radan olanlara d?n??t?rmenin ba?ka bir yoluyla tan?d?k;
Mant?ksal d???nme, de?erlendirme eylemleri, genelleme gibi okul ?ocuklar?n?n ki?ili?inin entelekt?el niteliklerinin geli?tirilmesi;
Faaliyet e?itimi, kar??l?kl? yard?m, kolektivizm, konuya ilgi.

?ndirmek:

?nizleme:

Konuyla ilgili ders “Son derece azalan geometrik ilerleme” (Cebir, 10 kl.)

Dersin amac?: ??rencilerin yeni bir s?raya sahip a?ina olma - sonsuza dek azalan geometrik ilerleme.

G?revler:

Say?sal sekans s?n?r?n?n ilk fikrinin form?lasyonu; Sonsuz periyodik fraksiyonlar?, sonsuz azalan geometrik ilerleme miktar?n?n form?l?n? kullanarak s?radan olanlara d?n??t?rmenin ba?ka bir yoluyla tan?d?k;

Mant?ksal d???nme, de?erlendirme eylemleri, genelleme gibi okul ?ocuklar?n?n ki?ili?inin entelekt?el niteliklerinin geli?tirilmesi;

Faaliyet e?itimi, kar??l?kl? yard?m, kolektivizm, konuya ilgi.

Te?hizat: Bilgisayar s?n?f?, projekt?r, ekran.

Ders t?r?: Ders - yeni bir konunun asimilasyonu.

Dersin seyri

I. Org. an. Dersin konusunun ve amac?n?n mesaj?.

?i. ??rencilerin bilgisinin ger?ekle?tirilmesi.

9. s?n?fta aritmetik ve geometrik ilerlemeyi incelediniz.

Soru

1. Aritmetik ilerlemenin belirlenmesi.

(Aritmetik ilerleme, her ?yesi olan bir dizidir,

?kincisinden ba?layarak, ?nceki ?yeye e?it, ayn? say? ile katlanm??).

2. Form?l N -Aritmetik ilerleme eleman?

3. Birincinin toplam?n?n form?l? N Aritmetik ilerleme ?yeleri.

( veya )

4. Geometrik ilerlemenin belirlenmesi.

(Geometrik ilerlemeye s?f?r numaralardan farkl? bir dizi denir,

Her ?yesi, ikincisinden ba?layarak, ?nceki ?yeye e?ittir.

Ayn? say?).

5. Form?l N -Geometrik ilerleme ?yesi

6. Birincinin toplam?n?n form?l? N Geometrik ilerleme ?yeleri.

7. Hala hangi form?lleri biliyorsunuz?

(, Nerede ; ;

; , )

G?revler

1. Aritmetik ilerleme form?l taraf?ndan ayarlan?r A n = 7 - 4n. 10 bulun. (-33)

2. aritmetik ilerlemede 3 = 7 ve 5 = 1. Bir 4 bulun. (4)

3. aritmetik ilerlemede 3 = 7 ve 5 = 1. Bir 17 bulun. (-35)

4. Aritmetik ilerlemede 3 = 7 ve 5 = 1. S 17'yi bul. (-187)

5. Geometrik ilerleme i?inBe?inci horoz bulun.

6. Geometrik ilerleme i?in N -bir ?ye bulun.

7. Geometrik ilerlemede B 3 = 8 ve B 5 = 2. B 4'i bul. (4)

8. Geometrik ilerlemede B 3 = 8 ve B 5 = 2. B 1 ve S'yi bulun.

9. Geometrik ilerlemede B 3 = 8 ve B 5 = 2. S 5'i bul. (62)

III. Yeni bir konu okumak(Sunumun g?sterilmesi).

1'e e?it bir taraf? d???n?n. Y?z? ilk karenin yar?s?na e?it olan ba?ka bir kare ?iziyoruz, sonra da bir di?eri, taraf? ikincisinin yar?s?, sonra bir sonraki vb. Yeni karenin taraf? her bir ?ncekinin yar?s?na e?it oldu?unda.

Sonu? olarak, karelerin bir dizini ald?kpayda ile geometrik ilerleme olu?turmak.

Ve bu ?ok ?nemli, bu t?r kareleri ne kadar ?ok in?a edece?iz, meydan?n taraf? o kadar az olur.?rne?in ,

Onlar. N say?s?nda bir art??la, ilerleme ?yeleri s?f?ra yakla??yor.

Bu ?izimi kullanarak ba?ka bir dizi d???nebilirsiniz.

?rne?in, bir dizi kare:

Ve tekrar, e?er n S?n?rs?z bir ?ekilde artar, daha sonra alan, istedi?i gibi s?f?ra yak?nd?r.

Ba?ka bir ?rnek d???n?n. 1 cm'ye e?it bir taraf? olan e?kenar ??gen. ??genin orta ?izgisi ile ilgili teoreme g?re, bir sonraki ??geni 1. ??genin kenarlar?n?n ortas?ndaki zirvelerle in?a ediyoruz. 2. taraf?n 3. yar?s?, vb. Yine ??genlerin kenarlar?n?n uzunluklar?n?n s?ras?n? al?yoruz.

At.

Negatif bir payda ile geometrik ilerlemeyi d???n?rsek.

Sonra tekrar, say?daki bir art??la N ?lerlemenin ?yeleri s?f?ra yakla??yor.

Bu dizilerin paydalar?na dikkat ediyoruz. Her yerde, paydalar mod?lde 1'den azd?.

Sonu? olarak: Payla??c? mod?l? 1'den azsa geometrik ilerleme sonsuz derecede azalacakt?r.

?n i?.

Tan?m:

Geometrik ilerlemeye, paydas?n?n mod?l? birden azsa sonsuz derecede azalma denir..

Tan?m? kullanarak, geometrik ilerlemenin sonsuz derecede azalma olup olmad??? sorusunu ??zebilirsiniz.

G?rev

Form?l taraf?ndan belirtilirse sonsuz derecede azalan geometrik ilerleme dizisidir:

??z?m:

Q bulun.

; ; ; .

Bu geometrik ilerleme sonsuz derecede azalmaktad?r.

B) Bu dizi sonsuz derecede azalan geometrik ilerleme de?ildir.

1'e e?it bir taraf? olan bir kare d???n?n. Onu yar?ya b?l?n, yar?ya yar?ya, vb. Elde edilen t?m dikd?rtgenlerin ayn? zamanda sonsuz bir ?ekilde azalan bir geometrik ilerlemeyi olu?turur:

Bu ?ekilde elde edilen t?m dikd?rtgenlerin toplam? 1. kare alan?na e?it olacakt?r ve 1'dir.

Ancak bu e?itli?in sol k?sm?nda - sonsuz terim say?s?n?n toplam?.

?lk terimlerin n miktar?n? g?z ?n?nde bulundurun.

Geometrik ilerlemenin ilk ?yelerinin toplam?n?n form?l?ne g?re,.

E?er n S?n?rs?z bir ?ekilde artar, sonra

veya . Bu nedenle, yani. .

Sonsuz azalan geometrik ilerleme miktar?Bir dizi s?n?r? var S 1, s 2, s 3, ..., s n, ...

?rne?in, ilerleme i?in,

Sahibiz

??nk?

Sonsuz azalan geometrik ilerleme miktar?form?lle bulunabilir.

III. Tamamlama ve konsolidasyon(g?revlerin y?r?t?lmesi).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. ?zetleme.

Bug?n hangi diziyi kar??lad?n?z?

Sonsuz olarak azalan geometrik ilerlemeyi tan?mlay?n.

Geometrik ilerlemenin sonsuz derecede azald???n? nas?l kan?tlayabilirim?

Geometrik ilerlemenin sonsuz bir ?ekilde azalt?lmas? miktar? i?in form?l nedir.

V. ?dev.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

?nizleme:

?n izleme sunumlar?n? kullanmak i?in bir Google hesab? (hesap) olu?turun ve ?unu girin: https://accounts.google.com

Slayt ?mzalar?:

Tutarl? bir ?ekilde d???n?n, yarg?? kan?t?, yanl?? sonu?lar? ??r?t?n: bir fizik?i ve ?air, bir trakt?r ?of?r? ve bir kimyager. Matematikte E. Kolman form?lleri de?il, d???nme s?re?lerini hat?rlamal?d?r. V.P. Ogastes de Morgan Hangi bilim insanl?k i?in matematikten daha asil, daha keyifli, daha yararl? olabilir? Franklin

Sonsuz azalan geometrik ilerleme derecesi 10

BEN. Aritmetik ve geometrik ilerleme. Soru 1. Aritmetik ilerlemenin tan?m?. Aritmetik ilerleme, her bir ?yesi, ikincisinden ba?layarak, ?nceki ?yeye e?it olan, ayn? say? ile katlanm?? bir dizidir. 2. Aritmetik ilerlemenin n -hh ?yesinin form?l?. 3. Aritmetik ilerlemenin ilk N ?yelerinin toplam?. 4. Geometrik ilerlemenin belirlenmesi. Geometrik ilerlemeye s?f?r say?lardan farkl? bir dizi denir, her biri ikincisinden ba?layarak, ?nceki ?yeye e?ittir, ayn? say? 5 ile ?arp?l?r. N -HH geometrik ilerlemenin form?l?. 6. Geometrik ilerlemenin ilk n ?yelerinin toplam?.

?i. Aritmetik ilerleme. G?revler Aritmetik ilerleme, A N = 7 - 4 N A form?l? taraf?ndan ayarlan?r. (-33) 2. Aritmetik ilerlemede 3 = 7 ve 5 = 1. Bir 4 bulun. (4) 3. Aritmetik bir ilerlemede 3 = 7 ve 5 = 1. Bir 17 bulun. (-35) 4. Aritmetik bir ilerlemede 3 = 7 ve 5 = 1. S 17'yi bul. (-187)

?i. Geometrik ilerleme. G?revler 5. Geometrik ilerleme i?in Be?inci ?yeyi Bulun 6. Geometrik ilerleme i?in ND Dick'i bulun. 7. Geometrik ilerlemede B 3 = 8 ve B 5 = 2. B 4'i bul. (4) 8. Geometrik ilerlemede B3 = 8 ve B 5 = 2. B 1 ve S'yi bulun. 9. Geometrik ilerlemede B 3 = 8 ve B 5 = 2. S 5'i bul. (62)

Tespit: Geometrik ilerlemeye, paydas?n?n mod?l? birden azsa sonsuz derecede azal?r.

1 numaral? problem, form?l taraf?ndan belirtilirse, sonsuz derecede azalan geometrik ilerleme dizisidir: ??z?m: a) Bu geometrik ilerleme sonsuz derecede azal?r. b) Bu dizi sonsuz derecede azalan geometrik ilerleme de?ildir.

Sonsuz olarak azalan bir geometrik ilerlemenin toplam?, S 1, S 2, S 3, ..., S n, dizisinin s?n?r?d?r. ?rne?in, ilerleme i?in, sonsuza dek azalan geometrik ilerleme miktar? form?lle bulunabilir.

G?revlerin yerine getirilmesi, birinci ?ye 3, ikinci 0.3 ile sonsuz bir ?ekilde azalan geometrik ilerleme miktar?n? bulur. 2. No. 13; No. 14; Ders kitab?, s. 16 (1; 3) No. 18 (1; 3); 4. No. 19; 20.

Bug?n hangi diziyi kar??lad?n?z? Sonsuz olarak azalan geometrik ilerlemeyi tan?mlay?n. Geometrik ilerlemenin sonsuz derecede azald???n? nas?l kan?tlayabilirim? Geometrik ilerlemenin sonsuz bir ?ekilde azalt?lmas? miktar? i?in form?l nedir. Soru

?nl? Polonyal? matematik?i Hugo Steingau ?aka yollu olarak a?a??daki gibi form?le edilen bir yasa oldu?unu iddia ediyor: Bir matematik?i bunu daha iyi yapacak. Yani, biri matematik?i, tan?d?k olmayan bir ?al??man?n uygulanmas? olan iki ki?i ile emanet edilirse, sonu? her zaman a?a??daki gibi olacakt?r: matematik?i bunu daha iyi hale getirecektir. 01/14/1887-25.02.1972

Ba?lang?? seviyesi

Geometrik ilerleme. ?rneklerle Kapsaml? K?lavuz (2019)

Say?sal dizi

Yani, oturun ve baz? numaralar yazmaya ba?lay?n. ?rne?in:

Herhangi bir numara yazabilirsiniz ve bunlar istedi?iniz kadar olabilir (bizim durumumuzda). Ka? say? yazarsak yaz?n, hangisinin birincisi, ikincisi ve benzeri olan?, sonuna kadar her zaman s?yleyebiliriz, yani onlar? uyu?turabiliriz. Bu say?sal bir dizinin bir ?rne?idir:

Say?sal dizi- Bunlar, her biri benzersiz bir say? atanabilen bir?ok say?d?r.

?rne?in, dizimiz i?in:

Atanan say? sadece bir say?da dizi i?in karakteristiktir. Ba?ka bir deyi?le, s?rada ?? saniyelik say? yoktur. ?kinci say? (say? gibi) her zaman birdir.

Numaral? say?ya dizinin ?yesi olarak adland?r?l?r.

Genellikle t?m diziyi bir harf (?rne?in,) olarak adland?r?r?z ve bu dizinin her bir ?yesi, bu ?yenin say?s?na e?it bir dizinle ayn? harfidir :.

Bizim durumumuzda:

En yayg?n ilerleme t?rleri aritmetik ve geometriktir. Bu konuda, ikinci form hakk?nda konu?aca??z - geometrik ilerleme.

Geometrik ilerleme ve ortaya ??kma ge?mi?i nedir.

Antik ?a?da bile, Pisa'dan (daha iyi Fibonacci olarak bilinir) ?talyan matematik?i ke?i? Leonardo, ticaretin pratik ihtiya?lar?n?n ??z?m? ile u?ra?t?. Ke?i?, en k???k miktarda a??rl?klarla belirleme g?reviyle kar??la?t?. Yaz?lar?nda, Fibonacci b?yle bir a??rl?k sisteminin optimal oldu?unu kan?tl?yor: Bu, insanlar?n muhtemelen daha ?nce duymu? ve en az?ndan genel bir kavram? olan geometrik ilerlemeyle kar??la?mas? gereken ilk durumlardan biridir. Konuya tamamen ??kt???n?z anda, b?yle bir sistemin neden optimal oldu?unu d???n?n?

?u anda, ya?am uygulamas?nda, bir ?nceki d?nem i?in hesapta biriken tutar i?in faiz miktar? tahakkuk eden bankaya yat?r?m yap?l?rken geometrik ilerleme ortaya ??kmaktad?r. Ba?ka bir deyi?le, tasarruf bankas?na acil bir katk?ya para koyarsan?z, bir y?l sonra depozit ba?lang?? tutar?ndan, yani. Yeni miktar katk?ya e?it olacakt?r. Ba?ka bir y?l sonra, bu miktar artar, yani. O zaman al?nan miktar, vb. Benzer bir durum, SO -CALLED'in hesaplanmas?n?n g?revlerinde a??klanmaktad?r. karma??k ilgi- Y?zde, ?nceki faiz dikkate al?narak, hesapta bulunan miktardan her seferinde al?n?r. Bu g?revler hakk?nda biraz sonra konu?aca??z.

Geometrik ilerlemenin kullan?ld??? bir?ok basit durum vard?r. ?rne?in, influenza'n?n yay?lmas?: bir ki?i bir ki?i taraf?ndan enfekte edildi, s?rayla bir ki?iye enfekte oldular ve bu nedenle ikinci enfeksiyon dalgas? bir ki?i ve s?rayla, tekrar enfekte ... vb. .. ve benzeri ...

Bu arada, finansal piramit, ayn? MMM geometrik ilerlemenin ?zelliklerine g?re basit ve kuru bir hesaplamad?r. ?lgin?? Hadi anlayal?m.

Geometrik ilerleme.

Say?sal bir dizimiz oldu?unu varsayal?m:

Bunun kolay oldu?unu ve b?yle bir dizinin ad?n?n ?yelerinin fark? ile aritmetik bir ilerleme oldu?unu hemen cevaplayacaks?n?z. Ve buna ne dersin:

Bir ?ncekini sonraki say?dan ??kar?rsan?z, her yeni bir fark?n (vb.) Her zaman elde edildi?ini g?receksiniz, ancak dizinin kesinlikle var ve fark edilmesi zor de?il - her bir sonraki say? ?ncekinden daha fazla !

Bu t?r say?sal diziye denir geometrik ilerleme ve belirlendi.

Geometrik progresyon (), ilk ?yesi s?f?rdan farkl? olan say?sal bir dizidir ve her ?ye, ikincisinden ba?layarak, ayn? say? ile ?arp?l?r. Bu say?ya geometrik ilerlemenin paydas? denir.

Birinci ?yenin () e?it olmad??? ve rastgele olmad??? k?s?tlamalar?. Diyelim ki onlar ve ilk ?ye hala e?it ve q e?ittir, hmm .. sonra ortaya ??k?yor:

Bunun ilerleme olmad???n? kabul edin.

Bildi?iniz gibi, s?f?rdan farkl? bir say? ise ayn? sonu?lar? elde ederiz. Bu durumlarda, t?m say?sal seri t?m s?f?r veya bir say? ve di?er t?m s?f?rlar olaca??ndan, ilerleme olmayacakt?r.

?imdi geometrik ilerlemenin paydas? hakk?nda daha ayr?nt?l? konu?al?m, yani hakk?nda.

Tekrar: - Bu say? Sonraki her ?ye ka? kez de?i?ir Geometrik ilerleme.

Sence ne olabilir? Do?ru, pozitif ve negatif, ancak s?f?r de?il (biraz daha y?ksek konu?tuk).

Diyelim ki pozitifimiz var. Bizim durumumuza izin verin, a. ?kinci ?ye nedir ve? Bunu kolayca cevaplayabilirsiniz:

Bu do?ru. Buna g?re, e?er, o zaman ilerlemenin sonraki t?m ?yeleri ayn? i?arete sahip - Olumlu.

Ya negatifse? ?rne?in, a. ?kinci ?ye nedir ve?

Bu tamamen farkl? bir hikaye

Bu ilerlemenin bir ?yesini hesaplamaya ?al???n. Ne kadar ald?n? Ben var. B?ylece, geometrik ilerleme ?yelerinin belirtileri de?i?ir. Yani, ilerleme g?r?rseniz, ?yelerinin alternatif i?aretleriyle, paydas? negatiftir. Bu bilgi, bu konudaki sorunlar? ??zerken kendinizi test etmenize yard?mc? olabilir.

?imdi biraz pratik yapaca??z: Hangi say?sal dizilerin geometrik ilerleme oldu?unu ve hangilerinin aritmetik oldu?unu belirlemeye ?al???n: hangileri aritmetik:

Anlad?m m?? Cevaplar?m?z? kar??la?t?r?n:

• Geometrik ilerleme - 3, 6.
• Aritmetik ilerleme - 2, 4.
• Ne aritmetik ne de geometrik ilerlemelerdir - 1, 5, 7.

Son ilerlememize geri d?nelim ve ?yesini aritmetikte oldu?u gibi bulmaya ?al??aca??z. Tahmin etti?iniz gibi, onu bulman?n iki yolu var.

Her ?yeyi yak?ndan ?arp?n.

Dolay?s?yla, tarif edilen geometrik ilerlemenin bir ?yesi e?ittir.

Tahmin etti?iniz gibi, ?imdi kendiniz geometrik ilerlemenin herhangi bir ?yesini bulman?za yard?mc? olacak bir form?l ortaya ??karacaks?n?z. Yoksa bir ?yeyi a?amalarda nas?l a?amal? olarak boyayarak kendiniz ortaya ??kard?n?z m?? ?yleyse, muhakemenizin do?rulu?unu kontrol edin.

Bunu bu ilerlemenin bir ?yesi olma ?rne?i ile g?sterece?iz:

Ba?ka bir deyi?le:

Kendinizi belirli bir geometrik ilerlemenin bir ?yesinin de?erini bulun.

??kt? m?? Cevaplar?m?z? kar??la?t?r?n:

Geometrik ilerlemenin ?nceki her ?yesi ile s?rekli olarak ?arpt???m?zda, ?nceki y?ntemle ayn? say?ya sahip oldu?unuza dikkat edin.
Bu form?l? “uzatmaya” ?al??al?m - onu genel g?r??e getirelim ve alal?m:

T?retilmi? form?l hem olumlu hem de olumsuz olan t?m anlamlar i?in ge?erlidir. Geometrik ilerleme ?yelerini a?a??daki ko?ullarla hesaplayarak kendiniz kontrol edin: a.

Say?ld? m?? Sonu?lar? kar??la?t?r?n:

?ye olarak bir ilerleme ?yesini bulman?n m?mk?n olaca??n? kabul edin, ancak yanl?? sayma olas?l??? vard?r. Ve e?er zaten geometrik ilerlemenin bir ?yesini ve form?l?n “kesme” k?sm?n? kullanmaktan daha kolay olan? bulduysak.

Sonsuz azalan geometrik ilerleme.

Daha yak?n zamanlarda, hem gittik?e daha az s?f?r olabilece?inden bahsettik, ancak geometrik ilerlemenin dendi?i ?zel de?erler var. Sonsuz azalan.

Neden b?yle bir isim d???n?yorsun?
Ba?lang?? olarak, ?yelerden olu?an baz? geometrik ilerleme yazaca??z.
Diyelim ki, o zaman:

Sonraki her ?yenin ?ncekinden daha az oldu?unu g?r?yoruz, ancak herhangi bir say? olacak m?? Hemen cevap vereceksiniz - "Hay?r." Bu y?zden sonsuz derecede azal?yor - azal?yor, azal?yor, ancak asla s?f?r olmuyor.

G?rsel olarak nas?l g?r?nd???n? a??k?a anlamak i?in ilerlememizin bir program?n? ?izmeye ?al??al?m. Yani, bizim durumumuz i?in, form?l a?a??daki g?r?n?m? elde eder:

Grafiklerde, ba??ml?l?k olu?turmaya a?ina oluruz, bu nedenle:

?fadenin ?z? de?i?medi: ?lk kay?tta, geometrik ilerleme ?yesinin de?erinin seri numaras?na ba??ml?l???n? g?sterdik ve ikinci giri?te - sadece bir geometrik ilerleme ?yesinin de?erini ald?k ve seri numaras? olarak not edildi, ancak. Yapacak tek ?ey bir program olu?turmak.
Bakal?m ne yapt?n. Program bana bu ortaya ??kt?:

G?rmek? Fonksiyon azal?r, s?f?r i?in ?abalar, ancak asla ge?mez, bu y?zden sonsuz azal?r. Grafik ?zerindeki noktalar?m?z? not ediyoruz ve ayn? zamanda koordinat?n ne anlama geldi?ini ve ::

?lk ?yesi de e?it oldu?unda geometrik bir ilerleme program?n? ?ematik bir ?ekilde tasvir etmeye ?al???n. Analiz ?nceki program?m?zdaki fark nedir?

Cailed? Program bana bu ortaya ??kt?:

Art?k geometrik ilerleme konusunun temellerini tamamen anlad???n?za g?re: Ne oldu?unu biliyorsunuz, ?yesini nas?l bulaca??n?z? biliyorsunuz ve ayr?ca neyin azalan geometrik ilerlemeyi neyin azaltt???n? biliyorsunuz, ana m?lk?ne ge?ece?iz.

Geometrik ilerleme ?zelli?i.

Aritmetik ilerleme ?yelerinin m?lk?n? hat?rl?yor musunuz? Evet, evet, bu ilerlemenin ?yelerinin ?nceki ve sonraki anlamlar? oldu?unda, belirli say?da ilerlemenin de?eri nas?l bulunur. Hat?rlad?m? Bu:

?imdi geometrik ilerleme ?yeleri i?in tam olarak ayn? soruya sahibiz. B?yle bir form?l elde etmek i?in ?izim ve ak?l y?r?tmeye ba?layal?m. G?r?yorsunuz, ?ok kolay ve unutursan?z, kendiniz ?ekebilirsiniz.

Bildi?imiz ve bildi?imiz ba?ka bir basit geometrik ilerlemeyi al?n. Nas?l bulunur? Aritmetik ilerleme ile bu kolay ve basit, ama burada nas?l? Asl?nda, geometrikte, karma??k bir ?ey yoktur - sadece form?le g?re bize verilen her de?eri boyaman?z gerekir.

Soracaks?n ve ?imdi bu konuda ne yapmal?y?z? Evet, ?ok basit. Ba?lang?? olarak, ?ekildeki form?lleri tasvir ediyoruz ve de?ere gelmek i?in onlarla ?e?itli manip?lasyonlar yapmaya ?al???yoruz.

Verdi?imiz say?lardan soyutluyoruz, sadece form?l arac?l???yla ifadelerine odaklan?yoruz. Kom?u ?yelerin ?yelerini bilerek Orange taraf?ndan tahsis edilen bir anlam bulmal?y?z. Sonu? olarak elde edebilece?imiz onlarla ?e?itli eylemler yapmaya ?al??al?m.

Ek.
?ki ifade eklemeye ?al??al?m:

Bu ifadeden, g?rd???n?z gibi, hi?bir ?ekilde ifade edemeyiz, bu nedenle ba?ka bir se?enek deneyece?iz - ??karma.

??karma.

G?rd???n?z gibi, bundan da ifade edemeyiz, bu nedenle bu ifadeleri birbirine ?arpmaya ?al??aca??z.

?arpma.

?imdi, sahip oldu?umuza k?yasla bize verilen geometrik ilerleme ?yelerini hareket ettirdi?imize dikkatle bak?n:

Neden bahsetti?imi tahmin ettim? Do?ru bir ?ekilde, onu bulmak i?in, birbirine biti?ik geometrik ilerleme say?s?ndan kare bir k?k almam?z gerekir.

Hadi bakal?m. Kendiniz geometrik ilerleme m?lk?n? ??kard?n?z. Bu form?l? genel olarak kaydetmeye ?al???n. ??kt? m??

Durumu m? unuttunuz? ?rne?in neden ?nemli oldu?unu d???n?n, kendinizi hesaplamaya ?al???n. Bu durumda ne olur? Bu do?ru, tam aptall?k, ??nk? form?l ?una benziyor:

Buna g?re, bu k?s?tlamay? unutmay?n.

?imdi sorunun ne oldu?unu hesaplayal?m

Do?ru cevap! Hesaplama yaparken ikinci olas? anlam? unutmad?ysan?z, o zaman b?y?k bir adams?n?z ve hemen e?itime ge?ebilirsiniz ve unutursan?z, daha sonra analiz edilenleri okuyun ve neden her iki k?k?n? neden kaydetmeniz gerekti?ine dikkat edin. cevap.

Her iki geometrik ilerlememizi de ?iziyoruz - biri anlamla, di?eri de anlamla ve her ikisinin de var olma hakk?na sahip olup olmad???n? kontrol ediyoruz:

B?yle bir geometrik ilerlemenin var olup olmad???n? kontrol etmek i?in, belirtilen t?m ?yeler aras?nda ayn? olup olmad???n? g?rmek gerekir mi? Birinci ve ikinci vesileyle Q hesaplay?n.

Neden iki cevap yazmal?y?z? ??nk? istenen ?yenin i?areti hangisine ba?l?d?r - pozitif veya negatif! Ve onun ne oldu?unu bilmedi?imiz i?in, her iki cevab? art? ve eksi ile yazmam?z gerekiyor.

Art?k ana noktalar? ??rendi?iniz ve form?l? geometrik ilerleme m?lk?ne getirdiniz, bul, bilmek ve

Cevaplar? do?ru olanlarla kar??la?t?r?n:

Ne d???n?yorsunuz ve e?er bize geometrik ilerleme ?yelerinin istenen say?s?yla kom?u de?il, ondan e?it uzakl?kta verildiyse. ?rne?in, bulmal?y?z, ama Dana ve. Bu durumda t?retti?imiz form?l? kullanabilir miyiz? Bu olas?l??? ayn? ?ekilde onaylamaya veya ??r?tmeye ?al???n, her bir anlam?n, sizin yapt???n?z gibi, form?l? ba?lang??ta t?reterek, bir resimden olu?ur.
Ne yapt?n?

?imdi tekrar dikkatlice bak.
Ve buna g?re:

Bundan form?l?n ?al??t??? sonucuna varabiliriz Sadece kom?u ile de?il istenen geometrik ilerleme ?yeleriyle, ayn? zamanda E?it Sofistike ?yelerden.

B?ylece, ilk form?l?m?z formu ?stlenir:

Yani, ilk durumda s?yledik, ?imdi bunun daha k???k herhangi bir do?al say?ya e?it olabilece?ini s?yl?yoruz. Ana ?ey, her iki belirtilen say? i?in de ayn? olmas?d?r.

Belirli ?rneklerle durdu, sadece son derece ?zenli olun!

1. ,. Bulmak.
2. ,. Bulmak.
3. ,. Bulmak.

Karar verilmi?? Umar?m son derece ?zenli ve k???k bir yakalama fark etmi?sinizdir.

Sonu?lar? kar??la?t?r?n.

?lk iki durumda, yukar?daki form?l? sakin bir ?ekilde kullan?r?z ve a?a??daki de?erleri elde ederiz:

???nc? durumda, bize seri veri say?s?n? dikkatli bir ?ekilde dikkate alarak, bunlar?n bulundu?umuz say?dan e?de?er olmad???n? anl?yoruz: ?nceki say?d?r, ancak pozisyona kald?r?l?r, bu nedenle form?l uygulay?n. m?mk?n de?il.

Nas?l ??z?l?r? Asl?nda, g?r?nd??? kadar zor de?il! Bize verilen her birinin ve istenen say?n?n olu?tu?unu sizinle imzalayal?m.

Yani, var ve. Bakal?m onlarla ne yap?labilir? B?l?nmeyi ?neriyorum. Al?yoruz:

Verilerimizi form?le de?i?tiriyoruz:

Bulabilece?imiz bir sonraki ad?m - bunun i?in ortaya ??kan say?dan k?bik bir k?k almam?z gerekiyor.

?imdi tekrar sahip oldu?umuza tekrar bak?yoruz. Biz var, ama bulmal?y?z ve o da e?ittir:

Hesaplama i?in gerekli t?m verileri bulduk. Form?lde ikame:

Cevab?m?z: .

Ayn? sorunu kendiniz ??zmeye ?al???n:
Verilen :,
Bulmak:

Ne kadar ald?n? Ben var.

G?rd???n?z gibi, asl?nda ihtiyac?n var Sadece bir form?l? hat?rla-. Geri kalan her ?ey hi?bir zaman zorluk ?ekmeden ortaya ??karabilirsiniz. Bunu yapmak i?in, yukar?daki form?le g?re, numaras?n?n her birine e?it olan en basit geometrik ilerlemeyi ve i?aretini bro??r ?zerine yaz?n.

Geometrik ilerleme ?yelerinin toplam?.

?imdi, belirli bir aral?kta geometrik ilerleme ?yelerinin miktar?n? h?zl? bir ?ekilde hesaplamam?za izin veren form?lleri d???n?n:

Son geometrik ilerlemenin ?yelerinin toplam?n?n form?l?n? t?retmek i?in, y?ksek denklemin t?m b?l?mlerini ile ?arp?yoruz. Elde etmek:

Dikkatli bir ?ekilde bak?n: Son iki form?lde yayg?n olan nedir? ?lk ve son ?ye hari?, bu do?ru, ortak ?yeler vb. 1. denklemi 2. denklemden ??karmaya ?al??al?m. Ne yapt?n?

?imdi geometrik ilerleme ?yesinin form?l? ile ifade edin ve son form?l?m?zde ortaya ??kan ifadeyi de?i?tirin:

Grup ifadesi. Almal?s?n:

Yapacak tek ?ey ifade:

Buna g?re, bu durumda.

Farzedelim? O zaman hangi form?l ?al???r? Geometrik ilerlemeyi hayal edin. Neye benziyor? Form?l a?a??daki gibi g?r?necektir:

Aritmetik ve geometrik ilerlemede oldu?u gibi bir?ok efsane var. Bunlardan biri setin efsanesi, satran? yarat?c?s?.

Bir?ok insan satran? oyununun Hindistan'da icat edildi?ini biliyor. Hindu kral? onunla tan??t???nda, zek?s?ndan ve i?inde m?mk?n olan ?e?itli pozisyonlardan memnun oldu. Konular?ndan biri taraf?ndan icat edildi?ini ??rendikten sonra, kral onu ki?isel olarak ?d?llendirmeye karar verdi. Mucit kendisine ?a??rd? ve ona en yetenekli arzuyu bile yerine getirmeyi vaat ederek istedi?i her ?eyi sormas?n? emretti.

Seth d???nmek i?in zaman istedi ve ertesi g?n Seth Kral'a g?r?nd???nde, kral? iste?inin benzeri g?r?lmemi? bir tevazu ile ?a??rtt?. Satran? tahtas?n?n ilk kafesiyle, ikinci bu?day tanesi i?in, ???nc?s? i?in, d?rd?nc?, vb.

Kral k?zg?nd? ve hizmet?inin talebinin kraliyet c?mertli?ine lay?k olmad???n? s?yleyerek seti s?rd?, ancak hizmet?inin tahtalar?n t?m h?creleri i?in tanelerini alaca??na s?z verdi.

Ve ?imdi ?u soru: Geometrik ilerleme ?yelerinin toplam form?l?n? kullanarak, ka? tane set almas? gerekti?ini hesaplay?n?

Ak?l y?r?tmeye ba?layal?m. Satran? tahtas?n?n ilk kafesi ko?uluna g?re, Seta bu?day tah?l?ndan, ikincisi i?in ???nc?s? i?in d?rd?nc? vb. ?stedi?inden, g?revin geometrik ilerleme ile ilgili oldu?unu g?r?yoruz. Bu durumda e?it olan nedir?
Sa?.

Toplam satran? tahtas? h?creleri. S?ras?yla ,. T?m verilere sahibiz, sadece form?l?n yerini almak ve hesaplamak i?in kal?r.

Bu say?n?n en az?ndan yakla??k olarak “?l?e?ini” hayal etmek i?in, derecenin ?zelliklerini kullanarak d?n??t?r?yoruz:

Tabii ki, isterseniz, bir hesap makinesi alabilir ve neyi ba?araca??n?z? hesaplayabilirsiniz ve e?er de?ilse, s?z?me inanman?z gerekir: ?fadenin son bir anlam? olacak.
Yani:

D?rt katl? trilyon milyar bin bin bin.

Fuh) Bu say?n?n geni?li?ini hayal etmek istiyorsan?z, ah?r?n b?y?kl???n?n t?m tah?l miktar?n? i?ermesi gerekti?ini tahmin edin.
Ah?r m ve geni?li?i m y?ksekli?i ile uzunlu?u bir km'ye, yani. D?nya'dan G?ne?'e kadar iki kat daha fazla.

Kral matematikte g??l? olsayd?, o zaman bilim insan?na tah?llar? saymak i?in teklif edebilirdi, ??nk? bir milyon taneyi saymak i?in, yorulmak bilmeyen hesab?n en az bir g?n?ne ihtiya? duyacakt? ve bunun gerekli oldu?u g?z ?n?ne al?nd???nda Quintillionlar? saymak i?in tah?llar t?m hayat?n? saymak zorunda kalacakt?.

Ve ?imdi geometrik ilerleme ?yeleri miktar?nda basit bir sorunu ??zece?iz.
5. s?n?f Vasya'n?n bir ??rencisi griple hastaland?, ancak okula gitmeye devam ediyor. Her g?n Vasya, iki ki?iyi daha bula?an iki ki?iyi bula??r. S?n?fta bir ki?i var. Ka? g?n sonra t?m s?n?f gripten zarar verecek?

Yani, geometrik ilerlemenin ilk ?yesi Vasya, yani bir ki?i. -Geometrik ilerlemenin bir ?yesi olan bunlar, var???n?n ilk g?n?nde enfekte etti?i iki ki?i. Toplam ilerleme ?yeleri miktar? 5A ??renci say?s?na e?ittir. Buna g?re, ?unlar?n ilerlemesinden bahsediyoruz:

Verilerimizi geometrik ilerleme ?yelerinin toplam? form?l?nde de?i?tirece?iz:

T?m s?n?f g?nlerde hastalanacak. Form?llere ve say?lara inanm?yor musunuz? ??rencilerin "enfeksiyonunu" kendiniz tasvir etmeye ?al???n. ??kt? m?? Bak?n nas?l g?r?n?yor:

Herkes bir ki?iye ve s?n?fta ?al???lan bir ki?iye bula??rsa, ??rencilerin ka? g?n grip alaca?? i?in kendinizi hesaplay?n.

Senin anlam?n nedir? Herkesin bir g?n sonra ac?tmaya ba?lad??? ortaya ??kt?.

G?rd???n?z gibi, benzer bir g?rev ve ona ?izim, daha sonraki her “lider” olan bir piramide benziyor. Ancak, er ya da ge?, ikincisinin kimseyi ?ekemedi?i bir an vard?r. Bizim durumumuzda, s?n?f?n izole edildi?ini hayal ederseniz, bir ki?i zinciri () kapat?r. Dolay?s?yla, bir ki?i daha iki kat?l?mc? getirirseniz paran?n verildi?i bir finansal piramide dahil olsayd?, o zaman bir ki?i (veya genel durumda) kimseyi getirmez, buna g?re, yat?r?m yapt?klar? her ?eyi kaybederlerdi. Bu finansal aldatmaca.

Yukar?da s?ylenen her ?ey azalan veya artan geometrik ilerlemeyi ifade eder, ancak hat?rlad???n?z gibi, ?zel bir g?r?n?m?m?z var - sonsuza dek azalan geometrik ilerleme. ?yelerinin miktar? nas?l say?l?r? Ve bu t?r ilerlemenin neden belirli ?zellikleri var? Birlikte anlayal?m.

Yeni ba?layanlar i?in, ?rne?imizden sonsuz bir ?ekilde azalan geometrik ilerlemenin bu ?izimine tekrar bakal?m:

?imdi biraz daha erken yeti?tirilen geometrik ilerleme toplam?n?n form?l?ne bakal?m:
veya

Bizim i?in ne ?al???yoruz? Do?ru, grafik s?f?r oldu?unu g?steriyor. Yani, s?ras?yla, neredeyse e?it olacakt?r, ifadeyi hesaplarken neredeyse alaca??z. Bu ba?lamda, sonsuz derecede azalan geometrik ilerleme miktar?n? hesaplarken, bu braketin e?it olaca??ndan ihmal edilebilece?ine inan?yoruz.

- Form?l Sonsuz olarak azalan geometrik ilerlemenin ?yelerinin toplam?.

?NEML?! Sadece a??k formdaki durum, miktar? bulman?n gerekli oldu?unu g?steriyorsa, sonsuz derecede azalan geometrik ilerlemenin form?l?n? kullan?yoruz. Sonsuz?ye say?s?.

Belirli bir n say? belirtilirse, form?l? N ?ye miktar? i?in kullan?r?z, hatta veya bile.

?imdi antrenman yapaca??z.

1. Geometrik ilerlemenin ilk ?yelerinin toplam?n? ve ve.
2. AND ile sonsuza dek azalan bir geometrik ilerlemenin ?yelerinin toplam?n? bulun.

Umar?m son derece ?zenlidir. Cevaplar?m?z? kar??la?t?r?n:

Art?k geometrik ilerleme hakk?nda her ?eyi biliyorsunuz ve teoriden prati?e ge?menin zaman? geldi. S?navda bulunan geometrik ilerleme i?in en yayg?n g?revler, karma??k ilginin hesaplanmas?n?n g?revleridir. Tart???lacak onlar hakk?nda.

Karma??k ilginin hesaplanmas? i?in g?revler.

Muhtemelen karma??k ilginin s?z konusu form?l?n? duydunuz. Ne demek istedi?ini anl?yor musun? De?ilse, anlayal?m, ??nk? s?recin kendisini fark ederek, hemen anlayacaks?n?z ve i?te geometrik ilerleme.

Hepimiz bankaya gidiyoruz ve mevduat i?in farkl? ko?ullar oldu?unu biliyoruz: bu terim, ek hizmet ve iki farkl? tahakkuk yolu olan y?zdedir - basit ve karma??k.

?LE basit faiz Az ya da ?ok anla??labilir: Depozito s?resinin sonunda faiz bir kez tahakkuk eder. Yani, bir y?l boyunca 100 ruble koydu?umuzu s?ylersek, sadece y?l sonunda kredilendirilece?iz. Buna g?re, katk?n?n sonunda ruble alaca??z.

Bile?ik faiz- Bu se?enek ?lgi alan?n?n aktifle?tirilmesi, yani Katk? miktar?na ve daha sonra gelirin ilkden de?il, biriken katk?n?n birikmi? miktar?ndan hesaplanmas?na ili?kin hesaplanmalar?. Kapitalizasyon s?rekli olarak de?il, bir miktar frekansla ger?ekle?ir. Kural olarak, bu d?nemler e?ittir ve ?o?unlukla bankalar bir ay, ?eyrek veya y?l kullan?rlar.

Diyelim ki ayn? ruble y?l? y?ll?k olarak koydu?umuzu, ancak katk?n?n ayl?k aktifle?tirilmesiyle. Ne al?yoruz?

Burada her ?eyi anl?yor musunuz? De?ilse, a?amalarda anlayal?m.

Bankaya ruble getirdik. Ay?n sonunda, hesab?m?z Rubles'?m?zdan ve bunlara olan ilgimizden olu?an hesab?m?zda g?r?nmelidir: yani:

Kabul etmek?

Parantezi ??karabiliriz ve sonra ?unlar? elde edece?iz:

Kat?l?yorum, bu form?l zaten ba?lang??ta yazd?klar?m?za benziyor. ?lgi ile ba?a ??kmaya devam ediyor

G?rev ko?ulunda, bize y?ll?klar hakk?nda anlat?l?yor. Bildi?iniz gibi, ?o?alm?yoruz - faizleri ondal?k fraksiyonlara aktar?yoruz, yani:

Sa?? ?imdi soruyorsunuz, numara nereden geldi? ?ok basit!
Tekrar ediyorum: G?revin durumu diyor Y?ll?k Tahakkuklar? meydana gelen faiz AYLIK. Bildi?iniz gibi, aylar?n aylar?nda s?ras?yla, banka bize y?ll?k faizden bir ay sonra tahakkuk edecek:

Fark ettim mi? ?imdi, faizin g?nl?k olarak tahakkuk etti?ini s?ylersem form?l?n bu k?sm?n?n nas?l g?r?nece?ini yazmaya ?al???n.
Cailed? Sonu?lar? kar??la?t?ral?m:

Tebrikler! G?revimize geri d?nelim: Katk?n?n biriken miktar? i?in faizin tahakkuk etti?ini g?z ?n?nde bulundurarak ikinci ayda hesab?m?za ne kadar tahakkuk edece?ini yaz?n.
Ben de bu benim:

Veya ba?ka bir deyi?le:

Bence deseni zaten fark ettiniz ve t?m bu geometrik ilerlemede g?rd?n?z. ?yesinin neye e?it olaca??n? veya ba?ka bir deyi?le ay sonunda ne kadar para alaca??m?z? yaz?n.
Yapt? m?? Kontrol etmek!

G?rd???n?z gibi, paray? bir y?l boyunca basit bir y?zdede bankaya koyarsan?z, ruble alacaks?n?z ve karma??k bir ruble alt?nda ise. Yard?m k???kt?r, ancak bu sadece y?l boyunca ger?ekle?ir, ancak daha uzun bir s?re i?in kapitalizasyon ?ok daha karl?d?r:

Karma??k ilgi i?in ba?ka bir g?rev t?r? d???n?n. Anlad?ktan sonra, sizin i?in temel olacak. Yani, g?rev:

"Zvezda" ?irketi 2000 y?l?nda sekt?re yat?r?m yapmaya ba?lad?. Her y?l, 2001'den bu yana, bir ?nceki y?l?n ba?kentinden olu?an bir k?r elde ediyor. Cirodan elde edilen kar kald?r?lmam??sa, 2003 y?l? sonunda "Zvezda" ?irketi ne kadar kar alacak?

2000 y?l?nda "Zvezda" ?irketinin ba?kenti.
- 2001 y?l?nda "Zvezda" ?irketinin ba?kenti.
- 2002 y?l?nda "Zvezda" ?irketinin ba?kenti.
- 2003 y?l?nda "Zvezda" ?irketinin ba?kenti.

Veya k?saca yazabiliriz:

Bizim durumumuz i?in:

2000, 2001, 2002 ve 2003.

S?ras?yla:
ruble
Bu g?revde, y?zde y?lda verildi?inden ve y?ll?k olarak tahakkuk etti?i i?in hi?bir b?l?m?m?z olmad???n? unutmay?n. Yani, karma??k faiz g?revini okurken, y?zde ka??n?n verildi?ine ve hangi d?nemde tahakkuk etti?i konusunda dikkat edin ve ancak o zaman hesaplamalara devam edin.
Art?k geometrik ilerleme hakk?nda her ?eyi biliyorsunuz.

E?itim.

1. Biliniyorsa, geometrik ilerlemenin bir ?yesini bulun ve
2. Geometrik ilerlemenin ilk ?yelerinin toplam?n? bulun, e?er biliniyorsa ve
3. MDM Capital, 2003 y?l?nda dolar sermayesi olan sekt?re yat?r?m yapmaya ba?lad?. Her y?l, 2004'ten ba?layarak, bir ?nceki y?l?n ba?kentinden olu?an bir k?r elde ediyor. "MSC Cash Streams" ?irketi, 2005 y?l?nda 2006 y?l?ndan bu yana kar elde etmeye ba?layan 10.000 $ 'l?k sekt?re yat?r?m yapmaya ba?lad?. E?er cirodan elde edilen k?r geri ?ekilmediyse, 2007 y?l? sonunda bir ?irketin ba?kenti ne kadar dolar daha fazlad?r?

Cevaplar:

1. Sorun, ilerlemenin sonsuz oldu?unu ve belirli say?da ?yesinin miktar?n? bulmak i?in gerekli oldu?undan, hesaplama form?le dayanmaktad?r:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   -%100, yani 2 kat artar.
   S?ras?yla:
   ruble
   ?irket "MSC Nakit Ak??lar?":

   2005, 2006, 2007.
   - Bir kez artar.
   S?ras?yla:
   ruble
   ruble

?zetleyece?iz.

1) Geometrik progresyon (), ilk ?yesi s?f?rdan farkl? olan say?sal bir dizidir ve ikincisinden ba?layarak her ?ye, ayn? say? ile ?arp?lan bir ?ncekine e?ittir. Bu say?ya geometrik ilerlemenin paydas? denir.

2) Geometrik ilerleme ?yelerinin denklemi -.

3) VE.

• E?er ilerlemenin sonraki t?m ?yeleri ayn? i?arete sahipse - Olumlu;
• E?er ilerlemenin sonraki t?m ?yeleri ??aretler alternatif;
• ?le - ilerlemeye sonsuz olarak azalma denir.

4), - Geometrik ?lerleme M?lkiyeti (kom?u ?yeler)

veya
(E?it ?yeler) ile

Bulurken bunu unutma ?ki cevap olmal?.

?rne?in,

5) Geometrik ilerlemenin ?yelerinin toplam? form?lle hesaplan?r:
veya

?lerleme sonsuz derecede azal?yorsa,:
veya

?NEML?! Form?l?, ancak sonsuza kadar azalan geometrik ilerleme ?yeleri i?in kullan?yoruz, ancak ko?ulda, sonsuz say?da ?yenin miktar?n? bulman?n gerekti?i a??k?a belirtiliyorsa.

6) Fonlar?n cirodan ??kar?lmamas? ko?uluyla, karma??k faiz g?revleri de geometrik ilerleme form?l?ne g?re hesaplan?r:

Geometrik ilerleme. K?saca ana ?ey hakk?nda

Geometrik ilerleme() - Bu, ilk ?yesi s?f?rdan farkl? olan say?sal bir dizidir ve her ?ye, ikincisinden ba?layarak, bir ?ncekine e?ittir, ayn? say? ile ?arp?l?r. Bu numara denir Geometrik ilerleme paydas?.

Geometrik ilerlemenin paydas? Ve hari? herhangi bir de?er alabilir.

• E?er ilerlemenin sonraki t?m ?yeleri ayn? i?arete sahipse - pozitiftirler;
• E?er ilerlemenin sonraki t?m ?yeleri alternatif i?aretler;
• ?le - ilerlemeye sonsuz olarak azalma denir.

Geometrik ilerleme ?yelerinin denklemi - .

Geometrik ilerleme ?yelerinin toplam? Form?l taraf?ndan hesaplan?r:
veya

Talimatlar

10, 30, 90, 270...

Geometrik ilerlemenin bir paydas? bulmak gerekir.
??z?m:

Se?enek 1. ?lerlemenin keyfi bir ?yesini al?n (?rne?in, 90) ve bir ?nceki (30): 90/30 = 3'e b?l?n.

Geometrik ilerlemenin birka? ?yesinin toplam? veya azalan geometrik ilerlemenin t?m ?yelerinin toplam? biliniyorsa, ilerlemenin paydas?n? bulmak i?in kar??l?k gelen form?lleri kullan?n:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), burada SN, geometrik ilerlemenin ilk ?yelerinin toplam?d?r ve
S = b1/(1-q), burada s, sonsuz azalan geometrik ilerleme miktar?d?r (payda ile ilerlemenin t?m ?yelerinin toplam? daha k???kt?r).
?rnek.

Azalan geometrik ilerlemenin ilk ?yesi birine e?ittir ve t?m ?yelerinin toplam? ikiye e?ittir.

Bu ilerlemenin paydas?n? belirlemek gerekir.
??z?m:

Verileri g?revden form?le de?i?tirin. Ortaya ??kacak:
2 = 1/(1-q), burada-q = 1/2.

?lerlemek bir say? dizisidir. Geometrik ilerlemede, sonraki her ?ye, bir ?ncekinin ilerlemenin paydas? ad? verilen belirli bir Q ile ?arp?larak elde edilir.

Talimatlar

?ki kom?u geometrik eleman B (n+1) ve b (n) bir payda elde etti?i biliniyorsa, say?y? b?y?k bir tane ile b?lmek gerekir: q = b (n+1)/b (b (b (b (b (b (b (b (b (b (b ( N). Bu, ilerleme ve paydas?n?n tan?m?ndan sonra gelir. ?nemli bir durum, ilerlemenin ilk ?yesi ve paydas? s?f?ra e?itsizliktir, aksi takdirde belirsiz kabul edilir.

Dolay?s?yla, ilerleme ?yeleri aras?nda a?a??daki oranlar olu?turulmu?tur: B2 = B1 Q, B3 = B2 Q, ..., B (N) = B (N-1) Q. B (n) = b1 q^(n-1) form?l?ne g?re, geometrik ilerlemenin herhangi bir ?yesi hesaplanabilir, burada payda Q ve B1'in bilindi?i. Ayr?ca, mod?l?n ilerlemesi kom?u ?yelerinin ortalamas?na e?ittir.

Geometrik ilerleme analogu, en basit g?sterge fonksiyonu Y = a^x, burada x derecesinin bir g?stergesinde, belirli bir say?n?n a. Bu durumda, ilerlemenin paydas? birinci ?yeye denk gelir ve A say?s?na e?ittir. E?er x arg?man? do?al bir n (tezgah) olarak al?n?rsa, y fonksiyonunun de?eri ilerlemenin n-th ?yesi olarak anla??labilir.

Geometrik ilerlemenin ilk N ?yelerinin toplam? i?in mevcuttur: s (n) = b1 (1-q^n)/(1-q). Bu form?l Q ? 1'de adildir. Q = 1 ise, ilk N ?yelerinin toplam? S (N) = N B1 form?l? ile hesaplan?r. Bu arada, ilerlemeye daha b?y?k bir birim ve pozitif B1 ile artt?r?lacak. ?lerlemenin bir paydas? ile, ?niteyi a?mayan bir mod?le g?re ilerlemeye azalt?lacak.

?zel bir geometrik ilerleme vakas?, sonsuz bir ?ekilde azalan geometrik ilerleme (B.U.G.P.). Ger?ek ?u ki, azalan geometrik ilerlemenin ?yeleri tekrar tekrar azalacak, ancak asla s?f?ra ula?mayacaklar. Buna ra?men, b?yle bir ilerlemenin t?m ?yelerinin toplam?n? bulabilirsiniz. S = b1/(1-q) form?l? ile belirlenir. Toplam ?ye say?s? sonsuzdur.

Sonsuz say?da say? ekleyece?inizi ve sonsuza gelmeyece?ini a??k?a hayal etmek i?in pastay? pi?irin. Bunun yar?s?n? kes. Sonra yar? yar?ya 1/2 kesin, vb. Ba?araca??n?z par?alar, 1/2 payda ile sonsuz bir ?ekilde azalan geometrik ilerlemenin ?yelerinden ba?ka bir ?ey de?ildir. T?m bu par?alar? katlarsan?z, kaynak keki alacaks?n?z.

Geometri g?revleri, mekansal d???nme gerektiren ?zel bir egzersiz ?e?itlili?idir. Geometrik ??zemiyorsan?z G?rev A?a??daki kurallara uymaya ?al???n.

Talimatlar

Sorunun durumunu ?ok dikkatli okuyun, hat?rlanm?yorsan?z veya bir ?eyi anlam?yorsan?z, tekrar okuyun.

Ne t?r geometrik g?revler oldu?unu belirlemeye ?al???n, ?rne?in, hesaplama, baz? de?erler bulman?z gerekti?inde, g?revler, mant?ksal bir ak?l y?r?tme zinciri, bir pusula ve bir cetvel yard?m?yla bina g?revleri gerektirir. Ba?ka bir kar???k tip. G?revin t?r?n? ??rendi?inizde, mant?kl? bir ?ekilde ak?l y?r?tmeyi deneyin.

Bu g?rev i?in gerekli teoremi uygulay?n, ??pheler varsa veya hi?bir se?enek yoksa, uygun konuya ge?ti?iniz teoriyi hat?rlamaya ?al???n.

Taslaktaki soruna bir ??z?m bulun. Karar?n?z?n sadakatini kontrol etmek i?in bilinen yollar? uygulamaya ?al???n.

Bir defterde, lekeler ve ge?i?ler olmadan soruna d?zg?n bir ?ekilde bir ??z?m yap?n ve en ?nemlisi, ilk geometrik g?revlerin ??z?m? ?aba ve zaman alacakt?r. Ancak, bu s?rece hakim olur olmaz, f?nd?k gibi yaz?l?m?n g?revlerini t?klamaya ba?layacaks?n?z, ondan zevk alacaks?n?z!

Geometrik ilerleme, b1, b3, b3, ..., b (n -1), b (n) say?lar? dizisidir, b2 = b1*q, b3 = b2*q, ..., b (n ) = b (n-1)*q, b1 ? 0, q ? 0. Ba?ka bir deyi?le, ilerlemenin her bir ?yesi, Progression Q'nun belirli bir SEO nonsomini taraf?ndan ?nceki ?arp?m?ndan elde edilir.

Talimatlar

?lerleme g?revleri ?o?unlukla B1'in ilerlemesinin ilk ?yesi ve ilerlemenin paydas? ile ilgili derleme ve sonraki sistemler taraf?ndan ??z?l?r. Denklemler olu?turmak i?in baz? form?lleri hat?rlamak yararl?d?r.

?lerlemenin ilk ?yesi ve ilerlemenin paydas? yoluyla ilerlemenin N-Three ?yesi nas?l ifade edilir: B (n) = b1*q^(n-1).

Dava ayr? ayr? d???n?n |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии