Sektion. Typer av sektioner. Byggande av sektioner

Problem med att konstruera sektioner av polyedrar upptar en betydande plats b?de i gymnasiekurser i geometri och i tentor p? olika niv?er. Att l?sa denna typ av problem bidrar till assimileringen av stereometrins axiom, systematisering av kunskap och f?rdigheter, utveckling av rumslig f?rst?else och konstruktiva f?rdigheter. De sv?righeter som uppst?r n?r man l?ser problem med konstruktion av sektioner ?r v?lk?nda.

Fr?n tidig barndom st?r vi inf?r sektioner. Vi sk?r br?d, korv och andra produkter, planerar en pinne eller penna med en kniv. Sk?rplanet i alla dessa fall ?r knivens plan. Sektionerna (snitt av bitar) visar sig vara olika.

En sektion av en konvex polyeder ?r en konvex polygon, vars h?rn i det allm?nna fallet ?r sk?rningspunkterna mellan sk?rplanet och polygonens kanter, och sidorna ?r sk?rningslinjerna mellan sk?rplanet och ytorna .

F?r att konstruera en sk?rningslinje mellan tv? plan r?cker det att hitta tv? gemensamma punkter f?r dessa plan och dra en linje genom dem. Detta ?r baserat p? f?ljande p?st?enden:

1. om tv? punkter p? en linje tillh?r ett plan, s? tillh?r hela linjen detta plan;

2. om tv? olika plan har en gemensam punkt, s? sk?r de sig l?ngs en r?t linje som g?r genom denna punkt.

Som jag redan har sagt kan konstruktionen av sektioner av polyedrar utf?ras p? basis av stereometrins axiom och satser om parallelliteten mellan linjer och plan. Samtidigt finns det vissa metoder f?r att konstruera platta sektioner av polyedrar. De mest effektiva ?r f?ljande tre metoder:

Sp?rningsmetod

Intern designmetod

Kombinerad metod.

I studien av geometri och i synnerhet de sektioner d?r bilder av geometriska figurer beaktas, ?r bilder av geometriska figurer hj?lpta av anv?ndningen av datorpresentationer. Med hj?lp av en dator blir m?nga geometrilektioner mer visuella och dynamiska. Axiom, satser, bevis, konstruktionsproblem, sektionskonstruktionsproblem kan ?tf?ljas av successiva konstruktioner p? bildsk?rmen. Ritningar gjorda med hj?lp av en dator kan sparas och infogas i andra dokument.

Jag skulle vilja visa n?gra bilder om ?mnet: "Konstruera sektioner i geometriska kroppar"

F?r att konstruera sk?rningspunkten f?r en linje och ett plan, hitta en linje i planet som sk?r den givna linjen. D? ?r den n?dv?ndiga punkten sk?rningspunkten f?r den hittade linjen med den givna. L?t oss se detta p? n?sta bilder.

Uppgift 1.

Tv? punkter M och N ?r markerade p? kanterna av DABC-tetraedern; M GAD, Nb DC. Ange sk?rningspunkten f?r den r?ta linjen MN med basplanet.

L?sning: f?r att hitta sk?rningspunkten f?r linjen MN med planet

Vi kommer att forts?tta basen med AC och segmentet MN. L?t oss markera sk?rningspunkten f?r dessa linjer genom X. Punkt X tillh?r den r?ta linjen MN och ytan AC, och AC ligger i basens plan, vilket betyder att punkt X ocks? ligger i basens plan. F?ljaktligen ?r punkt X sk?rningspunkten mellan den r?ta linjen MN och basens plan.

L?t oss ?verv?ga det andra problemet. L?t oss komplicera det lite.

Uppgift 2.

Givet en tetraeder DABC av punkterna M och N, d?r M € DA, N C (DBC). Hitta sk?rningspunkten f?r den r?ta linjen MN med planet ABC.

L?sning: sk?rningspunkten mellan linjen MN och planet ABC m?ste ligga i planet som inneh?ller linjen MN och i basens plan. L?t oss forts?tta segmentet DN till sk?rningspunkten med kanten DC. Vi markerar sk?rningspunkten genom E. Vi forts?tter linjen AE och MN till punkten f?r deras sk?rningspunkt. L?t oss markera X. Punkten X tillh?r MN, vilket betyder att den ligger p? planet som inneh?ller linjen MN och X tillh?r AE, och AE ligger p? planet ABC. Det betyder att X ocks? ligger i ABC-planet. D?rf?r ?r X sk?rningspunkten f?r den r?ta linjen MN och planet ABC.

L?t oss komplicera uppgiften. L?t oss betrakta sektionen av geometriska figurer med plan som passerar genom tre givna punkter.

Problem 3

Punkterna M, N och P ?r markerade p? kanterna AC, AD och DB p? tetraederns DABC Konstruera en sektion av tetraedern med hj?lp av MNP-planet.

L?sning: konstruera en r?t linje l?ngs vilken planet ?r MNP. Sk?r ansiktsplanet ABC. Punkt M ?r den gemensamma punkten f?r dessa plan. F?r att konstruera en annan gemensam punkt forts?tter vi segmentet AB och NP. Vi markerar sk?rningspunkten genom X, som kommer att vara den andra gemensamma punkten f?r MNP- och ABC-planen. Detta inneb?r att dessa plan sk?r l?ngs den r?ta linjen MX. MX sk?r kant BC vid n?gon punkt E. Eftersom E ligger p? MX, och MX ?r en linje som tillh?r planet MNP, s? h?r PE till MNP. Quadrangle MNPE ?r den obligatoriska sektionen.

Problem 4

L?t oss konstruera en sektion av ett rakt prisma ABCA1B1C1 med ett plan som g?r genom punkterna P , F,R, d?r R tillh?r ( A.A. 1C 1C), R tillh?r I 1C1,

Q tillh?r AB

L?sning: Alla tre punkterna P, Q, R ligger p? olika ytor, s? vi kan ?nnu inte konstruera en sk?rningslinje f?r sk?rplanet med n?gon yta av prismat. L?t oss hitta sk?rningspunkten mellan PR och ABC. L?t oss hitta projektionerna av punkterna P och R p? basplanet PP1 vinkelr?tt mot BC och RR1 vinkelr?tt mot AC. Linje P1R1 sk?r linjen PR i punkt X. X ?r sk?rningspunkten mellan r?t linje PR och plan ABC. Den ligger i det ?nskade planet K och i basens plan, liksom punkten Q. XQ ?r en r?t linje som sk?r K med basens plan. XQ sk?r AC i punkt K. D?rf?r ?r KQ sk?rningssegmentet mellan planet X och ytan ABC. K och R ligger i X-planet och i ansiktets plan АА1С1С. L?t oss rita en r?t linje KR och markera sk?rningspunkten med A1Q E. KE ?r sk?rningslinjen f?r X-planet med denna yta. L?t oss hitta sk?rningslinjen f?r X-planet med planet f?r ytorna BB1A1A. KE sk?r A1A i punkt Y. Den r?ta linjen QY ?r sk?rningslinjen mellan sk?rplanet och planet AA1B1B. FPEKQ ?r det obligatoriska avsnittet.

Sj?lva uppgiften brukar l?ta s? h?r: "bygga en naturlig bild av en sektionsfigur". Naturligtvis best?mde vi oss f?r att inte l?mna denna fr?ga ?t sidan och f?rs?ka, om m?jligt, f?rklara hur den lutande sektionen ?r uppbyggd.

F?r att f?rklara hur en lutande sektion ?r uppbyggd ska jag ge flera exempel. Jag kommer naturligtvis att b?rja med de element?ra och gradvis ?ka komplexiteten i exemplen. Jag hoppas att du efter att ha analyserat dessa exempel p? sektionsritningar f?rst?r hur det g?r till och kommer att kunna genomf?ra din studieuppgift sj?lv.

L?t oss ?verv?ga en "tegelsten" med dimensioner 40x60x80 mm och ett godtyckligt lutande plan. Sk?rplanet sk?r den vid punkterna 1-2-3-4. Jag tror att allt ?r klart h?r.

L?t oss g? vidare till att konstruera en naturlig bild av sektionsfiguren.
1. L?t oss f?rst och fr?mst rita sektionsaxeln. Axeln ska dras parallellt med sektionsplanet - parallellt med linjen som planet projiceras i i huvudvyn - vanligtvis ?r det i huvudvyn som uppgiften f?r konstruktion av en lutande sektion(Vidare kommer jag alltid att n?mna huvudvyn, med tanke p? att detta n?stan alltid h?nder i pedagogiska ritningar).
2. P? axeln plottar vi l?ngden p? sektionen. P? min ritning ?r den betecknad som L. Storleken L best?ms i huvudvyn och ?r lika med avst?ndet fr?n ing?ngspunkten f?r sektionen till delen till utg?ngspunkten fr?n den.
3. Fr?n de resulterande tv? punkterna p? axeln, vinkelr?tt mot den, plottar vi sektionens bredd vid dessa punkter. Bredden p? sektionen vid ing?ngspunkten i delen och vid utg?ngspunkten fr?n delen kan best?mmas i ovanifr?n. I detta fall ?r b?da segmenten 1-4 och 2-3 lika med 60 mm. Som du kan se fr?n bilden ovan ?r kanterna p? sektionen raka, s? vi kopplar helt enkelt v?ra tv? resulterande segment och erh?ller en rektangel 1-2-3-4. Detta ?r det naturliga utseendet p? tv?rsnittet av v?r tegelsten med ett lutande plan.

L?t oss nu komplicera v?r del. L?t oss placera en tegelsten p? en bas 120x80x20 mm och l?gga till f?rstyvande ribbor till figuren. L?t oss rita ett sk?rplan s? att det passerar genom alla fyra elementen i figuren (genom basen, tegelstenen och tv? f?rstyvningar). P? bilden nedan kan du se tre vyer och en realistisk bild av denna del.

L?t oss f?rs?ka skapa en naturlig bild av denna lutande sektion. L?t oss b?rja om med sektionsaxeln: rita den parallellt med sektionsplanet som anges i huvudvyn. P? den plottar vi l?ngden p? sektionen lika med A-E. Punkt A ?r ing?ngspunkten f?r sektionen i delen, och i ett s?rskilt fall, ing?ngspunkten f?r sektionen till basen. Utg?ngspunkten fr?n basen ?r punkt B. Markera punkt B p? snittaxeln. P? liknande s?tt markerar vi ing?ngs- och utg?ngspunkterna till kanten, till "tegelstenen" och till den andra kanten. Fr?n punkterna A och B, vinkelr?tt mot axeln, kommer vi att l?gga ut segment lika med basens bredd (40 i varje riktning fr?n axeln, totalt 80 mm). L?t oss ansluta de extrema punkterna - vi f?r en rektangel, som ?r ett naturligt tv?rsnitt av delens bas.

Nu ?r det dags att konstruera en del av sektionen, som ?r en sektion av delens kant. Fr?n punkterna B och C kommer vi att s?tta vinkelr?ta p? 5 mm i varje riktning - vi kommer att f? segment p? 10 mm. L?t oss ansluta de extrema punkterna och f? en del av revbenet.

Fr?n punkterna C och D l?gger vi ut vinkelr?ta segment som ?r lika med bredden p? "tegelstenen" - helt liknande det f?rsta exemplet p? denna lektion.

Genom att avs?tta vinkelr?ta fr?n punkterna D och E lika med bredden p? den andra kanten och f?rbinda de yttersta punkterna f?r vi en naturlig bild av dess sektion.

Allt som ?terst?r ?r att radera byglarna mellan de individuella elementen i den resulterande sektionen och till?mpa skuggning. Det borde se ut ungef?r s? h?r:

Om vi delar figuren l?ngs en given sektion kommer vi att se f?ljande vy:

Jag hoppas att du inte blir skr?md av de tr?kiga styckena som beskriver algoritmen. Om du har l?st allt ovan och fortfarande inte helt f?rst?r, hur man ritar en lutande sektion, jag rekommenderar starkt att du tar upp ett papper och en penna och f?rs?ker upprepa alla steg efter mig - detta kommer n?stan 100% att hj?lpa dig att l?ra dig materialet.

Jag lovade en g?ng en forts?ttning p? den h?r artikeln. Slutligen ?r jag redo att presentera dig en steg-f?r-steg-konstruktion av en lutande del av en del, n?rmare l?xornas niv?. Dessutom ?r den lutande sektionen definierad i den tredje vyn (den lutande sektionen definieras i den v?nstra vyn)

eller skriv ner v?rt telefonnummer och ber?tta f?r dina v?nner om oss - n?gon letar f?rmodligen efter ett s?tt att f?rdigst?lla ritningarna

eller Skapa en anteckning om v?ra lektioner p? din sida eller blogg - s? kommer n?gon annan att kunna bem?stra ritningen.

Ja, allt ?r bra, men jag skulle vilja se hur man g?r samma sak p? en mer komplex del, till exempel med avfasningar och ett konformat h?l.

Tack. ?r inte de f?rstyvande revbenen kl?ckta p? sektionerna?
Exakt. Det ?r de som inte kl?cks. F?r det h?r ?r de allm?nna reglerna f?r att g?ra nedsk?rningar. Men de ?r vanligtvis skuggade n?r man g?r snitt i axonometriska projektioner - isometri, dimetri, etc. N?r du g?r lutande sektioner skuggas ocks? omr?det som ?r relaterat till f?rstyvningen.

Tack, mycket tillg?nglig. S?g mig, kan en lutande sektion g?ras i toppvyn eller i vyn till v?nster? I s? fall skulle jag vilja se ett enkelt exempel. Sn?lla.

Det ?r m?jligt att g?ra s?dana avsnitt. Men jag har tyv?rr inget exempel till hands just nu. Och det finns en annan intressant po?ng: ? ena sidan finns det inget nytt d?r, men ? andra sidan, i praktiken, ?r s?dana avsnitt faktiskt sv?rare att rita. Av n?gon anledning b?rjar allt bli f?rvirrat i huvudet och de flesta elever har det sv?rt. Men ge inte upp!

Ja, allt ?r bra, men jag skulle vilja se hur samma sak g?rs, men med h?l (genom och inte genom), annars f?rvandlas de aldrig till en ellips i huvudet

hj?lpa mig med ett komplext problem

Det ?r synd att du skrev h?r. Om du kunde skriva till oss via e-post kanske vi skulle hinna diskutera allt.

Du f?rklarar bra. Vad h?nder om en av sidorna av delen ?r halvcirkelformig? Det finns ?ven h?l i delen.

Ilya, anv?nd lektionen fr?n avsnittet om beskrivande geometri "Sektion av en cylinder med ett lutande plan." Med dess hj?lp kan du ta reda p? vad du ska g?ra med h?len (de ?r i huvudsak cylindrar ocks?) och med den halvcirkelformade sidan.

Jag tackar f?rfattaren f?r artikeln! Den ?r kort och l?tt att f?rst?. F?r ungef?r 20 ?r sedan gnagde jag p? vetenskapens granit, nu hj?lper jag min son. Jag gl?mde mycket, men din artikel gav tillbaka en grundl?ggande f?rst?else av ?mnet. Jag ska ta reda p? den lutande delen av cylindern)

L?gg till din kommentar.

Definition

En sektion ?r en platt figur som bildas n?r en rumslig figur sk?r ett plan och vars gr?ns ligger p? den rumsliga figurens yta.

Kommentar

F?r att konstruera sektioner av olika rumsliga figurer ?r det n?dv?ndigt att komma ih?g de grundl?ggande definitionerna och satserna om parallelliteten och vinkelr?theten hos linjer och plan, s?v?l som egenskaperna hos rumsliga figurer. L?t oss komma ih?g de grundl?ggande fakta.
F?r en mer detaljerad studie rekommenderas att du bekantar dig med ?mnena ”Introduktion till stereometri. Parallellism" och "Perpendicularity. Vinklar och avst?nd i rymden”.

Viktiga definitioner

1. Tv? linjer i rymden ?r parallella om de ligger i samma plan och inte sk?r varandra.

2. Tv? raka linjer i rymden sk?r varandra om ett plan inte kan dras genom dem.

4. Tv? plan ?r parallella om de inte har gemensamma punkter.

5. Tv? linjer i rymden kallas vinkelr?ta om vinkeln mellan dem ?r lika med \(90^\cirkel\) .

6. En linje kallas vinkelr?t mot ett plan om den ?r vinkelr?t mot n?gon linje som ligger i detta plan.

7. Tv? plan kallas vinkelr?ta om vinkeln mellan dem ?r \(90^\cirkel\) .

Viktiga axiom

1. Genom tre punkter som inte ligger p? samma linje passerar ett plan och bara en.

2. Ett plan, och endast ett, passerar genom en rak linje och en punkt som inte ligger p? den.

3. Ett plan passerar genom tv? sk?rande linjer, och endast en.

Viktiga satser

1. Om en linje \(a\) som inte ligger i planet \(\pi\) ?r parallell med n?gon linje \(p\) som ligger i planet \(\pi\) s? ?r den parallell med detta plan.

2. L?t den r?ta linjen \(p\) vara parallell med planet \(\mu\) . Om planet \(\pi\) passerar genom linjen \(p\) och sk?r planet \(\mu\) , d? sk?rningslinjen f?r planen \(\pi\) och \(\mu\) ?r linjen \(m\) - parallell med den r?ta linjen \(p\) .

3. Om tv? sk?rande linjer fr?n ett plan ?r parallella med tv? sk?rande linjer fr?n ett annat plan, kommer s?dana plan att vara parallella.

4. Om tv? parallella plan \(\alpha\) och \(\beta\) sk?rs av ett tredje plan \(\gamma\), s? ?r sk?rningslinjerna f?r planen ocks? parallella:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. L?t den r?ta linjen \(l\) ligga i planet \(\lambda\) . Om linjen \(s\) sk?r planet \(\lambda\) i en punkt \(S\) som inte ligger p? linjen \(l\), d? linjerna \(l\) och \(s\) korsas.

6. Om en linje ?r vinkelr?t mot tv? sk?rande linjer som ligger i ett givet plan, s? ?r den vinkelr?t mot detta plan.

7. Sats om tre vinkelr?ta.

L?t \(AH\) vara vinkelr?t mot planet \(\beta\) . L?t \(AB, BH\) vara det lutande planet och dess projektion p? planet \(\beta\) . D? kommer linjen \(x\) i planet \(\beta\) att vara vinkelr?t mot den lutande om och endast om den ?r vinkelr?t mot projektionen.

8. Om ett plan passerar genom en linje vinkelr?t mot ett annat plan, s? ?r det vinkelr?tt mot detta plan.

Kommentar

Ett annat viktigt faktum som ofta anv?nds f?r att konstruera sektioner:

f?r att hitta sk?rningspunkten f?r en linje och ett plan r?cker det att hitta sk?rningspunkten f?r en given linje och dess projektion p? detta plan.

F?r att g?ra detta, fr?n tv? godtyckliga punkter \(A\) och \(B\) p? den r?ta linjen \(a\) ritar vi vinkelr?ta mot planet \(\mu\) – \(AA"\) och \( BB"\) (punkter \ (A", B"\) kallas projektioner av punkter \(A,B\) p? planet). D? ?r linjen \(A"B"\) projektionen av linjen \(a\) p? planet \(\mu\) . Punkten \(M=a\cap A"B"\) ?r sk?rningspunkten f?r den r?ta linjen \(a\) och planet \(\mu\) .

Dessutom noterar vi att alla punkter \(A, B, A", B", M\) ligger i samma plan.

Exempel 1.

Givet en kub \(ABCDA"B"C"D"\) . \(A"P=\dfrac 14AA", \KC=\dfrac15 CC"\). Hitta sk?rningspunkten f?r den r?ta linjen \(PK\) och planet \(ABC\) .

L?sning

1) F?r att kanterna p? kuben \(AA", CC"\) ?r vinkelr?ta mot \((ABC)\), d? ?r punkterna \(A\) och \(C\) projektioner av punkterna \(P\) och \(K\). D? ?r linjen \(AC\) projektionen av linjen \(PK\) p? planet \(ABC\) . L?t oss f?rl?nga segmenten \(PK\) och \(AC\) bortom punkterna \(K\) respektive \(C\), och erh?lla sk?rningspunkten f?r linjerna - punkten \(E\) .

2) Hitta f?rh?llandet \(AC:EC\) . \(\triangel PAE\sim \triangel KCE\) i tv? h?rn ( \(\vinkel A=\vinkel C=90^\cirkel, \vinkel E\)- allm?nt), betyder \[\dfrac(PA)(KC)=\dfrac(EA)(EC)\]

Om vi betecknar kanten p? kuben som \(a\) , d? \(PA=\dfrac34a, \KC=\dfrac15a, \AC=a\sqrt2\). Sedan:

\[\dfrac(\frac34a)(\frac15a)=\dfrac(a\sqrt2+EC)(EC) \Rightarrow EC=\dfrac(4\sqrt2)(11)a \Rightarrow AC:EC=4:11\ ]

Exempel 2.

Givet en vanlig triangul?r pyramid \(DABC\) med en bas \(ABC\) vars h?jd ?r lika med sidan av basen. L?t punkten \(M\) dela sidokanten p? pyramiden i f?rh?llandet \(1:4\), r?knat fr?n toppen av pyramiden, och \(N\) - h?jden p? pyramiden i f?rh?llandet \ (1:2\), r?knat fr?n toppen av pyramiden. Hitta sk?rningspunkten f?r den r?ta linjen \(MN\) med planet \(ABC\) .

L?sning

1) L?t \(DM:MA=1:4, \DN:NO=1:2\) (se figur). D?rf?r att pyramiden ?r regelbunden, d? faller h?jden vid sk?rningspunkten \(O\) mellan basens medianer. L?t oss hitta projektionen av den r?ta linjen \(MN\) p? planet \(ABC\) . D?rf?r att \(DO\perp (ABC)\) , sedan \(NO\perp (ABC)\) . Detta betyder att \(O\) ?r en punkt som h?r till denna projektion. L?t oss hitta den andra punkten. L?t oss sl?ppa vinkelr?t \(MQ\) fr?n punkten \(M\) till planet \(ABC\) . Punkten \(Q\) kommer att ligga p? medianen \(AK\) .
Faktum ?r att \(MQ\) och \(NO\) ?r vinkelr?ta mot \((ABC)\), d? ?r de parallella (vilket betyder att de ligger i samma plan). D?rf?r, sedan punkter \(M, N, O\) ligger i samma plan \(ADK\), d? kommer punkten \(Q\) att ligga i detta plan. Men ocks? (genom konstruktion) m?ste punkten \(Q\) ligga i planet \(ABC\), d?rf?r ligger den p? sk?rningslinjen f?r dessa plan, och detta ?r \(AK\) .

Detta betyder att linjen \(AK\) ?r projektionen av linjen \(MN\) p? planet \(ABC\) . \(L\) ?r sk?rningspunkten f?r dessa linjer.

2) Observera att f?r att rita ritningen korrekt ?r det n?dv?ndigt att hitta den exakta positionen f?r punkten \(L\) (till exempel i v?r ritning ligger punkten \(L\) utanf?r segmentet \(OK\ ), ?ven om det kan ligga inuti det; vilket ?r korrekt?).

D?rf?r att enligt villkoret ?r sidan av basen lika med h?jden p? pyramiden, d? betecknar vi \(AB=DO=a\) . D? ?r medianen \(AK=\dfrac(\sqrt3)2a\) . Betyder att, \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1(2\sqrt3)a\). L?t oss hitta l?ngden p? segmentet \(OL\) (d? kan vi f?rst? om punkten \(L\) ?r innanf?r eller utanf?r segmentet \(OK\): om \(OL>OK\) s? ?r den utanf?r, annars ?r den inne).

A) \(\triangel AMQ\sim \triangel ADO\) i tv? h?rn ( \(\vinkel Q=\vinkel O=90^\cirkel, \\vinkel A\)- allm?nt). Betyder att,

\[\dfrac(MQ)(DO)=\dfrac(AQ)(AO)=\dfrac(MA)(DA)=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a\]

Betyder att, \(QK=\dfrac(\sqrt3)2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a=\dfrac7(10\sqrt3)a\).

b) L?t oss beteckna \(KL=x\) .
\(\triangel LMQ\sim \triangel LNO\) i tv? h?rn ( \(\vinkel Q=\vinkel O=90^\cirkel, \\vinkel L\)- allm?nt). Betyder att,

\[\dfrac(MQ)(NO)=\dfrac(QL)(OL) \H?gerpil \dfrac(\frac45 a)(\frac 23a) =\dfrac(\frac(7)(10\sqrt3)a+x )(\frac1(2\sqrt3)a+x) \Rightarrow x=\dfrac a(2\sqrt3) \Rightarrow OL=\dfrac a(\sqrt3)\]

D?rf?r betyder \(OL>OK\) att punkten \(L\) verkligen ligger utanf?r segmentet \(AK\) .

Kommentar

Bli inte orolig om du, n?r du l?ser ett liknande problem, uppt?cker att l?ngden p? segmentet ?r negativ. Om vi under villkoren f?r det f?reg?ende problemet fick att \(x\) ?r negativ, skulle detta betyda att vi felaktigt valde positionen f?r punkten \(L\) (det vill s?ga att den ?r placerad inuti segmentet \(AK) \)) .

Exempel 3

Givet en vanlig fyrkantig pyramid \(SABCD\) . Hitta sektionen av pyramiden genom att planet \(\alpha\) g?r genom punkten \(C\) och mitten av kanten \(SA\) och parallellt med linjen \(BD\) .

L?sning

1) L?t oss beteckna mitten av kanten \(SA\) med \(M\) . D?rf?r att pyramiden ?r regelbunden, d? faller h?jden \(SH\) p? pyramiden till sk?rningspunkten f?r basens diagonaler. Betrakta planet \(SAC\) . Segmenten \(CM\) och \(SH\) ligger i detta plan, l?t dem sk?ra varandra i punkten \(O\) .

F?r att planet \(\alpha\) ska vara parallellt med linjen \(BD\) m?ste det inneh?lla n?gon linje parallell med \(BD\) . Punkten \(O\) ligger tillsammans med linjen \(BD\) i samma plan - i planet \(BSD\) . L?t oss rita i detta plan genom punkten \(O\) den r?ta linjen \(KP\parallell BD\) (\(K\in SB, P\in SD\) ). Sedan, genom att koppla ihop punkterna \(C, P, M, K\) , f?r vi en sektion av pyramiden med planet \(\alpha\) .

2) L?t oss hitta f?rh?llandet d?r punkterna \(K\) och \(P\) delas med kanterna \(SB\) och \(SD\) . P? s? s?tt kommer vi att helt definiera den konstruerade sektionen.

Observera att eftersom \(KP\parallel BD\) , sedan genom Thales sats \(\dfrac(SB)(SK)=\dfrac(SD)(SP)\). Men \(SB=SD\) betyder \(SK=SP\) . S?ledes kan endast \(SP:PD\) hittas.

Betrakta \(\triangel ASC\) . \(CM, SH\) ?r medianerna i denna triangel, d?rf?r delas sk?rningspunkten i f?rh?llandet \(2:1\), r?knat fr?n vertexet, det vill s?ga \(SO:OH=2:1\ ) .

Nu enligt Thales sats fr?n \(\triangel BSD\): \(\dfrac(SP)(PD)=\dfrac(SO)(OH)=\dfrac21\).

3) Observera att enligt satsen om tre vinkelr?ta, ?r \(CO\perp BD\) som en sned (\(OH\) ?r en vinkelr?t mot planet \(ABC\), \(CH\perp) BD\) ?r en projektion). S?, \(CO\perp KP\) . S?ledes ?r sektionen en fyrh?rning \(CPMK\) vars diagonaler ?r inb?rdes vinkelr?ta.

Exempel 4

Givet en rektangul?r pyramid \(DABC\) med en kant \(DB\) vinkelr?t mot planet \(ABC\) . Basen ?r en r?tvinklig triangel med \(\vinkel B=90^\cirkel\) och \(AB=DB=CB\) . Rita ett plan genom den r?ta linjen \(AB\) vinkelr?tt mot ytan \(DAC\) och hitta sektionen av pyramiden vid detta plan.

L?sning

1) Planet \(\alpha\) kommer att vara vinkelr?tt mot ytan \(DAC\) om det inneh?ller en linje vinkelr?t mot \(DAC\) . L?t oss rita en vinkelr?t fr?n punkten \(B\) till planet \(DAC\) - \(BH\) , \(H\i DAC\) .

L?t oss rita hj?lp \(BK\) – median i \(\triangel ABC\) och \(DK\) – median i \(\triangel DAC\) .
D?rf?r att \(AB=BC\) , d? ?r \(\triangel ABC\) likbent, vilket betyder \(BK\) ?r h?jden, det vill s?ga \(BK\perp AC\) .
D?rf?r att \(AB=DB=CB\) och \(\angle ABD=\angle CBD=90^\circ\), Den d?r \(\triangel ABD=\triangel CBD\), d?rf?r \(AD=CD\) , d?rf?r ?r \(\triangel DAC\) ocks? likbent och \(DK\perp AC\) .

L?t oss applicera satsen om tre vinkelr?ta: \(BH\) – vinkelr?t mot \(DAC\) ; oblique \(BK\perp AC\) , vilket betyder projektion \(HK\perp AC\) . Men vi har redan best?mt att \(DK\perp AC\) . S?ledes ligger punkten \(H\) p? segmentet \(DK\) .

Genom att koppla ihop punkterna \(A\) och \(H\) f?r vi ett segment \(AN\) l?ngs vilket planet \(\alpha\) sk?r ytan \(DAC\) . D? ?r \(\triangel ABN\) den ?nskade delen av pyramiden vid planet \(\alpha\) .

2) Best?m den exakta positionen f?r punkten \(N\) p? kanten \(DC\) .

L?t oss beteckna \(AB=CB=DB=x\) . D? ?r \(BK\) , eftersom medianen f?ll fr?n spetsen av den r?ta vinkeln till \(\triangel ABC\) , lika med \(\frac12 AC\) , d?rf?r \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x \) .

Betrakta \(\triangel BKD\) . L?t oss hitta f?rh?llandet \(DH:HK\) .

Observera att sedan \(BH\perp (DAC)\), d? ?r \(BH\) vinkelr?t mot vilken r?t linje som helst fr?n detta plan, vilket betyder att \(BH\) ?r h?jden i \(\triangel DBK\) . Sedan \(\triangel DBH\sim \triangel DBK\), d?rav

\[\dfrac(DH)(DB)=\dfrac(DB)(DK) \H?gerpil DH=\dfrac(\sqrt6)3x \H?gerpil HK=\dfrac(\sqrt6)6x \H?gerpil DH:HK=2:1 \]

L?t oss nu betrakta \(\triangel ADC\) . Medianerna f?r den exakta sk?rningstriangeln delas i f?rh?llandet \(2:1\), r?knat fr?n vertexet. Detta betyder att \(H\) ?r sk?rningspunkten f?r medianerna i \(\triangel ADC\) (eftersom \(DK\) ?r medianen). Det vill s?ga \(AN\) ?r ocks? en median, vilket betyder \(DN=NC\) .

Matematikl?rare vid Shchelkovo-grenen av GBPOU MO "Krasnogorsk College" Artemyev Vasily Ilyich.

Att studera ?mnet "L?sa problem med att bygga sektioner" b?rjar i 10:e klass eller under det f?rsta ?ret av icke-statliga institutioner. Om matematikklassrummet ?r utrustat med multimediaverktyg underl?ttas det att l?sa inl?rningsproblemet med hj?lp av olika program. Ett s?dant program ?r den dynamiska matematikmjukvaran GeoGebra 4.0.12. Det ?r l?mpligt f?r att studera och undervisa i alla skeden av utbildningen; det underl?ttar skapandet av matematiska konstruktioner och modeller av elever, vilket g?r att de kan bedriva interaktiv forskning n?r de flyttar objekt och ?ndrar parametrar.

L?t oss ?verv?ga anv?ndningen av denna mjukvaruprodukt med ett specifikt exempel.

Uppgift. Konstruera en sektion av pyramiden med planet PQR, om punkt P ligger p? linjen SA, ligger punkt Q p? linjen SB, punkt R ligger p? linjen SC.

L?sning. L?t oss ?verv?ga tv? fall. Fall 1. L?t punkten P tillh?ra kanten SA.

1. Anv?nd "Point"-verktyget och markera godtyckliga punkter A, B, C, D. H?gerklicka p? punkt D och v?lj "Byt namn". L?t oss byta namn p? D till S och st?lla in positionen f?r denna punkt, som visas i figur 1.

2. Anv?nd verktyget "Segmentera med tv? punkter" och konstruera segmenten SA, SB, SC, AB, AC, BC.

3. H?gerklicka p? segment AB och v?lj "Egenskaper" - "Stil". S?tt upp en prickad linje.

4. Markera punkterna P, Q, R p? segment SA, SB, CS.

5. Anv?nd verktyget "Rak linje med tv? punkter" och konstruera en r?t linje PQ.

6. Betrakta linjen PQ och punkten R. Fr?ga till eleverna: Hur m?nga plan passerar genom linjen PQ och punkten R? Motivera ditt svar. (Svar: Ett plan, och bara ett, passerar genom en rak linje och en punkt som inte ligger p? den).

7. Vi bygger direkt PR och QR.

8. V?lj "Polygon"-verktyget och klicka p? PQRP-punkterna en efter en.

9. Med hj?lp av "Flytta"-verktyget ?ndrar vi punkternas position och observerar ?ndringarna i avsnittet.

Bild 1.

10. H?gerklicka p? polygonen och v?lj "Egenskaper" - "F?rg". Fyll polygonen med lite mjuk f?rg.

11. P? objektpanelen klickar du p? mark?rerna och d?ljer linjerna.

12. Som en extra uppgift kan du m?ta tv?rsnittsarean.

F?r att g?ra detta, v?lj verktyget "Area" och v?nsterklicka p? polygonen.

Fall 2. Punkt P ligger p? linje SA. F?r att ?verv?ga l?sningen p? problemet f?r det h?r fallet kan du anv?nda ritningen av det f?reg?ende problemet. L?t oss bara d?lja polygonen och punkten P.

1. Anv?nd verktyget "Rak linje med tv? punkter" och konstruera en r?t linje SA.

2. Markera punkt P1 p? linje SA, som visas i figur 2.

3. L?t oss rita den r?ta linjen P1Q.

4. V?lj verktyget "Sk?rning av tv? objekt" och v?nsterklicka p? r?ta linjer AB och P1Q. L?t oss hitta deras sk?rningspunkt K.

5. L?t oss rita en r?t linje P1R. L?t oss hitta sk?rningspunkten M f?r denna linje med linjen AC.

Fr?ga till eleverna: hur m?nga plan kan ritas genom linjerna P1Q och P1R? Motivera ditt svar. (Svar: Ett plan passerar genom tv? sk?rande linjer, och bara en).

6. L?t oss utf?ra direkt KM och QR. Fr?ga till studenter. Till vilka plan h?r punkterna K och M samtidigt? Sk?rningspunkten f?r vilka plan ?r den r?ta linjen KM?

7. L?t oss konstruera QRKMQ-polygonen. Fyll den med en mild f?rg och d?lj hj?lplinjerna.

Figur 2.

Med hj?lp av "Flytta"-verktyget flyttar vi punkten l?ngs linjen AS. Vi ?verv?ger olika positioner f?r snittplanet.

Uppgifter f?r att bygga sektioner:

1. Konstruera en sektion definierad av parallella linjer AA1 och CC1. Hur m?nga plan passerar parallella linjer?

2. Konstruera en sektion som g?r genom korsande linjer. Hur m?nga plan ?r det genom de sk?rande linjerna?

3. Konstruktion av sektioner med hj?lp av egenskaperna hos parallella plan:

a) Konstruera en sektion av parallellepipeden med ett plan som g?r genom punkt M och r?t linje AC.

b) Konstruera en sektion av prismat med ett plan som g?r genom kanten AB och mitten av kanten B1C1.

c) Konstruera en sektion av pyramiden med ett plan som g?r genom punkt K och parallellt med planet f?r pyramidens baser.

4. Konstruktion av sektioner med hj?lp av sp?rningsmetoden:

a) Givet en pyramid SABCD. Konstruera en sektion av pyramiden med ett plan som g?r genom punkterna P, Q och R.

5) Rita en r?t linje QF och hitta punkten H f?r sk?rningspunkten med kanten SB.

6) L?t oss genomf?ra direkt HR och PG.

7) V?lj den resulterande sektionen med polygonverktyget och ?ndra fyllningsf?rgen.

b) Konstruera en sektion av parallellepipeden ABCDA1B1C1D1 sj?lv med ett plan som g?r genom punkterna P, K och M. K?llf?rteckning.

1. Elektronisk resurs http://www.geogebra.com/indexcf.php

2. Elektronisk resurs http://geogebra.ru/www/index.php (Webbplats f?r Siberian Institute GeoGebra)

3. Elektronisk resurs http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF

4. Elektronisk resurs. http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/

5. Elektronisk resurs http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(GeoGebra-forum f?r l?rare och skolbarn).

6. Elektronisk resurs www.geogebratube.org (Interaktivt material om att arbeta med programmet)

Idag tittar vi igen p? hur konstruera en sektion av en tetraeder med ett plan.
L?t oss ?verv?ga det enklaste fallet (obligatorisk niv?), n?r 2 punkter i sektionsplanet tillh?r ett ansikte och den tredje punkten tillh?r ett annat ansikte.

L?t oss p?minna dig algoritm f?r att konstruera sektioner av denna typ (fall: 2 punkter tillh?r samma ansikte).

1. Vi letar efter ett ansikte som inneh?ller 2 punkter av snittplanet. Rita en rak linje genom tv? punkter som ligger p? samma ansikte. Vi hittar punkterna f?r dess sk?rningspunkt med tetraederns kanter. Den del av den raka linjen som hamnar i ansiktet ?r sidan av sektionen.

2. Om polygonen kan st?ngas har sektionen konstruerats. Om det ?r om?jligt att st?nga, s? hittar vi sk?rningspunkten f?r den konstruerade linjen och planet som inneh?ller den tredje punkten.

1. Vi ser att punkterna E och F ligger p? samma yta (BCD), dra en r?t linje EF i planet (BCD).
2. L?t oss hitta sk?rningspunkten f?r den r?ta linjen EF med kanten av tetraedern BD, detta ?r punkt H.
3. Nu m?ste du hitta sk?rningspunkten f?r den r?ta linjen EF och planet som inneh?ller den tredje punkten G, dvs. plan (ADC).
Den r?ta linjen CD ligger i planen (ADC) och (BDC), vilket betyder att den sk?r den r?ta linjen EF, och punkten K ?r sk?rningspunkten mellan den r?ta linjen EF och planet (ADC).
4. D?refter hittar vi ytterligare tv? punkter som ligger i samma plan. Dessa ?r punkterna G och K, b?da ligger i planet f?r v?nster sida. Vi ritar en linje GK och markerar punkterna d?r denna linje sk?r kanterna p? tetraedern. Det h?r ?r punkterna M och L.
4. Det ?terst?r att "st?nga" sektionen, d.v.s. koppla ihop punkterna som ligger p? samma yta. Dessa ?r punkterna M och H, och ?ven L och F. B?da dessa segment ?r osynliga, vi ritar dem med en prickad linje.