I v?rt problem har funktionen U(x) en speciell, diskontinuerlig form: den ?r lika med noll mellan v?ggarna och vid kanterna av brunnen (p? v?ggarna) v?nder den till o?ndlighet:

L?t oss skriva Schr?dinger-ekvationen f?r station?ra tillst?nd f?r partiklar i punkter som ligger mellan v?ggarna:

eller, om vi tar h?nsyn till formel (1.1)

Det ?r n?dv?ndigt att l?gga till randvillkor p? gropens v?ggar till ekvation (1.3). L?t oss ta h?nsyn till att v?gfunktionen ?r relaterad till sannolikheten att hitta partiklar. Dessutom, beroende p? f?rh?llandena f?r problemet, kan partikeln inte detekteras utanf?r v?ggarna. D? m?ste v?gfunktionen p? v?ggarna och bortom dem f?rsvinna, och gr?nsvillkoren f?r problemet tar den enkla formen:

L?t oss nu b?rja l?sa ekvation (1.3). I synnerhet kan vi ta h?nsyn till att dess l?sning ?r de Broglie-v?gor. Men en de Broglie-v?g som l?sning g?ller uppenbarligen inte v?rt problem, eftersom den uppenbarligen beskriver en fri partikel som "springer" i en riktning. I v?rt fall l?per partikeln "fram och tillbaka" mellan v?ggarna. I det h?r fallet, baserat p? principen om superposition, kan vi f?rs?ka representera den ?nskade l?sningen i form av tv? de Broglie-v?gor som l?per mot varandra med impulser p och -p, det vill s?ga i formen:

Konstanterna och kan hittas fr?n ett av randvillkoren och normaliseringsvillkoren. Den senare s?ger att om du l?gger ihop alla sannolikheter, det vill s?ga hittar sannolikheten f?r att hitta en elektron mellan v?ggarna i allm?nhet (p? vilken plats som helst), f?r du en (sannolikheten f?r en tillf?rlitlig h?ndelse ?r 1), dvs.

Enligt det f?rsta gr?nsvillkoret har vi:

D?rmed f?r vi l?sningen p? v?rt problem:

Som ni vet,. D?rf?r kan den hittade l?sningen skrivas om som:

Konstanten A best?ms fr?n normaliseringstillst?ndet. Men hon ?r inte av s?rskilt intresse h?r. Det andra gr?nsvillkoret f?rblev oanv?nt. Vilket resultat l?ter det dig f?? Till?mpad p? den hittade l?sningen (1.5) leder det till ekvationen:

Av den ser vi att i v?rt problem kan impulsen p inte ta n?gra v?rden, utan bara v?rdena

F?r ?vrigt kan n inte vara lika med noll, eftersom v?gfunktionen d? skulle vara lika med noll ?verallt i intervallet (0...l)! Detta g?r att partikeln mellan v?ggarna inte kan vara i vila! Hon m?ste definitivt flytta. Ledningselektroner i metallen befinner sig under liknande f?rh?llanden. Den erh?llna slutsatsen g?ller ocks? f?r dem: elektroner i en metall kan inte vara station?ra.

Minsta m?jliga r?relsem?ngd f?r en elektron i r?relse ?r

Vi indikerade att elektronens r?relsem?ngd ?ndrar tecken n?r den reflekteras fr?n v?ggarna. D?rf?r kan fr?gan om vad som ?r r?relsem?ngden f?r en elektron n?r den ?r l?st mellan v?ggarna inte besvaras definitivt: antingen +p eller -p. Impulsen ?r os?ker. Dess grad av os?kerhet best?ms uppenbarligen enligt f?ljande: =p-(-p)=2p. Koordinatens os?kerhet ?r lika med l; om du f?rs?ker "f?nga" en elektron kommer den att uppt?ckas mellan v?ggarna, men var exakt ?r ok?nt. Eftersom det minsta v?rdet av p ?r f?r vi:

Vi har bekr?ftat Heisenberg-relationen under villkoren f?r v?rt problem, det vill s?ga under f?ruts?ttning att det minsta v?rdet av p existerar. Om vi t?nker p? ett godtyckligt m?jligt v?rde av momentumet, s? tar os?kerhetsrelationen f?ljande form:

Detta inneb?r att det ursprungliga Heisenberg-Bohr-postulatet om os?kerhet endast s?tter den nedre gr?nsen f?r de os?kerheter som ?r m?jliga under m?tningar. Om systemet i b?rjan av r?relsen var utrustat med minimala os?kerheter, kan de ?ver tiden v?xa.

Formel (1.6) pekar dock ocks? p? en annan extremt intressant slutsats: det visar sig att ett systems momentum inom kvantmekaniken inte alltid kan f?r?ndras kontinuerligt (som alltid ?r fallet i klassisk mekanik). Partikelmomentspektrumet i v?rt exempel ?r diskret partikelmomentumet mellan v?ggarna kan bara ?ndras i hopp (kvanta). Storleken p? hoppet i det betraktade problemet ?r konstant och lika med .

I fig. 2. Spektrum av m?jliga v?rden f?r partikelmomentet ?r tydligt avbildat. S?lunda f?ljer diskretiteten i f?r?ndringar i mekaniska storheter, helt fr?mmande f?r klassisk mekanik, i kvantmekaniken av dess matematiska apparat. P? fr?gan om varf?r impulsen ?ndras i hopp ?r det om?jligt att hitta ett tydligt svar. Dessa ?r kvantmekanikens lagar; v?r slutsats f?ljer logiskt av dem - det ?r hela f?rklaringen.

L?t oss nu ?verg? till partikelns energi. Energi relateras till momentum med formel (1). Om pulsspektrumet ?r diskret, visar det sig automatiskt att spektrumet av partikelenergiv?rden mellan v?ggarna ?r diskret. Och det finns p? ett element?rt s?tt. Om de m?jliga v?rdena enligt formel (1.6) ers?tts med formel (1.1), f?r vi:

d?r n = 1, 2,... och kallas ett kvanttal.

S? vi fick energiniv?erna.

Ris. 3 visar arrangemanget av energiniv?er som motsvarar villkoren f?r v?rt problem. Det ?r tydligt att f?r ett annat problem kommer arrangemanget av energiniv?er att vara annorlunda. Om partikeln ?r laddad (till exempel ?r det en elektron), kommer den, ?ven om den inte ?r p? den l?gsta energiniv?n, spontant att avge ljus (i form av en foton). Samtidigt kommer den att flytta till en l?gre energiniv? i enlighet med tillst?ndet:

V?gfunktionerna f?r varje station?rt tillst?nd i v?rt problem ?r sinusoider, vars nollv?rden n?dv?ndigtvis faller p? v?ggarna. Tv? s?dana v?gfunktioner f?r n = 1,2 visas i fig. 1.

Schr?dinger-ekvationen ?r uppkallad efter den ?sterrikiske fysikern Erwin Schr?dinger. Detta ?r kvantmekanikens fr?msta teoretiska verktyg. Inom kvantmekaniken spelar Schr?dinger-ekvationen samma roll som r?relseekvationen (Newtons andra lag) i klassisk mekanik. Schr?dinger-ekvationen ?r skriven f?r den sk y- funktioner (psi - funktioner). I allm?nhet ?r psi-funktionen en funktion av koordinater och tid: y = y (x,y,z,t). Om mikropartikeln ?r i ett station?rt tillst?nd beror psi-funktionen inte p? tiden: y= y (x,y,z).

I det enklaste fallet med endimensionell r?relse av en mikropartikel (till exempel endast l?ngs axeln x ) Schr?dingers ekvation har formen:

D?r y(x)– psi ?r en funktion som bara beror p? en koordinat x ; m – partikelmassa; - Plancks konstant (= h/2p); E ?r partikelns totala energi, U – potentiell energi. I klassisk fysik kvantiteten (E–U ) skulle vara lika med partikelns kinetiska energi. Inom kvantmekaniken, pga os?kerhetsf?rh?llanden Begreppet kinetisk energi ?r meningsl?st. Observera att potentiell energi U- detta ?r en egenskap yttre kraftf?lt, d?r partikeln r?r sig. Detta v?rde ?r helt klart. Det ?r ocks? en funktion av koordinater, i detta fall U = U (x,y,z).

I det tredimensionella fallet, n?r y = y (x,y,z), Ist?llet f?r den f?rsta termen i Schr?dinger-ekvationen ska summan av tre partiella derivator av psi-funktionen med avseende p? tre koordinater skrivas.

Vad anv?nds Schr?dingers ekvation till? Som n?mnts ?r detta den grundl?ggande ekvationen f?r kvantmekaniken. Om vi skriver ner det och l?ser det (vilket inte alls ?r en enkel uppgift) f?r en specifik mikropartikel, s? kommer vi att f? v?rdet av psi-funktionen var som helst i rymden d?r partikeln r?r sig. Vad ger detta? Kvadraten p? psi-funktionsmodulen k?nnetecknar sannolikhet uppt?cka en partikel i ett visst omr?de i rymden. L?t oss ta en punkt i rymden med koordinater x , y , z (Fig. 6). Vad ?r sannolikheten att hitta en partikel vid denna tidpunkt? Svar: denna sannolikhet ?r noll! (en punkt har inga dimensioner; en partikel kan helt enkelt fysiskt inte komma till en punkt). Det betyder att fr?gan ?r felaktigt st?lld. L?t oss uttrycka det annorlunda: vad ?r sannolikheten f?r att detektera en partikel i ett litet omr?de av rymden med en volym dV = dx dy dz med mitten p? den valda punkten? Svar:

D?r dP – element?r sannolikhet att detektera en partikel i en element?r volym dV . Ekvation (22) ?r giltig f?r en reell psi-funktion (den kan ocks? vara komplex, i detta fall m?ste kvadraten p? psi-funktionens modul ers?ttas med ekvation (22). Om ett omr?de i rymden har en ?ndlig volym V , sedan sannolikheten P att detektera en partikel i denna volym hittas genom att integrera uttryck (22) ?ver volymen V :

L?t oss p?minna dig om det probabilistisk beskrivning av mikropartiklars r?relse– den grundl?ggande id?n om kvantmekanik. Genom att anv?nda Schr?dinger-ekvationen l?ses kvantmekanikens huvudproblem: att beskriva r?relsen hos f?rem?let som studeras, i detta fall en kvantmekanisk partikel.

L?t oss notera ett antal andra viktiga omst?ndigheter. Som framg?r av formel (21) ?r Schr?dinger-ekvationen en differentialekvation av andra ordningen. F?ljaktligen, i processen att l?sa det, kommer tv? godtyckliga konstanter att visas. Hur hittar man dem? F?r detta ?ndam?l anv?nder de den sk gr?nsvillkor: fr?n det fysiska problemets specifika inneh?ll b?r v?rdet av psi-funktionen vid gr?nserna f?r mikropartikelns r?relseregion vara k?nt. D?rtill kommer den s.k normaliseringstillst?nd, som psi-funktionen m?ste uppfylla:

Inneb?rden av detta tillst?nd ?r enkel: sannolikheten att detektera en partikel ?tminstone n?gonstans inom omr?det f?r dess r?relse ?r en tillf?rlitlig h?ndelse, vars sannolikhet ?r lika med en.

Det ?r randvillkoren som fyller l?sningen av Schr?dinger-ekvationen med fysisk mening. Utan dessa f?ruts?ttningar ?r att l?sa ekvationen ett rent matematiskt problem, utan fysisk betydelse. I n?sta avsnitt, med hj?lp av ett specifikt exempel, ?verv?ger vi anv?ndningen av randvillkor och normaliseringsvillkor n?r vi l?ser Schr?dinger-ekvationen.

Psi funktion

V?gfunktion (statlig funktion, psi funktion, sannolikhetsamplitud) - komplext v?rderad funktion, anv?nds i kvantmekanik F?r probabilistisk beskrivning ange kvantmekaniskt system. I vid bem?rkelse - samma som tillst?ndsvektor.

En variant av namnet "sannolikhetsamplitud" f?rknippas med statistisk tolkning v?gfunktion: sannolikheten f?r att hitta en partikel vid en given punkt i rymden vid ett givet ?gonblick ?r lika med kvadraten p? det absoluta v?rdet av v?gfunktionen f?r detta tillst?nd.

Fysisk betydelse f?r v?gfunktionens kvadratiska modul

V?gfunktionen beror p? systemets koordinater (eller generaliserade koordinater) och i allm?nhet p? tid, och ?r utformad p? ett s?dant s?tt att fyrkant hennes modul representerade densiteten sannolikheter(f?r diskreta spektra - bara en sannolikhet) f?r att detektera ett system i en position som beskrivs av koordinater vid tidpunkten:

Sedan, i ett givet kvanttillst?nd av systemet, beskrivet av v?gfunktionen, kan vi ber?kna sannolikheten f?r att en partikel kommer att detekteras i vilket omr?de som helst av ?ndligt volymutrymme: .

En upps?ttning koordinater som fungerar som funktionsargument, representerar en komplett upps?ttning fysiska kvantiteter, som kan m?tas i systemet. Inom kvantmekaniken ?r det m?jligt att v?lja flera kompletta upps?ttningar av kvantiteter, s? v?gfunktionen f?r samma tillst?nd kan skrivas i termer av olika argument. Den kompletta upps?ttningen av kvantiteter som valts f?r att registrera v?gfunktionen best?mmer v?gfunktionsrepresentation. Ja, m?jligt samordna prestanda, puls prestanda, i kvantf?ltteori begagnad sekund?r kvantisering Och representation av fyllningsnummer eller Focks representation etc.

Om v?gfunktionen, till exempel f?r en elektron i en atom, ges i koordinatrepresentation, s? representerar kvadraten p? modulen f?r v?gfunktionen sannolikheten f?r att detektera en elektron vid en viss punkt i rymden. Om samma v?gfunktion ges i impulsrepresentation, representerar kvadraten p? dess modul sannolikhetst?theten f?r att detektera en eller annan impulsMed.

Introduktion

Det ?r k?nt att kvantmekanikens f?rlopp ?r en av de sv?raste att f?rst?. Detta beror inte s? mycket p? den nya och "ovanliga" matematiska apparaten, utan fr?mst p? sv?righeten att f?rst? det revolution?ra, ur klassisk fysiks synvinkel, id?er som ligger bakom kvantmekaniken och komplexiteten i att tolka resultaten.

I de flesta l?rob?cker om kvantmekanik baseras presentationen av materialet som regel p? analys av l?sningar till de station?ra Schr?dinger-ekvationerna. Det station?ra tillv?gag?ngss?ttet till?ter dock inte att man direkt j?mf?r resultaten av att l?sa ett kvantmekaniskt problem med liknande klassiska resultat. Dessutom ?r m?nga processer som studerats under kvantmekanikens g?ng (s?som passage av en partikel genom en potentiell barri?r, s?nderfallet av ett kvasistation?rt tillst?nd etc.) i princip icke-station?ra till sin natur och kan d?rf?r f?rst?s i sin helhet endast p? basis av l?sningar till den icke-station?ra ekvationen Schr?dinger. Eftersom antalet analytiskt l?sbara problem ?r litet ?r anv?ndningen av en dator i processen att studera kvantmekanik s?rskilt relevant.

Schr?dinger-ekvationen och den fysiska inneb?rden av dess l?sningar

Schr?dingers v?gekvation

En av kvantmekanikens grundl?ggande ekvationer ?r Schr?dinger-ekvationen, som best?mmer f?r?ndringen i kvantsystems tillst?nd ?ver tiden. Det ?r skrivet i formen

d?r H ?r den Hamiltonska operat?ren av systemet, sammanfaller med energioperat?ren om det inte beror p? tid. Typen av operat?r best?ms av systemets egenskaper. F?r den icke-relativistiska r?relsen av en masspartikel i ett potentiellt f?lt U(r) ?r operatorn reell och representeras av summan av operatorerna f?r partikelns kinetiska och potentiella energi

Om en partikel r?r sig i ett elektromagnetiskt f?lt kommer Hamilton-operatorn att vara komplex.

?ven om ekvation (1.1) ?r en f?rsta ordningens ekvation i tid, har den p? grund av n?rvaron av en imagin?r enhet ocks? periodiska l?sningar. D?rf?r kallas Schr?dinger-ekvationen (1.1) ofta f?r Schr?dinger-v?gekvationen, och dess l?sning kallas f?r den tidsberoende v?gfunktionen. Ekvation (1.1) med en k?nd form av operatorn H g?r att man kan best?mma v?rdet p? v?gfunktionen vid vilken som helst efterf?ljande tidpunkt, om detta v?rde ?r k?nt vid den initiala tiden. S?ledes uttrycker Schr?dingers v?gekvation principen om kausalitet inom kvantmekaniken.

Schr?dingerv?gekvationen kan erh?llas baserat p? f?ljande formella ?verv?ganden. Inom klassisk mekanik ?r det k?nt att om energi ges som en funktion av koordinater och momentum

sedan ?verg?ngen till den klassiska Hamilton-Jacobi-ekvationen f?r handlingsfunktionen S

kan erh?llas fr?n (1.3) genom den formella transformationen

P? samma s?tt erh?lls ekvation (1.1) fr?n (1.3) genom att g? fr?n (1.3) till operatorekvationen genom formell transformation

om (1.3) inte inneh?ller produkter av koordinater och momenta, eller inneh?ller produkter av dem som, efter att ha ?verg?tt till operat?rer (1.4), pendlar med varandra. Genom att efter denna transformation likst?lla resultaten av ?tg?rden p? funktionen hos operatorerna p? h?ger och v?nster sida av den resulterande operatorlikheten, kommer vi fram till v?gekvationen (1.1). Dessa formella transformationer b?r dock inte tas som en h?rledning av Schr?dinger-ekvationen. Schr?dinger-ekvationen ?r en generalisering av experimentella data. Det h?rleds inte i kvantmekaniken, precis som Maxwells ekvationer inte h?rleds i elektrodynamik, principen om minsta verkan (eller Newtons ekvationer) i klassisk mekanik.

Det ?r l?tt att verifiera att ekvation (1.1) ?r uppfylld f?r v?gfunktionen

beskriver den fria r?relsen f?r en partikel med ett visst momentumv?rde. I det allm?nna fallet bevisas giltigheten av ekvation (1.1) genom ?verensst?mmelse med erfarenhet av alla slutsatser som erh?llits med denna ekvation.

L?t oss visa att ekvation (1.1) inneb?r den viktiga likheten

vilket indikerar att normaliseringen av v?gfunktionen kvarst?r ?ver tiden. L?t oss multiplicera (1.1) till v?nster med funktionen *, a ekvationskomplexet konjugerat till (1.1) med funktionen och subtrahera den andra fr?n den f?rsta erh?llna ekvationen; d? hittar vi

Genom att integrera denna relation ?ver alla v?rden av variablerna och ta h?nsyn till operat?rens sj?lvtillh?righet, f?r vi (1,5).

Om vi i relation (1.6) ers?tter Hamiltonoperatorns (1.2) explicita uttryck f?r en partikels r?relse i ett potentiellt f?lt, kommer vi fram till differentialekvationen (kontinuitetsekvationen)

var ?r sannolikhetst?theten och vektorn

kan kallas sannolikhetsstr?mdensitetsvektorn.

Den komplexa v?gfunktionen kan alltid representeras som

var och ?r verkliga funktioner av tid och koordinater. Allts? sannolikhetst?theten

och sannolikheten str?mt?thet

Av (1.9) f?ljer att j = 0 f?r alla funktioner f?r vilka funktionen F inte ?r beroende av koordinaterna. I synnerhet ?r j= 0 f?r alla reella funktioner.

L?sningar av Schr?dinger-ekvationen (1.1) i det allm?nna fallet representeras av komplexa funktioner. Att anv?nda komplexa funktioner ?r ganska bekv?mt, ?ven om det inte ?r n?dv?ndigt. Ist?llet f?r en komplex funktion kan systemets tillst?nd beskrivas med tv? reella funktioner och genom att uppfylla tv? relaterade ekvationer. Till exempel, om operatorn H ?r reell, d? genom att ers?tta funktionen i (1.1) och separera de reella och imagin?ra delarna, f?r vi ett system med tv? ekvationer

i detta fall kommer sannolikhetst?theten och sannolikhetsstr?mt?theten att ha formen

V?gfunktioner i impulsrepresentation.

Fouriertransformen av v?gfunktionen k?nnetecknar f?rdelningen av momentum i ett kvanttillst?nd. Det kr?vs att h?rleda en integralekvation f?r potentialen med Fouriertransformen som k?rna.

L?sning. Det finns tv? ?msesidigt omv?nda samband mellan funktionerna och.

Om relation (2.1) anv?nds som en definition och en operation till?mpas p? den, med h?nsyn till definitionen av en 3-dimensionell -funktion,

som ett resultat, som ?r l?tt att se, f?r vi den omv?nda relationen (2.2). Liknande ?verv?ganden anv?nds nedan f?r att h?rleda relationen (2.8).

sedan f?r Fouriertransformationen av potentialen vi har

F?rutsatt att v?gfunktionen uppfyller Schr?dinger-ekvationen

Genom att ers?tta uttryck (2.1) och (2.3) h?r ist?llet f?r respektive f?r vi

I dubbelintegralen g?r vi fr?n integration ?ver en variabel till integration ?ver en variabel, och betecknar sedan denna nya variabel med. Integralen ?ver f?rsvinner f?r vilket v?rde som helst endast i det fall d? integranden sj?lv ?r lika med noll, men d?

Detta ?r den ?nskade integralekvationen med Fouriertransformen av potentialen som k?rnan. Naturligtvis kan integralekvationen (2.6) endast erh?llas under f?ruts?ttning att Fouriertransformen av potentialen (2.4) existerar; f?r detta m?ste till exempel potentialen minska ?ver stora avst?nd ?tminstone som, var.

Det b?r noteras att fr?n normaliseringstillst?ndet

j?mst?lldhet f?ljer

Detta kan visas genom att ers?tta uttryck (2.1) f?r funktionen med (2.7):

Om vi f?rst utf?r integration h?r borta kan vi enkelt f? relation (2.8).

Allm?n Schr?dinger-ekvation. Schr?dinger-ekvationen f?r station?ra tillst?nd

Den statistiska tolkningen av de Broglie-v?gor (se § 216) och Heisenbergs os?kerhetsrelation (se 5 215) ledde till slutsatsen att r?relseekvationen i kvantmekaniken, som beskriver mikropartiklars r?relse i olika kraftf?lt, borde vara en ekvation varifr?n observerbara p? experimentella v?gegenskaper hos partiklar. Huvudekvationen m?ste vara en ekvation med avseende p? v?gfunktionen PS (x, y, z, t), eftersom det ?r just denna, eller mer exakt, kvantiteten |PS| 2, best?mmer sannolikheten f?r att en partikel vid tiden t befinner sig i volym dV, dvs i omr?det med koordinaterna x och x+dx, y och y+dy, z och z+dz. Eftersom den erforderliga ekvationen m?ste ta h?nsyn till partiklarnas v?gegenskaper, m?ste det vara en v?gekvation, liknande ekvationen som beskriver elektromagnetiska v?gor.

Den grundl?ggande ekvationen f?r icke-relativistisk kvantmekanik formulerades 1926 av E. Schr?dinger. Schr?dinger-ekvationen, liksom alla fysikens grundl?ggande ekvationer (till exempel Newtons ekvationer inom klassisk mekanik och Maxwells ekvationer f?r det elektromagnetiska f?ltet), ?r inte h?rledd, utan postulerad. Riktigheten av denna ekvation bekr?ftas av ?verensst?mmelsen med erfarenheten av de resultat som erh?llits med dess hj?lp, vilket i sin tur ger den karakt?ren av en naturlag. Schr?dinger-ekvationen har formen

d?r h=h/(2p), m ?r partikelns massa, ? ?r Laplace-operatorn ( ),

i - imagin?r enhet, U (x, y, z, t) - potentiell funktion f?r en partikel i kraftf?ltet som den r?r sig i, PS (x, y, z, t ) - den ?nskade v?gfunktionen f?r partikeln.

Ekvation (217.1) g?ller f?r vilken partikel som helst (med ett spin lika med 0; se § 225) som r?r sig med l?g hastighet (j?mf?rt med ljusets hastighet), dvs med en hastighet y<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

m?ste vara kontinuerlig; 3) funktion |PS| 2 m?ste vara integrerbar; detta tillst?nd reduceras i de enklaste fallen till villkoret f?r normalisering av sannolikheter (216.3).

F?r att komma fram till Schr?dinger-ekvationen, ?verv?ga en fritt r?rlig partikel, som enligt de Broglies id? ?r associerad med en plan v?g. F?r enkelhetens skull betraktar vi det endimensionella fallet. Ekvationen f?r en plan v?g som utbreder sig l?ngs x-axeln har formen (se § 154)

Eller i en komplex inspelning . D?rf?r har plane de Broglie-v?gen formen

(217.2)

(det tas med i ber?kningen att o = E/h, k=p/h). I kvantmekaniken tas exponenten med ett minustecken, men eftersom endast |PS| har en fysisk betydelse. 2 , d? ?r detta (se (217.2)) oviktigt. Sedan

,

; (217.3)

Genom att anv?nda f?rh?llandet mellan energi E och momentum p (E = p 2 /(2m)) och substituera uttryck (217.3) f?r vi differentialekvationen

som sammanfaller med ekvation (217.1) f?r fallet U = 0 (vi betraktade som en fri partikel).

Om en partikel r?r sig i ett kraftf?lt som k?nnetecknas av potentiell energi U, ?r den totala energin E summan av kinetisk och potentiell energi. Genom att f?ra liknande resonemang med hj?lp av f?rh?llandet mellan E och p (f?r detta fall p 2 /(2m)=E -U), kommer vi fram till en differentialekvation som sammanfaller med (217.1).

Ovanst?ende resonemang b?r inte tas som en h?rledning av Schr?dinger-ekvationen. De f?rklarar bara hur man kan komma fram till denna ekvation. Beviset p? riktigheten av Schr?dinger-ekvationen ?r ?verensst?mmelsen med erfarenheten av de slutsatser som den leder till.

Ekvation (217.1) ?r den allm?nna Schr?dinger-ekvationen. Det kallas ocks? f?r den tidsberoende Schr?dinger-ekvationen. F?r m?nga fysiska fenomen som f?rekommer i mikrov?rlden kan ekvation (217.1) f?renklas genom att eliminera beroendet av PS av tiden, med andra ord, hitta Schr?dinger-ekvationen f?r station?ra tillst?nd - tillst?nd med fasta energiv?rden. Detta ?r m?jligt om kraftf?ltet som partikeln r?r sig i ?r station?rt, dvs funktionen U = U(x, y, z ) beror inte explicit p? tid och har betydelsen av potentiell energi. I detta fall kan l?sningen till Schr?dinger-ekvationen representeras som en produkt av tv? funktioner, varav den ena ?r en funktion av endast koordinater, den andra - endast av tid, och beroendet av tid uttrycks av multiplikatorn

,

d?r E - partikelns totala energi, konstant i fallet med ett station?rt f?lt. Genom att ers?tta (217,4) i (217,1), f?r vi

varifr?n vi, efter att ha dividerat med en gemensam faktor e – i (E/h) t och motsvarande transformationer, kommer fram till ekvationen som definierar funktionen ps:

(217.5)

Ekvation (217.5) kallas Schr?dinger-ekvationen f?r station?ra tillst?nd.

Denna ekvation inkluderar den totala energin E f?r partikeln som en parameter. I teorin om differentialekvationer ?r det bevisat att s?dana ekvationer har ett o?ndligt antal l?sningar, fr?n vilka l?sningar som har en fysisk betydelse v?ljs genom att st?lla randvillkor. F?r Schr?dinger-ekvationen ?r s?dana villkor villkoren f?r v?gfunktionernas regelbundenhet: v?gfunktioner m?ste vara ?ndliga, env?rdiga och kontinuerliga tillsammans med deras f?rstaderivator. S?ledes har endast de l?sningar som uttrycks av regulj?ra funktioner ps verklig fysisk betydelse . Men vanliga l?sningar f?rekommer inte f?r n?gra v?rden av parametern E, utan bara f?r en viss upps?ttning av dem, karakteristiska f?r ett givet problem. Dessa energiv?rden kallas f?r egenv?rden. L?sningar som motsvarar energins egenv?rden kallas egenfunktioner. Egenv?rdena f?r E kan bilda antingen en kontinuerlig eller en diskret serie. I det f?rsta fallet talar de om ett kontinuerligt, eller fast, spektrum, i det andra - om ett diskret spektrum.

I utvecklingen av de Broglies id? om partiklars v?gegenskaper fick Schr?dinger 1926 ekvationen

104. (20)

d?r m ?r partikelns massa, ?r den imagin?ra enheten, U ?r partikelns potentiella energi, D ?r Laplace-operatorn [se (1.10)].

Genom att l?sa Schr?dinger-ekvationen kan vi hitta v?gfunktionen Y(x, y, z, t) f?r partikeln, som beskriver partikelns mikrotillst?nd och dess v?gegenskaper.

Om f?ltet f?r yttre krafter ?r konstant i tid (dvs. station?rt), s? beror U inte explicit p? t. I detta fall delas l?sningen till ekvation (20) upp i tv? faktorer

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z) exp[-i(E/ )t] (21)

I det station?ra fallet har Schr?dinger-ekvationen formen

(22)

d?r E, U ?r total och potentiell energi, m ?r partikelns massa.

Det b?r noteras att historiskt har namnet "v?gfunktion" uppst?tt p? grund av att ekvation (20) eller (22), som definierar denna funktion, tillh?r typen av v?gekvationer.

104. V?teatomen och v?teliknande "atomer" (He +, Li 2+, etc.) som de enklaste kvantmekaniska systemen: kvanttillst?nd, radiella och vinkelkomponenter i v?gfunktionen, orbitalsymmetri.

Baserat p? sin forskning f?reslog Rutherford k?rnkraft 1911 (planetarisk) atommodell. Enligt denna modell r?r sig elektroner runt den positiva k?rnan i slutna banor, och bildar atomens elektronskal, i ett omr?de med linj?ra dimensioner av storleksordningen 10 -10 m. K?rnans laddning ?r Ze(Z. -- serienummer f?r ett element i det periodiska systemet, e -.element?r laddning), storlek 10 -15 – 10 -14 m, massa, n?stan lika med massan av en atom. Eftersom atomer ?r neutrala ?r k?rnans laddning lika med elektronernas totala laddning, dvs den ska rotera runt k?rnan Z elektroner.

v?teatom och v?teliknande system– dessa ?r system som best?r av en k?rna med laddning Ze och en elektron (till exempel He +, Li 2+ joner).

Att l?sa problemet med elektronenerginiv?er f?r en v?teatom (liksom v?teliknande system: heliumjon He +, dubbeljoniserat litium Li + +, etc.) reduceras till problemet med elektronr?relse i k?rnans Coulomb-f?lt .

Potentiell energi f?r interaktion mellan en elektron och en k?rna som har en laddning Ze(f?r en v?teatom Z=1),

D?r r– avst?ndet mellan elektronen och k?rnan. Grafiskt fungerande U(r) visas som en fet kurva i fig. 6, obegr?nsat minskande (?kande i absolut v?rde) vid minskning r, dvs n?r elektronen n?rmar sig k?rnan.

Tillst?ndet f?r elektronen i v?teatomen beskrivs av v?gfunktionen PS, som uppfyller den station?ra Schr?dinger-ekvationen, med h?nsyn tagen till v?rdet (1): "

, (2)

D?r m– elektronmassa, E?r den totala energin f?r en elektron i en atom.

Detta ?r den s? kallade station?ra Schr?dinger-ekvationen f?r elektronen i den v?teliknande atomen i VDPA.

1. Energi. I teorin om differentialekvationer ?r det bevisat att ekvationer av typ (2) har l?sningar som uppfyller kraven p? unikhet, ?ndlighet och kontinuitet f?r v?gfunktionen PS, endast f?r egenv?rden av energi

(n= 1, 2, 3,…), (3)

d.v.s. f?r en diskret upps?ttning negativa energiv?rden.

S?ledes, som i fallet med en "potentiell brunn" med o?ndligt h?ga "v?ggar", leder l?sningen av Schr?dinger-ekvationen f?r v?teatomen till uppkomsten av diskreta energiniv?er. M?jliga v?rden E 1 , E 2 , E 3, ... visas i fig. 6 i form av horisontella linjer. L?gsta niv? E 1, motsvarande minsta m?jliga energi, – grundl?ggande, alla andra ( En >Ei, n= 2, 3,…) – upphetsad. P? E < 0 движение электрона является sl?kt den ?r bel?gen inuti en hyperbolisk "potentiell brunn". Det f?ljer av figuren att n?r det huvudsakliga kvanttalet ?kar n energiniv?er ligger n?rmare varandra och vid p=? E ? = 0. Kl E> 0 elektronr?relse ?r gratis; kontinuumregion E >0(skuggad i fig. 6) motsvarar joniserad atom. En v?teatoms joniseringsenergi ?r

E i = - E 1 = mig 4 / (8h 2 e O 2) = 13,55 eV.

2. Kvanttal. Inom kvantmekaniken ?r det bevisat att Schr?dinger-ekvationen (2) ?r uppfylld av egenfunktionerna , best?ms av tre kvanttal: det huvudsakliga p, orbital l och magnetiska m l.

Huvudkvanttalet n, enligt (3), best?mmer energiniv?erna f?r elektronen i atomen och kan ta alla heltalsv?rden, fr?n ett: