L?t oss titta p? bilden. Vektorn \(AB\) har "v?ntat" relativt punkten \(A\) med en viss m?ngd. S? m?ttet p? denna rotation i f?rh?llande till den ursprungliga positionen kommer att vara vinkel \(\alfa\).

Vad mer beh?ver du veta om begreppet vinkel? Jo, naturligtvis, vinkelenheter!

Vinkel, i b?de geometri och trigonometri, kan m?tas i grader och radianer.

En vinkel p? \(1()^\circ \) (en grad) ?r den centrala vinkeln i en cirkel omsluten av en cirkelb?ge lika med \(\dfrac(1)(360) \) del av cirkeln.

Hela cirkeln best?r allts? av \(360\) "bitar" av cirkelb?gar, eller s? ?r vinkeln som beskrivs av cirkeln \(360()^\cirkel \) .

Det vill s?ga att figuren ovan visar en vinkel \(\beta \) lika med \(50()^\cirkel \), det vill s?ga denna vinkel vilar p? en cirkelb?ge som m?ter \(\dfrac(50)(360) \ ) omkretsen.

En vinkel i \(1\) radianer ?r den centrala vinkeln i en cirkel omsluten av en cirkelb?ge vars l?ngd ?r lika med cirkelns radie.

S?, figuren visar en vinkel \(\gamma \) lika med \(1 \) radianer, det vill s?ga denna vinkel vilar p? en cirkelb?ge, vars l?ngd ?r lika med radien p? cirkeln (l?ngden \( AB \) ?r lika med l?ngden \(BB" \) eller radien \(r\) ?r lika med l?ngden p? b?gen \(l\)) S?lunda ber?knas b?gens l?ngd med formeln:

\(l=\theta \cdot r\) , d?r \(\theta \) ?r den centrala vinkeln i radianer.

Tja, n?r du vet detta, kan du svara p? hur m?nga radianer som finns i vinkeln som beskrivs av cirkeln? Ja, f?r detta m?ste du komma ih?g formeln f?r omkrets. H?r ?r hon:

\(L=2\pi \cdot r\)

N?v?l, l?t oss nu korrelera dessa tv? formler och hitta att vinkeln som beskrivs av cirkeln ?r lika med \(2\pi \) . Det vill s?ga, genom att korrelera v?rdet i grader och radianer finner vi att \(2\pi =360()^\circ \) . F?ljaktligen \(\pi =180()^\circ \) . Som du kan se, till skillnad fr?n "grader", utel?mnas ordet "radian", eftersom m?ttenheten vanligtvis framg?r av sammanhanget.

Vinklar m?ts i grader eller radianer. Det ?r viktigt att f?rst? sambandet mellan dessa m?ttenheter. Genom att f?rst? detta f?rh?llande kan du arbeta med vinklar och g?ra ?verg?ngen fr?n grader till radianer och tillbaka. I den h?r artikeln kommer vi att h?rleda en formel f?r att omvandla grader till radianer och radianer till grader, och ?ven titta p? flera praktiska exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Samband mellan grader och radianer

F?r att fastst?lla sambandet mellan grader och radianer ?r det n?dv?ndigt att k?nna till graden och radianm?ttet f?r en vinkel. Ta till exempel den centrala vinkeln, som ?r baserad p? diametern p? en cirkel med radien r. F?r att ber?kna radianm?ttet f?r denna vinkel ?r det n?dv?ndigt att dividera l?ngden p? b?gen med l?ngden p? cirkelns radie. Den aktuella vinkeln motsvarar en b?gl?ngd lika med halva omkretsen p·r. Dividera l?ngden p? b?gen med radien och f? radianm?ttet p? vinkeln: p · r r = p rad.

S? vinkeln i fr?ga ?r p radianer. ? andra sidan ?r det en omv?nd vinkel lika med 180°. D?rf?r 180° = p rad.

Samband mellan grader och radianer

F?rh?llandet mellan radianer och grader uttrycks med formeln

p radian = 180°

Formler f?r omvandling av radianer till grader och vice versa

Fr?n formeln som erh?llits ovan kan du h?rleda andra formler f?r att konvertera vinklar fr?n radianer till grader och fr?n grader till radianer.

L?t oss uttrycka en radian i grader. F?r att g?ra detta, dividera v?nster och h?ger sida av radien med pi.

1 r a d = 180 p ° - gradm?ttet f?r en vinkel p? 1 radian ?r lika med 180 p.

Du kan ocks? uttrycka en grad i radianer.

1° = p 180 r a d

Du kan g?ra ungef?rliga ber?kningar av vinkelv?rden i radianer och vice versa. F?r att g?ra detta, ta v?rdena f?r talet p med en noggrannhet p? tio tusendelar och ers?tt dem i de resulterande formlerna.

1 r a d = 180 p ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2956 °

S? det finns ungef?r 57 grader i en radian

1° = p 180 r a d = 3,1416 180 r a d = 0,0175 r a d

En grad inneh?ller 0,0175 radianer.

Formel f?r omvandling av radianer till grader

x r a d = x 180 p °

F?r att omvandla en vinkel fr?n radianer till grader m?ste du multiplicera vinkeln i radianer med 180 och dividera med pi.

Exempel p? omvandling av grader till radianer och radianer till grader

L?t oss titta p? ett exempel.

Exempel 1. Konvertering fr?n radianer till grader

L?t a = 3,2 rad. Vi m?ste ta reda p? gradm?ttet f?r denna vinkel.

Gradm?tt p? vinkel. Radianm?tt p? vinkel. Konvertera grader till radianer och vice versa.

Uppm?rksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
F?r dem som ?r v?ldigt "inte s?rskilt..."
Och f?r dem som "mycket...")

I f?reg?ende lektion l?rde vi oss hur man m?ter vinklar p? en trigonometrisk cirkel. L?rde sig hur man r?knar positiva och negativa vinklar. Vi l?rde oss hur man ritar en vinkel st?rre ?n 360 grader. Det ?r dags att ta reda p? hur man m?ter vinklar. Speciellt med numret "Pi", som str?var efter att f?rvirra oss i kluriga uppgifter, ja...

Standardproblem inom trigonometri med talet "Pi" l?ses bra. Visuellt minne hj?lper. Men varje avvikelse fr?n mallen ?r en katastrof! F?r att undvika att falla - f?rst? n?dv?ndig. Vilket ?r vad vi kommer att g?ra nu med framg?ng. Jag menar, vi kommer att f?rst? allt!

S?, Vad r?knas vinklar? I skolans trigonometrikurs anv?nds tv? m?tt: gradm?tt p? vinkel Och radianvinkelm?tt. L?t oss titta p? dessa ?tg?rder. Utan detta finns det ingenstans i trigonometri.

Gradm?tt p? vinkel.

Vi vande oss p? n?got s?tt vid grader. ?tminstone klarade vi geometri... Och i livet st?ter vi ofta p? uttrycket "v?nt 180 grader", till exempel. En examen ?r kort sagt en enkel sak...

Ja? Svara mig d? vad ?r en examen? Vad?, det g?r inte direkt? Det ?r allt...

Grader uppfanns i det antika Babylon. Det var l?nge sedan... 40 ?rhundraden sedan... Och de kom p? en enkel id?. De tog och delade cirkeln i 360 lika delar. 1 grad ?r 1/360 av en cirkel. Det ?r allt. De kunde ha delat upp den i 100 bitar. Eller 1000. Men de delade upp det i 360. F?rresten, varf?r just 360? Hur ?r 360 b?ttre ?n 100? 100 verkar vara smidigare p? n?got s?tt... F?rs?k att svara p? den h?r fr?gan. Eller svag mot det antika Babylon?

N?gonstans samtidigt, i det antika Egypten, pl?gades de av en annan fr?ga. Hur m?nga g?nger ?r l?ngden p? en cirkel st?rre ?n l?ngden p? dess diameter? Och de m?tte det p? det h?r s?ttet, och p? det s?ttet... Allt visade sig vara lite mer ?n tre. Men p? n?got s?tt blev det lurvigt, oj?mnt... Men de, egyptierna, ?r inte skyldiga. Efter dem led de i ytterligare 35 ?rhundraden. Tills de ?ntligen bevisade att hur fint du ?n sk?r en cirkel i lika stora bitar, av s?dana bitar kan du g?ra sl?t l?ngden p? diametern ?r om?jlig... I princip ?r det om?jligt. Tja, hur m?nga g?nger omkretsen ?r st?rre ?n vad diametern fastst?lldes, f?rst?s. Ungef?r. 3,1415926... g?nger.

Detta ?r numret "Pi". S? lurvig, s? lurvig. Efter decimalkomma finns ett o?ndligt antal tal utan n?gon ordning... S?dana tal kallas irrationella. Detta betyder f?rresten att fr?n lika delar av en cirkel diametern sl?t vik inte. Aldrig.

F?r praktiskt bruk ?r det vanligt att bara komma ih?g tv? siffror efter decimalkomma. Kom ih?g:

Eftersom vi f?rst?r att omkretsen av en cirkel ?r st?rre ?n dess diameter med "Pi" g?nger, ?r det vettigt att komma ih?g formeln f?r omkretsen av en cirkel:

Var L- omkrets, och d- dess diameter.

Anv?ndbar i geometri.

F?r allm?n utbildning ska jag till?gga att talet "Pi" inte bara finns i geometrin... I olika grenar av matematiken, och s?rskilt i sannolikhetsteorin, f?rekommer detta tal konstant! Av sig sj?lv. Bortom v?ra ?nskningar. S? h?r.

Men l?t oss ?terg? till grader. Har du kommit p? varf?r cirkeln i det antika Babylon delades upp i 360 lika delar? Och inte med 100 till exempel? Nej? OK. Jag ska ge dig en version. Du kan inte fr?ga de forntida babylonierna ... F?r konstruktion, eller, s?g, astronomi, ?r det bekv?mt att dela cirkeln i lika delar. Ta nu reda p? vilka tal den ?r delbar med fullst?ndigt 100, och vilka - 360? Och i vilken version av dessa divisorer fullst?ndigt- Mer? Denna uppdelning ?r mycket bekv?m f?r m?nniskor. Men...

Som det visade sig mycket senare ?n det antika Babylon, gillar inte alla grader. H?gre matematik gillar dem inte... H?gre matematik ?r en seri?s dam, organiserad enligt naturlagarna. Och den h?r damen f?rklarar: "Idag br?t du cirkeln i 360 delar, imorgon kommer du att dela upp den till 100, i ?vermorgon till 245... Och vad ska jag g?ra? Nej, verkligen..." Jag var tvungen att lyssna. Du kan inte lura naturen...

Vi var tvungna att inf?ra ett m?tt p? vinkeln som inte berodde p? m?nskliga uppfinningar. Tr?ffa - radian!

Radianm?tt p? vinkel.

Vad ?r en radian? Definitionen av en radian ?r fortfarande baserad p? en cirkel. En vinkel p? 1 radian ?r en vinkel som sk?r en b?ge fr?n en cirkel vars l?ngd ?r ( L) ?r lika med l?ngden p? radien ( R). L?t oss titta p? bilderna.

En s? liten vinkel, den ?r n?stan obefintlig... Vi flyttar mark?ren ?ver bilden (eller trycker p? bilden p? surfplattan) och vi ser ungef?r en radian. L = R

K?nner du skillnaden?

En radian ?r mycket mer ?n en grad. Hur m?nga g?nger?

L?t oss titta p? n?sta bild. P? vilken jag ritade en halvcirkel. Den utvikta vinkeln ?r naturligtvis 180°.

Nu ska jag sk?ra den h?r halvcirkeln i radianer! Vi f?r mark?ren ?ver bilden och ser att 180° passar 3 och en halv radianer.

Vem kan gissa vad denna svans ?r lika med!?

Ja! Denna svans ?r 0,1415926.... Hej, nummer "Pi", vi har inte gl?mt dig ?n!

180° grader inneh?ller faktiskt 3,1415926... radianer. Som du sj?lv f?rst?r ?r det obekv?mt att skriva 3.1415926 hela tiden... D?rf?r, ist?llet f?r detta o?ndliga antal, skriver de alltid enkelt:

Men p? Internet numret

Det ?r obekv?mt att skriva... Det ?r d?rf?r jag skriver hans namn i texten - "Pi". Bli inte f?rvirrad, okej?...

Nu kan vi skriva ner en ungef?rlig likhet p? ett helt meningsfullt s?tt:

Eller exakt j?mst?lldhet:

L?t oss avg?ra hur m?nga grader som finns i en radian. Hur? L?tt! Om det finns 180° grader i 3,14 radianer, s? ?r det 3,14 g?nger mindre i 1 radian! Det vill s?ga, vi dividerar den f?rsta ekvationen (formeln ?r ocks? en ekvation!) med 3,14:

Detta f?rh?llande ?r anv?ndbart att komma ih?g. En radian ?r ungef?r 60°. Inom trigonometri m?ste man ofta uppskatta och bed?ma situationen. Det ?r h?r denna kunskap hj?lper mycket.

Men den huvudsakliga f?rdigheten i detta ?mne ?r konvertera grader till radianer och vice versa.

Om vinkeln anges i radianer med siffran "Pi", ?r allt v?ldigt enkelt. Vi vet att "Pi" radianer = 180°. S? vi ers?tter "Pi" med radianer - 180°. Vi f?r vinkeln i grader. Vi minskar det som minskar, och svaret ?r klart. Vi m?ste till exempel ta reda p? hur m?nga grader i vinkel "Pi"/2 radian? S? vi skriver:

Eller ett mer exotiskt uttryck:

L?tt, eller hur?

Den omv?nda ?vers?ttningen ?r lite mer komplicerad. Men inte mycket. Om vinkeln anges i grader m?ste vi r?kna ut vad en grad ?r lika med i radianer och multiplicera det talet med antalet grader. Vad ?r 1° lika med i radianer?

Vi tittar p? formeln och inser att om 180° = "Pi" radianer, s? ?r 1° 180 g?nger mindre. Eller, med andra ord, vi dividerar ekvationen (en formel ?r ocks? en ekvation!) med 180. Det finns ingen anledning att representera "Pi" som 3.14, den skrivs alltid med en bokstav ?nd?. Vi finner att en grad ?r lika med:

Det ?r allt. Vi multiplicerar antalet grader med detta v?rde och f?r vinkeln i radianer. Till exempel:

Eller p? liknande s?tt:

Som du kan se, i ett lugnt samtal med lyriska utvikningar, visade det sig att radianer ?r v?ldigt enkla. Och ?vers?ttningen ?r inga problem... Och "Pi" ?r en helt acceptabel grej... S? var kommer f?rvirringen ifr?n!?

Jag ska avsl?ja hemligheten. Faktum ?r att i trigonometriska funktioner skrivs gradsymbolen. Alltid. Till exempel sin35°. Detta ?r sinus 35 grader . Och radianikonen ( glad) - inte skrivet! Det ?r underf?rst?tt. Antingen var matematiker ?verv?ldigade av l?ttja, eller n?got annat... Men de best?mde sig f?r att inte skriva. Om det inte finns n?gra symboler inuti sinuskotangensen ?r vinkeln det i radianer ! Till exempel ?r cos3 cosinus av tre radianer .

Detta leder till f?rvirring... En person ser "Pi" och tror att det ?r 180°. N?r som helst och var som helst. Det h?r fungerar f?rresten. Tills vidare ?r exemplen standard. Men "Pi" ?r ett nummer! Siffran ?r 3,14, men inte grader! Detta ?r "Pi" radianer = 180°!

?n en g?ng: "Pi" ?r en siffra! 3.14. Irrationellt, men en siffra. Samma som 5 eller 8. Du kan till exempel g?ra om "Pi"-steg. Tre steg och lite till. Eller k?p "Pi" kilogram godis. Om en utbildad s?ljare st?ter p?...

"Pi" ?r ett nummer! Vad, irriterade jag dig med den h?r frasen? Har du redan f?rst?tt allt f?r l?nge sedan? OK. L?t oss kolla. S?g mig, vilket nummer ?r h?gst?

Eller vad ?r mindre?

Det h?r ?r en av en serie lite icke-standardiserade fr?gor som kan driva dig i dvala...

Om du ocks? har fallit i dvala, kom ih?g besv?rjelsen: "Pi" ?r en siffra! 3.14. I den allra f?rsta sinus st?r det tydligt att vinkeln ?r i grader! D?rf?r ?r det om?jligt att ers?tta "Pi" med 180°! "Pi" grader ?r ungef?r 3,14°. D?rf?r kan vi skriva:

Det finns inga notationer i den andra sinus. S? d?r - radianer! Det ?r h?r att ers?tta "Pi" med 180° kommer att fungera bra. Omvandling av radianer till grader, som skrivits ovan, f?r vi:

Det ?terst?r att j?mf?ra dessa tv? sinus. Vad. gl?mde hur? Med hj?lp av en trigonometrisk cirkel, f?rst?s! Rita en cirkel, rita ungef?rliga vinklar p? 60° och 1,05°. L?t oss se vilka sinus dessa vinklar har. Kort sagt, allt beskrivs som i slutet av ?mnet om den trigonometriska cirkeln. P? en cirkel (?ven den sneda!) kommer det att synas tydligt att sin 60° betydligt mer ?n sin 1,05°.

Vi kommer att g?ra exakt samma sak med cosinus. P? cirkeln ritar du vinklar p? cirka 4 grader och 4 radian(Har du gl?mt vad 1 radian ?r ungef?r lika med?). Cirkeln kommer att s?ga allt! Naturligtvis ?r cos4 mindre ?n cos4°.

L?t oss ?va p? att anv?nda vinkelm?tt.

Konvertera dessa vinklar fr?n grader till radianer:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Du b?r f? dessa v?rden i radianer (i en annan ordning!)

F?rresten, jag lyfte specifikt fram svaren p? tv? rader. N?v?l, l?t oss ta reda p? vilka h?rnen ?r i f?rsta raden? ?tminstone i grader, ?tminstone i radianer?

Ja! Detta ?r koordinatsystemets axlar! Om du tittar p? den trigonometriska cirkeln, d? den r?rliga sidan av vinkeln med dessa v?rden passar exakt p? axlarna. Dessa v?rden m?ste vara k?nda. Och jag noterade vinkeln p? 0 grader (0 radianer) av goda sk?l. Och sedan kan vissa m?nniskor helt enkelt inte hitta den h?r vinkeln p? en cirkel... Och f?ljaktligen blir de f?rvirrade i de trigonometriska funktionerna av noll... En annan sak ?r att positionen f?r den r?rliga sidan vid noll grader sammanfaller med positionen vid 360°, s? det finns alltid tillf?lligheter p? cirkeln n?ra.

I den andra raden finns ?ven speciella vinklar... Dessa ?r 30°, 45° och 60°. Och vad ?r det som ?r s? speciellt med dem? Inget speciellt. Den enda skillnaden mellan dessa vinklar och alla andra ?r att du b?r k?nna till dessa vinklar Allt. Och var de finns, och vilka trigonometriska funktioner dessa vinklar har. L?t oss s?ga v?rdet sin 100° du beh?ver inte veta. A sin 45°- sn?lla var s? sn?ll! Detta ?r obligatoriska kunskaper, utan vilka det inte finns n?got att g?ra i trigonometri... Men mer om detta i n?sta lektion.

Under tiden, l?t oss forts?tta tr?na. Konvertera dessa vinklar fr?n radian till grad:

Du b?r f? s?dana h?r resultat (i oordning):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

H?nde? D? kan vi anta det konvertera grader till radianer och tillbaka- inte l?ngre ditt problem.) Men att ?vers?tta vinklar ?r det f?rsta steget f?r att f?rst? trigonometri. D?r beh?ver du ocks? arbeta med sinus och cosinus. Och med tangenter och cotangenter ocks?...

Det andra kraftfulla steget ?r f?rm?gan att best?mma positionen f?r vilken vinkel som helst p? en trigonometrisk cirkel. B?de i grader och radianer. Jag kommer att ge dig tr?kiga tips om just denna f?rdighet genom trigonometrin, ja...) Om du vet allt (eller tror att du vet allt) om den trigonometriska cirkeln, och m?tningen av vinklar p? den trigonometriska cirkeln, kan du kolla upp det. L?s dessa enkla uppgifter:

1. Vilken fj?rdedel faller vinklarna i:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

L?tt? L?t oss forts?tta:

2. Vilken fj?rdedel faller h?rnen i:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Inga problem ocks?? Tja, titta...)

3. Du kan placera h?rnen i fj?rdedelar:

Kan du? Tja, du ger..)

4. Vilka axlar kommer h?rnet att falla p?:

och h?rn:

?r det l?tt ocks?? Hm...)

5. Vilken fj?rdedel faller h?rnen i:

Och det funkade!? N?, d? vet jag verkligen inte...)

6. Best?m vilken fj?rdedel h?rnen hamnar i:

1, 2, 3 och 20 radianer.

Jag kommer bara att ge ett svar p? den sista fr?gan (den ?r lite knepig) i den sista uppgiften. En vinkel p? 20 radianer kommer att falla under det f?rsta kvartalet.

Jag kommer inte att ge resten av svaren, inte av girighet.) Helt enkelt, om du har inte best?mt mig n?got du tvivlar p? det som ett resultat, eller spenderas p? uppgift nr 4 mer ?n 10 sekunder, du ?r d?ligt orienterad i en cirkel. Detta kommer att vara ditt problem i all trigonometri. Det ?r b?ttre att bli av med det (problemet, inte trigonometri!) omedelbart. Detta kan g?ras i ?mnet: Praktiskt arbete med den trigonometriska cirkeln i avsnitt 555.

Den ber?ttar hur du l?ser s?dana uppgifter enkelt och korrekt. Jo, de h?r uppgifterna har naturligtvis l?sts. Och den fj?rde uppgiften l?stes p? 10 sekunder. Ja, det har best?mts att vem som helst kan g?ra det!

Om du ?r helt s?ker p? dina svar och du inte ?r intresserad av enkla och problemfria s?tt att arbeta med radianer, beh?ver du inte bes?ka 555. Jag insisterar inte.)

En god f?rst?else ?r en tillr?ckligt bra anledning att g? vidare!)

Om du gillar den h?r sidan...

F?rresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser f?r dig.)

Du kan tr?na p? att l?sa exempel och ta reda p? din niv?. Testning med omedelbar verifiering. L?t oss l?ra oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Tabell ?ver v?rden f?r trigonometriska funktioner

Notera. Den h?r tabellen med trigonometriska funktionsv?rden anv?nder tecknet ? f?r att representera kvadratroten. F?r att ange ett br?k, anv?nd symbolen "/".

se ?ven anv?ndbara material:

F?r best?mma v?rdet av en trigonometrisk funktion, hitta den i sk?rningspunkten av linjen som anger den trigonometriska funktionen. Till exempel, sinus 30 grader - vi letar efter kolumnen med rubriken sin (sinus) och hittar sk?rningspunkten f?r denna tabellkolumn med raden "30 grader", vid deras sk?rningspunkt l?ser vi resultatet - en halv. P? samma s?tt finner vi kosinus 60 grader, sinus 60 grader (?terigen, vid sk?rningspunkten mellan sinkolumnen och 60-graderslinjen finner vi v?rdet sin 60 = ?3/2), etc. V?rdena f?r sinus, cosinus och tangenter f?r andra "popul?ra" vinklar hittas p? samma s?tt.

Sinus pi, cosinus pi, tangent pi och andra vinklar i radianer

Tabellen nedan ?ver cosinus, sinus och tangenter ?r ocks? l?mplig f?r att hitta v?rdet av trigonometriska funktioner vars argument ?r anges i radianer. F?r att g?ra detta, anv?nd den andra kolumnen med vinkelv?rden. Tack vare detta kan du konvertera v?rdet p? popul?ra vinklar fr?n grader till radianer. L?t oss till exempel hitta vinkeln p? 60 grader p? den f?rsta raden och l?sa dess v?rde i radianer under den. 60 grader ?r lika med p/3 radianer.

Talet pi uttrycker entydigt omkretsens beroende av vinkelns gradm?tt. S?ledes ?r pi-radianer lika med 180 grader.

Alla tal uttryckta i termer av pi (radianer) kan enkelt omvandlas till grader genom att ers?tta pi (p) med 180.

Exempel:
1. Sine pi.
sin p = sin 180 = 0
allts? ?r sinus f?r pi detsamma som sinus f?r 180 grader och det ?r lika med noll.

2. Cosinus pi.
cos p = cos 180 = -1
allts? ?r cosinus f?r pi samma som cosinus f?r 180 grader och det ?r lika med minus ett.

3. Tangent pi
tg p = tg 180 = 0
allts? ?r tangent pi detsamma som tangent 180 grader och det ?r lika med noll.

Tabell ?ver sinus, cosinus, tangentv?rden f?r vinklar 0 - 360 grader (vanliga v?rden)

Om i v?rdetabellen f?r trigonometriska funktioner ett streck indikeras ist?llet f?r funktionsv?rdet (tangens (tg) 90 grader, cotangens (ctg) 180 grader), s? f?r ett givet v?rde p? gradm?ttet f?r vinkeln funktionen har inget specifikt v?rde. Om det inte finns n?got bindestreck ?r cellen tom, vilket betyder att vi ?nnu inte har angett ?nskat v?rde. Vi ?r intresserade av vilka fr?gor anv?ndare kommer till oss f?r och kompletterar tabellen med nya v?rden, trots att nuvarande data om v?rdena f?r cosinus, sinus och tangenter f?r de vanligaste vinkelv?rdena ?r tillr?ckligt f?r att l?sa de flesta problem.

Tabell ?ver v?rden f?r trigonometriska funktioner sin, cos, tg f?r de mest popul?ra vinklarna
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grader
(numeriska v?rden "enligt Bradis tabeller")

L?t oss ha en enhetscirkel med ett centrum i punkt O. L?t oss rita en vertikal tangent till den i punkt P. L?t oss anta att denna tangent ?r en numerisk axel med sitt ursprung i punkt P och l?t den positiva riktningen vara upp?t. L?t oss ta radien p? v?r cirkel som en l?ngdenhet p? talaxeln. Nu p? talaxeln markerar vi flera punkter ±1, ±pi/2, ±3, ±pi. H?r ?r pi ?3,1415 ett irrationellt tal.

Vad betyder radianm?tt?

L?t oss nu mentalt sl? tallinjen runt en cirkel. D? kommer punkterna med koordinaterna 1, pi/2, -1, -2 och andra att flyttas till punkterna M1, M2, M3, M4 p? cirkeln. I detta fall kommer l?ngden p? b?gen PM1 att vara lika med 1, l?ngden p? PM2 = pi/2, etc.

Vi associerade varje punkt p? en linje med en viss punkt p? en cirkel.

I det h?r fallet s?gs vinklar m?tas i radianer, och vinkel POM1 anses vara en vinkel p? 1 radian (1 rad).

L?t oss betrakta en viss cirkel med radien R och markera p? den en b?ge RM med l?ngden lika med R. L?t oss ocks? markera vinkeln ROM.

Den centrala vinkeln som t?cker en b?ge vars l?ngd ?r lika med radien kallas en vinkel p? en radian (1 rad).

L?t oss ber?kna gradm?ttet f?r en vinkel p? 1 radian.

B?gl?ngden f?r en halvcirkel ?r pi*R. En central vinkel p? 180 grader vilar p? denna b?ge. F?ljaktligen, en b?ge lika l?ng R understryker en vinkel pi g?nger mindre ?n 180 grader. Det ?r,

1 radian = (180/pi) grader.

Det ?r k?nt att pi?3,14, sedan 1 rad ? 57,3 grader.

Om det ?r k?nt att vinkeln inneh?ller x radianer, anv?nd f?ljande formel f?r att ber?kna dess gradm?tt:

X radianer = ((180*x)/pi) grader.

Tabell ?ver grundl?ggande vinklar uttryckta i radianer

N?r man betecknar radianm?ttet p? vinklar, ?r namnet "rad" vanligtvis utel?mnat.

Genom att k?nna till radianm?ttet f?r vinkeln (a), kan du ber?kna l?ngden p? b?gen (l) som t?cks av denna vinkel med hj?lp av f?ljande formel: l=a*R.