I en isometrisk projektion ?r alla koefficienter lika med varandra:

k = t = n;

3 till 2 = 2,

k = yj 2UZ - 0,82.

F?ljaktligen, n?r man konstruerar en isometrisk projektion, multipliceras dimensionerna av ett objekt, plottade l?ngs de axonometriska axlarna, med 0,82. S?dan omr?kning av storlekar ?r obekv?m. D?rf?r, f?r f?renkling, utf?rs vanligtvis en isometrisk projektion utan att minska dimensionerna (distorsion) l?ngs axlarna x, y, jag, de d?r. ta den reducerade distorsionskoefficienten lika med enhet. Den resulterande bilden av objektet i isometrisk projektion ?r n?got st?rre i storlek ?n i verkligheten. ?kningen i detta fall ?r 22 % (uttryckt som 1,22 = 1: 0,82).

Varje segment riktat l?ngs axlarna x, y, z eller parallellt med dem, beh?ller sin storlek.

Placeringen av de isometriska projektionsaxlarna visas i fig. 6.4. I fig. 6.5 och 6.6 visar ortogonala (A) och isometrisk (b) punktprojektion A och segment L I.

Hexagonalt prisma i isometri. Konstruktionen av ett hexagonalt prisma enligt denna ritning i ett system av ortogonala projektioner (till v?nster i fig. 6.7) visas i fig. 6.7. P? den isometriska axeln jag avsatt h?jd N, dra linjer parallellt med axlarna hej. Markera p? en linje parallell med axeln X, position av punkter / och 4.

Att plotta en punkt 2 best?m koordinaterna f?r denna punkt p? ritningen - x 2 Och vid 2 och genom att plotta dessa koordinater p? den axonometriska bilden, konstruera en punkt 2. Punkter ?r konstruerade p? samma s?tt 3, 5 Och 6.

De konstruerade punkterna p? den ?vre basen ?r anslutna till varandra, en kant dras fr?n punkten / till sk?rningen med x-axeln, sedan -

kanter fr?n punkter 2 , 3, 6. Revbenen p? den nedre basen ?r parallella med revbenen p? den ?vre. Konstruera en punkt L, placerad p? sidoytan, l?ngs koordinaterna x A(eller vid A) Och 1 A uppenbarligen fr?n

Isometri av en cirkel. Cirklar i isometri avbildas som ellipser (Fig. 6.8) som indikerar v?rdena f?r ellipsernas axlar f?r de reducerade distorsionskoefficienterna lika med ett.

Ellipsernas huvudaxel ligger i en vinkel p? 90° f?r ellipser som ligger I PLANET xC>1 till axeln y, I PLANET y01 TILL X-AXEL, i plan xOy TILL AXEL?.

N?r man konstruerar en isometrisk bild f?r hand (som en ritning) g?rs ellipsen med ?tta punkter. Till exempel brickor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 och 8 (se fig. 6.8). Po?ng 1, 2, 3 och 4 finns p? motsvarande axonometriska axlar och punkterna 5, 6, 7 Och 8 ?r konstruerade enligt v?rdena f?r motsvarande stora och mindre axlar i ellipsen. N?r du ritar ellipser i isometrisk projektion kan du ers?tta dem med ovaler och bygga dem enligt f?ljande 1. Konstruktionen visas i fig. 6.8 med exemplet p? en ellips som ligger i ett plan xOz. Fr?n punkten / som fr?n mitten, g?r ett sk?ra med en radie R=D p? forts?ttningen av ellipsens mindre axel vid punkt O (de konstruerar ocks? p? liknande s?tt en punkt som ?r symmetrisk till den, vilket inte visas p? ritningen). Fr?n punkt O, som fr?n mitten, ritas en b?ge C.G.C. radie D, som ?r en av b?garna som utg?r konturen av ellipsen. Fr?n punkt O, som fr?n mitten, ritas en b?ge med radie O^G tills den sk?r ellipsens huvudaxel vid punkter OU Rita genom punkter O sid 0 3 r?t linje, som finns i sk?rningspunkten med b?gen C.G.C. punkt TILL, som avg?r 0 3 K- radien f?r ovalens st?ngningsb?ge. Po?ng TILL?r ocks? f?rbindelsepunkterna f?r b?garna som utg?r ovalen.

Isometri av en cylinder. En isometrisk bild av en cylinder best?ms av isometriska bilder av cirklarna i dess bas. Konstruktion i isometri av en cylinder med h?jd N enligt den ortogonala ritningen (fig. 6.9, v?nster) och punkt C p? dess sidoyta visas i fig. 6,9, eller hur.

F?reslagen av Yu.B. Ivanov.

Ett exempel p? att konstruera en rund fl?ns med fyra cylindriska h?l och ett triangul?rt i en isometrisk projektion visas i fig. 6.10. Vid konstruktion av axlarna f?r cylindriska h?l, s?v?l som kanterna p? ett triangul?rt h?l, anv?nds deras koordinater, till exempel koordinaterna x 0 och y 0.

Axonometriska projektioner anv?nds f?r att visuellt avbilda olika f?rem?l. ?mnet h?r skildras som det ses (ur en viss synvinkel). Denna bild ?terspeglar alla tre rumsliga dimensioner, s? att l?sa en axonometrisk ritning orsakar vanligtvis inga sv?righeter.

En axonometrisk ritning kan erh?llas med antingen en rektangul?r projektion eller en sned projektion. Objektet ?r placerat s? att de tre huvudriktningarna f?r dess m?tt (h?jd, bredd, l?ngd) sammanfaller med koordinataxlarna och tillsammans med dem projiceras p? planet. Projektionsriktningen b?r inte sammanfalla med koordinataxlarnas riktning, dvs ingen av axlarna kommer att projiceras till punkten. Endast i det h?r fallet kommer du att f? en tydlig bild av alla tre axlarna.

F?r att erh?lla rektangul?ra axonometriska projektioner lutas koordinataxlarna relativt projektionsplanet R A s? att deras riktning inte sammanfaller med de utskjutande str?larnas riktning. Med snedprojektion kan man variera b?de projektionsriktningen och koordinataxlarnas lutning relativt projektionsplanet. I det h?r fallet kommer koordinataxlarna, beroende p? deras lutningsvinkel mot det axonometriska projektionsplanet och projektionsriktningen, att projiceras med olika distorsionskoefficienter. Beroende p? detta kommer olika axonometriska projektioner att erh?llas, olika i placeringen av koordinataxlarna. GOST 2.317-69 (ST SEV 1979-79) tillhandah?ller f?ljande axonometriska projektioner: rektangul?r isometrisk projektion; rektangul?r dimetrisk projektion; sned frontal isometrisk projektion; sned horisontell isometrisk projektion; sned frontal dimetrisk projektion.

§ 26. REKTANGUL?RA AXONOMETRISKA PROJEKTIONER

Isometrisk projektion ?r mycket visuell och anv?nds flitigt i praktiken. N?r man erh?ller en isometrisk projektion lutar koordinataxlarna i f?rh?llande till projektionernas axonometriska plan s? att de har samma lutningsvinkel (Fig. 236). I detta fall projiceras de med samma distorsionsfaktor (0,82) och i samma vinkel mot varandra (120°).

I praktiken tas f?rvr?ngningskoefficienten l?ngs axlarna vanligtvis lika med enhet, d.v.s. det faktiska v?rdet av storleken s?tts ?t sidan. Bilden f?rstoras med 1,22 g?nger, men detta leder inte till f?rvr?ngning av formen och p?verkar inte klarheten, utan f?renklar konstruktionen.

Axonometriska axlar i isometri utf?rs genom att f?rst konstruera vinklar mellan axlarna x, y Och z(120°) eller axellutningsvinklar X Och p? till den horisontella linjen (30°). Konstruera axlar i isometri med att anv?nda en kompass visas i fig. 237, var ?r radien R tas godtyckligt. I fig. 238 visar en metod f?r att konstruera axlar X Och p? med en tangent p? 30°. Fr?n punkt HANDLA OM- sk?rningspunkterna f?r de axonometriska axlarna l?gger fem identiska segment av godtycklig l?ngd till v?nster eller h?ger l?ngs en horisontell linje och, efter att ha dragit en vertikal linje genom den sista indelningen, l?gg tre identiska segment upp och ner p? den. De konstruerade punkterna ?r kopplade till punkten HANDLA OM och f? yxor ?h Och OU.

Du kan plotta (konstruera) dimensioner och g?ra m?tningar i axonometri endast l?ngs axlar ?h, ?h Och Uns eller p? raka linjer parallella med dessa axlar.

I fig. 239 visar konstruktionen av en punkt A i isometri enligt en ortogonal ritning (fig. 239, a). Punkt A ligger i planet V. F?r att konstruera det r?cker det att konstruera en sekund?r projektion A"prickar A(Fig. 239, b) p? ytan xOz efter koordinater X A Och Z A . Punktbild A sammanfaller med dess sekund?ra projektion. Sekund?ra projektioner av en punkt ?r bilderna av dess ortogonala projektioner inom axonometri.

I fig. 240 visar konstruktionen av punkt B i isometri. Konstruera f?rst en sekund?r projektion av punkt B p? planet xOy. F?r att g?ra detta, fr?n ursprunget l?ngs axeln ?h l?gga undan koordinaten X in(Fig. 240, b), erh?ll en sekund?r projektion av punkten b x. Fr?n denna punkt parallellt med axeln OU rita en rak linje och markera koordinaten p? den Y B .

Konstruerad punkt b p? det axonometriska planet kommer den sekund?ra projektionen av punkten I. Svep fr?n en punkt b en r?t linje parallell med Oz-axeln, rita koordinaten Z B och f? punkt B, d.v.s. en axonometrisk bild av punkt B. Axonometrin f?r punkt B kan ocks? konstrueras fr?n sekund?ra projektioner p? planet zOh eller zОу.

Rektangul?r dimetrisk utspr?ng. Koordinataxlarna ?r placerade s? att de tv? axlarna ?h Och Uns hade samma lutningsvinkel och projicerades med samma distorsionsfaktor (0,94) och den tredje axeln OU skulle lutas s? att projektionsf?rvr?ngningsfaktorn blir h?lften s? stor (0,47). Typiskt ?r den axiella distorsionsfaktorn ?h Och Uns tas lika med enhet och l?ngs axeln OU- 0,5. Bilden visar sig vara f?rstorad med 1,06 g?nger, men detta, precis som i isometrin, p?verkar inte bildens klarhet utan f?renklar konstruktionen. Placeringen av axlarna i rektangul?r diameter visas i fig. 241. De ?r konstruerade genom att l?gga bort vinklar p? 7° 10" och 41° 25" fr?n den horisontella linjen l?ngs en gradskiva, eller genom att l?gga av identiska segment av godtycklig l?ngd, som visas i fig. 241. Anslut de resulterande punkterna till en punkt HANDLA OM. N?r man konstruerar en rektangul?r dimetri m?ste man komma ih?g att de faktiska m?tten endast plottas p? axlarna ?h Och Uns eller p? linjer parallella med dem. Axiella m?tt OU och parallellt med det avbryts de med en distorsionsfaktor p? 0,5.

§ 27. SK?DA AXONOMETRISKA PROJEKTIONER

Isometrisk vy framifr?n. Placeringen av de axonometriska axlarna visas i fig. 242. Axellutningsvinkel OU till horisontalplanet ?r vanligtvis 45°, men kan vara 30 eller 60°.

Horisontell isometrisk projektion. Placeringen av de axonometriska axlarna visas i fig. 243. Axellutningsvinkel OU till horisontalplanet ?r vanligtvis 30°, men kan vara 45 eller 60°. I detta fall ?r vinkeln 90° mellan axlarna ?h Och OU m?ste bevaras.

Frontala och horisontella sneda isometriska projektioner ?r konstruerade utan f?rvr?ngning l?ngs axlarna ?h, ?h Och Uns.

Frontal dimetrisk projektion. Placeringen av axlarna visas i fig. 244. Fig. 245 illustrerar projektionen av koordinataxlar p? det axonometriska projektionsplanet. Plan xOz parallellt med planet R. Till?ten axel OU utf?rs i en vinkel av 30 eller 60° mot den horisontella, axiella distorsionskoefficienten ?h Och Uns taget lika med 1, och l?ngs axeln OU- 0,5.

KONSTRUKTION AV PLATTA GEOMETRISKA FIGURER I AXONOMETRI

Grunden f?r ett antal geometriska kroppar ?r en platt geometrisk figur: en polygon eller en cirkel. F?r att konstruera en geometrisk kropp i axonometri m?ste du f?rst och fr?mst kunna konstruera dess bas, det vill s?ga en platt geometrisk figur. L?t oss till exempel ?verv?ga konstruktionen av platta figurer i rektangul?r isometrisk och dimetrisk projektion. Konstruktionen av polygoner i axonometri kan utf?ras med hj?lp av koordinatmetoden, n?r varje vertex i polygonen ?r konstruerad i axonometri som en separat punkt (konstruktionen av en punkt med koordinatmetoden diskuteras i § 26), d? ?r de konstruerade punkterna sammankopplade med raka linjesegment och en bruten sluten linje erh?lls i form av en polygon. Detta problem kan l?sas p? olika s?tt. I en vanlig polygon b?rjar konstruktionen med symmetriaxeln och i en oregelbunden polygon dras ytterligare en linje, som kallas basen, parallellt med en av koordinataxlarna i den ortogonala ritningen.

Definiera axlarna. F?r att g?ra detta, rita en cirkel med godtycklig radie fr?n punkt O. Dess centrala vinkel ?r 360?. Dela cirkeln i 3 lika stora, med OZ-axeln som basradie. I detta fall kommer vinkeln f?r varje sektor att vara lika med 120?. De tv? radierna representerar OX- och OY-axlarna du beh?ver.

Best?m positionen. Dela vinklarna mellan axlarna p? mitten. Anslut punkt O till dessa nya punkter med tunna linjer. Mittl?ge cirkel beror p? f?rh?llandena. Markera den med en prick och rita en vinkelr?tt mot den i b?da riktningarna. Denna linje kommer att best?mma l?get f?r den stora diametern.

Ber?kna diametrarna. De beror p? om du till?mpar en snedvridningsfaktor eller inte. Denna koefficient f?r alla axlar ?r 0,82, men ganska ofta avrundas den och tas som 1. Med h?nsyn till distorsionen ?r ellipsens stora och mindre diametrar 1 respektive 0,58 av originalet. Utan att till?mpa koefficienten ?r dessa dimensioner 1,22 och 0,71 av diametern p? den ursprungliga cirkeln.

Video om ?mnet

notera

F?r att skapa en tredimensionell bild kan du konstruera inte bara en isometrisk, utan ocks? en dimetrisk projektion, s?v?l som ett frontalt eller linj?rt perspektiv. Projektioner anv?nds i detaljritningar, medan perspektiv anv?nds fr?mst inom arkitektur. En cirkel i dimetri ?r ocks? avbildad som en ellips, men det finns ett annat arrangemang av axlar och olika f?rvr?ngningskoefficienter. Vid utf?randet av olika typer av perspektiv beaktas f?r?ndringar i storlek med avst?nd fr?n betraktaren.

F?r att f? en axonometrisk projektion av ett objekt (fig. 106) ?r det n?dv?ndigt att mentalt: placera objektet i koordinatsystemet; v?lj ett axonometriskt projektionsplan och placera objektet framf?r det; v?lj riktningen f?r parallella utskjutande str?lar, som inte b?r sammanfalla med n?gon av de axonometriska axlarna; rikta de projicerande str?larna genom alla punkter p? objektet och koordinataxlarna tills de sk?r det axonometriska planet f?r projektionerna, och erh?ller d?rigenom en bild av det projicerade objektet och koordinataxlarna.

P? det axonometriska planet av projektioner erh?lls en bild - en axonometrisk projektion av ett objekt, s?v?l som projektioner av axlarna f?r koordinatsystem, som kallas axonometriska axlar.

En axonometrisk projektion ?r en bild som erh?lls p? ett axonometriskt plan som ett resultat av parallell projektion av ett objekt tillsammans med ett koordinatsystem, som visuellt visar dess form.

Koordinatsystemet best?r av tre ?msesidigt sk?rande plan som har en fast punkt - origo (punkt O) och tre axlar (X, Y, Z) som utg?r fr?n det och ligger i r?t vinkel mot varandra. Koordinatsystemet l?ter dig g?ra m?tningar l?ngs axlarna och best?mma objektens position i rymden.

Ris. 106. Erh?lla en axonometrisk (rektangul?r isometrisk) projektion

Du kan f? m?nga axonometriska projektioner genom att placera objektet framf?r planet p? olika s?tt och v?lja olika riktningar f?r de utskjutande str?larna (Fig. 107).

Den vanligaste ?r den s? kallade rektangul?ra isometriska projektionen (i framtiden kommer vi att anv?nda dess f?rkortade namn - isometrisk projektion). En isometrisk projektion (se fig. 107, a) ?r en projektion d?r distorsionskoefficienterna l?ngs alla tre axlarna ?r lika, och vinklarna mellan de axonometriska axlarna ?r 120°. En isometrisk projektion erh?lls med parallell projektion.

Ris. 107. Axonometriska projektioner fastst?llda av GOST 2.317-69:
a - rektangul?r isometrisk projektion; b - rektangul?r dimetrisk projektion;
c - sned frontal isometrisk projektion;
d - sned frontal dimetrisk projektion

Ris. 107. Forts?ttning: d - sned horisontell isometrisk projektion

I det h?r fallet ?r de utskjutande str?larna vinkelr?ta mot det axonometriska projektionsplanet och koordinataxlarna lutar lika mycket mot det axonometriska projektionsplanet (se fig. 106). Om du j?mf?r de linj?ra dimensionerna av ett f?rem?l och motsvarande dimensioner p? den axonometriska bilden, kan du se att i bilden ?r dessa dimensioner mindre ?n de faktiska. V?rden som visar f?rh?llandet mellan storleken p? projektioner av raka segment och deras faktiska storlekar kallas distorsionskoefficienter. Distorsionskoefficienterna (K) l?ngs den isometriska projektionens axlar ?r desamma och lika med 0,82, men f?r att underl?tta konstruktionen anv?nds de s? kallade praktiska distorsionskoefficienterna som ?r lika med enhet (Fig. 108).

Ris. 108. Position f?r axlar och f?rvr?ngningskoefficienter f?r isometrisk projektion

Det finns isometriska, dimetriska och trimetriska projektioner. Isometriska projektioner ?r de som har samma distorsionskoefficienter p? alla tre axlarna. Dimetriska projektioner ?r de projektioner d?r tv? f?rvr?ngningskoefficienter l?ngs axlarna ?r desamma och v?rdet p? den tredje skiljer sig fr?n dem. Trimetriska projektioner ?r projektioner d?r alla distorsionskoefficienter ?r olika.

F?r tredimensionella objekt och panoramabilder.

Begr?nsningar av axonometrisk projektion

Isometrisk projektion i datorspel och pixelgrafik

Ritning av en TV i n?stan isometrisk pixelgrafik. Pixelm?nstret har ett bildf?rh?llande p? 2:1

Anteckningar

1. Enligt GOST 2.317-69 - Unified system of design documentation. Axonometriska projektioner.
2. H?r ?r horisontell ett plan vinkelr?tt mot Z-axeln (som ?r prototypen av Z-axeln").
3. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Plana geometriska projektioner och visningstransformationer // ACM Computing Surveys (CSUR): tidning. - ACM, december 1978. - T. 10. - Nr 4. - P. 465-502. - ISSN 0360-0300. - DOI:10.1145/356744.356750
4. Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (engelska). GameSpot (29 februari 2000). (otillg?nglig l?nk - ber?ttelse) H?mtad 29 september 2008.
5. Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (engelska). IGN (9 september 2003). Arkiverad
6. GDC 2004: The History of Zelda (engelska). IGN (25 mars 2004). Arkiverad fr?n originalet den 19 februari 2012. H?mtad 29 september 2008.
7. Dave Greely, Ben Sawyer.