Kalkylator online.
L?sa en aritmetisk progression.
Givet: a n , d, n
Hitta: en 1

Detta matematiska program hittar \(a_1\) av en aritmetisk progression baserat p? anv?ndarspecificerade siffror \(a_n, d\) och \(n\).
Talen \(a_n\) och \(d\) kan anges inte bara som heltal utan ocks? som br?k. Dessutom kan br?ktalet anges i form av ett decimaltal (\(2,5\)) och i form av ett vanligt br?ktal (\(-5\frac(2)(7)\)).

Programmet ger inte bara svaret p? problemet, utan visar ocks? processen f?r att hitta en l?sning.

Denna online-kalkylator kan vara anv?ndbar f?r gymnasieelever i gymnasieskolor n?r de f?rbereder sig f?r prov och tentor, n?r de testar kunskaper inf?r Unified State Exam och f?r f?r?ldrar att kontrollera l?sningen av m?nga problem i matematik och algebra.

Eller kanske det ?r f?r dyrt f?r dig att anlita en handledare eller k?pa nya l?rob?cker? Eller vill du bara f? dina matte- eller algebral?xor gjorda s? snabbt som m?jligt? I det h?r fallet kan du ?ven anv?nda v?ra program med detaljerade l?sningar.

P? s? s?tt kan du bedriva egen tr?ning och/eller tr?ning av dina yngre br?der eller systrar samtidigt som utbildningsniv?n inom probleml?sningsomr?det ?kar.

Om du inte ?r bekant med reglerna f?r inmatning av siffror rekommenderar vi att du bekantar dig med dem.

Regler f?r inmatning av siffror
Talen \(a_n\) och \(d\) kan anges inte bara som heltal utan ocks? som br?k.

Talet \(n\) kan bara vara ett positivt heltal.
Regler f?r inmatning av decimalbr?k.
Heltals- och br?kdelarna i decimalbr?k kan separeras med antingen punkt eller kommatecken.

Du kan till exempel ange decimalbr?k som 2,5 eller 2,5
Regler f?r inmatning av vanliga br?k.

Endast ett heltal kan fungera som t?ljare, n?mnare och heltalsdel av ett br?k.

N?r du anger ett numeriskt br?k, skiljs t?ljaren fr?n n?mnaren med ett divisionstecken: /
Input:
Resultat: \(-\frac(2)(3)\)

Hela delen skiljs fr?n br?ket med et-tecken: &
Input:
Resultat: \(-1\frac(2)(3)\)

Ange siffrorna a n , d, n

Hitta en 1

Det uppt?cktes att vissa skript som beh?vs f?r att l?sa detta problem inte laddades och programmet kanske inte fungerar.
Du kan ha AdBlock aktiverat.
I det h?r fallet inaktiverar du den och uppdaterar sidan.

JavaScript ?r inaktiverat i din webbl?sare.
F?r att l?sningen ska visas m?ste du aktivera JavaScript.
H?r ?r instruktioner om hur du aktiverar JavaScript i din webbl?sare.

D?rf?r att Det finns m?nga m?nniskor som ?r villiga att l?sa problemet, din f?rfr?gan har st?llts i k?.
Om n?gra sekunder kommer l?sningen att dyka upp nedan.
V?nta sek...

Om du uppt?ckte ett fel i l?sningen, d? kan du skriva om detta i Feedbackformul?ret.
Gl?m inte ange vilken uppgift du best?mmer vad ange i f?lten.

V?ra spel, pussel, emulatorer:

Lite teori.

Nummerf?ljd

I den dagliga praktiken anv?nds ofta numrering av olika f?rem?l f?r att ange i vilken ordning de ?r ordnade. Till exempel ?r husen p? varje gata numrerade. I biblioteket numreras l?sarnas prenumerationer och ordnas sedan i ordning med tilldelade nummer i s?rskilda kortfiler.

I en sparbank, med hj?lp av ins?ttarens personliga kontonummer, kan du enkelt hitta detta konto och se vilken ins?ttning som finns p? det. L?t konto nr 1 inneh?lla en ins?ttning p? a1 rubel, konto nr 2 inneh?lla en ins?ttning p? a2 rubel etc. Det visar sig nummerf?ljd
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
d?r N ?r antalet av alla konton. H?r ?r varje naturligt tal n fr?n 1 till N associerat med ett tal a n.

Har ?ven studerat matematik o?ndliga talsekvenser:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Siffran a 1 kallas f?rsta termen i sekvensen, nummer a 2 - andra termen i sekvensen, nummer a 3 - tredje termen i sekvensen etc.
Talet a n kallas n:e (n:te) medlemmen av sekvensen, och det naturliga talet n ?r dess antal.

Till exempel, i sekvensen av kvadrater av naturliga tal 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... och 1 = 1 ?r den f?rsta termen i sekvensen; och n = n2 ?r den n:te termen i sekvensen; a n+1 = (n + 1) 2 ?r den (n + 1):e (n plus f?rsta) termen i sekvensen. Ofta kan en sekvens specificeras med formeln f?r dess n:e term. Till exempel, formeln \(a_n=\frac(1)(n), \; n \i \mathbb(N) \) definierar sekvensen \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetisk progression

?rets l?ngd ?r cirka 365 dagar. Ett mer exakt v?rde ?r \(365\frac(1)(4)\) dagar, s? vart fj?rde ?r ackumuleras ett fel p? en dag.

F?r att f?rklara detta fel l?ggs en dag till vart fj?rde ?r, och det ut?kade ?ret kallas skott?r.

Till exempel, under det tredje millenniet ?r skott?r ?ren 2004, 2008, 2012, 2016, ....

I denna sekvens ?r varje medlem, fr?n den andra, lika med den f?reg?ende, l?ggs till samma nummer 4. S?dana sekvenser kallas aritmetiska progressioner.

Definition.
Talf?ljden a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... kallas aritmetisk progression, om f?r alla naturliga n j?mlikheten
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
d?r d ?r n?got tal.

Av denna formel f?ljer att a n+1 - a n = d. Talet d kallas skillnaden aritmetisk progression.

Per definition av en aritmetisk progression har vi:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
d?r
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), d?r \(n>1 \)

S?ledes ?r varje term i en aritmetisk progression, med b?rjan fr?n den andra, lika med det aritmetiska medelv?rdet av dess tv? angr?nsande termer. Detta f?rklarar namnet "arithmetic" progression.

Observera att om a 1 och d ges, s? kan de ?terst?ende termerna av den aritmetiska progressionen ber?knas med den ?terkommande formeln a n+1 = a n + d. P? s? s?tt ?r det inte sv?rt att ber?kna de f?rsta termerna av progressionen, men till exempel kommer en 100:a redan att kr?va en hel del ber?kningar. Vanligtvis anv?nds den n:e termformeln f?r detta. Per definition av aritmetisk progression
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etc.
Alls,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
eftersom den n:e termen i en aritmetisk progression erh?lls fr?n den f?rsta termen genom att addera (n-1) g?nger talet d.
Denna formel kallas formel f?r den n:e termen i en aritmetisk progression.

Summan av de f?rsta n termerna av en aritmetisk progression

Hitta summan av alla naturliga tal fr?n 1 till 100.
L?t oss skriva detta belopp p? tv? s?tt:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
L?t oss l?gga till dessa j?mlikheter term f?r term:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Denna summa har 100 villkor
D?rf?r ?r 2S = 101 * 100, d?rav S = 101 * 50 = 5050.

L?t oss nu betrakta en godtycklig aritmetisk progression
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
L?t S n vara summan av de f?rsta n termerna i denna progression:
Sn = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Sedan summan av de f?rsta n termerna i en aritmetisk progression ?r lika med
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Eftersom \(a_n=a_1+(n-1)d\), d? vi ers?tter ett n i denna formel f?r vi en annan formel f?r att hitta summan av de f?rsta n termerna i en aritmetisk progression:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

B?cker (l?rob?cker) Sammandrag av Unified State Examination och Unified State Examination tester online Spel, pussel Rita grafer ?ver funktioner Stavningsordbok f?r det ryska spr?ket Ordbok f?r ungdomsslang Katalog ?ver ryska skolor Katalog ?ver gymnasieskolor i Ryssland Katalog ?ver ryska universitet Lista av uppgifter

I. V. Yakovlev | Matematikmaterial | MathUs.ru

Aritmetisk progression

En aritmetisk progression ?r en speciell typ av sekvens. D?rf?r, innan vi definierar aritmetisk (och sedan geometrisk) progression, m?ste vi kort diskutera det viktiga begreppet talsekvens.

Efterf?ljd

F?rest?ll dig en enhet p? sk?rmen vars vissa nummer visas efter varandra. L?t oss s?ga 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Denna upps?ttning siffror ?r precis ett exempel p? en sekvens.

Definition. En nummersekvens ?r en upps?ttning nummer d?r varje nummer kan tilldelas ett unikt nummer (det vill s?ga associerat med ett enda naturligt nummer)1. Talet n kallas den n:te termen i sekvensen.

S? i exemplet ovan ?r det f?rsta talet 2, detta ?r den f?rsta medlemmen i sekvensen, som kan betecknas med a1; nummer fem har siffran 6 ?r den femte termen i sekvensen, som kan betecknas med a5. I allm?nhet betecknas den n:e termen i en sekvens med en (eller bn, cn, etc.).

En mycket bekv?m situation ?r n?r den n:te termen i sekvensen kan specificeras med n?gon formel. Till exempel, formeln an = 2n 3 anger sekvensen: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formeln an = (1)n anger sekvensen: 1; 1; 1; 1; : : :

Inte varje upps?ttning siffror ?r en sekvens. S?ledes ?r ett segment inte en sekvens; den inneh?ller "f?r m?nga" nummer f?r att numreras om. M?ngden R f?r alla reella tal ?r inte heller en sekvens. Dessa fakta bevisas under loppet av matematisk analys.

Aritmetisk progression: grundl?ggande definitioner

Nu ?r vi redo att definiera en aritmetisk progression.

Definition. En aritmetisk progression ?r en sekvens d?r varje term (med b?rjan fr?n den andra) ?r lika med summan av f?reg?ende term och n?got fast tal (kallas skillnaden mellan aritmetisk progression).

Till exempel, sekvens 2; 5; 8; 11; : : : ?r en aritmetisk progression med f?rsta term 2 och skillnad 3. Sekvens 7; 2; 3; 8; : : : ?r en aritmetisk progression med f?rsta term 7 och skillnad 5. Sekvens 3; 3; 3; : : : ?r en aritmetisk progression med en skillnad lika med noll.

Ekvivalent definition: en sekvens an kallas en aritmetisk progression om skillnaden an+1 an ?r ett konstant v?rde (oberoende av n).

En aritmetisk progression kallas ?kande om dess skillnad ?r positiv och minskande om skillnaden ?r negativ.

1 Men h?r ?r en mer kortfattad definition: en sekvens ?r en funktion definierad p? m?ngden naturliga tal. Till exempel ?r en sekvens av reella tal en funktion f: N ! R.

Som standard anses sekvenser vara o?ndliga, det vill s?ga inneh?ller ett o?ndligt antal tal. Men ingen st?r oss att betrakta ?ndliga sekvenser; i sj?lva verket kan vilken ?ndlig upps?ttning tal som helst kallas en ?ndlig sekvens. Till exempel ?r slutsekvensen 1; 2; 3; 4; 5 best?r av fem siffror.

Formel f?r den n:e termen i en aritmetisk progression

Det ?r l?tt att f?rst? att en aritmetisk progression helt best?ms av tv? tal: den f?rsta termen och skillnaden. D?rf?r uppst?r fr?gan: hur, med kunskap om den f?rsta termen och skillnaden, hitta en godtycklig term f?r en aritmetisk progression?

Det ?r inte sv?rt att f? den formel som kr?vs f?r den n:e termen i en aritmetisk progression. L?t en

aritmetisk progression med skillnad d. Vi har:
an+1 = an + d (n = 1; 2; :: :):
Speciellt skriver vi:
a2 = al + d;
a3 = a2 + d = (al + d) + d = al + 2d;
a4 = a3 + d = (al + 2d) + d = al + 3d;
och nu blir det klart att formeln f?r an ?r:
an = a1 + (n 1)d:

Uppgift 1. I r?knef?rlopp 2; 5; 8; 11; : : : hitta formeln f?r den n:e termen och ber?kna den hundrade termen.

L?sning. Enligt formel (1) har vi:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Egenskap och tecken p? aritmetisk progression

Egenskapen f?r aritmetisk progression. I aritmetisk progression en f?r n?gon

Med andra ord ?r varje medlem av en aritmetisk progression (med b?rjan fr?n den andra) det aritmetiska medelv?rdet av dess n?rliggande medlemmar.

	Bevis. Vi har:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

vilket ?r vad som kr?vdes.

Mer generellt tillfredsst?ller den aritmetiska progressionen j?mlikheten

a n = a nk+ a n+k

f?r valfritt n > 2 och valfritt naturligt k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Det visar sig att formel (2) inte bara fungerar som ett n?dv?ndigt utan ocks? som ett tillr?ckligt villkor f?r att sekvensen ska vara en aritmetisk progression.

Aritmetisk progression tecken. Om likhet (2) g?ller f?r alla n > 2, s? ?r sekvensen an en aritmetisk progression.

Bevis. L?t oss skriva om formel (2) enligt f?ljande:

a na n 1= a n+1a n:

Av detta kan vi se att skillnaden an+1 an inte beror p? n, och det betyder just att sekvensen an ?r en aritmetisk progression.

Egenskapen och tecknet f?r en aritmetisk progression kan formuleras i form av ett p?st?ende; F?r enkelhetens skull kommer vi att g?ra detta f?r tre nummer (detta ?r situationen som ofta uppst?r i problem).

Karakterisering av en aritmetisk progression. Tre siffror a, b, c bildar en aritmetisk progression om och endast om 2b = a + c.

Uppgift 2. (MSU, Ekonomiska fakulteten, 2007) Tre siffror 8x, 3 x2 och 4 i angiven ordning bildar en minskande aritmetisk progression. Hitta x och ange skillnaden i denna progression.

L?sning. Genom egenskapen f?r aritmetisk progression har vi:

2(3 x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x5 = 0, x = 1; x = 5:

Om x = 1 f?r vi en minskande progression p? 8, 2, 4 med en skillnad p? 6. Om x = 5 f?r vi en ?kande progression p? 40, 22, 4; detta fall ?r inte l?mpligt.

Svar: x = 1, skillnaden ?r 6.

Summan av de f?rsta n termerna av en aritmetisk progression

Legenden s?ger att l?raren en dag sa ?t barnen att hitta summan av siffrorna fr?n 1 till 100 och satte sig tyst f?r att l?sa tidningen. Det hade dock inte ens g?tt n?gra minuter innan en pojke sa att han hade l?st problemet. Det h?r var 9-?rige Carl Friedrich Gauss, senare en av historiens st?rsta matematiker.

Lille Gauss id? var f?ljande. L?ta

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

L?t oss skriva detta belopp i omv?nd ordning:

S = 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

och l?gg till dessa tv? formler:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Varje term inom parentes ?r lika med 101, och det finns d?rf?r 100 s?dana termer

2S = 101 100 = 10100;

Vi anv?nder denna id? f?r att h?rleda summaformeln

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

En anv?ndbar modifiering av formel (3) erh?lls om vi ers?tter formeln f?r den n:te termen an = a1 + (n 1)d i den:

		2a1 + (n 1)d

Uppgift 3. Hitta summan av alla positiva tresiffriga tal som ?r delbara med 13.

L?sning. Tresiffriga tal som ?r multiplar av 13 bildar en aritmetisk progression d?r den f?rsta termen ?r 104 och skillnaden ?r 13; Den n:e termen i denna progression har formen:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

L?t oss ta reda p? hur m?nga termer v?r progression inneh?ller. F?r att g?ra detta l?ser vi oj?mlikheten:

en 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

S? det finns 69 medlemmar i v?r utveckling. Med formeln (4) hittar vi den n?dv?ndiga m?ngden:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Uppm?rksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
F?r dem som ?r v?ldigt "inte s?rskilt..."
Och f?r dem som "mycket...")

En aritmetisk progression ?r en serie tal d?r varje tal ?r lika mycket st?rre (eller mindre) ?n det f?reg?ende.

Det h?r ?mnet verkar ofta komplicerat och obegripligt. Bokst?vernas index, den n:e termen av progressionen, skillnaden i progressionen - allt detta ?r p? n?got s?tt f?rvirrande, ja... L?t oss ta reda p? inneb?rden av den aritmetiska progressionen och allt kommer att bli b?ttre direkt.)

Begreppet aritmetisk progression.

Aritmetisk progression ?r ett mycket enkelt och tydligt koncept. Har du n?gra tvivel? F?rg?ves.) Se sj?lv.

Jag ska skriva en oavslutad serie siffror:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Kan du f?rl?nga den h?r serien? Vilka siffror kommer h?rn?st, efter femman? Alla... eh..., kort sagt, alla kommer att inse att siffrorna 6, 7, 8, 9, etc. kommer h?rn?st.

L?t oss komplicera uppgiften. Jag ger dig en oavslutad serie siffror:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Du kommer att kunna f?nga m?nstret, ut?ka serien och namnge sjunde radnummer?

Om du ins?g att detta nummer ?r 20, grattis! Inte bara k?nde du nyckelpunkter f?r aritmetisk progression, men ocks? framg?ngsrikt anv?nt dem i aff?rer! Om du inte har fattat det, l?s vidare.

L?t oss nu ?vers?tta nyckelpunkterna fr?n sensationer till matematik.)

F?rsta nyckelpunkten.

Aritmetisk progression handlar om serier av tal. Detta ?r f?rvirrande till en b?rjan. Vi ?r vana vid att l?sa ekvationer, rita grafer och allt det d?r... Men h?r f?rl?nger vi serien, hittar seriens nummer...

Det ?r okej. Det ?r bara det att progressioner ?r den f?rsta bekantskapen med en ny gren av matematik. Avsnittet heter "Serier" och arbetar specifikt med serier av tal och uttryck. V?nj dig vid det.)

Andra nyckelpunkten.

I en aritmetisk progression skiljer sig alla tal fr?n det f?reg?ende med samma belopp.

I det f?rsta exemplet ?r denna skillnad en. Vilket nummer du ?n tar ?r det ett mer ?n det f?reg?ende. I den andra - tre. Vilket nummer som helst ?r tre fler ?n det f?reg?ende. Det ?r faktiskt detta ?gonblick som ger oss m?jlighet att f?rst? m?nstret och ber?kna efterf?ljande siffror.

Tredje nyckelpunkten.

Det h?r ?gonblicket ?r inte sl?ende, ja... Men det ?r v?ldigt, v?ldigt viktigt. H?r ?r den: Varje progressionsnummer ?r p? sin plats. Det finns det f?rsta numret, det finns det sjunde, det finns det fyrtiofemte osv. Om du blandar ihop dem slumpm?ssigt f?rsvinner m?nstret. Aritmetisk progression kommer ocks? att f?rsvinna. Det som ?terst?r ?r bara en serie siffror.

Det ?r hela po?ngen.

Naturligtvis dyker det upp nya termer och beteckningar i ett nytt ?mne. Du m?ste k?nna till dem. Annars f?rst?r du inte uppgiften. Till exempel m?ste du best?mma n?got som:

Skriv ner de f?rsta sex termerna i den aritmetiska progressionen (a n), om a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirerande?) Bokst?ver, n?gra register... Och uppgiften kunde f?rresten inte vara enklare. Du beh?ver bara f?rst? inneb?rden av termerna och beteckningarna. Nu ska vi bem?stra denna fr?ga och ?terg? till uppgiften.

Villkor och beteckningar.

Aritmetisk progression?r en serie nummer d?r varje nummer skiljer sig fr?n det f?reg?ende med samma belopp.

Denna m?ngd kallas . L?t oss titta p? detta koncept mer detaljerat.

Aritmetisk progressionsskillnad.

Aritmetisk progressionsskillnad?r det belopp med vilket ett progressionstal mer f?reg?ende.

En viktig punkt. Var uppm?rksam p? ordet "mer". Matematiskt betyder det att varje progressionsnummer ?r genom att l?gga till skillnaden i aritmetisk progression till f?reg?ende tal.

F?r att r?kna ut, l?t oss s?ga andra nummer i serien m?ste du f?rsta antal till?gga just denna skillnad av en aritmetisk progression. F?r ber?kning femte- skillnaden ?r n?dv?ndig till?gga Till fj?rde, v?l osv.

Aritmetisk progressionsskillnad Kan vara positiv, d? kommer varje nummer i serien att visa sig vara verkligt mer ?n den f?reg?ende. Denna progression kallas ?kande. Till exempel:

8; 13; 18; 23; 28; .....

H?r erh?lls varje nummer genom att l?gga till positivt tal, +5 till f?reg?ende.

Skillnaden kan vara negativ, d? blir varje nummer i serien mindre ?n den f?reg?ende. Denna utveckling kallas (du kommer inte att tro det!) minskar.

Till exempel:

8; 3; -2; -7; -12; .....

H?r erh?lls ocks? varje nummer genom att l?gga till till den f?reg?ende, men redan ett negativt tal, -5.

F?rresten, n?r man arbetar med progression ?r det mycket anv?ndbart att omedelbart best?mma dess natur - om den ?kar eller minskar. Detta hj?lper mycket att navigera i beslutet, uppt?cka dina misstag och r?tta till dem innan det ?r f?r sent.

Aritmetisk progressionsskillnad vanligtvis betecknad med bokstaven d.

Hur man hittar d? V?ldigt enkelt. Det ?r n?dv?ndigt att subtrahera fr?n valfritt tal i serien tidigare antal. Subtrahera. F?rresten, resultatet av subtraktion kallas "skillnad".)

L?t oss definiera t.ex. d f?r att ?ka aritmetisk progression:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vi tar valfritt tal i serien som vi vill ha, till exempel 11. Vi subtraherar fr?n det tidigare nummer dessa. 8:

Detta ?r det korrekta svaret. F?r denna aritmetiska progression ?r skillnaden tre.

Du kan ta det n?got progressionsnummer, d?rf?r att f?r en specifik progression d-alltid samma.?tminstone n?gonstans i b?rjan av raden, ?tminstone i mitten, ?tminstone var som helst. Du kan inte bara ta det allra f?rsta numret. Helt enkelt f?r att den allra f?rsta siffran ingen tidigare.)

F?rresten, att veta det d=3, att hitta det sjunde numret i denna progression ?r mycket enkelt. L?t oss l?gga till 3 till det femte talet - vi f?r det sj?tte, det blir 17. L?t oss l?gga till tre till det sj?tte talet, vi f?r det sjunde talet - tjugo.

L?t oss definiera d f?r fallande aritmetisk progression:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Jag p?minner dig om att, oavsett tecken, att best?mma d beh?ver fr?n vilket nummer som helst ta bort den f?reg?ende. V?lj valfritt progressionsnummer, till exempel -7. Hans tidigare nummer ?r -2. Sedan:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Skillnaden mellan en aritmetisk progression kan vara vilket tal som helst: heltal, br?ktal, irrationellt, vilket tal som helst.

Andra termer och beteckningar.

Varje nummer i serien kallas medlem av en aritmetisk progression.

Varje medlem av progressionen har ett eget nummer. Siffrorna ?r strikt i ordning, utan n?gra knep. F?rsta, andra, tredje, fj?rde osv. Till exempel, i progressionen 2, 5, 8, 11, 14, ... tv? ?r den f?rsta termen, fem ?r den andra, elva ?r den fj?rde, ja, du f?rst?r...) F?rst? tydligt - sj?lva siffrorna kan vara absolut vad som helst, helt, br?ktal, negativt, vad som helst, men numrering av nummer- strikt i ordning!

Hur skriver man en progression i allm?n form? Ingen fr?ga! Varje nummer i en serie skrivs som en bokstav. F?r att beteckna en aritmetisk progression anv?nds vanligen bokstaven a. Medlemsnumret anges med ett register l?ngst ner till h?ger. Vi skriver termer separerade med kommatecken (eller semikolon), s? h?r:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....

en 1- det h?r ?r det f?rsta numret, en 3- tredje osv. Inget fancy. Denna serie kan kortfattat skrivas s? h?r: (ett n).

Framsteg sker ?ndlig och o?ndlig.

Slutlig progressionen har ett begr?nsat antal medlemmar. Fem, trettio?tta, vad som helst. Men det ?r ett ?ndligt antal.

O?ndlig progression - har ett o?ndligt antal medlemmar, som du kanske kan gissa.)

Du kan skriva den slutliga utvecklingen genom en serie som denna, alla termer och en prick i slutet:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5.

Eller s? h?r, om det ?r m?nga medlemmar:

en 1, en 2, ... en 14, en 15.

I den korta posten m?ste du dessutom ange antalet medlemmar. Till exempel (f?r tjugo medlemmar), s? h?r:

(a n), n = 20

En o?ndlig progression kan k?nnas igen av ellipsen i slutet av raden, som i exemplen i den h?r lektionen.

Nu kan du l?sa uppgifterna. Uppgifterna ?r enkla, enbart f?r att f?rst? inneb?rden av en aritmetisk progression.

Exempel p? uppgifter om aritmetisk progression.

L?t oss titta p? uppgiften ovan i detalj:

1. Skriv ut de f?rsta sex termerna i den aritmetiska progressionen (a n), om a 2 = 5, d = -2,5.

Vi ?vers?tter uppgiften till ett begripligt spr?k. En o?ndlig aritmetisk progression ges. Det andra numret av denna progression ?r k?nt: a 2 = 5. Progressionsskillnaden ?r k?nd: d = -2,5. Vi m?ste hitta den f?rsta, tredje, fj?rde, femte och sj?tte termen i denna utveckling.

F?r tydlighetens skull kommer jag att skriva ner en serie enligt villkoren f?r problemet. De f?rsta sex termerna, d?r den andra termen ?r fem:

en 1, 5, en 3, en 4, en 5, en 6,....

en 3 = en 2 + d

Ers?tter till uttryck a 2 = 5 Och d = -2,5. Gl?m inte minus!

en 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Den tredje mandatperioden visade sig vara mindre ?n den andra. Allt ?r logiskt. Om antalet ?r st?rre ?n det f?reg?ende negativ v?rde, vilket inneb?r att siffran i sig blir mindre ?n den f?reg?ende. Progressionen minskar. Okej, l?t oss ta h?nsyn till det.) Vi r?knar den fj?rde termen i v?r serie:

en 4 = en 3 + d

en 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

en 5 = en 4 + d

en 5=0+(-2,5)= - 2,5

en 6 = en 5 + d

en 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

S?, termer fr?n tredje till sj?tte ber?knades. Resultatet ?r f?ljande serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Det ?terst?r att hitta den f?rsta termen en 1 enligt den v?lk?nda tv?an. Detta ?r ett steg i den andra riktningen, till v?nster.) Allts? skillnaden i den aritmetiska progressionen d b?r inte l?ggas till en 2, A ta bort:

en 1 = en 2 - d

en 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Det ?r allt. Uppgiftssvar:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

I f?rbig?ende vill jag notera att vi l?ste denna uppgift ?terkommande s?tt. Detta fruktansv?rda ord betyder bara s?kandet efter en medlem av progressionen enligt f?reg?ende (intilliggande) nummer. Vi kommer att titta p? andra s?tt att arbeta med progression nedan.

En viktig slutsats kan dras av denna enkla uppgift.

Komma ih?g:

Om vi k?nner till minst en term och skillnaden mellan en aritmetisk progression, kan vi hitta vilken term som helst f?r denna progression.

Kommer du ih?g? Denna enkla slutsats l?ter dig l?sa de flesta problem i skolkursen om detta ?mne. Alla uppgifter kretsar kring tre huvudparametrar: medlem av en aritmetisk progression, skillnad i en progression, nummer av en medlem av progressionen. Alla.

Naturligtvis ?r inte all tidigare algebra upph?vd.) Oj?mlikheter, ekvationer och andra saker ?r kopplade till progression. Men enligt sj?lva progressionen– allt kretsar kring tre parametrar.

Som ett exempel, l?t oss titta p? n?gra popul?ra uppgifter om detta ?mne.

2. Skriv den ?ndliga aritmetiska progressionen som en serie om n=5, d = 0,4 och a 1 = 3,6.

Allt ?r enkelt h?r. Allt ?r redan givet. Du m?ste komma ih?g hur medlemmarna i en aritmetisk progression r?knas, r?kna dem och skriva ner dem. Det ?r tillr?dligt att inte missa orden i uppgiftsvillkoren: "slutlig" och " n=5". F?r att inte r?kna f?rr?n du ?r helt bl? i ansiktet.) Det finns bara 5 (fem) medlemmar i denna progression:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a3 = a2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

en 4 = en 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

en 5 = en 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Det ?terst?r att skriva ner svaret:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

En annan uppgift:

3. Best?m om siffran 7 kommer att vara en del av den aritmetiska progressionen (a n), om ai = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Vem vet? Hur best?mmer man n?got?

Hur-hur... Skriv ner f?rloppet i form av en serie och se om det blir en sjua d?r eller inte! Vi r?knar:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a3 = a2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

en 4 = en 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nu syns det tydligt att vi bara ?r sju gled igenom mellan 6,5 och 7,7! Sju f?ll inte in i v?r serie av nummer, och d?rf?r kommer sju inte att vara en medlem av den givna progressionen.

Svar: nej.

Och h?r ?r ett problem baserat p? en riktig version av GIA:

4. Flera p? varandra f?ljande termer av den aritmetiska progressionen skrivs ut:

...; 15; X; 9; 6; ...

H?r ?r en serie skriven utan slut och b?rjan. Inga medlemsnummer, ingen skillnad d. Det ?r okej. F?r att l?sa problemet r?cker det att f?rst? inneb?rden av en aritmetisk progression. L?t oss titta och se vad som ?r m?jligt att veta fr?n den h?r serien? Vilka ?r de tre huvudparametrarna?

Medlemsnummer? Det finns inte ett enda nummer h?r.

Men det finns tre siffror och - uppm?rksamhet! - ord "konsekvent" i skick. Det betyder att siffrorna ?r strikt i ordning, utan luckor. Finns det tv? i den h?r raden? angr?nsande k?nda siffror? Ja, det har jag! Dessa ?r 9 och 6. D?rf?r kan vi ber?kna skillnaden mellan den aritmetiska progressionen! Subtrahera fr?n sex tidigare nummer, dvs. nio:

Det finns bara sm?saker kvar. Vilket nummer blir det f?reg?ende f?r X? Femton. Detta inneb?r att X l?tt kan hittas genom enkel addition. L?gg till skillnaden mellan den aritmetiska progressionen till 15:

Det ?r allt. Svar: x=12

Vi l?ser f?ljande problem sj?lva. Obs: dessa problem ?r inte baserade p? formler. Enbart f?r att f?rst? inneb?rden av en aritmetisk progression.) Vi skriver bara ner en serie siffror och bokst?ver, tittar och r?knar ut det.

5. Hitta den f?rsta positiva termen i den aritmetiska progressionen om a 5 = -3; d = 1,1.

6. Det ?r k?nt att talet 5,5 ?r en medlem av den aritmetiska progressionen (a n), d?r a 1 = 1,6; d = 1,3. Best?m numret n f?r denna medlem.

7. Det ?r k?nt att i aritmetisk progression a 2 = 4; a 5 = 15,1. Hitta en 3:a.

8. Flera p? varandra f?ljande termer av den aritmetiska progressionen skrivs ut:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Hitta termen f?r progressionen som anges med bokstaven x.

9. T?get b?rjade r?ra sig fr?n stationen och ?kade j?mnt hastigheten med 30 meter per minut. Vilken hastighet har t?get om fem minuter? Ge ditt svar i km/timme.

10. Det ?r k?nt att i aritmetisk progression a 2 = 5; a 6 = -5. Hitta en 1.

Svar (i oordning): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Har allt l?st sig? Underbart! Du kan bem?stra aritmetisk progression p? en h?gre niv? i f?ljande lektioner.

Har inte allt l?st sig? inga problem. I Special Section 555 sorteras alla dessa problem ut bit f?r bit.) Och naturligtvis beskrivs en enkel praktisk teknik som omedelbart belyser l?sningen p? s?dana uppgifter tydligt, tydligt, med ett ?gonkast!

I t?gpusslet finns f?rresten tv? problem som folk ofta snubblar ?ver. Den ena ?r enbart i termer av progression, och den andra ?r generell f?r alla problem inom matematik och fysik ocks?. Detta ?r en ?vers?ttning av dimensioner fr?n en till en annan. Det visar hur dessa problem ska l?sas.

I den h?r lektionen tittade vi p? den element?ra betydelsen av en aritmetisk progression och dess huvudparametrar. Detta ?r tillr?ckligt f?r att l?sa n?stan alla problem i detta ?mne. Till?gga d till siffrorna, skriv en serie, allt kommer att l?sas.

Fingerl?sningen fungerar bra f?r mycket korta delar av en rad, som i exemplen i denna handledning. Om serien ?r l?ngre blir ber?kningarna mer komplicerade. Till exempel, om vi i uppgift 9 i fr?gan byter ut "fem minuter" p? "trettiofem minuter" problemet kommer att bli betydligt v?rre.)

Och det finns ocks? uppgifter som ?r enkla i grunden, men absurda n?r det g?ller ber?kningar, till exempel:

En aritmetisk progression (a n) ges. Hitta en 121 om a 1 =3 och d=1/6.

S? vad ska vi l?gga till 1/6 m?nga, m?nga g?nger?! Du kan ta livet av dig!?

Det kan du.) Om du inte kan en enkel formel med vilken du kan l?sa s?dana uppgifter p? en minut. Denna formel kommer att finnas i n?sta lektion. Och det h?r problemet ?r l?st d?r. Om en minut.)

Om du gillar den h?r sidan...

F?rresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser f?r dig.)

Du kan tr?na p? att l?sa exempel och ta reda p? din niv?. Testning med omedelbar verifiering. L?t oss l?ra oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Konceptet med en talsekvens inneb?r att varje naturligt tal motsvarar n?got verkligt v?rde. En s?dan nummerserie kan antingen vara godtycklig eller ha vissa egenskaper - en progression. I det senare fallet kan varje efterf?ljande element (medlem) i sekvensen ber?knas med den f?reg?ende.

En aritmetisk progression ?r en sekvens av numeriska v?rden d?r dess n?rliggande medlemmar skiljer sig fr?n varandra med samma nummer (alla element i serien, fr?n och med den andra, har en liknande egenskap). Detta tal - skillnaden mellan f?reg?ende och efterf?ljande termer - ?r konstant och kallas progressionsskillnaden.

Progressionsskillnad: definition

Betrakta en sekvens som best?r av j-v?rden A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j tillh?r m?ngden naturliga tal N. En aritmetik progression, enligt dess definition, ?r en sekvens , d?r a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. V?rdet d ?r den ?nskade skillnaden f?r denna utveckling.

d = a(j) - a(j-1).

Markera:

• En ?kande progression, i vilket fall d > 0. Exempel: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Minskande progression, sedan d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Skillnadsprogression och dess godtyckliga element

Om 2 godtyckliga termer av progressionen ?r k?nda (i-th, k-th), kan skillnaden f?r en given sekvens best?mmas baserat p? f?rh?llandet:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, vilket betyder d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Skillnad i progression och dess f?rsta termin

Detta uttryck hj?lper till att best?mma ett ok?nt v?rde endast i fall d?r numret p? sekvenselementet ?r k?nt.

Progressionsskillnad och dess summa

Summan av en progression ?r summan av dess termer. F?r att ber?kna det totala v?rdet av dess f?rsta j-element, anv?nd l?mplig formel:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, men sedan a(j) = a(1) + d(j – 1), sedan S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Ing?ngsniv?

Aritmetisk progression. Detaljerad teori med exempel (2019)

Nummerf?ljd

S? l?t oss s?tta oss ner och b?rja skriva n?gra siffror. Till exempel:
Du kan skriva vilka siffror som helst, och det kan finnas hur m?nga som helst (i v?rt fall finns det dem). Oavsett hur m?nga siffror vi skriver kan vi alltid s?ga vilket som ?r f?rst, vilket som ?r tv?a, och s? vidare tills det sista, det vill s?ga vi kan numrera dem. Detta ?r ett exempel p? en nummersekvens:

Nummerf?ljd
Till exempel f?r v?r sekvens:

Det tilldelade numret ?r specifikt f?r endast ett nummer i sekvensen. Det finns med andra ord inga tresekundersnummer i sekvensen. Den andra siffran (som det th siffran) ?r alltid densamma.
Numret med nummer kallas den :e termen i sekvensen.

Vi brukar kalla hela sekvensen med n?gon bokstav (till exempel), och varje medlem i denna sekvens ?r samma bokstav med ett index som ?r lika med numret p? denna medlem: .

I v?rt fall:

L?t oss s?ga att vi har en talf?ljd d?r skillnaden mellan intilliggande tal ?r densamma och lika.
Till exempel:

etc.
Denna talsekvens kallas en aritmetisk progression.
Termen "progression" introducerades av den romerske f?rfattaren Boethius redan p? 600-talet och uppfattades i en vidare mening som en o?ndlig numerisk sekvens. Namnet "aritmetik" ?verf?rdes fr?n teorin om kontinuerliga proportioner, som studerades av de gamla grekerna.

Detta ?r en nummersekvens d?r varje medlem ?r lika med den f?reg?ende som l?ggs till samma nummer. Detta tal kallas skillnaden f?r en aritmetisk progression och betecknas.

F?rs?k att avg?ra vilka talsekvenser som ?r en aritmetisk progression och vilka som inte ?r det:

a)
b)
c)
d)

Har du det? L?t oss j?mf?ra v?ra svar:
?r aritmetisk progression - b, c.
?r inte aritmetisk progression - a, d.

L?t oss ?terg? till den givna progressionen () och f?rs?ka hitta v?rdet av dess :e term. Finns tv? s?tt att hitta det.

1. Metod

Vi kan l?gga till progressionsnumret till det f?reg?ende v?rdet tills vi n?r progressionens tredje term. Det ?r bra att vi inte har s? mycket att sammanfatta - bara tre v?rden:

S?, den e termen i den beskrivna aritmetiska progressionen ?r lika med.

2. Metod

T?nk om vi beh?vde hitta v?rdet av progressionens tredje term? Summeringen skulle ta oss mer ?n en timme, och det ?r inte ett faktum att vi inte skulle g?ra misstag n?r vi l?gger till siffror.
Naturligtvis har matematiker kommit p? ett s?tt d?r det inte ?r n?dv?ndigt att l?gga till skillnaden mellan en aritmetisk progression till det tidigare v?rdet. Titta n?rmare p? den ritade bilden... Du har s?kert redan lagt m?rke till ett visst m?nster, n?mligen:

L?t oss till exempel se vad v?rdet av den e termen i denna aritmetiska progression best?r av:


Med andra ord:

F?rs?k sj?lv hitta v?rdet av en medlem av en given aritmetisk progression p? detta s?tt.

Har du r?knat? J?mf?r dina anteckningar med svaret:

Observera att du fick exakt samma nummer som i den f?reg?ende metoden, n?r vi sekventiellt lade till termerna f?r den aritmetiska progressionen till det f?reg?ende v?rdet.
L?t oss f?rs?ka "avpersonifiera" denna formel - l?t oss s?tta den i allm?n form och f?:

Aritmetisk progressionsekvation.

Aritmetiska progressioner kan vara ?kande eller minskande.

?kande- f?rlopp d?r varje efterf?ljande v?rde av termerna ?r st?rre ?n det f?reg?ende.
Till exempel:

Fallande- f?rlopp d?r varje efterf?ljande v?rde av termerna ?r mindre ?n det f?reg?ende.
Till exempel:

Den h?rledda formeln anv?nds vid ber?kning av termer i b?de ?kande och minskande termer av en aritmetisk progression.
L?t oss kontrollera detta i praktiken.
Vi f?r en aritmetisk progression som best?r av f?ljande siffror: L?t oss kontrollera vad det e talet i denna aritmetiska progression kommer att bli om vi anv?nder v?r formel f?r att ber?kna det:

Sedan dess:

S?ledes ?r vi ?vertygade om att formeln fungerar i b?de minskande och ?kande aritmetisk progression.
F?rs?k sj?lv hitta de e och e termerna f?r denna aritmetiska progression.

L?t oss j?mf?ra resultaten:

Aritmetisk progressionsegenskap

L?t oss komplicera problemet - vi kommer att h?rleda egenskapen f?r aritmetisk progression.
L?t oss s?ga att vi f?r f?ljande villkor:
- aritmetisk progression, hitta v?rdet.
L?tt, s?ger du och b?rjar r?kna enligt formeln du redan k?nner till:

L?t, ah, d?:

Helt sant. Det visar sig att vi f?rst hittar, sedan l?gger vi till det f?rsta numret och f?r det vi letar efter. Om progressionen representeras av sm? v?rden, s? ?r det inget komplicerat med det, men vad h?nder om vi f?r siffror i tillst?ndet? H?ller med, det finns en m?jlighet att g?ra fel i ber?kningarna.
Fundera nu p? om det ?r m?jligt att l?sa detta problem i ett steg med n?gon formel? Naturligtvis ja, och det ?r vad vi ska f?rs?ka f? fram nu.

L?t oss beteckna den n?dv?ndiga termen f?r den aritmetiska progressionen som formeln f?r att hitta den ?r k?nd f?r oss - detta ?r samma formel som vi h?rledde i b?rjan:
, Sedan:

• f?reg?ende termin av progressionen ?r:
• n?sta termin av progressionen ?r:

L?t oss summera de f?reg?ende och efterf?ljande termerna f?r progressionen:

Det visar sig att summan av f?reg?ende och efterf?ljande termer av progressionen ?r det dubbla v?rdet av progressionstermen som ligger mellan dem. Med andra ord, f?r att hitta v?rdet av en progressionsterm med k?nda tidigare och successiva v?rden m?ste du l?gga till dem och dividera med.

Det st?mmer, vi fick samma nummer. L?t oss s?kra materialet. Ber?kna v?rdet f?r progressionen sj?lv, det ?r inte alls sv?rt.

Bra gjort! Du vet n?stan allt om progression! Det ?terst?r att ta reda p? bara en formel, som enligt legenden l?tt h?rleddes f?r sig sj?lv av en av de st?rsta matematikerna genom tiderna, "matematikernas kung" - Karl Gauss ...

N?r Carl Gauss var 9 ?r gammal fr?gade en l?rare, upptagen med att kontrollera elevernas arbete i andra klasser, f?ljande uppgift i klassen: "Ber?kna summan av alla naturliga tal fr?n till (enligt andra k?llor till) inklusive." F?rest?ll dig l?rarens f?rv?ning n?r en av hans elever (det h?r var Karl Gauss) en minut senare gav r?tt svar p? uppgiften, medan de flesta av v?ghalsens klasskamrater, efter l?nga ber?kningar, fick fel resultat...

Unge Carl Gauss m?rkte ett visst m?nster som du ocks? l?tt kan l?gga m?rke till.
L?t oss s?ga att vi har en aritmetisk progression som best?r av -th termer: Vi m?ste hitta summan av dessa termer av den aritmetiska progressionen. Naturligtvis kan vi manuellt summera alla v?rden, men t?nk om uppgiften kr?ver att man hittar summan av dess termer, som Gauss letade efter?

L?t oss skildra den utveckling vi f?tt. Ta en n?rmare titt p? de markerade siffrorna och f?rs?k utf?ra olika matematiska operationer med dem.


Har du provat det? Vad m?rkte du? R?tt! Deras summor ?r lika

S?g mig nu, hur m?nga s?dana par finns det totalt i den progression som vi f?tt? Naturligtvis exakt h?lften av alla siffror, allts?.
Baserat p? det faktum att summan av tv? termer i en aritmetisk progression ?r lika, och liknande par ?r lika, f?r vi att den totala summan ?r lika med:
.
S?ledes kommer formeln f?r summan av de f?rsta termerna i varje aritmetisk progression att vara:

I vissa problem k?nner vi inte till den e termen, men vi vet skillnaden i progressionen. F?rs?k att ers?tta formeln f?r den e termen i summaformeln.
Vad fick du?

Bra gjort! L?t oss nu ?terg? till problemet som st?lldes till Carl Gauss: ber?kna sj?lv vad summan av talen som b?rjar p? -th ?r lika med och summan av talen som b?rjar fr?n -th.

Hur mycket fick du?
Gauss fann att summan av termerna ?r lika, och summan av termerna. Var det det du best?mde dig f?r?

Faktum ?r att formeln f?r summan av termerna f?r en aritmetisk progression bevisades av den antika grekiska vetenskapsmannen Diophantus redan p? 300-talet, och under hela denna tid utnyttjade kvicka m?nniskor till fullo egenskaperna hos den aritmetiska progressionen.
F?rest?ll dig till exempel det antika Egypten och d?tidens st?rsta byggprojekt - byggandet av en pyramid... Bilden visar en sida av den.

Var ?r utvecklingen h?r s?ger du? Titta noga och hitta ett m?nster i antalet sandblock i varje rad av pyramidv?ggen.


Varf?r inte en aritmetisk progression? Ber?kna hur m?nga block som beh?vs f?r att bygga en v?gg om blockstenar placeras vid basen. Jag hoppas att du inte r?knar n?r du flyttar fingret ?ver monitorn, kommer du ih?g den senaste formeln och allt vi sa om aritmetisk progression?

I det h?r fallet ser utvecklingen ut s? h?r: .
Aritmetisk progressionsskillnad.
Antalet termer i en aritmetisk progression.
L?t oss ers?tta v?ra data med de sista formlerna (ber?kna antalet block p? 2 s?tt).

Metod 1.

Metod 2.

Och nu kan du ber?kna p? monitorn: j?mf?r de erh?llna v?rdena med antalet block som finns i v?r pyramid. Har du det? Bra gjort, du har bem?strat summan av de n:te termerna i en aritmetisk progression.
Naturligtvis kan du inte bygga en pyramid fr?n block vid basen, men fr?n? F?rs?k att ber?kna hur m?nga sandtegel som beh?vs f?r att bygga en v?gg med detta tillst?nd.
Klarade du dig?
R?tt svar ?r block:

Utbildning

Uppgifter:

1. Masha kommer i form inf?r sommaren. Varje dag ?kar hon antalet kn?b?j med. Hur m?nga g?nger kommer Masha att k?ra kn?b?j p? en vecka om hon k?rde kn?b?j under det f?rsta tr?ningspasset?
2. Vad ?r summan av alla udda tal som finns i.
3. Vid lagring av stockar staplar loggare dem p? ett s?dant s?tt att varje ?versta lager inneh?ller en stock mindre ?n den f?reg?ende. Hur m?nga stockar ?r det i ett murverk, om murverkets grund ?r stockar?

Svar:

1. L?t oss definiera parametrarna f?r den aritmetiska progressionen. I det h?r fallet
   (veckor = dagar).

   Svar: Om tv? veckor ska Masha g?ra kn?b?j en g?ng om dagen.

2. F?rsta udda nummer, sista nummer.
   Aritmetisk progressionsskillnad.
   Antalet udda tal i ?r h?lften, men l?t oss kontrollera detta faktum med hj?lp av formeln f?r att hitta den tredje termen i en aritmetisk progression:

   Siffror inneh?ller udda tal.
   L?t oss ers?tta den tillg?ngliga informationen i formeln:

   Svar: Summan av alla udda tal som finns i ?r lika.

3. L?t oss komma ih?g problemet med pyramider. F?r v?rt fall, en , eftersom varje ?versta lager reduceras med en stock, s? finns det totalt ett g?ng lager, det vill s?ga.
   L?t oss ers?tta data i formeln:

   Svar: Det finns stockar i murverket.

L?t oss sammanfatta det

1. - en talf?ljd d?r skillnaden mellan angr?nsande tal ?r densamma och lika. Det kan vara ?kande eller minskande.
2. Hitta formel Den e termen i en aritmetisk progression skrivs av formeln - , d?r ?r antalet tal i progressionen.
3. Egenskapen f?r medlemmar i en aritmetisk progression- - var ?r antalet siffror p? g?ng.
4. Summan av termerna f?r en aritmetisk progression kan hittas p? tv? s?tt:
   
   , var ?r antalet v?rden.

ARITMETISK PROGRESSION. MEDELNIV?

Nummerf?ljd

L?t oss s?tta oss ner och b?rja skriva n?gra siffror. Till exempel:

Du kan skriva vilka siffror som helst, och det kan finnas hur m?nga som helst. Men vi kan alltid s?ga vilken som ?r f?rst, vilken som ?r tv?a och s? vidare, det vill s?ga vi kan numrera dem. Detta ?r ett exempel p? en nummersekvens.

Nummerf?ljd?r en upps?ttning nummer som vart och ett kan tilldelas ett unikt nummer.

Med andra ord kan varje nummer associeras med ett visst naturligt tal, och ett unikt. Och vi kommer inte att tilldela detta nummer till n?got annat nummer fr?n denna upps?ttning.

Numret med numret kallas sekvensens:e medlem.

Vi brukar kalla hela sekvensen med n?gon bokstav (till exempel), och varje medlem i denna sekvens ?r samma bokstav med ett index som ?r lika med numret p? denna medlem: .

Det ?r mycket bekv?mt om den :e termen i sekvensen kan specificeras med n?gon formel. Till exempel formeln

st?ller in sekvensen:

Och formeln ?r f?ljande sekvens:

Till exempel ?r en aritmetisk progression en sekvens (den f?rsta termen h?r ?r lika, och skillnaden ?r det). Eller (, skillnad).

Formel n:te termen

Vi kallar en formel ?terkommande d?r du, f?r att ta reda p? den e termen, beh?ver k?nna till de f?reg?ende eller flera tidigare:

F?r att till exempel hitta den:e termen i progressionen med denna formel m?ste vi ber?kna de f?reg?ende nio. Till exempel, l?t det. Sedan:

N?v?l, ?r det klart nu vad formeln ?r?

I varje rad l?gger vi till, multiplicerat med n?got tal. Vilken? Mycket enkelt: detta ?r numret p? den nuvarande medlemmen minus:

Mycket bekv?mare nu, eller hur? Vi kontrollerar:

Best?m sj?lv:

I en aritmetisk progression, hitta formeln f?r den n:e termen och hitta den hundrade termen.

L?sning:

Den f?rsta termen ?r lika. Vad ?r skillnaden? H?r ?r vad:

(Det ?r d?rf?r det kallas skillnad eftersom det ?r lika med skillnaden mellan successiva termer av progressionen).

S? formeln:

D? ?r den hundrade termen lika med:

Vad ?r summan av alla naturliga tal fr?n till?

Enligt legenden ber?knade den store matematikern Carl Gauss, som en 9-?rig pojke, denna m?ngd p? n?gra minuter. Han m?rkte att summan av de f?rsta och sista siffrorna ?r lika, summan av den andra och den n?st sista ?r densamma, summan av den tredje och 3:e fr?n slutet ?r densamma, och s? vidare. Hur m?nga s?dana par finns det totalt? Det st?mmer, exakt h?lften av alla siffror, allts?. S?,

Den allm?nna formeln f?r summan av de f?rsta termerna i varje aritmetisk progression kommer att vara:

Exempel:
Hitta summan av alla tv?siffriga multiplar.

L?sning:

Det f?rsta s?dana numret ?r detta. Varje efterf?ljande nummer erh?lls genom att l?gga till f?reg?ende nummer. S?ledes bildar talen vi ?r intresserade av en aritmetisk progression med den f?rsta termen och skillnaden.

Formel f?r den e termen f?r denna progression:

Hur m?nga termer finns det i progressionen om alla m?ste vara tv?siffriga?

Mycket l?tt: .

Den sista terminen av progressionen kommer att vara lika. Sedan summan:

Svar: .

Best?m nu sj?lv:

1. Varje dag springer idrottaren fler meter ?n f?reg?ende dag. Hur m?nga kilometer totalt kommer han att springa p? en vecka, om han den f?rsta dagen sprang km m?
2. En cyklist f?rdas fler kilometer varje dag ?n f?reg?ende dag. F?rsta dagen reste han km. Hur m?nga dagar beh?ver han resa f?r att klara en kilometer? Hur m?nga kilometer kommer han att resa under den sista dagen av sin resa?
3. Priset p? ett kylsk?p i butik minskar lika mycket varje ?r. Best?m hur mycket priset p? ett kylsk?p minskade varje ?r om det, s?ljs f?r rubel, sex ?r senare s?ldes f?r rubel.

Svar:

1. Det viktigaste h?r ?r att k?nna igen den aritmetiska progressionen och best?mma dess parametrar. I det h?r fallet (veckor = dagar). Du m?ste best?mma summan av de f?rsta termerna i denna progression:
   .
   Svar:
2. H?r anges: , m?ste hittas.
   Sj?lvklart m?ste du anv?nda samma summaformel som i f?reg?ende problem:
   .
   Byt ut v?rdena:

   Roten passar uppenbarligen inte, s? svaret ?r.
   L?t oss ber?kna v?gen tillryggalagd den senaste dagen med hj?lp av formeln f?r den e termen:
   (km).
   Svar:

3. Givet: . Hitta: .
   Det kan inte vara enklare:
   (gnugga).
   Svar:

ARITMETISK PROGRESSION. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA

Detta ?r en nummersekvens d?r skillnaden mellan intilliggande tal ?r densamma och lika.

Aritmetisk progression kan vara ?kande () och minskande ().

Till exempel:

Formel f?r att hitta den n:e termen i en aritmetisk progression

skrivs av formeln, d?r ?r antalet siffror p? g?ng.

Egenskapen f?r medlemmar i en aritmetisk progression

Det l?ter dig enkelt hitta en term f?r en progression om dess n?rliggande termer ?r k?nda - var ?r antalet siffror i progressionen.

Summan av termer av en aritmetisk progression

Det finns tv? s?tt att hitta beloppet:

Var ?r antalet v?rden.

Var ?r antalet v?rden.