Menelaus'un teoremi ilgin? bir stereometrik genellemeye izin verir.

D?rty?zl? i?in Menelaus teoremi.

E?er u?ak m kaburgalar? ge?er AB, BC, CD Ve D.A. d?rty?zl? ABCD noktalarda A 1, B 1, C 1, D 1, O (2).

Tam tersi, e?er d?rt puan i?inse A 1, B 1, C 1, D 1, s?ras?yla kenarlarda uzan?yor AB, BC, CD, DA D?rty?zl?de e?itlik (2) sa?lan?yorsa bu d?rt nokta ayn? d?zlemde yer al?r.

Kan?t.

?zin vermek saat 1, saat 2, saat 3, saat 4- noktalardan uzakl?klar A,B,C,D buna g?re u?a?a m , Daha sonra ; ; ; .

Ortaya ??kan oranlar? ?arpmaya devam ediyor.

Ters teoremi kan?tlamak i?in bir A 1, B 1, C 1 d?zlemini olu?turuyoruz. Bu d?zlemin DA kenar?n? T noktas?nda kesmesine izin verin.

Kan?tlanm?? g?re ve duruma g?re , dolay?s?yla (ve lemma yoluyla) noktalar T Ve 1?ak??maktad?r. ?fade kan?tlanm??t?r.

§2. Ceva teoremi

Bir ??gen i?in Ceva teoremi.

B?rak?n puanlar A 1, B 1, C 1 s?ras?yla yanlara uzan?n G?ne?, AC Ve VA??gen ABC(resme bak?n). Segmentler i?in AA1, BB 1, SS 1 Bir noktada kesi?iyorsa ili?kinin ge?erli olmas? gerekli ve yeterlidir: (3) (b?l?mler AA 1, BB 1, SS 1 bazen cevians denir).

Kan?t.

Gereklilik. B?l?mlere izin ver AA 1 , BB 1, SS 1 bir noktada kesi?mek M??genin i?inde ABC .

ile belirtelim S 1, S 2, S 3??genlerin alan? AMS, SMV, AMV ve arac?l???yla saat 1, saat 2- noktalardan uzakl?klar A Ve ???NDE d?z bir ?izgiye MS. Daha sonra benzer ?ekilde . Ortaya ??kan oranlar? ?arparak teoremin ge?erlili?ine ikna olduk.

Yeterlilik. B?rak?n puanlar A 1, B 1, C 1 yanlara yat BC, SA, AS ??gen ve ili?ki (3) sa?lan?r, M- segmentlerin kesi?me noktas? AA 1 Ve BB 1 ve segment SANT?METRE taraf? ge?er AB bu noktada Q. Daha sonra kan?tlanm?? olana g?re , . Lemma yine noktalar?n ?ak??t???n? ima eder S=C1. Yeterlili?i kan?tlanm??t?r.

?imdi Ceva teoreminin uzaysal genellemesine d?nelim.

D?rty?zl? i?in Ceva teoremi.

?zin vermek M- bir tetrahedronun i?indeki bir nokta ABCD, A A 1, B 1, C 1 ve D 1- d?zlemlerin kesi?me noktalar? SMD , AMD, AMB Ve SMV kaburgal? AB, B C , CD Ve D.A. s?ras?yla. Daha sonra (4). Tersi: e?er puanlar i?inse sonra u?aklar ABC , BCD1 Ve DAB1 bir noktadan ge?in.

Kan?t.

noktalar? fark ederseniz ihtiyac? elde etmek kolayd?r A 1, B 1, C 1, D 1 ayn? d?zlemde yer al?r (bu d?zlem d?z ?izgilerden ge?er) bir 1 C 1 Ve B 1 D 1, bir noktada kesi?iyor M) ve Menelaus teoremini uygulay?n. Ters teorem, Menelaus teoreminin uzaydaki tersiyle ayn? ?ekilde kan?tlanabilir: noktalar boyunca bir d?zlem ?izmeniz gerekir. A 1, B 1, C 1 ve bu d?zlemin kenarla kesi?ti?ini lemmay? kullanarak kan?tlay?n D.A. bu noktada 1 .

§3. Bir tetrahedronun medyanlar? ve bimedyanlar?n?n ?zellikleri

Bir tetrahedronun medyan?, tetrahedronun tepe noktas?n? kar?? y?z?n a??rl?k merkezi (medyanlar?n kesi?me noktas?) ile birle?tiren bir segmenttir.

Teorem (Menelaus teoreminin uygulanmas?).

Bir tetrahedronun kenarortaylar? bir noktada kesi?ir. Bu nokta her medyan? tepe noktas?ndan itibaren sayarak 3:1 oran?nda b?ler.

Kan?t.

?ki medyan alal?m: GG 1 Ve CC 1 d?rty?zl? ABCD. Bu medyanlar bir noktada kesi?ecek F . C.L.– y?z?n medyan? ABC , D.L.– y?z?n medyan? ABD, A D 1 , C 1 – y?z?n a??rl?k merkezleri ABC Ve ABD. Menelaus'un teoremine g?re: ve . ??genin teoremini yazal?m DLD 1 : ; => ?spat di?er medyan ?iftleri i?in de benzerdir.

Teorem (Ceva teoreminin uygulanmas?).

?ncelikle tetrahedronun baz? elemanlar?n? tan?mlayal?m. Bir tetrahedronun kesi?en kenarlar?n?n orta noktalar?n? birle?tiren segmente bimedyen denir. ?kili y?kseklikler (analoji yoluyla) kesi?en kenarlar?n ortak dikleridir.

Teorem.

Bir tetrahedronun bimedyanlar?, bir tetrahedronun medyanlar? ile ayn? noktada kesi?ir.

Kan?t.

Bir ??gende az geli?mi? DC b?l?mler DC Ve LF bir noktada kesi?mek k. Bu ??gen i?in Ceva teoremine g?re: yani , CK=KD, LK – iki medyan.

Not 1.

FL = FK. Menelaus'un ??gen teoremi DLK : , , buradan LF = FK .

Not 2.

Nokta F tetrahedronun a??rl?k merkezidir. , , Ara? .

1.2 Farkl? tetrahedron t?rleri

§1. Pisagor tetrahedronlar?

Bir ??gen, bir dik a??s? varsa ve herhangi bir taraf?n oran? rasyonel ise Pisagor olarak adland?r?l?r (yani, benzerli?i kullanarak, ondan integral kenar uzunluklar?na sahip bir dik ??gen elde edebilirsiniz).

Buna benzer ?ekilde, k??elerden birindeki d?zlem a??lar? dikse ve herhangi iki kenar?n oran? rasyonel ise bir tetrahedron Pisagor olarak adland?r?l?r (benzerlik kullan?larak, k??elerden birinde d?zlem a??lar? dik olan bir tetrahedron elde edilebilir). k??eler ve integral kenar uzunluklar?).

"Pisagor tetrahedronlar?n?n denklemini" t?retmeye ?al??al?m, yani. ?? bilinmeyenli (x, i, z) bir denklem, ?yle ki herhangi bir Pisagor tetrahedronu bu denkleme rasyonel bir ??z?m verir ve bunun tersi de, denklemin herhangi bir rasyonel ??z?m? bir Pisagor tetrahedronunu verir.

?ncelikle t?m Pisagor ??genlerini tan?mlaman?n bir yolunu verece?iz.

Resimde bir ??gen g?steriliyor OAV- dikd?rtgen, bacaklar?n?n uzunluklar? ile g?sterilir A Ve B ve hipoten?s?n dyne'i bitti R. (1) say?s?n? dik ??genin parametresi olarak adland?rmay? kabul edece?iz OAV(veya daha do?rusu, "baca?a g?re parametresi) A").?li?kiyi kullanma p 2 =a 2 +b 2, sahibiz:

Bu denklemlerden, bir dik ??genin kenarlar?n?n parametresi arac?l???yla oran?n? ifade eden form?lleri do?rudan elde ederiz:

Ve (2).

A?a??daki ifade do?rudan form?l (1) ve (2)'den kaynaklanmaktad?r: Bir dik ??genin Pisagor olabilmesi i?in x say?s?n?n rasyonel olmas? gerekli ve yeterlidir. Asl?nda, e?er ??gen Pisagor ise, o zaman (1)'den x'nin rasyonel oldu?u sonucu ??kar. Tersine, e?er x rasyonel ise, o zaman (2)'ye g?re kenarlar?n ili?kileri rasyoneldir, yani bir Pisagor ??genidir.

?imdi izin ver OABC- d?z tepe a??lar?na sahip bir tetrahedron HAKKINDA d?md?z. O k??esinden ??kan kenarlar?n uzunluklar? ?u ?ekilde g?sterilir: ABC ve kalan kenarlar?n uzunluklar? p, q, r .

?? dik ??genin parametrelerini d???n?n OAV, OVS, OSA:

Daha sonra form?l (2)'yi kullanarak bu dik ??genlerin kenarlar?n?n oranlar?n? parametreleri arac?l???yla ifade edebiliriz:

Do?rudan (4)'ten ?u parametreler ??kar: x, i, z , ili?kiyi tatmin et (6). Bu Pisagor tetrahedras?n?n genel denklemidir.

A?a??daki ifade do?rudan form?l (3) - (5)'ten kaynaklanmaktad?r: bir tetrahedron i?in OABC O k??e noktas?nda dik d?zlem a??lar? Pisagor oldu?undan, parametrelerin gerekli ve yeterli olmas? gerekir x, i, z (tatmin edici denklem (6)) rasyoneldi.

Pisagor ??geni ile Pisagor tetrahedronu aras?ndaki analojiye devam ederek, Pisagor teoreminin dikd?rtgen tetrahedra i?in uzaysal bir genellemesini form?le etmeye ve kan?tlamaya ?al??aca??z; bu, Pisagor tetrahedra i?in a??k?a do?ru olacakt?r. A?a??daki lemma bu konuda bize yard?mc? olacakt?r.

Lemma 1.

?okgenin alan? ise S, o zaman p d?zlemine izd???m? alan? e?ittir, burada f - p d?zlemi ile ?okgen d?zlemi aras?ndaki a??.

Kan?t.

Lemman?n ifadesi, bir taraf? p d?zleminin ?okgen d?zlemi ile kesi?me ?izgisine paralel olan bir ??gen i?in a??kt?r. Asl?nda bu kenar?n uzunlu?u projeksiyon s?ras?nda de?i?mez ancak projeksiyon s?ras?nda ?zerine indirilen y?ksekli?in uzunlu?u de?i?ir. ??nk? bir kere.

?imdi herhangi bir ?oky?zl?n?n belirtilen t?rdeki ??genlere b?l?nebilece?ini kan?tlayal?m.

Bunu yapmak i?in ?okgenin t?m k??elerinden d?zlemlerin kesi?me ?izgilerine paralel d?z ?izgiler ?izelim ve ?okgen ??genler ve yamuklar halinde kesilecektir. Her yamu?u herhangi bir k??egen boyunca kesmeye devam ediyor.

Teorem 1(uzaysal Pisagor teoremi).

Dikd?rtgen bir tetrahedronda ABCD, tepe noktas?nda d?z k??eli D?? dikd?rtgen y?z?n?n kareli alanlar?n?n toplam? y?z?n karesel alan?na e?ittir ABC .

Kan?t.

D?zlemler aras?ndaki a?? a olsun ABC Ve DBC, D"- nokta projeksiyonu D u?a?a ABC. Daha sonra S DDBC =СosaS DАBC Ve S DD"BC = C osaS DDBC(Lemma 1'e g?re), bu nedenle C osa = . S D D " M.?. = .

??genler i?in de benzer e?itlikler elde edilebilir D'AB Ve D'AC. Bunlar? toplay?p ??genlerin alanlar?n?n toplam?n? dikkate alarak D"G?ne? , D'AC Ve D'AB??genin alan?na e?it ABC, ihtiyac?m?z olan? al?yoruz.

G?rev.

T?m d?zlem a??lar? bir tepe noktas?nda olsun D d?md?z; A , B , C– tepe noktas?ndan ??kan kenarlar?n uzunlu?u D u?a?a ABC. Daha sonra

Kan?t.

Dikd?rtgen bir tetrahedron i?in Pisagor teoremine g?re

Di?er tarafta

1= ) => .

§2. Ortosentrik tetrahedra

Y?kseklikleri her zaman tek bir noktada (ortomerkez) kesi?en bir ??genin aksine, her tetrahedron benzer bir ?zelli?e sahip de?ildir. Y?kseklikleri bir noktada kesi?en tetrahedronlara ortosentrik denir. Ortosentrik d?rty?zl? ?al??mam?za, her biri bir ortosentrik tetrahedronu tan?mlamak i?in al?nabilecek ortosentriklik i?in gerekli ve yeterli ko?ullarla ba?layaca??z.

(1) D?rt y?zl?n?n y?kseklikleri bir noktada kesi?ir.

(2) D?rt y?zl?n?n y?ksekliklerinin tabanlar? y?zlerin dik merkezleridir.

(3) Bir tetrahedronun kar??l?kl? iki kenar?n?n her biri diktir.

(4) D?rt y?zl?n?n kar??l?kl? kenarlar?n?n karelerinin toplamlar? e?ittir.

(5) D?rt y?zl?n?n kar??t kenarlar?n?n orta noktalar?n? birle?tiren par?alar e?ittir.

(6) Z?t dihedral a??lar?n kosin?slerinin ?arp?mlar? e?ittir.

(7) Y?zlerin alanlar?n?n karelerinin toplam?, z?t kenarlar?n ?arp?mlar?n?n karelerinin toplam?ndan d?rt kat daha azd?r.

Bunlardan baz?lar?n? kan?tlayal?m.

Kan?t (3).

Tetrahedron'un her iki z?t kenar?n?n dik olmas?na izin verin.

Sonu? olarak, tetrahedronun y?kseklikleri ?iftler halinde kesi?ir. Birka? ?izgi ?iftler halinde kesi?iyorsa, bunlar ayn? d?zlemde bulunur veya bir noktadan ge?er. Bir tetrahedronun y?kseklikleri ayn? d?zlemde olamaz, aksi halde k??eleri de ayn? d?zlemde yer al?r, dolay?s?yla bir noktada kesi?irler.

Genel olarak konu?ursak, bir tetrahedronun y?ksekliklerinin bir noktada kesi?mesi i?in, yaln?zca iki ?ift z?t kenar?n dikli?ini gerektirmek gerekli ve yeterlidir. Bu ?nermenin kan?t? do?rudan a?a??daki problemden kaynaklanmaktad?r.

G?rev 1.

Rastgele bir tetrahedron verildi?inde ABCD. Bunu kan?tla.

??z?m.

?zin vermek a= , b= , c=. Daha sonra , ve bu e?itlikleri toplayarak gerekli olan? elde ederiz.

?zin vermek a= , b= ve c=. E?itlik 2 + 2 = 2 + 2 , yani (a,c)=0. Bu algoritmay? di?er z?t kenar ?iftlerine uygulayarak istenen ifadeyi a??k?a elde ederiz.

M?lkiyet delilini sunal?m (6).

Bunu kan?tlamak i?in a?a??daki teoremleri kullan?r?z:

Sin?s teoremi. "Bir tetrahedronun kar??l?kl? iki kenar?n?n uzunlu?unun ?arp?m?, bu kenarlardaki dihedral a??lar?n sin?slerinin ?arp?m?na b?l?n?r, tetrahedronun ?? z?t kenar? ?ifti i?in ayn?d?r."

Bertschneider teoremi. "E?er A Ve B tetrahedronun iki kesi?en kenar?n?n uzunluklar? ve bu kenarlardaki dihedral a??lar ise, o zaman de?er bir ?ift kesi?en kenar se?imine ba?l? de?ildir.

Bir tetrahedron i?in sin?s teoremini ve Bertschneider teoremini kullanarak, z?t dihedral a??lar?n kosin?slerinin ?arp?mlar?n?n ancak ve ancak kar??t kenarlar?n karelerinin toplamlar? e?it olmas? durumunda e?it oldu?unu buluruz; buna g?re ortosentrik bir ?zelli?in (6) ge?erlili?i ge?erlidir. tetrahedron takip eder.

Ortosentrik tetrahedronla ilgili konuyu sonu?land?rmak i?in bu konuyla ilgili ?e?itli problemleri ??zece?iz.

G?rev 2.

Ortosentrik bir tetrahedronda ili?kinin do?ru oldu?unu kan?tlay?n OH2 =4R2-3d2, Nerede HAKKINDA- a??klanan k?renin merkezi, H- y?ksekliklerin kesi?me noktas?, R- ?evrelenen k?renin yar??ap?, d - kar??t kenarlar?n orta noktalar? aras?ndaki mesafe.

??z?m.

?zin vermek ?LE Ve L- kaburgalar?n ortas? AB Ve CD s?ras?yla. Nokta N oradan ge?en bir u?a??n i?inde yatmak CD dik AB ve nokta HAKKINDA- oradan ge?en bir u?akta ?LE dik AB.

Bu d?zlemler tetrahedronun k?tle merkezine (segmentin ortas?) g?re simetriktir. KL. T?m kenarlar i?in bu t?r d?zlemleri g?z ?n?ne ald???m?zda, noktalar?n N Ve HAKKINDA yakla??k simetrik M, yani KLMO- paralelkenar. Kenarlar?n?n kareleri e?ittir ve bu nedenle . Bir noktadan ge?en bir kesit g?z ?n?ne al?nd???nda M paralel AB Ve CD, bunu anlad?k AB 2 +CD 2 =4d 2 .

Buraya noktalar?n bulundu?u do?ruyu ekleyebiliriz. Ah, M Ve N, ortosentrik tetrahedronun Euler d?z ?izgisi olarak adland?r?l?r.

Yorum.

Euler d?z ?izgisinin yan? s?ra, ortosentrik bir terahedra i?in Euler k?relerinin varl???n? da not edebiliriz; bu, a?a??daki problemlerde tart???lacakt?r.

G?rev 3.

Bir dairenin ortosentrik tetrahedronunda her y?z?n 9 noktas?n?n bir k?reye (24 noktal? bir k?re) ait oldu?unu kan?tlay?n. Bu problemin ??z?m? i?in a?a??daki problemin ko?ulunun ispatlanmas? gerekmektedir.

G?rev 4.

Bir ??genin kenarlar?n?n orta noktalar?n?n, y?ksekliklerin tabanlar?n?n ve y?kseklik par?alar?n?n orta noktalar?n?n k??elerden kesi?me noktalar?na kadar ayn? daire ?zerinde, yani 9 noktal? daire (Euler) ?zerinde bulundu?unu kan?tlay?n.

Kan?t.

?zin vermek ABC- bu ??gen, N- y?ksekliklerinin kesi?me noktas?, A 1, B 1, C 1- segmentlerin orta noktalar? AN, VN, SN; AA 2- y?kseklikler, bir 3- orta G?ne?. Kolayl?k sa?lamak i?in ?unu varsayaca??z: ABC- dar ??gen. O zamandan beri B 1 A 1 C 1 = S?Z Ve DB 1 A 2 C 1 =DB 1 NS 1, O B 1 A 2 C 1 =B 1 NS=180° - B 1 Bir 1 C 1 yani puan A 1, B 1, A 2, C 1 ayn? daire ?zerinde uzan?n. Bunu g?rmek de kolayd?r B 1 A 3 C 1 = B 1 NS = 180° - B 1 A 1 C 1 yani puan A 1, B 1, A 3, C 1 ayn? zamanda (ve dolay?s?yla ayn?) daire ?zerinde de bulunur. Buradan, ko?ulda bahsedilen 9 noktan?n tamam?n?n ayn? ?ember ?zerinde oldu?u sonucu ??kar. Geni? ??gen durumu ABC benzer ?ekilde davran?l?r.

9 noktal? dairenin, merkezi H ve katsay?s? olan ?evrel ?emberle homotetik oldu?una dikkat edin (??genler bu ?ekilde d?zenlenmi?tir) ABC Ve bir 1 B 1 C 1). ?te yandan, 9 noktal? daire, ??genin kenarortaylar?n?n kesi?me noktas?nda ortalanan ?evrel ?embere homotetiktir. ABC ve bir katsay? (ABC ??genleri ve kenarlar?n?n ortas?nda k??eleri olan bir ??gen bu ?ekilde konumland?r?l?r).

?imdi 9 noktal? bir daire tan?mlad?ktan sonra problem 3'?n ko?ullar?n? ispatlamaya ge?ebiliriz.

Kan?t.

Ortosentrik bir tetrahedronun z?t kenarlara paralel ve bu kenarlardan e?it mesafede ge?en herhangi bir d?zlemle kesiti, k??egenleri tetrahedronun z?t kenarlar?n?n orta noktalar? aras?ndaki mesafeye e?it olan bir dikd?rtgendir (t?m bu mesafeler) ortosentriklik i?in gerekli ve yeterli ko?ula bak?n (5). Dolay?s?yla ortosentrik bir tetrahedronun t?m kenarlar?n?n orta noktalar?n?n, merkezi a??rl?k merkeziyle ?ak??an bir k?renin y?zeyinde yer ald??? sonucu ??kar. verilen tetrahedron, ve ?ap, tetrahedronun kar??t kenarlar?n?n orta noktalar? aras?ndaki mesafeye e?ittir. Bu, 9 noktadan olu?an d?rt dairenin tamam?n?n bu k?renin y?zeyinde yer ald??? anlam?na gelir.

G?rev 5.

Ortosentrik bir tetrahedronda, a??rl?k merkezleri ve y?zlerin y?ksekliklerinin kesi?me noktalar?n?n yan? s?ra tetrahedronun her bir y?ksekli?inin par?alar?n? tepe noktas?ndan y?ksekliklerin kesi?me noktas?na kadar b?len noktalar?n oldu?unu kan?tlay?n. oran? 2: 1, ayn? k?re ?zerinde yer al?yor (12 puanl?k k?re).

Kan?t.

B?rak?n puanlar Ah, M Ve N- s?ras?yla, ?evrelenmi? bir k?renin merkezi, a??rl?k merkezi ve ortosentrik bir tetrahedronun ortosantri?i; M- segmentin ortas? O(bkz. g?rev 2). Tetrahedronun y?zlerinin a??rl?k merkezleri, homotetik bir tetrahedronun k??eleri olarak hizmet eder ve homotetik merkezi bu noktada bulunur. M ve katsay?, bu homojenlik noktas?yla HAKKINDA noktaya gidecek ? 1, segmentte yer alan MN Bu y?zden , ? 1 y?zlerin a??rl?k merkezlerinden ge?en k?renin merkezi olacakt?r.

?te yandan, tetrahedronun y?kseklik par?alar?n? k??elerden ortomerkeze kadar 2:1 oran?nda ay?ran noktalar, homotetik merkezi ile verilen tetrahedronun homotetik k??eleri olarak hizmet eder. N ve katsay?s?. Bu homojenlikle ama? HAKKINDA g?r?ld??? ?zere ayn? noktaya gidecektir ? 1. B?ylece, on iki noktadan sekizi, merkezi k?renin y?zeyinde yer al?r. ? 1 ve tetrahedronun etraf?nda ?evrelenen k?renin yar??ap?ndan ?? kat daha k???k bir yar??ap.

Her y?z?n y?ksekliklerinin kesi?me noktalar?n?n ayn? k?renin y?zeyinde bulundu?unu kan?tlayal?m.

?zin vermek O', N' Ve M'- ?evrelenen dairenin merkezi, y?ksekliklerin kesi?me noktas? ve herhangi bir y?z?n a??rl?k merkezi. O' Ve N' noktalar?n projeksiyonlar?d?r HAKKINDA Ve N bu y?z?n d?zlemine ve segmentine M' bir segmenti b?ler A??k 1:2 oran?nda, say?larak O'(bilinen bir planimetrik ger?ek). Art?k projeksiyonun do?ruland???n? do?rulamak kolayd?r (?ekle bak?n?z). ? 1 bu y?z?n d?zleminde - bir nokta O'1 segmentin ortas?yla ?ak???yor M'N' yani ? 1 e?it uzakl?kta M' Ve N', gerekli olan da buydu.

§3. ?er?eve tetrahedronlar

?er?eve tetrahedron, tetrahedronun alt? kenar?na da temas eden bir k?renin bulundu?u bir tetrahedrondur. Her tetrahedron ?er?eveli de?ildir. ?rne?in, e?er tan?mlanan paralely?zl? "uzun" ise, e? y?zl? bir tetrahedronun t?m kenarlar?na dokunan bir k?re olu?turman?n imkans?z oldu?unu anlamak kolayd?r.

D?rty?zl? ?er?evenin ?zelliklerini listeleyelim.

(1) D?rt y?zl?n?n t?m kenarlar?na de?en bir k?re vard?r.

(2) Kesi?en kenarlar?n uzunluklar?n?n toplam? e?ittir.

(3) Z?t kenarlardaki dihedral a??lar?n toplamlar? e?ittir.

(4) Y?zlere yaz?lan daireler ?iftler halinde birbirine de?iyor.

(5) Bir tetrahedronun geli?mesinden kaynaklanan t?m d?rtgenler anlat?lm??t?r.

(6) ??lerine yaz?lan dairelerin merkezlerinden y?zlere geri getirilen dikmeler bir noktada kesi?ir.

?er?eve tehedronun birka? ?zelli?ini kan?tlayal?m.

Kan?t (2).

?zin vermek HAKKINDA- K?renin merkezinin i? noktalardaki d?rt kenara de?mesi. ?imdi ?unu belirtelim ki e?er bu noktadan itibaren X te?et ?iz XP Ve XQ merkezi olan bir k?reye HAKKINDA, ard?ndan noktalar R Ve Q d?z bir ?izgiden ge?en bir d?zleme g?re simetrik XO ve segmentin ortas? G?? kalitesi yani u?aklar ROH Ve QOX u?akla ?ekil vermek XPQ e?it a??lar.

O noktas?ndan ve tetrahedronun dikkate al?nan kenarlar?ndan ge?en 4 d?zlem ?izelim. S?z konusu dihedral a??lar?n her birini iki dihedral a??ya b?lerler. Yukar?da tetrahedronun bir y?z?ne biti?ik olarak elde edilen dihedral a??lar?n e?it oldu?u g?sterilmi?tir. Hem biri hem de di?eri dikkate al?nan dihedral a??lar?n toplam?, tetrahedronun her y?z? i?in ortaya ??kan bir a??y? i?erir. Di?er kesi?en kenar ?iftleri i?in benzer ak?l y?r?tmeyi y?r?terek, (2) ?zelli?inin ge?erlili?ini elde ederiz.

Tan?mlanan d?rtgenin baz? ?zelliklerini hat?rlayal?m:

a) D?zlemsel bir d?rtgen ancak ve ancak kar??t kenarlar?n?n toplam? e?itse ?evrelenecektir;

b) ?evreleyen d?rtgen ?apraz olarak iki ??gene b?l?n?rse, ??genlerin i?ine yaz?lan daireler birbirine dokunur.

Bu ?zellikler g?z ?n?ne al?nd???nda, ?er?eve tetrahedronun geri kalan ?zelliklerini kan?tlamak kolayd?r. D?rt y?zl?n?n (3) ?zelli?i do?rudan (b) ?zelli?inden ve (4) ?zelli?i de tetrahedronun (a) ?zelli?inden ve (1) ?zelli?inden kaynaklan?r. ?zellik (5) ?zellikten (3). Ger?ekten de, tetrahedronun y?zlerine yaz?lan daireler, y?zlerinin kenarlara dokunan bir k?re ile kesi?imleridir; buradan, y?zlere yaz?lan dairelerin merkezlerine geri getirilen diklerin ka??n?lmaz olarak merkezde kesi?ece?i a??kt?r. bu k?re.

G?rev 1.

K?re kenarlara temas ediyor AB, BC, CD Ve D.A. d?rty?zl? ABCD noktalarda L, E, N, K, bunlar karenin k??eleridir. E?er bu k?re bir kenara de?erse bunu kan?tlay?n klima, o zaman ayn? zamanda kenara da dokunur BD .

??z?m.

Ko?ullara g?re KLMN- kare. Hadi noktalar? ?izelim K, L, M, N k?reye te?et olan d?zlemler. ??nk? bu d?zlemlerin hepsi d?zleme e?it e?imlidir. KLMN sonra bir noktada kesi?irler S, d?z bir ?izgi ?zerinde yer alan OO 1, k?renin merkezi nerede ve ? 1- meydan?n merkezi. Bu d?zlemler karenin y?zeyiyle kesi?ir KLMN kareye g?re TUVW kenarlar?n orta noktalar? nokta olan K, L, M, N. K??esi S olan STUVW tetrahedral a??s?nda t?m d?zlem a??lar? e?ittir ve noktalar K, L, M, N d?zlem a??lar?n?n ortaortaylar? ?zerinde uzan?r ve SK=SL=SM=SN. Buradan,

SA=SC Ve SD=SB, yani AK=AL=CM=CN Ve ВL=BM=DN=DK. Ko?ullara g?re klima ayn? zamanda topa dokunuyor, yani A C =AK+CN=2AK. Ve o zamandan beri SK.- a??ortay DSA, O DK:KA=DS:SA=DВ:AC. E?itlikten AC=2AC?imdi ??yle oluyor DВ=2DK. ?zin vermek R- segmentin ortas? DВ, Daha sonra R d?z bir ?izgi ?zerinde yat?yor BU Y?ZDEN. ??genler DOK Ve DOP e?ittir ??nk? DK=DP Ve DKO=DPO=90°. Bu y?zden VEYA=OK=R, Nerede R k?renin yar??ap?d?r, yani D.B. k?re i?in de ge?erlidir.

§4. ?zohedral tetrahedronlar

?zohedral tetrahedron, t?m kenarlar?n e?it oldu?u bir tetrahedrondur. E? y?zl? bir tetrahedron hayal etmek i?in, ka??ttan yap?lm?? rastgele bir dar ??gen alal?m ve onu orta ?izgiler boyunca b?kelim. Daha sonra ?? k??e bir noktada birle?ecek ve kenarlar?n yar?lar? birbirine kapanarak tetrahedronun yan kenarlar?n? olu?turacak.

(0) Y?zler uyumludur.

(1) Kesi?en kenarlar ?iftler halinde e?ittir.

(2) ??gen a??lar e?ittir.

(3) Kar??l?kl? dihedral a??lar e?ittir.

(4) Bir kenara dayanan iki d?zlem a??s? e?ittir.

(5) Her k??edeki d?zlem a??lar?n?n toplam? 180°'dir.

(6) Bir tetrahedronun geli?tirilmesi - ??gen veya paralelkenar.

(7) A??klanan paralel y?zl? dikd?rtgen ?eklindedir.

(8) D?rt y?zl?n?n ?? simetri ekseni vard?r.

(9) ?iftler halinde kesi?en kenarlar?n ortak dikmeleri

dik.

(10) Orta ?izgiler ?iftler halinde diktir.

(11) Y?zlerin ?evreleri e?ittir.

(12) Y?zlerin alanlar? e?ittir.

(13) D?rt y?zl?n?n y?kseklikleri e?ittir.

(14) K??eleri kar??t y?zlerin a??rl?k merkezlerine ba?layan b?l?mler e?ittir.

(15) Y?zlerin etraf?nda tan?mlanan dairelerin yar??aplar? e?ittir.

(16) D?rt y?zl?n?n a??rl?k merkezi ?evrelenen k?renin merkeziyle ?ak??maktad?r.

(17) A??rl?k merkezi, yaz?l? k?renin merkezi ile ?ak??maktad?r.

(18) ?evreleyen k?renin merkezi, yaz?l? k?renin merkezi ile ?ak??maktad?r.

(19) Yaz?l? k?re, bunlar hakk?nda anlat?lan merkezlerdeki y?zlere temas etmektedir.

dairelerin kenarlar?.

(20) D?? birim normallerin toplam? (birim vekt?rler,

y?zlere dik) s?f?ra e?ittir.

(21) T?m dihedral a??lar?n toplam? s?f?rd?r.

Bir izohedral tetrahedronun hemen hemen t?m ?zellikleri onun

tan?mlardan sadece baz?lar?n? kan?tlayaca??z.

Kan?t (16).

??nk? d?rty?zl? ABCD izohedral, ard?ndan ?zelli?e g?re (1) AB=CD. B?rak?n nokta ?LE b?l?m AB ve nokta L orta nokta DC, dolay?s?yla segment KL bir tetrahedronun bimedyeni ABCD, bundan tetrahedron medyanlar?n ?zelliklerinden ?u nokta ??kar: HAKKINDA- segmentin ortas? KL, tetrahedronun a??rl?k merkezidir ABCD .

Ayr?ca tetrahedronun kenarortaylar? a??rl?k merkezinde kesi?ir. HAKKINDA ve ?stten say?larak 3:1 oran?nda bu noktaya b?l?n?r. Daha sonra, yukar?dakileri ve izohedral tetrahedronun ?zelli?ini (14) hesaba katarak, a?a??daki par?a e?itli?ini elde ederiz: AO=BO=CO=DO buradan ?u sonu? ??k?yor: HAKKINDA?evrelenmi? bir k?renin merkezidir (tan?m gere?i, bir k?renin ?okgeni etraf?nda ?evrelenmi?tir).

Geri. ?zin vermek ?LE Ve L- kaburgalar?n ortas? AB Ve CD buna g?re nokta HAKKINDA- tetrahedronun a??klanan k?resinin merkezi, yani. orta nokta KL. ??nk? HAKKINDA tetrahedronun ?evrelenmi? k?resinin merkezi, ard?ndan ??genler AOB Ve MOR?NA.- kenarlar? ve kenarortaylar? e?it olan ikizkenarlar TAMAM Ve OL. Bu y?zden DAOB =DCOD. Bunun anlam? AB=CD. Benzer ?ekilde, di?er z?t kenar ?iftlerinin e?itli?i kan?tlan?r ve bundan, izohedral tetrahedronun ?zelli?i (1) ile istenen sonu? elde edilir.

Kan?t (17).

Kenardaki dihedral a??n?n a??ortay?n? d???n?n AB, DC segmentini y?zlerin alanlar?na g?re b?lecektir ABD Ve ABC .

??nk? d?rty?zl? ABCD izohedral, ard?ndan ?zelli?e g?re (12) S DABD =S DABD =>DL=LC, bu da a??ortay anlam?na gelir ABL bimedyen i?erir KL. Geriye kalan dihedral a??lar i?in benzer ak?l y?r?tmeyi uygulayarak ve tetrahedronun a??ortaylar?n?n yaz?l? k?renin merkezi olan bir noktada kesi?ti?i ger?e?ini hesaba katarak, bu noktan?n ka??n?lmaz olarak bu e? y?zl?n?n a??rl?k merkezi olaca??n? elde ederiz. tetrahedron.

Geri. A??rl?k merkezi ile yaz?l? k?renin merkezinin ?ak??mas? ger?e?inden a?a??dakileri elde ederiz: DL=LC=>SABD=SADC. Benzer ?ekilde t?m y?zlerin boyutlar?n?n e?it oldu?unu kan?tlay?p e? y?zl? tetrahedronun (12) ?zelli?ini uygulayarak arad???m?z ?eyi elde ederiz.

?imdi (20) ?zelli?ini ispatlayal?m. Bunu yapmak i?in ?ncelikle rastgele bir tetrahedronun ?zelliklerinden birini kan?tlaman?z gerekir.

tetrahedron teoremi okul ders kitab?

Lemma 1.

D?rt y?zl?n?n y?zlerine dik vekt?rlerin uzunluklar? kar??l?k gelen y?zlerin alanlar?na say?sal olarak e?itse, bu vekt?rlerin toplam? s?f?rd?r.

Kan?t.

?zin vermek X- i? nokta ve ?oky?zl?, h ben (i=1,2,3,4)- ondan u?a?a olan mesafe Ben-inci kenar.

?oky?zl?y? tepe noktas? olan piramitlere keselim X, tabanlar? kenarlar?d?r. Bir tetrahedronun hacmi V bu piramitlerin hacimlerinin toplam?na e?ittir, yani. 3 V=?h i S ben, Nerede ben kare Ben-inci kenar. Daha fazla izin ver n ben i'inci y?ze d?? normalin birim vekt?r?d?r, M i bu y?z?n keyfi bir noktas?d?r. Daha sonra h ben =(ХM i, S ben n ben), Bu y?zden 3V=?h ben S ben =?(ХM i, S ben n ben)=(ХО, S ben n i)+(ОM i, S ben n i)=(ХО, ?S ben n i)+3V, Nerede HAKKINDA tetrahedronun sabit bir noktas?d?r, dolay?s?yla ?S ben n ben =0 .

Bir izohedral tetrahedronun (20) ?zelli?inin yukar?daki lemman?n ?zel bir durumu oldu?u a??kt?r; burada S 1 =S 2 =S 3 =S 4 =>n 1 =n 2 =n 3 =n 4 ve y?zlerin alanlar? s?f?ra e?it olmad???ndan do?ru e?itli?i elde ederiz n 1 +n 2 +n 3 +n 4 =0 .

?zohedral tetrahedron hakk?ndaki hikayeyi sonu?land?rmak i?in bu konuyla ilgili ?e?itli problemler sunuyoruz.

G?rev 1.

Tetrahedron'un k?tle merkezinden ve etraf?n? ?evreleyen k?renin merkezinden ge?en d?z bir ?izgi kenarlar? keser AB Ve CD. Bunu kan?tla AC=BD Ve AD=BC .

??z?m.

D?rt y?zl?n?n k?tle merkezi, kenarlar?n orta noktalar?n? birle?tiren d?z ?izgi ?zerinde yer al?r. AB Ve CD .

Sonu? olarak, tetrahedronun ?evrelenmi? k?resinin merkezi bu ?izgi ?zerinde yer al?r; bu, belirtilen ?izginin kenarlara dik oldu?u anlam?na gelir. AB Ve CD. ?zin vermek C' Ve D'- noktalar?n projeksiyonlar? C Ve D bir ?izgiden ge?en bir u?a?a AB paralel CD. ??nk? AC'BD'- paralelkenar (yap?m gere?i), o zaman AC=BD Ve AD=BC .

G?rev 2.

?zin vermek H- e? y?zl? bir tetrahedronun y?ksekli?i, saat 1 Ve saat 2- bir y?z?n y?ksekliklerinden birinin bu y?z?n y?ksekliklerinin kesi?me noktas?na b?l?nd??? b?l?mler. Bunu kan?tla saat 2 =4 saat 1 saat 2; ayr?ca tetrahedronun y?ksekli?inin taban? ile bu y?ksekli?in indirildi?i y?z?n y?ksekliklerinin kesi?me noktas?n?n, bu y?z? ?evreleyen dairenin merkezine g?re simetrik oldu?unu da kan?tlay?n.

Kan?t.

?zin vermek ABCD- bu tetrahedron, D.H.- y?ksekli?i, DA 1, DB 1, DC 1- tepe noktas?ndan d??en y?zlerin y?kseklikleri D yanlara BC, SA ve AB .

D?rt y?zl?n?n y?zeyini kenarlar boyunca keselim DA, DB, DC ve bir tarama yapal?m. A??k?a g?r?l?yor ki N??genin y?ksekliklerinin kesi?me noktas?d?r D 1 D 2 D 3. ?zin vermek F- ??genin y?ksekliklerinin kesi?me noktas? ABC, AK- bu ??genin y?ksekli?i, АF=h 1 , FК=h 2. Daha sonra D 1 Н=2h 1 , D 1 A 1 =h 1 -h 2 .

Yani, o zamandan beri H- tetrahedronumuzun y?ksekli?i, h 2 =DН 2 =DA 2 - NA 1 2 = (h 1+ h 2) 2 - (h 1 - h 2) 2 =4h 1 h 2.?imdi izin ver M- ??genin a??rl?k merkezi ABC(di?er ad?yla ??genin a??rl?k merkezi D 1 D 2 D 3), HAKKINDA- etraf?nda a??klanan dairenin merkezi. biliniyor ki F, M Ve HAKKINDA ayn? d?z ?izgide (Euler'in d?z ?izgisi) yer al?r ve M- aras?nda F Ve HAKKINDA , FM =2MO, ?te yandan ??gen D 1 D 2 D 3 bir ??gene homotetik ABC merkezli M ve katsay? (-2), yani MH=2FM. Bundan ?u sonu? ??k?yor OH=FO .

G?rev 3.

?zohedral bir d?rty?zl?de y?ksekliklerin tabanlar?n?n, y?ksekliklerin orta noktalar?n?n ve y?zlerin y?ksekliklerinin kesi?me noktalar?n?n bir k?renin (12 noktal? bir k?re) y?zeyinde yer ald???n? kan?tlay?n.

Kan?t.

Problem 2'yi ??zerek, bir tetrahedron etraf?nda ?evrelenen bir k?renin merkezinin, her bir y?z?n ?zerine, u?lar? bu y?ze indirilen y?ksekli?in taban? ve y?ksekliklerin kesi?me noktas? olan bir par?an?n ortas?na yans?t?ld???n? kan?tlad?k. bu y?z?n. Ve tetrahedron etraf?nda tan?mlanan k?renin merkezinden y?ze olan mesafe e?it oldu?undan, burada H tetrahedronun y?ksekli?i olup, ?evrelenen k?renin merkezi bu noktalardan A- y?ksekliklerin kesi?me noktas? ile kenar etraf?nda a??klanan dairenin merkezi aras?ndaki mesafe.

§5. ?? merkezli tetrahedronlar

Tetrahedronun y?zlerinin a??rl?k merkezlerini z?t k??elere (tetrahedronun ortancalar?) ba?layan b?l?mler her zaman bir noktada kesi?ir, bu nokta tetrahedronun a??rl?k merkezidir. Bu durumda y?zlerin a??rl?k merkezlerini y?zlerin ortomerkezleriyle de?i?tirirsek, o zaman bu, ortosentrik tetrahedronun yeni bir tan?m?na d?n??ecektir. Bunlar?, bazen i? merkezler olarak adland?r?lan, y?zlere kaz?nm?? dairelerin merkezleriyle de?i?tirirsek, yeni bir tetrahedra s?n?f?n?n tan?m?n? elde ederiz - i? merkezli.

?? merkezli tetrahedronlar s?n?f?n?n ?zellikleri de olduk?a ilgin?tir.

(1) D?rt y?zl?n?n k??elerini kar??t y?zlerde yaz?l? dairelerin merkezlerine ba?layan par?alar bir noktada kesi?ir.

(2) ?ki y?z?n a??lar?n?n bu y?zlerin ortak kenar?na ?izilen a??ortaylar? ortak bir tabana sahiptir.

(3) Kar??l?kl? kenarlar?n uzunluklar?n?n ?arp?m? e?ittir.

(4) Bir tepe noktas?ndan ??kan ?? kenar?n ikinci kesi?me noktalar? ile bu kenarlar?n ?? ucundan ge?en herhangi bir k?renin olu?turdu?u ??gen e?kenard?r.

Kan?t (2).

(1) ?zelli?ine g?re, e?er DF, BE, CF, AM- ??genlerde kar??l?k gelen a??lar?n a??ortaylar? ABC Ve FBD, ard?ndan segmentler KS Ve LD ortak bir noktam?z olacak BEN(resme bak?n). D?z ise Bilmiyorum Ve CL bir noktada kesi?mez F o zaman a??k?as? KS Ve D.L. kesi?mez, bu olamaz (merkezli bir tetrahedronun tan?m? gere?i).

Kan?t (3).

?zelli?i (2) ve a??ortay?n ?zelli?ini hesaba katarak a?a??daki ili?kileri elde ederiz:

; .

§6. Orant?l? tetrahedronlar

Tetrahedralar e?er sahiplerse orant?l? olarak adland?r?l?rlar.

(1) ?kili y?kseklikler e?ittir.

(2) Bir tetrahedronun herhangi bir iki medyana dik bir d?zlem ?zerindeki izd???m? bir e?kenar d?rtgendir.

(3) Tan?mlanan paralel borunun y?zleri e?it boyuttad?r.

(4) 4a 2 a 1 2 - (b 2 +b 1 2 -c 2 -c 1 2) 2 =4b 2 b 1 2 - (c 2 +c 1 2 -a 2 -a 1 2) 2 =4c 2 c 1 2 - (a 2 +a 1 2 -b 2 -b 1 2) 2, Nerede A Ve 1 , B Ve B 1 , ?le Ve 1'den itibaren- kar??t kaburgalar?n uzunluklar?.

Tan?m (1) - (4)'?n denkli?ini kan?tlamak i?in, bir tetrahedronun iki y?ksekli?inin, ?zellik (2)'de belirtilen, onun izd???m? olan paralelkenar?n y?ksekliklerine ve d?rt y?zl?n?n y?ksekliklerine e?it oldu?unu belirtmek yeterlidir. tarif edilen paralel u?lu ve ?rne?in bir kenar i?eren paralel u?lu alan?n karesi ?le, e?ittir ve skaler ?arp?m, form?l (4)'e g?re tetrahedronun kenarlar? boyunca ifade edilir.

Buraya orant?l?l???n iki ko?ulunu daha ekleyelim:

(5) Bir tetrahedronun kar??l?kl? kenarlar?n?n her bir ?ifti i?in, bunlardan biri ve ikincisinin ortas?ndan ?izilen d?zlemler diktir.

(6) Orant?l? bir tetrahedronun tarif edilen paralel y?z?ne bir k?re yaz?labilir.

§7. D?zenli tetrahedronlar

Bir tetrahedronun kenarlar? birbirine e?itse, ??gen, dihedral ve d?zlem a??lar? birbirine e?it olacakt?r. Bu durumda tetrahedrona d?zenli denir. B?yle bir tetrahedronun ortosentrik, ?er?eve ?eklinde, e?kenar, e?merkezli ve orant?l? oldu?una da dikkat edin.

Not 1.

Tetrahedron izohedral ise ve a?a??daki tetrahedra t?rlerinden birine aitse: ortosentrik, ?er?eve, i? merkezli, orant?l?, o zaman d?zenli olacakt?r.

Not 2.

Bir tetrahedron, listelenen tetrahedronlar?n herhangi iki t?r?ne aitse d?zenlidir: ortosentrik, ?er?eve, e?merkezli, orant?l?, e?kenar d?rtgen.

D?zenli bir tetrahedronun ?zellikleri:

K??elerinin her biri ?? ??genin tepe noktas?d?r. Bu, her tepe noktas?ndaki d?zlem a??lar?n?n toplam?n?n 180 dereceye e?it olaca?? anlam?na gelir.

(0) Bir oktahedron normal bir tetrahedrona yaz?labilir, ayr?ca oktahedronun d?rt (sekizden) y?z? tetrahedronun d?rt y?z?yle birle?tirilir, oktahedronun alt? k??esinin t?m? alt? kenar?n merkezleriyle birle?tirilir tetrahedronun.

(1) D?zenli bir tetrahedron, yaz?l? bir oktahedron (merkezde) ve d?rt tetrahedradan (k??elerde) olu?ur ve bu tetrahedran?n ve oktahedronun kenarlar?, normal bir tetrahedronun kenarlar?n?n yar?s? kadard?r.

(2) D?zenli bir tetrahedron bir k?p?n i?ine iki ?ekilde yaz?labilir ve tetrahedronun d?rt k??esi k?p?n d?rt k??esiyle ayn? hizada olacakt?r.

(3) D?zenli bir tetrahedron bir ikosahedronun i?ine yaz?labilir, ayr?ca tetrahedronun d?rt k??esi ikosahedronun d?rt k??esi ile birle?tirilecektir.

G?rev 1.

D?zg?n bir tetrahedronun kesi?en kenarlar?n?n birbirine dik oldu?unu kan?tlay?n.

??z?m:

?zin vermek D.H. d?zg?n bir tetrahedronun y?ksekli?i, H noktas? d?zg?n bir tetrahedronun merkezidir D ABC . O zaman AD do?ru par?as?n?n ABC taban? d?zlemine izd???m? do?ru par?as? olacakt?r. B.H. . ??nk? B.H. ?AC , o zaman ?? dik teoremine g?re e?imli BD ?AC .

G?rev 2.

D?zenli bir tetrahedron verildi?inde MAV'lar kenarl? 1. ?izgiler aras?ndaki mesafeyi bulun AL Ve MO, Nerede L- kaburgan?n ortas? MS , HAKKINDA-y?z merkezi ABC.

??z?m:

1. ?ki kesi?en ?izgi aras?ndaki mesafe, bir ?izgiden bu ?izgiye paralel ve ikinci ?izgiyi i?eren bir d?zleme ?izilen dikmenin uzunlu?udur.

2. Bir projeksiyon olu?turuyoruz AK b?l?m AL u?a?a ABC. U?ak AKL d?zleme dik ABC, ?izgiye paralel M.O. ve do?rudan i?erir AL. Bu, gerekli uzunlu?un dik uzunlu?un uzunlu?u oldu?u anlam?na gelir. A?IK, noktadan d??t? O?le AK .

3. Hadi bulal?m S D KHA iki ?ekilde.

SD = .

Di?er tarafta: S D KHA =

bu nedenle r.

Haydi bulal?m A?IK : r= .

G?rev 3.

??gen piramidin her kenar? PABC 1'e e?ittir; BD– ??genin y?ksekli?i ABC. E?kenar ??gen BDE bir a?? olu?turan bir d?zlemde yer al?r f kaburgal? AC ve noktalar P Ve e u?a??n bir taraf?na yat ABC. Noktalar aras?ndaki mesafeyi bulun P Ve e .

??z?m. Piramidin t?m kenarlar? PABC e?itse bu bir d?zg?n tetrahedrondur. ?zin vermek M– taban?n merkezi ABC , N– tepe noktas?n?n ortogonal projeksiyonu e e?kenar ??gen BDE u?a?a ABC ,k- orta BD ,F– bir noktadan b?rak?lan bir dikmenin taban? e y?ksekli?e ??LEDEN SONRA. d?rty?zl? PABC. ??nk? E.K. BD, o zaman ?? dik teoremine g?re N.K. BD, Bu y?zden EKN– d?zlemlerin olu?turdu?u dihedral a??n?n do?rusal a??s? ABC Ve BDE ve ??nk? NK || AC, O EKN = f . Sonra elimizde:

BD = , MD = , KD = , BD = , ??LEDEN SONRA. = ,

K.M. = KD - MD = - = , E.K. = BD · = , TR = E.K. g?nah f = g?nah f ,

NK = EKcos f = ??nk? f , Minnesota 2= NK 2+KM 2 = ??nk? 2f + ,

P.E. 2= EF 2+PF 2= MN 2 + (Ba?bakan - MF)2= MN 2 + (PM - TR)2 =

= ??nk? 2f + + ( - g?nah f )2 = ??nk? 2f + + - g?nah f + g?nah 2f == + + - g?nah f = - g?nah f = - g?nah f .

Buradan,

PE = = .

G?rev 4.

D?rt y?zl?n?n biti?ik y?zlerinin kesi?me y?kseklikleri aras?ndaki a??lar? bulun.

??z?m.

1 numaral? vaka.

?zin vermek B.K. Ve DF– kenarlar?n y?kseklikleri ABC Ve BCD. BK, FD = a . D?rt y?zl?n?n kenar?n?n uzunlu?unu ?u ?ekilde g?sterelim: A. Hadi ger?ekle?tirelim FL || B.K., Daha sonra a = DFL . , KL=LC.

D DLF :

; ; ; .

Durum No. 2 (y?kseklik farkl? ?ekilde yerle?tirilmi?tir).

B.K. Ve CN– kenarlar?n y?kseklikleri ABC Ve BCD. Hadi ger?ekle?tirelim FP || CN Ve FL || B.K. . ; . bulaca??z LP .YAPMAK– d?zenli bir tetrahedronun y?ksekli?i, YAPMAK = , Q– projeksiyon P u?a?a ABC , . ,

i?in kosin?s teoremini yazal?m. D ??g?c?ne kat?l?m :

D?z ?izgiler aras?ndaki a?? tan?m gere?i dar oldu?undan

B?l?m II. Bir lise matematik dersinde tetrahedron

§1. Okul ders kitaplar?nda “tetrahedron” konusunun sunumunun kar??la?t?rmal? ?zellikleri

Bir okul geometri dersinde “Tetrahedron” konusunun temellerini incelemeye olduk?a fazla zaman ayr?l?r. ??renciler hem matematik e?itiminin ?nceki y?llar?ndaki haz?rl?k derslerinden hem de ya?am deneyimlerinden bir piramidin (??gen dahil) ne oldu?unu bildiklerinden, bu konuyu ??retmede pratikte hi?bir metodolojik sorun yoktur. D?zenli bir tetrahedron, d?z muadili ile ili?kilidir - normal bir ??gen ve kenarlar?n veya y?zlerin e?itli?i ile kenarlar?n e?itli?i.

Bununla birlikte, ??renciler i?in konuyu incelemede sorunlar mevcuttur ve farkl? ders kitaplar? bunlar? farkl? ?ekillerde ??zmeye ?al???r (teorik materyalin sunulma s?ras?, problemlerin karma??kl?k d?zeyi vb.). D?rt y?zl?n?n incelenmesi a??s?ndan yayg?n olarak kullan?lan geometri ders kitaplar?n?n k?sa bir tan?m?n? verelim.

10-11. S?n?flar i?in “Geometri” ders kitab?nda “Tetrahedron” konusunun sunumu Atanasyan L. S. ve ark.

???NDE temel L. S. Atanasyan ve di?erlerinin lise 10-11. s?n?flar? i?in “Geometri” ders kitab?nda tetrahedron hakk?nda bilgi 7 paragrafta (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69) bulunabilir.

Ders kitab?n?n yazarlar? tetrahedronu d?rt ??genden olu?an bir y?zey olarak tan?mlamaktad?r. 10. s?n?f ders kitab?n?n teorik temelinden, tetrahedronun y?zleri, kenarlar? ve k??eleri, tetrahedronun b?l?mlerinin bir d?zlemle in?as? ve toplam y?zey alan?n?n hesaplanmas? hakk?nda bilgi edinebilirsiniz. tetrahedron dahil. ve kesilmi?tir (B?l?m III, § 2 “Piramit”).

Ders kitab?n?n teorik materyali kompakt ve bi?imsel olarak tekd?ze bir ?ekilde sunulmaktad?r. Baz? teorik materyaller ders kitab?n?n pratik k?sm?nda yer almaktad?r (baz? teoremlerin kan?tlar? problemlerde verilmektedir). Ders kitab?n?n pratik materyali iki zorluk seviyesine b?l?nm??t?r (“art?r?lm?? zorluktaki g?revler” olarak adland?r?lan ve ?zel bir “*” simgesiyle i?aretlenmi? olanlar vard?r). Ayr?ca ders kitab?n?n sonunda, baz?lar? tetrahedronla ilgili olan, olduk?a karma??k problemlerin yer ald??? bir problem kitab? bulunmaktad?r. Ders kitab?ndaki baz? problemlere bakal?m.

Sorun ??zme.

Sorun 1 (No. 300). D?zenli bir ??gen piramitte DABC puan E, F ve P- kenarlar?n orta noktalar? M.?. , AB ve A.D.. Piramidin taban?n?n kenar? e?itse kesitin t?r?n? belirleyin ve alan?n? bulun. A, yan kenar e?ittir B.

??z?m.

Noktalardan ge?en bir d?zlemin oldu?u bir b?l?m olu?turuyoruz E, F, P. ??genin orta ?izgisini ?izelim ABC , E.F. || AC ,

E.F. || klima, A A C yat?yor pl. D C.A., Ara? E.F. || pl. DCA. Kesme d?zlemi y?zle kesi?ecek DCA d?z bir ?izgide P.K.

??nk? kesit d?zlemi d?z bir ?izgiden ge?er E.F. d?zleme paralel DCA ve d?zlemle kesi?iyor DCA, sonra kesi?me ?izgisi PK?izgiye paralel E.F.

Hadi kenarda in?a edelim BDA b?l?m FP, ve e?i?inde BDC- b?l?m E.K. D?rtgen EFOK ve istenen b?l?md?r. E.F. || AC, PK || E.F. || klima, , , Ara? .

??nk? PK || EF ve PK = E.F. O EFPK- paralelkenar. B?ylece, ek || EP, EP-??genin orta ?izgisi BCD .

Kesi?en ?izgiler aras?ndaki a?? D.B. Ve C.A. e?ittir 90 °. Hadi kan?tlayal?m. Piramidin y?ksekli?ini in?a edelim YAPMAK. Nokta O- d?zg?n bir ??genin merkezi ABC. B?l?me devam edelim B?. kenarla kesi?ene kadar AC bu noktada M. Bir dik ??gende ABC: BM- dolay?s?yla y?kseklik, ortanca ve a??ortay. Bunu, do?runun ve d?zlemin dikli?ine dayanarak elde ederiz. , Daha sonra .

??nk? , PK || C.A. Ve E.K. || BD, Daha sonra EFPK- dikd?rtgen.

.

Sorun 2 (No. 692).

Piramidin taban? bacaklar? olan bir dik ??gendir A Ve B. Yan kenarlar?n?n her biri taban d?zlemine belli bir a??yla e?imlidir f . Piramidin hacmini bulun

??z?m:

ABCD- piramit, k??e ABC- dikd?rtgen , AC = b, BC = a, a??lar DAO, DBO, DCO e?ittir. bulaca??z VDABC0.

1) ?DAO=?ADC=?DBO bacak boyunca ve dar a??, yani AO=OC=OB=R etraf?nda ?evrelenmi? daire ?ABC.??nk? . ?ABC - o zaman dikd?rtgen .

2) G?nderen ? DOC : ; .

3) ; ; .

Pogorelova A.V. 7-11. S?n?flar i?in “Geometri” ders kitab?nda “Tetrahedron” konusunun sunumu.

A.V.'nin ba?ka bir temel ders kitab?nda. Pogorelova ve “Tetrahedron” konusuyla ilgili bir dereceye kadar di?er teorik materyaller 176-180, 186, 192, 199, 200 paragraflar?nda yer almaktad?r.

Paragraf 180 "D?zenli ?oky?zl?ler", "d?zenli tetrahedron" kavram?n?n bir tan?m?n? i?erir ("Bir tetrahedron, t?m kenarlar?n e?it oldu?u ??gen bir piramittir"), piramit ile ilgili baz? ?zelliklerin ve teoremlerin kan?t?, a?a??daki ?izimlerin ?izimleriyle g?sterilmi?tir. tetrahedron. Ancak bu ders kitab?nda ?eklin incelenmesine vurgu yap?lmam??t?r ve bu anlamda bilgi i?eri?i (tetrahedronla ilgili) d???k olarak de?erlendirilebilir. Ders kitab?n?n pratik materyali, taban?nda bir ??gen (asl?nda bir tetrahedron olan) bulunan bir piramit ile ilgili tatmin edici say?da g?rev i?ermektedir. Baz? problemlerin ??z?m?ne ?rnekler verelim.

Sorun ??zme.

Sorun 1 (“?oky?zl?ler” paragraf?ndan No. 41).

Piramidin taban?, taban? 12 cm, yan taraf? 10 cm olan ikizkenar ??gendir. Yan y?zleri tabanla e?it, her biri 45° i?eren dihedral a??lar olu?turur. Piramidin y?ksekli?ini bulun.

??z?m:

Bir dik ?izelim BU Y?ZDEN taban d?zlemine ve diklere S.K., S.M. Ve S.N. yanlara DABC. O zaman ?? dik teoremine g?re TAMAM BC, OM AC ve A?IK AB.

Daha sonra, SKO = SMO = SNO = 45° - verilen dihedral a??lar?n do?rusal a??lar? olarak. Bu nedenle dik ??genler SKO, SMO ve SNO bacak ve dar a?? a??s?ndan e?ittir . Bu y?zden Tamam=OM=A?IK, mesele bu HAKKINDA yaz?l? bir dairenin merkezidir DABC.

Dikd?rtgenin alan?n? ifade edelim ABC:

Di?er tarafta , . Bu y?zden ; OK=r=3 cm.??nk? bir dik ??gende ?OK dar a?? 45° , O DSOK ikizkenard?r ve Yani=Tamam= 3(cm) .

Problem 2 (“?oky?zl?lerin hacimleri” paragraf?ndan No. 43).

Taban? iki k??eli bir ??gen olan piramidin hacmini bulun a ve v; s?n?rl? daire yar??ap? R. Piramidin yan kenarlar? taban d?zlemine belli bir a??yla e?imlidir g.

??z?m.

Piramidin t?m yan kenarlar? taban d?zlemine ayn? a??da e?imli oldu?undan piramidin y?ksekli?i ? 1 ? tabana yak?n ?evrelenmi? bir dairenin merkezinden ge?er. Bu y?zden

DABC'de. O zaman sin?s teoremine g?re

Bu y?zden , , =

=.

Bir ??genin alan? :

Daha sonra .

Aleksandrova A.D. 10-11. S?n?flar i?in “Geometri” ders kitab?nda “Tetrahedron” konusunun sunumu.

A.D. Aleksandrov'un ders kitab?n? ele alal?m. ve di?erleri. “Geometri: 11. s?n?f ??rencileri i?in bir ders kitab?. derinlemesine matematik ?al??mas?yla." Bu ders kitab?nda tetrahedron'a ayr?lm?? ayr? paragraflar yoktur, ancak konu di?er paragraflardan par?alar halinde mevcuttur.

D?rt y?zl?den ilk kez §21.3'te bahsediliyor. Bu b?l?mdeki materyal, bir ?oky?zl?n?n ??genlenmesine ili?kin teoremi tart??maktad?r; ?rnek olarak, d??b?key bir piramidin ??genlenmesi ger?ekle?tirilir. Ders kitab?ndaki “?oky?zl?” kavram? iki ?ekilde yorumlan?r; kavram?n ikinci tan?m? do?rudan tetrahedronla ilgilidir: “?oky?zl?, sonlu say?da d?rty?zl?den olu?an bir ?ekildir…”. D?zenli piramit ve tetrahedronun simetrisinin baz? y?nleriyle ilgili bilgiler §23'te bulunabilir.

§26.2, Euler teoreminin (“d?zenli a?lar ?zerinde”) d?zenli ?oky?zl?ler (tetrahedron dahil) i?in uygulanmas?n? a??klar ve §26.4, bu ?ekillerin karakteristik simetri t?rlerini tart???r.

Ayr?ca ders kitab?nda tetrahedronun orta ?izgisi, k?tle merkezi (§35.5) ve izohedral tetrahedra s?n?f? hakk?nda bilgi bulabilirsiniz. Tetrahedronlarla ilgili problemlerin ??z?m? s?ras?nda birinci ve ikinci t?rden hareketler g?sterilmi?tir.

Ders kitab?n?n ay?rt edici bir ?zelli?i, yazarlar?n eri?ilebilir dil ve net bir sunum yap?s? ile birle?tirmeyi ba?ard?klar? y?ksek bilimsel karakteridir. Baz? problemlerin ??z?m?ne ?rnekler verelim.

Sorun ??zme.

G?rev 1.

Yan kenar? a olan belirli bir d?zg?n ??gen kesik piramitte, t?m y?zlere de?en bir k?re ve t?m kenarlara de?en bir k?re yerle?tirebiliriz. Piramidin tabanlar?n?n kenarlar?n? bulun.

??z?m.

?izimde “dolu” bir piramit ?izelim. Bu piramit, yani “dolu” piramidin y?ksekli?i, kesik olan?n ?st taban?na kadar olan k?sm?d?r. Sorun planimetrik bir soruna indirgenmi?tir ve bu k?relerden herhangi birinin ?izilmesine gerek yoktur. ??nk? Kesik bir piramidin i?ine t?m kenarlar?na dokunan bir k?re ?izebilir, ard?ndan yan y?z?ne bir daire ?izebilirsiniz. (Yar?ya b?lme kolayl??? a??s?ndan) ,'yi g?sterelim ve tarif edilen d?rtgen i?in ?unu elde ederiz:

Yaz?l? bir topun varl???ndan, bir yamu?un ("dolu" bir piramidin ?zeti) i?inde yer alan bir yar?m daire oldu?u, b?ylece merkezinin ortada yer ald??? ve kendisi de yamu?un di?er ?? kenar?na temas etti?i sonucu ??kar.

Topun merkezi ve temas noktalar?d?r. Daha sonra . Bu b?y?kl?kleri ve ile ifade edelim. ?tibaren : . ?tibaren : . Yamuktan: . Denklemi elde ederiz:

.(2)

Denklem (1) ve (2) sistemini ??zd?kten sonra tabanlar?n kenarlar?n?n e?it oldu?unu buluyoruz.

Sorun 2 .

Kenar? olan normal bir tetrahedronun i?inde A D?rt e?it k?re, her k?re di?er ?? k?reye ve tetrahedronun ?? y?z?ne dokunacak ?ekilde d?zenlenmi?tir. Bu k?relerin yar??ap?n? bulun.

??z?m .

Bu tetrahedron, y?ksekli?i, k?relerin merkezleri, d?z ?izginin d?zlemle kesi?me noktas?d?r. D?zleme te?et olan e?it k?relerin merkezlerinin, her biri topun yar??ap?na e?it olan (?u ?ekilde g?sterilir) e?it mesafelerde kald?r?ld???na dikkat edin. X). Bu, d?zlemlerin paralel oldu?u anlam?na gelir ve bu nedenle .

Ancak bir kenar? olan d?zg?n bir tetrahedronun y?ksekli?i nedir; kenar? 2 olan d?zg?n bir tetrahedronun y?ksekli?i nedir X ; .

Geriye sadece ifade etmek kal?yor. Noktan?n ??gen a??n?n i?inde yer ald???n? ve y?zlerinden belirli bir mesafe kadar uzakta oldu?unu ve ??gen a??n?n d?zlem a??lar?n?n e?it oldu?unu unutmay?n. Neyi elde etmek zor de?il. Denkleme var?yoruz:

basitle?tirmelerden sonra buradan elde ederiz.

Smirnova I.M.'nin 10-11. S?n?flar i?in “Geometri” ders kitab?nda “Tetrahedron” konusunun sunumu.

I.M. Smirnova'n?n be?eri bilimler 10-11. s?n?flar i?in ders kitab?nda "Tetrahedron" konusunun sunumu. A?a??daki dersler ?unlara ayr?lm??t?r: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

"Herhangi bir d??b?key ?oky?zl?, tabanlar? ?oky?zl?n?n y?zeyini olu?turan ortak bir tepe noktas?na sahip piramitlerden olu?abilir" teoremini inceledikten sonra, bu t?r ?oky?zl?lerin baz?lar? i?in Euler teoremi, ?zellikle de ko?ullar?n yerine getirilmesi dikkate al?n?r. Teorem ayn? zamanda ?z?nde bir tetrahedron olan ??gen piramit i?in de dikkate al?n?r.

Ders kitab? ilgin?tir ??nk? topolojiyi ve varl??? ayn? Euler teoremi kullan?larak do?rulanan topolojik olarak d?zenli ?oky?zl?leri (tetrahedron, oktahedron, ikosahedron, k?p, dodecahedron) inceler.

Ayr?ca ders kitab?nda “d?zenli piramit” kavram?n?n tan?m? da verilmektedir; Bir tetrahedronun yaz?l? ve ?evrelenmi? k?relerinin varl???na ili?kin teoremler ve tetrahedrona ili?kin baz? simetri ?zellikleri ele al?nmaktad?r. Son derste (35) ??gen piramidin hacmini bulmak i?in bir form?l verilmektedir.

Bu ders kitab?, ders kitab?n?n odak noktas? nedeniyle b?y?k miktarda a??klay?c? ve tarihi materyalin yan? s?ra az miktarda pratik materyalle karakterize edilmektedir. Ayr?ca Smirnova I.M.'nin ders kitab?n? da ele alal?m. ve di?erleri 10-11. s?n?f do?a bilimleri i?in.

Smirnova I.M.'nin 10-11. S?n?flar i?in “Geometri” ders kitab?nda “Tetrahedron” konusunun sunumu. vesaire.

Bu ders kitab? konular?n d?zeni ve ??z?m i?in ?nerilen problemlerin karma??kl?k d?zeyi bak?m?ndan ?nceki ders kitab?ndan farkl?l?k g?stermektedir. Materyalin sunumunun ay?rt edici bir ?zelli?i, ders kitab?nda d?rt tane bulunan “d?nemlere” b?l?nmesidir. D?rty?zl?den ilk paragrafta (“Stereometriye Giri?”) bahsedilmi?, “piramit” kavram? §3'te tan?mlanm??t?r.

?nceki ders kitab?nda oldu?u gibi, pratik materyal stereometrik ?ekillerin geli?tirilmesini i?eren g?revlerle desteklenmektedir. §26'daki materyalde bir tetrahedron i?ine yaz?lm?? bir k?reyle ilgili bir teorem bulabilirsiniz. Tetrahedronla ilgili teorik materyalin geri kalan? asl?nda yukar?da anlat?lan ders kitab?ndaki materyallerle ?rt??mektedir.

Sorun ??zme.

G?rev 1.

D?zenli bir tetrahedronun y?zeyi boyunca en k?sa yolu bulun ABCD noktalar? birle?tirme e Ve F, tetrahedronun kar??l?k gelen k??elerinden 7 cm uzakta bulunan yan y?zlerin y?ksekliklerinde bulunur. Bir tetrahedronun kenar? 20 cm'dir.

??z?m.

Bir tetrahedronun ?? y?z?n?n geli?imini ele alal?m. En k?sa yol, noktalar? birle?tiren bir segment olacakt?r. e Ve F. Uzunlu?u 20 cm'dir.

G?rev 2.

Piramidin taban?nda, bacaklar?ndan biri 3 cm olan ve ona biti?ik dar a?? 30 derece olan bir dik ??gen bulunur. Piramidin t?m yan kenarlar? taban d?zlemine 60 derecelik bir a??yla e?imlidir. Piramidin hacmini bulun.

??z?m.

ABC ??geninin alan?. Y?ksekli?in taban? ortad?r. SAC ??geni e?kenard?r. .

Dolay?s?yla piramidin hacmi e?ittir.

??z?m.

Atanasyan L.S.'nin ders kitab?n?n ay?rt edici bir ?zelli?i. vb., tetrahedronun incelenmesinin olduk?a erken ba?lamas?, materyalin kurs boyunca da??lm?? olmas? ve ?e?itli karma??kl?k seviyelerinde sunulmas?d?r. Pogorelov A.V. ders kitab?nda. materyal kompakt bir ?ekilde d?zenlenmi?tir, di?er mekansal fig?rlerin kavramlar? gibi “d?rt y?zl?” kavram? da olduk?a ge? tan?t?lm??t?r (10. s?n?f?n sonunda), ders kitab?nda sunulan pratik materyal k???k hacimlidir. Smirnova I.M. ders kitab?nda. ve pratik materyal gibi di?er teorik materyallerin hacmi k???kt?r, pratik g?revler d???k d?zeyde karma??kt?r, ders kitab? matematik tarihinden b?y?k miktarda materyal ile ay?rt edilir. Alexandrov A.D. ders kitab?nda. vb. materyalin karma??kl?k d?zeyi daha y?ksektir, materyalin kendisi daha ?e?itlidir, bir?ok pratik g?rev teorinin bir k?sm?n? i?erir, a??r? g?revler ve soru bi?iminde g?revler vard?r, bu da onu di?erlerinden ?ne ??kar?r.

§2. Ortaokul ??rencilerinde uzamsal d???nmenin geli?im d?zeyinin test edilmesi

Zeka, t?m insanlarda ortak olan ??renme veya anlama yetene?idir. Baz? insanlar bu yetene?e daha fazla sahiptir, baz?lar? ise daha az, ancak her insan bu yetene?i hayat? boyunca neredeyse hi? de?i?meden korur. Do?ru hareket edebilmemiz ve hatalar?m?zdan ders alabilmemiz zeka sayesindedir.

Psikolojide zeka, bilgiyi alg?lama ve onu temelde yeni olan di?er durumlarda kullanma yetene?i olarak tan?mlan?r. Test ko?ullar? alt?nda bir ki?inin ola?and??? durumlara ne kadar ba?ar?l? bir ?ekilde uyum sa?lad???n? belirlemek m?mk?nd?r. Bir test yoluyla genel entelekt?el geli?im d?zeyini belirlemek olduk?a zor ve zaman al?c? bir i?tir, bu nedenle bu ?al??man?n metni, mekansal d???nmenin geli?im d?zeyiyle ilgili soruyu yan?tlayan zeka testi metodolojisinin bir k?sm?n? kullanacakt?r. Uzamsal d???nme, pratik ve teorik alanda (hem g?r?n?r hem de hayali) y?nelim gerektiren problemlerin ??z?m?nde ger?ekle?en ?zel bir zihinsel aktivite t?r?d?r. En geli?mi? haliyle bu, mekansal ?zelliklerin ve ili?kilerin kaydedildi?i kal?plarla d???nmedir. D???nme, ?e?itli g?rsel temeller ?zerinde olu?turulan ilk g?r?nt?lerle ?al??arak bunlar?n de?i?tirilmesini, d?n??t?r?lmesini ve orijinalinden farkl? yeni g?r?nt?lerin yarat?lmas?n? sa?lar.

Kullan?lan test (“F. Carter, K. Russell'?n “First IQ Testi”nden “Uzamsal d???nmenin geli?im d?zeyinin mini testi”) t?m ya? gruplar? i?in evrenseldir ve az miktarda zaman al?r (30 dakika) . Testin metni ve anahtarlar? diploman?n “Ek No. 1”inde bulunabilir.