I v?rt problem har funktionen U(x) en speciell, diskontinuerlig form: den ?r lika med noll mellan v?ggarna och vid kanterna av brunnen (p? v?ggarna) blir den o?ndlig:

Vi skriver Schr?dinger-ekvationen f?r station?ra tillst?nd f?r partiklar i punkter som ligger mellan v?ggarna:

eller, om vi tar h?nsyn till formel (1.1)

Ekvation (1.3) ska kompletteras med randvillkor p? brunnens v?ggar. L?t oss ta h?nsyn till att v?gfunktionen ?r relaterad till sannolikheten att hitta partiklar. Dessutom, beroende p? f?rh?llandena f?r problemet, kan en partikel inte detekteras utanf?r v?ggarna. D? m?ste v?gfunktionen p? v?ggarna och bortom f?rsvinna, och gr?nsvillkoren f?r problemet tar en enkel form:

L?t oss nu b?rja l?sa ekvation (1.3) . I synnerhet kan man ta h?nsyn till att dess l?sning ?r de Broglie-v?gor. Men en de Broglie-v?g som l?sning g?ller uppenbarligen inte v?rt problem, eftersom den verkligen beskriver en fri partikel som "springer" i en riktning. I v?rt fall l?per partikeln "fram och tillbaka" mellan v?ggarna. I det h?r fallet, baserat p? principen om superposition, kan den ?nskade l?sningen representeras som tv? de Broglie-v?gor som l?per mot varandra med momenta p och -p, det vill s?ga i formen:

Konstanterna och kan hittas fr?n ett av randvillkoren och normaliseringsvillkoret. Det senare antyder att om du l?gger ihop alla sannolikheter, det vill s?ga hittar sannolikheten att hitta en elektron mellan v?ggarna i allm?nhet p? (valfri plats), s? f?r du en (sannolikheten f?r en tillf?rlitlig h?ndelse ?r 1), dvs.

Enligt det f?rsta gr?nsvillkoret har vi:

D?rmed f?r vi l?sningen p? v?rt problem:

Som bekant,. D?rf?r kan den hittade l?sningen skrivas om som:

Konstanten A best?ms fr?n normaliseringstillst?ndet. Men h?r ?r det inte av s?rskilt intresse. Det andra gr?nsvillkoret f?rblir oanv?nt. Vilket resultat ger det? Applicerad p? den hittade l?sningen (1.5) leder den till ekvationen:

Av den ser vi att i v?rt problem kan impulsen p inte ta n?gra v?rden, utan bara v?rdena

F?rresten, n kan inte vara lika med noll, eftersom v?gfunktionen d? skulle vara lika med noll ?verallt i intervallet (0...l)! Detta g?r att partikeln mellan v?ggarna inte kan vara i vila! Hon m?ste flytta. Ledningselektroner finns under liknande f?rh?llanden i en metall. Den erh?llna slutsatsen g?ller ocks? f?r dem: elektroner i en metall kan inte vara station?ra.

Minsta m?jliga r?relsem?ngd f?r en elektron i r?relse ?r

Vi har visat att elektronens r?relsem?ngd ?ndrar tecken n?r den reflekteras fr?n v?ggarna. D?rf?r kan fr?gan om vad som ?r r?relsem?ngden f?r en elektron n?r den ?r l?st mellan v?ggarna inte definitivt besvaras: antingen +p eller -p. Drivkraften ?r obest?md. Dess grad av os?kerhet definieras uppenbarligen enligt f?ljande: =p-(-p)=2p. Koordinatens os?kerhet ?r lika med l; om du f?rs?ker "f?nga" en elektron, kommer den att hittas inom gr?nserna mellan v?ggarna, men var exakt ?r ok?nt. Eftersom det minsta v?rdet av p ?r f?r vi:

Vi har bekr?ftat Heisenberg-relationen under villkoren f?r v?rt problem, det vill s?ga under f?ruts?ttning att det minsta v?rdet av p existerar. Om vi t?nker p? ett godtyckligt m?jligt v?rde av momentumet, s? tar os?kerhetsrelationen f?ljande form:

Detta inneb?r att Heisenberg-Bohrs ursprungliga postulat om os?kerhet endast s?tter den nedre gr?nsen f?r os?kerheter som ?r m?jliga i m?tningar. Om systemet i b?rjan av r?relsen var utrustat med minimala os?kerheter, kan de ?ver tiden v?xa.

Formel (1.6) pekar dock p? en annan extremt intressant slutsats: det visar sig att ett systems momentum inom kvantmekaniken inte alltid kan f?r?ndras kontinuerligt (som alltid ?r fallet i klassisk mekanik). Partikelmomentspektrumet i v?rt exempel ?r diskret, partikelmomentet mellan v?ggarna kan bara ?ndras i hopp (kvanta). Hoppv?rdet i det aktuella problemet ?r konstant och lika med .

P? fig. 2. Spektrum av m?jliga v?rden f?r partikelns r?relsem?ngd visas tydligt. S?lunda f?ljer diskretiteten i f?r?ndringen i mekaniska storheter, som ?r helt fr?mmande f?r klassisk mekanik, i kvantmekaniken av dess matematiska apparat. P? fr?gan varf?r farten ?ndras i hopp ?r det om?jligt att hitta ett tydligt. S?dana ?r kvantmekanikens lagar; v?r slutsats f?ljer av dem logiskt - det ?r hela f?rklaringen.

L?t oss nu ?verg? till partikelns energi. Energi relateras till momentum med formel (1). Om momentumspektrumet ?r diskret, visar det sig automatiskt att spektrumet av partikelenergiv?rden mellan v?ggarna ocks? ?r diskret. Och han ?r element?r. Om de m?jliga v?rdena enligt formel (1.6) ers?tts med formel (1.1), f?r vi:

d?r n = 1, 2,... och kallas kvanttalet.

S?ledes har vi f?tt energiniv?er.

Ris. 3 visar arrangemanget av energiniv?er som motsvarar villkoren f?r v?rt problem. Det ?r tydligt att f?r ett annat problem kommer arrangemanget av energiniv?er att vara annorlunda. Om partikeln ?r laddad (till exempel ?r det en elektron), d? den inte ?r p? den l?gsta energiniv?n, kommer den att spontant avge ljus (i form av en foton). Samtidigt kommer den att g? till en l?gre energiniv? i enlighet med tillst?ndet:

V?gfunktionerna f?r varje station?rt tillst?nd i v?rt problem ?r sinusoider, vars nollv?rden n?dv?ndigtvis faller p? v?ggarna. Tv? s?dana v?gfunktioner f?r n = 1,2 visas i fig. ett.

Schr?dinger-ekvationen ?r uppkallad efter den ?sterrikiske fysikern Erwin Schr?dinger. Det ?r kvantmekanikens fr?msta teoretiska verktyg. Inom kvantmekaniken spelar Schr?dinger-ekvationen samma roll som r?relseekvationen (Newtons andra lag) i klassisk mekanik. Schr?dinger-ekvationen ?r skriven f?r den sk y- funktioner (psi - funktioner). I det allm?nna fallet ?r psi - funktionen en funktion av koordinater och tid: y = y (x,y,z,t). Om mikropartikeln ?r i ett station?rt tillst?nd beror psi-funktionen inte p? tiden: y= y (x,y,z).

I det enklaste fallet med endimensionell r?relse av en mikropartikel (till exempel endast l?ngs axeln x ) Schr?dinger-ekvationen har formen:

var y(x)– psi – funktion beroende p? endast en koordinat x ; m – partikelmassa; - Plancks konstant (= h/2p); E ?r partikelns totala energi, U - potentiell energi. I klassisk fysik, kvantiteten (E–U ) skulle vara lika med partikelns kinetiska energi. Inom kvantmekaniken, pga os?kerhetsf?rh?llanden begreppet kinetisk energi ?r meningsl?st. Observera att den potentiella energin U?r en funktion yttre kraftf?lt d?r partikeln r?r sig. Detta v?rde ?r helt klart. Det ?r ocks? en funktion av koordinaterna, i detta fall U = U (x,y,z).

I det tredimensionella fallet, n?r y = y (x,y,z) ist?llet f?r den f?rsta termen i Schr?dinger-ekvationen b?r man skriva summan av tre partiella derivator av psi-funktionen med avseende p? tre koordinater.

Vad anv?nds Schr?dinger-ekvationen till? Som redan n?mnts ?r detta kvantmekanikens grundl?ggande ekvation. Om vi skriver ner det och l?ser det (vilket inte alls ?r en l?tt uppgift) f?r en specifik mikropartikel, s? f?r vi v?rdet av psi-funktionen var som helst i det utrymme d?r partikeln r?r sig. Vad ger det? Kvadraten p? psi-funktionsmodulen k?nnetecknar sannolikhet detektering av en partikel i ett visst omr?de i rymden. Ta en punkt i rymden med koordinater x , y , z (Fig. 6). Vad ?r sannolikheten att hitta en partikel vid denna tidpunkt? Svar: denna sannolikhet ?r noll! (en punkt har inga dimensioner, en partikel kan helt enkelt inte fysiskt tr?ffa en punkt). S? fr?gan ?r felaktigt st?lld. L?t oss uttrycka det annorlunda: vad ?r sannolikheten att hitta en partikel i ett litet omr?de av rymden med en volym dV = dx dy dz centrerad vid en given punkt? Svar:

var dP ?r den element?ra sannolikheten f?r att detektera en partikel i en element?r volym dV . Ekvation (22) ?r giltig f?r en reell psi-funktion (den kan ocks? vara komplex, i vilket fall kvadraten p? modulen f?r psi-funktionen b?r ers?ttas med ekvation (22). Om ett omr?de av rymden har en ?ndlig volym V , sedan sannolikheten P att detektera en partikel i denna volym hittas genom att integrera uttryck (22) ?ver volymen V :

Minnas det probabilistisk beskrivning av mikropartiklars r?relse?r grundid?n f?r kvantmekaniken. Med hj?lp av Schr?dinger-ekvationen l?ses allts? kvantmekanikens huvudproblem: beskrivningen av r?relsen hos f?rem?let som studeras, i detta fall en kvantmekanisk partikel.

Vi noterar ett antal andra viktiga fakta. Som framg?r av formel (21) ?r Schr?dinger-ekvationen en differentialekvation av andra ordningen. F?ljaktligen, i processen att l?sa det, kommer tv? godtyckliga konstanter att visas. Hur hittar man dem? F?r att g?ra detta, anv?nd den s? kallade gr?nsf?rh?llanden: fr?n det fysiska problemets specifika inneh?ll b?r v?rdet av psi-funktionen vid gr?nserna f?r mikropartikelns r?relseregion vara k?nt. D?rtill kommer den s.k normaliseringstillst?nd, som psi-funktionen m?ste uppfylla:

Inneb?rden av detta tillst?nd ?r enkel: sannolikheten att detektera en partikel ?tminstone n?gonstans inom omr?det f?r dess r?relse ?r en viss h?ndelse, vars sannolikhet ?r lika med en.

Det ?r randvillkoren som fyller l?sningen av Schr?dinger-ekvationen med fysisk mening. Utan dessa villkor ?r l?sningen av en ekvation ett rent matematiskt problem, utan fysisk betydelse. I n?sta avsnitt, med hj?lp av ett specifikt exempel, ?verv?ger vi till?mpningen av randvillkor och normaliseringsvillkor f?r att l?sa Schr?dinger-ekvationen.

psi funktion

v?gfunktion (statlig funktion, psi funktion, sannolikhetsamplitud) - komplext v?rderad funktion Anv?nd i kvantmekanik f?r probabilistisk beskrivning stater kvantmekaniskt system. I vid mening, samma som tillst?ndsvektor.

En variant av namnet "sannolikhetsamplitud" f?rknippas med statistisk tolkning v?gfunktion: sannolikheten f?r att hitta en partikel vid en given punkt i rymden vid en given tidpunkt ?r lika med kvadraten p? det absoluta v?rdet av v?gfunktionen f?r detta tillst?nd.

Den fysiska betydelsen av kvadraten p? v?gfunktionens modul

V?gfunktionen beror p? systemets koordinater (eller generaliserade koordinater) och i allm?nhet p? tid, och ?r utformad p? ett s?dant s?tt att fyrkant henne modul var densiteten sannolikheter(f?r diskreta spektra - bara sannolikheten) f?r att detektera systemet i den position som beskrivs av koordinaterna vid tidpunkten:

Sedan, i ett givet kvanttillst?nd av systemet, beskrivet av v?gfunktionen , kan man ber?kna sannolikheten f?r att en partikel kommer att detekteras i vilket omr?de som helst av ?ndligt volymutrymme: .

Den upps?ttning koordinater som fungerar som funktionsargument, representerar komplett upps?ttning fysiska kvantiteter som kan m?tas i systemet. Inom kvantmekaniken ?r det m?jligt att v?lja flera kompletta upps?ttningar av kvantiteter, s? v?gfunktionen f?r samma tillst?nd kan skrivas fr?n olika argument. Den kompletta upps?ttningen av kvantiteter som valts f?r registrering av v?gfunktionen avg?r v?gfunktionsrepresentation. Ja, m?jligt samordna prestanda, impulsiv presentation, i kvantf?ltteori Begagnade andra kvantiseringen och fyllnadsnummerrepresentation eller Fock representation och s? vidare.

Om v?gfunktionen, till exempel f?r en elektron i en atom, ges i koordinatrepresentation, ?r kvadraten p? v?gfunktionens modul sannolikheten f?r att hitta en elektron vid en viss punkt i rymden. Om samma v?gfunktion ges i momentumrepresentationen, ?r kvadraten p? dess modul sannolikhetst?theten f?r att hitta en eller annan MomentumMed.

Introduktion

Det ?r k?nt att kvantmekanikens f?rlopp ?r en av de sv?raste att f?rst?. Detta h?nger inte s? mycket ihop med den nya och "ovanliga" matematiska apparaten, utan i f?rsta hand med sv?righeten att f?rst? det revolution?ra, ur klassisk fysiks synvinkel, id?er som ligger bakom kvantmekaniken och komplexiteten i att tolka resultaten.

I de flesta l?rob?cker om kvantmekanik baseras presentationen av materialet som regel p? analys av l?sningar till den station?ra Schr?dinger-ekvationen. Det station?ra tillv?gag?ngss?ttet till?ter dock inte direkt j?mf?relse av resultaten av att l?sa ett kvantmekaniskt problem med analoga klassiska resultat. Dessutom ?r m?nga processer som studerats under kvantmekanikens g?ng (s?som passage av en partikel genom en potentiell barri?r, s?nderfallet av ett kvasistation?rt tillst?nd, etc.) i princip icke-station?ra till sin natur och kan d?rf?r f?rst?s i sin helhet endast p? basis av l?sningar av den icke-station?ra ekvationen Schr?dinger. Eftersom antalet analytiskt l?sbara problem ?r litet ?r anv?ndningen av en dator i processen att studera kvantmekanik s?rskilt relevant.

Schr?dinger-ekvationen och den fysiska inneb?rden av dess l?sningar

Schr?dingers v?gekvation

En av kvantmekanikens grundl?ggande ekvationer ?r Schr?dinger-ekvationen, som best?mmer f?r?ndringen i kvantsystemens tillst?nd ?ver tid. Det ?r skrivet i formen

d?r H ?r systemets Hamiltonian, sammanfaller med energioperat?ren om det inte beror p? tid. Typen av operat?r best?ms av systemets egenskaper. F?r den icke-relativistiska r?relsen av en massapartikel i ett potentiellt f?lt U(r) ?r operatorn reell och representeras av summan av operatorerna f?r partikelns kinetiska och potentiella energi

Om partikeln r?r sig i ett elektromagnetiskt f?lt, kommer Hamilton-operat?ren att vara komplex.

?ven om ekvation (1.1) ?r en ekvation av f?rsta ordningen i tiden, har den p? grund av den imagin?ra enheten ocks? periodiska l?sningar. D?rf?r kallas Schr?dinger-ekvationen (1.1) ofta f?r Schr?dinger-v?gekvationen, och dess l?sning kallas f?r den tidsberoende v?gfunktionen. Ekvation (1.1), med en k?nd form av operatorn H, g?r det m?jligt att best?mma v?rdet p? v?gfunktionen vid varje efterf?ljande tidpunkt, om detta v?rde ?r k?nt vid det initiala tids?gonblicket. S?ledes uttrycker Schr?dingers v?gekvation principen om kausalitet inom kvantmekaniken.

Schr?dingers v?gekvation kan erh?llas p? basis av f?ljande formella ?verv?ganden. Det ?r k?nt inom klassisk mekanik att om energin ges som en funktion av koordinater och momenta

sedan ?verg?ngen till den klassiska Hamilton--Jacobi-ekvationen f?r handlingsfunktionen S

kan erh?llas fr?n (1.3) genom den formella transformationen

P? samma s?tt erh?lls ekvation (1.1) fr?n (1.3) n?r den ?verg?r fr?n (1.3) till operatorekvationen genom en formell transformation

om (1.3) inte inneh?ller produkter av koordinater och momenta, eller inneh?ller s?dana produkter av dem som, efter att ha ?verg?tt till operat?rer (1.4), pendlar med varandra. Genom att efter denna transformation likst?lla resultaten av ?tg?rden p? funktionen hos operatorerna f?r den h?gra och v?nstra delen av den resulterande operatorlikheten, kommer vi fram till v?gekvationen (1.1). Man b?r dock inte ta dessa formella transformationer som en h?rledning av Schr?dinger-ekvationen. Schr?dinger-ekvationen ?r en generalisering av experimentella data. Den h?rleds inte inom kvantmekaniken, precis som Maxwells ekvationer inte h?rleds inom elektrodynamiken, h?rleds inte principen om minsta verkan (eller Newtons ekvationer) i klassisk mekanik.

Det ?r l?tt att verifiera att ekvation (1.1) ?r uppfylld f?r v?gfunktionen

beskriver den fria r?relsen f?r en partikel med ett visst momentumv?rde. I det allm?nna fallet bevisas giltigheten av ekvation (1.1) genom ?verensst?mmelse med erfarenhet av alla slutsatser som erh?llits med hj?lp av denna ekvation.

L?t oss visa att ekvation (1.1) inneb?r den viktiga j?mlikheten

indikerar bevarandet av normaliseringen av v?gfunktionen ?ver tid. L?t oss multiplicera (1.1) till v?nster med funktionen *, och multiplicera ekvationskomplexkonjugatet till (1.1) med funktionen och subtrahera den andra ekvationen fr?n den f?rsta erh?llna ekvationen; d? hittar vi

Genom att integrera denna relation ?ver alla v?rden av variablerna och ta h?nsyn till operat?rens sj?lvtillh?righet, f?r vi (1,5).

Om vi i relation (1.6) ers?tter det explicita uttrycket av Hamilton-operatorn (1.2) f?r en partikels r?relse i ett potentiellt f?lt, d? kommer vi fram till en differentialekvation (kontinuitetsekvation)

var ?r sannolikhetst?theten och vektorn

kan kallas sannolikhetsstr?mdensitetsvektorn.

Den komplexa v?gfunktionen kan alltid representeras som

var och ?r verkliga funktioner av tid och koordinater. Allts? sannolikhetst?theten

och sannolikheten f?r str?mt?theten

Av (1.9) f?ljer att j = 0 f?r alla funktioner vars funktion F inte ?r beroende av koordinaterna. I synnerhet ?r j= 0 f?r alla reella funktioner.

L?sningar av Schr?dinger-ekvationen (1.1) representeras i allm?nhet av komplexa funktioner. Att anv?nda komplexa funktioner ?r mycket bekv?mt, ?ven om det inte ?r n?dv?ndigt. Ist?llet f?r en komplex funktion kan systemets tillst?nd beskrivas med tv? reella funktioner och som uppfyller tv? kopplade ekvationer. Till exempel, om operatorn H ?r reell, d? ers?tter vi funktionen i (1.1) och separerar de reella och imagin?ra delarna, f?r vi ett system med tv? ekvationer

i detta fall antar sannolikhetst?theten och sannolikhetsstr?mt?theten formen

V?gfunktioner i momentumrepresentation.

Fouriertransformen av v?gfunktionen karakteriserar f?rdelningen av momenta i ett kvanttillst?nd. Det kr?vs att man h?rleder en integralekvation f?r med Fouriertransformen av potentialen som k?rnan.

L?sning. Det finns tv? ?msesidigt omv?nda relationer mellan funktionerna och.

Om relation (2.1) anv?nds som en definition och en operation till?mpas p? den, d?, med h?nsyn till definitionen av en 3-dimensionell -funktion,

som ett resultat, som ?r l?tt att se, f?r vi den omv?nda relationen (2.2). Liknande ?verv?ganden anv?nds nedan vid h?rledning av relation (2.8).

sedan f?r Fourier-bilden av den potential vi har

Om man antar att v?gfunktionen uppfyller Schr?dinger-ekvationen

Ers?tter vi h?r ist?llet f?r uttrycken (2.1) och (2.3) respektive

I dubbelintegralen g?r vi fr?n integration ?ver en variabel till integration ?ver en variabel och betecknar sedan denna nya variabel med. Integralen ?ver f?rsvinner vid vilket v?rde som helst endast om integranden i sig ?r lika med noll, men d?

Detta ?r den ?nskade integralekvationen med Fouriertransformen av potentialen som k?rnan. Naturligtvis kan integralekvationen (2.6) endast erh?llas under f?ruts?ttning att Fouriertransformen av potentialen (2.4) existerar; f?r detta m?ste till exempel potentialen minska ?ver stora avst?nd, ?tminstone som, var.

Det b?r noteras att fr?n normaliseringstillst?ndet

j?mst?lldhet f?ljer

Detta kan visas genom att ers?tta uttryck (2.1) f?r funktionen med (2.7):

Om vi h?r f?rst utf?r integration ?ver, kommer vi l?tt att f? relation (2.8).

Allm?n Schr?dinger-ekvation. Schr?dinger-ekvationen f?r station?ra tillst?nd

Den statistiska tolkningen av de Broglie-v?gor (se § 216) och Heisenbergs os?kerhetsrelation (se 5 215) ledde till slutsatsen att r?relseekvationen i kvantmekaniken, som beskriver mikropartiklars r?relse i olika kraftf?lt, borde vara en ekvation fr?n som de observerbara p? upplever v?gegenskaperna hos partiklar. Grundekvationen m?ste vara en ekvation f?r v?gfunktionen PS (x, y, z, t), eftersom det ?r just denna, eller, mer exakt, kvantiteten |PS| 2, best?mmer sannolikheten att partikeln stannar vid tidpunkten t i volymen dV, dvs i omr?det med koordinaterna x och x+dx, y och y+dy, z och z+dz. Eftersom den ?nskade ekvationen m?ste ta h?nsyn till partiklarnas v?gegenskaper m?ste det vara en v?gekvation, liknande ekvationen som beskriver elektromagnetiska v?gor.

Den grundl?ggande ekvationen f?r icke-relativistisk kvantmekanik formulerades 1926 av E. Schr?dinger. Schr?dinger-ekvationen, liksom alla fysikens grundl?ggande ekvationer (till exempel Newtons ekvationer inom klassisk mekanik och Maxwells ekvationer f?r det elektromagnetiska f?ltet), ?r inte h?rledd, utan postulerad. Riktigheten av denna ekvation bekr?ftas av ?verensst?mmelse med erfarenheten av de resultat som erh?llits med dess hj?lp, vilket i sin tur ger den karakt?ren av en naturlag. Schr?dinger-ekvationen har formen

d?r h=h/(2p), m ?r partikelns massa, ? ?r Laplace-operatorn ( ),

i - imagin?r enhet, U (x, y, z, t) - potentiell funktion f?r en partikel i kraftf?ltet d?r den r?r sig, PS (x, y, z, t ) - den ?nskade v?gfunktionen f?r partikeln.

Ekvation (217.1) g?ller f?r vilken partikel som helst (med spin lika med 0; se § 225) som r?r sig med en liten (j?mf?rt med ljusets hastighet) hastighet, dvs med en hastighet y<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

m?ste vara kontinuerlig; 3) funktionen |PS| 2 m?ste vara integrerbar; detta tillst?nd reducerar i de enklaste fallen till villkoret normalisering av sannolikheter (216.3).

F?r att komma fram till Schr?dinger-ekvationen, l?t oss betrakta en fritt r?rlig partikel, som enligt de Broglies id? ?r associerad med en plan v?g. F?r enkelhetens skull betraktar vi det endimensionella fallet. Ekvationen f?r en plan v?g som utbreder sig l?ngs x-axeln ?r (se § 154)

Eller i komplex notation . D?rf?r har de Broglie-planv?gen formen

(217.2)

(med h?nsyn till att o = E/h, k=p/h). I kvantmekaniken tas exponenten med ett minustecken, men eftersom endast |PS| 2 , d? ?r detta (se (217.2)) ov?sentligt. Sedan

,

; (217.3)

Genom att anv?nda f?rh?llandet mellan energi E och momentum p (E = p 2 /(2m)) och substituera uttryck (217.3) f?r vi differentialekvationen

som sammanfaller med ekvation (217.1) f?r fallet U = 0 (vi betraktade som en fri partikel).

Om en partikel r?r sig i ett kraftf?lt som k?nnetecknas av en potentiell energi U, s? ?r den totala energin E summan av kinetisk och potentiell energi. Genom att f?ra liknande resonemang med hj?lp av f?rh?llandet mellan E och p (f?r detta fall, p 2 / (2m) = E - U), snurrar vi till en differentialekvation som sammanfaller med (217.1).

Ovanst?ende resonemang b?r inte tas som en h?rledning av Schr?dinger-ekvationen. De f?rklarar bara hur man kan komma fram till denna ekvation. Beviset f?r Schr?dinger-ekvationens riktighet ?r ?verensst?mmelsen med erfarenheten av de slutsatser som den leder till.

Ekvation (217.1) ?r den allm?nna Schr?dinger-ekvationen. Det kallas ocks? f?r den tidsberoende Schr?dinger-ekvationen. F?r m?nga fysiska fenomen som f?rekommer i mikrokosmos kan ekvation (217.1) f?renklas genom att eliminera beroendet av PS av tiden, med andra ord, f?r att hitta Schr?dinger-ekvationen f?r station?ra tillst?nd - ett tillst?nd med fasta energiv?rden. Detta ?r m?jligt om kraftf?ltet som partikeln r?r sig i ?r station?rt, dvs funktionen U = U(x, y, z ) ?r inte uttryckligen beroende av tid och har betydelsen av potentiell energi. I detta fall kan l?sningen av Schr?dinger-ekvationen representeras som en produkt av tv? funktioner, varav den ena ?r en funktion av endast koordinater, den andra endast en funktion av tiden och beroendet av tid uttrycks av faktorn

,

d?r E - partikelns totala energi, som ?r konstant i fallet med ett station?rt f?lt. Om vi byter ut (217,4) i (217,1), f?r vi

varav vi, efter att ha dividerat med den gemensamma faktorn e – i (E/h) t och motsvarande transformationer, kommer fram till ekvationen som definierar funktionen ps:

(217.5)

Ekvation (217.5) kallas Schr?dinger-ekvationen f?r station?ra tillst?nd.

Denna ekvation inkluderar den totala energin E f?r partikeln som en parameter. I teorin om differentialekvationer ?r det bevisat att s?dana ekvationer har ett o?ndligt antal l?sningar, fr?n vilka l?sningar som har en fysisk betydelse v?ljs genom att st?lla randvillkor. F?r Schr?dinger-ekvationen ?r s?dana villkor villkoren f?r regelbundenhet f?r v?gfunktionerna: v?gfunktionerna m?ste vara ?ndliga, env?rdiga och kontinuerliga tillsammans med sina f?rstaderivator. Allts? endast l?sningar som uttrycks av regulj?ra funktioner ps . Men regelbundna l?sningar sker inte f?r n?gra v?rden av parametern E, utan bara f?r en viss upps?ttning av dem, vilket ?r karakteristiskt f?r det givna problemet. Dessa energiv?rden kallas f?r inre. L?sningarna som motsvarar energiegenv?rdena kallas egenfunktioner. Egenv?rdena E kan bilda antingen en kontinuerlig eller en diskret serie. I det f?rsta fallet talar man om ett kontinuerligt, eller kontinuerligt, spektrum, i det andra om ett diskret spektrum.

I utvecklingen av de Broglies id? om partiklars v?gegenskaper fick Schr?dinger 1926 ekvationen

104. (20)

d?r m ?r partikelns massa, ?r den imagin?ra enheten, U ?r partikelns potentiella energi, D ?r Laplace-operatorn [se (1.10)].

L?sningen av Schr?dinger-ekvationen g?r att man kan hitta v?gfunktionen Y(x, y, z, t) f?r partikeln, som beskriver partikelns mikrotillst?nd och dess v?gegenskaper.

Om f?ltet f?r yttre krafter ?r konstant i tid (dvs. station?rt), s? beror U inte uttryckligen p? t. I detta fall delas l?sningen av ekvation (20) upp i tv? faktorer

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z)exp[-i(E/ )t] (21)

I det station?ra fallet har Schr?dinger-ekvationen formen

(22)

d?r E, U - total och potentiell energi, m - partikelmassa.

Det b?r noteras att historiskt har namnet "v?gfunktion" uppst?tt p? grund av att ekvation (20) eller (22), som best?mmer denna funktion, h?nvisar till formen av v?gekvationer.

104. V?teatom och v?teliknande "atomer" (He + , Li 2+ och andra) som de enklaste kvantmekaniska systemen: kvanttillst?nd, radiella och vinkelkomponenter i v?gfunktionen, orbitalsymmetri.

Baserat p? sin forskning f?reslog Rutherford 1911 en k?rnvapen (planetarisk) atommodell. Enligt denna modell r?r sig elektroner i slutna banor runt en positiv k?rna, och bildar elektronskalet hos en atom, i ett omr?de med linj?ra dimensioner av storleksordningen 10 -10 m. K?rnans laddning ?r Ze(Z-- serienumret f?r elementet i Mendeleev-systemet, e -.element?r laddning), storlek 10 -15 - 10 -14 m, massa, n?stan lika med massan av en atom. Eftersom atomerna ?r neutrala ?r k?rnans laddning lika med elektronernas totala laddning, dvs den m?ste rotera runt k?rnan Z elektroner.

en v?teatom och v?teliknande system- dessa ?r system som best?r av en k?rna med en laddning Ze och en elektron (till exempel He +, Li 2+ joner).

L?sningen av problemet med energiniv?erna f?r en elektron f?r en v?teatom (liksom v?teliknande system: heliumjon He + , dubbeljoniserat litium Li + +, etc.) reduceras till problemet med elektronr?relse i Coulomb f?lt av k?rnan.

Potentiell energi f?r interaktion av en elektron med en k?rna som har en laddning Ze(f?r en v?teatom Z=1),

var r?r avst?ndet mellan elektronen och k?rnan. Grafiskt fungerande U(r) avbildas av den feta kurvan i fig. 6, o?ndligt minskande (?kande. modulo) vid minskning r, dvs n?r en elektron n?rmar sig k?rnan.

Tillst?ndet f?r en elektron i en v?teatom beskrivs av v?gfunktionen PS, som uppfyller den station?ra Schr?dinger-ekvationen, med h?nsyn tagen till v?rdet (1):"

, (2)

var m?r elektronens massa, E?r den totala energin f?r en elektron i en atom.

Detta ?r den s? kallade station?ra Schr?dinger-ekvationen f?r elektronen i en v?teliknande atom i VDPA.

1. Energi. I teorin om differentialekvationer ?r det bevisat att ekvationer av typ (2) har l?sningar som uppfyller kraven p? unikhet, ?ndlighet och kontinuitet f?r v?gfunktionen PS endast f?r egenv?rden av energi

(n= 1, 2, 3,…), (3)

d.v.s. f?r en diskret upps?ttning negativa energiv?rden.

S?ledes, som i fallet med en "potentiell brunn" med o?ndligt h?ga "v?ggar", leder l?sningen av Schr?dinger-ekvationen f?r v?teatomen till uppkomsten av diskreta energiniv?er. M?jliga v?rden E 1 , E 2 , E 3, ... visas i fig. 6 som horisontella linjer. Den l?gsta niv?n E 1 som motsvarar minsta m?jliga energi, - grundl?ggande,?vrig ( En >Ei, n= 2, 3,…) – upphetsad. P? E < 0 движение электрона является relaterad det ?r inuti en hyperbolisk "potentiell brunn". Det f?ljer av figuren att n?r det huvudsakliga kvanttalet ?kar P energiniv?erna ligger n?rmare varandra n=? E ? = 0. N?r E> 0 ?r en elektrons r?relse fri; kontinuumregion E >0(skuggad i fig. 6) motsvarar joniserad atom. En v?teatoms joniseringsenergi ?r

E i = - E 1 = mig 4 / (8h 2 e O 2) = 13,55 eV.

2. Kvanttal. Inom kvantmekaniken ?r det bevisat att Schr?dinger-ekvationen (2) ?r uppfylld av egenfunktionerna , best?ms av tre kvanttal: det huvudsakliga P, orbital l och magnetiska m l.

Huvudkvanttalet n, enligt (3), best?mmer energiniv?erna f?r en elektron i en atom och kan ta alla heltalsv?rden, fr?n ett: