N?r man l?ser m?nga matematiska problem, s?rskilt de som intr?ffar f?re ?rskurs 10, ?r ordningen p? utf?rda ?tg?rder som kommer att leda till m?let tydligt definierade. S?dana problem inkluderar till exempel linj?ra och andragradsekvationer, linj?ra och kvadratiska olikheter, br?kekvationer och ekvationer som reduceras till andragrads. Principen f?r att framg?ngsrikt l?sa vart och ett av de n?mnda problemen ?r som f?ljer: du m?ste fastst?lla vilken typ av problem du l?ser, kom ih?g den n?dv?ndiga sekvensen av ?tg?rder som kommer att leda till det ?nskade resultatet, d.v.s. svara och f?lj dessa steg.

Det ?r uppenbart att framg?ng eller misslyckande med att l?sa ett visst problem fr?mst beror p? hur korrekt den typ av ekvation som l?ses best?ms, hur korrekt sekvensen av alla steg i dess l?sning reproduceras. Naturligtvis ?r det i det h?r fallet n?dv?ndigt att ha kompetens att utf?ra identiska transformationer och ber?kningar.

Situationen ?r annorlunda med trigonometriska ekvationer. Det ?r inte alls sv?rt att fastst?lla att ekvationen ?r trigonometrisk. Sv?righeter uppst?r n?r man ska best?mma sekvensen av ?tg?rder som skulle leda till r?tt svar.

Det ?r ibland sv?rt att best?mma dess typ baserat p? utseendet p? en ekvation. Och utan att k?nna till typen av ekvation ?r det n?stan om?jligt att v?lja r?tt bland flera dussin trigonometriska formler.

F?r att l?sa en trigonometrisk ekvation m?ste du f?rs?ka:

1. f?ra alla funktioner som ing?r i ekvationen till "samma vinklar";
2. bringa ekvationen till "identiska funktioner";
3. faktorisera v?nster sida av ekvationen osv.

L?t oss ?verv?ga grundl?ggande metoder f?r att l?sa trigonometriska ekvationer.

I. Reduktion till de enklaste trigonometriska ekvationerna

L?sningsdiagram

Steg 1. Uttryck en trigonometrisk funktion i termer av k?nda komponenter.

Steg 2. Hitta funktionsargumentet med hj?lp av formlerna:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n b?ge a + pn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + pn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + pn, n Є Z.

Steg 3. Hitta den ok?nda variabeln.

Exempel.

2 cos(3x – p/4) = -?2.

L?sning.

1) cos(3x – p/4) = -?2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Є Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Є Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Є Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Є Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

Svar: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

II. Variabel ers?ttning

L?sningsdiagram

Steg 1. Reducera ekvationen till algebraisk form med avseende p? en av de trigonometriska funktionerna.

Steg 2. Beteckna den resulterande funktionen med variabeln t (inf?r vid behov begr?nsningar f?r t).

Steg 3. Skriv ner och l?s den resulterande algebraiska ekvationen.

Steg 4. G?r en omv?nd ers?ttning.

Steg 5. L?s den enklaste trigonometriska ekvationen.

Exempel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

L?sning.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) L?t sin (x/2) = t, d?r |t| <= 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, uppfyller inte villkoret |t| <= 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Є Z;

x = p + 4pn, n Є Z.

Svar: x = p + 4pn, n Є Z.

III. Reduktionsmetod f?r ekvationsordning

L?sningsdiagram

Steg 1. Ers?tt denna ekvation med en linj?r, med hj?lp av formeln f?r att minska graden:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2. L?s den resulterande ekvationen med metoderna I och II.

Exempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

L?sning.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Є Z;

x = ±p/6 + pn, n Є Z.

Svar: x = ±p/6 + pn, n Є Z.

IV. Homogena ekvationer

L?sningsdiagram

Steg 1. Reducera denna ekvation till formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ekvation av f?rsta graden)

eller till utsikten

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ekvation av andra graden).

Steg 2. Dividera b?da sidor av ekvationen med

a) cos x ? 0;

b) cos 2 x ? 0;

och f? ekvationen f?r tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Steg 3. L?s ekvationen med k?nda metoder.

Exempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

L?sning.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin? x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ? 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) L?t d? tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, vilket betyder

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fr?n den f?rsta ekvationen x = p/4 + pn, n Є Z; fr?n den andra ekvationen x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Svar: x = p/4 + pn, n Є Z; x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Metod f?r att transformera en ekvation med hj?lp av trigonometriska formler

L?sningsdiagram

Steg 1. Anv?nd alla m?jliga trigonometriska formler och reducera denna ekvation till en ekvation l?st med metoderna I, II, III, IV.

Steg 2. L?s den resulterande ekvationen med hj?lp av k?nda metoder.

Exempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

L?sning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fr?n den f?rsta ekvationen 2x = p/2 + pn, n Є Z; fr?n den andra ekvationen cos x = -1/2.

Vi har x = p/4 + pn/2, n Є Z; fr?n den andra ekvationen x = ±(p – p/3) + 2pk, k Є Z.

Som ett resultat ?r x = p/4 + pn/2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Svar: x = p/4 + pn/2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

F?rm?gan och skickligheten att l?sa trigonometriska ekvationer ?r mycket viktigt, deras utveckling kr?ver betydande anstr?ngningar, b?de fr?n elevens och l?rarens sida.

M?nga problem med stereometri, fysik, etc. ?r f?rknippade med l?sningen av trigonometriska ekvationer. Processen att l?sa s?dana problem f?rkroppsligar m?nga av de kunskaper och f?rdigheter som f?rv?rvas genom att studera elementen i trigonometri.

Trigonometriska ekvationer intar en viktig plats i processen att l?ra sig matematik och personlig utveckling i allm?nhet.

Har du fortfarande fr?gor? Vet du inte hur man l?ser trigonometriska ekvationer?
F?r att f? hj?lp av en handledare, registrera dig.
F?rsta lektionen ?r gratis!

webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis kr?vs en l?nk till k?llan.

Jag bevittnade en g?ng ett samtal mellan tv? s?kande:

– N?r ska man l?gga till 2pn och n?r ska man l?gga till pn? Jag kommer bara inte ih?g!

– Och jag har samma problem.

Jag ville bara s?ga till dem: "Du beh?ver inte memorera, men f?rst?!"

Den h?r artikeln riktar sig fr?mst till gymnasieelever och, jag hoppas, kommer att hj?lpa dem att l?sa de enklaste trigonometriska ekvationerna med "f?rst?else":

Nummercirkel

Tillsammans med begreppet tallinje finns ocks? begreppet talcirkel. Som vi vet i ett rektangul?rt koordinatsystem kallas en cirkel med centrum i punkten (0;0) och radie 1 en enhetscirkel. L?t oss f?rest?lla oss en tallinje som en tunn tr?d och linda den runt denna cirkel: vi kommer att f?sta origo (punkt 0) till den "r?tta" punkten p? enhetscirkeln, vi lindar den positiva halvaxeln moturs och den negativa halvaxeln -axel i riktningen (Fig. 1). En s?dan enhetscirkel kallas en numerisk cirkel.

Egenskaper f?r talcirkeln

• Varje reellt tal ligger p? en punkt p? talcirkeln.
• Det finns ett o?ndligt antal reella tal vid varje punkt p? talcirkeln. Eftersom enhetscirkelns l?ngd ?r 2p, ?r skillnaden mellan tv? valfria tal i en punkt p? cirkeln lika med ett av talen ±2p; ±4p; ±6p; ...

L?t oss avsluta: genom att k?nna till ett av talen f?r punkt A, kan vi hitta alla talen i punkt A.

L?t oss rita diametern p? AC (Fig. 2). Eftersom x_0 ?r ett av talen i punkt A, d? talen x_0±p ; x_0±3p; x_0±5p; ... och bara de kommer att vara talen f?r punkt C. L?t oss v?lja ett av dessa tal, s?g, x_0+p, och anv?nda det f?r att skriva ner alla talen f?r punkt C: x_C=x_0+p+2pk ,k? Z. Observera att talen i punkterna A och C kan kombineras till en formel: x_(A ; C)=x_0+pk ,k?Z (f?r k = 0; ±2; ±4; ... f?r vi talen f?r punkt A, och f?r k = ±1 ±3 – nummer f?r punkt C).

L?t oss avsluta: genom att k?nna till ett av talen i en av punkterna A eller C i diametern AC, kan vi hitta alla siffror vid dessa punkter.

• Tv? motsatta tal finns p? punkter i cirkeln som ?r symmetriska med avseende p? abskissaxeln.

L?t oss rita ett vertikalt ackord AB (Fig. 2). Eftersom punkterna A och B ?r symmetriska kring Ox-axeln, ?r talet -x_0 bel?get i punkt B och d?rf?r ges alla tal f?r punkt B av formeln: x_B=-x_0+2pk ,k?Z. Vi skriver talen i punkterna A och B med en formel: x_(A ; B)=±x_0+2pk ,k?Z. L?t oss avsluta: genom att k?nna till ett av talen i en av punkterna A eller B i det vertikala ackordet AB, kan vi hitta alla siffror vid dessa punkter. L?t oss betrakta det horisontella ackordet AD och hitta numren f?r punkt D (Fig. 2). Eftersom BD ?r en diameter och talet -x_0 tillh?r punkt B, s? ?r -x_0 + p ett av talen f?r punkt D och d?rf?r ges alla siffror i denna punkt av formeln x_D=-x_0+p+ 2pk ,k?Z. Siffrorna i punkterna A och D kan skrivas med en formel: x_(A ; D)=(-1)^k?x_0+pk ,k?Z . (f?r k= 0; ±2; ±4; … f?r vi talen f?r punkt A, och f?r k = ±1; ±3; ±5; … – talen f?r punkt D).

L?t oss avsluta: Genom att k?nna till ett av talen i en av punkterna A eller D i det horisontella ackordet AD, kan vi hitta alla siffror vid dessa punkter.

Sexton huvudpunkter i talcirkeln

I praktiken inneb?r att l?sa de flesta av de enklaste trigonometriska ekvationerna sexton punkter p? en cirkel (Fig. 3). Vad ?r dessa prickar? R?da, bl? och gr?na prickar delar cirkeln i 12 lika delar. Eftersom l?ngden p? halvcirkeln ?r p, ?r l?ngden p? b?gen A1A2 p/2, l?ngden p? b?gen A1B1 ?r p/6 och l?ngden p? b?gen A1C1 ?r p/3.

Nu kan vi ange ett nummer i taget:

p/3 p? C1 och

Topparna p? den orangea kvadraten ?r mittpunkterna p? b?garna i varje fj?rdedel, d?rf?r ?r l?ngden p? b?gen A1D1 lika med p/4 och d?rf?r ?r p/4 ett av talen f?r punkt D1. Med hj?lp av talcirkelns egenskaper kan vi anv?nda formler f?r att skriva ner alla siffror p? alla markerade punkter i v?r cirkel. Koordinaterna f?r dessa punkter ?r ocks? markerade i figuren (vi kommer att utel?mna beskrivningen av deras f?rv?rv).

Efter att ha bem?strat ovanst?ende har vi nu tillr?ckliga f?rberedelser f?r att l?sa speciella fall (f?r nio v?rden av numret a) enklaste ekvationer.

L?s ekvationer

1)sinx=1/(2).

– Vad kr?vs av oss?

– Hitta alla de tal x vars sinus ?r lika med 1/2.

L?t oss komma ih?g definitionen av sinus: sinx – ordinatan f?r den punkt p? talcirkeln d?r talet x ?r placerat. Vi har tv? punkter p? cirkeln vars ordinata ?r lika med 1/2. Dessa ?r ?ndarna p? det horisontella ackordet B1B2. Det betyder att kravet "l?s ekvationen sinx=1/2" motsvarar kravet "hitta alla siffror i punkt B1 och alla tal i punkt B2."

2)sinx=-?3/2 .

Vi m?ste hitta alla siffror i punkterna C4 och C3.

3) sinx=1. P? cirkeln har vi bara en punkt med ordinatan 1 - punkt A2 och d?rf?r beh?ver vi bara hitta alla siffror f?r denna punkt.

Svar: x=p/2+2pk, k?Z.

4)sinx=-1 .

Endast punkt A_4 har ordinatan -1. Alla siffror f?r denna punkt kommer att vara ekvationens h?star.

Svar: x=-p/2+2pk, k?Z.

5) sinx=0 .

P? cirkeln har vi tv? punkter med ordinatan 0 - punkterna A1 och A3. Du kan ange siffrorna vid var och en av punkterna separat, men med tanke p? att dessa punkter ?r diametralt motsatta ?r det b?ttre att kombinera dem till en formel: x=pk,k?Z.

Svar: x=pk ,k?Z .

6)cosx=?2/2 .

L?t oss komma ih?g definitionen av cosinus: cosx ?r abskissan f?r den punkt p? talcirkeln d?r talet x ?r placerat. P? cirkeln har vi tv? punkter med abskissan ?2/2 - ?ndarna av det horisontella ackordet D1D4. Vi m?ste hitta alla siffror p? dessa punkter. L?t oss skriva ner dem och kombinera dem till en formel.

Svar: x=±p/4+2pk , k?Z .

7) cosx=-1/2 .

Vi m?ste hitta siffrorna i punkterna C_2 och C_3.

Svar: x=±2p/3+2pk , k?Z .

10) cosx=0 .

Endast punkterna A2 och A4 har abskissan 0, vilket betyder att alla siffror vid var och en av dessa punkter kommer att vara l?sningar till ekvationen.
.

L?sningarna p? systemets ekvation ?r talen i punkterna B_3 och B_4 Till cosx-olikheten<0 удовлетворяют только числа b_3
Svar: x=-5p/6+2pk, k?Z.

Observera att f?r varje till?tet v?rde p? x ?r den andra faktorn positiv och d?rf?r ?r ekvationen ekvivalent med systemet

L?sningarna till systemekvationen ?r antalet punkter D_2 och D_3. Siffrorna f?r punkt D_2 uppfyller inte olikheten sinx<=0,5, men talen f?r punkt D_3 g?r det.

blog.site, vid kopiering av material helt eller delvis kr?vs en l?nk till originalk?llan.

Trigonometriska ekvationer ?r inte ett l?tt ?mne. De ?r f?r olika.) Till exempel dessa:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+p /4) = cot(2x-p /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

O.d...

Men dessa (och alla andra) trigonometriska monster har tv? gemensamma och obligatoriska egenskaper. F?r det f?rsta - du kommer inte att tro det - det finns trigonometriska funktioner i ekvationerna.) F?r det andra: alla uttryck med x hittas inom samma funktioner. Och bara d?r! Om X dyker upp n?gonstans utanf?r, Till exempel, sin2x + 3x = 3, detta kommer redan att vara en ekvation av blandad typ. S?dana ekvationer kr?ver ett individuellt f?rh?llningss?tt. Vi kommer inte att ?verv?ga dem h?r.

Vi kommer inte att l?sa onda ekvationer i den h?r lektionen heller.) H?r ska vi ta itu med de enklaste trigonometriska ekvationerna. Varf?r? Ja f?r att l?sningen n?gra trigonometriska ekvationer best?r av tv? steg. I det f?rsta skedet reduceras den onda ekvationen till en enkel genom en m?ngd olika transformationer. P? den andra l?ses denna enklaste ekvation. Annars, inget s?tt.

S? om du har problem i det andra steget, ?r det f?rsta steget inte mycket meningsfullt.)

Hur ser element?ra trigonometriska ekvationer ut?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

H?r A st?r f?r vilket nummer som helst. N?gra.

F?rresten, inuti en funktion kanske det inte finns ett rent X, utan n?got slags uttryck, som:

cos(3x+p /3) = 1/2

o.d. Detta komplicerar livet, men p?verkar inte metoden f?r att l?sa en trigonometrisk ekvation.

Hur l?ser man trigonometriska ekvationer?

Trigonometriska ekvationer kan l?sas p? tv? s?tt. Det f?rsta s?ttet: att anv?nda logik och den trigonometriska cirkeln. Vi kommer att titta p? denna v?g h?r. Det andra s?ttet - att anv?nda minne och formler - kommer att diskuteras i n?sta lektion.

Det f?rsta s?ttet ?r tydligt, tillf?rlitligt och sv?rt att gl?mma.) Det ?r bra f?r att l?sa trigonometriska ekvationer, oj?mlikheter och alla m?jliga knepiga icke-standardiserade exempel. Logik ?r starkare ?n minne!)

L?sa ekvationer med hj?lp av en trigonometrisk cirkel.

Vi inkluderar element?r logik och f?rm?gan att anv?nda den trigonometriska cirkeln. Vet du inte hur? Men... Du kommer att ha sv?rt f?r trigonometri...) Men det spelar ingen roll. Ta en titt p? lektionerna "Trigonometrisk cirkel...... Vad ?r det?" och "M?ta vinklar p? en trigonometrisk cirkel." Allt ?r enkelt d?r. Till skillnad fr?n l?rob?cker...)

?h, du vet!? Och till och med bem?strat "Praktiskt arbete med den trigonometriska cirkeln"!? Grattis. Det h?r ?mnet kommer att vara n?ra och f?rst?eligt f?r dig.) Det som ?r s?rskilt gl?djande ?r att den trigonometriska cirkeln inte bryr sig om vilken ekvation du l?ser. Sinus, cosinus, tangent, cotangens - allt ?r sig likt f?r honom. Det finns bara en l?sningsprincip.

S? vi tar vilken element?r trigonometrisk ekvation som helst. ?tminstone detta:

cosx = 0,5

Vi m?ste hitta X. Att tala p? m?nskligt spr?k, du beh?ver hitta vinkeln (x) vars cosinus ?r 0,5.

Hur anv?nde vi cirkeln tidigare? Vi ritade en vinkel p? den. I grader eller radianer. Och direkt s?g trigonometriska funktioner f?r denna vinkel. L?t oss nu g?ra tv?rtom. L?t oss rita en cosinus p? cirkeln lika med 0,5 och omedelbart vi f?r se h?rn. Allt som ?terst?r ?r att skriva ner svaret.) Ja, ja!

Rita en cirkel och markera cosinus lika med 0,5. P? cosinusaxeln f?rst?s. S? h?r:

L?t oss nu rita vinkeln som denna cosinus ger oss. H?ll musen ?ver bilden (eller tryck p? bilden p? din surfplatta), och du f?r se just det h?r h?rnet X.

Vilken vinkels cosinus ?r 0,5?

x = p /3

cos 60°= cos( p /3) = 0,5

Vissa m?nniskor kommer att skratta skeptiskt, ja... Som, var det v?rt att g?ra en cirkel n?r allt redan ?r klart... Man kan f?rst?s skratta...) Men faktum ?r att detta ?r ett felaktigt svar. Eller r?ttare sagt, otillr?cklig. Cirkelk?nnare f?rst?r att det finns en hel dr?s andra vinklar h?r som ocks? ger en cosinus p? 0,5.

Om du v?nder den r?rliga sidan OA full tur, kommer punkt A att ?terg? till sin ursprungliga position. Med samma cosinus lika med 0,5. Dessa. vinkeln kommer att ?ndras med 360° eller 2p radianer, och cosinus - nej. Den nya vinkeln 60° + 360° = 420° kommer ocks? att vara en l?sning p? v?r ekvation, eftersom

Ett o?ndligt antal s?dana fullst?ndiga varv kan g?ras... Och alla dessa nya vinklar kommer att vara l?sningar p? v?r trigonometriska ekvation. Och de m?ste alla skrivas ner p? n?got s?tt som svar. Alla. Annars r?knas inte beslutet, ja...)

Matematik kan g?ra detta enkelt och elegant. Skriv ner i ett kort svar o?ndlig upps?ttning beslut. S? h?r ser det ut f?r v?r ekvation:

x = p /3 + 2p n, n ? Z

Jag ska dechiffrera det. Skriver fortfarande meningsfullt Det ?r trevligare ?n att dumt rita n?gra mystiska bokst?ver, eller hur?)

p /3 – det h?r ?r samma h?rn som vi s?g p? cirkeln och best?md enligt cosinustabellen.

2p ?r en fullst?ndig revolution i radianer.

n - detta ?r antalet kompletta, dvs. hela rpm Det ?r klart att n kan vara lika med 0, ±1, ±2, ±3.... och s? vidare. Som framg?r av en kort post:

n ? Z

n tillh?r ( ? ) upps?ttning heltal ( Z ). F?rresten, ist?llet f?r brevet n bokst?ver kan mycket v?l anv?ndas k, m, t etc.

Denna notation betyder att du kan ta vilket heltal som helst n . Minst -3, minst 0, minst +55. Vad du ?n vill. Om du ers?tter detta nummer i svaret f?r du en specifik vinkel, vilket definitivt kommer att vara l?sningen p? v?r h?rda ekvation.)

Eller med andra ord, x = p /3 ?r den enda roten till en o?ndlig m?ngd. F?r att f? alla andra r?tter r?cker det att l?gga till valfritt antal hela varv till p /3 ( n ) i radianer. Dessa. 2pn radian.

Alla? Inga. Jag f?rl?nger medvetet n?jet. F?r att komma ih?g b?ttre.) Vi fick bara en del av svaren p? v?r ekvation. Jag kommer att skriva den h?r f?rsta delen av l?sningen s? h?r:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 1 - inte bara en rot, utan en hel rad r?tter, nedskrivna i kort form.

Men det finns ?ven vinklar som ocks? ger en cosinus p? 0,5!

L?t oss ?terg? till v?r bild fr?n vilken vi skrev ner svaret. H?r ?r den:

H?ll musen ?ver bilden och vi ser en annan vinkel det ger ocks? en cosinus p? 0,5. Vad tycker du att det ?r lika med? Trianglarna ?r likadana... Ja! Det ?r lika med vinkeln X , bara f?rsenad i negativ riktning. Det h?r ?r h?rnet -X. Men vi har redan r?knat ut x. p /3 eller 60°. D?rf?r kan vi lugnt skriva:

x 2 = - p /3

Jo, naturligtvis l?gger vi till alla vinklar som erh?lls genom hela varv:

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

Det ?r allt nu.) P? den trigonometriska cirkeln vi s?g(vem f?rst?r f?rst?s)) Alla vinklar som ger en cosinus p? 0,5. Och vi skrev ner dessa vinklar i en kort matematisk form. Svaret resulterade i tv? o?ndliga serier av r?tter:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

Detta ?r det korrekta svaret.

Hoppas, allm?n princip f?r att l?sa trigonometriska ekvationer att anv?nda en cirkel ?r tydlig. Vi markerar cosinus (sinus, tangent, cotangens) fr?n den givna ekvationen p? en cirkel, ritar de vinklar som motsvarar den och skriver ner svaret. Naturligtvis m?ste vi ta reda p? vilka h?rn vi ?r s?g p? cirkeln. Ibland ?r det inte s? sj?lvklart. Tja, jag sa att logik kr?vs h?r.)

L?t oss till exempel titta p? en annan trigonometrisk ekvation:

T?nk p? att talet 0,5 inte ?r det enda m?jliga talet i ekvationer!) Det ?r bara bekv?mare f?r mig att skriva det ?n r?tter och br?k.

Vi arbetar enligt den allm?nna principen. Vi ritar en cirkel, markerar (p? sinusaxeln, f?rst?s!) 0,5. Vi ritar alla vinklar som motsvarar denna sinus p? en g?ng. Vi f?r denna bild:

L?t oss ta itu med vinkeln f?rst X under f?rsta kvartalet. Vi ?terkallar sinustabellen och best?mmer v?rdet p? denna vinkel. Det ?r en enkel sak:

x = p /6

Vi minns om fulla varv och med gott samvete skriver vi ner den f?rsta serien med svar:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

Halva jobbet ?r gjort. Men nu m?ste vi best?mma oss andra h?rnet... Det ?r knepigare ?n att anv?nda cosinus, ja... Men logiken r?ddar oss! Hur man best?mmer den andra vinkeln genom x? Det ?r l?tt! Trianglarna p? bilden ?r desamma, och det r?da h?rnet X lika med vinkel X . Endast den r?knas fr?n vinkeln p i negativ riktning. Det ?r d?rf?r det ?r r?tt.) Och f?r svaret beh?ver vi vinkeln, korrekt ber?knad, fr?n den positiva halvaxeln OX, dvs. fr?n en vinkel p? 0 grader.

Vi f?r mark?ren ?ver ritningen och ser allt. Jag tog bort det f?rsta h?rnet f?r att inte komplicera bilden. Vinkeln vi ?r intresserade av (ritad i gr?nt) kommer att vara lika med:

p - x

X vi vet detta p /6 . D?rf?r blir den andra vinkeln:

p - p /6 = 5p /6

?terigen kommer vi ih?g hur vi l?gger till hela varv och skriver ner den andra serien med svar:

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Det ?r allt. Ett komplett svar best?r av tv? serier av r?tter:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Tangent- och cotangentekvationer kan enkelt l?sas med samma allm?nna princip f?r att l?sa trigonometriska ekvationer. Om du f?rst?s vet hur man ritar tangent och kotangens p? en trigonometrisk cirkel.

I exemplen ovan anv?nde jag tabellv?rdet f?r sinus och cosinus: 0,5. Dessa. en av de betydelser som eleven k?nner till skyldig. L?t oss nu ut?ka v?ra m?jligheter till alla andra v?rden. Best?m, s? best?m dig!)

S? l?t oss s?ga att vi m?ste l?sa denna trigonometriska ekvation:

Det finns inget s?dant cosinusv?rde i de korta tabellerna. Vi ignorerar kallt detta fruktansv?rda faktum. Rita en cirkel, markera 2/3 p? cosinusaxeln och rita motsvarande vinklar. Vi f?r den h?r bilden.

L?t oss f?rst titta p? vinkeln i det f?rsta kvartalet. Om vi bara visste vad x ?r lika med skulle vi genast skriva ner svaret! Vi vet inte... Misslyckande!? Lugna! Matematik l?mnar inte sitt eget folk i trubbel! Hon kom p? b?gkosinus f?r det h?r fallet. Vet inte? F?rg?ves. Ta reda p? det, det ?r mycket enklare ?n du tror. Det finns inte en enda knepig besv?rjelse om "inversa trigonometriska funktioner" p? denna l?nk... Detta ?r ?verfl?digt i detta ?mne.

Om du ?r insatt, s?g bara till dig sj?lv: "X ?r en vinkel vars cosinus ?r lika med 2/3." Och omedelbart, rent av definitionen av b?gkosinus, kan vi skriva:

Vi kommer ih?g de ytterligare varven och skriver lugnt ner den f?rsta serien av r?tter i v?r trigonometriska ekvation:

x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

Den andra serien av r?tter f?r den andra vinkeln skrivs n?stan automatiskt ned. Allt ?r sig likt, bara X (arccos 2/3) kommer att ha ett minus:

x 2 = - b?gar 2/3 + 2p n, n ? Z

Och det ?r det! Detta ?r det korrekta svaret. ?nnu enklare ?n med tabellv?rden. Det finns inget behov av att komma ih?g n?got.) F?rresten, de mest uppm?rksamma kommer att m?rka att den h?r bilden visar l?sningen genom b?gekosinus i huvudsak inte annorlunda ?n bilden f?r ekvationen cosx = 0,5.

Det st?mmer! Den allm?nna principen ?r just det! Jag ritade medvetet tv? n?stan identiska bilder. Cirkeln visar oss vinkeln X genom sin cosinus. Om det ?r en tabellformad cosinus eller inte ?r ok?nt f?r alla. Vilken typ av vinkel detta ?r, p /3, eller vad b?gcosinus ?r - det ?r upp till oss att best?mma.

Samma l?t med sinus. Till exempel:

Rita en cirkel igen, markera sinus lika med 1/3, rita vinklarna. Det h?r ?r bilden vi f?r:

Och ?terigen ?r bilden n?stan densamma som f?r ekvationen sinx = 0,5.?terigen b?rjar vi fr?n h?rnet i f?rsta kvarten. Vad ?r X lika med om dess sinus ?r 1/3? Ingen fr?ga!

Nu ?r det f?rsta paketet med r?tter klar:

x 1 = b?ge 1/3 + 2p n, n ? Z

L?t oss ta itu med den andra vinkeln. I exemplet med ett tabellv?rde p? 0,5 var det lika med:

p - x

Det blir precis likadant h?r ocks?! Endast x ?r annorlunda, arcsin 1/3. S? vad!? Du kan s?kert skriva ner det andra paketet med r?tter:

x 2 = p - b?ge 1/3 + 2p n, n ? Z

Detta ?r ett helt korrekt svar. ?ven om det inte ser s?rskilt bekant ut. Men det ?r klart, hoppas jag.)

S? h?r l?ser man trigonometriska ekvationer med hj?lp av en cirkel. Denna v?g ?r tydlig och begriplig. Det ?r han som sparar i trigonometriska ekvationer med val av r?tter p? ett givet intervall, i trigonometriska olikheter - de l?ses i allm?nhet n?stan alltid i en cirkel. Kort sagt, i alla uppgifter som ?r lite sv?rare ?n vanliga.

L?t oss till?mpa kunskap i praktiken?)

L?s trigonometriska ekvationer:

F?rst, enklare, direkt fr?n den h?r lektionen.

Nu ?r det mer komplicerat.

Tips: h?r m?ste du t?nka p? cirkeln. Personligen.)

Och nu ?r de till det yttre enkla... De kallas ocks? f?r specialfall.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tips: h?r m?ste du r?kna ut i en cirkel var det finns tv? serier med svar och var det finns en... Och hur man skriver en ist?llet f?r tv? serier av svar. Ja, s? att inte en enda rot fr?n ett o?ndligt antal g?r f?rlorad!)

Tja, v?ldigt enkelt):

sinx = 0,3

cosx = p

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tips: h?r beh?ver du veta vad arcsine och arccosine ?r? Vad ?r arctangens, arccotangent? De enklaste definitionerna. Men du beh?ver inte komma ih?g n?gra tabellv?rden!)

Svaren ?r naturligtvis en enda r?ra):

x 1= b?ge0,3 + 2p n, n ? Z
x 2= p - b?ge0,3 + 2

Allt l?ser sig inte? H?nder. L?s lektionen igen. Endast eftert?nksamt(det finns ett s?dant f?rlegat ord...) Och f?lj l?nkarna. Huvudl?nkarna handlar om cirkeln. Utan det ?r trigonometri som att korsa v?gen med ?gonbindel. Ibland fungerar det.)

Om du gillar den h?r sidan...

F?rresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser f?r dig.)

Du kan tr?na p? att l?sa exempel och ta reda p? din niv?. Testning med omedelbar verifiering. L?t oss l?ra oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Att uppr?tth?lla din integritet ?r viktigt f?r oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi anv?nder och lagrar din information. L?s igenom v?r sekretesspraxis och l?t oss veta om du har n?gra fr?gor.

Insamling och anv?ndning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan anv?ndas f?r att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att l?mna din personliga information n?r som helst n?r du kontaktar oss.

Nedan finns n?gra exempel p? de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan anv?nda s?dan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• N?r du skickar in en ans?kan p? webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi anv?nder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in g?r att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Fr?n tid till annan kan vi anv?nda din personliga information f?r att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan ?ven anv?nda personuppgifter f?r interna ?ndam?l, s?som att utf?ra revisioner, dataanalyser och olika unders?kningar f?r att f?rb?ttra de tj?nster vi tillhandah?ller och ge dig rekommendationer ang?ende v?ra tj?nster.
• Om du deltar i en prisdragning, t?vling eller liknande kampanj kan vi anv?nda informationen du tillhandah?ller f?r att administrera s?dana program.

Utl?mnande av information till tredje part

Vi l?mnar inte ut informationen fr?n dig till tredje part.

Undantag:

• Om n?dv?ndigt - i enlighet med lagen, r?ttsliga f?rfaranden, i r?ttsliga f?rfaranden och/eller p? grundval av offentliga f?rfr?gningar eller f?rfr?gningar fr?n statliga myndigheter p? Ryska federationens territorium - att avsl?ja din personliga information. Vi kan ocks? komma att avsl?ja information om dig om vi fastst?ller att ett s?dant avsl?jande ?r n?dv?ndigt eller l?mpligt f?r s?kerhets-, brottsbek?mpande eller andra offentliga ?ndam?l.
• I h?ndelse av en omorganisation, sammanslagning eller f?rs?ljning kan vi komma att ?verf?ra den personliga information vi samlar in till till?mplig eftertr?dande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar f?rsiktighets?tg?rder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - f?r att skydda din personliga information fr?n f?rlust, st?ld och missbruk, s?v?l som obeh?rig ?tkomst, avsl?jande, ?ndring och f?rst?relse.

Respektera din integritet p? f?retagsniv?

F?r att s?kerst?lla att din personliga information ?r s?ker kommunicerar vi sekretess- och s?kerhetsstandarder till v?ra anst?llda och till?mpar strikt sekretesspraxis.

De enklaste trigonometriska ekvationerna l?ses som regel med formler. L?t mig p?minna dig om att de enklaste trigonometriska ekvationerna ?r:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x ?r vinkeln som ska hittas,
a ?r vilket tal som helst.

Och h?r ?r formlerna med vilka du omedelbart kan skriva ner l?sningarna till dessa enklaste ekvationer.

F?r sinus:

F?r cosinus:

x = ± arccos a + 2p n, n ? Z

F?r tangent:

x = arktan a + p n, n ? Z

F?r cotangens:

x = arcctg a + p n, n ? Z

Egentligen ?r detta den teoretiska delen av att l?sa de enklaste trigonometriska ekvationerna. Dessutom allt!) Ingenting alls. Men antalet fel i detta ?mne ?r helt enkelt utanf?r diagrammet. Speciellt om exemplet avviker n?got fr?n mallen. Varf?r?

Ja, f?r att m?nga skriver ner dessa bokst?ver, utan att f?rst? deras inneb?rd alls! Han skriver ner med f?rsiktighet, s? att det inte h?nder n?got...) Detta m?ste redas ut. Trigonometri f?r m?nniskor, eller m?nniskor f?r trigonometri, trots allt!?)

L?t oss ta reda p? det?

En vinkel kommer att vara lika med arccos a, andra: -arccos a.

Och det kommer alltid att fungera s? h?r. F?r vilken som helst A.

Om du inte tror mig, f?r muspekaren ?ver bilden eller tryck p? bilden p? din surfplatta.) Jag ?ndrade numret A till n?got negativt. Hur som helst, vi har ett h?rn arccos a, andra: -arccos a.

D?rf?r kan svaret alltid skrivas som tv? serier av r?tter:

x 1 = arccos a + 2p n, n ? Z

x 2 = - arccos a + 2p n, n ? Z

L?t oss kombinera dessa tv? serier till en:

x= ± arccos a + 2p n, n ? Z

Och det ?r allt. Vi har f?tt en generell formel f?r att l?sa den enklaste trigonometriska ekvationen med cosinus.

Om du f?rst?r att detta inte ?r n?gon form av ?vervetenskaplig visdom, men bara en f?rkortad version av tv? serier av svar, Du kommer ?ven att kunna hantera uppgifter "C". Med oj?mlikheter, med att v?lja r?tter fr?n ett givet intervall... D?r fungerar inte svaret med plus/minus. Men om du behandlar svaret p? ett aff?rsm?ssigt s?tt och delar upp det i tv? separata svar kommer allt att l?sas.) Det ?r faktiskt d?rf?r vi unders?ker det. Vad, hur och var.

I den enklaste trigonometriska ekvationen

sinx = a

vi f?r ocks? tv? serier av r?tter. Alltid. Och dessa tv? serier kan ocks? spelas in i en rad. Bara den h?r raden blir sv?rare:

x = (-1) n b?ge a + p n, n ? Z

Men essensen f?rblir densamma. Matematiker utformade helt enkelt en formel f?r att g?ra en ist?llet f?r tv? poster f?r serier av r?tter. Det var allt!

L?t oss kolla matematikerna? Och man vet aldrig...)

I f?reg?ende lektion diskuterades l?sningen (utan n?gra formler) av en trigonometrisk ekvation med sinus i detalj:

Svaret resulterade i tv? serier av r?tter:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Om vi l?ser samma ekvation med formeln f?r vi svaret:

x = (-1) n b?ge 0,5 + p n, n ? Z

Egentligen ?r detta ett oavslutat svar.) Det m?ste eleven veta arcsin 0,5 = p /6. Det fullst?ndiga svaret skulle vara:

x = (-1)n p /6+ p n, n ? Z

Detta v?cker en intressant fr?ga. Svara via x 1; x 2 (det h?r ?r r?tt svar!) och genom ensam X (och det h?r ?r det korrekta svaret!) - ?r de samma sak eller inte? Vi f?r reda p? det nu.)

Vi ers?tter i svaret med x 1 v?rden n =0; 1; 2; etc., vi r?knar, vi f?r en serie r?tter:

xl = p/6; 13p/6; 25p/6 och s? vidare.

Med samma substitution som svar med x 2 , vi f?r:

x 2 = 5p/6; 17p/6; 29p/6 och s? vidare.

L?t oss nu byta ut v?rdena n (0; 1; 2; 3; 4...) i den allm?nna formeln f?r singel X . Det vill s?ga, vi h?jer minus ett till nollpotentialen, sedan till f?rsta, andra osv. Jo, naturligtvis, vi ers?tter 0 i den andra termen; 1; 2 3; 4 osv. Och vi r?knar. Vi f?r serien:

x = p/6; 5p/6; 13p/6; 17p/6; 25p/6 och s? vidare.

Det ?r allt du kan se.) Den allm?nna formeln ger oss exakt samma resultat liksom de tv? svaren separat. Bara allt p? en g?ng, i ordning. Matematikerna l?t sig inte luras.)

Formler f?r att l?sa trigonometriska ekvationer med tangent och cotangens kan ocks? kontrolleras. Men det kommer vi inte.) De ?r redan enkla.

Jag skrev ut all denna ers?ttning och verifiering specifikt. H?r ?r det viktigt att f?rst? en enkel sak: det finns formler f?r att l?sa element?ra trigonometriska ekvationer, bara en kort sammanfattning av svaren. F?r denna korthet var vi tvungna att infoga plus/minus i cosinusl?sningen och (-1) n i sinusl?sningen.

Dessa inl?gg st?r inte p? n?got s?tt i uppgifter d?r du bara beh?ver skriva ner svaret p? en element?r ekvation. Men om du beh?ver l?sa en oj?mlikhet, eller d? m?ste du g?ra n?got med svaret: v?lj r?tter p? ett intervall, kolla efter ODZ, etc., kan dessa ins?ttningar l?tt st?ra en person.

S? vad ska jag g?ra? Ja, antingen skriv svaret i tv? serier, eller l?s ekvationen/olikheten med hj?lp av den trigonometriska cirkeln. D? f?rsvinner dessa ins?ttningar och livet blir l?ttare.)

Vi kan sammanfatta.

F?r att l?sa de enklaste trigonometriska ekvationerna finns f?rdiga svarsformler. Fyra stycken. De ?r bra f?r att omedelbart skriva ner l?sningen till en ekvation. Till exempel m?ste du l?sa ekvationerna:

sinx = 0,3

L?tt: x = (-1) n b?ge 0,3 + p n, n ? Z

cosx = 0,2

Inga problem: x = ± b?gar 0,2 + 2p n, n ? Z

tgx = 1,2

L?tt: x = arktan 1,2 + p n, n ? Z

ctgx = 3,7

En kvar: x= arcctg3,7 + p n, n ? Z

cos x = 1,8

Om du, lysande av kunskap, omedelbart skriver svaret:

x= ± b?gar 1,8 + 2p n, n ? Z

d? lyser du redan, det h?r... det... fr?n en p?l.) R?tt svar: det finns inga l?sningar. F?rst?r inte varf?r? L?s vad arc cosinus ?r. Dessutom, om det p? h?ger sida av den ursprungliga ekvationen finns tabellv?rden av sinus, cosinus, tangent, cotangens, - 1; 0; ?3; 1/2; ?3/2 etc. - svaret genom valven kommer att vara of?rdigt. B?gar m?ste omvandlas till radianer.

Och om man st?ter p? oj?mlikhet, typ

d? ?r svaret:

x pn, n ? Z

det finns s?llsynt nonsens, ja...) H?r m?ste du l?sa med hj?lp av den trigonometriska cirkeln. Vad vi kommer att g?ra i motsvarande ?mne.

F?r den som hj?ltemodigt l?ser till dessa rader. Jag kan helt enkelt inte l?ta bli att uppskatta dina enorma anstr?ngningar. Bonus f?r dig.)

Bonus:

N?r man skriver ner formler i en alarmerande stridssituation blir ?ven rutinerade n?rdar ofta f?rvirrade ?ver var pn, och var 2p n. H?r ?r ett enkelt knep f?r dig. I alla formler v?rda pn. F?rutom den enda formeln med b?gcosinus. Den st?r d?r 2pn. Tv? peen. Nyckelord - tv?. I samma formel finns det tv? tecken i b?rjan. Plus och minus. Och d?r, och d?r - tv?.

S? om du skrev tv? tecken f?re b?gen cosinus, det ?r l?ttare att komma ih?g vad som kommer att h?nda i slutet tv? peen. Och det h?nder ocks? tv?rtom. Personen kommer att missa tecknet ± , kommer till slutet, skriver korrekt tv? Pien, och han kommer till besinning. Det ?r n?got som ligger framf?r oss tv? tecken! Personen kommer tillbaka till b?rjan och r?ttar till misstaget! S? h?r.)

Om du gillar den h?r sidan...

F?rresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser f?r dig.)

Du kan tr?na p? att l?sa exempel och ta reda p? din niv?. Testning med omedelbar verifiering. L?t oss l?ra oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.