N?r man l?ser m?nga matteproblem, s?rskilt de som intr?ffar f?re ?rskurs 10, ?r ordningen p? utf?rda ?tg?rder som kommer att leda till m?let tydligt definierade. S?dana problem inkluderar till exempel linj?ra och andragradsekvationer, linj?ra och kvadratiska olikheter, br?kekvationer och ekvationer som reduceras till andragrads. Principen f?r framg?ngsrik l?sning av var och en av de n?mnda uppgifterna ?r f?ljande: det ?r n?dv?ndigt att fastst?lla vilken typ av uppgift som l?ses, kom ih?g den n?dv?ndiga sekvensen av ?tg?rder som kommer att leda till det ?nskade resultatet, d.v.s. svara och f?lj dessa steg.

Uppenbarligen beror framg?ng eller misslyckande i att l?sa ett visst problem huvudsakligen p? hur korrekt typen av ekvation som l?ses best?ms, hur korrekt sekvensen av alla steg i dess l?sning reproduceras. Naturligtvis, i det h?r fallet, ?r det n?dv?ndigt att ha f?rdigheter f?r att utf?ra identiska transformationer och ber?kningar.

En annan situation uppst?r med trigonometriska ekvationer. Det ?r inte sv?rt att fastst?lla det faktum att ekvationen ?r trigonometrisk. Sv?righeter uppst?r n?r man ska best?mma sekvensen av ?tg?rder som skulle leda till r?tt svar.

Det ?r ibland sv?rt att best?mma dess typ genom utseendet p? en ekvation. Och utan att k?nna till typen av ekvation ?r det n?stan om?jligt att v?lja r?tt bland flera dussin trigonometriska formler.

F?r att l?sa den trigonometriska ekvationen m?ste vi f?rs?ka:

1. f?ra alla funktioner som ing?r i ekvationen till "samma vinklar";
2. bringa ekvationen till "samma funktioner";
3. faktorisera v?nster sida av ekvationen osv.

?verv?ga grundl?ggande metoder f?r att l?sa trigonometriska ekvationer.

I. Reduktion till de enklaste trigonometriska ekvationerna

L?sningsschema

Steg 1. Uttryck den trigonometriska funktionen i termer av k?nda komponenter.

Steg 2 Hitta funktionsargument med formler:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n b?ge i a + pn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + pn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + pn, n Є Z.

Steg 3 Hitta en ok?nd variabel.

Exempel.

2 cos(3x – p/4) = -?2.

L?sning.

1) cos(3x - p/4) = -?2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Є Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Є Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Є Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Є Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

Svar: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

II. Variabel substitution

L?sningsschema

Steg 1. Ta ekvationen till en algebraisk form med avseende p? en av de trigonometriska funktionerna.

Steg 2 Beteckna den resulterande funktionen med variabeln t (inf?r vid behov begr?nsningar f?r t).

Steg 3 Skriv ner och l?s den resulterande algebraiska ekvationen.

Steg 4 G?r en omv?nd substitution.

Steg 5 L?s den enklaste trigonometriska ekvationen.

Exempel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

L?sning.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) L?t sin (x/2) = t, d?r |t| <= 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2 uppfyller inte villkoret |t| <= 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Є Z;

x = p + 4pn, n Є Z.

Svar: x = p + 4pn, n Є Z.

III. Reduktionsmetod f?r ekvationsordning

L?sningsschema

Steg 1. Ers?tt denna ekvation med en linj?r med hj?lp av effektreduktionsformlerna:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2 L?s den resulterande ekvationen med metoderna I och II.

Exempel.

cos2x + cos2x = 5/4.

L?sning.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Є Z;

x = ±p/6 + pn, n Є Z.

Svar: x = ±p/6 + pn, n Є Z.

IV. Homogena ekvationer

L?sningsschema

Steg 1. Ta med denna ekvation till formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ekvation av f?rsta graden)

eller till utsikten

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ekvation av andra graden).

Steg 2 Dividera b?da sidor av ekvationen med

a) cos x ? 0;

b) cos 2 x ? 0;

och f? ekvationen f?r tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Steg 3 L?s ekvationen med hj?lp av k?nda metoder.

Exempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

L?sning.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin? x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ? 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) L?t d? tg x = t

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, allts?

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fr?n den f?rsta ekvationen x = p/4 + pn, n Є Z; fr?n den andra ekvationen x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Svar: x = p/4 + pn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Metod f?r att transformera en ekvation med hj?lp av trigonometriska formler

L?sningsschema

Steg 1. Anv?nd alla typer av trigonometriska formler, f?ra denna ekvation till en ekvation som kan l?sas med metoderna I, II, III, IV.

Steg 2 L?s den resulterande ekvationen med hj?lp av k?nda metoder.

Exempel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

L?sning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fr?n den f?rsta ekvationen 2x = p/2 + pn, n Є Z; fr?n den andra ekvationen cos x = -1/2.

Vi har x = p/4 + pn/2, n Є Z; fr?n den andra ekvationen x = ±(p – p/3) + 2pk, k Є Z.

Som ett resultat, x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Svar: x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

F?rm?gan och f?rdigheterna att l?sa trigonometriska ekvationer ?r mycket viktigt, deras utveckling kr?ver avsev?rd anstr?ngning, b?de fr?n elevens och l?rarens sida.

M?nga problem med stereometri, fysik etc. ?r f?rknippade med l?sningen av trigonometriska ekvationer. Processen att l?sa s?dana problem inneh?ller s? att s?ga m?nga av de kunskaper och f?rdigheter som f?rv?rvas n?r man studerar elementen i trigonometri.

Trigonometriska ekvationer intar en viktig plats i processen att l?ra ut matematik och personlighetsutveckling i allm?nhet.

Har du n?gra fr?gor? Vet du inte hur man l?ser trigonometriska ekvationer?
F?r att f? hj?lp av en handledare – anm?l dig.
F?rsta lektionen ?r gratis!

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, kr?vs en l?nk till k?llan.

En g?ng bevittnade jag ett samtal mellan tv? s?kande:

– N?r beh?ver du l?gga till 2pn, och n?r - pn? Jag kommer inte ih?g!

– Och jag har samma problem.

Jag ville s?ga till dem: "Det ?r inte n?dv?ndigt att memorera, utan att f?rst?!"

Den h?r artikeln riktar sig fr?mst till gymnasieelever och, hoppas jag, kommer att hj?lpa dem med "f?rst?else" f?r att l?sa de enklaste trigonometriska ekvationerna:

Nummercirkel

Tillsammans med begreppet tallinje finns ocks? begreppet talcirkel. Som vi vet, i ett rektangul?rt koordinatsystem kallas en cirkel med centrum i punkten (0; 0) och radien 1 en enhetscirkel. F?rest?ll dig en tallinje med en tunn tr?d och linda den runt denna cirkel: referenspunkten (punkt 0), f?st den vid den "r?tta" punkten p? enhetscirkeln, linda den positiva halvaxeln moturs och den negativa halvaxeln i riktningen (fig. 1). En s?dan enhetscirkel kallas en talcirkel.

Talcirkelegenskaper

• Varje reellt tal finns p? en punkt p? talcirkeln.
• Det finns o?ndligt m?nga reella tal p? varje punkt i talcirkeln. Eftersom enhetscirkelns l?ngd ?r 2p, ?r skillnaden mellan tv? valfria tal i en punkt p? cirkeln lika med ett av talen ±2p; ±4p; ±6p; …

L?t oss avsluta: genom att k?nna till ett av talen f?r punkt A, kan vi hitta alla talen i punkt A.

L?t oss rita AC-diametern (Fig. 2). Eftersom x_0 ?r ett av talen i punkten A, d? talen x_0±p ; x_0±3p; x_0±5p; … och bara de kommer att vara talen f?r punkten C. L?t oss v?lja ett av dessa tal, s?g, x_0+p, och anv?nda det f?r att skriva ner alla talen f?r punkten C: x_C=x_0+p+2pk ,k? Z. Observera att talen i punkterna A och C kan kombineras till en formel: x_(A ; C)=x_0+pk ,k?Z (f?r k = 0; ±2; ±4; ... f?r vi talen f?r punkt A, och f?r k = ±1, ±3, ±5, … ?r numren f?r punkten C).

L?t oss avsluta: genom att k?nna till ett av talen p? en av punkterna A eller C i diametern AC, kan vi hitta alla siffror p? dessa punkter.

• Tv? motsatta tal finns p? punkter i cirkeln som ?r symmetriska kring abskissaxeln.

L?t oss rita ett vertikalt ackord AB (Fig. 2). Eftersom punkterna A och B ?r symmetriska kring Ox-axeln, ?r talet -x_0 bel?get i punkt B och d?rf?r ges alla tal f?r punkt B av formeln: x_B=-x_0+2pk ,k?Z. Vi skriver talen i punkterna A och B med en formel: x_(A ; B)=±x_0+2pk ,k?Z. L?t oss avsluta: genom att k?nna till ett av talen i en av punkterna A eller B i det vertikala ackordet AB, kan vi hitta alla siffror vid dessa punkter. Betrakta det horisontella ackordet AD och hitta numren p? punkten D (Fig. 2). Eftersom BD ?r diametern och talet -x_0 tillh?r punkt B, s? ?r -x_0 + p ett av talen f?r punkt D och d?rf?r ges alla tal i denna punkt av formeln x_D=-x_0+p+2pk ,k?Z. Tal i punkterna A och D kan skrivas med en formel: x_(A ; D)=(-1)^k?x_0+pk ,k?Z . (f?r k= 0; ±2; ±4; ... f?r vi talen f?r punkt A, och f?r k = ±1; ±3; ±5; ... - talen f?r punkt D).

L?t oss avsluta: genom att k?nna till ett av talen i en av punkterna A eller D i det horisontella ackordet AD, kan vi hitta alla siffror vid dessa punkter.

Sexton huvudpunkter i talcirkeln

I praktiken ?r l?sningen av de flesta av de enklaste trigonometriska ekvationerna associerad med sexton punkter i cirkeln (fig. 3). Vad ?r dessa prickar? R?da, bl? och gr?na prickar delar cirkeln i 12 lika delar. Eftersom l?ngden p? halvcirkeln ?r p, ?r l?ngden p? b?gen A1A2 p/2, l?ngden p? b?gen A1B1 ?r p/6 och l?ngden p? b?gen A1C1 ?r p/3.

Nu kan vi ange ett nummer p? punkterna:

p/3 p? С1 och

Topparna p? den orangea kvadraten ?r mittpunkterna p? b?garna i varje fj?rdedel, s? l?ngden p? b?gen A1D1 ?r lika med p/4, och d?rf?r ?r p/4 ett av talen f?r punkten D1. Med hj?lp av talcirkelns egenskaper kan vi skriva ner alla siffror vid alla markerade punkter i v?r cirkel med formler. Figuren visar ocks? koordinaterna f?r dessa punkter (vi utel?mnar beskrivningen av deras f?rv?rv).

Efter att ha l?rt oss ovanst?ende har vi nu tillr?ckliga f?rberedelser f?r att l?sa speciella fall (f?r nio v?rden av numret a) de enklaste ekvationerna.

L?s ekvationer

1)sinx=1/(2).

– Vad kr?vs av oss?

– Hitta alla dessa tal x vars sinus ?r 1/2.

Kom ih?g definitionen av sinus: sinx - ordinatan f?r punkten i talcirkeln, p? vilken talet x ligger. P? cirkeln har vi tv? punkter, vars ordinatan ?r lika med 1/2. Dessa ?r ?ndarna p? det horisontella ackordet B1B2. Det betyder att kravet ”l?s ekvationen sinx=1/2” motsvarar kravet ”hitta alla tal i punkt B1 och alla tal i punkt B2”.

2)sinx=-?3/2 .

Vi m?ste hitta alla siffror vid punkterna C4 och C3.

3) sinx=1. P? cirkeln har vi bara en punkt med ordinatan 1 - punkt A2 och d?rf?r beh?ver vi bara hitta alla siffror f?r denna punkt.

Svar: x=p/2+2pk , k?Z .

4)sinx=-1 .

Endast punkt A_4 har ordinatan -1. Alla nummer i denna punkt kommer att vara ekvationens h?star.

Svar: x=-p/2+2pk , k?Z .

5) sinx=0 .

P? cirkeln har vi tv? punkter med ordinatan 0 - punkterna A1 och A3. Du kan ange siffrorna p? var och en av punkterna separat, men med tanke p? att dessa punkter ?r diametralt motsatta ?r det b?ttre att kombinera dem till en formel: x=pk ,k?Z .

Svar: x=pk ,k?Z .

6)cosx=?2/2 .

Kom ih?g definitionen av cosinus: cosx - abskissan av punkten i den numeriska cirkeln d?r talet x ?r bel?get. P? cirkeln har vi tv? punkter med abskissan ?2/2 - ?ndarna av det horisontella ackordet D1D4. Vi m?ste hitta alla siffror p? dessa punkter. Vi skriver ner dem genom att kombinera dem till en formel.

Svar: x=±p/4+2pk , k?Z .

7) cosx=-1/2 .

Vi m?ste hitta siffrorna i punkterna C_2 och C_3 .

Svar: x=±2p/3+2pk , k?Z .

10) cosx=0 .

Endast punkterna A2 och A4 har abskissan 0, vilket betyder att alla tal vid var och en av dessa punkter kommer att vara l?sningar till ekvationen.
.

L?sningarna till systemets ekvation ?r talen i punkterna B_3 och B_4. Olikhet cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Svar: x=-5p/6+2pk , k?Z .

Observera att f?r varje till?tet v?rde p? x ?r den andra faktorn positiv och d?rf?r ?r ekvationen ekvivalent med systemet

L?sningarna till systemekvationen ?r antalet punkter D_2 och D_3 . Siffrorna f?r punkten D_2 uppfyller inte olikheten sinx<=0,5, men talen f?r punkten D_3 g?r det.

blog.site, med hel eller partiell kopiering av materialet, kr?vs en l?nk till k?llan.

Trigonometriska ekvationer ?r inte det l?ttaste ?mnet. Sm?rtsamt ?r de olika.) Till exempel dessa:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+p /4) = ctg(2x-p /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Men dessa (och alla andra) trigonometriska monster har tv? gemensamma och obligatoriska egenskaper. F?r det f?rsta - du kommer inte att tro det - det finns trigonometriska funktioner i ekvationerna.) F?r det andra: alla uttryck med x ?r inom samma funktioner. Och bara d?r! Om x dyker upp n?gonstans utanf?r, till exempel, sin2x + 3x = 3, detta kommer att vara en ekvation av blandad typ. S?dana ekvationer kr?ver ett individuellt f?rh?llningss?tt. H?r kommer vi inte att ?verv?ga dem.

Vi kommer inte att l?sa onda ekvationer i den h?r lektionen heller.) H?r ska vi ta itu med de enklaste trigonometriska ekvationerna. Varf?r? Ja, eftersom beslutet n?gra trigonometriska ekvationer best?r av tv? steg. I det f?rsta steget reduceras den onda ekvationen till en enkel genom olika transformationer. P? den andra - denna enklaste ekvation ?r l?st. Inget annat s?tt.

S? om du har problem i det andra steget, ?r det f?rsta steget inte mycket meningsfullt.)

Hur ser element?ra trigonometriska ekvationer ut?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

H?r a st?r f?r vilket nummer som helst. N?gra.

F?rresten, inuti funktionen kanske det inte finns ett rent x, utan n?got slags uttryck, som:

cos(3x+p /3) = 1/2

etc. Detta komplicerar livet, men p?verkar inte metoden f?r att l?sa den trigonometriska ekvationen.

Hur l?ser man trigonometriska ekvationer?

Trigonometriska ekvationer kan l?sas p? tv? s?tt. Det f?rsta s?ttet: att anv?nda logik och en trigonometrisk cirkel. Vi kommer att utforska denna v?g h?r. Det andra s?ttet - att anv?nda minne och formler - kommer att ?verv?gas i n?sta lektion.

Det f?rsta s?ttet ?r tydligt, p?litligt och sv?rt att gl?mma.) Det ?r bra f?r att l?sa trigonometriska ekvationer, oj?mlikheter och alla m?jliga knepiga icke-standardiserade exempel. Logik ?r starkare ?n minne!

Vi l?ser ekvationer med hj?lp av en trigonometrisk cirkel.

Vi inkluderar element?r logik och f?rm?gan att anv?nda en trigonometrisk cirkel. Kan du inte!? Dock... Det blir sv?rt f?r dig i trigonometri...) Men det spelar ingen roll. Ta en titt p? lektionerna "Trigonometrisk cirkel ...... Vad ?r det?" och "R?kna vinklar p? en trigonometrisk cirkel." Allt ?r enkelt d?r. Till skillnad fr?n l?rob?cker...)

Ah, du vet!? Och till och med beh?rskade "Praktiskt arbete med en trigonometrisk cirkel"!? Acceptera grattis. Det h?r ?mnet kommer att vara n?ra och f?rst?eligt f?r dig.) Det som ?r s?rskilt gl?djande ?r att den trigonometriska cirkeln inte bryr sig om vilken ekvation du l?ser. Sinus, cosinus, tangent, cotangens - allt ?r sig likt f?r honom. L?sningsprincipen ?r densamma.

S? vi tar vilken element?r trigonometrisk ekvation som helst. ?tminstone detta:

cosx = 0,5

Jag m?ste hitta X. Att tala p? m?nskligt spr?k, du beh?ver hitta vinkeln (x) vars cosinus ?r 0,5.

Hur anv?nde vi cirkeln innan? Vi ritade ett h?rn p? den. I grader eller radianer. Och omedelbart sett trigonometriska funktioner f?r denna vinkel. L?t oss nu g?ra tv?rtom. Rita en cosinus lika med 0,5 p? cirkeln och omedelbart vi f?r se h?rn. Det ?terst?r bara att skriva ner svaret.) Ja, ja!

Vi ritar en cirkel och markerar cosinus lika med 0,5. P? cosinusaxeln f?rst?s. S? h?r:

L?t oss nu rita vinkeln som denna cosinus ger oss. H?ll musen ?ver bilden (eller tryck p? bilden p? en surfplatta), och ser samma h?rn X.

Vilken vinkel har en cosinus p? 0,5?

x \u003d p / 3

cos 60°= cos( p /3) = 0,5

Vissa m?nniskor kommer att grymta skeptiskt, ja... De s?ger, var det v?rt det att inh?gna cirkeln, n?r allt ?r klart ?nd?... Du kan naturligtvis grymta...) Men faktum ?r att detta ?r en felaktig svar. Eller r?ttare sagt, otillr?cklig. Cirkelk?nnare f?rst?r att det fortfarande finns en hel dr?s med vinklar som ocks? ger en cosinus lika med 0,5.

Om du vrider den r?rliga sidan OA f?r en hel tur, kommer punkt A att ?terg? till sin ursprungliga position. Med samma cosinus lika med 0,5. De d?r. vinkeln kommer att ?ndras 360° eller 2p radianer, och cosinus ?r det inte. Den nya vinkeln 60° + 360° = 420° kommer ocks? att vara en l?sning p? v?r ekvation, eftersom

Det finns ett o?ndligt antal s?dana fulla rotationer... Och alla dessa nya vinklar kommer att vara l?sningar p? v?r trigonometriska ekvation. Och de m?ste alla skrivas ner p? n?got s?tt. Allt. Annars beaktas inte beslutet, ja...)

Matematik kan g?ra detta enkelt och elegant. Skriv ner i ett kort svar o?ndlig upps?ttning l?sningar. S? h?r ser det ut f?r v?r ekvation:

x = p /3 + 2p n, n ? Z

Jag ska dechiffrera. Skriver fortfarande meningsfullt trevligare ?n att dumt rita n?gra mystiska bokst?ver, eller hur?)

p /3 ?r samma vinkel som vi fick syn p? p? cirkeln och identifieras enligt cosinustabellen.

2p ?r ett helt varv i radianer.

n - detta ?r antalet kompletta, dvs. hela revolutioner. Det ?r tydligt att n kan vara 0, ±1, ±2, ±3.... och s? vidare. Som framg?r av den korta posten:

n ? Z

n tillh?r ( ? ) till m?ngden heltal ( Z ). F?rresten, ist?llet f?r brevet n bokst?ver kan anv?ndas k, m, t etc.

Denna notation betyder att du kan ta vilket heltal som helst n . Minst -3, minst 0, minst +55. Vad vill du. Om du kopplar in den siffran i ditt svar f?r du en specifik vinkel, vilket s?kerligen kommer att vara l?sningen p? v?r h?rda ekvation.)

Eller med andra ord, x \u003d p / 3 ?r den enda roten till en o?ndlig m?ngd. F?r att f? alla andra r?tter r?cker det att l?gga till valfritt antal hela varv till p / 3 ( n ) i radianer. De d?r. 2pn radian.

Allt? Nej. Jag str?cker specifikt n?jet. F?r att komma ih?g b?ttre.) Vi fick bara en del av svaren p? v?r ekvation. Jag kommer att skriva denna f?rsta del av l?sningen s? h?r:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 1 - inte en rot, det ?r en hel rad r?tter, skrivna i kort form.

Men det finns andra vinklar som ocks? ger en cosinus lika med 0,5!

L?t oss ?terg? till v?r bild, enligt vilken vi skrev ner svaret. D?r ?r hon:

Flytta musen ?ver bilden och ser ett annat h?rn som ger ocks? en cosinus p? 0,5. Vad tycker du att det motsvarar? Trianglarna ?r likadana... Ja! Det ?r lika med vinkeln X , endast ritad i negativ riktning. Det h?r ?r h?rnet -X. Men vi har redan r?knat ut x. p /3 eller 60°. D?rf?r kan vi lugnt skriva:

x 2 \u003d - p / 3

Och naturligtvis l?gger vi till alla vinklar som erh?lls genom hela varv:

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

Det ?r allt nu.) I en trigonometrisk cirkel, vi fick syn p?(vem f?rst?r f?rst?s)) Allt vinklar som ger en cosinus lika med 0,5. Och de skrev ner dessa vinklar i en kort matematisk form. Svaret ?r tv? o?ndliga serier av r?tter:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

Detta ?r det korrekta svaret.

Hoppas, allm?n princip f?r att l?sa trigonometriska ekvationer med hj?lp av en cirkel ?r f?rst?eligt. Vi markerar cosinus (sinus, tangent, cotangens) fr?n den givna ekvationen p? cirkeln, ritar motsvarande vinklar och skriver ner svaret. Naturligtvis m?ste du ta reda p? vilken typ av h?rn vi ?r fick syn p? p? cirkeln. Ibland ?r det inte s? sj?lvklart. Tja, som jag sa, logik kr?vs h?r.)

L?t oss till exempel analysera en annan trigonometrisk ekvation:

Observera att talet 0,5 inte ?r det enda m?jliga talet i ekvationerna!) Det ?r bara bekv?mare f?r mig att skriva det ?n r?tter och br?k.

Vi arbetar enligt den allm?nna principen. Vi ritar en cirkel, markerar (p? sinusaxeln, f?rst?s!) 0,5. Vi ritar p? en g?ng alla vinklar som motsvarar denna sinus. Vi f?r denna bild:

L?t oss ta itu med vinkeln f?rst. X under f?rsta kvartalet. Vi ?terkallar sinustabellen och best?mmer v?rdet p? denna vinkel. Saken ?r enkel:

x \u003d p / 6

Vi minns fulla varv och med gott samvete skriver vi ner den f?rsta serien med svar:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

Halva jobbet ?r gjort. Nu m?ste vi definiera andra h?rnet... Det h?r ?r knepigare ?n i cosinus, ja ... Men logiken kommer att r?dda oss! Hur man best?mmer den andra vinkeln genom x? Ja l?tt! Trianglarna p? bilden ?r desamma, och det r?da h?rnet X lika med vinkeln X . Endast den r?knas fr?n vinkeln p i negativ riktning. Det ?r d?rf?r den ?r r?d.) Och f?r svaret beh?ver vi en vinkel m?tt korrekt fr?n den positiva halvaxeln OX, d.v.s. fr?n en vinkel p? 0 grader.

H?ll muspekaren ?ver bilden och se allt. Jag tog bort det f?rsta h?rnet f?r att inte komplicera bilden. Vinkeln av intresse f?r oss (ritad i gr?nt) kommer att vara lika med:

p - x

x vi vet det p /6 . S? den andra vinkeln blir:

p - p /6 = 5p /6

?terigen minns vi till?gget av hela varv och skriver ner den andra serien av svar:

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Det ?r allt. Ett komplett svar best?r av tv? serier av r?tter:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Ekvationer med tangent och cotangens kan enkelt l?sas med samma allm?nna princip f?r att l?sa trigonometriska ekvationer. S?vida du f?rst?s inte vet hur man ritar tangenten och cotangensen p? en trigonometrisk cirkel.

I exemplen ovan anv?nde jag tabellv?rdet f?r sinus och cosinus: 0,5. De d?r. en av de betydelser som eleven k?nner till m?ste. L?t oss nu ut?ka v?ra m?jligheter till alla andra v?rden. Best?m, s? best?m dig!)

S? l?t oss s?ga att vi m?ste l?sa f?ljande trigonometriska ekvation:

Det finns inget s?dant v?rde p? cosinus i de korta tabellerna. Vi ignorerar kallt detta fruktansv?rda faktum. Vi ritar en cirkel, markerar 2/3 p? cosinusaxeln och ritar motsvarande vinklar. Vi f?r den h?r bilden.

Vi f?rst?r, till att b?rja med, med en vinkel i den f?rsta kvarten. F?r att veta vad x ?r lika med skulle de genast skriva ner svaret! Vi vet inte... Misslyckande!? Lugna! Matematik l?mnar inte sina egna i trubbel! Hon uppfann b?gkosinus f?r detta fall. Vet inte? F?rg?ves. Ta reda p? det. Det ?r mycket enklare ?n du tror. Enligt den h?r l?nken finns det inte en enda knepig besv?rjelse om "omv?nda trigonometriska funktioner" ... Det ?r ?verfl?digt i detta ?mne.

Om du ?r insatt, s?g bara till dig sj?lv, "X ?r en vinkel vars cosinus ?r 2/3." Och omedelbart, rent per definition av arccosine, kan vi skriva:

Vi minns om ytterligare varv och skriver lugnt ner den f?rsta serien av r?tter i v?r trigonometriska ekvation:

x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

Den andra serien av r?tter skrivs ocks? n?stan automatiskt, f?r den andra vinkeln. Allt ?r sig likt, bara x (arccos 2/3) kommer att ha ett minus:

x 2 = - b?gar 2/3 + 2p n, n ? Z

Och alla saker! Detta ?r det korrekta svaret. ?nnu enklare ?n med tabellv?rden. Du beh?ver inte komma ih?g n?gonting.) F?rresten, den mest uppm?rksamma kommer att m?rka att den h?r bilden med l?sningen genom b?gen cosinus skiljer sig v?sentligen inte fr?n bilden f?r ekvationen cosx = 0,5.

Exakt! Den allm?nna principen om det och det allm?nna! Jag ritade specifikt tv? n?stan identiska bilder. Cirkeln visar oss vinkeln X genom sin cosinus. Det ?r en tabellformad cosinus, eller inte - cirkeln vet inte. Vilken typ av vinkel ?r detta, p / 3, eller vilken typ av b?gcosinus ?r upp till oss att best?mma.

Med en sinus samma l?t. Till exempel:

?terigen ritar vi en cirkel, markerar sinus lika med 1/3, ritar h?rnen. Det visar sig denna bild:

Och ?terigen ?r bilden n?stan densamma som f?r ekvationen sinx = 0,5.?terigen b?rjar vi fr?n h?rnet i f?rsta kvarten. Vad ?r x lika med om dess sinus ?r 1/3? Inga problem!

S? det f?rsta paketet med r?tter ?r klart:

x 1 = b?ge 1/3 + 2p n, n ? Z

L?t oss ta en titt p? den andra vinkeln. I exemplet med ett tabellv?rde p? 0,5 var det lika med:

p - x

S? h?r blir det precis likadant! Endast x ?r annorlunda, arcsin 1/3. ?n sen d?!? Du kan s?kert skriva det andra paketet med r?tter:

x 2 = p - b?ge 1/3 + 2p n, n ? Z

Detta ?r ett helt korrekt svar. ?ven om det inte ser s?rskilt bekant ut. Men det ?r f?rst?eligt, hoppas jag.)

S? h?r l?ser man trigonometriska ekvationer med hj?lp av en cirkel. Denna v?g ?r tydlig och begriplig. Det ?r han som sparar i trigonometriska ekvationer med val av r?tter p? ett givet intervall, i trigonometriska olikheter - de l?ses i allm?nhet n?stan alltid i en cirkel. Kort sagt, i alla uppgifter som ?r lite mer komplicerade ?n vanliga.

Oms?tta kunskap i praktiken?

L?s trigonometriska ekvationer:

Till en b?rjan ?r det enklare, direkt p? den h?r lektionen.

Nu ?r det sv?rare.

Tips: h?r m?ste du t?nka p? cirkeln. Personligen.)

Och nu ut?t opretenti?sa ... De kallas ocks? specialfall.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tips: h?r m?ste du r?kna ut i en cirkel var det finns tv? serier av svar, och var det finns en ... Och hur man skriver ner en ist?llet f?r tv? serier av svar. Ja, s? att inte en enda rot fr?n ett o?ndligt antal g?r f?rlorad!)

Tja, ganska enkelt):

sinx = 0,3

cosx = p

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tips: h?r m?ste du veta vad ?r arcsine, arccosine? Vad ?r b?gtangens, b?gtangens? De enklaste definitionerna. Men du beh?ver inte komma ih?g n?gra tabellv?rden!)

Svaren ?r naturligtvis i oordning):

x 1= b?ge0,3 + 2pn, n ? Z
x 2= p - b?ge0,3 + 2

Allt l?ser sig inte? Det h?nder. L?s lektionen igen. Endast eftert?nksamt(det finns ett s?dant f?rlegat ord...) Och f?lj l?nkarna. Huvudl?nkarna handlar om cirkeln. Utan det, i trigonometri - hur man korsar v?gen med ?gonbindel. Ibland fungerar det.)

Om du gillar den h?r sidan...

F?rresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser f?r dig.)

Du kan tr?na p? att l?sa exempel och ta reda p? din niv?. Testning med omedelbar verifiering. L?r dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Din integritet ?r viktig f?r oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi anv?nder och lagrar din information. L?s v?r integritetspolicy och l?t oss veta om du har n?gra fr?gor.

Insamling och anv?ndning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan anv?ndas f?r att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att l?mna din personliga information n?r som helst n?r du kontaktar oss.

F?ljande ?r n?gra exempel p? de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan anv?nda s?dan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

• N?r du skickar in en ans?kan p? webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi anv?nder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in g?r att vi kan kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Fr?n tid till annan kan vi anv?nda din personliga information f?r att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer till dig.
• Vi kan ocks? komma att anv?nda personuppgifter f?r interna ?ndam?l, s?som att genomf?ra revisioner, dataanalyser och olika unders?kningar f?r att f?rb?ttra de tj?nster vi tillhandah?ller och ge dig rekommendationer ang?ende v?ra tj?nster.
• Om du deltar i en prisdragning, t?vling eller liknande incitament kan vi anv?nda informationen du tillhandah?ller f?r att administrera s?dana program.

Utl?mnande till tredje part

Vi l?mnar inte ut information fr?n dig till tredje part.

Undantag:

• I h?ndelse av att det ?r n?dv?ndigt - i enlighet med lagen, r?ttsordningen, i r?ttsliga f?rfaranden och / eller baserat p? offentliga f?rfr?gningar eller f?rfr?gningar fr?n statliga organ p? Ryska federationens territorium - avsl?ja din personliga information. Vi kan ocks? komma att avsl?ja information om dig om vi fastst?ller att ett s?dant avsl?jande ?r n?dv?ndigt eller l?mpligt av s?kerhetssk?l, brottsbek?mpande eller andra allm?nna intressen.
• I h?ndelse av en omorganisation, sammanslagning eller f?rs?ljning kan vi komma att ?verf?ra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens eftertr?dare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar f?rsiktighets?tg?rder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - f?r att skydda din personliga information fr?n f?rlust, st?ld och missbruk, s?v?l som fr?n obeh?rig ?tkomst, avsl?jande, ?ndring och f?rst?relse.

Uppr?tth?lla din integritet p? f?retagsniv?

F?r att s?kerst?lla att din personliga information ?r s?ker, kommunicerar vi sekretess- och s?kerhetspraxis till v?ra anst?llda och till?mpar strikt sekretesspraxis.

De enklaste trigonometriska ekvationerna l?ses vanligtvis med formler. L?t mig p?minna dig om att f?ljande trigonometriska ekvationer kallas de enklaste:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x ?r vinkeln som ska hittas,
a ?r vilket tal som helst.

Och h?r ?r formlerna med vilka du omedelbart kan skriva ner l?sningarna f?r dessa enklaste ekvationer.

F?r sinus:

F?r cosinus:

x = ± arccos a + 2p n, n ? Z

F?r tangent:

x = arctg a + p n, n ? Z

F?r cotangens:

x = arcctg a + p n, n ? Z

Egentligen ?r detta den teoretiska delen av att l?sa de enklaste trigonometriska ekvationerna. Och, hela!) Ingenting alls. Men antalet fel i detta ?mne rullar bara ?ver. Speciellt med en liten avvikelse fr?n exemplet fr?n mallen. Varf?r?

Ja, f?r att m?nga skriver ner dessa bokst?ver, utan att f?rst? deras inneb?rd alls! Med oro skriver han ner, hur n?got ?n h?nder...) Detta m?ste hanteras. Trigonometri f?r m?nniskor, eller m?nniskor f?r trigonometri, trots allt!?)

L?t oss ta reda p? det?

En vinkel kommer att vara lika med arccos a, andra: -arccos a.

Och s? kommer det alltid att fungera. F?r alla a.

Om du inte tror mig, f?r musen ?ver bilden eller tryck p? bilden p? surfplattan.) Jag ?ndrade numret a till n?got negativt. Hur som helst, vi har ett h?rn arccos a, andra: -arccos a.

D?rf?r kan svaret alltid skrivas som tv? serier av r?tter:

x 1 = arccos a + 2p n, n ? Z

x 2 = - arccos a + 2p n, n ? Z

Vi kombinerar dessa tv? serier till en:

x= ± arccos a + 2p n, n ? Z

Och alla saker. Vi har f?tt en generell formel f?r att l?sa den enklaste trigonometriska ekvationen med cosinus.

Om du f?rst?r att detta inte ?r n?gon form av supervetenskaplig visdom, men bara en f?rkortad f?rteckning ?ver tv? serier av svar, du och uppgifter "C" kommer att ligga p? axeln. Med oj?mlikheter, med urvalet av r?tter fr?n ett givet intervall ... D?r rullar inte svaret med plus / minus. Och om du behandlar svaret aff?rsm?ssigt och delar upp det i tv? separata svar, ?r allt avgjort.) Vi f?rst?r faktiskt f?r detta. Vad, hur och var.

I den enklaste trigonometriska ekvationen

sinx = a

f?r ocks? tv? serier av r?tter. ?r alltid. Och dessa tv? serier kan ocks? spelas in en linje. Bara den h?r raden blir smartare:

x = (-1) n b?ge a + p n, n ? Z

Men essensen f?rblir densamma. Matematiker konstruerade helt enkelt en formel f?r att g?ra en ist?llet f?r tv? poster med serier av r?tter. Och det ?r allt!

L?t oss kolla matematikerna? Och det r?cker inte...)

I f?reg?ende lektion analyserades l?sningen (utan n?gra formler) av den trigonometriska ekvationen med en sinus i detalj:

Svaret visade sig vara tv? serier av r?tter:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Om vi l?ser samma ekvation med formeln f?r vi svaret:

x = (-1) n b?ge 0,5 + p n, n ? Z

Egentligen ?r detta ett halvf?rdigt svar.) Det m?ste eleven veta arcsin 0,5 = p /6. Det fullst?ndiga svaret skulle vara:

x = (-1) n p /6+ pn, n ? Z

H?r uppst?r en intressant fr?ga. Svara via x 1; x 2 (det h?r ?r det r?tta svaret!) och genom de ensamma X (och det h?r ?r det r?tta svaret!) - samma sak, eller inte? L?t oss ta reda p? det nu.)

Ers?ttare som svar med x 1 v?rden n =0; ett; 2; etc., anser vi, f?r vi en serie r?tter:

x 1 \u003d p / 6; 13p/6; 25p/6 och s? vidare.

Med samma substitution som svar p? x 2 , vi f?r:

x 2 \u003d 5p / 6; 17p/6; 29p/6 och s? vidare.

Och nu byter vi ut v?rdena n (0; 1; 2; 3; 4...) in i den allm?nna formeln f?r de ensamma X . Det vill s?ga, vi h?jer minus ett till nollpotentialen, sedan till f?rsta, andra och s? vidare. Och vi ers?tter naturligtvis 0 i den andra termen; ett; 2 3; 4 osv. Och vi t?nker. Vi f?r en serie:

x = p/6; 5p/6; 13p/6; 17p/6; 25p/6 och s? vidare.

Det ?r allt du kan se.) Den allm?nna formeln ger oss exakt samma resultat vilka ?r de tv? svaren separat. Allt p? en g?ng, i ordning. Matematiker bedrog inte.)

Formler f?r att l?sa trigonometriska ekvationer med tangent och cotangens kan ocks? kontrolleras. Men l?t oss inte g?ra det.) De ?r s? opretenti?sa.

Jag m?lade all denna ers?ttning och verifiering med flit. Det ?r viktigt att f?rst? en enkel sak h?r: det finns formler f?r att l?sa element?ra trigonometriska ekvationer, bara en sammanfattning av svaren. F?r denna korthet var jag tvungen att infoga plus/minus i cosinusl?sningen och (-1) n i sinusl?sningen.

Dessa inl?gg st?r inte p? n?got s?tt i uppgifter d?r du bara beh?ver skriva ner svaret p? en element?r ekvation. Men om du beh?ver l?sa en oj?mlikhet, eller d? m?ste du g?ra n?got med svaret: v?lj r?tter p? ett intervall, kolla efter ODZ, etc., kan dessa inl?gg l?tt st?ra en person.

Och vad ska man g?ra? Ja, antingen m?la svaret i tv? serier, eller l?s ekvationen/olikheten i en trigonometrisk cirkel. D? f?rsvinner dessa insatser och livet blir l?ttare.)

Du kan summera.

F?r att l?sa de enklaste trigonometriska ekvationerna finns f?rdiga svarsformler. Fyra stycken. De ?r bra f?r att omedelbart skriva l?sningen till en ekvation. Till exempel m?ste du l?sa ekvationerna:

sinx = 0,3

L?tt: x = (-1) n b?ge 0,3 + p n, n ? Z

cosx = 0,2

Inga problem: x = ± b?gar 0,2 + 2p n, n ? Z

tgx = 1,2

L?tt: x = arctg 1,2 + pn, n ? Z

ctgx = 3,7

En kvar: x= arcctg3,7 + pn, n ? Z

cos x = 1,8

Om du, lysande av kunskap, omedelbart skriv svaret:

x= ± b?gar 1,8 + 2p n, n ? Z

d? lyser du redan, det h?r ... det ... fr?n en p?l.) R?tt svar ?r: det finns inga l?sningar. F?rst?r inte varf?r? L?s vad en arccosine ?r. Dessutom, om det p? h?ger sida av den ursprungliga ekvationen finns tabellv?rden f?r sinus, cosinus, tangent, cotangens, - 1; 0; ?3; 1/2; ?3/2 etc. - svaret genom valven kommer att vara of?rdigt. B?gar m?ste omvandlas till radianer.

Och om du redan st?ter p? en oj?mlikhet, som

d? ?r svaret:

x pn, n ? Z

det finns ett s?llsynt nonsens, ja ...) H?r ?r det n?dv?ndigt att best?mma sig f?r en trigonometrisk cirkel. Vad vi kommer att g?ra i motsvarande ?mne.

F?r den som heroiskt l?ser upp till dessa rader. Jag kan bara inte l?ta bli att uppskatta dina enorma anstr?ngningar. du en bonus.)

Bonus:

N?r man skriver formler i en orolig stridssituation blir ?ven f?rh?rdade n?rdar ofta f?rvirrade var pn, Och var 2pn. H?r ?r ett enkelt knep f?r dig. I Allt formler pn. F?rutom den enda formeln med b?gkosinus. Den st?r d?r 2pn. Tv? pien. Nyckelord - tv?. I samma enda formel ?r tv? tecken i b?rjan. Plus och minus. H?r och d?r - tv?.

S? om du skrev tv? tecken framf?r b?gen cosinus, det ?r l?ttare att komma ih?g vad som kommer att h?nda i slutet tv? pien. Och vice versa h?nder. Skippa mannens tecken ± , kom till slutet, skriv r?tt tv? pien, ja, och f?nga den. Framf?r n?got tv? tecken! Personen kommer tillbaka till b?rjan, men han kommer att r?tta till misstaget! S? h?r.)

Om du gillar den h?r sidan...

F?rresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser f?r dig.)

Du kan tr?na p? att l?sa exempel och ta reda p? din niv?. Testning med omedelbar verifiering. L?r dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.