??z?lmesi gereken bir do?rusal cebirsel denklem sistemi verilsin (sistemin her denklemini e?itli?e d?n??t?ren bilinmeyen xi de?erlerini bulun).

Bir do?rusal cebirsel denklem sisteminin ?unlar? yapabilece?ini biliyoruz:

1) ??z?m?n?z yok (olun) ortak olmayan).
2) Sonsuz say?da ??z?m? var.
3) Tek bir ??z?m?n?z olsun.

Hat?rlayaca??m?z gibi sistemin sonsuz say?da ??z?m? oldu?u veya tutars?z oldu?u durumlarda Cramer kural? ve matris y?ntemi uygun de?ildir. Gauss y?ntemi – Herhangi bir do?rusal denklem sistemine ??z?m bulmak i?in en g??l? ve ?ok y?nl? ara?, Hangi her durumda bizi cevaba g?t?recek! Y?ntem algoritmas?n?n kendisi her ?? durumda da ayn? ?ekilde ?al???r. Cramer ve matris y?ntemleri determinant bilgisini gerektiriyorsa, Gauss y?ntemini uygulamak i?in yaln?zca aritmetik i?lemler bilgisine ihtiyac?n?z vard?r, bu da onu ilkokul ??rencileri i?in bile eri?ilebilir k?lar.

Art?r?lm?? matris d?n???mleri ( bu sistemin matrisidir - yaln?zca bilinmeyenlerin katsay?lar?ndan ve serbest terimlerden olu?an bir s?tundan olu?an bir matris) Gauss y?ntemindeki do?rusal cebirsel denklem sistemleri:

1) ?le troki matrisler Olabilmek yeniden d?zenlemek baz? yerlerde.

2) matriste orant?l? (?zel bir durum olarak - ayn?) sat?rlar g?r?n?yorsa (veya mevcutsa), o zaman ?unlar? yapmal?s?n?z: silmek matristen biri hari? t?m bu sat?rlar.

3) d?n???mler s?ras?nda matriste s?f?r sat?r g?r?n?yorsa, o zaman da olmal?d?r silmek.

4) matrisin bir sat?r? olabilir ?arpmak (b?lmek) s?f?rdan ba?ka herhangi bir say?ya.

5) matrisin bir sat?r?na ?unlar? yapabilirsiniz: bir say?yla ?arp?lan ba?ka bir dize ekle, s?f?rdan farkl?.

Gauss y?nteminde elemanter d?n???mler denklem sisteminin ??z?m?n? de?i?tirmez.

Gauss y?ntemi iki a?amadan olu?ur:

1. "Do?rudan hareket" - temel d?n???mleri kullanarak, do?rusal cebirsel denklemler sisteminin geni?letilmi? matrisini "??gen" ad?m formuna getirin: ana k??egenin alt?nda bulunan geni?letilmi? matrisin elemanlar? s?f?ra e?ittir (yukar?dan a?a??ya hareket). ?rne?in, bu t?re:

Bunu yapmak i?in a?a??daki ad?mlar? izleyin:

1) Lineer cebirsel denklemler sisteminin ilk denklemini ele alal?m ve x 1'in katsay?s? K'ye e?ittir. ?kinci, ???nc?, vb. denklemleri ?u ?ekilde d?n??t?r?yoruz: her denklemi (serbest terimler dahil bilinmeyenler i?in katsay?lar), her denklemde bulunan bilinmeyen x 1 katsay?s?na b?l?yoruz ve K ile ?arp?yoruz. Bundan sonra birinciyi ikinciden ??kar?yoruz denklem (bilinmeyenler ve serbest terimler i?in katsay?lar). ?kinci denklemde x 1 i?in 0 katsay?s?n? elde ederiz. D?n??t?r?len ???nc? denklemden, bilinmeyen x 1 i?in birinci d???ndaki t?m denklemler 0 katsay?s?na sahip olana kadar birinci denklemi ??kar?r?z.

2) Bir sonraki denkleme ge?elim. Bu ikinci denklem olsun ve x 2'nin katsay?s? M'ye e?it olsun. T?m "alt" denklemlerle yukar?da anlat?ld??? gibi devam ediyoruz. B?ylece bilinmeyen x 2'nin “alt?nda” t?m denklemlerde s?f?rlar olacakt?r.

3) Bir sonraki denkleme ge?in ve son bir bilinmeyene ve d?n??t?r?lm?? serbest terim kalana kadar devam edin.

1. Gauss y?nteminin "tersine hareketi", do?rusal cebirsel denklemler sistemine ("a?a??dan yukar?ya" hareket) bir ??z?m elde etmektir.

Son “alt” denklemden bir birinci ??z?m elde ediyoruz: bilinmeyen xn. Bunu yapmak i?in A * x n = B temel denklemini ??z?yoruz. Yukar?da verilen ?rnekte x 3 = 4. Bulunan de?eri bir sonraki "?st" denklemin yerine koyuyoruz ve bir sonraki bilinmeyene g?re ??z?yoruz. ?rne?in x 2 – 4 = 1, yani. x 2 = 5. T?m bilinmeyenleri bulana kadar b?yle devam ederiz.

?rnek.

Baz? yazarlar?n ?nerdi?i gibi, do?rusal denklem sistemini Gauss y?ntemini kullanarak ??zelim:

Sistemin geni?letilmi? matrisini yazal?m ve temel d?n???mleri kullanarak onu ad?m ad?m forma getirelim:
Sol ?stteki “ad?ma” bak?yoruz. Orada bir tane olmal?. Sorun ?u ki, ilk s?tunda hi? birim yok, dolay?s?yla sat?rlar? yeniden d?zenlemek hi?bir ?eyi ??zmeyecek. Bu gibi durumlarda ?nitenin temel bir d?n???m kullan?larak d?zenlenmesi gerekir. Bu genellikle birka? yolla yap?labilir. Hadi ?unu yapal?m: . ?lk sat?ra ikinci sat?r? –1 ile ?arparak ekliyoruz. Yani ikinci sat?r? zihinsel olarak –1 ile ?arp?p birinci ve ikinci sat?rlar? ekledik, ikinci sat?r de?i?medi.

?imdi sol ?stte “eksi bir” var ki bu da bize ?ok yak???yor. +1 almak isteyen herkes ek bir i?lem yapabilir: ?lk sat?r? –1 ile ?arp?n (i?aretini de?i?tirin).

2. Ad?m . ?lk sat?r 5 ile ?arp?larak ikinci sat?ra eklendi. ?lk sat?r 3 ile ?arp?larak ???nc? sat?ra eklendi.

3. Ad?m . ?lk sat?r -1 ile ?arp?ld?, prensip olarak bu g?zellik i?indir. ???nc? sat?r?n i?areti de de?i?tirilerek ikinci s?raya ta??nd?, b?ylece ikinci “ad?m”da gerekli ?niteye sahip olduk.

4. Ad?m . ???nc? sat?r, ikinci sat?ra 2 ile ?arp?larak eklendi.

Ad?m 5 . ???nc? sat?r 3'e b?l?nd?.

Hesaplamalarda bir hata oldu?unu g?steren bir i?aret (daha nadiren bir yaz?m hatas?) "k?t?" bir sonu?tur. Yani, a?a??da (0 0 11 |23) gibi bir ?ey elde edersek ve buna g?re 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 olursa, o zaman y?ksek bir olas?l?kla ilkokulda bir hata yap?ld???n? s?yleyebiliriz. d?n???mler.

Bunun tersini yapal?m; ?rneklerin tasar?m?nda sistemin kendisi genellikle yeniden yaz?lmaz, ancak denklemler "do?rudan verilen matristen al?n?r." Size hat?rlat?r?m, ters hareket a?a??dan yukar?ya do?ru ?al???r. Bu ?rnekte sonu? bir hediyeydi:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, dolay?s?yla x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Cevap:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Ayn? sistemi ?nerilen algoritmay? kullanarak ??zelim. Ald?k

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

?kinci denklemi 5'e, ???nc?s?n? ise 3'e b?l?n. ?unu elde ederiz:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

?kinci ve ???nc? denklemleri 4 ile ?arparsak ?unu elde ederiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Birinci denklemi ikinci ve ???nc? denklemlerden ??kar?rsak:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

???nc? denklemi 0,64'e b?l?n:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

???nc? denklemi 0,4 ile ?arp?n

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

?kinciyi ???nc? denklemden ??kararak "ad?ml?" bir geni?letilmi? matris elde ederiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

B?ylece hesaplamalar s?ras?nda olu?an hata nedeniyle x 3 = 0,96 yani yakla??k 1 elde ederiz.

x 2 = 3 ve x 1 = –1.

Bu ?ekilde ??zd???n?zde hesaplamalarda hi?bir zaman kafan?z kar??maz ve hesaplama hatalar?na ra?men sonuca ula??rs?n?z.

Bir do?rusal cebirsel denklem sistemini ??zmenin bu y?nteminin programlanmas? kolayd?r ve bilinmeyenler i?in katsay?lar?n belirli ?zelliklerini hesaba katmaz ??nk? pratikte (ekonomik ve teknik hesaplamalarda) tamsay? olmayan katsay?larla u?ra?mak gerekir.

Size ba?ar?lar diliyorum! S?n?fta g?r???r?z! ??retmen Dmitry Aystrakhanov.

web sitesi, materyalin tamam?n? veya bir k?sm?n? kopyalarken kayna?a bir ba?lant? gereklidir.

E?itim kurumu "Belarus Devleti

Ziraat Akademisi"

Y?ksek Matematik B?l?m?

Y?nergeler

“Do?rusal sistemlerin ??z?m? i?in Gauss y?ntemi” konusunu incelemek

Yaz??mal? e?itim muhasebe fak?ltesi (NISPO) ??rencileri taraf?ndan "denklemler"

Gorki, 2013

Do?rusal denklem sistemlerini ??zmek i?in Gauss y?ntemi

E?de?er denklem sistemleri

?ki do?rusal denklem sisteminden birinin ??z?m? di?erinin ??z?m? ise e?de?er oldu?u s?ylenir. Bir do?rusal denklem sistemini ??zme s?reci, onu s?zde kullanarak s?rayla e?de?er bir sisteme d?n??t?rmekten olu?ur. temel d?n???mler , bunlar:

1) sistemin herhangi iki denkleminin yeniden d?zenlenmesi;

2) sistemin herhangi bir denkleminin her iki taraf?n?n s?f?rdan farkl? bir say? ile ?arp?lmas?;

3) herhangi bir denkleme herhangi bir say?yla ?arp?lm?? ba?ka bir denklem eklemek;

4) s?f?rlardan olu?an bir denklemin ?zerini ?izmek, yani. formun denklemleri

Gauss eliminasyonu

Sistemi d???n?n M ile do?rusal denklemler N bilinmiyor:

Gauss y?nteminin veya bilinmeyenlerin s?ral? olarak ortadan kald?r?lmas? y?nteminin ?z? a?a??daki gibidir.

?lk olarak, temel d?n???mler kullan?larak bilinmeyen, ilki d???ndaki sistemin t?m denklemlerinden ??kar?l?r. Bu t?r sistem d?n???mlerine denir Gauss eleme ad?m? . Bilinmeyene denir etkinle?tirme de?i?keni d?n???m?n ilk ad?m?nda. Katsay? denir ??z?n?rl?k fakt?r? , ilk denklem denir denklem ??zme ve katsay?lar s?tunu izin s?tunu .

Gauss eliminasyonunun bir ad?m?n? ger?ekle?tirirken a?a??daki kurallar? kullanman?z gerekir:

1) ??z?mleme denkleminin katsay?lar? ve serbest terimi de?i?meden kal?r;

2) ??z?n?rl?k katsay?s?n?n alt?nda bulunan ??z?n?rl?k s?tununun katsay?lar? s?f?r olur;

3) ilk ad?m? ger?ekle?tirirken di?er t?m katsay?lar ve serbest terimler dikd?rtgen kural?na g?re hesaplan?r:

, Nerede Ben=2,3,…,M; J=2,3,…,N.

Benzer d?n???mleri sistemin ikinci denkleminde de uygulayaca??z. Bu, ilk ikisi d???ndaki t?m denklemlerde bilinmeyenin elendi?i bir sisteme yol a?acakt?r. Sistemin denklemlerinin her biri ?zerindeki bu t?r d?n???mlerin bir sonucu olarak (Gauss y?nteminin do?rudan ilerlemesi), orijinal sistem, a?a??daki t?rlerden birinin e?de?er bir ad?m sistemine indirgenir.

Ters Gauss y?ntemi

Ad?m sistemi

??gen bir g?r?n?me sahip ve bu kadar (Ben=1,2,…,N). B?yle bir sistemin benzersiz bir ??z?m? vard?r. Bilinmeyenler son denklemden ba?lanarak belirlenir (Gauss y?nteminin tersi).

Ad?m sistemi ?u ?ekildedir:

nerede, yani Sistemin denklem say?s? bilinmeyen say?s?ndan az veya ona e?ittir. Son denklem de?i?kenin herhangi bir de?eri i?in kar??lanmayaca??ndan bu sistemin ??z?m? yoktur.

Ad?m tipi sistem

say?s?z ??z?m? var. Son denklemden bilinmeyen, bilinmeyenler arac?l???yla ifade edilir. . Daha sonra sondan bir ?nceki denklemde bilinmeyen yerine ifadesi bilinmeyenlerle de?i?tirilir. . Gauss y?nteminin tersini s?rd?rerek bilinmeyenler bilinmeyenler cinsinden ifade edilebilir . Bu durumda bilinmeyenler denir ?zg?r ve herhangi bir de?eri alabilir ve bilinmiyor temel.

Sistemleri pratikte ??zerken, t?m d?n???mleri bir denklem sistemiyle de?il, bilinmeyenler i?in katsay?lardan ve bir serbest terimler s?tunundan olu?an sistemin geni?letilmi? matrisiyle ger?ekle?tirmek uygundur.

?rnek 1. Denklem sistemini ??zme

??z?m. Sistemin geni?letilmi? bir matrisini olu?tural?m ve temel d?n???mleri ger?ekle?tirelim:

.

Sistemin geni?letilmi? matrisinde 3 say?s? (vurgulanm??t?r) ??z?n?rl?k katsay?s?, ilk sat?r ??z?n?rl?k sat?r? ve ilk s?tun ??z?n?rl?k s?tunudur. Bir sonraki matrise ge?erken ??z?n?rl?k sat?r? de?i?mez; ??z?n?rl?k ??esinin alt?ndaki ??z?n?rl?k s?tununun t?m ??eleri s?f?rlarla de?i?tirilir. Ve matrisin di?er t?m elemanlar? d?rtgen kural?na g?re yeniden hesaplan?r. ?kinci sat?rdaki 4. ??e yerine yaz?yoruz ikinci sat?rdaki -3 eleman? yerine yaz?lacakt?r vesaire. B?ylece ikinci matris elde edilmi? olacakt?r. Bu matrisin ??z?n?rl?k eleman? ikinci sat?rdaki 18 say?s? olacakt?r. Bir sonraki (???nc? matris) olu?turmak i?in ikinci sat?r? de?i?tirmeden b?rak?yoruz, ??z?mleme eleman?n?n alt?ndaki s?tuna s?f?r yaz?yoruz ve kalan iki eleman? yeniden hesapl?yoruz: 1 say?s? yerine yaz?yoruz ve 16 say?s? yerine yaz?yoruz.

Sonu? olarak orijinal sistem e?de?er bir sisteme indirgendi

Buldu?umuz ???nc? denklemden . Bu de?eri ikinci denklemde yerine koyal?m: sen=3. Bulunan de?erleri ilk denklemde yerine koyal?m sen Ve z: , X=2.

Dolay?s?yla bu denklem sisteminin ??z?m? X=2, sen=3, .

?rnek 2. Denklem sistemini ??zme

??z?m. Sistemin geni?letilmi? matrisinde temel d?n???mler ger?ekle?tirelim:

?kinci matriste ???nc? sat?r?n her eleman? 2'ye b?l?n?r.

D?rd?nc? matriste ???nc? ve d?rd?nc? sat?rlar?n her bir eleman? 11'e b?l?nd?.

. Ortaya ??kan matris denklem sistemine kar??l?k gelir

Bu sistemi ??zerek ?unu buluruz: , , .

?rnek 3. Denklem sistemini ??zme

??z?m. Sistemin geni?letilmi? matrisini yazal?m ve temel d?n???mleri ger?ekle?tirelim:

.

?kinci matriste ikinci, ???nc? ve d?rd?nc? sat?rlar?n her bir eleman? 7'ye b?l?nd?.

Sonu? olarak bir denklem sistemi elde edildi

orijinaline e?de?erdir.

Bilinmeyenlerden iki daha az denklem oldu?undan, ikinci denklemden . ifadesini ilk denklemde yerine koyal?m: , .

B?ylece form?ller Bu denklem sisteminin genel ??z?m?n? verin. Bilinmeyenler ?cretsizdir ve her de?eri alabilir.

?rne?in, Daha sonra Ve . ??z?m sistemin say?s?z olan ?zel ??z?mlerinden biridir.

Bilginin ?z kontrol?ne y?nelik sorular

1) Do?rusal sistemlerin hangi d?n???mlerine temel denir?

2) Sistemin hangi d?n???mlerine Gauss eliminasyon ad?m? denir?

3) ??z?c? de?i?ken, ??z?mleyici katsay?, ??z?mleyici s?tun nedir?

4) Gauss eliminasyonunun bir ad?m?n? ger?ekle?tirirken hangi kurallar kullan?lmal?d?r?

Do?rusal denklem sistemlerini Gauss y?ntemini kullanarak ??zme. Diyelim ki sisteme bir ??z?m bulmam?z gerekiyor. N ile do?rusal denklemler N bilinmeyen de?i?kenler
ana matrisin determinant? s?f?rdan farkl?d?r.

Gauss y?nteminin ?z? bilinmeyen de?i?kenlerin s?rayla ortadan kald?r?lmas?ndan olu?ur: ilk ?nce ortadan kald?rma x 1 ikinciden ba?layarak sistemin t?m denklemlerinden ayr?ca hari? tutulur x 2???nc?den ba?layarak t?m denklemlerden ba?layarak son denklemde yaln?zca bilinmeyen de?i?ken kalana kadar devam edin. xn. Bilinmeyen de?i?kenleri s?rayla ortadan kald?rmak i?in bir sistemin denklemlerini d?n??t?rme i?lemine denir. do?rudan Gauss y?ntemi. Gauss y?nteminin ileri ilerlemesini tamamlad?ktan sonra buldu?umuz son denklemden xn hesaplad???m?z sondan bir ?nceki denklemdeki bu de?eri kullanarak xn-1, ve benzeri, buldu?umuz ilk denklemden x 1. Sistemin son denkleminden birincisine ge?erken bilinmeyen de?i?kenlerin hesaplanmas? i?lemine denir Gauss y?nteminin tersi.

Bilinmeyen de?i?kenleri ortadan kald?rmak i?in kullan?lan algoritmay? k?saca a??klayal?m.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini de?i?tirerek ba?arabilece?imiz i?in bunu varsayaca??z. Bilinmeyen de?i?keni ortadan kald?r?n x 1 ikinciden ba?layarak sistemin t?m denklemlerinden. Bunu yapmak i?in sistemin ikinci denklemine birincisini ile ?arparak, ???nc? denklemine ise ile ?arparak birincisini ekliyoruz ve bu ?ekilde devam ediyoruz. n'inci denkleme birinciyi ile ?arparak ekliyoruz. Bu t?r d?n???mlerden sonra denklem sistemi ?u ?ekli alacakt?r:

nerede ve .

ifade edersek ayn? sonuca var?r?z. x 1 sistemin ilk denklemindeki di?er bilinmeyen de?i?kenler arac?l???yla ifade edilmi? ve elde edilen ifade di?er t?m denklemlerin yerine kullan?lm??t?r. Yani de?i?ken x 1 ikinciden ba?layarak t?m denklemlerin d???nda tutuldu.

Daha sonra benzer ?ekilde ilerliyoruz, ancak yaln?zca sonu?taki sistemin ?ekilde i?aretlenmi? k?sm?yla

Bunu yapmak i?in sistemin ???nc? denklemine ile ?arpt???m?z ikinci denklemi, d?rd?nc? denkleme ise ile ?arpt???m?z ikinci denklemi ekliyoruz ve bu ?ekilde devam ediyoruz. n'inci denkleme ikinciyi ?arparak ekleriz. Bu t?r d?n???mlerden sonra denklem sistemi ?u ?ekli alacakt?r:

nerede ve . Yani de?i?ken x 2???nc?den ba?layarak t?m denklemlerin d???nda tutulmu?tur.

Sonra bilinmeyeni ortadan kald?rmaya devam ediyoruz x 3, bu durumda sistemin ?ekilde i?aretlenen k?sm? ile benzer ?ekilde hareket ediyoruz.

B?ylece sistem ?u formu alana kadar Gauss y?nteminin do?rudan ilerlemesine devam ediyoruz:

Bu andan itibaren Gauss y?nteminin tersine ba?l?yoruz: hesapl?yoruz xn elde edilen de?er kullan?larak son denklemden xn buluruz xn-1 sondan bir ?nceki denklemden vb. buluruz x 1 ilk denklemden

Son “alt” denklemden bir birinci ??z?m elde ediyoruz: bilinmeyen xn. Bunu yapmak i?in A * x n = B temel denklemini ??z?yoruz. Yukar?da verilen ?rnekte x 3 = 4. Bulunan de?eri bir sonraki "?st" denklemin yerine koyuyoruz ve bir sonraki bilinmeyene g?re ??z?yoruz. ?rne?in x 2 – 4 = 1, yani. x 2 = 5. T?m bilinmeyenleri bulana kadar b?yle devam ederiz.

Do?rusal denklem sistemini ??zme Gauss y?ntemi.

Bu ?evrimi?i hesap makinesi, Gauss y?ntemini kullanarak bir do?rusal denklem sisteminin (SLE) ??z?m?n? bulur. Ayr?nt?l? bir ??z?m verilmi?tir. Hesaplamak i?in de?i?ken say?s?n? ve denklem say?s?n? se?in. Daha sonra verileri h?crelere girin ve "Hesapla" butonuna t?klay?n.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Say? g?sterimi:

Tam Say?lar ve/veya Ortak Kesirler
Tam Say?lar ve/veya Ondal?k Say?lar

Ondal?k ay?r?c?dan sonraki basamak say?s?

x

Uyar?

T?m h?creler temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri giri?i talimatlar?. Say?lar tam say? (?rnek: 487, 5, -7623 vb.), ondal?k say? (?rn. 67., 102,54 vb.) veya kesir olarak girilir. Kesir a/b bi?iminde girilmelidir; burada a ve b (b>0) tam say?lar veya ondal?k say?lard?r. ?rnekler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, vb.

Gauss y?ntemi

Gauss y?ntemi, orijinal do?rusal denklem sisteminden (e?de?er d?n???mler kullan?larak), orijinal sistemden ??z?lmesi daha kolay bir sisteme ge?i? y?ntemidir.

Bir do?rusal denklem sisteminin e?de?er d?n???mleri ?unlard?r:

• sistemdeki iki denklemin yer de?i?tirmesi,
• sistemdeki herhangi bir denklemin s?f?rdan farkl? bir ger?ek say?yla ?arp?lmas?,
• bir denkleme ba?ka bir denklemin rastgele bir say?yla ?arp?lmas?yla elde edilir.

Bir do?rusal denklem sistemi d???n?n:

(1)

Sistem (1)’i matris formunda yazal?m:

Balta=b

(2)

(3)

A- sistemin katsay? matrisi denir, B- k?s?tlamalar?n sa? taraf?, X- Bulunacak de?i?kenlerin vekt?r?. S?ralamaya izin ver( A)=P.

E?de?er d?n???mler sistemin katsay? matrisinin s?ras?n? ve geni?letilmi? matrisin s?ras?n? de?i?tirmez. Sistemin ??z?m k?mesi de e?de?er d?n???mler alt?nda de?i?mez. Gauss y?nteminin ?z? katsay?lar matrisini azaltmakt?r. A?apraz veya kademeli.

Sistemin geni?letilmi? bir matrisini olu?tural?m:

Bir sonraki a?amada eleman?n alt?ndaki 2. s?tunun t?m elemanlar?n? s?f?rl?yoruz. E?er bu eleman s?f?r ise, bu sat?r, bu sat?r?n alt?nda bulunan ve ikinci s?tununda s?f?rdan farkl? bir elemana sahip olan sat?rla de?i?tirilir. Daha sonra, ?nc? ??enin alt?ndaki 2. s?tunun t?m ??elerini s?f?rlay?n A 22. Bunu yapmak i?in sat?r 3'? ekleyin, ... M dize 2'nin - ile ?arp?lmas?yla A 32 /A 22 , ..., -A m2/ A S?ras?yla 22. Prosed?re devam ederek ?apraz veya kademeli bir form matrisi elde ederiz. Ortaya ??kan geni?letilmi? matrisin ?u forma sahip olmas?na izin verin:

(7)

??nk? ?ald?A=?ald?(A|b), o zaman ??z?m k?mesi (7) ( n-p)- ?e?itlilik. Buradan n-p bilinmeyenler keyfi olarak se?ilebilir. Sistem (7)'den kalan bilinmeyenler a?a??daki ?ekilde hesaplan?r. ?fade etti?imiz son denklemden X p'yi kalan de?i?kenler aras?nda gezdirin ve ?nceki ifadelere ekleyin. Daha sonra, ifade etti?imiz sondan bir ?nceki denklemden X p-1'den kalan de?i?kenlere gidin ve ?nceki ifadelere ekleyin, vb. Belirli ?rnekler kullanarak Gauss y?ntemini ele alal?m.

Gauss y?ntemini kullanarak bir do?rusal denklem sistemini ??zme ?rnekleri

?rnek 1. Gauss y?ntemini kullanarak bir do?rusal denklem sistemine genel bir ??z?m bulun:

ile belirtelim A ij elemanlar? Ben-inci sat?r ve J s?tun.

A 1 1 . Bunu yapmak i?in, 2,3 sat?rlar?n? s?ras?yla -2/3, -1/2 ile ?arparak 1. sat?ra ekleyin:

Matris kay?t t?r?: Balta=b, Nerede

ile belirtelim A ij elemanlar? Ben-inci sat?r ve J s?tun.

Eleman?n alt?ndaki matrisin 1. s?tununun elemanlar?n? hari? tutal?m A 11. Bunu yapmak i?in, 2,3 sat?rlar?n? s?ras?yla -1/5,-6/5 ile ?arparak 1. sat?ra ekleyin:

Matrisin her sat?r?n? kar??l?k gelen ?nc? elemana b?leriz (e?er ?nc? eleman mevcutsa):

Nerede X 3 , X

?stteki ifadeleri alttakilerle de?i?tirerek ??z?m? elde ederiz.

Daha sonra vekt?r ??z?m? a?a??daki gibi temsil edilebilir:

Nerede X 3 , X 4 keyfi ger?ek say?lard?r.

Sistem ??0 verilsin. (1)
Gauss y?ntemi bilinmeyenleri s?rayla ortadan kald?rma y?ntemidir.

Gauss y?nteminin ?z?, (1)'i, t?m bilinmeyenlerin de?erlerinin s?rayla (tersine) elde edildi?i ??gen matrisli bir sisteme d?n??t?rmektir. Hesaplama ?emalar?ndan birini ele alal?m. Bu devreye tek b?lmeli devre denir. ?imdi bu diyagrama bakal?m. 11 ?0 (?nc? eleman) ilk denklemi 11'e b?ls?n. Ald?k
(2)
Denklem (2)'yi kullanarak, sistemin geri kalan denklemlerinden x 1 bilinmeyenlerini ortadan kald?rmak kolayd?r (bunu yapmak i?in, daha ?nce x 1 i?in kar??l?k gelen katsay? ile ?arp?lm?? olan her denklemden denklem (2)'yi ??karmak yeterlidir) yani ilk ad?mda elde etti?imiz
.
Ba?ka bir deyi?le, 1. ad?mda, ikinciden ba?layarak sonraki sat?rlar?n her bir ??esi, orijinal ??e ile onun birinci s?tuna ve ilk (d?n??t?r?lm??) sat?ra "izd???m?n?n" ?arp?m? aras?ndaki farka e?ittir.
Bunu takiben, ilk denklemi yaln?z b?rakarak, ilk ad?mda elde edilen sistemin geri kalan denklemleri ?zerinde benzer bir d?n???m ger?ekle?tiriyoruz: bunlar?n aras?ndan ?nc? elemanl? denklemi se?iyoruz ve onun yard?m?yla x 2'yi kalandan hari? tutuyoruz denklemler (ad?m 2).
N ad?mdan sonra (1) yerine e?de?er bir sistem elde ederiz
(3)
B?ylece ilk a?amada ??gen bir sistem (3) elde ediyoruz. Bu a?amaya ileri vuru? denir.
?kinci a?amada (tersi), (3)'ten s?rayla x n, x n -1, ..., x 1 de?erlerini buluyoruz.
Ortaya ??kan ??z?m? x 0 olarak g?sterelim. O halde fark e=b-A x 0 art?k denir.
E?er e=0 ise bulunan ??z?m x 0 do?rudur.

Gauss y?ntemini kullanan hesaplamalar iki a?amada ger?ekle?tirilir:

1. ?lk a?amaya ileri y?ntem denir. ?lk a?amada orijinal sistem ??gen forma d?n??t?r?l?r.
2. ?kinci a?amaya ters vuru? denir. ?kinci a?amada orijinaline e?de?er bir ??gen sistem ??z?l?r.

a 11, a 22, ... katsay?lar?na ?nc? elemanlar denir.
Her ad?mda ?nc? eleman?n s?f?rdan farkl? oldu?u varsay?lm??t?r. Durum b?yle de?ilse, sistemin denklemlerini yeniden d?zenliyormu? gibi ba?ka herhangi bir eleman ?nc? eleman olarak kullan?labilir.

Gauss y?nteminin amac?

Gauss y?ntemi do?rusal denklem sistemlerini ??zmek i?in tasarlanm??t?r. Do?rudan ??z?m y?ntemlerini ifade eder.

Gauss y?nteminin t?rleri

1. Klasik Gauss y?ntemi;
2. Gauss y?nteminin modifikasyonlar?. Gauss y?nteminin modifikasyonlar?ndan biri, ana eleman?n se?imini i?eren bir ?emad?r. Gauss y?nteminin ana eleman?n se?imi ile ilgili bir ?zelli?i, denklemlerin k'inci ad?mda ba?taki eleman?n k'inci s?tundaki en b?y?k eleman olaca?? ?ekilde yeniden d?zenlenmesidir.
3. Jordano-Gauss y?ntemi;

Jordano-Gauss y?ntemi ile klasik y?ntem aras?ndaki fark Gauss y?ntemi Bir ??z?m arama y?n? ana k??egen boyunca meydana geldi?inde (kimlik matrisine d?n???m) dikd?rtgen kural?n?n uygulanmas?ndan olu?ur. Gauss y?nteminde ??z?m arama y?n? s?tunlar boyunca ger?ekle?ir (??gen matrisli sisteme d?n???m).
Fark? a??klayal?m Jordano-Gauss y?ntemi?rneklerle Gauss y?nteminden.

Gauss y?ntemini kullanan bir ??z?m ?rne?i
Sistemi ??zelim:

Hesaplama kolayl??? i?in sat?rlar? de?i?tirelim:

2. sat?r? (2) ile ?arpal?m. 3. sat?r? 2. sat?ra ekleyin

2. sat?r? (-1) ile ?arp?n. 2. sat?r? 1. sat?ra ekleyin

1. sat?rdan x 3'? ifade ediyoruz:
2. sat?rdan x 2'yi ifade ediyoruz:
3. sat?rdan x 1'i ifade ediyoruz:

Jordano-Gauss y?ntemini kullanan bir ??z?m ?rne?i
Ayn? SLAE'yi Jordano-Gauss y?ntemini kullanarak ??zelim.

Matrisin ana k??egeninde yer alan RE ??z?mleme eleman?n? s?rayla se?ece?iz.
??z?n?rl?k eleman? (1)'e e?ittir.



KD = GD - (A*B)/RE
RE - ??z?mleyici ??e (1), A ve B - STE ve RE ??eleriyle bir dikd?rtgen olu?turan matris ??eleri.
Her bir eleman?n hesaplamas?n? bir tablo ?eklinde sunal?m:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

??zme eleman? (3)'e e?ittir.
??zme eleman?n?n yerine 1 al?yoruz ve s?tunun kendisine s?f?r yaz?yoruz.
B s?tununun elemanlar? da dahil olmak ?zere matrisin di?er t?m elemanlar? dikd?rtgen kural?na g?re belirlenir.
Bunu yapmak i?in dikd?rtgenin k??elerinde bulunan ve her zaman RE ??z?mleme eleman?n? i?eren d?rt say? se?iyoruz.

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

??z?n?rl?k ??esi (-4)'t?r.
??zme eleman?n?n yerine 1 al?yoruz ve s?tunun kendisine s?f?r yaz?yoruz.
B s?tununun elemanlar? da dahil olmak ?zere matrisin di?er t?m elemanlar? dikd?rtgen kural?na g?re belirlenir.
Bunu yapmak i?in dikd?rtgenin k??elerinde bulunan ve her zaman RE ??z?mleme eleman?n? i?eren d?rt say? se?iyoruz.
Her bir eleman?n hesaplamas?n? bir tablo ?eklinde sunal?m:

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Cevap: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Gauss y?nteminin uygulanmas?

Gauss y?ntemi bir?ok programlama dilinde uygulan?r, ?zellikle: Pascal, C++, php, Delphi ve ayr?ca Gauss y?nteminin ?evrimi?i bir uygulamas? da vard?r.

Gauss Y?ntemini Kullanmak

Gauss y?nteminin oyun teorisinde uygulanmas?

Oyun teorisinde, bir oyuncunun maksimum optimal stratejisini bulurken, Gauss y?ntemiyle ??z?len bir denklem sistemi derlenir.

Diferansiyel denklemlerin ??z?m?nde Gauss y?nteminin uygulanmas?

Bir diferansiyel denklemin ?zel bir ??z?m?n? bulmak i?in, ilk ?nce yaz?l? k?smi ??z?me (y=f(A,B,C,D)) uygun dereceden, orijinal denklemde ikame edilen t?revleri bulun. Daha sonra A, B, C, D de?i?kenlerini bulmak i?in Gauss y?ntemiyle ??z?len bir denklem sistemi derlenir.

Jordano-Gauss y?nteminin do?rusal programlamada uygulanmas?

Do?rusal programlamada, ?zellikle simpleks y?nteminde, her yinelemede simpleks tablosunu d?n??t?rmek i?in Jordano-Gauss y?ntemini kullanan dikd?rtgen kural? kullan?l?r.