DEFIN?CIA

Popisuje adiabatick? proces prebiehaj?ci v. Adiabatick? je proces, pri ktorom nedoch?dza k v?mene tepla medzi uva?ovan?m syst?mom a prostred?m: .

Poissonova rovnica vyzer? takto:

Tu je objem zaberan? plynom jeho a hodnota sa naz?va adiabatick? exponent.

Adiabatick? exponent v Poissonovej rovnici

Pri praktick?ch v?po?toch je vhodn? ma? na pam?ti, ?e pre ide?lny plyn je adiabatick? exponent rovn? , pre dvojat?mov? plyn - a pre trojat?mov? plyn - .

?o robi? so skuto?n?mi plynmi, ke? za?n? hra? d?le?it? ?lohu sily interakcie medzi molekulami? V tomto pr?pade mo?no adiabatick? index pre ka?d? sk?man? plyn z?ska? experiment?lne. Jeden tak?to sp?sob navrhli v roku 1819 Cl?ment a Desormes. Valec pln?me studen?m plynom, k?m tlak v ?om nedosiahne . Potom otvor?me koh?tik, plyn sa za?ne adiabaticky rozp?na? a tlak vo valci klesne na atmosf?rick? tlak. Po izochorickom zahriat? plynu na teplotu okolia sa tlak vo valci zv??i na . Potom mo?no adiabatick? exponent vypo??ta? pomocou vzorca:

Adiabatick? index je v?dy v???? ako 1, preto sa pri adiabatickom stl??an? plynu - ide?lneho aj skuto?n?ho - na men?? objem v?dy zv??i teplota plynu a pri expanzii sa plyn ochlad?. T?to vlastnos? adiabatick?ho procesu, naz?van? pneumatick? paz?rik, sa vyu??va v dieselov?ch motoroch, kde je hor?av? zmes stla?en? vo valci a zap?len? vysokou teplotou. Pripome?me si prv? z?kon termodynamiky: , kde - a A je pr?ca vykonan? na ?om. Preto?e pr?ca vykonan? plynom ide len na zmenu jeho vn?tornej energie – a teda teploty. Z Poissonovej rovnice m??eme z?ska? vzorec na v?po?et pr?ce plynu v adiabatickom procese:

Tu n je mno?stvo plynu v m?loch, R je univerz?lna plynov? kon?tanta, T je absol?tna teplota plynu.

Poissonova rovnica pre adiabatick? proces sa vyu??va nielen pri v?po?toch spa?ovac?ch motorov, ale aj pri kon?trukcii chladiacich strojov.

Stoj? za to pripomen??, ?e Poissonova rovnica presne popisuje iba rovnov??ny adiabatick? proces pozost?vaj?ci z neust?le sa striedaj?cich rovnov??nych stavov. Ak v skuto?nosti otvor?me ventil vo valci tak, ?e plyn expanduje adiabaticky, d?jde k nestabiln?mu prechodn?mu procesu s plynov?mi v?rmi, ktor? vplyvom makroskopick?ho trenia zanikn?.

Pr?klady rie?enia probl?mov

PR?KLAD 1

Cvi?enie	Monatomick? ide?lny plyn bol adiabaticky stla?en? tak, ?e sa jeho objem zdvojn?sobil. Ako sa zmen? tlak plynu?
Rie?enie	Adiabatick? exponent pre monatomick? plyn sa rovn? . D? sa v?ak vypo??ta? aj pomocou vzorca: kde R je univerz?lna plynov? kon?tanta a i je stupe? vo?nosti molekuly plynu. Pre monatomick? plyn je stupe? vo?nosti 3: to znamen?, ?e stred molekuly m??e vykon?va? transla?n? pohyb pozd?? troch s?radnicov?ch os?. Preto adiabatick? index: Zn?zornime stavy plynu na za?iatku a na konci adiabatick?ho procesu pomocou Poissonovej rovnice:
Odpove?	Tlak sa zn??i 3,175-kr?t.

PR?KLAD 2

Cvi?enie	100 m?lov dvojat?mov?ho ide?lneho plynu bolo adiabaticky stla?en?ch pri teplote 300 K. S??asne sa tlak plynu zv??il 3-kr?t. Ako sa zmenila pr?ca plynu?
Rie?enie	Stupe? vo?nosti dvojat?movej molekuly, preto?e molekula sa m??e pohybova? transla?ne pozd?? troch s?radnicov?ch os? a ot??a? sa okolo dvoch os?.

Na vzdel?vacie ??ely by som r?d hovoril o rovniciach, ktor? boli pou?it? na odvodenie Debye-H?ckelovho rovnice. Ide o Poissonovu rovnicu a Boltzmannovu distrib?ciu.

Poissonova rovnica

Zistili sme, ?e plazma je v rovnov??nom stave kv?zineutr?lna a ?e vplyvom elektrick?ho po?a pohybuj?cich sa n?bojov s? nabit? ?astice posunut? o Debyeovu d??ku a pole sa v r?mci tejto d??ky rozpad?. V elektrostatike je interakcia nabit?ch ?ast?c op?san? Coulombovou rovnicou:

Kde s? ve?kosti interaguj?cich bodov?ch n?bojov a druh? mocnina vzdialenosti medzi n?bojmi. Koeficient k je kon?tanta. Ak pou?ijeme syst?m v elektrostatick?ch jednotk?ch CGS, ozna?ovan?ch SGSEq, potom k = 1. Ak sa pou?ije syst?m SI, potom , kde je dielektrick? kon?tanta prostredia, v ktorom sa n?boje nach?dzaj?, je elektrick? kon?tanta rovn? 8,86 ? .

Vo fyzike nepou??vaj? priamo silu, ale zav?dzaj? pojem elektrostatick?ho po?a rozlo?en?ch n?bojov a meraj? pole hodnotou intenzita elektrick?ho po?a. Za t?mto ??elom ment?lne umiestnite jeden testovac? n?boj do ka?d?ho bodu po?a a zmerajte silu, ktorou pole n?bojov p?sob? na testovac? n?boj:

Ak teda do tejto rovnice dosad?me Coulombovu silu, dostaneme:
Fyzici sa v?ak na to neobmedzuj?, aby ?plne op?sali elektrick? pole. Uva?ujme jednotkov? n?boj umiestnen? v elektrostatickom poli. Pole vykon? pr?cu tak, ?e presunie tento n?boj o element?rnu vzdialenos? ds z bodu P1 do bodu P2:
Mno?stvo sa naz?va potenci?lny rozdiel alebo nap?tie. Nap?tie sa meria vo voltoch. Znamienko m?nus n?m hovor?, ?e samotn? pole vykon? pr?cu na prenos jednotky kladn?ho n?boja. Sily pohybuj?ce sa n?bojmi s? konzervat?vne, preto?e pr?ca pozd?? uzavretej dr?hy je v?dy nulov?, bez oh?adu na to, po ktorej dr?he sa n?boj pohybuje.

To znamen? hlbok? v?znam potenci?lneho rozdielu. Ak zafixujete bod P1 a presuniete n?boj do premenliv?ho bodu P2, potom pr?ca z?vis? len od polohy druh?ho bodu P2. T?mto sp?sobom m??eme zavies? pojem potenci?l. Potenci?l je silov? funkcia, ktor? ukazuje, ko?ko pr?ce mus? pole urobi?, aby presunulo n?boj z nekone?na do dan?ho bodu P2, kde sa be?ne predpoklad?, ?e potenci?l v nekone?ne je nulov?.

Aby ste pochopili Poissonovu rovnicu, mus?te pochopi? "?peci?lnu" vektorov? matematiku. Stru?ne porozpr?vam o pojmoch ako gradient po?a a divergencia (predpoklad? sa, ?e ?itate? pozn? matematick? anal?zu)
Nech f(x,y,z) je nejak? spojit? diferencovate?n? funkcia s?radn?c. Ke? pozn?me jeho parci?lne deriv?cie v ka?dom bode priestoru, m??eme zostroji? vektor, ktor?ho zlo?ky x, y, z sa rovnaj? zodpovedaj?cim parci?lnym deriv?ci?m:

kde s? jednotkov? vektory zodpovedaj?cich os? x, y, z. Ikona znie „nabla“ a je to diferenci?lny oper?tor
Tento oper?tor zaviedol do matematiky Hamilton. Z nabla m??ete vykon?va? be?n? matematick? oper?cie ako oby?ajn? s??in, bodkov? s??in, kr??ov? s??in a podobne.

Teraz sa vr??me k elektrostatick?mu po?u E. Na jednej strane m? zmena potenci?lu pri pohybe z jedn?ho bodu do druh?ho nasleduj?cu podobu:

Na druhej strane, pod?a vzorca (*)
Pou?it?m pr?ve zaveden?ho konceptu gradientu sa tento vzorec st?va:
Teraz sa pozrime na koncept divergencie po?a. Uva?ujme kone?n? uzavret? objem V ?ubovo?n?ho tvaru (pozri obr?zok ni??ie). Ozna?me plochu tohto povrchu S. Celkov? tok vektora F vych?dzaj?ceho z tohto objemu sa pod?a defin?cie rovn?
, kde da je nekone?ne mal? vektor, ktor?ho ve?kos? sa rovn? ploche mal?ho prvku povrchu S a smer sa zhoduje s vonkaj?ou norm?lou k tomuto prvku.
Zoberme si tento tok vektora F, vyde?me ho objemom a n?jdime limitu tak, ako m? tendenciu k nule, t.j. Objem stiahneme do nekone?ne mal?ho bodu.

Dost?vame sa ku konceptu divergencie. Divergencia je ozna?en? symbolom div a je pomerom toku vektora F k objemu V, pri?om V m? tendenciu k nule.

Predt?m, ako uk??eme, ako sa z?ska Poissonova rovnica, je d?le?it? pozna? Gaussov z?kon a Gaussovu vetu. Predstavme si gu?u s n?bojom q. N?boj okolo seba vytv?ra elektrick? pole intenzity E. Zoberme si tok vektora E

kde S sa plocha na?ej gule rovn? . Preto
Toto je Gaussov z?kon, ktor? hovor?, ?e tok elektrick?ho po?a E cez ak?ko?vek uzavret? povrch sa rovn? s??inu celkov?ho n?boja pokryt?ho povrchom:
kde je hustota priestorov?ho n?boja, t.j. ve?kos? elektrick?ho n?boja na jednotku objemu a je to element?rny objem pridelen? vn?tri n??ho uzavret?ho objemu.

Gaussova veta (cel?m n?zvom Gauss-Ostrogradsk?ho veta) je ?isto matematick? veta o divergencii. Prep??me ?pln? tok vektora F takto:

V limite, ke? N -> ?, ->0, sa hodnota v z?tvork?ch stane divergenciou a s??et prech?dza do objemov?ho integr?lu:
Toto je Gaussova veta a je skuto?ne najd?le?itej??m vzorcom te?rie po?a. Aplikujme t?to vetu na elektrostatick? pole. Na jednej strane pod?a Gaussovho z?kona
Na druhej strane, pod?a Gaussovej vety (nezamie?ajte si vetu s Gaussov?m z?konom):
Spojen?m posledn?ch dvoch rovn?c dostaneme:
Pripome?me si vzorec (**) a namiesto E sem dosa?te potenci?l po?a
Gradientov? divergencia je nov? oper?tor, ktor? sa v matematike naz?va Laplaceov oper?tor alebo skr?tene Laplaci?n. Laplacian je ozna?en? ikonou nabla nasledovne a rovn? sa
Prep??me predch?dzaj?ci vzorec do Laplaciovskej formy:
Nakoniec tu m?me Poissonovu rovnicu. V prvom ?l?nku bola t?to rovnica v trochu inej forme, ber?c do ?vahy dielektrick? kon?tantu m?dia. Pam?tajte na Coulombovu silu v s?stave SI, tam je kon?tanta. Pod?a toho v Gaussovom z?kone nebude koeficient, ale koeficient. Takto z?skame Poissonovu rovnicu vo forme uvedenej v predch?dzaj?com ?l?nku
Poissonova rovnica je teda v podstate Coulombov z?kon (alebo sk?r Gaussov z?kon) prep?san? v inej forme, v z?pise vektorovej diferenci?lnej anal?zy.

V tejto ?asti budeme analyzova? d?le?it? rozdelenie z matematickej ?tatistiky - Boltzmannovo rozdelenie.

Zna?ky:

• fyzika
• elektrostatika

Prida? zna?ky

Rovnica (10.2) stanovuje vz?ah medzi potenci?lom elektrostatick?ho po?a a silou tohto po?a. Z tejto rovnice m??eme z?ska? vz?ah medzi potenci?lom a hustotou n?boja. Aby ste to dosiahli, mus?te vytvori? divergenciu oboch str?n tejto rovnice a potom pou?i? vzorec (6.5):

Pod?a pravidiel vektorovej anal?zy [pozri rovnica (40]

tak?e rovnicu (11.1) mo?no zap?sa? ako:

T?to diferenci?lna rovnica sa naz?va Poissonova rovnica. V t?ch oblastiach po?a, kde nie s? ?iadne elektrick? n?boje

T?to rovnica sa zmen? na nasledovn?:

T?to konkr?tna forma Poissonovej rovnice sa naz?va Laplaceova rovnica.

Poissonova rovnica umo??uje ur?i? potenci?l po?a vesm?rnych n?bojov, ak je zn?me umiestnenie t?chto n?bojov. Rie?enie (integr?l) tejto diferenci?lnej rovnice (za ur?it?ch okrajov?ch podmienok) sa mus? samozrejme zhodova? so vzorcom (8.8), ktor? sme odvodili sk?r:

V nasleduj?com texte to dok??eme priamym v?po?tom. Zatia? si v?imnime, ?e pri rie?en? niektor?ch ?loh je vhodnej?ie vych?dza? nie z integr?lu (8.8), ale priamo z diferenci?lnej rovnice (11.3).

Pr?klad. Ur?te hustotu termionick?ho pr?du medzi dvoma nekone?n?mi ploch?mi elektr?dami vo v?kuu. Tento pr?klad aplik?cie Poissonovej rovnice nie je prevzat? z elektrostatiky, ale zo ?t?dia pr?du a m? ve?k? v?znam pre te?riu kat?dov?ch (zosil?ovac?ch) elektr?nok.

Je zn?me, ?e zohriate kovy vy?aruj? pr?d vo?n?ch elektr?nov zo svojho povrchu do okolit?ho priestoru. Ak sa na dve kovov? elektr?dy aplikuje ur?it? potenci?lny rozdiel a negat?vna elektr?da (kat?da) sa zahrieva, potom elektr?ny nepretr?ite emitovan? hor?cou kat?dou bud? pri?ahovan? k povrchu pozit?vnej elektr?dy (an?dy). Tok elektr?nov pohybuj?cich sa od kat?dy k an?de je ekvivalentn? elektrick?mu pr?du. Tento pr?d sa naz?va termionick?.

Osi kart?zskych s?radn?c zvol?me tak, aby ich po?iatok bol na kat?de a os x bola kolm? na rovinu elektr?d a smerovala k an?de. Zoberme si potenci?l kat?dy rovn? nule a potenci?l an?dy rovn?. Z ?vah o symetrii je zrejm?, ?e ekvipotenci?lne plochy s? rovnobe?n? s elektr?dami, preto Poissonova rovnica v priestore medzi elektr?dami nadob?da tvar

Ak ozna??me po?tom elektr?nov na jednotku objemu v priestore medzi elektr?dami vo vzdialenosti x od kat?dy a absol?tnou hodnotou n?boja elektr?nu, potom hustota n?boja na

t?to vzdialenos? bude:

Pre jednoduchos? predpokladajme, ?e elektr?ny emitovan? kat?dou, ke? op???aj? jej povrch, nemaj? ?iadnu po?iato?n? r?chlos?. Na ceste od kat?dy k an?de bud? sily elektrick?ho po?a p?sobi? na elektr?ny n?boja - ktor? sa samozrejme premenia na kinetick? energiu pohybu elektr?nov. Ozna?en?m r?chlos?ou elektr?nu vo vzdialenosti x od kat?dy a potenci?lom v rovnakej vzdialenosti dostaneme

kde 771 je hmotnos? elektr?nu. Nakoniec hustota elektrick?ho pr?du, t. j. n?boj, ktor? pretek? za jednotku ?asu oblas?ou kolmou na pr?d (t. j. kolmou na os b), je zjavne:

preto?e touto oblas?ou prejde po?et elektr?nov za jednotku ?asu. Naproti tomu pr?dov? hustota je kon?tantn? hodnota, ktor? nez?vis? od x, preto?e pri dosiahnut? stacion?rneho stavu evidentne rovnak? po?et elektr?nov prech?dza ktorouko?vek rovinou rovnobe?nou s elektr?dami.

Vyl??me z rovnice (11.5) v?etky nezn?me funkcie x okrem First all

Ale z (11.6) vypl?va, ?e

teda

Zaveden?m not?cie A dostaneme

Z rie?en? tejto diferenci?lnej rovnice je dobre vidie? substit?ciou, ktor? pod?a podmienok ?lohy zanik? na kat?de a navy?e sp??a podmienku

Ak ozna??me vzdialenos? od an?dy po kat?du I, potom by sa potenci?l mal zmeni? na Preto,

Hustota termionick?ho pr?du teda nesp??a Ohmov z?kon, ale zvy?uje sa ?merne k sile 3/2 nap?tia aplikovan?ho na elektr?dy a nepriamo ?mern? ?tvorcu vzdialenosti medzi nimi. Tento rozdiel medzi z?konmi termionick?ho pr?du a z?konmi pr?du v kovoch je sp?soben? dvoma typmi d?vodov. Po prv?, elektr?ny v kovoch sa zr??aj? s kladn?mi i?nmi, ktor? tvoria pevn? kostru kovu, a v?aka tomu poci?uj? odpor vo?i ich pohybu, ktor? pri pohybe vo v?kuu ch?ba 1). Po druh?, pri termionickom pr?de s? v priestore medzi elektr?dami len vo?n? elektr?ny, ktor?ch n?boj nie je kompenzovan? n?bojom kladn?ch i?nov, ako je to v pr?pade kovov, v d?sledku ?oho pole tohto tzv. -naz?van? „vesm?rny n?boj“ deformuje pole elektr?d.

V?imnite si, ?e vzorec (11.9) prest?va plati? pri vysok?ch pr?dov?ch hustot?ch 2). Ke? sa an?dov? potenci?l zv??i, nastane moment, ke? sa v?etky elektr?ny uvo?nen? kat?dou okam?ite pritiahnu k an?de. ?al?ie zv??enie an?dov?ho potenci?lu nem??e samozrejme vies? k zv??eniu pr?dovej hustoty, ktor? tak dosiahne kon?tantn? hodnotu (satura?n? pr?d).

?loha 10. Ozna?me vzdialenos? dan?ho bodu v priestore od nejak?ho ?ubovo?ne zvolen?ho po?iato?n?ho bodu Uk??te, ?e skal?r

sp??a Laplaceovu rovnicu

Bod sa neberie do ?vahy.

?loha 11. Nekone?n? ploch? doska hr?bky 2a je rovnomerne nabit? elektrinou s objemovou hustotou, os x je kolm? na dosku, po?iatok s?radn?c je v strednej rovine, rovnako vzdialen? od oboch povrchov dosky. Uk??te, ?e potenci?l po?a vo vn?tri a mimo dosky je rovnak?:

a vektor je nasmerovan? pozd?? osi x zo strednej roviny a ??selne sa rovn?:

Porovnajte tento pr?pad s limitn?m pr?padom nekone?nej nabitej roviny (§ 4).

?loha 12. N?jdite potenci?l po?a gule rovnomerne nabitej v celom jej objeme [vzorec (8.12)] na z?klade Poissonovej rovnice v sf?rick?ch s?radniciach.

Poissonove a Laplaceove rovnice s? z?kladn?mi rovnicami elektrostatiky. Vypl?vaj? z Gaussovej vety v diferenci?lnom tvare. Pravda?e, je to zn?me E = - grad j. Z?rove? pod?a Gaussovej vety

Po?me nahradi? v (11.22) E od (11.7). Dostaneme

.

Vyberme znamienko m?nus pre znamienko divergencie

.

Namiesto p?sania gradj, Nap??me jeho ekvivalent ?j. Namiesto div nap??eme ?. Potom

Rovnica (11.27) sa naz?va Poissonova rovnica. Konkr?tna forma Poissonovej rovnice, ke? r svb = 0, sa naz?va Laplaceova rovnica. Laplaceova rovnica bude nap?san? takto:

Oper?tor sa naz?va Laplaceov oper?tor alebo Laplaci?n a niekedy sa ozna?uje aj symbolom D. Preto sa niekedy m??ete stretn?? s touto formou z?pisu Poissonovej rovnice:

Rozvi?me to v kartezi?nskom s?radnicovom syst?me. Na tento ??el s??in dvoch faktorov С a p??eme v roz??renej forme

Vykonajte n?sobenie po ?lenoch a z?skajte

.

Poissonova rovnica v kartezi?nskom s?radnicovom syst?me bude teda nap?san? takto:

. (11.29)

Laplaceova rovnica v kartezi?nskom s?radnicovom syst?me

. (11.30)

Uve?me bez odvodzovania v?razy ? 2 j vo valcovej s?radnicovej s?stave

, (11.31)

v sf?rickom s?radnicovom syst?me (11.32)

Poissonova rovnica d?va vz?ah medzi parci?lnymi deriv?ciami druh?ho r?du j v ktoromko?vek bode po?a a objemov? hustota vo?n?ch n?bojov v tomto bode po?a. Z?rove? aj potenci?l j v ktoromko?vek bode po?a z?vis?, samozrejme, od v?etk?ch n?bojov tvoriacich pole, a nielen od ve?kosti vo?n?ho n?boja nach?dzaj?ceho sa v danom bode.

Laplaceova rovnica (1780) bola p?vodne pou?it? na opis potenci?lnych pol? nebeskej mechaniky a n?sledne bola pou?it? na opis elektrick?ch pol?. Poissonova rovnica sa pou??va na ?t?dium potenci?lnych pol? (elektrick?ch a magnetick?ch) od roku 1820.

Zamyslime sa nad ot?zkou, ako mo?no nap?sa? rie?enie Poissonovej rovnice vo v?eobecnej forme. Pustite do objemu V Existuj? objemov? (r), povrchov? (s) a line?rne (t) n?boje. Predstavme si tieto poplatky ako inkas? bodov?ch poplatkov rdV, sds, tdl; dV- objemov? prvok, ds- nabit? povrchov? prvok, dl- prvok d??ky nab?janej osi. Potenci?lny komponent dj v ur?itom bode vo vesm?re vzdialenom od rdV do dia?ky R, v s?lade so vzorcom (11.20) sa rovn?

Zlo?ky potenci?lu z povrchov?ch a line?rnych n?bojov, pri?om ich pova?ujeme za bodov? n?boje, definujeme podobn?m sp?sobom:

Pln? v?znam j bude definovan? ako s??et (integr?l) potenci?lnych zlo?iek zo v?etk?ch n?bojov v poli:

Vo vzorci (11.33) r,s A t existuj? polomerov? funkcie R. V praxi sa vzorec (11.33) pou??va zriedkavo, preto?e distrib?cia s na povrchu, t v d??ke a r v objeme z?vis? komplexn?m sp?sobom od konfigur?cie elektr?d a spravidla nie je pred v?po?tom zn?my. In?mi slovami, nie je zn?me ako r, s A t z?vis? od polomeru R.

Hrani?n? podmienky

Okrajov?mi podmienkami sa rozumej? podmienky, ktor?m podlieha pole na rozhraniach medzi m?diami s r?znymi elektrick?mi vlastnos?ami. Pri ?t?diu ?asti „prechodn? procesy“ bola mimoriadne d?le?it? ot?zka po?iato?n?ch podmienok a z?konov komut?cie. Po?iato?n? podmienky a komuta?n? z?kony umo?nili ur?i? kon?tanty integr?cie pri rie?en? ?loh klasickou met?dou. V klasickej met?de boli pou?it? v?slovne, v oper?torskej met?de - v skrytej forme. Bez ich pou?itia nie je mo?n? vyrie?i? ani jeden probl?m zah??aj?ci prechodn? procesy.

Paralelu mo?no n?js? medzi ?lohou okrajov?ch podmienok v elektrickom (a akomko?vek inom) poli a ?lohou po?iato?n?ch podmienok a komuta?n?ch z?konov po?as prechodn?ch procesov. Pri integr?cii Laplaceovej (alebo Poissonovej) rovnice bude rie?enie zah??a? integra?n? kon?tanty. Ur?uj? sa na z?klade okrajov?ch podmienok. Predt?m, ako prejdeme k podrobnej diskusii o okrajov?ch podmienkach, zv??me ot?zku po?a vo vodivom tele v elektrostatick?ch podmienkach.

?t?dium Laplaceov?ch a Poissonov?ch rovn?c vedie k ?vah?m o probl?moch o stacion?rnom procese: ide o probl?my hydrodynamiky, dif?zie, rozlo?enia teploty, elektrostatiky at?.

Tieto rovnice s? rovnice eliptick?ho typu.

Tie probl?my, ktor? ved? k rovniciam obsahuj?cim ?as, sa naz?vaj? nestacion?rne alebo dynamick? probl?my matematickej fyziky; probl?my, ktor? ved? k rovniciam, ktor? neobsahuj? ?as, sa naz?vaj? stacion?rne alebo statick?.

Ako bolo uk?zan?, rovnice matematickej fyziky maj? nekone?n? po?et rie?en? v z?vislosti od dvoch ?ubovo?n?ch funkci? (hovor?me o rovniciach druh?ho r?du pre funkciu dvoch premenn?ch). Aby bolo mo?n? vybra? z mno?stva rie?en? konkr?tne rie?enie, ktor? charakterizuje proces, je potrebn? na po?adovan? funkciu ulo?i? dodato?n? podmienky, ktor? s? diktovan? fyzik?lnymi ?vahami. Tak?mito podmienkami pre parci?lne diferenci?lne rovnice s? naj?astej?ie po?iato?n? a okrajov? podmienky. Okrajov? podmienky s? podmienky ?pecifikovan? na hranici uva?ovan?ho m?dia; po?iato?n? podmienky s? podmienky vz?ahuj?ce sa k ur?it?mu bodu v ?ase, od ktor?ho sa za??na ?t?dium dan?ho fyzik?lneho javu. ?al?ie podmienky, ako aj samotn? diferenci?lna rovnica, s? odvoden? na z?klade fyzik?lnych ?vah s?visiacich so samotn?m procesom. Dodato?n? podmienky musia by? z?rove? tak?, aby zabezpe?ili v?ber jedn?ho rie?enia z cel?ho s?boru rie?en?. Po?et okrajov?ch a po?iato?n?ch podmienok je ur?en? typom rovnice a ich typ je ur?en? dan?m po?iato?n?m stavom na rozhran? objektu a vonkaj?ieho prostredia. Pre rovnice, ktor? uva?ujeme, sa po?et po?iato?n?ch podmienok rovn? r?du najvy??ej deriv?cie vzh?adom na ?as zahrnut? v rovnici a po?et okrajov?ch podmienok sa rovn? r?du najvy??ej deriv?cie vzh?adom na s?radnicu .

S?bor diferenci?lnych rovn?c a doplnkov?ch podmienok predstavuje matematick? formul?ciu fyzik?lneho probl?mu a naz?va sa probl?mom matematickej fyziky.

?lohou matematickej fyziky je teda n?js? rie?enia parci?lnych diferenci?lnych rovn?c, ktor? sp??aj? niektor? dodato?n? podmienky, povedzme okrajov? a po?iato?n? podmienky.

Probl?m matematickej fyziky sa pova?uje za spr?vne polo?en?, ak rie?enie probl?mu, ktor? sp??a v?etky jeho podmienky, existuje, je jedine?n? a stabiln?.

Vibr?cie str?n. Hrani?n? a po?iato?n? podmienky. V?rok hrani?n?ch probl?mov

Nechajte strunu pod siln?m po?iato?n?m nap?t?m. Ak je struna vytiahnut? z rovnov??nej polohy a vystaven? akejko?vek sile, struna za?ne vibrova?. Proces kmitania mo?no op?sa? jednou funkciou charakterizuj?cou vertik?lny pohyb struny (odch?lka od rovnov??nej polohy (obr. 2.2)). Pre ka?d? pevn? hodnotu graf funkcie v rovine ud?va tvar re?azca v okamihu.

Funkcia vyhovuje rovnici

opisuje vo?n? vibr?cie struny bez vplyvu vonkaj??ch s?l.

Rovnica (2.69) je najjednoduch?ia rovnica hyperbolick?ho typu a z?rove? jedna z najd?le?itej??ch rovn?c matematickej fyziky.

Jedna pohybov? rovnica (2,69) alebo (2,70) nesta?? na matematick? popis fyzik?lneho procesu. Pri zva?ovan? probl?mu kmitania struny m??u by? dodato?n? podmienky dvoch typov: po?iato?n? a hrani?n? (okrajov?).

Preto?e proces kmitania struny z?vis? od jej po?iato?n?ho tvaru a rozlo?enia r?chlosti, mali by by? nastaven? po?iato?n? podmienky:

Budeme hovori? o troch typoch okrajov?ch podmienok:

kde s? zn?me funkcie,

a zn?me kon?tanty.

Dan? podmienky sa naz?vaj? okrajov? podmienky prv?ho, druh?ho, tretieho druhu, resp. Podmienky I nastan?, ke? sa konce predmetu (struny, ty?e at?.) pohybuj? pod?a dan?ho z?kona; podmienky II - v pr?pade, ke? na konce p?sobia ?pecifikovan? sily; podmienky III - v pr?pade elastick?ho upevnenia koncov.

Ak s? funkcie uveden? na pravej strane rovnosti rovn? nule, potom sa okrajov? podmienky naz?vaj? homog?nne. Okrajov? podmienky (2.72) s? teda homog?nne. Kombin?ciou r?znych uveden?ch typov okrajov?ch podmienok z?skame ?es? typov najjednoduch??ch okrajov?ch ?loh.

V pr?pade, ?e m?d na koncoch nem? v?znamn? vplyv na t? ?as? struny, ktor? je od nich dostato?ne vzdialen?, struna sa pova?uje za nekone?n?. Z tohto d?vodu sa namiesto ?pln?ho okrajov?ho probl?mu kladie limitn? probl?m - Cauchyho probl?m: n?jdite rie?enie rovnice (2.69) pre , sp??aj?ce po?iato?n? podmienky

Ak ?tudujeme proces v bl?zkosti jednej hranice a vplyv okrajov?ho re?imu na druh? hranicu nie je v ?ase, ktor? n?s zauj?ma, v?znamn?, potom sa dostaneme k formul?cii probl?mu na poloobmedzenej priamke. V tomto pr?pade s? po?iato?n? podmienky a jedna z okrajov?ch podmienok I - III ?pecifikovan? na.

Pr?klady rie?enia probl?mov

PR?KLAD 2.42. Rovnomern? struna d??ky prech?dza mal?mi prie?nymi vibr?ciami. Nastav probl?m ur?enia odch?lok bodov struny od priamo?iarej k?udovej polohy, ak v danom momente mala struna tvar () a r?chlos? ka?d?ho jej bodu je dan? funkciou. Zv??te pr?pady:

• a) konce ?n?rky s? pevn?;
• b) konce ?n?rky s? vo?n?;

c) prie?ne sily a s? aplikovan? na konce struny a po?n?c od okamihu;

d) konce ?n?rky s? elasticky fixovan?, t.j. ka?d? koniec za??va odpor ?mern? vych?leniu konca.

Rie?enie. Ako je zn?me, odch?lky bodov str?n od rovnov??nej polohy sp??aj? rovnicu vo?n?ch kmitov (2.70) v nepr?tomnosti p?sobiacej vonkaj?ej sily.

Tu nap?tie, line?rna hustota, preto?e re?azec je homog?nny.

Po?iato?n? podmienky s?:

Za?nime odvodzova? okrajov? podmienky.

Pr?pad a). Ke??e konce ?n?rky s? pevn?, ich odch?lky v bodoch a musia by? rovn? nule pre ?ubovo?n?, t.j.

Tak?e fyzik?lny probl?m kmitania struny upevnenej na koncoch bol zredukovan? na nasleduj?ci matematick? probl?m: n?jdite funkciu definovan? v a to je rie?enie rovnice

a splnenie okrajov?ch podmienok

a po?iato?n? podmienky