Grunderna i matematisk logik. ?mne f?r matematisk logik

MATEMATISK LOGIK

teoretisk logik, symbolisk logik, ?r en gren av matematiken ?gnad ?t studier av matematik. bevis och fr?gor om matematikens grunder.

Historisk skiss. Id?n om att konstruera ett universellt spr?k f?r all matematik och formalisering p? grundval av ett s?dant matematiskt spr?k. bevis lades fram p? 1600-talet. G. Leibniz. Men bara i mitten. 1800-talet de f?rsta vetenskapliga arbetena om algebraiseringen av aristotelisk logik d?k upp [J. Boole (G. Boole, 1847) och O. de Morgan (A. de Morgan, 1858)]. Efter att G. Frege (1879) och C. Peirce (1885) introducerade predikat, objektiva variabler och kvantifierare i logikens algebras spr?k, uppstod en verklig m?jlighet att till?mpa detta spr?k p? fr?gor om matematikens grunder.

D?remot skapandet p? 1800-talet. icke-euklidisk geometri skakade kraftigt matematikernas f?rtroende f?r geometrins absoluta tillf?rlitlighet. intuition, som den byggde p?. Tvivel om tillf?rlitligheten av geometriska. Intuitionen underl?ttades ocks? av det faktum att matematiker, som ett resultat av utvecklingen av infinitesimalkalkyl, st?tte p? ov?ntade exempel p? ?verallt kontinuerliga funktioner utan derivator. Det fanns ett behov av att separera begreppet ett reellt tal fr?n det oklara begreppet "magnitude", som var baserat p? geometriska. intuition. Detta problem l?stes p? olika s?tt i K. Weierstrass verk (K. Weierstrab, P. Dedekind och G. Cantor). De visade m?jligheten att "arithmetisera" analys och funktionsteori, vilket resulterade i grunden f?r all klassisk matematik. B?rjade ?verv?gas axiomatiseringen av aritmetiken [R. Dedekind (1891)]. Samtidigt skapade J. Peano en mer bekv?m symbolik f?r det logiska spr?ket i det gemensamma arbetet av B. Russell och A. Whitehead, "Principles of Mathematics" (1910), d?r ett f?rs?k gjordes att reducera all matematik till logik om?jligt att h?rleda existensen av o?ndliga upps?ttningar fr?n rent logiska axiom ?ven om Frege-Russell-logistiken inte uppn?dde sitt huvudm?l - att reducera matematiken till logik, skapades en rik logisk apparat i deras verk. som en fullfj?drad matematik disciplin skulle vara om?jligt.

Vid sekelskiftet 1800-1900. uppt?cktes antinomier, relaterad till m?ngdl?rans grundl?ggande begrepp. Russells verk, publicerat 1903, gjorde starkast intryck p? hans samtida. L?t h?mnd av alla s?dana upps?ttningar, som var och en inte ?r sitt eget element. Det ?r l?tt att bli ?vertygad om att jag ?r mitt element om och bara om jag ?r mitt element. Naturligtvis kan du f?rs?ka ta dig ur den skapade mots?ttningen genom att dra slutsatsen att det finns s?dana m?ngder av Mig. Men om det inte kan existera en m?ngd som best?r exakt av alla element som uppfyller ett s?dant v?ldefinierat villkor, som vi har i ovanst?ende definition av en m?ngd M, var ?r d? garantin f?r att vi i v?rt dagliga arbete inte kommer att m?ta upps?ttningar som inte heller kan existera? Och vilka villkor i allm?nhet m?ste definitionen av en m?ngd uppfylla f?r att den ska existera? En sak var klar: det var n?dv?ndigt att p? n?got s?tt begr?nsa Cantors m?ngdteori.

L. Brouwer (L. Brouwer, 1908) motsatte sig till?mpningen av klassikerns regler. logik till o?ndliga m?ngder. I det intuitionistiska program han lade fram f?reslogs att man skulle ?verge ?verv?gandet abstraktioner av verklig o?ndlighet, d.v.s. o?ndliga m?ngder som kompletta aggregat! Genom att erk?nna att det finns godtyckligt stora naturliga tal, mots?tter sig intuitionister att betrakta den naturliga serien som en komplett upps?ttning. De tror att i matematik m?ste varje existens av det h?r eller det objektet vara konstruktivt, det vill s?ga det m?ste ?tf?ljas av konstruktionen av detta objekt. Om antagandet att det efters?kta inte existerar leder till en mots?gelse, s? kan detta enligt intuitionister inte betraktas som ett bevis p? existens. Han kritiserades s?rskilt av intuitionister. uteslutentredje lagen. P? grund av det faktum att denna lag ursprungligen ans?gs i relation till finita m?ngder och med tanke p? att m?nga egenskaper hos finita m?ngder inte g?ller f?r o?ndliga m?ngder (till exempel att varje egentlig del ?r mindre ?n helheten), anser intuitionister att det ?r olagligt att till?mpa denna lag till o?ndliga m?ngder. S?, till exempel, f?r att h?vda att Fermats problem har en positiv eller negativ l?sning, m?ste intuitionisten ange motsvarande l?sning p? detta problem. Tills Fermats problem ?r l?st anses detta vara olagligt. Samma krav st?lls p? f?rst?elsen av varje disjunktion. Detta krav fr?n intuitionister kan ocks? skapa sv?righeter n?r man ?verv?ger problem som involverar ?ndliga m?ngder. L?t oss f?rest?lla oss att n?gon, som st?nger ?gonen, tar ut ur en urna, i vilken det finns tre svarta och tre vita bollar, och omedelbart kastar tillbaka den h?r bollen. Om ingen s?g den h?r bollen s? har vi inget s?tt att veta vilken f?rg det var. Man kan dock knappast p? allvar bestrida p?st?endet att denna boll var antingen svart eller vit.

Intuitionister byggde sin egen matematik, som har intressanta s?regna drag. Men den visade sig vara mer komplex och kr?nglig ?n den klassiska. . Intuitionisternas positiva bidrag till studiet av fr?gor om matematikens grunder tog sig uttryck i det faktum att de ?terigen p? ett avg?rande s?tt betonade skillnaden mellan konstruktiv och icke-konstruktiv i matematik, de genomf?rde en grundlig analys av m?nga sv?righeter som matematiken st?tte p? i dess utveckling, och d?rigenom bidragit till att ?vervinna dem.

D. Hilbert (se bilagorna VII-X in) skisserade p? ett annat s?tt att ?vervinna de sv?righeter som uppstod i matematikens grunder vid sekelskiftet 1800- och 1900-talet. Denna v?g, baserad p? anv?ndningen av axiomatiska Metoden att ?verv?ga formella modeller, meningsfull matematik och studiet av fr?gor om konsistens hos s?dana modeller med tillf?rlitliga finit?ra medel, fick i matematik namnet p? Hilberts finitism. Erk?nner op?litligheten hos geometriska intuition, g?r D. Hilbert f?rst och fr?mst en grundlig revidering av den euklidiska geometrin, och befriar den fr?n att v?nda sig till intuition. Resultatet av denna bearbetning var hans "Foundations of Geometry" (1899).

Fr?gor om ?verensst?mmelsen mellan olika teorier ?verv?gdes i huvudsak f?re D. Hilbert. S?ledes reducerar Lobatsjovskijs projektiva icke-euklidiska geometri, konstruerad av F. Klein (1871), fr?gan om ?verensst?mmelsen i Lobatjovskijs geometri till konsistensen av den euklidiska geometrin. Konsistensen hos euklidisk geometri kan p? liknande s?tt reduceras till analysens konsistens, det vill s?ga teorin om reella tal. Det var dock inte klart med vilka medel man kunde bygga modeller f?r analys och aritmetik f?r att bevisa deras ?verensst?mmelse. D. Hilberts f?rtj?nst ?r att han visade en direkt v?g f?r att studera denna fr?ga. Konsistensen i denna teori g?r att den inte kan erh?llas, det vill s?ga ett visst p?st?ende A och dess D. Hilbert f?reslog att presentera teorin i fr?ga i form av en formell axiomatisk teori. system d?r alla dessa och endast dessa p?st?enden kommer att kunna h?rledas, vilket ?r teorem i v?r teori. Sedan, f?r att bevisa ?verensst?mmelse, ?r det tillr?ckligt att fastst?lla att vissa p?st?enden inte kan h?rledas i teorin i fr?ga. Allts? matematik. , vars konsistens vi vill bevisa blir f?rem?l f?r studier av en viss matematisk teori. vetenskap, som D. Hilbert kallade metamathematics, eller teorin om bevis.

D. Hilbert skrev att m?ngdteorins paradoxer inte orsakas av lagen om den uteslutna mitten, utan "snarare av det faktum att matematiker anv?nder oacceptabla och meningsl?sa formationer av begrepp, som i min bevisteori ?r uteslutna av sig sj?lva. . Att ta bort lagen om den uteslutna mitten fr?n matematiker - det ?r samma sak som att ta bort teleskopet fr?n astronomer eller f?rbjuda boxare att anv?nda n?ven" (se s. 383). D. Hilbert f?resl?r att man ska skilja mellan "riktiga" och "ideala" meningar av den klassiska. matematik. De f?rra har en meningsfull betydelse, medan de senare inte beh?ver ha en meningsfull mening. Meningar som motsvarar anv?ndningen av faktisk o?ndlighet ?r idealiska. Idealiska meningar l?ggs till verkliga s? att logikens enkla regler ocks? kan till?mpas p? resonemang om o?ndliga m?ngder. Detta f?renklar strukturen av hela teorin avsev?rt, precis som n?r man betraktar projektiv geometri p? ett plan, l?ggs en o?ndligt avl?gsen s?dan till, som sk?r vilka tv? som helst vid en viss punkt.

Programmet f?r att underbygga matematik som D. Hilbert lade fram och hans entusiasm inspirerade hans samtida att intensivt utvecklas axiomatisk metod. Det var med den som genomf?rdes i b?rjan av 1900-talet. D. Hilbert och hans anh?ngare utvecklade teorin om bevis p? grundval av den logiska logik som utvecklats i verk av G. Frege, J. Peano och B. Russell. spr?ket b?r f?rknippas med bildandet av M. l. som en sj?lvst?ndig matematik discipliner.

?mnes- och huvudavsnitt av matematisk logik, kopplingar till andra omr?den inom matematiken.?mne f?r modern M. l. olika. F?rst och fr?mst b?r det noteras studiet av logiska. och logiskt-matematisk kalkyl, varav den huvudsakliga ?r klassisk. predikat. Redan 1930 bevisade K. Godel en sats om fullst?ndigheten av predikatkalkylen, enligt vilken upps?ttningen av allt rent logiskt. p?st?enden om matematik sammanfaller med m?ngden av alla formler som h?rleds i predikatkalkyl (se. G?del om fullst?ndighet). Denna sats visade att predikatkalkylen ?r logisk. system, utifr?n vilket matematik kan formaliseras. Olika logiskt-matematiska system ?r uppbyggda p? basis av predikatkalkyl. teorier (se Logisk-matematisk kalkyl), representerar en formalisering av meningsfull matematisk. teorier - aritmetik, analys, m?ngdl?ra, gruppl?ra etc. Tillsammans med element?ra teorier Teorier om h?gre ordningar beaktas ocks?, d?r kvantifierare p? predikat, predikat fr?n predikat etc. ocks? ?r till?tna Traditionella fr?gor, som studeras f?r vissa formella logiker. system ?r studier av strukturen f?r slutsatser i dessa system, vissa formler, fr?gor om konsistens och fullst?ndighet hos de system som ?verv?gs.

Bevisad 1931 G?dels ofullst?ndighetssats aritmetiken skakade den optimistiska. D. Hilberts f?rhoppningar om en fullst?ndig l?sning p? problemen med matematikens grunder l?ngs den angivna v?gen. Enligt detta teorem, om , som inneh?ller aritmetik, ?r konsekvent, kan p?st?endet om dess konsistens, uttryckt i detta system, inte bevisas med de medel som formaliserats i det. Det betyder att med fr?gor om matematikens grunder ?r situationen inte s? enkel som D. Hilbert ville eller verkade f?rst. Men K. G?del m?rkte redan att aritmetikens konsistens kan bevisas med hj?lp av ganska tillf?rlitliga konstruktiva medel, ?ven om de g?r ut?ver de medel som formaliserats i aritmetiken. Liknande bevis p? aritmetikens konsistens erh?lls av G. Gentzen (1936) och P.S. Novikov (1943).

Som ett resultat av analysen av Cantors m?ngdl?ra och paradoxerna f?rknippade med den, konstruerades olika system axiomatisk m?ngdteori, d?r en eller annan begr?nsning av bildandet av upps?ttningar antas f?r att utesluta uppkomsten av v?lk?nda antinomier. I dessa axiomatiska Ganska omfattande grenar av matematik kan utvecklas i system. Fr?gan om konsistensen av ganska rik axiomatik. system f?r m?ngdteori f?rblir ?ppna. Av de mest signifikanta resultaten som erh?llits i axiomatik. m?ngdl?ra, b?r det noteras resultatet av K. G?del p? konsistensen kontinuumhypotes Och val av axiom i Bernays-G?del-systemet (1939) och resultatet av P. Cohen (P. Cohen, 1963) om dessa axioms oberoende fr?n Zermelo-Fraenkel ZF-systemets axiom. Observera att dessa tv? system av axiom och ZF ?r lika konsekventa. F?r att bevisa sina resultat introducerade K. G?del det viktiga konceptet med en konstruktiv upps?ttning (se G?del konstruktivt set).och visade f?rekomsten av en modell av ett system best?ende av s?dana upps?ttningar. K. G?dels metod anv?ndes av P. S. Novikov f?r att bevisa ?verensst?mmelsen hos vissa andra p?st?enden om deskriptiv m?ngdteori (1951). F?r att konstruera modeller av ZF-m?ngdl?ra, d?r negationer av kontinuumhypotesen eller valets axiom ?r uppfyllda, introducerade P. Cohen den sk. tv?ngsmetod, som sedan f?rb?ttrades och blev huvudmetoden f?r att konstruera modeller f?r m?ngdl?ra som uppfyller vissa egenskaper.

En av de mest anm?rkningsv?rda prestationerna av M. l. var utvecklingen av konceptet allm?n rekursiv funktion och formuleringar Kyrkans avhandling, h?vdar att begreppet en allm?n rekursiv funktion ?r en f?rfining av det intuitiva begreppet algoritm. Av de andra likv?rdiga f?rfiningarna av begreppet en algoritm ?r de mest anv?nda begreppen Turing maskiner Och normal algoritm Markova. I princip all matematik ?r relaterad till en eller annan algoritm. Men f?rst efter att ha klargjort begreppet en algoritm blev det m?jligt att uppt?cka existensen av ol?sliga algoritmiska problem i matematik. Obest?mbar algoritm problem uppt?cktes inom m?nga grenar av matematiken (talteori, sannolikhetsteori, etc.), och det visade sig att de kunde relateras till mycket vanliga och grundl?ggande begrepp inom matematik. Algoritmisk forskning problem inom ett eller annat omr?de av matematik, som regel, ?tf?ljs av penetrationen av id?er och metoder f?r matematiska l. in i detta, vilket ocks? leder till l?sningen av andra problem som inte l?ngre har en algoritm. karakt?r.

Utvecklingen av ett exakt begrepp f?r en algoritm gjorde det m?jligt att f?rtydliga begreppet effektivitet och utveckla konstruktiva begrepp i matematik p? basis av ett s?dant f?rtydligande (se. Konstruktiv matematik), som f?rkroppsligar vissa drag av den intuitionistiska riktningen, men skiljer sig v?sentligt fr?n den senare. Grunderna f?r konstruktiv analys, konstruktiv topologi, konstruktiv sannolikhetsteori, etc. skapades.

I sj?lva teorin om algoritmer kan man lyfta fram forskning inom omr?det rekursiv aritmetik, som inkluderar olika klassificeringar av rekursiva och rekursivt uppr?knade m?ngder, graden av obest?mbarhet av rekursiva uppr?knbara upps?ttningar, studier av skrivalgoritmernas komplexitet och algoritmernas komplexitet. . ber?kningar (efter tid och efter zon, se Algoritmen ?r komplexness). En omfattande utvecklande gren av teorin om algoritmer ?r teorin numrering.

Som n?mnts ovan, axiomatisk. Metoden hade ett stort inflytande p? utvecklingen av m?nga grenar av matematiken. Denna metods penetration i algebra var s?rskilt betydande. S?, vid korsningen av M. l. och algebra uppstod en allm?n teori algebraiska system, eller modellteori. Denna riktning fastst?lldes i verk av A.I. Maltsev, A. Tarski och deras elever. H?r kan vi notera forskning om element?ra teorier om klasser av modeller, i synnerhet fr?gorna om l?sbarheten av dessa teorier, axiomatiserbarheten av klasser av modeller, modeller, fr?gor om kategorisering och fullst?ndighet av klasser av modeller.

En viktig plats i modellteorin upptas av studiet av icke-standardiserade modeller f?r aritmetik och analys. ?ven i b?rjan av differentialkalkylens gryning, i G. Leibniz och I. Newtons verk, betraktades o?ndligt sm? och o?ndligt stora kvantiteter som tal. Senare d?k begreppet variabel upp, och matematiker ?vergav anv?ndningen av infinitesimala tal, som skiljer sig fr?n noll och mindre ?n n?got positivt reellt tal, eftersom deras anv?ndning skulle kr?va att man ?vergav Arkimedes axiom. Och bara tre ?rhundraden senare, som ett resultat av utvecklingen av metoder f?r M. l. Det var m?jligt att fastst?lla att (icke-standard) analys med infinitesimala och o?ndligt stora tal ?verensst?mmer med den vanliga (standard) analysen av reella tal.

Inte utan p?verkan av axiomatik. metod och intuitionistisk matematik. Redan 1930, introducerade A. Heyting formella system i ?verv?gande intuitionistisk logik p?st?enden och predikat (konstruktiv kalkyl av p?st?enden och predikat). Senare introducerades formella system f?r intuitionistisk analys (se t.ex.). Mycket forskning inom intuitionistisk logik och matematik handlar om formella system. De s? kallade utsattes ocks? f?r s?rskilda studier. mellanlogik(eller superintuitionistisk), dvs logik som ligger mellan klassisk och intuitionistisk logik. Begreppet realiserbarhet av formler enligt Kleene representerar ett av f?rs?ken att tolka begreppet intuitionistisk sanning ur den klassiska synvinkeln. matematik. Det visade sig dock att inte varje realiserbar propositionskalkyl ?r h?rledbar i den intuitionistiska (konstruktiva) propositionskalkylen.

Har ocks? genomg?tt formalisering modal logik. Men trots n?rvaron av ett stort antal verk om formella system f?r modal logik och deras semantik ( Kripke modeller), vi kan s?ga att h?r finns en process av ackumulering av fortfarande spridda fakta.

M.l. har stor praktisk betydelse; Varje ?r v?xer den djupa penetrationen av M.L.s id?er och metoder. i cybernetik, i ber?kningsmatematik, i strukturell lingvistik.

Belyst.: Hilbert D., Bernais P., Foundations of Mathematics. Logisk r?kning och formalisering av aritmetik, ?vers. fr?n German, M., 1979; K l i n i S. K., Introduktion till metamathematics, ?vers. fr?n English, M., 1957; Mendelssohn E., Introduktion till matematisk logik, ?vers. English, 2:a uppl., M., 1976; Novikov P.S., Elements of matematical logic, 2nd ed., M., 1973; Er sh om i Yu L., Palyutin E. A., Mathematical Logic, M., 1979; Shenf ild D.R., Mathematical Logic, ?vers. fr?n English, M., 1975; N om i och till om i P. S., Constructive matematical logic from the point of view of classic, M., 1977; Klin och S.K., Vesl och R., Grunder f?r intuitionistisk matematik ur teorin om rekursiva funktioner, ?vers. fr?n English, M., 1978; Hilbert D., Foundations of Geometrics, ?vers. fr?n German, M., 1948; Frenkel A.-A., Bar-Hillel I., M?ngdl?rans grunder, ?vers. fr?n English, M., 1966; 1800-talets matematik. Matematisk logik. Algebra. Talteori. Theory of Probability, M., 1978; Mostowski A., Trettio ?r av grundl?ggande studier, Hels., 1965.

Se ?ven t?nd. f?r artiklar om enskilda avsnitt av M. l.

SI. Adyan.

Matematisk uppslagsverk. - M.: Sovjetiskt uppslagsverk.

I. M. Vinogradov.:

1977-1985.

Synonymer Se vad "MATHEMATICAL LOGIC" ?r i andra ordb?cker:

Ett av namnen p? modern logik som kom i den andra. golv. 19 start 1900-talet att ers?tta traditionell logik. Termen symbolisk logik anv?nds ocks? som ett annat namn f?r det moderna stadiet i utvecklingen av vetenskapen om logik. Definition … … Filosofisk uppslagsverk matematisk logik

- SYMBOLISK LOGIK, matematisk logik, teoretisk logik ?r logikens omr?de d?r logiska slutsatser studeras genom logisk kalkyl baserat p? ett strikt symbolspr?k. Termen "L. Med." var tydligen f?r f?rsta g?ngen...– Det kallas ocks? f?r symbolisk logik. M.l. detta ?r samma aristoteliska syllogistiska logik, men endast besv?rliga verbala slutsatser ers?tts i den av matematisk symbolik. Detta uppn?r, f?r det f?rsta, korthet, f?r det andra, klarhet, i... ... Encyclopedia of Cultural Studies

- SYMBOLISK LOGIK, matematisk logik, teoretisk logik ?r logikens omr?de d?r logiska slutsatser studeras genom logisk kalkyl baserat p? ett strikt symbolspr?k. Termen "L. Med." var tydligen f?r f?rsta g?ngen...- deduktiv logik, inklusive matematiska metoder f?r att studera resonemangsmetoder (slutsatser); matematisk teori om deduktivt resonemang. Matematisk logik kallas ocks? den logik som anv?nds i matematik... Stor encyklopedisk ordbok

- SYMBOLISK LOGIK, matematisk logik, teoretisk logik ?r logikens omr?de d?r logiska slutsatser studeras genom logisk kalkyl baserat p? ett strikt symbolspr?k. Termen "L. Med." var tydligen f?r f?rsta g?ngen...- (symbolsk logik), analytisk del av logiken, resultatet av att till?mpa matematiska metoder p? problem inom klassisk logik. Betraktar begrepp som kan vara sanna eller falska, f?rh?llandet mellan begrepp och deras manipulation, inklusive... ... Vetenskaplig och teknisk encyklopedisk ordbok

- SYMBOLISK LOGIK, matematisk logik, teoretisk logik ?r logikens omr?de d?r logiska slutsatser studeras genom logisk kalkyl baserat p? ett strikt symbolspr?k. Termen "L. Med." var tydligen f?r f?rsta g?ngen...- en av de ledande delarna av modern logik och matematik. Bildad i 19-20 Art. som implementeringen av id?n om m?jligheten att skriva ner alla initiala antaganden p? ett teckenspr?k som liknar matematiska och d?rigenom ers?tta resonemang med ber?kningar... ... Den senaste filosofiska ordboken

- SYMBOLISK LOGIK, matematisk logik, teoretisk logik ?r logikens omr?de d?r logiska slutsatser studeras genom logisk kalkyl baserat p? ett strikt symbolspr?k. Termen "L. Med." var tydligen f?r f?rsta g?ngen...- teoretisk logik, symbolisk logik, en gren av matematiken som ?gnas ?t studier av matematik. bevis och fr?gor om matematikens grunder. Historisk skiss. Id?n om att bygga ett universellt spr?k f?r all matematik och formalisering baserat p?... ... Matematisk uppslagsverk

B?cker

Matematisk logik, Ershov Yuri Leonidovich, Palyutin Evgeniy Andreevich. Boken beskriver den grundl?ggande klassiska kalkylen f?r matematisk logik: propositionskalkyl och predikatkalkyl; det finns en kort sammanfattning av de grundl?ggande begreppen f?r m?ngdteori och teori... K?p f?r 1447 UAH (endast Ukraina)
Matematisk logik, Ershov Yu.L.. Boken beskriver den grundl?ggande klassiska kalkylen f?r matematisk logik: propositionskalkyl och predikatkalkyl; det finns en kort sammanfattning av de grundl?ggande begreppen m?ngdl?ra och teori...

Det kommer att ?gnas ?t grunderna i matematisk logik, som inte bara ?r en separat gren av matematiken, utan ocks? ?r av stor betydelse f?r studiet av hela tornet (och inte bara torn). "Det finns och bara existerar", "av detta f?ljer detta", "ett n?dv?ndigt villkor", "tillr?cklighet", "d? och f?rst d?" - det ?r v?lbekanta fraser, eller hur? Och det h?r ?r inte bara "standard" klich?er som kan ignoreras - det ?r stabila uttryck som har strikt mening, som vi kommer att bekanta oss med i den h?r artikeln. Dessutom kommer materialet att vara anv?ndbart f?r nyb?rjare att studera matematisk logik direkt - jag kommer att ?verv?ga dess grund: uttalanden och ?tg?rder p? dem, formler, grundl?ggande lagar + n?gra praktiska problem. Och, naturligtvis, kommer du att l?ra dig en mycket viktig, och p? vissa st?llen mycket rolig, skillnad mellan matematisk logik och v?r "vanliga" logik. L?t oss b?rja l?gga grunden:

Uttalanden och uttrycksformer

P?st?ende– det h?r ?r ett f?rslag som kan s?gas sann det eller falsk. P?st?enden betecknas vanligtvis med sm? latinska bokst?ver och deras sanning/falskhet med ett respektive noll:

– detta inl?gg (inte att f?rv?xla med modul!) s?ger oss att uttalandet sann;
– och det h?r inl?gget handlar om det faktum att uttalandet falsk.

Till exempel:

- sk?ldpaddor flyger inte;
– M?nen ?r kvadratisk;
- tv? g?nger tv? ?r tv?;
– fem ?r mer ?n tre.

Det ?r helt klart att uttalanden och ?r sanna: ,
och uttalanden och - falsk:

Naturligtvis ?r inte alla meningar p?st?enden. Dessa inkluderar i synnerhet fr?ge- och uppmuntrande meningar:

Kan du ber?tta hur jag kommer till bibliotek?
L?t oss g? till badhuset!

Uppenbarligen ?r det ingen fr?ga om sanning eller l?gn h?r. Precis som det inte pratas om dem vid os?kerhet eller ofullst?ndig information:

Imorgon tar Petya tentamen– ?ven om han har l?rt sig allt ?r det inte ett faktum att han kommer att klara sig; och vice versa - om han inte vet n?gonting kan han passa "p? bollen".

...okej Petya, oroa dig inte – du klarar dig =)

- och h?r vet vi inte vad "en" ?r lika med, s? detta ?r inte heller ett p?st?ende.

Den sista meningen kan dock ut?kas till ett uttalande, eller snarare, till uttrycksfull form, ger ytterligare information om "en". Som regel skrivs uttrycksformer med s.k kvantifierare. Det finns tv? av dem:

– allm?n kvantifierare (omv?nd bokstavA – fr?n engelska.Alla) f?rst?s och l?ses som "f?r alla", "f?r alla";

– existenskvantifierare (ut?kat brevE – fr?n engelska.Existera) f?rst?s och l?ses som "finns".

– f?r vem som helst naturligt tal oj?mlikheten ?r tillfredsst?lld. Denna uttrycksfulla form falsk, eftersom det uppenbarligen inte motsvarar naturliga tal.

– men det h?r ?r en uttrycksfull form sann, Hur sann och till exempel detta uttalande:
...ja, finns det verkligen ett naturligt tal som ?r mindre ?n –10?

Jag varnar dig f?r h?nsynsl?s anv?ndning av denna kvantifierare, eftersom "f?r vem som helst" faktiskt kan visa sig vara "inte f?r alla."

Uppm?rksamhet! Om du inte f?rst?r n?got i notationen, g? tillbaka till lektionen om set.

- finns naturligt tal, vilket ?r st?rre ?n tv?. Sann...och viktigast av allt, du kan inte argumentera =)

– L?gn

Kvantifierare "fungerar i tandem" ofta:

– f?r vem som helst vektor det finns en motsatt vektor. Versal sann, eller snarare, ett axiom (uttalande accepterat utan bevis) vektor utrymme.

Observera att existenskvantifieraren antyder sj?lva faktumet f?rekomsten av ett objekt (minst ett) som uppfyller vissa egenskaper. Det kanske bara finns en vit kr?ka i v?rlden, men de finns fortfarande. Dessutom, i matematik (b?de skola och h?gre) bevisas m?nga satser existens och bara unikhet n?got. Beviset f?r en s?dan sats best?r av tv? delar:

1) F?rekomsten av ett objekt som uppfyller vissa kriterier. Denna del underbygger sj?lva faktumet av dess existens.

2) Det unika med detta objekt. Denna punkt ?r vanligtvis bevisad genom mots?gelse, dvs. det antas att det finns ett 2:a objekt med exakt samma egenskaper och d? motbevisas detta antagande.

Skolbarn f?rs?ker dock att inte bli skr?mda av s?dan terminologi, och satsen presenteras ofta i en besl?jad form, till exempel:

I vilken triangel som helst kan du skriva in en cirkel och dessutom bara en

F?rresten, vad ?r en sats egentligen? Vi kommer att l?ra oss den logiska essensen av detta fruktansv?rda ord mycket snart...

Logiska operationer (?tg?rder p? uttalanden)

Precis som du kan utf?ra aritmetiska operationer med siffror (l?gga till, multiplicera etc.), kan dina egna operationer ocks? till?mpas p? p?st?enden. Det finns tre grundl?ggande logiska operationer:

negation uttalanden;

samband eller logisk multiplikation av p?st?enden;

?tskiljande eller logiskt till?gg av p?st?enden.

I ordning:

1) Negation av p?st?endet

INTE och symbol

Avslag uttalande kallas ett uttalande (l?s "inte a"), vilket falsk, om sant, och sann– om falskt:

S? till exempel uttalandet - sk?ldpaddor flyger inte sant: ,
och dess negation - sk?ldpaddor flyger om du sparkar dem v?l– falskt: ;

p?st?ende - tv? g?nger tv? ?r tv? falsk: ,
och hans f?rnekande – det ?r inte sant att tv? plus tv? ?r lika med tv?– sant: .

F?rresten, ingen anledning att skratta ?t exemplet med sk?ldpaddor;) sadister

En bra fysisk modell f?r denna operation ?r en vanlig gl?dlampa och str?mbrytare:

ljuset ?r p? - logisk eller sann,
ljuset sl?cks - logisk noll eller falsk.

2) Konjunktion (logisk multiplikation av p?st?enden)

Denna operation motsvarar den logiska kopplingen OCH och symbolen ?r antingen

Samband (l?s "a and be"), vilket ?r sant om och bara om det ?r sant b?de uttalanden och:

Denna operation sker ocks? hela tiden. L?t oss ?terv?nda till v?r hj?lte fr?n f?rsta skrivbordet: anta att Petya f?r tilltr?de till provet i h?gre matematik om han klarar sitt kursarbete Och rapportera om ?mnet. T?nk p? f?ljande p?st?enden:
– Petya klarade sina kurser;
– Petya klarade testet.

Observera att, i motsats till formuleringen "Petya kommer att passera imorgon" h?r kan du n?r som helst s?ga om det ?r sant eller falskt.

P?st?ende (v?sen – Petya ?r antagen till tentamen) kommer att vara sant om och bara om han klarade kursen Och kredit f?r . Om ?tminstone n?got inte levereras (se de tre nedersta raderna i tabellen), d? ?r konjunktionen falsk.

Och mycket l?gligt kom ett utm?rkt matematiskt exempel till mig: systemets tecken f?rbinder ekvationerna/olikheterna som ing?r i det exakt enligt regeln OCH. S?, till exempel, skriva tv? linj?ra ekvationer i system inneb?r att vi m?ste hitta S?DANA r?tter (om de finns), som tillfredsst?ller b?da de f?rsta Och den andra ekvationen.

Den logiska operationen som ?verv?gs str?cker sig till ett st?rre antal p?st?enden. Relativt sett, om det finns 5 ekvationer i ett system, d? dess r?tter ( om de finns) m?ste uppfylla 1:an Och 2:a Och 3:a Och 4:a Och 5:e ekvationen i detta system.

Och f?r att avsluta denna punkt, l?t oss ?terigen v?nda oss till hemodlad elektroteknik: konjunktivregeln modellerar v?l str?mbrytaren i rummet och str?mbrytaren p? elpanelen i entr?n (serieanslutning). L?t oss titta p? uttalandena:

– str?mbrytaren i rummet ?r p?;

– str?mbrytaren i entr?n ?r p?.

F?rmodligen har alla redan f?rst?tt att konjunktionen kan l?sas p? det mest naturliga s?ttet:
– str?mbrytaren i rummet ?r p? Och Str?mbrytaren i entr?n ?r p?slagen.

Uppenbarligen, om och bara om . I tre andra fall (analysera vilka) kretsen ?ppnas och ljuset slocknar: .

L?t oss l?gga till ytterligare ett uttalande:
– str?mbrytaren p? transformatorstationen ?r p?slagen.

P? samma s?tt: konjunktionen kommer att vara sann om och endast om . H?r kommer det f?rresten redan att finnas 7 olika alternativ f?r att bryta kedjan.

3) Disjunktion (logiskt till?gg av p?st?enden)

Denna operation motsvarar den logiska kopplingen ELLER och symbol

?tskiljande uttalanden och kalla ett uttalande (l?s "a eller bae"), vilket ?r falskt om och endast om b?de p?st?enden och ?r falska:

L?t oss anta att det finns 2 fr?gor p? en tentamen i h?gre matematik och studenten klarar provet om han svarar minst en fr?ga. T?nk p? f?ljande p?st?enden:
– Petya svarade p? den f?rsta fr?gan;
– Petya svarade p? den andra fr?gan.

Den disjunktiva posten lyder enkelt och tydligt: Petya svarade p? 1st eller 2:a fr?gan och antyder tre verkliga utfall (se tabell). Samtidigt kommer Peter inte att klara provet i det enda fallet - om han skruvar ihop b?da fr?gorna:

Det b?r noteras att vi v?ldigt ofta f?rst?r konjunktionen "eller" som "exklusiv eller", och dessutom beh?ver det ofta f?rst?s s?! Fr?n samma fras om att klara provet kommer en person troligen att dra slutsatsen att Petya bara svarade p? den f?rsta eller bara den andra fr?gan. OR i fr?ga ?r dock inte ett vanligt "eller".

Den logiska additionsoperationen ?r ocks? till?mplig f?r tre eller flera satser. Vissa lojala l?rare st?ller 10-15 fr?gor och g?r en tentamen om eleven kan ?tminstone n?got =) Med andra ord, logiskt ELLER d?ljer en koppling "?tminstone f?r en"(och det betyder inte alls att det STRIGT ?r en!).

N?v?l, l?t oss ta en paus fr?n hush?llselen: de allra flesta webbplatser finns p? professionella servrar, som vanligtvis f?rses med tv? n?taggregat. Inom elektroteknik kallas detta en parallellanslutning, som exakt modellerar ELLER-regeln - servern fungerar om den fungerar korrekt minst en kraftenhet. Utrustningen st?der f?rresten "het" ers?ttning, d.v.s. En utbr?nd str?mk?lla kan bytas ut utan att st?nga av servern. Samma historia med h?rddiskar - de dupliceras i den s? kallade RAID-array, och dessutom drivs sj?lva Datacentret, d?r servrarna finns, vanligtvis av tv? oberoende kraftledningar + en dieselgenerator, f?r s?kerhets skull. Dessa ?tg?rder g?r att du kan s?kerst?lla maximal tillg?nglighet f?r webbplatsen.

Och eftersom vi pratar om datorer, ?r de... baserade p? de ?verv?gda logiska operationerna! Detta verkar otroligt, men l?t oss t?nka p? det - vad kan dessa "h?rdvara" ens "f?rst?"? Och de kan f?rst? f?ljande:

det finns str?m i tr?den - detta logisk enhet;
tr?den ?r str?ml?s - det h?r ?r logisk nolla.

Det ?r detta faktum som ?r det fr?msta sk?let till att tv?kraften ?r grunden f?r att m?ta informationsvolymen:
etc.

Den enklaste "datorn" ?r... en vanlig switch - den lagrar information i 1 bit (sant eller falskt i ovanst?ende mening). Den centrala processorn i en modern dator har hundratals miljoner (!) transistorer och den mest komplexa mjukvaran, det mest "sofistikerade spelet" bryts upp i m?nga nollor och ettor, som bearbetas med element?ra logiska operationer!

Och de kommande tv? operationerna som vi kommer att ?verv?ga ?r inte oberoende, det vill s?ga kan uttryckas genom negation, konjunktion och disjunktion:

Implikation och logisk konsekvens.
N?dv?ndigt skick. Tillr?ckligt skick

Sm?rtsamt v?lbekanta fraser: "d?rf?r", "av detta f?ljer detta", "om, d?", etc.

Underf?rst?tt uttalanden (paket) Och (f?ljd) de kallar ett p?st?ende som ?r falskt i det enda fallet - n?r det ?r sant och - falskt:

Den grundl?ggande inneb?rden av operationen ?r detta (l?s och titta igenom tabellen uppifr?n och ned):

endast sanning kan f?lja av sanning och kan inte f?lja en l?gn;

Allt kan f?lja av en l?gn (nedre tv? raderna), medan:

sanningen i premissen ?r tillr?ckligt skick f?r sanningen i slutsatsen,

och sanningen i slutsatsen ?r ett n?dv?ndigt villkor f?r sanningen av premissen.

L?t oss titta p? ett specifikt exempel:

L?t oss g?ra en implikation av uttalandena - det regnar Och - det ?r fuktigt ute:

Om b?da p?st?endena ?r sanna, ?r implikationen ocks? sann. – regnar det ute s? ?r det fuktigt ute. Samtidigt kan det inte vara s? det regnade, A det var torrt ute :

Om inget regn, Det det kan vara torrt ute :

s? fuktigt :
(till exempel f?r att sn?n har sm?lt).

Och L?T OSS GRUNDA P? dessa "st?mplade" ord n?dv?ndighet Och l?mplighet:

Regnet ?r tillr?cklig f?ruts?ttning f?r att det ska vara fuktigt ute och ? andra sidan fukt ute n?dv?ndig att antyda att det har regnat (f?r om det ?r torrt s? har det definitivt inte regnat).

Den omv?nda inneb?rden ?r olaglig: – det finns fortfarande fukt p? gatan inte tillr?ckligt f?r att motivera faktumet av regn, och dessutom ?r regn inte en N?DV?NDIG orsak till fukt (eftersom till exempel hagel kan passera och sm?lta).

Det verkar som att det borde vara tydligt, men f?r s?kerhets skull, n?gra fler exempel:

– Att l?ra sig hur man presterar operationer med matriser, n?dv?ndig kunna addera och multiplicera tal. Men detta, som du helt riktigt f?rutser, inte tillr?ckligt.

– Att l?ra sig att utf?ra aritmetiska operationer tillr?ckligt avsluta 9:e klass. Men s? ?r det inte skick n?dv?ndig"Till och med din mormor kan l?ra dig att r?kna, ?ven p? dagis."

– F?r att hitta arean av en triangel tillr?ckligt k?nna till dess sida och h?jden till denna sida. Men ?terigen ?r det inte s? n?dv?ndighet, arean av en triangel kan ocks? hittas med hj?lp av tre sidor (Herons formel) eller t.ex. vektor produkt.

– F?r antagning till tentamen i h?gre matematik Pete n?dv?ndig rapportera om kursuppgifter. Men det h?r inte tillr?ckligt- eftersom du fortfarande m?ste klara provet.

– F?r att hela gruppen ska f? kredit tillr?ckligt ta med en l?da konjak till l?raren. Och h?r, som det ?r l?tt att anta, finns det inget behov n?dv?ndighet l?r dig n?got =) Men observera, f?rberedelser ?r inte alls f?rbjudna;)

Finns det f?ruts?ttningar som ?r n?dv?ndiga och samtidigt tillr?ckliga? S?kert! Och mycket snart kommer vi till dem. Och nu om en viktig princip i matematik:

Matematisk logik ?r formell

Hon ?r intresserad av sanningen eller falskheten i uttalanden, men inte deras inneh?ll! S?, om vi g?r inneb?rden Om sk?ldpaddor inte flyger, d? ?r tv? och tv? lika med fyra., d? blir det sant! Med andra ord kan varje sant uttalande r?ttf?rdigas av vilken sanning som helst (f?rsta raden i tabellen), och ur den formella logikens synvinkel kommer det att vara sant!

Men situationen med en falsk premiss ?r ?nnu mer intressant: vilken l?gn som helst kan r?ttf?rdiga vad som helst - b?de sanning och l?gn:

– om m?nen ?r fyrkantig, d?;
– om pingviner b?r filtst?vlar, s? b?r sk?ldpaddor tofflor.

Och vad? – enligt tabellen ?r b?da p?st?endena sanna!

Dessa fakta kallas implikationsparadox, men i verkligheten ?verv?ger vi naturligtvis exempel som ?r vettiga ur v?r inneh?llslogiks synvinkel.

Och ytterligare en mycket viktig punkt: en implikation indikeras ofta med en ikon (l?s ?ven "d?rf?r", "det f?ljer av detta"), som vi ocks? anv?nder n?r vi l?ser problem, bevisar satser osv. Och h?r vi talar om sammantr?ffandet av notationer– vad vi anv?nder i "vanliga" matematiska ber?kningar ?r str?ngt taget inte en implikation. Vad ?r skillnaden? N?r vi l?ser ett problem och skriver det ("fr?n en f?ljer vara"), d? antar vi uttalandet k?nt f?r att vara sant, och dessutom h?rleda vi en annan sanning fr?n den. I matematisk logik kallas detta logisk konsekvens. Vanligtvis ?r en konsekvens f?rem?l f?r motivering, och d?rf?r, n?r du f?rbereder arbete, f?rs?k alltid att f?rklara vilka axiom, satser, l?sta problem etc. du anv?nde f?r den eller den utg?ngen.

Satsen, i sin k?rna, ?r ocks? en logisk konsekvens: dess tillst?nd ?r baserat p? sann paket (axiom, tidigare bepr?vade satser etc.). Bevis fastst?ller sanningen av konsekvensen, och falska resonemang kan inte anv?ndas i denna process.

En obevisad sats kallas hypotes, och det finns tv? alternativ: antingen h?rleder den sanning fr?n sanning och representerar ett teorem, eller s? ?r hypotesen felaktig, d.v.s. fr?n m?nga verkliga lokaler f?ljt av "inte vara": . I h?ndelse av vederlag, en trivial slutsats som " Ivan Petrovs hypotes ?r felaktig", men ibland kostar detta ocks? mycket - g? f?r det, k?ra l?sare!

L?t oss betrakta som ett exempel, naturligtvis, inte ett megateorem, utan ett uttalande som kr?ver, om ?n enkel, motivering. Fast han kommer inte att vara d?r heller =) =):

– talet ?r delbart med 4;
– talet ?r delbart med 2.

Det ?r uppenbart att konsekvensen sann, det vill s?ga fr?n det faktum att ett tal ?r delbart med 4, f?ljer att det ?r delbart med 2. Och f?ljaktligen ?r den motsatta slutsatsen en l?gn:

Samtidigt vill jag ?terigen uppm?rksamma er p? att premissen initialt postuleras som sanning (till skillnad fr?n implikation, d?r det kan vara falskt).

F?r logiska konsekvenser anv?nds begreppen ocks? n?dv?ndighet Och tillr?cklighet, jag kopierar ett par rader ovanifr?n:

sanningen i premissen ?r tillr?ckligt skick f?r sanningen i slutsatsen,

sanningen i slutsatsen ?r n?dv?ndigt tillst?nd f?r sanningen av premissen.

I v?rt fall:

Delbarhet av ett tal med 4 ?r tillr?cklig villkor f?r att det ska vara delbart med 2. Och ? andra sidan ?r delbarheten av ett tal med 2 n?dv?ndig villkor f?r delbarhet med 4.

Det b?r noteras att det ?verv?gda exemplet ocks? kan skrivas i form av en implikation:
(anv?nd tabellen, analysera alla layouter sj?lv)

Dock i allm?nhet ?r "koncept?verf?ring" felaktig! Det vill s?ga, om vi talar om det faktum att , betyder det inte att implikationen kommer att vara sann. Och jag kommer att ge ett s?dant exempel i sista stycket. och du m?ste klara 3 tentor (annars kommer sessionen inte att godk?nnas) och samtidigt detta tillr?ckligt (eftersom du inte beh?ver g?ra n?got annat).

Det speciella med ekvivalensen ?r att heller b?de, eller Ingenting, Till exempel:

Petya lyfter skivst?ngen om och bara om Masha dansar p? bordet

Det betyder att antingen Petya g?r vikterna och Masha dansar p? bordet, eller s? ligger de b?da i soffan Peter, du f?rtj?nar det! =) Petya och Masha ?r s? v?nliga. Nu verkar det finnas en liknande fras utan "d? och f?rst d?":

Petya lyfter vikter medan Masha dansar p? bordet

Men inneb?rden har ?ndrats n?got: h?r kan vi anta att Petya ibland lyfter skivst?ngen utan Masha, och ? andra sidan, Masha "bryr sig inte" om Petya sv?nger under sin dans.

Detta ?r kraften i ett n?dv?ndigt och tillr?ckligt tillst?nd! – det f?renar och disciplinerar =)

...Jag ville f?rdela rollerna ?t andra h?llet f?r skojs skull, men s? ?ndrade jag mig... ?nd? kan man inte marknadsf?ra n?got s?dant =)

P? tal om disciplin, ett rationellt f?rh?llningss?tt f?ruts?tter n?dv?ndighet och tillr?cklighet - n?r en person g?r exakt s? mycket som n?dv?ndigt och inte mer f?r att uppn? ett m?l. Detta kan naturligtvis vara tr?kigt i vardagen, men det ?r mycket v?lkommet i matematiska resonemang, som vi redan ?r tr?tta p?:

En triangel ?r liksidig om och endast om dess vinklar ?r lika

Uttalanden – liksidig triangel Och - den har lika vinklar kan korreleras med motsvarigheten, men i praktiken associerar vi dem n?stan alltid med en tv?kantig symbol logisk konsekvens kallas hypotenusan

Denna punkt ?r faktiskt Pythagoras sats, vars formulering ?r bekant f?r oss fr?n skolan: "Om triangeln ?r r?tvinklig, d?."

2) Vid det andra steget ?r det motiverat l?mplighet:
– h?r ?r det n?dv?ndigt att bevisa att giltigheten av j?mlikhet tillr?cklig s? att triangeln ?r rektangul?r.

Studenter, ?terigen, skr?ms inte av s?dana ord, och den andra punkten ?r formulerad i form av Pythagoras inversa sats: "Om , d? ?r triangeln r?tvinklig."

Det finns m?nga "om och bara d?"-kopplingar i matematik, och jag har precis gett ett standardschema f?r att bevisa dem. Och, naturligtvis, alltid analysera vad de betyder "n?dv?ndig"

Jag v?ntar p? dig i den andra delen av v?r sp?nnande lektion, d?r vi kommer att bekanta oss med de viktigaste logiska formler och lagar och ?ven l?sa praktiska problem. F?r att l?sa problemen beh?ver du fem surfplattor fr?n den h?r sidan, s? jag rekommenderar att du omedelbart kopierar dem p? ett papper s? att de ligger framf?r dina ?gon.

Dessutom kommer jag att ber?tta hemligheten f?r att framg?ngsrikt studera matematisk logik;)

Introduktion

Studiefr?gor:

Begrepp och definitioner av matematisk logik.

Grundl?ggande operationer av propositionalgebra.

Lagar och konsekvenser av boolesk algebra.

Slutsats

Introduktion

Den teoretiska grunden f?r att konstruera en dator ?r speciella matematiska discipliner. En av dem ?r logikens algebra, eller boolesk algebra (J. Boole ?r en engelsk matematiker fr?n 1800-talet, grundaren av denna disciplin). Dess apparat anv?nds ofta f?r att beskriva datorkretsar, deras design och optimering.

1. Begrepp och definitioner av matematisk logik.

Logik- vetenskap som studerar lagar och t?nkande; l?ran om resonemangsmetoder och bevis.

Matematisk logik (teoretisk logik, symbolisk logik) ?r en gren av matematiken som studerar bevis och fr?gor om matematikens grunder. "?mnet modern matematisk logik ?r m?ngsidigt." Enligt definitionen av P. S. Poretsky ?r "matematisk logik logik enligt ?mnet, matematik enligt metoden." Enligt N.I. Kondakovs definition ?r "matematisk logik det andra stadiet, efter traditionell logik, i utvecklingen av formell logik, med hj?lp av matematiska metoder och en speciell apparat av symboler och utforskande av t?nkande med kalkyl (formaliserade spr?k)." Denna definition motsvarar definitionen av S. K. Kleene: matematisk logik ?r "logik utvecklad med matematiska metoder." ?ven A. A. Markov definierar modern logik som "en exakt vetenskap som anv?nder matematiska metoder." Alla dessa definitioner mots?ger inte, utan kompletterar varandra.

Anv?ndningen av matematiska metoder i logiken blir m?jlig n?r bed?mningar formuleras i n?got exakt spr?k. S?dana exakta spr?k har tv? sidor: syntax och semantik. Syntax ?r en upps?ttning regler f?r att konstruera spr?kobjekt (vanligtvis kallade formler). Semantik ?r en upps?ttning konventioner som beskriver v?r f?rst?else av formler (eller n?gra av dem) och l?ter oss betrakta vissa formler som sanna och andra inte.

Matematisk logik studerar de logiska sambanden och sambanden bakom logisk (deduktiv) slutledning, med hj?lp av matematikens spr?k.

Vi l?r oss v?rldens lagar, f?rem?lens v?sen och vad de har gemensamt genom abstrakt t?nkande. De huvudsakliga formerna av abstrakt t?nkande ?r begrepp, bed?mningar och slutsatser.

Begrepp- en form av t?nkande som ?terspeglar de v?sentliga egenskaperna hos ett enskilt objekt eller en klass av homogena objekt. Begrepp i spr?ket uttrycks i ord.

Begreppets omfattning- en upps?ttning objekt, som vart och ett har egenskaper som utg?r inneh?llet i konceptet. Det finns allm?nna och individuella begrepp.

F?ljande relationer mellan begrepp s?rskiljs efter volym:

identitet eller sammantr?ffande av volymer, vilket betyder att volymen av ett begrepp ?r lika med volymen av ett annat begrepp;

underordning eller inkludering av volymer: omfattningen av ett av begreppen ?r helt inkluderat i omfattningen av det andra;

undantag volymer - ett fall d?r det inte finns en enda funktion som skulle finnas i tv? volymer;

sk?rning eller partiell sammantr?ffande av volymer;

underordning volymer - fallet n?r volymerna av tv? begrepp, som utesluter varandra, ing?r i volymen av det tredje.

Dom- detta ?r en form av t?nkande d?r n?got bekr?ftas eller f?rnekas om f?rem?l, egenskaper eller deras relationer.

Slutledning- en form av t?nkande genom vilken vi utifr?n en eller flera bed?mningar, kallade premisser, enligt vissa slutledningsregler f?r en dom-slutsats.

Algebra i ordets breda bem?rkelse, vetenskapen om allm?nna operationer, liknande addition och multiplikation, som kan utf?ras inte bara p? tal, utan ocks? p? andra matematiska objekt.

Algebra av logik (propositionalgebra, boolesk algebra 1 ) - ett avsnitt av matematisk logik d?r logiska operationer p? p?st?enden studeras. Oftast antas det (s? kallad bin?r eller bin?r logik, till skillnad fr?n t.ex. tern?r logik) att p?st?enden bara kan vara sanna eller falska.

Exempel p? algebror: algebra f?r naturliga tal, algebra f?r rationella tal, algebra f?r polynom, algebra f?r vektorer, algebra f?r matriser, algebra f?r m?ngder osv. Objekten f?r logikens algebra eller boolesk algebra ?r propositioner.

P?st?ende- ?r vilken mening som helst av vilket spr?k som helst (p?st?ende), vars inneh?ll kan best?mmas som sant eller falskt.

N?got uttalande eller sann, eller falsk; det kan inte vara b?da samtidigt.

P? naturligt spr?k uttrycks p?st?enden med deklarativa meningar. Utrops- och fr?gesatser ?r inte p?st?enden.

P?st?enden kan uttryckas med matematiska, fysikaliska, kemiska och andra symboler. Du kan g?ra p?st?enden fr?n tv? numeriska uttryck genom att koppla dem med likhetstecken eller olikhetstecken.

Uttalandet kallas enkel(element?rt) om ingen del av det i sig ?r ett uttalande.

Ett p?st?ende som best?r av enkla p?st?enden kallas sammansatt(komplicerad).

Enkla p?st?enden i logisk algebra betecknas med stora latinska bokst?ver:

A= (Aristoteles - grundare av logiken),

I= (Bananer v?xer p? ?ppeltr?d).

Ber?ttigandet f?r sanningen eller falskheten i enkla p?st?enden avg?rs utanf?r logikens algebra. Till exempel, sanningen eller falskheten i p?st?endet: "Summan av vinklarna i en triangel ?r 180 grader" fastst?lls av geometri, och i Euklids geometri ?r detta p?st?ende sant, och i Lobachevskys geometri ?r det falskt.

En sann p?st?ende tilldelas 1, en falsk etta - 0. Allts?, A = 1, I = 0.

Logikens algebra ?r abstraherad fr?n det semantiska inneh?llet i p?st?enden. Hon ?r bara intresserad av ett faktum - om ett givet p?st?ende ?r sant eller falskt, vilket g?r det m?jligt att best?mma sanningen eller falskheten i sammansatta p?st?enden med algebraiska metoder.

en modern matematisk modell av formell logik som vetenskapen om korrekt resonemang. Enligt den ryske logikern Poretskys tr?ffande uttryck ?r matematisk logik logik i sitt ?mne och matematik i sin metod f?r att l?sa sina problem. Den systematiska utvecklingen av matematisk logik b?rjade med Bolzanos, Freges, Russells och Wittgensteins arbete. K?rnan i denna logik ?r ?verv?gandet av de flesta logiska kategorier (begrepp, predikat, bed?mning, slutledning, slutsats, bevis) som logiska funktioner, vars omfattning ?r sanningsv?rden. Hur logiska funktioner tolkas och alla logiska operatorer (termerna "Alla", "Finns", "N?gra", "En", "Ingen", "och", "eller", "om, d?", "identiskt", "m?jligen" ", "n?dv?ndigt", etc., etc.). Alla logiska funktioner specificeras slutligen i tabellform med alla m?jliga kombinationer av det angivna antalet sanningsv?rden vid "ing?ngen" och "utg?ngen" av dessa funktioner. Till exempel modelleras den logiska relationen "om, d?..." med hj?lp av =-funktionen, kallad materiell implikation.

Utm?rkt definition

Ofullst?ndig definition ?

MATEMATISK LOGIK

logik, som har utvecklats till en exakt vetenskap med hj?lp av matematik. metoder, eller, enligt P. S. Poretsky, logik efter ?mne, matematik efter metoder. Id?n att bygga M. l. f?rst uttryckt av Leibniz. Men f?rst p? 1800-talet. i op. Booles "Mathematical analysis of logic" (G."Boole, "The matematical analysis of logic", 1847) inledde den systematiska utvecklingen av denna vetenskap. Den fortsatta utvecklingen av matematisk logik stimulerades till stor del av matematikens behov, vilket st?llde till logiska problem. f?r l?sningar som den klassiska logikens gamla medel var ol?mpliga. Ett av dessa problem var problemet med Euklids 5:e postulat i geometri utan bevis f?r best?mmelserna i den utvecklade teorin - det s? kallade axiomet, fr?n vilket allt dess vidare inneh?ll logiskt h?rleds. Den klassiska prototypen f?r en s?dan matematisk teori ?r den euklidiska konstruktionen av geometri , uppst?r ett antal logiska problem oberoendet av en given teoris axiom, vilket best?r i att fastst?lla att inget av teorins axiom rent logiskt kan h?rledas fr?n de ?terst?ende axiomen. F?r euklidisk geometri f?rblev fr?gan om logisk logik ?ppen i tv? ?rtusenden. oberoende av Euklids 5:e postulat. M?nga f?f?nga f?rs?k gjordes att h?rleda den fr?n de ?terst?ende axiomen i den euklidiska geometrin, tills slutligen, i N. I. Lobachevskys verk, ?vertygelsen att en s?dan slutsats var om?jlig f?rst uttryckligen uttrycktes. Denna ?vertygelse f?rst?rktes av Lobatjovs konstruktion av en ny geometri, radikalt skild fr?n euklidisk. Det fanns inga mots?gelser i Lobatsjovskijs geometri, noggrant utvecklad av dess skapare; detta inspirerade till f?rtroende f?r att mots?gelser inte alls kunde uppst?, oavsett hur l?ngt h?rledningen av konsekvenserna fr?n den nya geometrins axiom gick fram?t. Senare matematikern F. Klein bevisade att mots?gelser inte kan uppst? i Lobatjovskijs geometri om de inte kan uppst? i den euklidiska geometrin (se Axiomatisk metod). S? h?r uppstod och delvis l?stes de historiskt f?rsta problemen med ”obevisbarhet” och konsistens inom axiomatik. teorier. Den exakta formuleringen av s?dana problem och att de betraktas som matematiska problem kr?ver ett f?rtydligande av begreppet bevis. Allt matematiskt. beviset best?r i en konsekvent till?mpning av vissa logiska logiker. medel till de ursprungliga positionerna. Men logiskt. medel representerar inte n?got absolut, etablerat en g?ng f?r alla. De utvecklades av ?rhundraden av m?nsklig praxis; "... m?nniskans praktiska verksamhet miljarder g?nger borde ha lett m?nniskans medvetande till upprepning av olika logiska figurer, s? att dessa figurer kunde f? betydelsen av axiom" (Lenin V.I., Works, vol. 38, s. 181– 82). M?nsklig praktik ?r dock i varje historisk. scenen ?r begr?nsad, men dess volym v?xer hela tiden. Logisk inneb?r att ett tillfredsst?llande reflekterat m?nskligt t?nkande i ett givet skede eller i ett givet omr?de kanske inte l?ngre l?mpar sig f?r n?sta steg. scen eller inom andra omr?den. Sedan, beroende p? f?r?ndringen av inneh?llet i ?mnet som ?verv?gs, ?ndras ocks? metoden f?r att ?verv?ga det - de logiska f?r?ndringarna. medel. Detta g?ller s?rskilt matematiken med dess l?ngtg?ende abstraktioner i flera grader. Det ?r ingen mening att prata om logik h?r. betyder som n?got givet i sin helhet, som n?got absolut. Men det ?r vettigt att ?verv?ga det logiska. medel som anv?nds i samma eller annan specifik situation som finns i matematik. Deras inr?ttande f?r k.-l. axiomatisk teori och utg?r det ?nskade f?rtydligandet av begreppet bevis f?r denna teori. Betydelsen av detta f?rtydligande f?r matematikens utveckling har blivit tydlig s?rskilt p? senare tid. Medan de utvecklade m?ngdteorin st?lldes vetenskapsm?n inf?r ett antal sv?ra problem, s?rskilt med problemet med kontinuumets kraft som G. Cantor (1883) lade fram, vilket inte befanns vara tillfredsst?llande f?rr?n 1939. n?rmar sig. Dr. problem som var lika envist motst?ndskraftiga mot l?sningar p?tr?ffades i den beskrivande m?ngdteorin som utvecklats av sovjeterna. matematiker. Det blev gradvis uppenbart att sv?righeten med dessa problem ?r logisk, att den ?r f?rknippad med den ofullst?ndiga identifieringen av logiken som anv?nds. medel och axiom och vad som ?r unikt. S?ttet att ?vervinna det ?r att klarg?ra b?da. Det visade sig d?rf?r att l?sningen av dessa problem kr?ver inblandning av matematisk matematik, som d?rf?r ?r en vetenskap n?dv?ndig f?r utvecklingen av matematik. F?r n?rvarande hopps tid st?lld p? M. l. i samband med dessa problem, har redan motiverat sig. Betr?ffande kontinuumproblematiken erh?lls ett mycket betydelsefullt resultat av K. G?del (1939), som bevisade ?verensst?mmelsen mellan Cantors generaliserade kontinuumhypotes med m?ngdl?rans axiom, f?rutsatt att dessa senare ?r konsekventa. Betr?ffande ett antal sv?ra problem inom deskriptiv m?ngdl?ra erh?lls viktiga resultat av P. S. Novikov (1951). F?rtydligande av begreppen bevis i axiomatik. teori ?r ett viktigt steg i dess utveckling. Teorier som passerat detta stadium, d.v.s. axiomatisk teorier med etablerad logik. medel kallas deduktiva teorier. Endast f?r dem kan den exakta formuleringen av problemen med bevisbarhet och konsekvens i axiomatik som intresserar matematiker till?tas. teorier. F?r att l?sa dessa problem i modern tid. M.l. metoden att formalisera bevis anv?nds. Id?n om en metod f?r att formalisera bevis tillh?r honom. matematiker D. Hilbert. Genomf?randet av denna id? blev m?jligt tack vare den tidigare utvecklingen av M. l. Boole, Poretsky, Schroeder, Frege, Peano och andra. Numera ?r metoden att formalisera bevis ett kraftfullt forskningsverktyg i problem med bel?ggande av matematik. Anv?ndningen av formaliseringsmetoden ?r vanligtvis f?rknippad med valet av logiska. delar av den deduktiva teorin som behandlas. Detta logiskt del, formaliserad, liksom hela teorin, i form av en viss kalkyl, d.v.s. ett system av formaliserade axiom och formella regler f?r slutledning, kan betraktas som en sj?lvst?ndig helhet. Det enklaste av logiskt. kalkyler ?r propositionskalkyl, klassiska och konstruktiva. Den formella skillnaden mellan de tv? propositionskalkylerna speglar en djup skillnad i deras tolkningar av betydelsen av propositionella variabler och logiska. bindemedel (se Intuitionism, Problemkalkyl, Propositionslogik). Den mest anv?nda i konstruktionen av deduktiv matematik. teorier finns i nuet. tid klassisk predikatkalkyl, som ?r en utveckling och f?rfining av det klassiska. Aristoteles bed?mningsteori och samtidigt motsvarande m?ngdl?ra. system av abstraktioner. Konstruktiv predikatkalkyl ?r en klassisk kalkyl. predikatkalkyl p? samma s?tt som konstruktiv propositionskalkyl till klassisk. propositionskalkyl. Den mest betydande skillnaden mellan dessa tv? predikatkalkyler ?r relaterad till tolkningen av s?rskilda, eller existentiella, bed?mningar i dem. Medan i den konstruktiva predikatkalkylen tolkas s?dana bed?mningar som p?st?enden om m?jligheten att definiera. strukturer och anses installerade endast n?r dessa strukturer anges, i den klassiska. I predikatkalkylen tolkas existentiella bed?mningar vanligtvis isolerade fr?n konstruktiva m?jligheter som vissa "rena" uttalanden om tillvaron (se. Konstruktiv riktning). En mer tillfredsst?llande tolkning av existentiella bed?mningar ?r klassisk. predikatkalkyl, l?nkande definitioner. S?ledes uppt?cktes denna kalkyl med den konstruktiva kalkylen av predikat av A. N. Kolmogorov 1925. Inom matematik, logiskt. kalkyl anv?nds i kombination med specifik. axiom f?r utplacerade deduktiva teorier. Till exempel kan teorin om naturliga tal byggas genom att kombinera Peanos axiom f?r aritmetik med predikatkalkyl (klassisk eller konstruktiv). Den logiska kombinationen som anv?nds i detta fall. symbolism med matematisk inte bara l?ter dig designa matematiska. teori i form av kalkyl, men kan ocks? vara nyckeln till att klarg?ra matematikens betydelse. f?rslag. F?r n?rvarande uggla tid Matematiker N.A. Shanin utvecklade exakta regler f?r konstruktiv tolkning av matematik. domar som t?cker breda omr?den inom matematiken. Till?mpningen av dessa regler blir m?jlig f?rst efter att domen i fr?ga har skrivits ned p? ett l?mpligt korrekt logiskt-matematiskt spr?k. spr?k. Till f?ljd av till?mpningen av tolkningsreglerna kan en konstruktiv uppgift f?rknippad med en given dom avsl?jas. Detta h?nder dock inte alltid: inte med varje matematisk vetenskapsman. F?rslaget ?r n?dv?ndigtvis f?renat med en konstruktiv uppgift. F?ljande begrepp och id?er ?r f?rknippade med kalkyl. En kalkyl s?gs vara konsekvent om ingen formel av formen U ?r h?rledbar tillsammans med en formel U (d?r det finns ett negationstecken). Problemet med att fastst?lla konsekvensen i den kalkyl som anv?nds i matematik ?r ett av kapitlen. problem M. l. F?r n?rvarande tid, detta problem l?stes endast p? en mycket begr?nsad tid. volym. Olika typer anv?nds. begrepp om kalkylens fullst?ndighet. Med tanke p? t?ckningen av ett eller annat inneh?llsdefinierat omr?de av matematik, anses kalkylen vara komplett med avseende p? detta omr?de om varje formel som uttrycker ett sant uttalande fr?n detta omr?de kan h?rledas i den. Ett annat koncept f?r kalkylens fullst?ndighet ?r f?rknippat med kravet att tillhandah?lla antingen ett bevis eller en vederl?ggning f?r varje proposition som formuleras i kalkyl. Av prim?r betydelse i samband med dessa begrepp ?r G?del–Rosser-satsen, som h?vdar of?renligheten av kravet p? fullst?ndighet med kraven p? konsistens f?r en mycket bred klass av kalkyler. Enligt G?del–Rosser-satsen kan ingen konsekvent kalkyl fr?n denna klass vara komplett med avseende p? aritmetik: f?r varje s?dan kalkyl kan en korrekt aritmetik konstrueras. ett p?st?ende som ?r formaliserat men inte kan h?rledas i denna kalkyl (se metateori). Detta sats, utan att minska v?rdet av M. l. som ett kraftfullt organiseringsverktyg inom vetenskap, d?dar det radikalt f?rhoppningar om denna disciplin som n?got som kan uppn? en universell t?ckning av matematik inom ramen f?r en enda deduktiv teori. F?rhoppningar av detta slag har uttryckts av m?nga. forskare, inklusive Hilbert - den fr?msta representanten f?r formalism i matematik - en riktning som f?rs?kte reducera all matematik till manipulationer med formler enligt vissa regler fastst?llda en g?ng f?r alla. Resultatet av G?del och Rosser gav ett f?rkrossande slag ?t denna riktning. P? grund av deras teorem kan inte ens en s? relativt element?r del av matematiken som aritmetiken av naturliga tal t?ckas av en enda deduktiv teori. M.l. organiskt kopplat till kybernetik, i synnerhet med teorin om rel?kretsar och automater, maskinmatematik och matematisk lingvistik. Ans?kningar M. l. till rel?kontaktkretsar ?r baserade p? det faktum att varje tv?polig rel?kontaktkrets f?ljer. k?nsla, det modellerar en viss formel U klassisk. propositionskalkyl. Om kretsen styrs av n rel?er, s? inneh?ller U samma antal olika propositionsvariabler, och om vi betecknar med bi bed?mningen "Rel?nummer i fungerade", s? kommer kretsen att st?ngas om och endast d? n?r resultatet av ers?ttning bed?mningarna b1, ... ?r sanna , bn ist?llet f?r motsvarande logiska. variabler i U. Konstruktionen av en s?dan simulerad formel som beskriver kretsens "driftf?rh?llanden" visar sig vara s?rskilt enkel f?r den sk. v-kretsar erh?llna fr?n element?ra enkontaktskretsar genom parallella och seriella anslutningar. Detta beror p? det faktum att parallella och sekventiella anslutningar av kretsar modellerar, respektive, disjunktionen och konjunktionen av bed?mningar. I sj?lva verket ?r en krets som erh?lls genom parallell (seriell) anslutning av kretsarna Cl och C2 sluten om och endast om kretsen Cl ?r sluten och/eller kretsen C2 ?r sluten. Till?mpningen av propositionskalkyl p? stegkretsar har ?ppnat ett fruktbart f?rh?llningss?tt till viktiga problem inom modern vetenskap. teknologi. Samtidigt ledde denna koppling mellan teori och praktik till formulering och dell?sning av plural. nya och sv?ra problem av M. l., som i f?rsta hand omfattar s.k. problemet med minimering, som best?r i att hitta effektiva metoder f?r att hitta den enklaste formeln som motsvarar en given formel. Rel?kontaktkretsar ?r ett specialfall av styrkretsar som anv?nds i modern teknik. varuautomater Styrkretsar av andra typer, i synnerhet kretsar gjorda av vakuumr?r eller halvledarelement, som har ?nnu st?rre praktiska egenskaper. v?rde, kan ocks? utvecklas med hj?lp av M. l., vilket ger adekvata verktyg f?r b?de analys och syntes av s?dana scheman. Spr?k M. l. visade sig vara till?mplig ?ven i den programmeringsteori som skapats i dag. tid i samband med utvecklingen av maskinmatematiken. Slutligen skapades i M. l. Kalkylapparaten visade sig vara till?mpbar inom matematisk lingvistik, som studerar matematikens spr?k. metoder. En av de viktigaste Problemet med denna vetenskap ?r den exakta formuleringen av grammatikreglerna f?r spr?ket i fr?ga, dvs. en exakt definition av vad som menas med "en grammatiskt korrekt fras av det spr?ket." Som Amer. vetenskapsmannen Chomsky, det finns all anledning att leta efter en l?sning p? detta problem i f?ljande form: en viss kalkyl konstrueras och uttryck som best?r av tecknen i alfabetet f?r ett visst spr?k och som h?rr?r fr?n denna kalkyl deklareras i grammatiskt korrekta fraser . Arbetet i denna riktning forts?tter. Se ?ven Algebra of Logic, Constructive Logic, Combinatorial Logic, Class Logic, Logical Calculus, Modal Logic och lit. med dessa artiklar. A. Markov. Moskva.

Grunderna i matematisk logik. ?mne f?r matematisk logik