Ett system av linj?ra ekvationer ?r en f?rening av n linj?ra ekvationer, som var och en inneh?ller k variabler. Det ?r skrivet s? h?r:

M?nga, n?r de st?r inf?r h?gre algebra f?r f?rsta g?ngen, tror felaktigt att antalet ekvationer n?dv?ndigtvis m?ste sammanfalla med antalet variabler. I skolalgebra ?r detta vanligtvis fallet, men f?r h?gre algebra ?r detta generellt sett inte sant.

L?sningen av ett ekvationssystem ?r en talf?ljd (k 1 , k 2 , ..., k n ), som ?r l?sningen till varje ekvation i systemet, d.v.s. n?r man substituerar in i denna ekvation ist?llet f?r variabler x 1 , x 2 , ..., ger x n den korrekta numeriska likheten.

Att l?sa ett ekvationssystem inneb?r f?ljaktligen att hitta m?ngden av alla dess l?sningar eller att bevisa att denna m?ngd ?r tom. Eftersom antalet ekvationer och antalet ok?nda kanske inte ?r samma, ?r tre fall m?jliga:

1. Systemet ?r inkonsekvent, d.v.s. upps?ttningen av alla l?sningar ?r tom. Ett ganska s?llsynt fall som l?tt uppt?cks oavsett vilken metod man ska l?sa systemet.
2. Systemet ?r konsekvent och definierat, d.v.s. har exakt en l?sning. Den klassiska versionen, v?lk?nd sedan skolan.
3. Systemet ?r konsekvent och odefinierat, d.v.s. har o?ndligt m?nga l?sningar. Detta ?r det sv?raste alternativet. Det r?cker inte med att konstatera att "systemet har en o?ndlig upps?ttning l?sningar" - det ?r n?dv?ndigt att beskriva hur denna upps?ttning ?r ordnad.

Variabeln x i kallas till?ten om den ing?r i endast en ekvation i systemet, och med koefficienten 1. Med andra ord, i de ?terst?ende ekvationerna m?ste koefficienten f?r variabeln x i vara lika med noll.

Om vi v?ljer en till?ten variabel i varje ekvation f?r vi en upps?ttning till?tna variabler f?r hela ekvationssystemet. Sj?lva systemet, skrivet i denna form, kommer ocks? att kallas till?tet. Generellt sett kan ett och samma initialsystem reduceras till olika till?tna system, men det ber?r oss inte nu. H?r ?r exempel p? till?tna system:

B?da systemen ?r till?tna med avseende p? variablerna x 1 , x 3 och x 4 . Men med samma framg?ng kan det h?vdas att det andra systemet ?r till?tet med avseende p? x 1 , x 3 och x 5 . Det r?cker med att skriva om den senaste ekvationen i formen x 5 = x 4 .

?verv?g nu ett mer allm?nt fall. Antag att vi har k variabler totalt, varav r ?r till?tna. D? ?r tv? fall m?jliga:

1. Antalet till?tna variabler r ?r lika med det totala antalet variabler k : r = k . Vi f?r ett system av k ekvationer d?r r = k till?tna variabler. Ett s?dant system ?r kollaborativt och definitivt, eftersom x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Antalet till?tna variabler r ?r mindre ?n det totala antalet variabler k : r< k . Остальные (k - r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

S? i ovanst?ende system ?r variablerna x 2 , x 5 , x 6 (f?r det f?rsta systemet) och x 2 , x 5 (f?r det andra) fria. Fallet n?r det finns fria variabler ?r b?ttre formulerat som ett teorem:

Observera: detta ?r en mycket viktig punkt! Beroende p? hur du skriver det slutliga systemet kan samma variabel vara b?de till?ten och fri. De flesta avancerade matematikl?rare rekommenderar att man skriver ut variabler i lexikografisk ordning, d.v.s. stigande index. Du beh?ver dock inte f?lja detta r?d alls.

Sats. Om variablerna x 1 , x 2 , ..., x r ?r till?tna i ett system av n ekvationer och x r + 1 , x r + 2 , ..., x k ?r fria, d?:

1. Om vi st?ller in v?rdena f?r fria variabler (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), och sedan hittar v?rdena x 1 , x 2 , . .., x r , vi f?r en av l?sningarna.
2. Om v?rdena f?r de fria variablerna i tv? l?sningar ?r desamma, ?r v?rdena f?r de till?tna variablerna ocks? desamma, dvs. l?sningar ?r lika.

Vad ?r meningen med detta teorem? F?r att f? alla l?sningar av det till?tna ekvationssystemet r?cker det att peka ut de fria variablerna. Sedan, genom att tilldela olika v?rden till fria variabler, f?r vi f?rdiga l?sningar. Det ?r allt - p? s? s?tt kan du f? alla l?sningar i systemet. Det finns inga andra l?sningar.

Slutsats: det till?tna ekvationssystemet ?r alltid kompatibelt. Om antalet ekvationer i det till?tna systemet ?r lika med antalet variabler kommer systemet att vara definitivt, om det ?r mindre kommer det att vara obest?mt.

Och allt skulle vara bra, men fr?gan uppst?r: hur f?r man den l?sta fr?n det ursprungliga ekvationssystemet? F?r detta finns

Din integritet ?r viktig f?r oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi anv?nder och lagrar din information. L?s v?r integritetspolicy och l?t oss veta om du har n?gra fr?gor.

Insamling och anv?ndning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan anv?ndas f?r att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att l?mna din personliga information n?r som helst n?r du kontaktar oss.

F?ljande ?r n?gra exempel p? de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan anv?nda s?dan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

• N?r du skickar in en ans?kan p? webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi anv?nder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in g?r att vi kan kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Fr?n tid till annan kan vi anv?nda din personliga information f?r att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
• Vi kan ocks? komma att anv?nda personuppgifter f?r interna ?ndam?l, s?som att genomf?ra revisioner, dataanalyser och olika unders?kningar f?r att f?rb?ttra de tj?nster vi tillhandah?ller och ge dig rekommendationer ang?ende v?ra tj?nster.
• Om du deltar i en prisdragning, t?vling eller liknande incitament kan vi anv?nda informationen du tillhandah?ller f?r att administrera s?dana program.

Utl?mnande till tredje part

Vi l?mnar inte ut information fr?n dig till tredje part.

Undantag:

• I h?ndelse av att det ?r n?dv?ndigt - i enlighet med lagen, r?ttsordningen, i r?ttsliga f?rfaranden och / eller baserat p? offentliga f?rfr?gningar eller f?rfr?gningar fr?n statliga organ p? Ryska federationens territorium - avsl?ja din personliga information. Vi kan ocks? avsl?ja information om dig om vi fastst?ller att ett s?dant avsl?jande ?r n?dv?ndigt eller l?mpligt f?r s?kerhet, brottsbek?mpning eller andra ?ndam?l av allm?nt intresse.
• I h?ndelse av en omorganisation, sammanslagning eller f?rs?ljning kan vi komma att ?verf?ra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens eftertr?dare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar f?rsiktighets?tg?rder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - f?r att skydda din personliga information fr?n f?rlust, st?ld och missbruk, s?v?l som fr?n obeh?rig ?tkomst, avsl?jande, ?ndring och f?rst?relse.

Uppr?tth?lla din integritet p? f?retagsniv?

F?r att s?kerst?lla att din personliga information ?r s?ker, kommunicerar vi sekretess- och s?kerhetspraxis till v?ra anst?llda och till?mpar strikt sekretesspraxis.

Mer tillf?rlitlig ?n den grafiska metoden som diskuterades i f?reg?ende stycke.

Substitutionsmetod

Vi anv?nde denna metod i ?rskurs 7 f?r att l?sa linj?ra ekvationssystem. Algoritmen som utvecklades i ?rskurs 7 ?r ganska l?mplig f?r att l?sa system av tv? valfria ekvationer (inte n?dv?ndigtvis linj?ra) med tv? variabler x och y (naturligtvis kan variablerna betecknas med andra bokst?ver, vilket inte spelar n?gon roll). Faktum ?r att vi anv?nde denna algoritm i f?reg?ende stycke, n?r problemet med ett tv?siffrigt tal ledde till en matematisk modell, som ?r ett ekvationssystem. Vi l?ste detta ekvationssystem ovan genom substitutionsmetoden (se exempel 1 fr?n § 4).

Algoritm f?r att anv?nda substitutionsmetoden vid l?sning av ett system av tv? ekvationer med tv? variabler x, y.

1. Uttryck y i termer av x fr?n en ekvation i systemet.
2. Ers?tt det resulterande uttrycket ist?llet f?r y med en annan ekvation av systemet.
3. L?s den resulterande ekvationen f?r x.
4. Ers?tt i tur och ordning var och en av r?tterna till ekvationen som hittades i det tredje steget ist?llet f?r x med uttrycket y till x som erh?lls i det f?rsta steget.
5. Skriv ner svaret i form av v?rdepar (x; y), som hittades i det tredje respektive fj?rde steget.

4) Ers?tt i sin tur vart och ett av de hittade v?rdena f?r y i formeln x \u003d 5 - Zy. Om d?
5) Par (2; 1) och l?sningar av ett givet ekvationssystem.

Svar: (2; 1);

Algebraisk additionsmetod

Denna metod, liksom substitutionsmetoden, ?r bekant f?r dig fr?n 7:e ?rskursen i algebra, d?r den anv?ndes f?r att l?sa linj?ra ekvationssystem. Vi minns essensen av metoden i f?ljande exempel.

Exempel 2 L?s ett ekvationssystem

Vi multiplicerar alla termerna i den f?rsta ekvationen i systemet med 3 och l?mnar den andra ekvationen of?r?ndrad:
Subtrahera systemets andra ekvation fr?n dess f?rsta ekvation:

Som ett resultat av algebraisk addition av tv? ekvationer av det ursprungliga systemet erh?lls en ekvation som ?r enklare ?n de f?rsta och andra ekvationerna i det givna systemet. Med denna enklare ekvation har vi r?tt att ers?tta vilken ekvation som helst f?r ett givet system, till exempel den andra. D? kommer det givna ekvationssystemet att ers?ttas av ett enklare system:

Detta system kan l?sas genom substitutionsmetoden. Fr?n den andra ekvationen finner vi. Genom att ers?tta detta uttryck ist?llet f?r y i den f?rsta ekvationen i systemet f?r vi

Det ?terst?r att ers?tta de hittade v?rdena av x i formeln

Om x = 2 d?

D?rf?r har vi hittat tv? l?sningar p? systemet:

Metod f?r att introducera nya variabler

Du bekantade dig med metoden att inf?ra en ny variabel vid l?sning av rationella ekvationer med en variabel i 8:ans algebrakurs. K?rnan i denna metod f?r att l?sa ekvationssystem ?r densamma, men ur teknisk synvinkel finns det n?gra funktioner som vi kommer att diskutera i f?ljande exempel.

Exempel 3 L?s ett ekvationssystem

L?t oss introducera en ny variabel Sedan kan den f?rsta ekvationen i systemet skrivas om i en enklare form: L?t oss l?sa denna ekvation med avseende p? variabeln t:

B?da dessa v?rden uppfyller villkoret och ?r d?rf?r r?tterna till en rationell ekvation med variabeln t. Men det betyder antingen varifr?n vi finner att x = 2y, eller
Med hj?lp av metoden att introducera en ny variabel kunde vi s? att s?ga "stratifiera" systemets f?rsta ekvation, som ?r ganska komplex till utseendet, till tv? enklare ekvationer:

x = 2 y; y - 2x.

Vad kommer h?rn?st? Och sedan m?ste var och en av de tv? erh?llna enkla ekvationerna betraktas i sin tur i ett system med ekvationen x 2 - y 2 \u003d 3, som vi ?nnu inte har kommit ih?g. Med andra ord ?r problemet reducerat till att l?sa tv? ekvationssystem:

Det ?r n?dv?ndigt att hitta l?sningar f?r det f?rsta systemet, det andra systemet, och inkludera alla resulterande v?rdepar i svaret. L?t oss l?sa det f?rsta ekvationssystemet:

L?t oss anv?nda substitutionsmetoden, speciellt eftersom allt ?r klart f?r det h?r: vi ers?tter uttrycket 2y ist?llet f?r x i systemets andra ekvation. Skaffa sig

Eftersom x \u003d 2y hittar vi x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. S?ledes erh?lls tv? l?sningar till det givna systemet: (2; 1) och (-2; -1). L?t oss l?sa det andra ekvationssystemet:

L?t oss anv?nda substitutionsmetoden igen: vi ers?tter uttrycket 2x ist?llet f?r y i systemets andra ekvation. Skaffa sig

Denna ekvation har inga r?tter, vilket betyder att ekvationssystemet inte har n?gra l?sningar. Det ?r allts? endast det f?rsta systemets l?sningar som ska ing? i svaret.

Svar: (2; 1); (-2;-1).

Metoden att introducera nya variabler f?r att l?sa system av tv? ekvationer med tv? variabler anv?nds i tv? versioner. F?rsta alternativet: en ny variabel introduceras och anv?nds i endast en ekvation av systemet. Detta ?r precis vad som h?nde i exempel 3. Det andra alternativet: tv? nya variabler introduceras och anv?nds samtidigt i systemets b?da ekvationer. Detta kommer att vara fallet i exempel 4.

Exempel 4 L?s ett ekvationssystem

L?t oss introducera tv? nya variabler:

Det l?r vi oss d?

Detta kommer att till?ta oss att skriva om det givna systemet i en mycket enklare form, men med avseende p? de nya variablerna a och b:

Sedan en \u003d 1, sedan fr?n ekvationen a + 6 \u003d 2 finner vi: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. F?r variablerna a och b fick vi allts? en l?sning:

Om vi ?terg?r till variablerna x och y f?r vi ekvationssystemet

Vi anv?nder den algebraiska additionsmetoden f?r att l?sa detta system:

Sedan dess finner vi fr?n ekvationen 2x + y = 3:
F?r variablerna x och y fick vi allts? en l?sning:

L?t oss avsluta detta avsnitt med en kort men ganska seri?s teoretisk diskussion. Du har redan f?tt lite erfarenhet av att l?sa olika ekvationer: linj?ra, kvadratiska, rationella, irrationella. Du vet att huvudid?n med att l?sa en ekvation ?r att gradvis g? fr?n en ekvation till en annan, enklare men likv?rdig med den givna. I f?reg?ende avsnitt introducerade vi begreppet ekvivalens f?r ekvationer med tv? variabler. Detta koncept anv?nds ocks? f?r ekvationssystem.

Definition.

Tv? ekvationssystem med variablerna x och y s?gs vara ekvivalenta om de har samma l?sningar eller om b?da systemen inte har n?gra l?sningar.

Alla tre metoderna (substitution, algebraisk addition och introduktion av nya variabler) som vi har diskuterat i detta avsnitt ?r helt korrekta ur ekvivalenssynpunkt. Med andra ord, med dessa metoder ers?tter vi ett ekvationssystem med ett annat, enklare, men likv?rdigt med det ursprungliga systemet.

Grafisk metod f?r att l?sa ekvationssystem

Vi har redan l?rt oss hur man l?ser ekvationssystem p? s? vanliga och tillf?rlitliga s?tt som substitutionsmetoden, algebraisk addition och inf?randet av nya variabler. Och l?t oss nu komma ih?g metoden som du redan studerade i f?reg?ende lektion. Det vill s?ga, l?t oss upprepa vad du vet om den grafiska l?sningsmetoden.

Metoden f?r att l?sa ekvationssystem grafiskt ?r konstruktionen av en graf f?r var och en av de specifika ekvationerna som ing?r i detta system och ?r i samma koordinatplan, och ?ven d?r det kr?vs att man ska hitta sk?rningspunkten f?r dessa grafer . F?r att l?sa detta ekvationssystem ?r koordinaterna f?r denna punkt (x; y).

Man b?r komma ih?g att det ?r vanligt att ett grafiskt ekvationssystem har antingen en enda korrekt l?sning, eller ett o?ndligt antal l?sningar, eller inte har l?sningar alls.

L?t oss nu titta n?rmare p? var och en av dessa l?sningar. Och s? kan ekvationssystemet ha en unik l?sning om linjerna, som ?r graferna f?r systemets ekvationer, sk?r varandra. Om dessa linjer ?r parallella, s? har ett s?dant ekvationssystem absolut inga l?sningar. I fallet med sammantr?ffandet av de direkta graferna f?r systemets ekvationer, l?ter ett s?dant system dig hitta m?nga l?sningar.

N?v?l, l?t oss nu ta en titt p? algoritmen f?r att l?sa ett system med tv? ekvationer med 2 ok?nda med en grafisk metod:

F?rst bygger vi f?rst en graf av den 1:a ekvationen;
Det andra steget kommer att vara att rita en graf som relaterar till den andra ekvationen;
F?r det tredje m?ste vi hitta sk?rningspunkterna f?r graferna.
Och som ett resultat f?r vi koordinaterna f?r varje sk?rningspunkt, vilket kommer att vara l?sningen p? ekvationssystemet.

L?t oss titta p? denna metod mer i detalj med ett exempel. Vi f?r ett ekvationssystem som ska l?sas:

L?sa ekvationer

1. F?rst ska vi bygga en graf av denna ekvation: x2+y2=9.

Men det b?r noteras att denna ekvationsgraf kommer att vara en cirkel centrerad vid origo, och dess radie kommer att vara lika med tre.

2. V?rt n?sta steg blir att rita en ekvation som: y = x - 3.

I det h?r fallet m?ste vi bygga en linje och hitta punkterna (0;-3) och (3;0).

3. L?t oss se vad vi har. Vi ser att linjen sk?r cirkeln i tv? av dess punkter A och B.

Nu letar vi efter koordinaterna f?r dessa punkter. Vi ser att koordinaterna (3;0) motsvarar punkt A och koordinaterna (0;-3) motsvarar punkt B.

Och vad f?r vi som resultat?

Siffrorna (3;0) och (0;-3) som erh?lls vid sk?rningen av en r?t linje med en cirkel ?r exakt l?sningarna av systemets b?da ekvationer. Och av detta f?ljer att dessa tal ocks? ?r l?sningar av detta ekvationssystem.

Det vill s?ga svaret p? denna l?sning ?r talen: (3;0) och (0;-3).

Att l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer (SLAE) ?r utan tvekan det viktigaste ?mnet i linj?r algebrakursen. Ett stort antal problem fr?n alla grenar av matematik reduceras till att l?sa linj?ra ekvationssystem. Dessa faktorer f?rklarar anledningen till att den h?r artikeln skapades. Materialet i artikeln ?r valt och strukturerat s? att du med dess hj?lp kan

• v?lj den optimala metoden f?r att l?sa ditt system av linj?ra algebraiska ekvationer,
• studera teorin om den valda metoden,
• l?s ditt linj?ra ekvationssystem, efter att ha ?verv?gt i detalj l?sningarna p? typiska exempel och problem.

Kort beskrivning av materialet i artikeln.

F?rst ger vi alla n?dv?ndiga definitioner, begrepp och introducerar lite notation.

D?refter ?verv?ger vi metoder f?r att l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer d?r antalet ekvationer ?r lika med antalet ok?nda variabler och som har en unik l?sning. F?rst, l?t oss fokusera p? Cramer-metoden, f?r det andra kommer vi att visa matrismetoden f?r att l?sa s?dana ekvationssystem, och f?r det tredje kommer vi att analysera Gauss-metoden (metoden f?r successiv eliminering av ok?nda variabler). F?r att konsolidera teorin kommer vi definitivt att l?sa flera SLAEs p? olika s?tt.

D?refter ?verg?r vi till att l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer av allm?n form, d?r antalet ekvationer inte sammanfaller med antalet ok?nda variabler eller systemets huvudmatris ?r degenererad. Vi formulerar Kronecker-Capelli-satsen, som g?r att vi kan fastst?lla kompatibiliteten f?r SLAE. L?t oss analysera l?sningen av system (i fallet med deras kompatibilitet) med hj?lp av konceptet med grundminor i en matris. Vi kommer ocks? att ?verv?ga Gauss-metoden och i detalj beskriva l?sningarna i exemplen.

Var noga med att uppeh?lla dig vid strukturen f?r den allm?nna l?sningen av homogena och inhomogena system av linj?ra algebraiska ekvationer. L?t oss ge konceptet med ett grundl?ggande system av l?sningar och visa hur den allm?nna l?sningen av SLAE skrivs med hj?lp av vektorerna f?r det grundl?ggande l?sningssystemet. F?r en b?ttre f?rst?else, l?t oss titta p? n?gra exempel.

Sammanfattningsvis betraktar vi ekvationssystem som reduceras till linj?ra, s?v?l som olika problem, i vars l?sning SLAE uppst?r.

Sidnavigering.

Definitioner, begrepp, beteckningar.

Vi kommer att betrakta system av p linj?ra algebraiska ekvationer med n ok?nda variabler (p kan vara lika med n ) av formen

Ok?nda variabler, - koefficienter (vissa reella eller komplexa tal), - fria medlemmar (?ven reella eller komplexa tal).

Denna form av SLAE kallas samordna.

P? matrisform detta ekvationssystem har formen
var - systemets huvudmatris, - matriskolumnen med ok?nda variabler, - matriskolumnen f?r fria medlemmar.

L?gger vi till matrisen A som den (n + 1)-te kolumnen matriskolumnen av fria termer, s? f?r vi den s.k. ut?kad matris linj?ra ekvationssystem. Vanligtvis betecknas den f?rst?rkta matrisen med bokstaven T, och kolumnen med fria medlemmar separeras med en vertikal linje fr?n resten av kolumnerna, det vill s?ga,

Genom att l?sa ett system av linj?ra algebraiska ekvationer kallas en upps?ttning v?rden av ok?nda variabler, som g?r systemets alla ekvationer till identiteter. Matrisekvationen f?r de givna v?rdena f?r de ok?nda variablerna f?rvandlas ocks? till en identitet.

Om ett ekvationssystem har minst en l?sning, s? kallas det gemensam.

Om ekvationssystemet inte har n?gra l?sningar, s? kallas det of?renlig.

Om en SLAE har en unik l?sning, s? kallas den vissa; om det finns mer ?n en l?sning, d? - os?ker.

Om de fria termerna f?r alla ekvationer i systemet ?r lika med noll , d? kallas systemet homogen, annars - heterogen.

L?sning av element?ra system av linj?ra algebraiska ekvationer.

Om antalet systemekvationer ?r lika med antalet ok?nda variabler och determinanten f?r dess huvudmatris inte ?r lika med noll, kommer vi att kalla s?dana SLAE:er element?rt. S?dana ekvationssystem har en unik l?sning, och i fallet med ett homogent system ?r alla ok?nda variabler lika med noll.

Vi b?rjade studera s?dana SLAE p? gymnasiet. N?r vi l?ste dem tog vi en ekvation, uttryckte en ok?nd variabel i termer av andra och substituerade den i de ?terst?ende ekvationerna, tog sedan n?sta ekvation, uttryckte n?sta ok?nda variabel och substituerade den med andra ekvationer, och s? vidare. Eller s? anv?nde de additionsmetoden, det vill s?ga de lade till tv? eller flera ekvationer f?r att eliminera n?gra ok?nda variabler. Vi kommer inte att uppeh?lla oss vid dessa metoder i detalj, eftersom de i huvudsak ?r modifieringar av Gauss-metoden.

De huvudsakliga metoderna f?r att l?sa element?ra system av linj?ra ekvationer ?r Cramermetoden, matrismetoden och Gaussmetoden. L?t oss reda ut dem.

L?sa linj?ra ekvationssystem med Cramers metod.

L?t oss beh?va l?sa ett system av linj?ra algebraiska ekvationer

d?r antalet ekvationer ?r lika med antalet ok?nda variabler och determinanten f?r systemets huvudmatris skiljer sig fr?n noll, det vill s?ga .

L?ta vara best?mningsfaktorn f?r systemets huvudmatris, och ?r determinanter f?r matriser som erh?lls fr?n A genom att ers?tta 1:a, 2:a, …, n:a kolumnen respektive kolumnen med fria medlemmar:

Med s?dan notation ber?knas de ok?nda variablerna med formlerna f?r Cramers metod som . S? h?r hittas l?sningen av ett system av linj?ra algebraiska ekvationer med Cramermetoden.

Exempel.

Cramer metod .

L?sning.

Systemets huvudmatris har formen . Ber?kna dess determinant (om n?dv?ndigt, se artikeln):

Eftersom determinanten f?r systemets huvudmatris skiljer sig fr?n noll har systemet en unik l?sning som kan hittas med Cramers metod.

Komponera och ber?kna n?dv?ndiga best?mningsfaktorer (determinanten erh?lls genom att ers?tta den f?rsta kolumnen i matris A med en kolumn av fria medlemmar, determinanten - genom att ers?tta den andra kolumnen med en kolumn av fria medlemmar, - genom att ers?tta den tredje kolumnen i matris A med en kolumn av fria medlemmar ):

Hitta ok?nda variabler med formler :

Svar:

Den st?rsta nackdelen med Cramers metod (om den kan kallas en nackdel) ?r komplexiteten i att ber?kna determinanterna n?r antalet systemekvationer ?r fler ?n tre.

L?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer med matrismetoden (med invers matris).

L?t systemet av linj?ra algebraiska ekvationer ges i matrisform , d?r matrisen A har dimensionen n med n och dess determinant ?r icke-noll.

Sedan , d? matrisen A ?r inverterbar, det vill s?ga det finns en invers matris . Om vi multiplicerar b?da sidor av likheten med till v?nster f?r vi en formel f?r att hitta kolumnmatrisen f?r ok?nda variabler. S? vi fick l?sningen av systemet med linj?ra algebraiska ekvationer genom matrismetoden.

Exempel.

L?s system av linj?ra ekvationer matrismetod.

L?sning.

L?t oss skriva om ekvationssystemet i matrisform:

D?rf?r att

d? kan SLAE l?sas med matrismetoden. Med hj?lp av den inversa matrisen kan l?sningen p? detta system hittas som .

L?t oss bygga en invers matris med hj?lp av en matris av algebraiska komplement till elementen i matris A (om n?dv?ndigt, se artikeln):

Det ?terst?r att ber?kna - matrisen av ok?nda variabler genom att multiplicera den inversa matrisen p? matriskolumnen f?r gratismedlemmar (se artikeln om n?dv?ndigt):

Svar:

eller i en annan notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Huvudproblemet med att hitta l?sningar p? system med linj?ra algebraiska ekvationer med matrismetoden ?r komplexiteten i att hitta den inversa matrisen, s?rskilt f?r kvadratiska matriser av ordning h?gre ?n den tredje.

L?sa linj?ra ekvationssystem med Gauss-metoden.

Antag att vi beh?ver hitta en l?sning p? ett system med n linj?ra ekvationer med n ok?nda variabler
vars determinant f?r huvudmatrisen skiljer sig fr?n noll.

K?rnan i Gauss-metoden best?r i successiv exkludering av ok?nda variabler: f?rst exkluderas x 1 fr?n alla ekvationer i systemet, med b?rjan fr?n den andra, sedan exkluderas x 2 fr?n alla ekvationer, med b?rjan fr?n den tredje, och s? vidare, tills endast den ok?nda variabeln x n finns kvar i den sista ekvationen. En s?dan process att transformera systemets ekvationer f?r successiv eliminering av ok?nda variabler kallas direkt Gauss-metoden. Efter att den fram?tg?ende k?rningen av Gauss-metoden har slutf?rts, hittas x n fr?n den sista ekvationen, x n-1 ber?knas fr?n den n?st sista ekvationen med detta v?rde, och s? vidare, x 1 hittas fr?n den f?rsta ekvationen. Processen att ber?kna ok?nda variabler n?r man g?r fr?n den sista ekvationen i systemet till den f?rsta kallas omv?nd Gauss-metod.

L?t oss kort beskriva algoritmen f?r att eliminera ok?nda variabler.

Vi kommer att anta att eftersom vi alltid kan uppn? detta genom att ordna om systemets ekvationer. Vi exkluderar den ok?nda variabeln x 1 fr?n alla ekvationer i systemet, med b?rjan fr?n den andra. F?r att g?ra detta, addera den f?rsta ekvationen multiplicerad med till den andra ekvationen i systemet, addera den f?rsta multiplicerad med till den tredje ekvationen, och s? vidare, addera den f?rsta multiplicerad med till den n:te ekvationen. Ekvationssystemet efter s?dana transformationer kommer att ta formen

d?r en .

Vi skulle komma till samma resultat om vi uttryckte x 1 i termer av andra ok?nda variabler i systemets f?rsta ekvation och substituerade det resulterande uttrycket i alla andra ekvationer. Variabeln x 1 exkluderas allts? fr?n alla ekvationer, med b?rjan fr?n den andra.

D?refter agerar vi p? liknande s?tt, men bara med en del av det resulterande systemet, som ?r markerat i figuren

F?r att g?ra detta, addera den andra ekvationen multiplicerat med till systemets tredje ekvation, addera den andra multiplicerad med till den fj?rde ekvationen, och s? vidare, addera den andra multiplicerad med till den n:te ekvationen. Ekvationssystemet efter s?dana transformationer kommer att ta formen

d?r en . Variabeln x 2 exkluderas allts? fr?n alla ekvationer, med b?rjan fr?n den tredje.

D?refter forts?tter vi till eliminering av det ok?nda x 3, medan vi agerar p? liknande s?tt med den del av systemet som ?r markerad i figuren

S? vi forts?tter Gaussmetodens direkta f?rlopp tills systemet tar formen

Fr?n detta ?gonblick b?rjar vi det omv?nda f?rloppet av Gauss-metoden: vi ber?knar x n fr?n den sista ekvationen som , med hj?lp av det erh?llna v?rdet p? x n hittar vi x n-1 fr?n den n?st sista ekvationen, och s? vidare, vi hittar x 1 fr?n f?rsta ekvationen.

Exempel.

L?s system av linj?ra ekvationer Gaussisk metod.

L?sning.

L?t oss utesluta den ok?nda variabeln x 1 fr?n de andra och tredje ekvationerna i systemet. F?r att g?ra detta, till b?da delarna av den andra och tredje ekvationen, l?gger vi till motsvarande delar av den f?rsta ekvationen, multiplicerat med respektive med:

Nu exkluderar vi x 2 fr?n den tredje ekvationen genom att l?gga till v?nster och h?ger del av den andra ekvationens v?nstra och h?gra del, multiplicerat med:

P? detta ?r Gaussmetodens fram?tg?ende kurs avslutad, vi b?rjar den omv?nda kursen.

Fr?n den sista ekvationen i det resulterande ekvationssystemet finner vi x 3:

Fr?n den andra ekvationen f?r vi .

Fr?n den f?rsta ekvationen hittar vi den ?terst?ende ok?nda variabeln och detta fullbordar Gaussmetodens omv?nda f?rlopp.

Svar:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

L?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer av allm?n form.

I det allm?nna fallet sammanfaller inte antalet ekvationer i systemet p med antalet ok?nda variabler n:

S?dana SLAE:er kanske inte har n?gra l?sningar, har en enda l?sning eller har o?ndligt m?nga l?sningar. Detta p?st?ende g?ller ?ven ekvationssystem vars huvudmatris ?r kvadratisk och degenererad.

Kronecker-Capelli-satsen.

Innan man hittar en l?sning p? ett system av linj?ra ekvationer ?r det n?dv?ndigt att fastst?lla dess kompatibilitet. Svaret p? fr?gan n?r SLAE ?r kompatibelt, och n?r det ?r inkompatibelt, ger Kronecker-Capelli-satsen:
f?r att ett system av ekvationer med n ok?nda (p kan vara lika med n ) f?r att vara konsekvent ?r det n?dv?ndigt och tillr?ckligt att rangordningen f?r systemets huvudmatris ?r lika med rangordningen f?r den ut?kade matrisen, det vill s?ga Rank( A)=Rank(T) .

L?t oss ?verv?ga till?mpningen av Kronecker-Cappellis sats f?r att best?mma kompatibiliteten hos ett system av linj?ra ekvationer som ett exempel.

Exempel.

Ta reda p? om systemet med linj?ra ekvationer har l?sningar.

L?sning.

. L?t oss anv?nda metoden att gr?nsa till minder?riga. Mindre av andra ordningen skiljer sig fr?n noll. L?t oss g? ?ver de minder?riga av tredje ordningen som omger det:

Eftersom alla gr?nsande minder?riga av tredje ordningen ?r lika med noll, ?r huvudmatrisens rangordning tv?.

I sin tur rangen f?r den ut?kade matrisen ?r lika med tre, eftersom moll av tredje ordningen

skiljer sig fr?n noll.

P? det h?r s?ttet, Rang(A) , d?rf?r, enligt Kronecker-Capelli-satsen, kan vi dra slutsatsen att det ursprungliga systemet med linj?ra ekvationer ?r inkonsekvent.

Svar:

Det finns inget l?sningssystem.

S? vi har l?rt oss att fastst?lla inkonsekvensen i systemet med hj?lp av Kronecker-Capelli-satsen.

Men hur hittar man l?sningen f?r SLAE om dess kompatibilitet ?r etablerad?

F?r att g?ra detta beh?ver vi begreppet basmoll f?r en matris och satsen om rangordningen f?r en matris.

Den h?gsta ordningens moll av matrisen A, f?rutom noll, kallas grundl?ggande.

Det f?ljer av definitionen av basen minor att dess ordning ?r lika med rangen av matrisen. F?r en matris A som inte ?r noll kan det finnas flera grundl?ggande biroller, det finns alltid en grundl?ggande biroll.

T?nk till exempel p? matrisen .

Alla tredje ordningens mindre i denna matris ?r lika med noll, eftersom elementen i den tredje raden i denna matris ?r summan av motsvarande element i den f?rsta och andra raden.

F?ljande minder?riga av andra ordningen ?r grundl?ggande, eftersom de inte ?r noll

Minder?riga ?r inte grundl?ggande, eftersom de ?r lika med noll.

Matrix rangsats.

Om rangordningen f?r en matris av ordningen p till n ?r r, s? uttrycks alla element i matrisens rader (och kolumner) som inte utg?r den valda grundmoll linj?rt i termer av motsvarande element i raderna (och kolumnerna) ) som utg?r grunden mindre.

Vad ger matrisrangsatsen oss?

Om vi genom Kronecker-Capelli-satsen har fastst?llt systemets kompatibilitet, s? v?ljer vi vilken grundmoll som helst av systemets huvudmatris (dess ordning ?r lika med r), och utesluter fr?n systemet alla ekvationer som inte g?r det utg?ra den valda grundbirollen. Den SLAE som erh?lls p? detta s?tt kommer att vara ekvivalent med den ursprungliga, eftersom de kasserade ekvationerna fortfarande ?r redundanta (enligt matrisrangsatsen ?r de en linj?r kombination av de ?terst?ende ekvationerna).

Som ett resultat, efter att ha f?rkastat systemets ?verdrivna ekvationer, ?r tv? fall m?jliga.

Om antalet ekvationer r i det resulterande systemet ?r lika med antalet ok?nda variabler, kommer det att vara definitivt och den enda l?sningen kan hittas med Cramermetoden, matrismetoden eller Gaussmetoden.

Exempel.

.

L?sning.

Rang f?r systemets huvudmatris ?r lika med tv?, eftersom moll av andra ordningen skiljer sig fr?n noll. Ut?kad matrisrankning ?r ocks? lika med tv?, eftersom den enda moll av tredje ordningen ?r lika med noll

och minor av den andra ordningen som betraktas ovan skiljer sig fr?n noll. Baserat p? Kronecker-Capelli-satsen kan man h?vda kompatibiliteten f?r det ursprungliga systemet av linj?ra ekvationer, eftersom Rank(A)=Rank(T)=2 .

Som grund mindre tar vi . Den bildas av koefficienterna f?r de f?rsta och andra ekvationerna:


Systemets tredje ekvation deltar inte i bildandet av grundminor, s? vi utesluter den fr?n systemet baserat p? matrisrangsatsen:


S?ledes har vi erh?llit ett element?rt system av linj?ra algebraiska ekvationer. L?t oss l?sa det med Cramers metod:


Svar:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Om antalet ekvationer r i den resulterande SLAE ?r mindre ?n antalet ok?nda variabler n, l?mnar vi termerna som bildar den grundl?ggande moll i de v?nstra delarna av ekvationerna och ?verf?r de ?terst?ende termerna till de h?gra delarna av ekvationerna av systemet med motsatt tecken.

De ok?nda variablerna (det finns r av dem) som finns kvar p? v?nster sida av ekvationerna kallas huvud.

Ok?nda variabler (det finns n - r av dem) som hamnat p? h?ger sida kallas fri.

Nu antar vi att de fria ok?nda variablerna kan ta godtyckliga v?rden, medan de r huvudsakliga ok?nda variablerna kommer att uttryckas i termer av de fria ok?nda variablerna p? ett unikt s?tt. Deras uttryck kan hittas genom att l?sa den resulterande SLAE med Cramer-metoden, matrismetoden eller Gauss-metoden.

L?t oss ta ett exempel.

Exempel.

L?s system av linj?ra algebraiska ekvationer .

L?sning.

Hitta rangordningen f?r systemets huvudmatris enligt metoden f?r gr?nsande minder?riga. L?t oss ta en 1 1 = 1 som en f?rsta ordningens moll som inte ?r noll. L?t oss b?rja s?ka efter en andra ordningens moll som inte ?r noll som omger denna moll:


S? vi hittade en moll som inte ?r noll av andra ordningen. L?t oss b?rja s?ka efter en moll som inte ?r noll av tredje ordningen:


S?ledes ?r rangen p? huvudmatrisen tre. Rangen p? den ut?kade matrisen ?r ocks? lika med tre, det vill s?ga systemet ?r konsekvent.

Den hittade icke-noll moll av tredje ordningen kommer att tas som den grundl?ggande.

F?r tydlighetens skull visar vi de element som utg?r grundminor:


Vi l?mnar termerna som deltar i den grundl?ggande minor p? v?nster sida av ekvationerna i systemet, och ?verf?r resten med motsatta tecken till h?ger sida:


Vi ger fria ok?nda variabler x 2 och x 5 godtyckliga v?rden, det vill s?ga vi tar , d?r finns godtyckliga siffror. I det h?r fallet tar SLAE formen


Vi l?ser det erh?llna element?ra systemet av linj?ra algebraiska ekvationer med Cramer-metoden:


F?ljaktligen.

I svaret, gl?m inte att ange fria ok?nda variabler.

Svar:

Var finns godtyckliga siffror.

Sammanfatta.

F?r att l?sa ett system av linj?ra algebraiska ekvationer av generell form, tar vi f?rst reda p? dess kompatibilitet med hj?lp av Kronecker-Capelli-satsen. Om rankningen av huvudmatrisen inte ?r lika med rankningen av den ut?kade matrisen, drar vi slutsatsen att systemet ?r inkonsekvent.

Om huvudmatrisens rang ?r lika med rangordningen f?r den ut?kade matrisen, v?ljer vi den grundl?ggande minor och kasserar ekvationerna i systemet som inte deltar i bildandet av den valda grundl?ggande minor.

Om ordningen f?r basminor ?r lika med antalet ok?nda variabler, har SLAE en unik l?sning, som kan hittas med vilken metod som helst som vi k?nner till.

Om ordningen f?r den grundl?ggande minor ?r mindre ?n antalet ok?nda variabler, l?mnar vi p? v?nster sida av ekvationerna i systemet termerna med de huvudsakliga ok?nda variablerna, ?verf?r de ?terst?ende termerna till h?ger och tilldelar godtyckliga v?rden till de fria ok?nda variablerna. Fr?n det resulterande systemet av linj?ra ekvationer hittar vi de viktigaste ok?nda variablerna med Cramermetoden, matrismetoden eller Gaussmetoden.

Gauss metod f?r att l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer av allm?n form.

Med hj?lp av Gauss-metoden kan man l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer av vilket slag som helst utan deras f?runders?kning f?r kompatibilitet. Processen med successiv exkludering av ok?nda variabler g?r det m?jligt att dra en slutsats om b?de SLAE:s kompatibilitet och inkonsekvens, och om det finns en l?sning g?r det det m?jligt att hitta den.

Ur ber?kningsarbetets synvinkel ?r Gaussmetoden att f?redra.

Se dess detaljerade beskrivning och analyserade exempel i artikeln Gauss metod f?r att l?sa system av linj?ra algebraiska ekvationer av allm?n form.

Registrering av den allm?nna l?sningen av homogena och inhomogena linj?ra algebraiska system med hj?lp av vektorerna f?r det fundamentala l?sningssystemet.

I detta avsnitt kommer vi att fokusera p? gemensamma homogena och inhomogena system av linj?ra algebraiska ekvationer som har ett o?ndligt antal l?sningar.

L?t oss f?rst ta itu med homogena system.

Grundl?ggande beslutssystem Ett homogent system av p linj?ra algebraiska ekvationer med n ok?nda variabler ?r en upps?ttning (n – r) linj?rt oberoende l?sningar av detta system, d?r r ?r ordningen f?r basmoll i systemets huvudmatris.

Om vi betecknar linj?rt oberoende l?sningar av en homogen SLAE som X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ?r matriskolumner med dimension n med 1 ), d? representeras den allm?nna l?sningen av detta homogena system som en linj?r kombination av vektorer av det fundamentala systemet av l?sningar med godtyckliga konstanta koefficienter С 1 , С 2 , …, С (n-r), det vill s?ga .

Vad betyder termen generell l?sning av ett homogent system av linj?ra algebraiska ekvationer (oroslau)?

Inneb?rden ?r enkel: formeln definierar alla m?jliga l?sningar av den ursprungliga SLAE, med andra ord, tar vilken som helst upps?ttning v?rden av godtyckliga konstanter C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , enligt formeln vi kommer att f? en av l?sningarna av den ursprungliga homogena SLAE.

S?ledes, om vi hittar ett grundl?ggande system av l?sningar, kan vi st?lla in alla l?sningar f?r denna homogena SLAE som .

L?t oss visa processen f?r att konstruera ett grundl?ggande system av l?sningar f?r en homogen SLAE.

Vi v?ljer grundmoll i det ursprungliga systemet med linj?ra ekvationer, utesluter alla andra ekvationer fr?n systemet och ?verf?r till h?ger sida av systemets ekvationer med motsatta tecken alla termer som inneh?ller fria ok?nda variabler. L?t oss ge de fria ok?nda variablerna v?rdena 1,0,0,...,0 och ber?kna de viktigaste ok?nda genom att l?sa det resulterande element?ra systemet av linj?ra ekvationer p? n?got s?tt, till exempel med Cramer-metoden. S?ledes kommer X (1) att erh?llas - den f?rsta l?sningen av det grundl?ggande systemet. Om vi ger de fria ok?nda v?rdena 0,1,0,0,...,0 och ber?knar de viktigaste ok?nda, s? f?r vi X (2) . Och s? vidare. Om vi ger de fria ok?nda variablerna v?rdena 0,0,...,0,1 och ber?knar de viktigaste ok?nda, s? f?r vi X (n-r) . Det ?r s? det grundl?ggande l?sningssystemet f?r den homogena SLAE kommer att konstrueras och dess allm?nna l?sning kan skrivas i formen.

F?r inhomogena system av linj?ra algebraiska ekvationer representeras den allm?nna l?sningen som

L?t oss titta p? exempel.

Exempel.

Hitta det grundl?ggande l?sningssystemet och den allm?nna l?sningen av ett homogent system av linj?ra algebraiska ekvationer .

L?sning.

Rangen f?r huvudmatrisen f?r homogena system av linj?ra ekvationer ?r alltid lika med rangordningen f?r den ut?kade matrisen. L?t oss hitta rangordningen f?r huvudmatrisen genom metoden att s?tta randen av minder?riga. Som en moll som inte ?r noll av f?rsta ordningen tar vi elementet a 1 1 = 9 av systemets huvudmatris. Hitta gr?nsen icke-noll moll av andra ordningen:

En moll av andra ordningen, annorlunda ?n noll, hittas. L?t oss g? igenom de minder?riga av tredje ordningen som gr?nsar till det p? jakt efter en icke-noll:

Alla angr?nsande minder?riga av tredje ordningen ?r lika med noll, d?rf?r ?r rangordningen f?r huvudmatrisen och den ut?kade matrisen tv?. L?t oss ta den grundl?ggande birollen. F?r tydlighetens skull noterar vi de delar av systemet som bildar det:

Den tredje ekvationen av den ursprungliga SLAE deltar inte i bildandet av den grundl?ggande minor, d?rf?r kan den uteslutas:

Vi l?mnar termerna som inneh?ller de viktigaste ok?nda p? ekvationernas h?gra sida och ?verf?r termerna med fria ok?nda till h?ger:

L?t oss konstruera ett grundl?ggande system av l?sningar till det ursprungliga homogena systemet av linj?ra ekvationer. Det grundl?ggande l?sningssystemet f?r denna SLAE best?r av tv? l?sningar, eftersom den ursprungliga SLAE inneh?ller fyra ok?nda variabler, och ordningen f?r dess grundl?ggande mindre ?r tv?. F?r att hitta X (1) ger vi de fria ok?nda variablerna v?rdena x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, sedan hittar vi de viktigaste ok?nda fr?n ekvationssystemet
.

I den h?r lektionen kommer vi att ?verv?ga metoder f?r att l?sa ett system av linj?ra ekvationer. I loppet av h?gre matematik kr?vs det att system av linj?ra ekvationer l?ses b?de i form av separata uppgifter, till exempel ”L?s systemet med Cramers formler”, och i loppet av att l?sa andra problem. Man har att g?ra med linj?ra ekvationssystem i n?stan alla grenar av h?gre matematik.

F?rst lite teori. Vad betyder det matematiska ordet "linj?r" i detta fall? Detta betyder att i systemets ekvationer Allt variabler ing?r i f?rsta graden: inga fancy saker som etc., fr?n vilka endast deltagare i matematiska olympiader ?r f?rtjusta.

I h?gre matematik anv?nds inte bara bokst?ver som ?r bekanta fr?n barndomen f?r att beteckna variabler.
Ett ganska popul?rt alternativ ?r variabler med index: .
Eller de f?rsta bokst?verna i det latinska alfabetet, sm? och stora:
Det ?r inte s? ovanligt att hitta grekiska bokst?ver: - v?lk?nda f?r m?nga "alfa, beta, gamma". Och ?ven en upps?ttning med index, s?g, med bokstaven "mu":

Anv?ndningen av en eller annan upps?ttning bokst?ver beror p? den gren av h?gre matematik d?r vi st?r inf?r ett system av linj?ra ekvationer. S?, till exempel, i system av linj?ra ekvationer som p?tr?ffas vid l?sning av integraler, differentialekvationer, ?r det traditionellt vanligt att anv?nda notationen

Men oavsett hur variablerna betecknas ?ndras inte principerna, metoderna och metoderna f?r att l?sa ett system av linj?ra ekvationer fr?n detta. S?ledes, om du st?ter p? n?got hemskt som, skynda dig inte att st?nga problemboken i r?dsla, trots allt, ist?llet kan du rita solen, ist?llet - en f?gel och ist?llet - ett ansikte (av en l?rare). Och konstigt nog kan ett system av linj?ra ekvationer med dessa notationer ocks? l?sas.

N?got jag har en s?dan f?raning att artikeln kommer att visa sig vara ganska l?ng, s? en liten inneh?llsf?rteckning. S? den sekventiella "debriefingen" kommer att vara som f?ljer:

– L?sa ett system av linj?ra ekvationer med substitutionsmetoden (”skolmetoden”);
– L?sning av systemet med metoden term-f?r-term addition (subtraktion) av systemets ekvationer;
– L?sning av systemet med Cramers formler;
– L?sning av systemet med hj?lp av den omv?nda matrisen;
– L?sning av systemet med Gauss-metoden.

Alla k?nner till linj?ra ekvationssystem fr?n skolans matematikkurs. Faktum ?r att vi b?rjar med upprepning.

L?sa ett system av linj?ra ekvationer med substitutionsmetoden

Denna metod kan ocks? kallas "skolmetoden" eller metoden att eliminera ok?nda. Bildligt talat kan det ocks? kallas den "halvf?rdiga Gaussmetoden".

Exempel 1

H?r har vi ett system av tv? ekvationer med tv? ok?nda. Observera att de fria termerna (nummer 5 och 7) finns p? v?nster sida av ekvationen. Generellt sett spelar det ingen roll var de ?r, till v?nster eller till h?ger, det ?r bara det att i problem i h?gre matematik ligger de ofta s?. Och en s?dan post ska inte vara f?rvirrande, om det beh?vs kan systemet alltid skrivas "som vanligt":. Gl?m inte att n?r du ?verf?r en term fr?n del till del m?ste du ?ndra dess tecken.

Vad inneb?r det att l?sa ett system av linj?ra ekvationer? Att l?sa ett ekvationssystem inneb?r att hitta m?ngden av dess l?sningar. Systemets l?sning ?r en upps?ttning v?rden av alla variabler som ing?r i det, vilket g?r VARJE ekvation i systemet till en sann j?mlikhet. Dessutom kan systemet vara of?renlig (har inga l?sningar).Var inte blyg, detta ?r en allm?n definition =) Vi kommer bara att ha ett v?rde p? "x" och ett v?rde p? "y", som uppfyller varje ekvation med-vi.

Det finns en grafisk metod f?r att l?sa systemet, som finns i lektionen. De enklaste problemen med en rak linje. D?r pratade jag om geometrisk k?nsla system av tv? linj?ra ekvationer med tv? ok?nda. Men nu p? g?rden ?r algebras era, och siffror-siffror, handlingar-handlingar.

Vi best?mmer: fr?n den f?rsta ekvationen uttrycker vi:
Vi ers?tter det resulterande uttrycket i den andra ekvationen:

Vi ?ppnar parenteserna, ger liknande termer och hittar v?rdet:

D?refter minns vi vad de dansade fr?n:
Vi vet redan v?rdet, det ?terst?r att hitta:

Svar:

Efter att N?GOT ekvationssystem har l?sts p? N?GOT s?tt, rekommenderar jag starkt att du kontrollerar (muntligt, p? utkast eller minir?knare). Lyckligtvis g?rs detta snabbt och enkelt.

1) Ers?tt det hittade svaret i den f?rsta ekvationen:

- r?tt j?mst?lldhet erh?lls.

2) Vi ers?tter det hittade svaret i den andra ekvationen:

- r?tt j?mst?lldhet erh?lls.

Eller, f?r att uttrycka det enklare, "allt kom ihop"

Den ?verv?gda l?sningsmetoden ?r inte den enda, fr?n den f?rsta ekvationen var det m?jligt att uttrycka , men inte .
Du kan vice versa - uttrycka n?got fr?n den andra ekvationen och ers?tta det med den f?rsta ekvationen. Observera f?rresten att det mest of?rdelaktiga av de fyra s?tten ?r att uttrycka fr?n den andra ekvationen:

Br?k erh?lls, men varf?r ?r det? Det finns en mer rationell l?sning.

Men i vissa fall ?r fraktioner fortfarande oumb?rliga. I detta avseende uppm?rksammar jag HUR jag skrev uttrycket. Inte s? h?r: och p? intet s?tt s? h?r: .

Om du i h?gre matematik har att g?ra med br?ktal, f?rs?k d? att utf?ra alla ber?kningar i vanliga oegentliga br?k.

Exakt, inte eller!

Ett kommatecken kan endast anv?ndas ibland, i synnerhet om - detta ?r det slutliga svaret p? n?got problem, och inga ytterligare ?tg?rder beh?ver utf?ras med detta nummer.

M?nga l?sare t?nkte f?rmodligen "varf?r en s? detaljerad f?rklaring, som f?r en korrigeringsklass, och allt ?r klart". Inget s?dant, det verkar vara ett s? enkelt skolexempel, men hur m?nga MYCKET viktiga slutsatser! H?r ?r en till:

Varje uppgift b?r str?vas efter att slutf?ras p? det mest rationella s?ttet.. Om s? bara f?r att det sparar tid och nerver, och ?ven minskar sannolikheten f?r att g?ra ett misstag.

Om du i en uppgift i h?gre matematik st?ter p? ett system med tv? linj?ra ekvationer med tv? ok?nda, s? kan du alltid anv?nda substitutionsmetoden (om det inte anges att systemet beh?ver l?sas med en annan metod) ".
I vissa fall ?r det dessutom l?mpligt att anv?nda substitutionsmetoden med ett st?rre antal variabler.

Exempel 2

L?s ett system av linj?ra ekvationer med tre ok?nda

Ett liknande ekvationssystem uppst?r ofta n?r man anv?nder den s? kallade metoden f?r obest?mda koefficienter, n?r vi hittar integralen av en rationell br?kfunktion. Systemet i fr?ga tog jag d?rifr?n.

N?r man hittar integralen - m?let snabb hitta v?rdena p? koefficienterna och inte vara sofistikerad med Cramers formler, den inversa matrismetoden, etc. D?rf?r, i det h?r fallet, ?r substitutionsmetoden l?mplig.

N?r n?got ekvationssystem ges ?r det f?rst och fr?mst ?nskv?rt att ta reda p? det, men ?r det m?jligt att p? n?got s?tt f?renkla det OMEDELBART? N?r vi analyserar systemets ekvationer m?rker vi att systemets andra ekvation kan delas med 2, vilket vi g?r:

Referens: en matematisk symbol betyder "av detta f?ljer detta", den anv?nds ofta i samband med att l?sa problem.

Nu analyserar vi ekvationerna, vi m?ste uttrycka n?gon variabel genom resten. Vilken ekvation ska man v?lja? Du har f?rmodligen redan gissat att det enklaste s?ttet f?r detta ?ndam?l ?r att ta systemets f?rsta ekvation:

H?r spelar det ingen roll vilken variabel som ska uttryckas, man kan lika g?rna uttrycka eller .

D?refter ers?tter vi uttrycket i de andra och tredje ekvationerna i systemet:

?ppna parenteserna och l?gg till liknande termer:

Vi dividerar den tredje ekvationen med 2:

Fr?n den andra ekvationen uttrycker vi och ers?tter i den tredje ekvationen:

N?stan allt ?r klart, fr?n den tredje ekvationen finner vi:
Fr?n den andra ekvationen:
Fr?n den f?rsta ekvationen:

Kontrollera: Ers?tt de hittade v?rdena f?r variablerna p? v?nster sida av varje ekvation i systemet:

1)
2)
3)

Motsvarande h?gra sidor av ekvationerna erh?lls, s? l?sningen hittas korrekt.

Exempel 3

L?s ett system av linj?ra ekvationer med 4 ok?nda

Detta ?r ett exempel f?r sj?lvl?sning (svar i slutet av lektionen).

L?sning av systemet genom term-f?r-term addition (subtraktion) av systemets ekvationer

N?r man l?ser system av linj?ra ekvationer b?r man f?rs?ka anv?nda inte "skolmetoden", utan metoden f?r term-f?r-term addition (subtraktion) av systemets ekvationer. Varf?r? Detta sparar tid och f?renklar ber?kningar, men nu blir det tydligare.

Exempel 4

L?s systemet med linj?ra ekvationer:

Jag tog samma system som det f?rsta exemplet.
N?r vi analyserar ekvationssystemet ser vi att koefficienterna f?r variabeln ?r identiska i absolut v?rde och motsatta i tecken (–1 och 1). I denna situation kan ekvationerna adderas term f?r term:

Handlingar inringade i r?tt utf?rs MENTALT.
Som du kan se, som ett resultat av termwise addition, har vi tappat variabeln . Detta ?r faktiskt k?rnan i metoden ?r att bli av med en av variablerna.