Ett system av linj?ra ekvationer ?r en f?rening av n linj?ra ekvationer, som var och en inneh?ller k variabler. Det ?r skrivet s? h?r:

M?nga, n?r de m?ter h?gre algebra f?r f?rsta g?ngen, tror felaktigt att antalet ekvationer n?dv?ndigtvis m?ste sammanfalla med antalet variabler. I skolalgebra h?nder detta vanligtvis, men f?r h?gre algebra ?r detta generellt sett inte sant.

L?sningen till ett ekvationssystem ?r en talf?ljd (k 1, k 2, ..., k n), som ?r l?sningen till varje ekvation i systemet, d.v.s. n?r du substituerar i denna ekvation ist?llet f?r variablerna x 1, x 2, ..., ger x n den korrekta numeriska likheten.

Att l?sa ett ekvationssystem inneb?r f?ljaktligen att hitta m?ngden av alla dess l?sningar eller bevisa att denna m?ngd ?r tom. Eftersom antalet ekvationer och antalet ok?nda kanske inte sammanfaller, ?r tre fall m?jliga:

1. Systemet ?r inkonsekvent, d.v.s. upps?ttningen av alla l?sningar ?r tom. Ett ganska s?llsynt fall som l?tt uppt?cks oavsett vilken metod som anv?nds f?r att l?sa systemet.
2. Systemet ?r konsekvent och m?lmedvetet, d.v.s. har exakt en l?sning. Den klassiska versionen, v?lk?nd sedan skolan.
3. Systemet ?r konsekvent och odefinierat, d.v.s. har o?ndligt m?nga l?sningar. Detta ?r det sv?raste alternativet. Det r?cker inte att indikera att "systemet har en o?ndlig upps?ttning l?sningar" - det ?r n?dv?ndigt att beskriva hur denna upps?ttning ?r uppbyggd.

En variabel x i kallas till?ten om den ing?r i endast en ekvation i systemet, och med koefficienten 1. Med andra ord, med andra ekvationer m?ste koefficienten f?r variabeln x i vara lika med noll.

Om vi v?ljer en till?ten variabel i varje ekvation f?r vi en upps?ttning till?tna variabler f?r hela ekvationssystemet. Sj?lva systemet, skrivet i denna form, kommer ocks? att kallas l?st. Generellt sett kan ett och samma ursprungliga system reduceras till olika till?tna, men f?r n?rvarande ?r vi inte bekymrade ?ver detta. H?r ?r exempel p? till?tna system:

B?da systemen l?ses med avseende p? variablerna x 1 , x 3 och x 4 . Men med samma framg?ng kan det h?vdas att det andra systemet ?r l?st med avseende p? x 1, x 3 och x 5. Det r?cker med att skriva om den allra sista ekvationen i formen x 5 = x 4.

L?t oss nu ?verv?ga ett mer allm?nt fall. L?t oss ha k variabler totalt, varav r ?r till?tna. D? ?r tv? fall m?jliga:

1. Antalet till?tna variabler r ?r lika med det totala antalet variabler k: r = k. Vi f?r ett system av k ekvationer d?r r = k till?tna variabler. Ett s?dant system ?r gemensamt och definitivt, eftersom xl = bi, x2 = b2, ..., xk = bk;
2. Antalet till?tna variabler r ?r mindre ?n det totala antalet variabler k: r< k . Остальные (k - r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

S? i ovanst?ende system ?r variablerna x 2, x 5, x 6 (f?r det f?rsta systemet) och x 2, x 5 (f?r det andra) fria. Fallet n?r det finns fria variabler ?r b?ttre formulerat som ett teorem:

Observera: detta ?r en mycket viktig punkt! Beroende p? hur du skriver det resulterande systemet kan samma variabel vara antingen till?ten eller fri. De flesta h?gre matematikl?rare rekommenderar att man skriver ut variabler i lexikografisk ordning, d.v.s. stigande index. Du ?r dock inte skyldig att f?lja dessa r?d.

Sats. Om variablerna x 1, x 2, ..., x r ?r till?tna i ett system av n ekvationer och x r + 1, x r + 2, ..., x k ?r fria, d?:

1. Om vi st?ller in v?rdena f?r de fria variablerna (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), och sedan hittar v?rdena x 1, x 2, ..., x r, vi f?r ett av besluten.
2. Om v?rdena f?r fria variabler i tv? l?sningar sammanfaller, s? sammanfaller ocks? v?rdena f?r till?tna variabler, dvs. l?sningar ?r lika.

Vad ?r meningen med detta teorem? F?r att f? alla l?sningar p? ett l?st ekvationssystem r?cker det att isolera de fria variablerna. Sedan, genom att tilldela olika v?rden till de fria variablerna, kommer vi att f? f?rdiga l?sningar. Det ?r allt - p? s? s?tt kan du f? alla l?sningar i systemet. Det finns inga andra l?sningar.

Slutsats: det uppl?sta ekvationssystemet ?r alltid konsekvent. Om antalet ekvationer i ett l?st system ?r lika med antalet variabler, kommer systemet att vara definitivt om det ?r mindre, kommer det att vara obest?mt.

Och allt skulle vara bra, men fr?gan uppst?r: hur f?r man en l?st fr?n det ursprungliga ekvationssystemet? F?r detta finns

Att uppr?tth?lla din integritet ?r viktigt f?r oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi anv?nder och lagrar din information. L?s igenom v?r sekretesspraxis och l?t oss veta om du har n?gra fr?gor.

Insamling och anv?ndning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan anv?ndas f?r att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att l?mna din personliga information n?r som helst n?r du kontaktar oss.

Nedan finns n?gra exempel p? de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan anv?nda s?dan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• N?r du skickar in en ans?kan p? webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi anv?nder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in g?r att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Fr?n tid till annan kan vi anv?nda din personliga information f?r att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan ?ven anv?nda personuppgifter f?r interna ?ndam?l, s?som att utf?ra revisioner, dataanalyser och olika unders?kningar f?r att f?rb?ttra de tj?nster vi tillhandah?ller och ge dig rekommendationer ang?ende v?ra tj?nster.
• Om du deltar i en prisdragning, t?vling eller liknande kampanj kan vi anv?nda informationen du tillhandah?ller f?r att administrera s?dana program.

Utl?mnande av information till tredje part

Vi l?mnar inte ut informationen fr?n dig till tredje part.

Undantag:

• Om n?dv?ndigt - i enlighet med lagen, r?ttsliga f?rfaranden, i r?ttsliga f?rfaranden och/eller p? grundval av offentliga f?rfr?gningar eller f?rfr?gningar fr?n statliga myndigheter p? Ryska federationens territorium - att avsl?ja din personliga information. Vi kan ocks? komma att avsl?ja information om dig om vi fastst?ller att ett s?dant avsl?jande ?r n?dv?ndigt eller l?mpligt f?r s?kerhets-, brottsbek?mpande eller andra offentliga ?ndam?l.
• I h?ndelse av en omorganisation, sammanslagning eller f?rs?ljning kan vi komma att ?verf?ra den personliga information vi samlar in till till?mplig eftertr?dande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar f?rsiktighets?tg?rder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - f?r att skydda din personliga information fr?n f?rlust, st?ld och missbruk, s?v?l som obeh?rig ?tkomst, avsl?jande, ?ndring och f?rst?relse.

Respektera din integritet p? f?retagsniv?

F?r att s?kerst?lla att din personliga information ?r s?ker kommunicerar vi sekretess- och s?kerhetsstandarder till v?ra anst?llda och till?mpar strikt sekretesspraxis.

Mer tillf?rlitlig ?n den grafiska metoden som diskuterades i f?reg?ende stycke.

Substitutionsmetod

Vi anv?nde denna metod i ?rskurs 7 f?r att l?sa linj?ra ekvationssystem. Algoritmen som utvecklades i ?rskurs 7 ?r ganska l?mplig f?r att l?sa system av tv? valfria ekvationer (inte n?dv?ndigtvis linj?ra) med tv? variabler x och y (naturligtvis kan variablerna betecknas med andra bokst?ver, vilket inte spelar n?gon roll). Faktum ?r att vi anv?nde denna algoritm i f?reg?ende stycke, n?r problemet med ett tv?siffrigt tal ledde till en matematisk modell, som ?r ett ekvationssystem. Vi l?ste detta ekvationssystem ovan med hj?lp av substitutionsmetoden (se exempel 1 fr?n § 4).

En algoritm f?r att anv?nda substitutionsmetoden n?r man l?ser ett system av tv? ekvationer med tv? variabler x, y.

1. Uttryck y i termer av x fr?n en ekvation i systemet.
2. Ers?tt det resulterande uttrycket ist?llet f?r y med en annan ekvation av systemet.
3. L?s den resulterande ekvationen f?r x.
4. Ers?tt i sin tur var och en av r?tterna till ekvationen som hittades i det tredje steget ist?llet f?r x med uttrycket y till x som erh?lls i det f?rsta steget.
5. Skriv svaret i form av v?rdepar (x; y), som hittades i det tredje respektive fj?rde steget.

4) Byt ut vart och ett av de hittade v?rdena p? y en efter en i formeln x = 5 - 3. Om d?
5) Par (2; 1) och l?sningar till ett givet ekvationssystem.

Svar: (2; 1);

Algebraisk additionsmetod

Denna metod, liksom substitutionsmetoden, ?r bekant f?r dig fr?n 7:e ?rskursen i algebra, d?r den anv?ndes f?r att l?sa linj?ra ekvationssystem. L?t oss komma ih?g essensen av metoden med hj?lp av f?ljande exempel.

Exempel 2. L?s ekvationssystem

L?t oss multiplicera alla termer i den f?rsta ekvationen i systemet med 3 och l?mna den andra ekvationen of?r?ndrad:
Subtrahera systemets andra ekvation fr?n dess f?rsta ekvation:

Som ett resultat av den algebraiska additionen av tv? ekvationer av det ursprungliga systemet erh?lls en ekvation som var enklare ?n de f?rsta och andra ekvationerna i det givna systemet. Med denna enklare ekvation har vi r?tt att ers?tta vilken ekvation som helst f?r ett givet system, till exempel den andra. D? kommer det givna ekvationssystemet att ers?ttas av ett enklare system:

Detta system kan l?sas med hj?lp av substitutionsmetoden. Fr?n den andra ekvationen finner vi genom att ers?tta detta uttryck i st?llet f?r y i systemets f?rsta ekvation

Det ?terst?r att ers?tta de hittade v?rdena p? x i formeln

Om x = 2 d?

D?rf?r hittade vi tv? l?sningar p? systemet:

Metod f?r att introducera nya variabler

Du introducerades till metoden att inf?ra en ny variabel n?r du l?ser rationella ekvationer med en variabel i 8:e ?rskursen i algebra. K?rnan i denna metod f?r att l?sa ekvationssystem ?r densamma, men ur teknisk synvinkel finns det n?gra funktioner som vi kommer att diskutera i f?ljande exempel.

Exempel 3. L?s ekvationssystem

L?t oss introducera en ny variabel Sedan kan den f?rsta ekvationen i systemet skrivas om i en enklare form: L?t oss l?sa denna ekvation med avseende p? variabeln t:

B?da dessa v?rden uppfyller villkoret och ?r d?rf?r r?tterna till en rationell ekvation med variabel t. Men det betyder antingen d?r vi hittar att x = 2y, eller
Genom att anv?nda metoden f?r att introducera en ny variabel lyckades vi "stratifiera" den f?rsta ekvationen i systemet, som var ganska komplex till utseendet, till tv? enklare ekvationer:

x = 2 y; y - 2x.

Vad h?nder h?rn?st? Och d? m?ste var och en av de tv? erh?llna enkla ekvationerna betraktas i tur och ordning i ett system med ekvationen x 2 - y 2 = 3, som vi ?nnu inte har kommit ih?g. Med andra ord handlar problemet om att l?sa tv? ekvationssystem:

Vi m?ste hitta l?sningar p? det f?rsta systemet, det andra systemet och inkludera alla resulterande v?rdepar i svaret. L?t oss l?sa det f?rsta ekvationssystemet:

L?t oss anv?nda substitutionsmetoden, speciellt eftersom allt ?r klart f?r det h?r: l?t oss ers?tta uttrycket 2y ist?llet f?r x i systemets andra ekvation. Vi f?r

Eftersom x = 2y finner vi x 1 = 2 respektive x 2 = 2. S?ledes erh?lls tv? l?sningar av det givna systemet: (2; 1) och (-2; -1). L?t oss l?sa det andra ekvationssystemet:

L?t oss anv?nda substitutionsmetoden igen: ers?tt uttrycket 2x ist?llet f?r y i systemets andra ekvation. Vi f?r

Denna ekvation har inga r?tter, vilket betyder att ekvationssystemet inte har n?gra l?sningar. Det ?r allts? bara det f?rsta systemets l?sningar som beh?ver inkluderas i svaret.

Svar: (2; 1); (-2;-1).

Metoden att introducera nya variabler n?r man l?ser system av tv? ekvationer med tv? variabler anv?nds i tv? versioner. F?rsta alternativet: en ny variabel introduceras och anv?nds i endast en ekvation av systemet. Detta ?r precis vad som h?nde i exempel 3. Andra alternativet: tv? nya variabler introduceras och anv?nds samtidigt i systemets b?da ekvationer. Detta kommer att vara fallet i exempel 4.

Exempel 4. L?s ekvationssystem

L?t oss introducera tv? nya variabler:

L?t oss ta h?nsyn till det d?

Detta g?r att du kan skriva om det givna systemet i en mycket enklare form, men med h?nsyn till de nya variablerna a och b:

Eftersom a = 1, s? finner vi fr?n ekvationen a + 6 = 2: 1 + 6 = 2; 6=1. N?r det g?ller variablerna a och b har vi allts? en l?sning:

Om vi ?terg?r till variablerna x och y f?r vi ett ekvationssystem

L?t oss till?mpa metoden f?r algebraisk addition f?r att l?sa detta system:

Sedan dess finner vi fr?n ekvationen 2x + y = 3:
N?r det g?ller variablerna x och y har vi allts? en l?sning:

L?t oss avsluta detta stycke med ett kort men ganska seri?st teoretiskt samtal. Du har redan f?tt lite erfarenhet av att l?sa olika ekvationer: linj?ra, kvadratiska, rationella, irrationella. Du vet att huvudid?n med att l?sa en ekvation ?r att gradvis g? fr?n en ekvation till en annan, enklare, men likv?rdig med den givna. I f?reg?ende stycke introducerade vi begreppet ekvivalens f?r ekvationer med tv? variabler. Detta koncept anv?nds ocks? f?r ekvationssystem.

Definition.

Tv? ekvationssystem med variablerna x och y kallas ekvivalenta om de har samma l?sningar eller om b?da systemen inte har n?gra l?sningar.

Alla tre metoderna (substitution, algebraisk addition och inf?rande av nya variabler) som vi diskuterade i detta avsnitt ?r helt korrekta ur ekvivalenssynpunkt. Med andra ord, med dessa metoder ers?tter vi ett ekvationssystem med ett annat, enklare, men likv?rdigt med det ursprungliga systemet.

Grafisk metod f?r att l?sa ekvationssystem

Vi har redan l?rt oss hur man l?ser ekvationssystem p? s? vanliga och tillf?rlitliga s?tt som substitutionsmetoden, algebraisk addition och inf?randet av nya variabler. L?t oss nu komma ih?g metoden som du redan studerade i f?reg?ende lektion. Det vill s?ga, l?t oss upprepa vad du vet om den grafiska l?sningsmetoden.

Metoden f?r att l?sa ekvationssystem grafiskt inneb?r att man konstruerar en graf f?r var och en av de specifika ekvationerna som ing?r i ett givet system och ?r bel?gna i samma koordinatplan, samt d?r det ?r n?dv?ndigt att hitta sk?rningspunkterna f?r dessa. grafer. F?r att l?sa detta ekvationssystem ?r koordinaterna f?r denna punkt (x; y).

Man b?r komma ih?g att det ?r vanligt att ett grafiskt ekvationssystem har antingen en enda korrekt l?sning, eller ett o?ndligt antal l?sningar, eller att det inte finns n?gra l?sningar alls.

L?t oss nu titta p? var och en av dessa l?sningar mer i detalj. Och s? kan ett ekvationssystem ha en unik l?sning om linjerna som ?r graferna f?r systemets ekvationer sk?r varandra. Om dessa linjer ?r parallella, s? har ett s?dant ekvationssystem absolut inga l?sningar. Om de direkta graferna f?r systemets ekvationer sammanfaller, till?ter ett s?dant system att hitta m?nga l?sningar.

Tja, l?t oss nu titta p? algoritmen f?r att l?sa ett system med tv? ekvationer med 2 ok?nda med den grafiska metoden:

F?rst bygger vi f?rst en graf av den 1:a ekvationen;
Det andra steget kommer att vara att konstruera en graf som relaterar till den andra ekvationen;
F?r det tredje m?ste vi hitta sk?rningspunkterna f?r graferna.
Och som ett resultat f?r vi koordinaterna f?r varje sk?rningspunkt, vilket kommer att vara l?sningen p? ekvationssystemet.

L?t oss titta p? denna metod mer i detalj med hj?lp av ett exempel. Vi f?r ett ekvationssystem som m?ste l?sas:

L?sa ekvationer

1. F?rst bygger vi en graf av denna ekvation: x2+y2=9.

Men det b?r noteras att denna graf av ekvationerna kommer att vara en cirkel med ett centrum i origo, och dess radie kommer att vara lika med tre.

2. V?rt n?sta steg blir att rita en ekvation som: y = x – 3.

I det h?r fallet m?ste vi konstruera en r?t linje och hitta punkterna (0;-3) och (3;0).

3. L?t oss se vad vi har. Vi ser att den r?ta linjen sk?r cirkeln i tv? av dess punkter A och B.

Nu letar vi efter koordinaterna f?r dessa punkter. Vi ser att koordinaterna (3;0) motsvarar punkt A och koordinaterna (0;-3) motsvarar punkt B.

Och vad f?r vi som resultat?

Siffrorna (3;0) och (0;-3) som erh?lls n?r linjen sk?r cirkeln ?r just l?sningarna till systemets b?da ekvationer. Och av detta f?ljer att dessa tal ocks? ?r l?sningar p? detta ekvationssystem.

Det vill s?ga svaret p? denna l?sning ?r talen: (3;0) och (0;-3).

Att l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer (SLAE) ?r utan tvekan det viktigaste ?mnet i en linj?r algebrakurs. Ett stort antal problem fr?n alla grenar av matematiken handlar om att l?sa linj?ra ekvationssystem. Dessa faktorer f?rklarar anledningen till denna artikel. Materialet i artikeln ?r valt och strukturerat s? att du med dess hj?lp kan

• v?lj den optimala metoden f?r att l?sa ditt system av linj?ra algebraiska ekvationer,
• studera teorin om den valda metoden,
• l?s ditt linj?ra ekvationssystem genom att ?verv?ga detaljerade l?sningar p? typiska exempel och problem.

Kort beskrivning av artikelmaterialet.

F?rst ger vi alla n?dv?ndiga definitioner, begrepp och introducerar notationer.

D?refter kommer vi att ?verv?ga metoder f?r att l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer d?r antalet ekvationer ?r lika med antalet ok?nda variabler och som har en unik l?sning. F?r det f?rsta kommer vi att fokusera p? Cramers metod, f?r det andra kommer vi att visa matrismetoden f?r att l?sa s?dana ekvationssystem, och f?r det tredje kommer vi att analysera Gauss-metoden (metoden f?r sekventiell eliminering av ok?nda variabler). F?r att konsolidera teorin kommer vi definitivt att l?sa flera SLAEs p? olika s?tt.

Efter detta kommer vi att g? vidare till att l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer av allm?n form, d?r antalet ekvationer inte sammanfaller med antalet ok?nda variabler eller systemets huvudmatris ?r singular. L?t oss formulera Kronecker-Capelli-satsen, som g?r att vi kan fastst?lla kompatibiliteten f?r SLAE. L?t oss analysera l?sningen av system (om de ?r kompatibla) med hj?lp av konceptet med en basmoll i en matris. Vi kommer ocks? att ?verv?ga Gauss-metoden och beskriva i detalj l?sningarna p? exemplen.

Vi kommer definitivt att uppeh?lla oss vid strukturen f?r den allm?nna l?sningen av homogena och inhomogena system av linj?ra algebraiska ekvationer. L?t oss ge begreppet ett fundamentalt system av l?sningar och visa hur den allm?nna l?sningen av en SLAE skrivs med hj?lp av vektorerna f?r det grundl?ggande l?sningssystemet. F?r en b?ttre f?rst?else, l?t oss titta p? n?gra exempel.

Avslutningsvis kommer vi att ?verv?ga ekvationssystem som kan reduceras till linj?ra, samt olika problem i l?sningen av vilka SLAE:er uppst?r.

Sidnavigering.

Definitioner, begrepp, beteckningar.

Vi kommer att betrakta system av p linj?ra algebraiska ekvationer med n ok?nda variabler (p kan vara lika med n) av formen

Ok?nda variabler, - koefficienter (vissa reella eller komplexa tal), - fria termer (?ven reella eller komplexa tal).

Denna form av inspelning SLAE kallas samordna.

I matrisform att skriva detta ekvationssystem har formen,
D?r - systemets huvudmatris, - en kolumnmatris med ok?nda variabler, - en kolumnmatris med fria termer.

L?gger vi till en matriskolumn av fria termer till matris A som (n+1):e kolumnen f?r vi s.k. ut?kad matris linj?ra ekvationssystem. Vanligtvis betecknas en ut?kad matris med bokstaven T, och kolumnen med fria termer separeras med en vertikal linje fr?n de ?terst?ende kolumnerna, det vill s?ga,

L?sa ett system av linj?ra algebraiska ekvationer kallas en upps?ttning v?rden av ok?nda variabler som f?rvandlar alla ekvationer i systemet till identiteter. Matrisekvationen f?r givna v?rden f?r de ok?nda variablerna blir ocks? en identitet.

Om ett ekvationssystem har minst en l?sning, s? kallas det gemensam.

Om ett ekvationssystem inte har n?gra l?sningar, s? kallas det icke-fogad.

Om en SLAE har en unik l?sning kallas den viss; om det finns mer ?n en l?sning, d? – os?ker.

Om de fria termerna f?r alla ekvationer i systemet ?r lika med noll , d? kallas systemet homogen, annars – heterogen.

L?sa element?ra system av linj?ra algebraiska ekvationer.

Om antalet ekvationer i ett system ?r lika med antalet ok?nda variabler och determinanten f?r dess huvudmatris inte ?r lika med noll, kommer s?dana SLAE att kallas element?r. S?dana ekvationssystem har en unik l?sning, och i fallet med ett homogent system ?r alla ok?nda variabler lika med noll.

Vi b?rjade studera s?dana SLAEs i gymnasiet. N?r vi l?ste dem tog vi en ekvation, uttryckte en ok?nd variabel i termer av andra och substituerade den i de ?terst?ende ekvationerna, tog sedan n?sta ekvation, uttryckte n?sta ok?nda variabel och substituerade den med andra ekvationer, och s? vidare. Eller s? anv?nde de additionsmetoden, det vill s?ga de lade till tv? eller flera ekvationer f?r att eliminera n?gra ok?nda variabler. Vi kommer inte att uppeh?lla oss vid dessa metoder i detalj, eftersom de i huvudsak ?r modifieringar av Gauss-metoden.

De huvudsakliga metoderna f?r att l?sa element?ra system av linj?ra ekvationer ?r Cramermetoden, matrismetoden och Gaussmetoden. L?t oss reda ut dem.

L?sa linj?ra ekvationssystem med Cramers metod.

Antag att vi beh?ver l?sa ett system av linj?ra algebraiska ekvationer

d?r antalet ekvationer ?r lika med antalet ok?nda variabler och determinanten f?r systemets huvudmatris skiljer sig fr?n noll, det vill s?ga .

L?ta vara best?mningsfaktorn f?r systemets huvudmatris, och - determinanter f?r matriser som erh?lls fr?n A genom ers?ttning 1:a, 2:a, …, n:a kolumnen respektive kolumnen med fria medlemmar:

Med denna notation ber?knas ok?nda variabler med formlerna f?r Cramers metod som . S? h?r hittas l?sningen till ett system av linj?ra algebraiska ekvationer med Cramers metod.

Exempel.

Cramers metod .

L?sning.

Systemets huvudmatris har formen . L?t oss ber?kna dess determinant (om n?dv?ndigt, se artikeln):

Eftersom determinanten f?r systemets huvudmatris inte ?r noll, har systemet en unik l?sning som kan hittas med Cramers metod.

L?t oss komponera och ber?kna de n?dv?ndiga best?mningsfaktorerna (vi f?r determinanten genom att ers?tta den f?rsta kolumnen i matris A med en kolumn med fria termer, determinanten genom att ers?tta den andra kolumnen med en kolumn med fria termer och genom att ers?tta den tredje kolumnen i matris A med en kolumn med fria termer) :

Hitta ok?nda variabler med formler :

Svar:

Den st?rsta nackdelen med Cramers metod (om den kan kallas en nackdel) ?r komplexiteten i att ber?kna determinanter n?r antalet ekvationer i systemet ?r fler ?n tre.

L?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer med hj?lp av matrismetoden (med en invers matris).

L?t ett system av linj?ra algebraiska ekvationer ges i matrisform, d?r matrisen A har dimensionen n g?nger n och dess determinant ?r icke-noll.

Eftersom matris A ?r inverterbar, det vill s?ga det finns en invers matris. Om vi multiplicerar b?da sidor av likheten med v?nster f?r vi en formel f?r att hitta en matriskolumn med ok?nda variabler. S? h?r fick vi en l?sning p? ett system av linj?ra algebraiska ekvationer med matrismetoden.

Exempel.

L?s system av linj?ra ekvationer matrismetod.

L?sning.

L?t oss skriva om ekvationssystemet i matrisform:

D?rf?r att

d? kan SLAE l?sas med matrismetoden. Med hj?lp av den inversa matrisen kan l?sningen p? detta system hittas som .

L?t oss konstruera en invers matris med hj?lp av en matris fr?n de algebraiska komplementen av elementen i matris A (om n?dv?ndigt, se artikeln):

Det ?terst?r att ber?kna matrisen av ok?nda variabler genom att multiplicera den inversa matrisen till en matriskolumn med gratismedlemmar (om n?dv?ndigt, se artikeln):

Svar:

eller i en annan notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Huvudproblemet n?r man hittar l?sningar p? system med linj?ra algebraiska ekvationer med hj?lp av matrismetoden ?r komplexiteten i att hitta den inversa matrisen, s?rskilt f?r kvadratiska matriser av ordning h?gre ?n tredje.

L?sa linj?ra ekvationssystem med Gauss-metoden.

Antag att vi beh?ver hitta en l?sning p? ett system med n linj?ra ekvationer med n ok?nda variabler
vars determinant f?r huvudmatrisen skiljer sig fr?n noll.

K?rnan i Gauss-metoden best?r av sekventiell exkludering av ok?nda variabler: f?rst exkluderas x 1 fr?n alla ekvationer i systemet, med b?rjan fr?n den andra, sedan exkluderas x 2 fr?n alla ekvationer, med b?rjan fr?n den tredje, och s? vidare, tills endast den ok?nda variabeln x n finns kvar i den sista ekvationen. Denna process att transformera systemekvationer f?r att sekventiellt eliminera ok?nda variabler kallas direkt Gaussisk metod. Efter att ha slutf?rt det fram?triktade slaget av Gaussmetoden, hittas x n fr?n den sista ekvationen, med hj?lp av detta v?rde fr?n den n?st sista ekvationen, x n-1 ber?knas, och s? vidare, x 1 hittas fr?n den f?rsta ekvationen. Processen att ber?kna ok?nda variabler n?r man g?r fr?n den sista ekvationen i systemet till den f?rsta kallas invers av Gaussmetoden.

L?t oss kort beskriva algoritmen f?r att eliminera ok?nda variabler.

Vi kommer att anta att eftersom vi alltid kan uppn? detta genom att utbyta systemets ekvationer. L?t oss eliminera den ok?nda variabeln x 1 fr?n alla ekvationer i systemet, b?rja med den andra. F?r att g?ra detta l?gger vi till den f?rsta ekvationen i systemet, multiplicerad med , till den tredje ekvationen adderar vi den f?rsta, multiplicerad med , och s? vidare, till den n:te ekvationen adderar vi den f?rsta, multiplicerad med . Ekvationssystemet efter s?dana transformationer kommer att ta formen

var och .

Vi skulle ha kommit fram till samma resultat om vi hade uttryckt x 1 i termer av andra ok?nda variabler i systemets f?rsta ekvation och substituerat det resulterande uttrycket i alla andra ekvationer. Variabeln x 1 exkluderas allts? fr?n alla ekvationer, med b?rjan fr?n den andra.

D?refter forts?tter vi p? ett liknande s?tt, men bara med en del av det resulterande systemet, som ?r markerat i figuren

F?r att g?ra detta, till den tredje ekvationen i systemet l?gger vi till den andra, multiplicerat med , till den fj?rde ekvationen adderar vi den andra, multiplicerat med , och s? vidare, till den n:te ekvationen adderar vi den andra, multiplicerat med . Ekvationssystemet efter s?dana transformationer kommer att ta formen

var och . Variabeln x 2 exkluderas allts? fr?n alla ekvationer, med b?rjan fr?n den tredje.

D?refter forts?tter vi med att eliminera det ok?nda x 3, och vi agerar p? liknande s?tt med den del av systemet som ?r markerad i figuren

S? vi forts?tter den direkta utvecklingen av den Gaussiska metoden tills systemet tar formen

Fr?n detta ?gonblick b?rjar vi baksidan av Gaussmetoden: vi ber?knar x n fr?n den sista ekvationen som , med hj?lp av det erh?llna v?rdet p? x n hittar vi x n-1 fr?n den n?st sista ekvationen, och s? vidare, vi hittar x 1 fr?n den f?rsta ekvationen .

Exempel.

L?s system av linj?ra ekvationer Gauss metod.

L?sning.

L?t oss exkludera den ok?nda variabeln x 1 fr?n systemets andra och tredje ekvationer. F?r att g?ra detta l?gger vi till b?da sidor av den andra och tredje ekvationen motsvarande delar av den f?rsta ekvationen, multiplicerat med respektive med:

Nu eliminerar vi x 2 fr?n den tredje ekvationen genom att l?gga till v?nster och h?ger sida p? den andra ekvationens v?nstra och h?gra sida, multiplicerat med:

Detta avslutar det fram?tg?ende slaget av Gauss-metoden, vi b?rjar det omv?nda slaget.

Fr?n den sista ekvationen i det resulterande ekvationssystemet finner vi x 3:

Fr?n den andra ekvationen f?r vi .

Fr?n den f?rsta ekvationen hittar vi den kvarvarande ok?nda variabeln och fullf?ljer d?rmed motsatsen till Gaussmetoden.

Svar:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

L?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer av allm?n form.

I allm?nhet sammanfaller inte antalet ekvationer i systemet p med antalet ok?nda variabler n:

S?dana SLAE:er kanske inte har n?gra l?sningar, har en enda l?sning eller har o?ndligt m?nga l?sningar. Detta p?st?ende g?ller ?ven ekvationssystem vars huvudmatris ?r kvadratisk och singular.

Kronecker-Capelli-satsen.

Innan man hittar en l?sning p? ett system av linj?ra ekvationer ?r det n?dv?ndigt att fastst?lla dess kompatibilitet. Svaret p? fr?gan n?r SLAE ?r kompatibelt och n?r det ?r inkonsekvent ges av Kronecker-Capelli-satsen:
F?r att ett ekvationssystem med n ok?nda (p kan vara lika med n) ska vara konsekvent, ?r det n?dv?ndigt och tillr?ckligt att rangordningen f?r systemets huvudmatris ?r lika med rangordningen f?r den ut?kade matrisen, dvs. , Rank(A)=Rank(T).

L?t oss som ett exempel betrakta till?mpningen av Kronecker-Capelli-satsen f?r att best?mma kompatibiliteten f?r ett system av linj?ra ekvationer.

Exempel.

Ta reda p? om systemet med linj?ra ekvationer har l?sningar.

L?sning.

. L?t oss anv?nda metoden att gr?nsa till minder?riga. Mindre av andra ordningen skiljer sig fr?n noll. L?t oss titta p? de minder?riga av tredje ordningen som gr?nsar till det:

Eftersom alla angr?nsande minder?riga av tredje ordningen ?r lika med noll, ?r huvudmatrisens rangordning lika med tv?.

I sin tur rangen f?r den ut?kade matrisen ?r lika med tre, eftersom minor ?r av tredje ordningen

skiljer sig fr?n noll.

S?ledes, Rang(A), d?rf?r, med hj?lp av Kronecker-Capelli-satsen, kan vi dra slutsatsen att det ursprungliga systemet med linj?ra ekvationer ?r inkonsekvent.

Svar:

Systemet har inga l?sningar.

S? vi har l?rt oss att fastst?lla inkonsekvensen i ett system med hj?lp av Kronecker-Capelli-satsen.

Men hur hittar man en l?sning p? en SLAE om dess kompatibilitet ?r etablerad?

F?r att g?ra detta beh?ver vi begreppet basmoll av en matris och en sats om rangordningen f?r en matris.

Mollen av h?gsta ordningen i matrisen A, skild fr?n noll, kallas grundl?ggande.

Av definitionen av en basis minor f?ljer att dess ordning ?r lika med rangen p? matrisen. F?r en matris A som inte ?r noll kan det finnas flera basismolorer.

T?nk till exempel p? matrisen .

Alla tredje ordningens mindre i denna matris ?r lika med noll, eftersom elementen i den tredje raden i denna matris ?r summan av motsvarande element i den f?rsta och andra raden.

F?ljande andra ordningens minder?riga ?r grundl?ggande, eftersom de inte ?r noll

Minder?riga ?r inte grundl?ggande, eftersom de ?r lika med noll.

Matrix rangsats.

Om rangordningen f?r en matris av ordningen p till n ?r lika med r, s? uttrycks alla rad- (och kolumnelement) i matrisen som inte utg?r den valda grundmolllinjen linj?rt i termer av motsvarande rad- (och kolumnelement) som bildar grunden mindre.

Vad s?ger matrisrangsatsen oss?

Om vi, enligt Kronecker-Capelli-satsen, har fastst?llt systemets kompatibilitet, v?ljer vi valfri basmoll av systemets huvudmatris (dess ordning ?r lika med r), och utesluter alla ekvationer som g?r det fr?n systemet. inte utg?ra den valda basen minor. Den SLAE som erh?lls p? detta s?tt kommer att vara ekvivalent med den ursprungliga, eftersom de kasserade ekvationerna fortfarande ?r redundanta (enligt matrisrangsatsen ?r de en linj?r kombination av de ?terst?ende ekvationerna).

Som ett resultat, efter att ha f?rkastat on?diga ekvationer i systemet, ?r tv? fall m?jliga.

Om antalet ekvationer r i det resulterande systemet ?r lika med antalet ok?nda variabler, kommer det att vara definitivt och den enda l?sningen kan hittas med Cramermetoden, matrismetoden eller Gaussmetoden.

Exempel.

.

L?sning.

Rang f?r systemets huvudmatris ?r lika med tv?, eftersom moll ?r av andra ordningen skiljer sig fr?n noll. Ut?kad matrisrankning ?r ocks? lika med tv?, eftersom den enda tredje ordningens moll ?r noll

och den andra ordningens moll som betraktas ovan skiljer sig fr?n noll. Baserat p? Kronecker-Capelli-satsen kan vi h?vda kompatibiliteten f?r det ursprungliga systemet av linj?ra ekvationer, eftersom Rank(A)=Rank(T)=2.

Som grund mindre tar vi . Den bildas av koefficienterna f?r de f?rsta och andra ekvationerna:


Systemets tredje ekvation deltar inte i bildandet av grundminor, s? vi utesluter den fr?n systemet baserat p? satsen om matrisens rang:


S? h?r fick vi fram ett element?rt system av linj?ra algebraiska ekvationer. L?t oss l?sa det med Cramers metod:


Svar:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Om antalet ekvationer r i den resulterande SLAE ?r mindre ?n antalet ok?nda variabler n, s? l?mnar vi p? v?nster sida av ekvationerna termerna som utg?r basen minor, och vi ?verf?r de ?terst?ende termerna till de h?gra sidorna av ekvationerna systemets ekvationer med motsatt tecken.

De ok?nda variablerna (r av dem) som finns kvar p? v?nster sida av ekvationerna kallas huvud.

Ok?nda variabler (det finns n - r bitar) som finns p? h?ger sida kallas gratis.

Nu tror vi att fria ok?nda variabler kan ta godtyckliga v?rden, medan de st?rsta ok?nda variablerna kommer att uttryckas genom fria ok?nda variabler p? ett unikt s?tt. Deras uttryck kan hittas genom att l?sa den resulterande SLAE med Cramer-metoden, matrismetoden eller Gauss-metoden.

L?t oss titta p? det med ett exempel.

Exempel.

L?s ett system av linj?ra algebraiska ekvationer .

L?sning.

L?t oss hitta rangordningen f?r systemets huvudmatris genom metoden att gr?nsa till minder?riga. L?t oss ta en 1 1 = 1 som en moll som inte ?r noll av f?rsta ordningen. L?t oss b?rja s?ka efter en moll som inte ?r noll av andra ordningen som gr?nsar till denna moll:


S? h?r hittade vi en moll som inte ?r noll av andra ordningen. L?t oss b?rja s?ka efter en moll som inte ?r noll av tredje ordningen:


S?ledes ?r rangen p? huvudmatrisen tre. Rangen p? den ut?kade matrisen ?r ocks? lika med tre, det vill s?ga systemet ?r konsekvent.

Vi tar den funna icke-noll-moll av tredje ordningen som grund ett.

F?r tydlighetens skull visar vi de element som utg?r grundminor:


Vi l?mnar termerna som ?r involverade i basmoll p? v?nster sida av systemekvationerna och ?verf?r resten med motsatta tecken till h?ger sida:


L?t oss ge de fria ok?nda variablerna x 2 och x 5 godtyckliga v?rden, det vill s?ga vi accepterar , d?r finns godtyckliga siffror. I det h?r fallet kommer SLAE att ta formen


L?t oss l?sa det resulterande element?ra systemet av linj?ra algebraiska ekvationer med Cramers metod:


D?rf?r,.

I ditt svar, gl?m inte att ange fria ok?nda variabler.

Svar:

Var finns godtyckliga siffror.

L?t oss sammanfatta.

F?r att l?sa ett system av allm?nna linj?ra algebraiska ekvationer, best?mmer vi f?rst dess kompatibilitet med hj?lp av Kronecker-Capelli-satsen. Om rankningen av huvudmatrisen inte ?r lika med rankningen av den ut?kade matrisen, drar vi slutsatsen att systemet ?r inkompatibelt.

Om rankningen av huvudmatrisen ?r lika med rankningen av den ut?kade matrisen, v?ljer vi en basisminor och f?rkastar systemets ekvationer som inte deltar i bildandet av den valda basminoren.

Om ordningen f?r basminor ?r lika med antalet ok?nda variabler, har SLAE en unik l?sning, som kan hittas med vilken metod som helst som vi k?nner till.

Om ordningen f?r grundminor ?r mindre ?n antalet ok?nda variabler, l?mnar vi p? v?nster sida av systemekvationerna termerna med de huvudsakliga ok?nda variablerna, ?verf?r de ?terst?ende termerna till h?ger och ger godtyckliga v?rden till de fria ok?nda variablerna. Fr?n det resulterande systemet av linj?ra ekvationer finner vi de viktigaste ok?nda variablerna med Cramermetoden, matrismetoden eller Gaussmetoden.

Gauss metod f?r att l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer av allm?n form.

Gauss-metoden kan anv?ndas f?r att l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer av vilket slag som helst utan att f?rst testa dem f?r kompatibilitet. Processen med sekventiell eliminering av ok?nda variabler g?r det m?jligt att dra en slutsats om b?de SLAE:s kompatibilitet och inkompatibilitet, och om det finns en l?sning g?r det det m?jligt att hitta den.

Ur ber?kningssynpunkt ?r den Gaussiska metoden att f?redra.

Se dess detaljerade beskrivning och analyserade exempel i artikeln Gauss metod f?r att l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer av allm?n form.

Att skriva en generell l?sning till homogena och inhomogena linj?ra algebraiska system med hj?lp av vektorer f?r det fundamentala l?sningssystemet.

I det h?r avsnittet kommer vi att prata om samtidiga homogena och inhomogena system av linj?ra algebraiska ekvationer som har ett o?ndligt antal l?sningar.

L?t oss f?rst ta itu med homogena system.

Grundl?ggande system av l?sningar homogent system av p linj?ra algebraiska ekvationer med n ok?nda variabler ?r en samling (n – r) linj?rt oberoende l?sningar av detta system, d?r r ?r ordningen f?r basmoll i systemets huvudmatris.

Om vi betecknar linj?rt oberoende l?sningar av en homogen SLAE som X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ?r kolumn?ra matriser med dimensionen n med 1) , d? representeras den allm?nna l?sningen av detta homogena system som en linj?r kombination av vektorer av det grundl?ggande l?sningssystemet med godtyckliga konstanta koefficienter C 1, C 2, ..., C (n-r), det vill s?ga.

Vad betyder termen generell l?sning av ett homogent system av linj?ra algebraiska ekvationer (oroslau)?

Inneb?rden ?r enkel: formeln specificerar alla m?jliga l?sningar av den ursprungliga SLAE, med andra ord, med valfri upps?ttning v?rden av godtyckliga konstanter C 1, C 2, ..., C (n-r), med hj?lp av formeln kommer vi att erh?lla en av l?sningarna av den ursprungliga homogena SLAE.

S?ledes, om vi hittar ett grundl?ggande system av l?sningar, kan vi definiera alla l?sningar av denna homogena SLAE som .

L?t oss visa processen att konstruera ett grundl?ggande system av l?sningar f?r en homogen SLAE.

Vi v?ljer basmoll f?r det ursprungliga systemet av linj?ra ekvationer, utesluter alla andra ekvationer fr?n systemet och ?verf?r alla termer som inneh?ller fria ok?nda variabler till h?gersidan av ekvationerna i systemet med motsatta tecken. L?t oss ge de fria ok?nda variablerna v?rdena 1,0,0,...,0 och ber?kna de viktigaste ok?nda genom att l?sa det resulterande element?ra systemet av linj?ra ekvationer p? n?got s?tt, till exempel med Cramer-metoden. Detta kommer att resultera i X (1) - den f?rsta l?sningen av det grundl?ggande systemet. Om vi ger de fria ok?nda v?rdena 0,1,0,0,...,0 och ber?knar de viktigaste ok?nda, f?r vi X (2) . Och s? vidare. Om vi tilldelar v?rdena 0.0,...,0.1 till de fria ok?nda variablerna och ber?knar de viktigaste ok?nda, f?r vi X (n-r) . P? detta s?tt kommer ett grundl?ggande system av l?sningar till en homogen SLAE att konstrueras och dess allm?nna l?sning kan skrivas i formen .

F?r inhomogena system av linj?ra algebraiska ekvationer representeras den allm?nna l?sningen i formen , d?r ?r den allm?nna l?sningen av motsvarande homogena system, och ?r den speciella l?sningen av den ursprungliga inhomogena SLAE, som vi f?r genom att ge de fria ok?nda v?rdena 0,0,…,0 och ber?kna v?rdena f?r de viktigaste ok?nda.

L?t oss titta p? exempel.

Exempel.

Hitta det grundl?ggande l?sningssystemet och den allm?nna l?sningen av ett homogent system av linj?ra algebraiska ekvationer .

L?sning.

Rangen f?r huvudmatrisen f?r homogena system av linj?ra ekvationer ?r alltid lika med rangordningen f?r den ut?kade matrisen. L?t oss hitta rangordningen f?r huvudmatrisen med hj?lp av metoden att gr?nsa till minder?riga. Som en moll som inte ?r noll av f?rsta ordningen tar vi elementet a 1 1 = 9 i systemets huvudmatris. L?t oss hitta den gr?nsande moll som inte ?r noll av andra ordningen:

En mindre av den andra ordningen, som skiljer sig fr?n noll, har hittats. L?t oss g? igenom de minder?riga av tredje ordningen som gr?nsar till det p? jakt efter en icke-noll:

Alla tredje ordningens gr?nsande minder?riga ?r lika med noll, d?rf?r ?r rangordningen f?r huvudmatrisen och den ut?kade matrisen lika med tv?. L?t oss ta . F?r tydlighetens skull, l?t oss notera de delar av systemet som bildar det:

Den tredje ekvationen f?r den ursprungliga SLAE deltar inte i bildandet av grundminor, d?rf?r kan den uteslutas:

Vi l?mnar termerna som inneh?ller de viktigaste ok?nda p? de h?gra sidorna av ekvationerna och ?verf?r termerna med fria ok?nda till h?ger:

L?t oss konstruera ett grundl?ggande system av l?sningar till det ursprungliga homogena systemet av linj?ra ekvationer. Det grundl?ggande l?sningssystemet f?r denna SLAE best?r av tv? l?sningar, eftersom den ursprungliga SLAE inneh?ller fyra ok?nda variabler, och ordningen f?r dess basisminor ?r lika med tv?. F?r att hitta X (1) ger vi de fria ok?nda variablerna v?rdena x 2 = 1, x 4 = 0, sedan hittar vi de viktigaste ok?nda fr?n ekvationssystemet
.

I den h?r lektionen kommer vi att titta p? metoder f?r att l?sa ett system av linj?ra ekvationer. I en kurs av h?gre matematik kr?vs att system av linj?ra ekvationer l?ses b?de i form av separata uppgifter, till exempel "L?s systemet med Cramers formler" och i samband med att l?sa andra problem. System av linj?ra ekvationer m?ste hanteras i n?stan alla grenar av h?gre matematik.

F?rst lite teori. Vad betyder det matematiska ordet "linj?r" i detta fall? Detta inneb?r att systemets ekvationer Alla variabler ing?r i f?rsta graden: utan n?gra tjusiga grejer som etc., som endast deltagare i matematiska olympiader ?r f?rtjusta i.

I h?gre matematik anv?nds inte bara bokst?ver som ?r bekanta fr?n barndomen f?r att beteckna variabler.
Ett ganska popul?rt alternativ ?r variabler med index: .
Eller de f?rsta bokst?verna i det latinska alfabetet, sm? och stora:
Det ?r inte s? ovanligt att hitta grekiska bokst?ver: – k?nda f?r m?nga som "alfa, beta, gamma". Och ?ven en upps?ttning med index, s?g, med bokstaven "mu":

Anv?ndningen av en eller annan upps?ttning bokst?ver beror p? den del av h?gre matematik d?r vi st?r inf?r ett system av linj?ra ekvationer. S?, till exempel, i system av linj?ra ekvationer som p?tr?ffas n?r man l?ser integraler och differentialekvationer, ?r det traditionellt att anv?nda notationen

Men oavsett hur variablerna betecknas ?ndras inte principerna, metoderna och metoderna f?r att l?sa ett system av linj?ra ekvationer. Allts?, om du st?ter p? n?got l?skigt som , skynda dig inte att st?nga problemboken i r?dsla, trots allt kan du rita solen ist?llet, en f?gel ist?llet och ett ansikte (l?raren) ist?llet. Och hur lustigt det ?n kan tyckas, kan ett system av linj?ra ekvationer med dessa notationer ocks? l?sas.

Jag har en k?nsla av att artikeln kommer att bli ganska l?ng, s? en liten inneh?llsf?rteckning. S? den sekventiella "debriefingen" kommer att se ut s? h?r:

– L?sa ett system av linj?ra ekvationer med hj?lp av substitutionsmetoden (”skolmetoden”);
– L?sa systemet genom term-f?r-term addition (subtraktion) av systemekvationerna;
– L?sning av systemet med Cramers formler;
– L?sa systemet med en invers matris;
– L?sa systemet med Gauss-metoden.

Alla ?r bekanta med linj?ra ekvationssystem fr?n skolans matematikkurser. I huvudsak b?rjar vi med upprepning.

L?sa ett system av linj?ra ekvationer med hj?lp av substitutionsmetoden

Denna metod kan ocks? kallas "skolmetoden" eller metoden att eliminera ok?nda. Bildligt talat kan det ocks? kallas "en oavslutad Gaussisk metod."

Exempel 1

H?r f?r vi ett system av tv? ekvationer med tv? ok?nda. Observera att de fria termerna (nummer 5 och 7) finns p? v?nster sida av ekvationen. Generellt sett spelar det ingen roll var de ?r, till v?nster eller till h?ger, det ?r bara att i problem i h?gre matematik ?r de ofta placerade p? det s?ttet. Och en s?dan post ska inte leda till f?rvirring om det beh?vs, systemet kan alltid skrivas "som vanligt": . Gl?m inte att n?r du flyttar en term fr?n del till del m?ste den ?ndra sitt tecken.

Vad inneb?r det att l?sa ett system av linj?ra ekvationer? Att l?sa ett ekvationssystem inneb?r att hitta m?nga av dess l?sningar. L?sningen av ett system ?r en upps?ttning v?rden av alla variabler som ing?r i det, vilket g?r VARJE ekvation i systemet till en korrekt likhet. Dessutom kan systemet vara icke-fogad (har inga l?sningar).Var inte blyg, detta ?r en allm?n definition =) Vi kommer bara att ha ett "x"-v?rde och ett "y"-v?rde, som uppfyller varje c-we-ekvation.

Det finns en grafisk metod f?r att l?sa systemet, som du kan bekanta dig med i klassen. De enklaste problemen med en linje. D?r pratade jag om geometrisk k?nsla system av tv? linj?ra ekvationer med tv? ok?nda. Men nu ?r detta algebras era, och siffror-tal, handlingar-handlingar.

L?t oss best?mma: fr?n den f?rsta ekvationen uttrycker vi:
Vi ers?tter det resulterande uttrycket i den andra ekvationen:

Vi ?ppnar parenteserna, l?gger till liknande termer och hittar v?rdet:

D?refter kommer vi ih?g vad vi dansade f?r:
Vi vet redan v?rdet, allt som ?terst?r ?r att hitta:

Svar:

Efter att N?GOT ekvationssystem har l?sts p? N?GOT s?tt, rekommenderar jag starkt att du kontrollerar (muntligt, p? utkast eller p? en minir?knare). Lyckligtvis g?rs detta enkelt och snabbt.

1) Ers?tt det hittade svaret i den f?rsta ekvationen:

– r?tt j?mst?lldhet erh?lls.

2) Ers?tt det hittade svaret i den andra ekvationen:

– r?tt j?mst?lldhet erh?lls.

Eller, f?r att uttrycka det enklare, "allt kom ihop"

Den ?verv?gda l?sningsmetoden ?r inte den enda fr?n den f?rsta ekvationen det var m?jligt att uttrycka , och inte .
Du kan g?ra tv?rtom - uttrycka n?got fr?n den andra ekvationen och ers?tta det med den f?rsta ekvationen. Observera f?rresten att den mest of?rdelaktiga av de fyra metoderna ?r att uttrycka fr?n den andra ekvationen:

Resultatet ?r br?kdelar, men varf?r? Det finns en mer rationell l?sning.

Men i vissa fall kan du fortfarande inte klara dig utan br?k. I detta avseende vill jag uppm?rksamma er p? HUR jag skrev ner uttrycket. Inte s? h?r: och i inget fall s? h?r: .

Om du i h?gre matematik har att g?ra med br?ktal, f?rs?k d? att utf?ra alla ber?kningar i vanliga oegentliga br?k.

Exakt, och inte eller!

Ett kommatecken kan endast anv?ndas ibland, i synnerhet om det ?r det slutliga svaret p? n?got problem, och inga ytterligare ?tg?rder beh?ver utf?ras med detta nummer.

M?nga l?sare t?nkte f?rmodligen "varf?r en s? detaljerad f?rklaring som f?r en korrigeringsklass, allt ?r klart." Inget s?dant, det verkar vara ett s? enkelt skolexempel, men det finns s? m?nga MYCKET viktiga slutsatser! H?r ?r en till:

Du b?r str?va efter att slutf?ra varje uppgift p? det mest rationella s?ttet. Om s? bara f?r att det sparar tid och nerver, och ?ven minskar sannolikheten f?r att g?ra ett misstag.

Om du i ett h?gre matematiskt problem st?ter p? ett system med tv? linj?ra ekvationer med tv? ok?nda, s? kan du alltid anv?nda substitutionsmetoden (om det inte anges att systemet beh?ver l?sas med en annan metod. Inte en enda l?rare kommer att t?nka). att du ?r en soss och kommer att s?nka ditt betyg f?r att anv?nda "skolmetoden" "
Dessutom ?r det i vissa fall tillr?dligt att anv?nda substitutionsmetoden med ett st?rre antal variabler.

Exempel 2

L?s ett system av linj?ra ekvationer med tre ok?nda

Ett liknande ekvationssystem uppst?r ofta n?r man anv?nder den s? kallade metoden f?r obest?mda koefficienter, n?r vi hittar integralen av en br?kdel rationell funktion. Systemet i fr?ga togs d?rifr?n av mig.

N?r man ska hitta integralen ?r m?let snabb hitta v?rdena p? koefficienterna, ist?llet f?r att anv?nda Cramers formler, den inversa matrismetoden, etc. D?rf?r, i det h?r fallet, ?r substitutionsmetoden l?mplig.

N?r n?got ekvationssystem ges, ?r det f?rst och fr?mst ?nskv?rt att ta reda p? om det ?r m?jligt att p? n?got s?tt f?renkla det OMEDELBART? N?r vi analyserar systemets ekvationer ser vi att systemets andra ekvation kan delas med 2, vilket ?r vad vi g?r:

H?nvisning: det matematiska tecknet betyder "av detta f?ljer att" och anv?nds ofta i probleml?sning.

L?t oss nu analysera ekvationerna vi beh?ver uttrycka n?gon variabel i termer av de andra. Vilken ekvation ska jag v?lja? Du har f?rmodligen redan gissat att det enklaste s?ttet f?r detta ?ndam?l ?r att ta systemets f?rsta ekvation:

H?r, oavsett vilken variabel man ska uttrycka, kan man lika g?rna uttrycka eller .

D?refter ers?tter vi uttrycket i de andra och tredje ekvationerna i systemet:

Vi ?ppnar parenteserna och presenterar liknande termer:

Dividera den tredje ekvationen med 2:

Fr?n den andra ekvationen uttrycker vi och ers?tter i den tredje ekvationen:

N?stan allt ?r klart, fr?n den tredje ekvationen finner vi:
Fr?n den andra ekvationen:
Fr?n den f?rsta ekvationen:

Kontrollera: Ers?tt de hittade v?rdena f?r variablerna till v?nster i varje ekvation i systemet:

1)
2)
3)

Motsvarande h?gra sidor av ekvationerna erh?lls, s? l?sningen hittas korrekt.

Exempel 3

L?s ett system av linj?ra ekvationer med 4 ok?nda

Detta ?r ett exempel f?r dig att l?sa p? egen hand (svar i slutet av lektionen).

L?sa systemet genom att addera (subtraktion) term f?r term av systemekvationerna

N?r du l?ser system med linj?ra ekvationer b?r du f?rs?ka att inte anv?nda "skolmetoden", utan metoden f?r term-f?r-term addition (subtraktion) av systemets ekvationer. Varf?r? Detta sparar tid och f?renklar ber?kningar, men nu blir allt tydligare.

Exempel 4

L?s ett system med linj?ra ekvationer:

Jag tog samma system som i det f?rsta exemplet.
N?r vi analyserar ekvationssystemet ser vi att koefficienterna f?r variabeln ?r identiska i storlek och motsatta i tecken (–1 och 1). I en s?dan situation kan ekvationerna adderas term f?r term:

Handlingar inringade i r?tt utf?rs MENTALT.
Som du kan se, som ett resultat av term-f?r-term addition, tappade vi variabeln. Detta ?r faktiskt vad k?rnan i metoden ?r att bli av med en av variablerna.