", det vill s?ga ekvationer av f?rsta graden. I den h?r lektionen ska vi titta p? vad som kallas en andragradsekvation och hur man l?ser det.

Vad ?r en andragradsekvation?

Viktig!

Graden av en ekvation best?ms av den h?gsta grad i vilken det ok?nda st?r.

Om den maximala effekten d?r det ok?nda ?r "2", s? har du en andragradsekvation.

Exempel p? andragradsekvationer

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• -x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Viktig! Den allm?nna formen av en andragradsekvation ser ut s? h?r:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" och "c" ?r givna nummer.

• "a" ?r den f?rsta eller h?gsta koefficienten;
• "b" ?r den andra koefficienten;
• "c" ?r en gratis medlem.

F?r att hitta "a", "b" och "c" m?ste du j?mf?ra din ekvation med den allm?nna formen av andragradsekvationen "ax 2 + bx + c = 0".

L?t oss ?va p? att best?mma koefficienterna "a", "b" och "c" i andragradsekvationer.

5x 2 - 14x + 17 = 0 -7x 2 - 13x + 8 = 0 -x 2 + x +

Ekvationen	Odds
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Hur man l?ser kvadratiska ekvationer

Till skillnad fr?n linj?ra ekvationer anv?nds en speciell metod f?r att l?sa andragradsekvationer. formel f?r att hitta r?tter.

Kom ih?g!

F?r att l?sa en andragradsekvation beh?ver du:

• f?r den andragradsekvationen till den allm?nna formen "ax 2 + bx + c = 0". Det vill s?ga, endast "0" ska vara kvar p? h?ger sida;
• anv?nd formel f?r r?tter:

L?t oss titta p? ett exempel p? hur man anv?nder formeln f?r att hitta r?tterna till en andragradsekvation. L?t oss l?sa en andragradsekvation.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ekvationen "x 2 - 3x - 4 = 0" har redan reducerats till den allm?nna formen "ax 2 + bx + c = 0" och kr?ver inga ytterligare f?renklingar. F?r att l?sa det beh?ver vi bara ans?ka formel f?r att hitta r?tterna till en andragradsekvation.

L?t oss best?mma koefficienterna "a", "b" och "c" f?r denna ekvation.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Den kan anv?ndas f?r att l?sa vilken andragradsekvation som helst.

I formeln "x 1;2 = " byts ofta det radikala uttrycket ut
"b 2 - 4ac" f?r bokstaven "D" och kallas diskriminant. Begreppet diskriminant diskuteras mer ing?ende i lektionen ”Vad ?r en diskriminant”.

L?t oss titta p? ett annat exempel p? en andragradsekvation.

x 2 + 9 + x = 7x

I denna form ?r det ganska sv?rt att best?mma koefficienterna "a", "b" och "c". L?t oss f?rst reducera ekvationen till den allm?nna formen "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Nu kan du anv?nda formeln f?r r?tterna.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Svar: x = 3

Det finns tillf?llen d? andragradsekvationer inte har n?gra r?tter. Denna situation uppst?r n?r formeln inneh?ller ett negativt tal under roten.

Det ?r k?nt att det ?r en speciell version av likheten ax 2 + bx + c = o, d?r a, b och c ?r reella koefficienter f?r ok?nda x, och d?r a ? o, och b och c kommer att vara nollor - samtidigt eller separat. Till exempel, c = o, b ? o eller vice versa. Vi kom n?stan ih?g definitionen av en andragradsekvation.

Andra gradens trinomial ?r noll. Dess f?rsta koefficient a ? o, b och c kan ha vilka v?rden som helst. V?rdet p? variabeln x blir d? n?r substitution g?r den till en korrekt numerisk likhet. L?t oss fokusera p? verkliga r?tter, ?ven om l?sningar p? ekvationen ocks? kan vara en ekvation som ?r komplett d?r ingen av koefficienterna ?r lika med o, a ? o, b ? o, c ? o.
L?t oss l?sa ett exempel. 2x 2 -9x-5 = ?h, vi finner
D = 81+40 = 121,
D ?r positivt, vilket betyder att det finns r?tter, x 1 = (9+?121):4 = 5, och den andra x 2 = (9-?121):4 = -o.5. Kontrollera att de ?r korrekta.

H?r ?r en steg-f?r-steg l?sning p? andragradsekvationen

Med hj?lp av diskriminanten kan du l?sa vilken ekvation som helst p? v?nster sida av vilken det finns en k?nd kvadratisk trinomial f?r a ? o. I v?rt exempel. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+c = o)

L?t oss ?verv?ga vad ofullst?ndiga ekvationer av andra graden ?r

1. ax 2 +in = o. Den fria termen, koefficienten c vid x 0, ?r h?r lika med noll, i ? o.
   Hur l?ser man en ofullst?ndig andragradsekvation av denna typ? L?t oss ta x fr?n parentes. L?t oss komma ih?g n?r produkten av tv? faktorer ?r lika med noll.
   x(ax+b) = o, detta kan vara n?r x = o eller n?r ax+b = o.
   Efter att ha l?st 2:an har vi x = -в/а.
   Som ett resultat har vi r?tter x 1 = 0, enligt ber?kningar x 2 = -b/a.
2. Nu ?r koefficienten f?r x lika med o, och c ?r inte lika med (?) o.
   x 2 + c = o. L?t oss flytta c till h?ger sida om likheten, vi f?r x 2 = -с. Denna ekvation har bara reella r?tter n?r -c ?r ett positivt tal (c ‹ o),
   x 1 ?r d? lika med ?(-c), respektive x 2 ?r -?(-c). Annars har ekvationen inga r?tter alls.
3. Det sista alternativet: b = c = o, det vill s?ga axe 2 = o. Naturligtvis har en s?dan enkel ekvation en rot, x = o.

Speciella fall

Vi tittade p? hur man l?ser en ofullst?ndig kvadratisk ekvation, och l?t oss nu ta vilka typer som helst.

• I en komplett andragradsekvation ?r den andra koefficienten f?r x ett j?mnt tal.
  L?t k = o.5b. Vi har formler f?r att ber?kna diskriminant och r?tter.
  D/4 = k 2 - ac, r?tterna ber?knas som x 1,2 = (-k±?(D/4))/a f?r D › o.
  x = -k/a vid D = o.
  Det finns inga r?tter f?r D ‹ o.
• Det finns andragradsekvationer, n?r koefficienten f?r x i kvadrat ?r lika med 1, skrivs de vanligtvis x 2 + рх + q = o. Alla ovanst?ende formler g?ller f?r dem, men ber?kningarna ?r n?got enklare.
  Exempel, x 2 -4x-9 = 0. Ber?kna D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+?13, x 2 = 2-?13.
• Dessutom ?r det l?tt att applicera p? de givna Det st?r att summan av ekvationens r?tter ?r lika med -p, den andra koefficienten med ett minus (vilket betyder motsatt tecken), och produkten av dessa samma r?tter kommer. vara lika med q, den fria termen. Se hur l?tt det skulle vara att best?mma r?tterna till denna ekvation verbalt. F?r oreducerade koefficienter (f?r alla koefficienter som inte ?r lika med noll) ?r denna sats till?mpbar enligt f?ljande: summan x 1 + x 2 ?r lika med -b/a, produkten x 1 ·x 2 ?r lika med c/a.

Summan av den fria termen c och den f?rsta koefficienten a ?r lika med koefficienten b. I denna situation har ekvationen minst en rot (l?tt att bevisa), den f?rsta ?r n?dv?ndigtvis lika med -1, och den andra -c/a, om den finns. Du kan sj?lv kontrollera hur du l?ser en ofullst?ndig andragradsekvation. L?tt som en pl?tt. Koefficienterna kan st? i vissa relationer med varandra

• x 2 + x = o, 7 x 2 -7 = o.
• Summan av alla koefficienter ?r lika med o.
  R?tterna till en s?dan ekvation ?r 1 och c/a. Exempel, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Det finns ett antal andra s?tt att l?sa olika andragradsekvationer. H?r finns till exempel en metod f?r att extrahera en fullst?ndig kvadrat fr?n ett givet polynom. Det finns flera grafiska metoder. N?r du ofta hanterar s?dana exempel kommer du att l?ra dig att "klicka" p? dem som fr?n, eftersom alla metoder kommer att t?nka p? automatiskt.

F?rsta niv?n

Kvadratisk ekvation. The Comprehensive Guide (2019)

I termen "kvadratisk ekvation" ?r nyckelordet "kvadratisk". Det betyder att ekvationen n?dv?ndigtvis m?ste inneh?lla en variabel (samma x) i kvadrat, och det b?r inte finnas xes till den tredje (eller st?rre) potensen.

L?sningen av m?nga ekvationer handlar om att l?sa andragradsekvationer.

L?t oss l?ra oss att best?mma att detta ?r en andragradsekvation och inte n?gon annan ekvation.

Exempel 1.

L?t oss bli av med n?mnaren och multiplicera varje led i ekvationen med

L?t oss flytta allt till v?nster och ordna termerna i fallande ordning av potenser av X

Nu kan vi med tillf?rsikt s?ga att denna ekvation ?r kvadratisk!

Exempel 2.

Multiplicera v?nster och h?ger sida med:

Denna ekvation, ?ven om den ursprungligen fanns i den, ?r inte kvadratisk!

Exempel 3.

L?t oss multiplicera allt med:

Skr?mmande? Den fj?rde och andra graden... Men om vi g?r en ers?ttning kommer vi att se att vi har en enkel andragradsekvation:

Exempel 4.

Det verkar finnas d?r, men l?t oss ta en n?rmare titt. L?t oss flytta allt till v?nster sida:

Se, det ?r reducerat - och nu ?r det en enkel linj?r ekvation!

F?rs?k nu sj?lv avg?ra vilka av f?ljande ekvationer som ?r kvadratiska och vilka som inte ?r det:

Exempel:

Svar:

1. fyrkant;
2. fyrkant;
3. inte kvadratisk;
4. inte kvadratisk;
5. inte kvadratisk;
6. fyrkant;
7. inte kvadratisk;
8. fyrkant.

Matematiker delar konventionellt in alla andragradsekvationer i f?ljande typer:

• Komplettera andragradsekvationer- ekvationer d?r koefficienterna och, samt den fria termen c, inte ?r lika med noll (som i exemplet). Dessutom finns det bland kompletta andragradsekvationer given- det h?r ?r ekvationer d?r koefficienten (ekvationen fr?n exempel ett inte bara ?r komplett utan ocks? reducerad!)

• Ofullst?ndiga andragradsekvationer- ekvationer d?r koefficienten och eller den fria termen c ?r lika med noll:

  De ?r ofullst?ndiga eftersom de saknar n?got element. Men ekvationen m?ste alltid inneh?lla x i kvadrat!!! Annars blir det inte l?ngre en andragradsekvation, utan n?gon annan ekvation.

Varf?r kom de p? en s?dan uppdelning? Det verkar som att det finns ett X i kvadrat, och okej. Denna uppdelning best?ms av l?sningsmetoderna. L?t oss titta p? var och en av dem mer i detalj.

L?sa ofullst?ndiga andragradsekvationer

L?t oss f?rst fokusera p? att l?sa ofullst?ndiga andragradsekvationer - de ?r mycket enklare!

Det finns typer av ofullst?ndiga andragradsekvationer:

1. , i denna ekvation ?r koefficienten lika.
2. , i denna ekvation ?r den fria termen lika med.
3. , i denna ekvation ?r koefficienten och den fria termen lika.

1. i. Eftersom vi vet hur man tar kvadratroten, l?t oss uttrycka fr?n denna ekvation

Uttrycket kan vara antingen negativt eller positivt. Ett kvadratiskt tal kan inte vara negativt, f?r n?r man multiplicerar tv? negativa eller tv? positiva tal blir resultatet alltid ett positivt tal, s?: om, d? har ekvationen inga l?sningar.

Och om, d? f?r vi tv? r?tter. Det finns inget behov av att memorera dessa formler. Huvudsaken ?r att du m?ste veta och alltid komma ih?g att det inte kan vara mindre.

L?t oss f?rs?ka l?sa n?gra exempel.

Exempel 5:

L?s ekvationen

Nu ?terst?r bara att extrahera roten fr?n v?nster och h?ger sida. N?r allt kommer omkring kommer du ih?g hur man extraherar r?tter?

Svar:

Gl?m aldrig r?tter med negativt tecken!!!

Exempel 6:

L?s ekvationen

Svar:

Exempel 7:

L?s ekvationen

?h! Kvadraten p? ett tal kan inte vara negativ, vilket betyder ekvationen

inga r?tter!

F?r s?dana ekvationer som inte har n?gra r?tter kom matematiker p? en speciell ikon - (tom upps?ttning). Och svaret kan skrivas s? h?r:

Svar:

S?ledes har denna andragradsekvation tv? r?tter. Det finns inga begr?nsningar h?r, eftersom vi inte extraherade roten.
Exempel 8:

L?s ekvationen

L?t oss ta den gemensamma faktorn utanf?r parentes:

S?ledes,

Denna ekvation har tv? r?tter.

Svar:

Den enklaste typen av ofullst?ndiga andragradsekvationer (?ven om de alla ?r enkla, eller hur?). Uppenbarligen har denna ekvation alltid bara en rot:

Vi kommer att avst? fr?n exempel h?r.

L?sa kompletta andragradsekvationer

Vi p?minner dig om att en komplett andragradsekvation ?r en ekvation av formen ekvation d?r

Att l?sa kompletta andragradsekvationer ?r lite sv?rare (bara lite) ?n dessa.

Kom ih?g, Vilken andragradsekvation som helst kan l?sas med en diskriminant! Till och med ofullst?ndig.

De andra metoderna hj?lper dig att g?ra det snabbare, men om du har problem med andragradsekvationer, beh?rska f?rst l?sningen med hj?lp av diskriminanten.

1. L?sa andragradsekvationer med en diskriminant.

Att l?sa andragradsekvationer med den h?r metoden ?r mycket enkelt, det viktigaste ?r att komma ih?g sekvensen av ?tg?rder och ett par formler.

Om, d? ekvationen har en rot Du m?ste ?gna s?rskild uppm?rksamhet ?t steget. Diskriminant () talar om f?r oss antalet r?tter i ekvationen.

• Om, d? kommer formeln i steget att reduceras till. S?ledes kommer ekvationen bara att ha en rot.
• Om, d? kommer vi inte att kunna extrahera roten till diskriminanten vid steget. Detta indikerar att ekvationen inte har n?gra r?tter.

L?t oss g? tillbaka till v?ra ekvationer och titta p? n?gra exempel.

Exempel 9:

L?s ekvationen

Steg 1 vi hoppar ?ver.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Det betyder att ekvationen har tv? r?tter.

Steg 3.

Svar:

Exempel 10:

L?s ekvationen

Ekvationen presenteras i standardform, s? Steg 1 vi hoppar ?ver.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Det betyder att ekvationen har en rot.

Svar:

Exempel 11:

L?s ekvationen

Ekvationen presenteras i standardform, s? Steg 1 vi hoppar ?ver.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Det betyder att vi inte kommer att kunna utvinna roten till diskriminanten. Det finns inga r?tter till ekvationen.

Nu vet vi hur man korrekt skriver ner s?dana svar.

Svar: inga r?tter

2. L?sa andragradsekvationer med hj?lp av Vietas sats.

Om du kommer ih?g, det finns en typ av ekvation som kallas reducerad (n?r koefficienten a ?r lika med):

S?dana ekvationer ?r mycket l?tta att l?sa med hj?lp av Vietas sats:

Summan av r?tter given andragradsekvationen ?r lika, och produkten av r?tterna ?r lika.

Exempel 12:

L?s ekvationen

Denna ekvation kan l?sas med hj?lp av Vietas sats eftersom .

Summan av ekvationens r?tter ?r lika, d.v.s. vi f?r den f?rsta ekvationen:

Och produkten ?r lika med:

L?t oss komponera och l?sa systemet:

• Och. Beloppet ?r lika med;
• Och. Beloppet ?r lika med;
• Och. Beloppet ?r lika.

och ?r l?sningen p? systemet:

Svar: ; .

Exempel 13:

L?s ekvationen

Svar:

Exempel 14:

L?s ekvationen

Ekvationen ?r given, vilket betyder:

Svar:

KVADRATISK EKVATION. GENOMSNITTLIG NIV?

Vad ?r en andragradsekvation?

Med andra ord ?r en andragradsekvation en ekvation av formen, d?r - det ok?nda, - n?gra tal, och.

Numret kallas det h?gsta eller f?rsta koefficienten andragradsekvation, - andra koefficienten, A - gratis medlem.

Varf?r? F?r om ekvationen omedelbart blir linj?r, eftersom kommer f?rsvinna.

I detta fall kan och vara lika med noll. I denna stol kallas ekvationen ofullst?ndig. Om alla termer ?r p? plats, det vill s?ga, ?r ekvationen komplett.

L?sningar p? olika typer av andragradsekvationer

Metoder f?r att l?sa ofullst?ndiga andragradsekvationer:

L?t oss f?rst titta p? metoder f?r att l?sa ofullst?ndiga andragradsekvationer - de ?r enklare.

Vi kan s?rskilja f?ljande typer av ekvationer:

I., i denna ekvation ?r koefficienten och den fria termen lika.

II. , i denna ekvation ?r koefficienten lika.

III. , i denna ekvation ?r den fria termen lika med.

L?t oss nu titta p? l?sningen f?r var och en av dessa undertyper.

Uppenbarligen har denna ekvation alltid bara en rot:

Ett kvadratiskt tal kan inte vara negativt, f?r n?r du multiplicerar tv? negativa eller tv? positiva tal blir resultatet alltid ett positivt tal. Det ?r d?rf?r:

om, d? har ekvationen inga l?sningar;

om vi har tv? r?tter

Det finns inget behov av att memorera dessa formler. Det viktigaste att komma ih?g ?r att det inte kan vara mindre.

Exempel:

L?sningar:

Svar:

Gl?m aldrig r?tter med negativt tecken!

Kvadraten p? ett tal kan inte vara negativ, vilket betyder ekvationen

inga r?tter.

F?r att kortfattat skriva ner att ett problem inte har n?gra l?sningar anv?nder vi den tomma upps?ttningsikonen.

Svar:

S? den h?r ekvationen har tv? r?tter: och.

Svar:

L?t oss ta den gemensamma faktorn utanf?r parentes:

Produkten ?r lika med noll om minst en av faktorerna ?r lika med noll. Det betyder att ekvationen har en l?sning n?r:

S? den h?r andragradsekvationen har tv? r?tter: och.

Exempel:

L?s ekvationen.

L?sning:

L?t oss faktorisera den v?nstra sidan av ekvationen och hitta r?tterna:

Svar:

Metoder f?r att l?sa fullst?ndiga andragradsekvationer:

1. Diskriminerande

Att l?sa andragradsekvationer p? detta s?tt ?r enkelt, det viktigaste ?r att komma ih?g sekvensen av ?tg?rder och ett par formler. Kom ih?g att vilken andragradsekvation som helst kan l?sas med en diskriminant! Till och med ofullst?ndig.

Lade du m?rke till roten fr?n diskriminanten i formeln f?r r?tter? Men diskriminanten kan vara negativ. Vad ska man g?ra? Vi m?ste ?gna s?rskild uppm?rksamhet ?t steg 2. Diskriminanten talar om f?r oss antalet r?tter i ekvationen.

• Om, d? har ekvationen r?tter:
• Om, d? ekvationen har samma r?tter, och faktiskt en rot:

  S?dana r?tter kallas dubbelr?tter.

• Om, d? ?r roten till diskriminanten inte extraherad. Detta indikerar att ekvationen inte har n?gra r?tter.

Varf?r ?r olika antal r?tter m?jliga? L?t oss g? ?ver till den geometriska betydelsen av den andragradsekvationen. Grafen f?r funktionen ?r en parabel:

I ett specialfall, som ?r en andragradsekvation, . Det betyder att r?tterna till en andragradsekvation ?r sk?rningspunkterna med abskissaxeln (axeln). En parabel kanske inte sk?r axeln alls, eller kan sk?ra den vid en (n?r parabelns spets ligger p? axeln) eller tv? punkter.

Dessutom ?r koefficienten ansvarig f?r riktningen av parabelns grenar. Om, d? ?r parabelns grenar riktade upp?t, och om, d? ned?t.

Exempel:

L?sningar:

Svar:

Svar: .

Svar:

Det betyder att det inte finns n?gra l?sningar.

Svar: .

2. Vietas sats

Det ?r v?ldigt l?tt att anv?nda Vietas sats: du beh?ver bara v?lja ett par tal vars produkt ?r lika med ekvationens fria term, och summan ?r lika med den andra koefficienten taget med motsatt tecken.

Det ?r viktigt att komma ih?g att Vietas teorem endast kan till?mpas i reducerade andragradsekvationer ().

L?t oss titta p? n?gra exempel:

Exempel #1:

L?s ekvationen.

L?sning:

Denna ekvation kan l?sas med hj?lp av Vietas sats eftersom . Andra koefficienter: ; .

Summan av r?tterna till ekvationen ?r:

Och produkten ?r lika med:

L?t oss v?lja par av tal vars produkt ?r lika och kontrollera om deras summa ?r lika:

• Och. Beloppet ?r lika med;
• Och. Beloppet ?r lika med;
• Och. Beloppet ?r lika.

och ?r l?sningen p? systemet:

Allts? och ?r r?tterna till v?r ekvation.

Svar: ; .

Exempel #2:

L?sning:

L?t oss v?lja par av tal som ger i produkten och kontrollera sedan om deras summa ?r lika:

och: de ger totalt.

och: de ger totalt. F?r att f? r?cker det att helt enkelt ?ndra tecknen p? de f?rmodade r?tterna: och trots allt produkten.

Svar:

Exempel #3:

L?sning:

Ekvationens fria term ?r negativ, och d?rf?r ?r produkten av r?tterna ett negativt tal. Detta ?r endast m?jligt om en av r?tterna ?r negativ och den andra ?r positiv. D?rf?r ?r summan av r?tterna lika med skillnader i sina moduler.

L?t oss v?lja s?dana par av siffror som ger i produkten, och vars skillnad ?r lika med:

och: deras skillnad ?r lika - passar inte;

och: - inte l?mplig;

och: - inte l?mplig;

och: - l?mplig. Allt som ?terst?r ?r att komma ih?g att en av r?tterna ?r negativ. Eftersom deras summa m?ste vara lika, m?ste roten med den mindre modulen vara negativ: . Vi kontrollerar:

Svar:

Exempel #4:

L?s ekvationen.

L?sning:

Ekvationen ?r given, vilket betyder:

Den fria termen ?r negativ, och d?rf?r ?r produkten av r?tterna negativ. Och detta ?r bara m?jligt n?r en rot av ekvationen ?r negativ och den andra ?r positiv.

L?t oss v?lja nummerpar vars produkt ?r lika och sedan best?mma vilka r?tter som ska ha ett negativt tecken:

Uppenbarligen ?r bara r?tterna och l?mpliga f?r det f?rsta tillst?ndet:

Svar:

Exempel #5:

L?s ekvationen.

L?sning:

Ekvationen ?r given, vilket betyder:

Summan av r?tterna ?r negativ, vilket betyder att minst en av r?tterna ?r negativ. Men eftersom deras produkt ?r positiv betyder det att b?da r?tterna har ett minustecken.

L?t oss v?lja nummerpar vars produkt ?r lika med:

Uppenbarligen ?r r?tterna siffrorna och.

Svar:

H?ller med, det ?r v?ldigt bekv?mt att komma p? r?tter muntligt, ist?llet f?r att r?kna denna ot?cka diskriminant. F?rs?k att anv?nda Vietas sats s? ofta som m?jligt.

Men Vietas teorem beh?vs f?r att underl?tta och p?skynda att hitta r?tterna. F?r att du ska kunna dra nytta av att anv?nda den m?ste du f?ra ?tg?rderna till automatik. Och f?r detta, l?s ytterligare fem exempel. Men fuska inte: du kan inte anv?nda en diskriminant! Endast Vietas teorem:

L?sningar p? uppgifter f?r sj?lvst?ndigt arbete:

Uppgift 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Enligt Vietas teorem:

Som vanligt b?rjar vi urvalet med stycket:

Inte l?mplig eftersom m?ngden;

: m?ngden ?r precis vad du beh?ver.

Svar: ; .

Uppgift 2.

Och ?terigen v?r favorit Vieta-sats: summan m?ste vara lika, och produkten m?ste vara lika.

Men eftersom det m?ste vara inte, men, vi ?ndrar tecken p? r?tterna: och (totalt).

Svar: ; .

Uppgift 3.

Hmm... Var ?r det?

Du m?ste flytta alla termer till en del:

Summan av r?tterna ?r lika med produkten.

Okej, sluta! Ekvationen ?r inte given. Men Vietas teorem ?r endast till?mplig i de givna ekvationerna. S? f?rst m?ste du ge en ekvation. Om du inte kan leda, ge upp den h?r id?n och l?s den p? ett annat s?tt (till exempel genom en diskriminant). L?t mig p?minna dig om att att ge en andragradsekvation betyder att g?ra den ledande koefficienten lika med:

Bra. D? ?r summan av r?tterna lika med och produkten.

Det ?r l?tt som en pl?tt att v?lja h?r: trots allt ?r det ett primtal (f?rl?t f?r tautologin).

Svar: ; .

Uppgift 4.

Den gratis medlemmen ?r negativ. Vad ?r speciellt med detta? Och faktum ?r att r?tterna kommer att ha olika tecken. Och nu, under urvalet, kontrollerar vi inte summan av r?tterna, utan skillnaden i deras moduler: denna skillnad ?r lika, men en produkt.

S? r?tterna ?r lika med och, men en av dem ?r minus. Vietas sats s?ger att summan av r?tterna ?r lika med den andra koefficienten med motsatt tecken, det vill s?ga. Detta betyder att den mindre roten kommer att ha ett minus: och, sedan.

Svar: ; .

Uppgift 5.

Vad ska du g?ra f?rst? Det st?mmer, ge ekvationen:

?terigen: vi v?ljer faktorerna f?r antalet, och deras skillnad ska vara lika med:

R?tterna ?r lika med och, men en av dem ?r minus. Som? Deras summa b?r vara lika, vilket inneb?r att minuset kommer att ha en st?rre rot.

Svar: ; .

L?t mig sammanfatta:

1. Vietas sats anv?nds endast i de angivna andragradsekvationerna.
2. Med hj?lp av Vietas teorem kan du hitta r?tterna genom urval, muntligt.
3. Om ekvationen inte ges eller inget l?mpligt par av faktorer f?r den fria termen hittas, s? finns det inga hela r?tter, och du m?ste l?sa det p? annat s?tt (till exempel genom en diskriminant).

3. Metod f?r att v?lja en komplett ruta

Om alla termer som inneh?ller det ok?nda representeras i form av termer fr?n f?rkortade multiplikationsformler - kvadraten p? summan eller skillnaden - s? kan efter att ha ersatt variablerna ekvationen presenteras i form av en ofullst?ndig kvadratisk ekvation av typen.

Till exempel:

Exempel 1:

L?s ekvationen: .

L?sning:

Svar:

Exempel 2:

L?s ekvationen: .

L?sning:

Svar:

Generellt sett kommer transformationen att se ut s? h?r:

Detta inneb?r: .

P?minner du dig inte om n?gonting? Detta ?r en diskriminerande sak! Det ?r precis s? vi fick den diskriminerande formeln.

KVADRATISK EKVATION. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA

Andragradsekvation- detta ?r en ekvation av formen, d?r - det ok?nda, - andragradsekvationens koefficienter, - den fria termen.

Komplett andragradsekvation- en ekvation d?r koefficienterna inte ?r lika med noll.

Reducerad andragradsekvation- en ekvation d?r koefficienten, det vill s?ga: .

Ofullst?ndig andragradsekvation- en ekvation d?r koefficienten och eller den fria termen c ?r lika med noll:

• om koefficienten ser ekvationen ut s? h?r: ,
• om det finns en fri term har ekvationen formen: ,
• om och, ser ekvationen ut s? h?r: .

1. Algoritm f?r att l?sa ofullst?ndiga andragradsekvationer

1.1. En ofullst?ndig andragradsekvation av formen, d?r:

1) L?t oss uttrycka det ok?nda: ,

2) Kontrollera uttryckets tecken:

• om, d? ekvationen inte har n?gra l?sningar,
• om, d? har ekvationen tv? r?tter.

1.2. En ofullst?ndig andragradsekvation av formen, d?r:

1) L?t oss ta den gemensamma faktorn ur parentes: ,

2) Produkten ?r lika med noll om minst en av faktorerna ?r lika med noll. D?rf?r har ekvationen tv? r?tter:

1.3. Ofullst?ndig andragradsekvation av formen, d?r:

Denna ekvation har alltid bara en rot: .

2. Algoritm f?r att l?sa fullst?ndiga andragradsekvationer av formen d?r

2.1. L?sning med diskriminant

1) L?t oss ta ekvationen till standardform: ,

2) L?t oss ber?kna diskriminanten med formeln: , som anger antalet r?tter i ekvationen:

3) Hitta r?tterna till ekvationen:

• om, d? har ekvationen r?tter, som hittas av formeln:
• om, d? har ekvationen en rot, som hittas av formeln:
• om, d? har ekvationen inga r?tter.

2.2. L?sning med hj?lp av Vietas teorem

Summan av r?tterna till den reducerade andragradsekvationen (ekvationen av formen d?r) ?r lika, och produkten av r?tterna ?r lika, d.v.s. , A.

2.3. L?sning genom metoden att v?lja en komplett kvadrat

Andragradsekvationsproblem studeras b?de i skolans l?roplan och p? universiteten. De betyder ekvationer av formen a*x^2 + b*x + c = 0, d?r x- variabel, a, b, c – konstanter; a<>0 . Uppgiften ?r att hitta r?tterna till ekvationen.

Geometrisk betydelse av andragradsekvationen

Grafen f?r en funktion som representeras av en andragradsekvation ?r en parabel. L?sningarna (r?tterna) till en andragradsekvation ?r sk?rningspunkterna mellan parabeln och abskissan (x)-axeln. H?rav f?ljer att det finns tre m?jliga fall:
1) parabeln har inga sk?rningspunkter med abskissaxeln. Det betyder att den ?r i det ?vre planet med grenar upp?t eller botten med grenar ner?t. I s?dana fall har andragradsekvationen inga riktiga r?tter (den har tv? komplexa r?tter).

2) parabeln har en sk?rningspunkt med Ox-axeln. En s?dan punkt kallas parabelns vertex, och andragradsekvationen vid den f?r sitt l?gsta eller maximala v?rde. I det h?r fallet har andragradsekvationen en reell rot (eller tv? identiska r?tter).

3) Det sista fallet ?r mer intressant i praktiken - det finns tv? sk?rningspunkter f?r parabeln med abskissaxeln. Det betyder att det finns tv? reella r?tter till ekvationen.

Baserat p? analysen av koefficienterna f?r variablernas potenser kan intressanta slutsatser dras om parabelns placering.

1) Om koefficienten a ?r st?rre ?n noll, ?r parabelns grenar riktade upp?t, om den ?r negativa, ?r parabelns grenar riktade ned?t.

2) Om koefficienten b ?r st?rre ?n noll, s? ligger parabelns vertex i det v?nstra halvplanet, om det tar ett negativt v?rde, d? i det h?gra.

H?rledning av formeln f?r att l?sa en andragradsekvation

L?t oss ?verf?ra konstanten fr?n andragradsekvationen

f?r likhetstecknet f?r vi uttrycket

Multiplicera b?da sidor med 4a

F?r att f? en komplett ruta till v?nster, l?gg till b^2 p? b?da sidor och utf?r omvandlingen

H?rifr?n finner vi

Formel f?r diskriminant och r?tter till en andragradsekvation

Diskriminanten ?r v?rdet p? det radikala uttrycket Om det ?r positivt, har ekvationen tv? reella r?tter, ber?knade med formeln N?r diskriminanten ?r noll har andragradsekvationen en l?sning (tv? sammanfallande r?tter), som enkelt kan erh?llas fr?n formeln ovan f?r D=0. N?r diskriminanten ?r negativ har ekvationen inga reella r?tter. L?sningar till andragradsekvationen finns dock i det komplexa planet, och deras v?rde ber?knas med formeln

Vietas sats

L?t oss betrakta tv? r?tter av en andragradsekvation och konstruera en andragradsekvation p? grundval av deras sats sj?lvt f?ljer av notationen: om vi har en andragradsekvation av formen. d? ?r summan av dess r?tter lika med koefficienten p taget med motsatt tecken, och produkten av ekvationens r?tter ?r lika med den fria termen q. Formeln f?r ovanst?ende kommer att se ut som Om konstanten a i en klassisk ekvation inte ?r noll, m?ste du dividera hela ekvationen med den och sedan till?mpa Vietas sats.

Factoring andragradsekvationsschema

L?t uppgiften best?mmas: faktorisera en andragradsekvation. F?r att g?ra detta l?ser vi f?rst ekvationen (hitta r?tterna). D?refter ers?tter vi den andragradsekvationen med de hittade r?tterna i expansionsformeln. Detta kommer att l?sa problemet.

Andragradsekvationsproblem

Uppgift 1. Hitta r?tterna till en andragradsekvation

x^2-26x+120=0 .

L?sning: Skriv ner koefficienterna och s?tt in dem i diskriminantformeln

Roten till detta v?rde ?r 14, det ?r l?tt att hitta med en minir?knare, eller komma ih?g med frekvent anv?ndning, men f?r enkelhetens skull kommer jag i slutet av artikeln att ge dig en lista ?ver kvadrater av tal som ofta kan p?tr?ffas i s?dana problem.
Vi ers?tter det hittade v?rdet i rotformeln

och vi f?r

Uppgift 2. L?s ekvationen

2x2 +x-3=0.

L?sning: Vi har en komplett andragradsekvation, skriver ut koefficienterna och hittar diskriminanten


Med hj?lp av k?nda formler hittar vi r?tterna till andragradsekvationen

Uppgift 3. L?s ekvationen

9x2 -12x+4=0.

L?sning: Vi har en komplett andragradsekvation. Best?mma diskriminant

Vi fick ett fall d?r r?tterna sammanfaller. Hitta r?tternas v?rden med hj?lp av formeln

Uppgift 4. L?s ekvationen

x^2+x-6=0 .

L?sning: I fall d?r det finns sm? koefficienter f?r x, ?r det l?mpligt att till?mpa Vietas sats. Genom dess tillst?nd f?r vi tv? ekvationer

Fr?n det andra villkoret finner vi att produkten m?ste vara lika med -6. Det betyder att en av r?tterna ?r negativ. Vi har f?ljande m?jliga l?sningspar (-3;2), (3;-2) . Med h?nsyn till det f?rsta villkoret f?rkastar vi det andra paret av l?sningar.
R?tterna till ekvationen ?r lika

Uppgift 5. Hitta l?ngden p? sidorna i en rektangel om dess omkrets ?r 18 cm och dess area ?r 77 cm 2.

L?sning: Halva omkretsen av en rektangel ?r lika med summan av dess intilliggande sidor. L?t oss beteckna x som den st?rre sidan, d? ?r 18-x dess mindre sida. Arean av rektangeln ?r lika med produkten av dessa l?ngder:
x(18-x)=77;
eller
x 2 -18x+77=0.
L?t oss hitta ekvationens diskriminant

Ber?kna r?tterna till ekvationen

Om x=11, Den d?r 18's=7 , motsatsen ?r ocks? sant (om x=7, d? 21:or=9).

Uppgift 6. Faktorisera andragradsekvationen 10x 2 -11x+3=0.

L?sning: L?t oss ber?kna r?tterna till ekvationen, f?r att g?ra detta hittar vi diskriminanten

Vi ers?tter det hittade v?rdet i rotformeln och ber?knar

Vi till?mpar formeln f?r att s?nderdela en andragradsekvation med r?tter

Genom att ?ppna parentesen f?r vi en identitet.

Andragradsekvation med parameter

Exempel 1. Vid vilka parameterv?rden A , har ekvationen (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 en rot?

L?sning: Genom direkt substitution av v?rdet a=3 ser vi att det inte har n?gon l?sning. D?refter kommer vi att anv?nda det faktum att med en nolldiskriminant har ekvationen en rot av multiplicitet 2. L?t oss skriva ut diskriminanten

L?t oss f?renkla det och likst?lla det med noll

Vi har erh?llit en andragradsekvation med avseende p? parametern a, vars l?sning l?tt kan erh?llas med hj?lp av Vietas sats. Summan av r?tterna ?r 7, och deras produkt ?r 12. Genom enkel s?kning sl?r vi fast att talen 3,4 kommer att vara r?tterna till ekvationen. Eftersom vi redan f?rkastade l?sningen a=3 i b?rjan av ber?kningarna, kommer den enda korrekta att vara - a=4. S?ledes, n?r a=4 har ekvationen en rot.

Exempel 2. Vid vilka parameterv?rden A , ekvationen a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 har mer ?n en rot?

L?sning: L?t oss f?rst ?verv?ga singularpunkterna, de kommer att vara v?rdena a=0 och a=-3. N?r a=0 kommer ekvationen att f?renklas till formen 6x-9=0; x=3/2 och det kommer att finnas en rot. F?r a= -3 f?r vi identiteten 0=0.
L?t oss r?kna ut diskriminanten

och hitta v?rdet p? a d?r det ?r positivt

Fr?n det f?rsta villkoret f?r vi a>3. F?r det andra hittar vi ekvationens diskriminant och r?tter


L?t oss best?mma intervallen d?r funktionen tar positiva v?rden. Genom att ers?tta punkten a=0 f?r vi 3>0 . S? utanf?r intervallet (-3;1/3) ?r funktionen negativ. Gl?m inte po?ngen a=0, som b?r uteslutas eftersom den ursprungliga ekvationen har en rot i sig.
Som ett resultat f?r vi tv? intervall som uppfyller villkoren f?r problemet

Det kommer att finnas m?nga liknande uppgifter i praktiken, f?rs?k att lista ut uppgifterna sj?lv och gl?m inte att ta h?nsyn till de villkor som utesluter varandra. Studera v?l formlerna f?r att l?sa andragradsekvationer de beh?vs ofta i ber?kningar inom olika problem och vetenskaper.

Det h?r ?mnet kan tyckas komplicerat till en b?rjan p? grund av de m?nga inte s? enkla formlerna. Inte bara andragradsekvationerna i sig har l?nga notationer, utan r?tterna hittas ocks? genom diskriminanten. Totalt erh?lls tre nya formler. Inte s? l?tt att komma ih?g. Detta ?r m?jligt endast efter att ha l?st s?dana ekvationer ofta. D? kommer alla formler att komma ih?g av sig sj?lva.

Allm?n bild av en andragradsekvation

H?r f?resl?r vi deras explicita notation, n?r den st?rsta graden skrivs f?rst, och sedan i fallande ordning. Det finns ofta situationer n?r villkoren ?r inkonsekventa. D? ?r det b?ttre att skriva om ekvationen i fallande ordning efter variabelns grad.

L?t oss introducera lite notation. De presenteras i tabellen nedan.

Om vi accepterar dessa notationer reduceras alla andragradsekvationer till f?ljande notation.

Dessutom ?r koefficienten a ? 0. L?t denna formel betecknas som nummer ett.

N?r en ekvation ges ?r det inte klart hur m?nga r?tter det kommer att finnas i svaret. Eftersom ett av tre alternativ alltid ?r m?jligt:

• l?sningen kommer att ha tv? r?tter;
• svaret blir ett nummer;
• ekvationen kommer inte att ha n?gra r?tter alls.

Och tills beslutet ?r klart ?r det sv?rt att f?rst? vilket alternativ som kommer att dyka upp i ett s?rskilt fall.

Typer av registreringar av andragradsekvationer

Det kan finnas olika poster i uppgifter. De kommer inte alltid att se ut som den allm?nna kvadratiska ekvationsformeln. Ibland kommer det att sakna n?gra termer. Det som skrevs ovan ?r den fullst?ndiga ekvationen. Om du tar bort den andra eller tredje termen i den f?r du n?got annat. Dessa poster kallas ocks? andragradsekvationer, endast ofullst?ndiga.

Dessutom kan bara termer med koefficienterna "b" och "c" f?rsvinna. Siffran "a" kan inte vara lika med noll under n?gra omst?ndigheter. F?r i det h?r fallet f?rvandlas formeln till en linj?r ekvation. Formlerna f?r den ofullst?ndiga formen av ekvationer kommer att vara f?ljande:

S?, det finns bara tv? typer f?rutom kompletta, det finns ocks? ofullst?ndiga andragradsekvationer. L?t den f?rsta formeln vara nummer tv? och den andra - tre.

Diskriminerande och beroende av antalet r?tter p? dess v?rde

Du m?ste k?nna till detta tal f?r att kunna ber?kna r?tterna till ekvationen. Det g?r alltid att ber?kna, oavsett vilken formel f?r andragradsekvationen ?r. F?r att r?kna ut diskriminanten m?ste du anv?nda j?mst?lldheten nedan, som kommer att ha nummer fyra.

Efter att ha ersatt koefficientv?rdena i denna formel kan du f? tal med olika tecken. Om svaret ?r ja, kommer svaret p? ekvationen att vara tv? olika r?tter. Om talet ?r negativt kommer det inte att finnas n?gra r?tter till andragradsekvationen. Om det ?r lika med noll blir det bara ett svar.

Hur l?ser man en komplett andragradsekvation?

Faktum ?r att ?verv?gandet av denna fr?ga redan har b?rjat. F?r f?rst m?ste du hitta en diskriminant. N?r det har fastst?llts att det finns r?tter till andragradsekvationen, och deras antal ?r k?nt, m?ste du anv?nda formler f?r variablerna. Om det finns tv? r?tter m?ste du till?mpa f?ljande formel.

Eftersom det inneh?ller ett "±"-tecken kommer det att finnas tv? betydelser. Uttrycket under kvadratrottecknet ?r diskriminanten. D?rf?r kan formeln skrivas om annorlunda.

Formel nummer fem. Fr?n samma post ?r det tydligt att om diskriminanten ?r lika med noll, kommer b?da r?tterna att ha samma v?rden.

Om l?sningen av andragradsekvationer ?nnu inte har utarbetats, ?r det b?ttre att skriva ner v?rdena f?r alla koefficienter innan du anv?nder diskriminant- och variabelformlerna. Senare kommer detta ?gonblick inte att orsaka sv?righeter. Men i b?rjan r?der f?rvirring.

Hur l?ser man en ofullst?ndig andragradsekvation?

Allt ?r mycket enklare h?r. Det finns inte ens behov av ytterligare formler. Och de som redan har skrivits ner f?r den diskriminerande och det ok?nda kommer inte att beh?vas.

L?t oss f?rst titta p? ofullst?ndig ekvation nummer tv?. I denna likhet ?r det n?dv?ndigt att ta den ok?nda kvantiteten ur parentes och l?sa den linj?ra ekvationen, som kommer att f?rbli inom parentes. Svaret kommer att ha tv? r?tter. Den f?rsta ?r n?dv?ndigtvis lika med noll, eftersom det finns en multiplikator som best?r av sj?lva variabeln. Den andra erh?lls genom att l?sa en linj?r ekvation.

Den ofullst?ndiga ekvationen nummer tre l?ses genom att flytta talet fr?n v?nster sida av likheten till h?ger. Sedan m?ste du dividera med koefficienten mot det ok?nda. Allt som ?terst?r ?r att extrahera kvadratroten och kom ih?g att skriva ner den tv? g?nger med motsatta tecken.

Nedan f?ljer n?gra ?tg?rder som hj?lper dig att l?ra dig hur du l?ser alla typer av likheter som f?rvandlas till andragradsekvationer. De kommer att hj?lpa eleven att undvika misstag p? grund av ouppm?rksamhet. Dessa brister kan orsaka d?liga betyg n?r man studerar det omfattande ?mnet "Quadratic Equations (Betyg 8)." D?refter kommer dessa ?tg?rder inte att beh?va utf?ras konstant. Eftersom en stabil f?rdighet kommer att dyka upp.

• F?rst m?ste du skriva ekvationen i standardform. Det vill s?ga f?rst termen med den st?rsta graden av variabeln, och sedan - utan en grad, och sist - bara ett tal.

• Om ett minus visas f?re koefficienten "a", kan det komplicera arbetet f?r en nyb?rjare som studerar andragradsekvationer. Det ?r b?ttre att bli av med det. F?r detta ?ndam?l m?ste all likhet multipliceras med "-1". Det betyder att alla termer kommer att ?ndra tecken till motsatt.

• Det rekommenderas att bli av med fraktioner p? samma s?tt. Multiplicera helt enkelt ekvationen med l?mplig faktor s? att n?mnarna tar bort.

Exempel

Det kr?vs f?r att l?sa f?ljande andragradsekvationer:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den f?rsta ekvationen: x 2 - 7x = 0. Den ?r ofullst?ndig, d?rf?r l?ses den enligt beskrivningen f?r formel nummer tv?.

Efter att ha tagit den ur parentes visar det sig: x (x - 7) = 0.

Den f?rsta roten tar v?rdet: x 1 = 0. Den andra kommer att hittas fr?n den linj?ra ekvationen: x - 7 = 0. Det ?r l?tt att se att x 2 = 7.

Andra ekvationen: 5x 2 + 30 = 0. ?terigen ofullst?ndig. Bara det l?ses enligt beskrivningen f?r den tredje formeln.

Efter att ha flyttat 30 till h?ger sida av ekvationen: 5x 2 = 30. Nu m?ste du dividera med 5. Det visar sig: x 2 = 6. Svaren blir talen: x 1 = ?6, x 2 = - ?6.

Den tredje ekvationen: 15 - 2x - x 2 = 0. H?refter kommer att l?sa andragradsekvationer att b?rja med att skriva om dem i standardform: - x 2 - 2x + 15 = 0. Nu ?r det dags att anv?nda det andra anv?ndbara tipset och multiplicera allt med minus ett . Det visar sig x 2 + 2x - 15 = 0. Med den fj?rde formeln m?ste du ber?kna diskriminanten: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Det ?r ett positivt tal. Av det som s?gs ovan visar det sig att ekvationen har tv? r?tter. De m?ste ber?knas med den femte formeln. Det visar sig att x = (-2 ± ?64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Sedan x 1 = 3, x 2 = - 5.

Den fj?rde ekvationen x 2 + 8 + 3x = 0 omvandlas till denna: x 2 + 3x + 8 = 0. Dess diskriminant ?r lika med detta v?rde: -23. Eftersom detta nummer ?r negativt kommer svaret p? denna uppgift att vara f?ljande post: "Det finns inga r?tter."

Den femte ekvationen 12x + x 2 + 36 = 0 ska skrivas om enligt f?ljande: x 2 + 12x + 36 = 0. Efter att ha till?mpat formeln f?r diskriminanten erh?lls talet noll. Det betyder att den kommer att ha en rot, n?mligen: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Den sj?tte ekvationen (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) kr?ver transformationer, som best?r i det faktum att du m?ste ta med liknande termer, f?rst ?ppna parenteserna. I st?llet f?r det f?rsta kommer f?ljande uttryck: x 2 + 2x + 1. Efter likheten kommer denna post att visas: x 2 + 3x + 2. Efter att liknande termer har r?knats kommer ekvationen att ha formen: x 2 - x = 0. Den har blivit ofullst?ndig . N?got liknande detta har redan diskuterats lite h?gre. R?tterna till detta kommer att vara siffrorna 0 och 1.