Kopyevskaya lantliga gymnasieskola

10 s?tt att l?sa kvadratiska ekvationer

Chef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikl?rare

byn Kopevo, 2007

1. Historia om utvecklingen av andragradsekvationer

1.1 Andragradsekvationer i det antika Babylon

1.2 Hur Diophantus komponerade och l?ste andragradsekvationer

1.3 Andragradsekvationer i Indien

1.4 Andragradsekvationer av al-Khorezmi

1.5 Andragradsekvationer i Europa XIII - XVII ?rhundraden

1.6 Om Vietas sats

2. Metoder f?r att l?sa andragradsekvationer

Slutsats

Litteratur

1. Historia om utvecklingen av andragradsekvationer

1.1 Andragradsekvationer i det antika Babylon

Behovet av att l?sa ekvationer inte bara av den f?rsta, utan ocks? av den andra graden, ?ven i forntiden, orsakades av behovet av att l?sa problem relaterade till att hitta omr?dena f?r tomter och med utgr?vningsarbeten av milit?r karakt?r, liksom som med sj?lva utvecklingen av astronomi och matematik. Andragradsekvationer kunde l?sas runt 2000 f.Kr. e. Babyloniernas.

Med hj?lp av modern algebraisk notation kan vi s?ga att i deras kilskriftstexter finns det, f?rutom ofullst?ndiga s?dana, till exempel kompletta andragradsekvationer:

X 2 + X = 3/4 ; X 2 - X = 14,5

Regeln f?r att l?sa dessa ekvationer, som anges i de babyloniska texterna, sammanfaller i huvudsak med den moderna, men det ?r inte k?nt hur babylonierna kom fram till denna regel. N?stan alla kilskriftstexter som hittills hittats ger bara problem med l?sningar som ?r upplagda i form av recept, utan n?gon indikation p? hur de hittades.

Trots den h?ga utvecklingen av algebra i Babylon saknar kilskriftstexterna konceptet med ett negativt tal och allm?nna metoder f?r att l?sa andragradsekvationer.

1.2 Hur Diophantus komponerade och l?ste andragradsekvationer.

Diophantus aritmetik inneh?ller inte en systematisk presentation av algebra, men den inneh?ller en systematisk serie problem, ?tf?ljda av f?rklaringar och l?sta genom att konstruera ekvationer av olika grader.

N?r man komponerar ekvationer v?ljer Diophantus skickligt ok?nda f?r att f?renkla l?sningen.

H?r finns till exempel en av hans uppgifter.

Problem 11."Hitta tv? tal, och veta att deras summa ?r 20 och deras produkt ?r 96"

Diophantus resonerar enligt f?ljande: av villkoren f?r problemet f?ljer att de erforderliga talen inte ?r lika, eftersom om de var lika, s? skulle deras produkt inte vara lika med 96, utan till 100. S?ledes kommer en av dem att vara mer ?n h?lften av deras summa, dvs. 10 + x, den andra ?r mindre, dvs. 10-tal. Skillnaden mellan dem 2x .

D?rav ekvationen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

H?rifr?n x = 2. Ett av de obligatoriska siffrorna ?r lika med 12 , ?vrig 8 . L?sning x = -2 f?r Diophantus existerar inte, eftersom den grekiska matematiken bara visste positiva tal.

Om vi l?ser detta problem genom att v?lja ett av de n?dv?ndiga talen som det ok?nda, s? kommer vi till en l?sning p? ekvationen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Det ?r tydligt att genom att v?lja halva skillnaden av de n?dv?ndiga talen som det ok?nda, f?renklar Diophantus l?sningen; han lyckas reducera problemet till att l?sa en ofullst?ndig andragradsekvation (1).

1.3 Andragradsekvationer i Indien

Problem med andragradsekvationer finns redan i den astronomiska avhandlingen "Aryabhattiam", sammanst?lld 499 av den indiske matematikern och astronomen Aryabhatta. En annan indisk forskare, Brahmagupta (600-talet), beskrev en allm?n regel f?r att l?sa andragradsekvationer reducerade till en enda kanonisk form:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

I ekvation (1), koefficienterna, utom A, kan ocks? vara negativt. Brahmaguptas regel ?r i huvudsak densamma som v?r.

I det antika Indien var offentliga t?vlingar f?r att l?sa sv?ra problem vanliga. En av de gamla indiska b?ckerna s?ger f?ljande om s?dana t?vlingar: "Som solen ?vergl?nser stj?rnorna med sin glans, s? kommer en l?rd man att ?vergl?nsa en annans h?rlighet i offentliga f?rsamlingar, och f?resl?r och l?ser algebraiska problem." Problem presenterades ofta i poetisk form.

Detta ?r ett av problemen f?r den ber?mda indiske matematikern p? 1100-talet. Bhaskars.

Problem 13.

"En flock pigga apor och tolv l?ngs med vinstockarna...

Efter att ha ?tit hade myndigheterna roligt. De b?rjade hoppa, h?nga...

Det finns dem p? torget, del 8. Hur m?nga apor var det?

Jag hade roligt i gl?ntan. S?g mig, i det h?r paketet?

Bhaskaras l?sning indikerar att han visste att r?tterna till andragradsekvationer ?r tv?v?rdiga (fig. 3).

Ekvationen som motsvarar problem 13 ?r:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under t?ckmantel:

x 2 - 64x = -768

och f?r att slutf?ra den v?nstra sidan av denna ekvation till kvadrat, l?ggs till b?da sidorna 32 2 , f?r sedan:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Andragradsekvationer i al - Khorezmi

I den algebraiska avhandlingen av al-Khorezmi ges en klassificering av linj?ra och andragradsekvationer. F?rfattaren r?knar 6 typer av ekvationer och uttrycker dem enligt f?ljande:

1) "Kvadrater ?r lika med r?tter", dvs. ax 2 + c = b X.

2) ”Kvadrater ?r lika med tal”, dvs. axe 2 = c.

3) "R?tterna ?r lika med antalet", dvs. ah = s.

4) "Kvadrater och tal ?r lika med r?tter", dvs. ax 2 + c = b X.

5) ”Kvadrater och r?tter ?r lika med tal”, dvs. ah 2+ bx = s.

6) "R?tter och tal ?r lika med kvadrater", dvs. bx + c = ax 2 .

F?r al-Khorezmi, som undvek anv?ndningen av negativa tal, ?r termerna f?r var och en av dessa ekvationer adderingar och inte subtraherbara. I detta fall tas uppenbarligen inte h?nsyn till ekvationer som inte har positiva l?sningar. F?rfattaren anger metoder f?r att l?sa dessa ekvationer med hj?lp av teknikerna al-jabr och al-muqabala. Hans beslut sammanfaller naturligtvis inte helt med v?ra. F?r att inte tala om att det ?r rent retoriskt, b?r det till exempel noteras att n?r man l?ser en ofullst?ndig andragradsekvation av den f?rsta typen

al-Khorezmi, som alla matematiker f?re 1600-talet, tar inte h?nsyn till nolll?sningen, f?rmodligen f?r att det i specifika praktiska problem inte spelar n?gon roll. N?r man l?ser fullst?ndiga andragradsekvationer, anger al-Khorezmi reglerna f?r att l?sa dem med hj?lp av speciella numeriska exempel och sedan geometriska bevis.

Problem 14."Kvadraten och talet 21 ?r lika med 10 r?tter. Hitta roten" (antyder roten av ekvationen x 2 + 21 = 10x).

F?rfattarens l?sning g?r ungef?r s? h?r: dela antalet r?tter p? mitten, du f?r 5, multiplicera 5 med sig sj?lv, subtrahera 21 fr?n produkten, det som ?terst?r ?r 4. Ta roten fr?n 4, du f?r 2. Subtrahera 2 fr?n 5 , f?r du 3, detta kommer att vara den ?nskade roten. Eller l?gg till 2 till 5, vilket ger 7, detta ?r ocks? en rot.

Avhandlingen om al-Khorezmi ?r den f?rsta bok som har kommit till oss, som systematiskt anger klassificeringen av andragradsekvationer och ger formler f?r deras l?sning.

1.5 Andragradsekvationer i Europa XIII - XVII bb

Formler f?r att l?sa andragradsekvationer i linje med al-Khwarizmi i Europa presenterades f?rst i Abacus-boken, skriven 1202 av den italienske matematikern Leonardo Fibonacci. Detta omfattande verk, som ?terspeglar matematikens inflytande, b?de fr?n islams l?nder och fr?n det antika Grekland, k?nnetecknas av dess fullst?ndighet och klarhet i presentationen. F?rfattaren utvecklade sj?lvst?ndigt n?gra nya algebraiska exempel p? att l?sa problem och var den f?rsta i Europa som n?rmade sig inf?randet av negativa tal. Hans bok bidrog till spridningen av algebraisk kunskap inte bara i Italien, utan ?ven i Tyskland, Frankrike och andra europeiska l?nder. M?nga problem fr?n Abacus bok anv?ndes i n?stan alla europeiska l?rob?cker p? 1500- och 1600-talen. och delvis XVIII.

Den allm?nna regeln f?r att l?sa andragradsekvationer reducerad till en enda kanonisk form:

x 2 + bx = c,

f?r alla m?jliga kombinationer av koefficienttecken b , Med formulerades i Europa f?rst 1544 av M. Stiefel.

H?rledningen av formeln f?r att l?sa en andragradsekvation i allm?n form ?r tillg?nglig fr?n Vi?te, men Vi?te k?nde bara igen positiva r?tter. Italienska matematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli var bland de f?rsta p? 1500-talet. F?rutom positiva tas ?ven h?nsyn till negativa r?tter. F?rst p? 1600-talet. Tack vare arbetet av Girard, Descartes, Newton och andra vetenskapsm?n tar metoden f?r att l?sa andragradsekvationer en modern form.

1.6 Om Vietas sats

Satsen som uttrycker f?rh?llandet mellan koefficienterna f?r en andragradsekvation och dess r?tter, uppkallad efter Vieta, formulerades av honom f?r f?rsta g?ngen 1591 p? f?ljande s?tt: "Om B + D, multiplicerat med A - A 2 , lika med BD, Den d?r A lika I och lika D ».

F?r att f?rst? Vieta b?r vi komma ih?g det A, som alla vokalbokst?ver, betydde det ok?nda (v?r X), vokaler I, D- koefficienter f?r det ok?nda. P? modern algebras spr?k betyder ovanst?ende Vieta-formulering: om det finns

(ett + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Genom att uttrycka f?rh?llandet mellan r?tter och koefficienter f?r ekvationer med allm?nna formler skrivna med symboler, etablerade Vi?te enhetlighet i metoderna f?r att l?sa ekvationer. Men symboliken i Viet ?r fortfarande l?ngt ifr?n sin moderna form. Han k?nde inte igen negativa tal och d?rf?r, n?r han l?ste ekvationer, ?verv?gde han endast fall d?r alla r?tter var positiva.

2. Metoder f?r att l?sa andragradsekvationer

Andragradsekvationer ?r grunden p? vilken algebrans majest?tiska byggnad vilar. Andragradsekvationer anv?nds ofta f?r att l?sa trigonometriska, exponentiella, logaritmiska, irrationella och transcendentala ekvationer och oj?mlikheter. Vi vet alla hur man l?ser andragradsekvationer fr?n skolan (8:e klass) fram till examen.

En andragradsekvation ?r en ekvation av formen ax^2 + bx + c = 0, d?r koefficienterna a, b och c ?r godtyckliga tal, och a ? 0, annars blir det inte l?ngre en andragradsekvation. Andragradsekvationer har antingen inga r?tter eller har exakt en rot eller tv? olika r?tter. Det f?rsta steget ?r att leta efter en diskriminant. Formel: D = b^2 - 4ac. 1. Om D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, det kommer att finnas tv? r?tter. Med det f?rsta alternativet ?r det tydligt, det finns inga r?tter. Om diskriminanten D > 0 kan r?tterna hittas enligt f?ljande: x12 = (-b +- ?D) / 2a. N?r det g?ller det andra alternativet, n?r D = 0, kan formeln ovan anv?ndas.

Andragradsekvationer b?rjar studeras i skolans matematikkurs. Men tyv?rr f?rst?r inte alla och vet hur man korrekt l?ser en andragradsekvation och ber?knar dess r?tter. L?t oss f?rst ta reda p? vad en andragradsekvation ?r.

Vad ?r en andragradsekvation

Termen andragradsekvation betyder vanligtvis en algebraisk ekvation av allm?n form. Denna ekvation har f?ljande form: ax2 + bx + c = 0, medan a, b och c ?r n?gra specifika tal, ?r x ett ok?nt. Dessa tre tal kallas vanligtvis koefficienterna f?r andragradsekvationen:

• a - f?rsta koefficient;
• b - andra koefficient;
• c ?r den tredje koefficienten.

Hur man hittar r?tterna till en andragradsekvation

F?r att ber?kna vad r?tterna till en andragradsekvation kommer att vara lika med, ?r det n?dv?ndigt att hitta ekvationens diskriminant. Diskriminanten f?r en andragradsekvation ?r ett uttryck som ?r lika med och ber?knas med formeln b2 - 4ac. Om diskriminanten ?r st?rre ?n noll, ber?knas roten med formeln: x = -b + - roten av diskriminanten dividerat med 2 a.

Betrakta exemplet med ekvationen 5x i kvadrat - 8x +3 = 0

Diskriminanten ?r lika med ?tta i kvadrat, minus fyra g?nger fem, g?nger tre, det vill s?ga = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 = 8 + roten av fyra dividerat med tv? g?nger fem = 8 +2/10 = 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

F?ljaktligen kommer r?tterna till denna andragradsekvation att vara 1 och 0,6.

Formens ekvation

Uttryck D= b 2 - 4 ac kallad diskriminerande andragradsekvation. OmD = 0, d? har ekvationen en reell rot; om D> 0, d? har ekvationen tv? reella r?tter.
Om D = 0 , s?gs det ibland att en andragradsekvation har tv? identiska r?tter.
Anv?nda notationen D= b 2 - 4 ac, kan vi skriva om formel (2) i formul?ret

Om b= 2k, sedan har formel (2) formen:

Var k= b / 2 .
Den senare formeln ?r s?rskilt bekv?m i de fall d?r b / 2 - ett heltal, dvs. koefficient b- j?mnt nummer.
Exempel 1: L?s ekvationen 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . H?r a = 2, b = -5, c = 2. Vi har D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . D?rf?r att D > 0 , d? har ekvationen tv? r?tter. L?t oss hitta dem med formel (2)

S? x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
det ?r x 1 = 2 Och x 2 = 1 / 2 - r?tter till en given ekvation.
Exempel 2: L?s ekvationen 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . H?r a = 2, b = -3, c = 5. Att hitta diskriminanten D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . D?rf?r att D 0 , d? har ekvationen inga riktiga r?tter.

Ofullst?ndiga andragradsekvationer. Om i en andragradsekvation yxa 2 +bx+c =0 andra koefficienten b eller gratis medlem c?r lika med noll, d? kallas andragradsekvationen Ofullst?ndig. Ofullst?ndiga ekvationer pekas ut eftersom f?r att hitta deras r?tter beh?ver du inte anv?nda formeln f?r r?tterna till en andragradsekvation - det ?r l?ttare att l?sa ekvationen genom att faktorisera dess v?nstra sida.
Exempel 1: l?sa ekvationen 2 x 2 - 5 x = 0 .
Vi har x(2 x - 5) = 0 . S? heller x = 0 , eller 2 x - 5 = 0 , det ?r x = 2.5 . S? ekvationen har tv? r?tter: 0 Och 2.5
Exempel 2: l?sa ekvationen 3 x 2 - 27 = 0 .
Vi har 3 x 2 = 27 . D?rf?r ?r r?tterna till denna ekvation 3 Och -3 .

Vietas sats. Om den reducerade andragradsekvationen x 2 +px+q =0 har verkliga r?tter, d? ?r deras summa lika med - sid, och produkten ?r lika q, det ?r

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(summan av r?tterna i ovanst?ende kvadratiska ekvation ?r lika med den andra koefficienten tagen med motsatt tecken, och produkten av r?tterna ?r lika med den fria termen).

Andragradsekvationsproblem studeras b?de i skolans l?roplan och p? universiteten. De betyder ekvationer av formen a*x^2 + b*x + c = 0, d?r x- variabel, a, b, c – konstanter; a<>0 . Uppgiften ?r att hitta r?tterna till ekvationen.

Geometrisk betydelse av andragradsekvationen

Grafen f?r en funktion som representeras av en andragradsekvation ?r en parabel. L?sningarna (r?tterna) till en andragradsekvation ?r sk?rningspunkterna mellan parabeln och abskissan (x)-axeln. H?rav f?ljer att det finns tre m?jliga fall:
1) parabeln har inga sk?rningspunkter med abskissaxeln. Det betyder att den ?r i det ?vre planet med grenar upp?t eller botten med grenar ned?t. I s?dana fall har andragradsekvationen inga riktiga r?tter (den har tv? komplexa r?tter).

2) parabeln har en sk?rningspunkt med Ox-axeln. En s?dan punkt kallas parabelns vertex, och andragradsekvationen vid den f?r sitt l?gsta eller maximala v?rde. I det h?r fallet har andragradsekvationen en reell rot (eller tv? identiska r?tter).

3) Det sista fallet ?r mer intressant i praktiken - det finns tv? sk?rningspunkter f?r parabeln med abskissaxeln. Det betyder att det finns tv? reella r?tter till ekvationen.

Baserat p? analysen av koefficienterna f?r variablernas potenser kan intressanta slutsatser dras om parabelns placering.

1) Om koefficienten a ?r st?rre ?n noll s? ?r parabelns grenar riktade upp?t, om den ?r negativa ?r parabelns grenar riktade ned?t.

2) Om koefficienten b ?r st?rre ?n noll, s? ligger parabelns vertex i det v?nstra halvplanet, om det tar ett negativt v?rde, d? i det h?gra.

H?rledning av formeln f?r att l?sa en andragradsekvation

L?t oss ?verf?ra konstanten fr?n andragradsekvationen

f?r likhetstecknet f?r vi uttrycket

Multiplicera b?da sidor med 4a

F?r att f? en komplett ruta till v?nster, l?gg till b^2 p? b?da sidor och utf?r omvandlingen

H?rifr?n finner vi

Formel f?r diskriminant och r?tter till en andragradsekvation

Diskriminanten ?r v?rdet p? det radikala uttrycket. Om det ?r positivt s? har ekvationen tv? reella r?tter, ber?knade med formeln N?r diskriminanten ?r noll har andragradsekvationen en l?sning (tv? sammanfallande r?tter), som enkelt kan erh?llas fr?n ovanst?ende formel f?r D=0. N?r diskriminanten ?r negativ har ekvationen inga reella r?tter. Men l?sningar till andragradsekvationen finns i det komplexa planet, och deras v?rde ber?knas med formeln

Vietas sats

L?t oss betrakta tv? r?tter till en andragradsekvation och konstruera en andragradsekvation p? grundval av dem. Vietas sats f?ljer l?tt av notationen: om vi har en andragradsekvation av formen d? ?r summan av dess r?tter lika med koefficienten p taget med motsatt tecken, och produkten av ekvationens r?tter ?r lika med den fria termen q. Formelrepresentationen av ovanst?ende kommer att se ut som Om konstanten a i en klassisk ekvation inte ?r noll, m?ste du dividera hela ekvationen med den och sedan till?mpa Vietas teorem.

Factoring andragradsekvationsschema

L?t uppgiften best?mmas: faktorisera en andragradsekvation. F?r att g?ra detta l?ser vi f?rst ekvationen (hitta r?tterna). D?refter ers?tter vi de hittade r?tterna i expansionsformeln f?r andragradsekvationen. Detta kommer att l?sa problemet.

Andragradsekvationsproblem

Uppgift 1. Hitta r?tterna till en andragradsekvation

x^2-26x+120=0 .

L?sning: Skriv ner koefficienterna och s?tt in dem i diskriminantformeln

Roten till detta v?rde ?r 14, det ?r l?tt att hitta med en minir?knare, eller komma ih?g med frekvent anv?ndning, men f?r enkelhetens skull kommer jag i slutet av artikeln att ge dig en lista ?ver kvadrater av tal som ofta kan p?tr?ffas i s?dana problem.
Vi ers?tter det hittade v?rdet i rotformeln

och vi f?r

Uppgift 2. L?s ekvationen

2x2 +x-3=0.

L?sning: Vi har en fullst?ndig andragradsekvation, skriver ut koefficienterna och hittar diskriminanten


Med hj?lp av k?nda formler hittar vi r?tterna till andragradsekvationen

Uppgift 3. L?s ekvationen

9x 2 -12x+4=0.

L?sning: Vi har en komplett andragradsekvation. Att best?mma diskriminanten

Vi fick ett fall d?r r?tterna sammanfaller. Hitta r?tternas v?rden med hj?lp av formeln

Uppgift 4. L?s ekvationen

x^2+x-6=0 .

L?sning: I fall d?r det finns sm? koefficienter f?r x, ?r det l?mpligt att till?mpa Vietas sats. Genom dess tillst?nd f?r vi tv? ekvationer

Fr?n det andra villkoret finner vi att produkten m?ste vara lika med -6. Det betyder att en av r?tterna ?r negativ. Vi har f?ljande m?jliga l?sningspar (-3;2), (3;-2) . Med h?nsyn till det f?rsta villkoret f?rkastar vi det andra paret av l?sningar.
R?tterna till ekvationen ?r lika

Uppgift 5. Hitta l?ngden p? sidorna i en rektangel om dess omkrets ?r 18 cm och dess area ?r 77 cm 2.

L?sning: Halva omkretsen av en rektangel ?r lika med summan av dess intilliggande sidor. L?t oss beteckna x som den st?rre sidan, d? ?r 18-x dess mindre sida. Arean av rektangeln ?r lika med produkten av dessa l?ngder:
x(18-x)=77;
eller
x 2 -18x+77=0.
L?t oss hitta ekvationens diskriminant

Ber?kna ekvationens r?tter

Om x=11, Den d?r 18 = 7 , motsatsen ?r ocks? sant (om x=7, d? 21:or=9).

Uppgift 6. Faktorisera andragradsekvationen 10x 2 -11x+3=0.

L?sning: L?t oss ber?kna r?tterna till ekvationen, f?r att g?ra detta hittar vi diskriminanten

Vi ers?tter det hittade v?rdet i rotformeln och ber?knar

Vi till?mpar formeln f?r att s?nderdela en andragradsekvation med r?tter

Genom att ?ppna parentesen f?r vi en identitet.

Andragradsekvation med parameter

Exempel 1. Vid vilka parameterv?rden A , har ekvationen (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 en rot?

L?sning: Genom direkt substitution av v?rdet a=3 ser vi att det inte har n?gon l?sning. D?refter kommer vi att anv?nda det faktum att med en nolldiskriminant har ekvationen en rot av multiplicitet 2. L?t oss skriva ut diskriminanten

L?t oss f?renkla det och likst?lla det med noll

Vi har erh?llit en andragradsekvation med avseende p? parametern a, vars l?sning l?tt kan erh?llas med hj?lp av Vietas sats. Summan av r?tterna ?r 7, och deras produkt ?r 12. Genom enkel s?kning sl?r vi fast att talen 3,4 kommer att vara r?tterna till ekvationen. Eftersom vi redan f?rkastade l?sningen a=3 i b?rjan av ber?kningarna, kommer den enda korrekta att vara - a=4. S?ledes, f?r a=4 har ekvationen en rot.

Exempel 2. Vid vilka parameterv?rden A , ekvationen a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 har mer ?n en rot?

L?sning: L?t oss f?rst ?verv?ga singularpunkterna, de kommer att vara v?rdena a=0 och a=-3. N?r a=0 kommer ekvationen att f?renklas till formen 6x-9=0; x=3/2 och det blir en rot. F?r a= -3 f?r vi identiteten 0=0.
L?t oss r?kna ut diskriminanten

och hitta v?rdet p? a d?r det ?r positivt

Fr?n det f?rsta villkoret f?r vi a>3. F?r det andra hittar vi ekvationens diskriminant och r?tter


L?t oss best?mma intervallen d?r funktionen tar positiva v?rden. Genom att ers?tta punkten a=0 f?r vi 3>0 . S? utanf?r intervallet (-3;1/3) ?r funktionen negativ. Gl?m inte po?ngen a=0, som b?r uteslutas eftersom den ursprungliga ekvationen har en rot i sig.
Som ett resultat f?r vi tv? intervall som uppfyller villkoren f?r problemet

Det kommer att finnas m?nga liknande uppgifter i praktiken, f?rs?k att lista ut uppgifterna sj?lv och gl?m inte att ta h?nsyn till de villkor som utesluter varandra. Studera v?l formlerna f?r att l?sa andragradsekvationer, de beh?vs ofta i ber?kningar inom olika problem och vetenskaper.

I det moderna samh?llet kan f?rm?gan att utf?ra operationer med ekvationer som inneh?ller en kvadratisk variabel vara anv?ndbar inom m?nga verksamhetsomr?den och anv?nds flitigt i praktiken inom vetenskaplig och teknisk utveckling. Bevis p? detta kan hittas i designen av sj?- och flodfartyg, flygplan och missiler. Med hj?lp av s?dana ber?kningar best?ms r?relsebanorna f?r en m?ngd olika kroppar, inklusive rymdobjekt. Exempel med l?sning av kvadratiska ekvationer anv?nds inte bara i ekonomiska prognoser, vid design och konstruktion av byggnader, utan ocks? under de vanligaste vardagliga omst?ndigheterna. De kan beh?vas p? vandringsresor, vid sportevenemang, i butiker vid k?p och i andra mycket vanliga situationer.

L?t oss dela upp uttrycket i dess ing?ende faktorer

Graden av en ekvation best?ms av maxv?rdet f?r graden av variabeln som uttrycket inneh?ller. Om det ?r lika med 2, kallas en s?dan ekvation kvadratisk.

Om vi talar p? formlerspr?k, s? kan de angivna uttrycken, oavsett hur de ser ut, alltid f?ras till formen n?r den v?nstra sidan av uttrycket best?r av tre termer. Bland dem: axe 2 (det vill s?ga en variabel kvadratisk med sin koefficient), bx (en ok?nd utan en kvadrat med sin koefficient) och c (en fri komponent, det vill s?ga ett vanligt tal). Allt detta p? h?ger sida ?r lika med 0. I det fall n?r ett s?dant polynom saknar en av sina best?ndsdelar, med undantag f?r axel 2, kallas det en ofullst?ndig andragradsekvation. Exempel p? l?sning av s?dana problem, v?rdena f?r variablerna som ?r l?tta att hitta, b?r ?verv?gas f?rst.

Om uttrycket ser ut att ha tv? termer p? h?ger sida, n?rmare best?mt axe 2 och bx, ?r det enklaste s?ttet att hitta x genom att s?tta variabeln inom parentes. Nu kommer v?r ekvation att se ut s? h?r: x(ax+b). D?refter blir det uppenbart att antingen x=0, eller s? handlar problemet om att hitta en variabel fr?n f?ljande uttryck: ax+b=0. Detta dikteras av en av egenskaperna f?r multiplikation. Regeln s?ger att produkten av tv? faktorer resulterar i 0 endast om en av dem ?r noll.

Exempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som ett resultat f?r vi tv? r?tter av ekvationen: 0 och 0,375.

Ekvationer av detta slag kan beskriva r?relsen av kroppar under p?verkan av gravitationen, som b?rjade r?ra sig fr?n en viss punkt som tas som ursprunget till koordinaterna. H?r har den matematiska notationen f?ljande form: y = v 0 t + gt 2 /2. Genom att ers?tta de n?dv?ndiga v?rdena, likst?lla den h?gra sidan med 0 och hitta m?jliga ok?nda, kan du ta reda p? tiden som g?r fr?n det att kroppen stiger till det ?gonblick den faller, liksom m?nga andra storheter. Men vi ska prata om detta senare.

Faktorering av ett uttryck

Regeln som beskrivs ovan g?r det m?jligt att l?sa dessa problem i mer komplexa fall. L?t oss titta p? exempel p? att l?sa andragradsekvationer av denna typ.

X 2 - 33x + 200 = 0

Detta kvadratiska trinomium ?r komplett. L?t oss f?rst omvandla uttrycket och faktorisera det. Det finns tv? av dem: (x-8) och (x-25) = 0. Som ett resultat har vi tv? r?tter 8 och 25.

Exempel p? att l?sa andragradsekvationer i ?rskurs 9 till?ter denna metod att hitta en variabel i uttryck inte bara av andra, utan ?ven av tredje och fj?rde ordningen.

Till exempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. N?r man faktoriserar h?ger sida i faktorer med en variabel, finns det tre av dem, det vill s?ga (x+1), (x-3) och (x+ 3).

Som ett resultat blir det uppenbart att denna ekvation har tre r?tter: -3; -1; 3.

Roten ur

Ett annat fall av en ofullst?ndig andra ordningens ekvation ?r ett uttryck representerat i bokst?verspr?ket p? ett s?dant s?tt att den h?gra sidan ?r konstruerad av komponenterna ax 2 och c. H?r, f?r att f? v?rdet p? variabeln, ?verf?rs den fria termen till h?ger sida, och d?refter extraheras kvadratroten fr?n b?da sidor av likheten. Det b?r noteras att i detta fall finns det vanligtvis tv? r?tter till ekvationen. De enda undantagen kan vara likheter som inte alls inneh?ller en term med, d?r variabeln ?r lika med noll, samt varianter av uttryck n?r den h?gra sidan visar sig vara negativ. I det senare fallet finns det inga l?sningar alls, eftersom ovanst?ende ?tg?rder inte kan utf?ras med r?tter. Exempel p? l?sningar till andragradsekvationer av denna typ b?r ?verv?gas.

I det h?r fallet kommer r?tterna till ekvationen att vara talen -4 och 4.

Ber?kning av landarea

Behovet av denna typ av ber?kningar d?k upp i antiken, eftersom utvecklingen av matematiken i dessa avl?gsna tider till stor del best?mdes av behovet av att med st?rsta noggrannhet best?mma omr?dena och omkretsarna av tomter.

Vi b?r ocks? ?verv?ga exempel p? att l?sa andragradsekvationer baserade p? problem av detta slag.

S? l?t oss s?ga att det finns en rektangul?r tomt, vars l?ngd ?r 16 meter st?rre ?n bredden. Du b?r hitta webbplatsens l?ngd, bredd och omkrets om du vet att dess yta ?r 612 m2.

F?r att komma ig?ng, l?t oss f?rst skapa den n?dv?ndiga ekvationen. L?t oss beteckna med x bredden p? omr?det, d? blir dess l?ngd (x+16). Av det som skrivits f?ljer att arean best?ms av uttrycket x(x+16), som enligt f?ruts?ttningarna f?r v?rt problem ?r 612. Det betyder att x(x+16) = 612.

Att l?sa fullst?ndiga andragradsekvationer, och detta uttryck ?r precis det, kan inte g?ras p? samma s?tt. Varf?r? ?ven om den v?nstra sidan fortfarande inneh?ller tv? faktorer, ?r deras produkt inte alls lika med 0, s? olika metoder anv?nds h?r.

Diskriminerande

F?rst och fr?mst kommer vi att g?ra de n?dv?ndiga transformationerna, sedan kommer utseendet p? detta uttryck att se ut s? h?r: x 2 + 16x - 612 = 0. Det betyder att vi har f?tt uttrycket i en form som motsvarar den tidigare angivna standarden, d?r a=1, b=16, c= -612.

Detta kan vara ett exempel p? att l?sa andragradsekvationer med en diskriminant. H?r g?rs de n?dv?ndiga ber?kningarna enligt schemat: D = b 2 - 4ac. Denna extra kvantitet g?r det inte bara m?jligt att hitta de n?dv?ndiga kvantiteterna i en andra ordningens ekvation, den best?mmer antalet m?jliga alternativ. Om D>0 finns det tv? av dem; f?r D=0 finns en rot. I fall D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om r?tter och deras formel

I v?rt fall ?r diskriminanten lika med: 256 - 4(-612) = 2704. Detta tyder p? att v?rt problem har ett svar. Om du k?nner till k m?ste l?sningen av andragradsekvationer forts?tta med formeln nedan. Det l?ter dig ber?kna r?tterna.

Detta betyder att i det presenterade fallet: x 1 =18, x 2 =-34. Det andra alternativet i detta dilemma kan inte vara en l?sning, eftersom dimensionerna p? tomten inte kan m?tas i negativa kvantiteter, vilket betyder att x (det vill s?ga bredden p? tomten) ?r 18 m. H?rifr?n ber?knar vi l?ngden: 18 +16=34, och omkretsen 2(34+ 18)=104(m2).

Exempel och uppgifter

Vi forts?tter v?r studie av andragradsekvationer. Exempel och detaljerade l?sningar p? flera av dem kommer att ges nedan.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

L?t oss flytta allt till v?nster sida av likheten, g?ra en transformation, det vill s?ga, vi f?r den typ av ekvation som vanligtvis kallas standard, och likst?ller den till noll.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

L?gger vi till liknande, best?mmer vi diskriminanten: D = 49 - 48 = 1. Detta betyder att v?r ekvation kommer att ha tv? r?tter. L?t oss ber?kna dem enligt ovanst?ende formel, vilket inneb?r att den f?rsta av dem kommer att vara lika med 4/3 och den andra till 1.

2) L?t oss nu l?sa mysterier av ett annat slag.

L?t oss ta reda p? om det finns n?gra r?tter h?r x 2 - 4x + 5 = 1? F?r att f? ett helt?ckande svar, l?t oss reducera polynomet till motsvarande vanliga form och ber?kna diskriminanten. I exemplet ovan ?r det inte n?dv?ndigt att l?sa andragradsekvationen, eftersom detta inte ?r k?rnan i problemet alls. I det h?r fallet ?r D = 16 - 20 = -4, vilket betyder att det verkligen inte finns n?gra r?tter.

Vietas sats

Det ?r bekv?mt att l?sa andragradsekvationer med hj?lp av formlerna ovan och diskriminanten, n?r kvadratroten tas fr?n v?rdet av den senare. Men detta h?nder inte alltid. Det finns dock m?nga s?tt att f? v?rdena f?r variabler i detta fall. Exempel: l?sa andragradsekvationer med hj?lp av Vietas sats. Hon ?r uppkallad efter den som levde p? 1500-talet i Frankrike och gjorde en lysande karri?r tack vare sin matematiska talang och kopplingar vid hovet. Hans portr?tt kan ses i artikeln.

M?nstret som den ber?mda fransmannen lade m?rke till var f?ljande. Han bevisade att r?tterna till ekvationen summeras numeriskt till -p=b/a, och deras produkt motsvarar q=c/a.

L?t oss nu titta p? specifika uppgifter.

3x 2 + 21x - 54 = 0

F?r enkelhetens skull, l?t oss omvandla uttrycket:

x 2 + 7x - 18 = 0

L?t oss anv?nda Vietas sats, detta ger oss f?ljande: summan av r?tterna ?r -7, och deras produkt ?r -18. H?rifr?n f?r vi att r?tterna till ekvationen ?r talen -9 och 2. Efter att ha kontrollerat kommer vi att se till att dessa variabelv?rden verkligen passar in i uttrycket.

Parabolgraf och ekvation

Begreppen andragradsfunktion och andragradsekvationer ?r n?ra besl?ktade. Exempel p? detta har redan givits tidigare. L?t oss nu titta p? n?gra matematiska g?tor lite mer detaljerat. Varje ekvation av den beskrivna typen kan representeras visuellt. Ett s?dant f?rh?llande, ritat som en graf, kallas en parabel. Dess olika typer presenteras i figuren nedan.

Varje parabel har en vertex, det vill s?ga en punkt fr?n vilken dess grenar kommer ut. Om a>0 g?r de h?gt till o?ndligt, och n?r a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuella representationer av funktioner hj?lper till att l?sa alla ekvationer, inklusive kvadratiska. Denna metod kallas grafisk. Och v?rdet p? x-variabeln ?r abskisskoordinaten vid de punkter d?r graflinjen sk?r 0x. Koordinaterna f?r vertexet kan hittas med formeln som just ges x 0 = -b/2a. Och genom att ers?tta det resulterande v?rdet i funktionens ursprungliga ekvation kan du ta reda p? y 0, det vill s?ga den andra koordinaten f?r parabelns vertex, som h?r till ordinataaxeln.

Sk?rningen av en parabels grenar med abskissaxeln

Det finns m?nga exempel p? att l?sa andragradsekvationer, men det finns ocks? generella m?nster. L?t oss titta p? dem. Det ?r tydligt att sk?rningen av grafen med 0x-axeln f?r a>0 endast ?r m?jlig om 0 tar negativa v?rden. Och f?r en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Annars D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Fr?n parabelns graf kan du ocks? best?mma r?tterna. Det motsatta ?r ocks? sant. Det vill s?ga, om det inte ?r l?tt att f? en visuell representation av en kvadratisk funktion, kan du likst?lla den h?gra sidan av uttrycket med 0 och l?sa den resulterande ekvationen. Och genom att k?nna till sk?rningspunkterna med 0x-axeln ?r det l?ttare att konstruera en graf.

Fr?n historien

Med hj?lp av ekvationer som inneh?ller en kvadratisk variabel gjorde de f?rr i tiden inte bara matematiska ber?kningar och best?mde geometriska figurers area. De gamla beh?vde s?dana ber?kningar f?r stora uppt?ckter inom fysik och astronomi, s?v?l som f?r att g?ra astrologiska prognoser.

Som moderna vetenskapsm?n antyder var inv?narna i Babylon bland de f?rsta att l?sa andragradsekvationer. Detta h?nde fyra ?rhundraden f?re v?r tider?kning. Naturligtvis var deras ber?kningar radikalt annorlunda ?n de som f?r n?rvarande accepteras och visade sig vara mycket mer primitiva. Till exempel hade mesopotamiska matematiker ingen aning om f?rekomsten av negativa tal. De var ocks? obekanta med andra subtiliteter som alla moderna skolbarn k?nner till.

Kanske ?nnu tidigare ?n Babylons vetenskapsm?n b?rjade vismannen fr?n Indien Baudhayama l?sa andragradsekvationer. Detta h?nde ungef?r ?tta ?rhundraden f?re Kristi tidevarv. Det ?r sant att andra ordningens ekvationer, de metoder f?r att l?sa som han gav, var de enklaste. F?rutom honom var kinesiska matematiker ocks? intresserade av liknande fr?gor f?rr i tiden. I Europa b?rjade andragradsekvationer att l?sas f?rst i b?rjan av 1200-talet, men senare anv?ndes de i sina verk av s? stora vetenskapsm?n som Newton, Descartes och m?nga andra.