Uv?dzaj? sa z?kladn? vlastnosti prirodzen?ho logaritmu, graf, defini?n? obor, mno?ina hodn?t, z?kladn? vzorce, deriv?cia, integr?l, roz??renie mocninn?ho radu a reprezent?cia funkcie ln x pomocou komplexn?ch ??sel.

Defin?cia

Prirodzen? logaritmus je funkcia y = ln x, inverzn? hodnota exponenci?ly, x = e y, a je logaritmus k z?kladu ??sla e: ln x = log e x.

Prirodzen? logaritmus je ?iroko pou??van? v matematike, preto?e jeho deriv?t m? najjednoduch?iu formu: (ln x)' = 1/ x.

Na z?klade defin?cie, z?kladom prirodzen?ho logaritmu je ??slo e:
e ? 2,718281828459045...;
.

Graf funkcie y = ln x.

Graf prirodzen?ho logaritmu (funkcie y = ln x) sa z?ska z exponenci?lneho grafu zrkadlov?m odrazom vzh?adom na priamku y = x.

Prirodzen? logaritmus je definovan? pre kladn? hodnoty premennej x. Vo svojej dom?ne defin?cie sa zvy?uje monot?nne.

Pri x -> 0 limita prirodzen?ho logaritmu je m?nus nekone?no (-?).

Ako x -> + ? je limita prirodzen?ho logaritmu plus nekone?no (+ ?). Pre ve?k? x sa logaritmus zvy?uje pomerne pomaly. Ak?ko?vek mocninn? funkcia x a s kladn?m exponentom a rastie r?chlej?ie ako logaritmus.

Vlastnosti prirodzen?ho logaritmu

Dom?na defin?cie, mno?ina hodn?t, extr?my, n?rast, pokles

Prirodzen? logaritmus je monot?nne rast?ca funkcia, tak?e nem? ?iadne extr?my. Hlavn? vlastnosti prirodzen?ho logaritmu s? uveden? v tabu?ke.

ln x hodnoty

ln 1 = 0

Z?kladn? vzorce pre prirodzen? logaritmy

Vzorce vypl?vaj?ce z defin?cie inverznej funkcie:

Hlavn? vlastnos? logaritmov a jej d?sledky

Vzorec na nahradenie b?zy

Ak?ko?vek logaritmus mo?no vyjadri? prirodzen?mi logaritmami pomocou z?kladn?ho substitu?n?ho vzorca:

D?kazy t?chto vzorcov s? uveden? v ?asti "Logaritmus".

Inverzn? funkcia

Inverzn? k prirodzen?mu logaritmu je exponent.

Ak potom

Ak potom.

Deriv?t ln x

Deriv?cia prirodzen?ho logaritmu:
.
Deriv?cia prirodzen?ho logaritmu modulu x:
.
Deriv?t n-t?ho r?du:
.
Odvodenie vzorcov >> >

Integr?lne

Integr?l sa vypo??ta integr?ciou po ?astiach:
.
tak?e,

V?razy vyu??vaj?ce komplexn? ??sla

Zv??te funkciu komplexnej premennej z:
.
Vyjadrime komplexn? premenn? z cez modul r a argument f :
.
Pomocou vlastnost? logaritmu m?me:
.
Alebo
.
Argument f nie je jednozna?ne definovan?. Ak d?te
, kde n je cel? ??slo,
bude to rovnak? ??slo pre r?zne n.

Preto prirodzen? logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Roz??renie v?konov?ho radu

Ke? d?jde k expanzii:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Pr?ru?ka matematiky pre in?inierov a vysoko?kolsk?ch ?tudentov, „Lan“, 2009.

Logaritmy, ako v?etky ??sla, sa daj? s??ta?, od??ta? a transformova? v?etk?mi sp?sobmi. Ale ke??e logaritmy nie s? ?plne oby?ajn? ??sla, existuj? tu pravidl?, ktor? sa naz?vaj? hlavn? vlastnosti.

Tieto pravidl? ur?ite mus?te pozna? – bez nich sa ned? vyrie?i? ani jeden v??ny logaritmick? probl?m. Navy?e je ich ve?mi m?lo – v?etko sa d? nau?i? za jeden de?. Tak po?me na to.

S??tanie a od??tanie logaritmov

Zv??te dva logaritmy s rovnak?mi z?klad?ami: log a X a log a r. Potom ich mo?no s??ta? a od??ta? a:

1. log a X+ denn?k a r=log a (X · r);
2. log a X- denn?k a r=log a (X : r).

S??et logaritmov sa teda rovn? logaritmu s??inu a rozdiel sa rovn? logaritmu kvocientu. Pozn?mka: k???ov? bod je tu rovnak? d?vody. Ak s? d?vody in?, tieto pravidl? nefunguj?!

Tieto vzorce v?m pom??u vypo??ta? logaritmick? v?raz, aj ke? sa neber? do ?vahy jeho jednotliv? ?asti (pozri lekciu „?o je to logaritmus“). Pozrite sa na pr?klady a uvid?te:

Denn?k 6 4 + denn?k 6 9.

Ke??e logaritmy maj? rovnak? z?klady, pou?ijeme s??tov? vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 2 48 - log 2 3.

Z?klady s? rovnak?, pou??vame rozdielov? vzorec:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 3 135 - log 3 5.

Z?klady s? op?? rovnak?, tak?e m?me:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vid?te, p?vodn? v?razy sa skladaj? zo „zl?ch“ logaritmov, ktor? nie s? vypo??tan? samostatne. Ale po transform?ci?ch sa z?skaj? ?plne norm?lne ??sla. Mnoh? testy s? zalo?en? na tejto skuto?nosti. ?no, na Jednotnej ?t?tnej sk??ke sa so v?etkou v??nos?ou (niekedy prakticky bez zmien) pon?kaj? v?razy podobn? testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Teraz si ?lohu trochu skomplikujeme. ?o ak je z?kladom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom m??e by? exponent tohto stup?a vy?at? zo znamienka logaritmu pod?a nasleduj?cich pravidiel:

Je ?ahk? vidie?, ?e posledn? pravidlo nasleduje prv? dve. Je v?ak lep?ie si to zapam?ta? - v niektor?ch pr?padoch to v?razne zn??i mno?stvo v?po?tov.

V?etky tieto pravidl? maj? samozrejme zmysel, ak sa dodr?? ODZ logaritmu: a > 0, a ? 1, X> 0. A e?te nie?o: nau?te sa aplikova? v?etky vzorce nielen z?ava doprava, ale aj naopak, t.j. ??sla pred znamienkom logaritmu m??ete zada? do samotn?ho logaritmu. To je to, ?o sa naj?astej?ie vy?aduje.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stup?a v argumente pomocou prv?ho vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

?loha. N?jdite v?znam v?razu:

[Popis k obr?zku]

V?imnite si, ?e menovate? obsahuje logaritmus, ktor?ho z?kladom a argumentom s? presn? mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. M?me:

Mysl?m, ?e posledn? pr?klad si vy?aduje ur?it? objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chv?le pracujeme len s menovate?om. Uviedli sme z?klad a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocni?iek a vy?ali sme exponenty - dostali sme „trojposchodov?“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavn? zlomok. ?itate? a menovate? obsahuj? rovnak? ??slo: log 2 7. Ke??e log 2 7 ? 0, zlomok m??eme zmen?i? - 2/4 zostan? v menovateli. Pod?a pravidiel aritmetiky m??u by? ?tyri prenesen? do ?itate?a, ?o sa aj stalo. V?sledkom bola odpove?: 2.

Prechod na nov? z?klad

Ke? u? hovor?me o pravidl?ch s??tania a od??tania logaritmov, osobitne som zd?raznil, ?e funguj? iba s rovnak?mi z?kladmi. ?o ak s? d?vody in?? ?o ak to nie s? presn? mocniny rovnak?ho ??sla?

Na pomoc prich?dzaj? vzorce pre prechod na nov? z?klad. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je dan? logaritmus logaritmu a X. Potom pre ?ubovo?n? ??slo c tak? ?e c> 0 a c? 1, plat? rovnos?:

[Popis k obr?zku]

Najm? ak d?me c = X, dostaneme:

[Popis k obr?zku]

Z druh?ho vzorca vypl?va, ?e z?klad a argument logaritmu mo?no zameni?, ale v tomto pr?pade je cel? v?raz „prevr?ten?“, t.j. logaritmus sa objav? v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nach?dzaj? v be?n?ch ??seln?ch v?razoch. Ich vhodnos? je mo?n? vyhodnoti? len pri rie?en? logaritmick?ch rovn?c a nerovn?c.

S? v?ak probl?my, ktor? sa nedaj? vyrie?i? v?bec inak ako pres?ahovan?m sa do novej nad?cie. Pozrime sa na p?r z nich:

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 5 16 log 2 25.

V?imnite si, ?e argumenty oboch logaritmov obsahuj? presn? mocniny. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz „oto?me“ druh? logaritmus:

Ke??e sa s??in pri preskupovan? faktorov nemen?, pokojne sme vyn?sobili ?tyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 9 100 lg 3.

Z?kladom a argumentom prv?ho logaritmu s? presn? mocniny. Po?me si to zap?sa? a zbavi? sa indik?torov:

Teraz sa zbavme desiatkov?ho logaritmu prechodom na nov? z?klad:

Z?kladn? logaritmick? identita

V procese rie?enia je ?asto potrebn? reprezentova? ??slo ako logaritmus k dan?mu z?kladu. V tomto pr?pade n?m pom??u nasleduj?ce vzorce:

V prvom pr?pade ??slo n sa st?va indik?torom stup?a stojaceho v argumente. ??slo n m??e by? ?plne ?oko?vek, preto?e je to len logaritmick? hodnota.

Druh? vzorec je vlastne parafr?zovan? defin?cia. To je to, ?o sa naz?va: z?kladn? logaritmick? identita.

V skuto?nosti, ?o sa stane, ak ??slo b zv??i? na tak? silu, ?e po?et b tejto mocnine d?va ??slo a? Spr?vne: dostanete rovnak? ??slo a. E?te raz si pozorne pre??tajte tento odsek – ve?a ?ud? sa na ?om zasekne.

Rovnako ako vzorce na prechod na nov? z?klad?u, z?kladn? logaritmick? identita je niekedy jedin?m mo?n?m rie?en?m.

?loha. N?jdite v?znam v?razu:

[Popis k obr?zku]

V?imnite si, ?e log 25 64 = log 5 8 - jednoducho vzal druh? mocninu zo z?kladu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do ?vahy pravidl? pre n?sobenie pr?vomoc? s rovnak?m z?kladom, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skuto?n? ?loha z Jednotnej ?t?tnej sk??ky :)

Logaritmick? jednotka a logaritmick? nula

Na z?ver uvediem dve identity, ktor? mo?no len ?a?ko nazva? vlastnos?ami – s? sk?r d?sledkom defin?cie logaritmu. Neust?le sa objavuj? v probl?moch a prekvapivo robia probl?my aj „pokro?il?m“ ?iakom.

1. log a a= 1 je logaritmick? jednotka. Pam?tajte si raz a nav?dy: logaritmus na ak?ko?vek z?klad?u a z tohto z?kladu sa rovn? jednej.
2. log a 1 = 0 je logaritmick? nula. Z?klad?a a m??e by? ?oko?vek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovn? nule! Preto?e a 0 = 1 je priamym d?sledkom defin?cie.

To s? v?etky vlastnosti. Ur?ite si ich nacvi?te v praxi! Stiahnite si cheat sheet na za?iatku lekcie, vytla?te si ho a vyrie?te probl?my.

(z gr??tiny logos – „slovo“, „vz?ah“ a ?rithmos – „??slo“) b zalo?en? na a(log a b) sa naz?va tak?to ??slo c, A b= a c, teda z?znamy log a b=c A b=ac s? rovnocenn?. Logaritmus m? zmysel, ak a > 0, a ? 1, b > 0.

In?mi slovami logaritmus??sla b zalo?en? na A formulovan? ako exponent, na ktor? sa mus? ??slo zv??i? a z?ska? ??slo b(logaritmus existuje len pre kladn? ??sla).

Z tejto formul?cie vypl?va, ?e v?po?et x= log a b, je ekvivalentn? rie?eniu rovnice a x =b.

Napr?klad:

log 2 8 = 3, preto?e 8 = 2 3 .

Zd?raznime, ?e uveden? formul?cia logaritmu umo??uje okam?ite ur?i? logaritmick? hodnotu, ke? ??slo pod znamienkom logaritmu p?sob? ako ur?it? mocnina z?kladu. Formul?cia logaritmu skuto?ne umo??uje zd?vodni?, ?e ak b = a c, potom logaritmus ??sla b zalo?en? na a rovn? sa s. Je tie? zrejm?, ?e t?ma logaritmov ?zko s?vis? s t?mou mocniny ??sla.

V?po?et logaritmu sa naz?va logaritmus. Logaritmus je matematick? oper?cia logaritmu. Pri logaritmovan? sa s??in faktorov transformuje na s??ty ?lenov.

Potencovanie je inverzn? matematick? oper?cia logaritmu. Po?as potenci?cie sa dan? b?za zv??i na stupe? expresie, pri ktorom sa potenci?cia vykon?va. V tomto pr?pade sa s??ty ?lenov transformuj? na s??in faktorov.

Pomerne ?asto sa pou??vaj? skuto?n? logaritmy so z?klad?ami 2 (bin?rne), Eulerov?m ??slom e ? 2,718 (prirodzen? logaritmus) a 10 (desatinn?).

V tejto f?ze je vhodn? zv??i? vzorky logaritmu denn?k 7 2 , ln ? 5, lg0,0001.

A polo?ky lg(-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 ned?vaj? zmysel, preto?e v prvom z nich je pod znamienkom logaritmu umiestnen? z?porn? ??slo, v druhom je z?porn? ??slo v z?klade a v tre?om je z?porn? ??slo pod znamienkom logaritmu a jednotkou v z?kladni.

Podmienky na ur?enie logaritmu.

Samostatne sa oplat? zv??i? podmienky a > 0, a ? 1, b > 0.za ktor?ch sa dostaneme defin?cia logaritmu. Pozrime sa, pre?o boli prijat? tieto obmedzenia. Pom??e n?m k tomu rovnos? tvaru x = log a b, naz?van? z?kladn? logaritmick? identita, ktor? priamo vypl?va z defin?cie logaritmu uvedenej vy??ie.

Zoberme si podmienku a?1. Ke??e jedna ku ktorejko?vek mocnine sa rovn? jednej, potom rovnos? x=log a b m??e existova? len vtedy b = 1, ale log 1 1 bude ak?ko?vek re?lne ??slo. Aby sme t?to nejednozna?nos? odstr?nili, berieme a?1.

Dok??me nevyhnutnos? podmienky a>0. O a=0 pod?a formul?cie logaritmu m??e existova? iba vtedy b = 0. A pod?a toho potom log 0 0 m??e by? ak?ko?vek nenulov? re?lne ??slo, preto?e nula a? ak?ko?vek nenulov? mocnina je nula. T?to nejednozna?nos? mo?no odstr?ni? podmienkou a?0. A kedy a<0 museli by sme odmietnu? anal?zu racion?lnych a iracion?lnych hodn?t logaritmu, preto?e stupe? s racion?lnym a iracion?lnym exponentom je definovan? len pre nez?porn? z?klady. Z tohto d?vodu je podmienka stanoven? a>0.

A posledn? podmienka b>0 vypl?va z nerovnosti a>0, preto?e x=log a b, a hodnotu stup?a s kladn?m z?kladom a v?dy pozit?vny.

Vlastnosti logaritmov.

Logaritmy vyzna?uj?ce sa v?razn?m Vlastnosti, ?o viedlo k ich ?irok?mu pou?itiu na v?razn? u?ah?enie starostliv?ch v?po?tov. Pri prechode „do sveta logaritmov“ sa n?sobenie premen? na ove?a jednoduch?ie s??tanie, delenie na od??tanie a umoc?ovanie a extrakcia odmocniny na n?sobenie a delenie exponentom.

Formul?ciu logaritmov a tabu?ku ich hodn?t (pre goniometrick? funkcie) prv?kr?t publikoval v roku 1614 ?k?tsky matematik John Napier. Logaritmick? tabu?ky, roz??ren? a podrobn? in?mi vedcami, boli ?iroko pou??van? vo vedeck?ch a technick?ch v?po?toch a zostali relevantn? a? do pou?itia elektronick?ch kalkula?iek a po??ta?ov.

Logaritmick? rovnica je rovnica, v ktorej nezn?ma (x) a v?razy s ?ou spojen? s? pod znamienkom logaritmickej funkcie. Rie?enie logaritmick?ch rovn?c predpoklad?, ?e u? pozn?te a .
Ako rie?i? logaritmick? rovnice?

Najjednoduch?ia rovnica je log a x = b, kde a a b s? nejak? ??sla, x je nezn?ma.
Rie?enie logaritmickej rovnice je x = a b za predpokladu, ?e: a > 0, a 1.

Treba poznamena?, ?e ak je x niekde mimo logaritmu, napr?klad log 2 x = x-2, potom sa tak?to rovnica u? naz?va zmie?an? a na jej rie?enie je potrebn? ?peci?lny pr?stup.

Ide?lny pr?pad je, ke? naraz?te na rovnicu, v ktorej s? pod logaritmick?m znamienkom iba ??sla, napr?klad x+2 = log 2 2. Tu na rie?enie sta?? pozna? vlastnosti logaritmov. Tak?to ??astie sa ale nest?va ?asto, preto sa pripravte na ?a??ie veci.

Najprv v?ak za?nime jednoduch?mi rovnicami. Na ich vyrie?enie je vhodn? ma? ve?mi v?eobecn? pochopenie logaritmu.

Rie?enie jednoduch?ch logaritmick?ch rovn?c

Patria sem rovnice typu log 2 x = log 2 16. Vo?n?m okom vid?me, ?e vynechan?m znamienka logaritmu dostaneme x = 16.

Na vyrie?enie zlo?itej?ej logaritmickej rovnice sa zvy?ajne redukuje na rie?enie oby?ajnej algebraickej rovnice alebo na rie?enie jednoduchej logaritmickej rovnice log a x = b. V najjednoduch??ch rovniciach sa to deje jedn?m pohybom, preto sa naz?vaj? najjednoduch?ie.

Vy??ie uveden? met?da vyp???ania logaritmov je jedn?m z hlavn?ch sp?sobov rie?enia logaritmick?ch rovn?c a nerovnost?. V matematike sa t?to oper?cia naz?va potenci?cia. Pre tento typ oper?cie existuj? ur?it? pravidl? alebo obmedzenia:

• logaritmy maj? rovnak? ??seln? z?klady
• Logaritmy na oboch stran?ch rovnice s? ?ubovo?n?, t.j. bez ak?chko?vek koeficientov alebo in?ch r?znych druhov v?razov.

Povedzme v rovnici log 2 x = 2log 2 (1 - x) potenci?cia nie je pou?ite?n? - koeficient 2 vpravo to neumo??uje. V nasleduj?com pr?klade log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) tie? nesp??a jedno z obmedzen? – v?avo s? dva logaritmy. Keby bol len jeden, bola by to ?plne in? z?le?itos?!

Vo v?eobecnosti m??ete logaritmy odstr?ni? iba vtedy, ak m? rovnica tvar:

log a (...) = log a (...)

Do hranat?ch z?tvoriek je mo?n? umiestni? absol?tne ?ubovo?n? v?razy, na ?innos? potenci?cie to nem? absol?tne ?iadny vplyv. A po odstr?nen? logaritmov zostane jednoduch?ia rovnica - line?rna, kvadratick?, exponenci?lna at?., Ktor?, d?fam, u? viete vyrie?i?.

Zoberme si ?al?? pr?klad:

log 3 (2x-5) = log 3x

Aplikujeme potenci?ciu, dostaneme:

log 3 (2x-1) = 2

Na z?klade defin?cie logaritmu, konkr?tne, ?e logaritmus je ??slo, na ktor? mus? by? z?klad pov??en?, aby sa z?skal v?raz, ktor? je pod znamienkom logaritmu, t.j. (4x-1), dostaneme:

Op?? sme dostali kr?snu odpove?. Tu sme sa zaobi?li bez odstr?nenia logaritmov, ale potenci?cia je pou?ite?n? aj tu, preto?e logaritmus mo?no vytvori? z ak?hoko?vek ??sla a presne z toho, ?o potrebujeme. T?to met?da je ve?mi n?pomocn? pri rie?en? logaritmick?ch rovn?c a najm? nerovn?c.

Vyrie?me na?u logaritmick? rovnicu log 3 (2x-1) = 2 pomocou potenci?cie:

Predstavme si ??slo 2 ako logaritmus, napr?klad tento log 3 9, preto?e 3 2 = 9.

Potom log 3 (2x-1) = log 3 9 a op?? dostaneme rovnak? rovnicu 2x-1 = 9. D?fam, ?e je v?etko jasn?.

Pozreli sme sa teda na to, ako vyrie?i? najjednoduch?ie logaritmick? rovnice, ktor? s? v skuto?nosti ve?mi d?le?it?, preto?e rie?enie logaritmick?ch rovn?c, dokonca aj tie najstra?nej?ie a prekr?ten?, nakoniec v?dy d?jde k rie?eniu t?ch najjednoduch??ch rovn?c.

Vo v?etkom, ?o sme urobili vy??ie, n?m jeden ve?mi ch?bal d?le?it? bod, ktor? bude v bud?cnosti zohr?va? rozhoduj?cu ?lohu. Faktom je, ?e rie?enie akejko?vek logaritmickej rovnice, dokonca aj tej najelement?rnej?ej, pozost?va z dvoch rovnak?ch ?ast?. Prv?m je rie?enie samotnej rovnice, druh?m je pr?ca s rozsahom pr?pustn?ch hodn?t (APV). Toto je presne prv? ?as?, ktor? sme zvl?dli. Vo vy??ie uveden?ch pr?kladoch ODZ nijako neovplyv?uje odpove?, preto sme ju neuva?ovali.

Zoberme si ?al?? pr?klad:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Navonok sa t?to rovnica nel??i od element?rnej, ktor? mo?no ve?mi ?spe?ne vyrie?i?. Ale nie je to tak. Nie, samozrejme, ?e to vyrie?ime, ale s najv???ou pravdepodobnos?ou nespr?vne, preto?e obsahuje mal? prepad, do ktor?ho okam?ite spadn? ?iaci C-?ka aj v?born? ?iaci. Po?me sa na to pozrie? bli??ie.

Povedzme, ?e potrebujete n?js? kore? rovnice alebo s??et kore?ov, ak ich je nieko?ko:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Pou??vame potenci?ciu, tu je pr?pustn?. V?sledkom je oby?ajn? kvadratick? rovnica.

N?jdenie kore?ov rovnice:

Uk?zalo sa, ?e dva korene.

Odpove?: 3 a -1

Na prv? poh?ad je v?etko spr?vne. Ale skontrolujme v?sledok a dosa?te ho do p?vodnej rovnice.

Za?nime s x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Kontrola bola ?spe?n?, teraz je front x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Dobre, presta?! Navonok je v?etko dokonal?. Jedna vec - neexistuj? ?iadne logaritmy zo z?porn?ch ??sel! To znamen?, ?e kore? x = -1 nie je vhodn? na rie?enie na?ej rovnice. A preto spr?vna odpove? bude 3, nie 2, ako sme p?sali.

Tu zohrala ODZ svoju osudov? ?lohu, na ktor? sme zabudli.

Dovo?te mi pripomen??, ?e rozsah prijate?n?ch hodn?t zah??a tie hodnoty x, ktor? s? povolen? alebo maj? zmysel pre p?vodn? pr?klad.

Bez ODZ sa ka?d?, aj absol?tne spr?vne rie?enie akejko?vek rovnice men? na lot?riu - 50/50.

Ako by sme sa mohli pristihn?? pri rie?en? zdanlivo element?rneho pr?kladu? Ale presne v momente potencovania. Logaritmy zmizli a s nimi aj v?etky obmedzenia.

?o robi? v tomto pr?pade? Odmietate odstr?ni? logaritmy? A ?plne odmietnu? rie?i? t?to rovnicu?

Nie, my len, ako skuto?n? hrdinovia z jednej sl?vnej piesne, p?jdeme ok?ukou!

Sk?r ako za?neme rie?i? ak?ko?vek logaritmick? rovnicu, zap??eme si ODZ. Ale potom m??ete s na?ou rovnicou robi? ?oko?vek, po ?om va?e srdce t??i. Po prijat? odpovede jednoducho vyhod?me tie korene, ktor? nie s? zahrnut? v na?ej ODZ, a zap??eme si kone?n? verziu.

Teraz sa rozhodneme, ako zaznamena? ODZ. Aby sme to urobili, d?kladne presk?mame p?vodn? rovnicu a h?ad?me v nej podozriv? miesta, ako je delenie x, dokonca odmocnina at?. K?m nevyrie?ime rovnicu, nevieme, ?omu sa x rovn?, ale s istotou vieme, ?e tie x, ktor? po dosaden? d?vaj? delenie 0 alebo druh? odmocninu z?porn?ho ??sla, zjavne nie s? vhodn? ako odpove?. . Preto s? tak?to x neprijate?n?, zatia? ?o zvy?ok bude tvori? ODZ.

Op?? pou?ijeme rovnak? rovnicu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Ako vid?te, neexistuje delenie 0, neexistuj? ani odmocniny, ale v tele logaritmu s? v?razy s x. Okam?ite si pripome?me, ?e v?raz vo vn?tri logaritmu mus? by? v?dy >0. T?to podmienku zapisujeme v tvare ODZ:

Tie. Zatia? sme ni? nevyrie?ili, ale u? sme si zap?sali povinn? podmienku pre cel? sublogaritmick? v?raz. Zlo?en? z?tvorka znamen?, ?e tieto podmienky musia by? splnen? s??asne.

Zapisuje sa ODZ, ale je potrebn? vyrie?i? aj v?sledn? syst?m nerovnost?, ?o urob?me. Dostaneme odpove? x > v3. Teraz u? s istotou vieme, ktor? x n?m nebude vyhovova?. A potom za?neme rie?i? samotn? logaritmick? rovnicu, ?o sme urobili vy??ie.

Po z?skan? odpoved? x 1 = 3 a x 2 = -1 je ?ahk? vidie?, ?e n?m vyhovuje iba x1 = 3 a zap??eme si to ako kone?n? odpove?.

Pre bud?cnos? je ve?mi d?le?it? zapam?ta? si nasledovn?: ak?ko?vek logaritmick? rovnicu rie?ime v 2 etap?ch. Prv?m je vyrie?enie samotnej rovnice, druh?m vyrie?enie podmienky ODZ. Obe etapy sa vykon?vaj? nez?visle na sebe a porovn?vaj? sa a? pri p?san? odpovede, t.j. vyho?te v?etko nepotrebn? a zap??te si spr?vnu odpove?.

Na posilnenie materi?lu d?razne odpor??ame pozrie? si video:

Video ukazuje ?al?ie pr?klady rie?enia log. rovn?c a vypracovanie intervalovej met?dy v praxi.

Na t?to ot?zku, ako rie?i? logaritmick? rovnice To je zatia? v?etko. Ak o nie?om rozhoduje log. rovnice zost?vaj? nejasn? alebo nezrozumite?n?, p??te svoje ot?zky do koment?rov.

Pozn?mka: Akad?mia soci?lneho vzdel?vania (ASE) je pripraven? prija? nov?ch ?tudentov.

Zachovanie v??ho s?kromia je pre n?s d?le?it?. Z tohto d?vodu sme vyvinuli Z?sady ochrany osobn?ch ?dajov, ktor? popisuj?, ako pou??vame a uchov?vame va?e inform?cie. Pre??tajte si na?e postupy ochrany osobn?ch ?dajov a ak m?te nejak? ot?zky, dajte n?m vedie?.

Zhroma??ovanie a pou??vanie osobn?ch ?dajov

Osobn? ?daje s? ?daje, ktor? mo?no pou?i? na identifik?ciu alebo kontaktovanie konkr?tnej osoby.

Ke? n?s budete kontaktova?, m??ete by? kedyko?vek po?iadan? o poskytnutie svojich osobn?ch ?dajov.

Ni??ie s? uveden? niektor? pr?klady typov osobn?ch ?dajov, ktor? m??eme zhroma??ova?, a ako m??eme tieto inform?cie pou?i?.

Ak? osobn? ?daje zhroma??ujeme:

• Ke? odo?lete ?iados? na str?nke, m??eme zhroma??ova? r?zne inform?cie vr?tane v??ho mena, telef?nneho ??sla, e-mailovej adresy at?.

Ako pou??vame va?e osobn? ?daje:

• Osobn? ?daje, ktor? zhroma??ujeme, n?m umo??uj? kontaktova? v?s s jedine?n?mi ponukami, propaga?n?mi akciami a in?mi udalos?ami a pripravovan?mi udalos?ami.
• Z ?asu na ?as m??eme pou?i? va?e osobn? ?daje na zasielanie d?le?it?ch upozornen? a komunik?cie.
• Osobn? ?daje m??eme pou?i? aj na intern? ??ely, ako je vykon?vanie auditov, anal?za ?dajov a r?zne v?skumy, aby sme zlep?ili slu?by, ktor? poskytujeme, a poskytli v?m odpor??ania t?kaj?ce sa na?ich slu?ieb.
• Ak sa z??astn?te ?rebovania o ceny, s??a?e alebo podobnej propaga?nej akcie, m??eme pou?i? inform?cie, ktor? n?m poskytnete, na spr?vu tak?chto programov.

Spr?stupnenie inform?ci? tret?m stran?m

Inform?cie, ktor? od v?s dostaneme, nezverej?ujeme tret?m stran?m.

V?nimky:

• V pr?pade potreby – v s?lade so z?konom, s?dnym konan?m, v s?dnom konan? a/alebo na z?klade verejn?ch ?iadost? alebo ?iadost? vl?dnych org?nov v Ruskej feder?cii – poskytn?? va?e osobn? ?daje. M??eme tie? zverejni? inform?cie o v?s, ak zist?me, ?e tak?to zverejnenie je potrebn? alebo vhodn? na ??ely bezpe?nosti, presadzovania pr?va alebo na in? ??ely verejn?ho v?znamu.
• V pr?pade reorganiz?cie, zl??enia alebo predaja m??eme osobn? ?daje, ktor? zhroma??ujeme, prenies? na pr?slu?n? n?stupn?cku tretiu stranu.

Ochrana osobn?ch ?dajov

Prij?mame opatrenia – vr?tane administrat?vnych, technick?ch a fyzick?ch – na ochranu va?ich osobn?ch ?dajov pred stratou, kr?de?ou a zneu?it?m, ako aj neopr?vnen?m pr?stupom, zverejnen?m, zmenou a zni?en?m.

Re?pektovanie v??ho s?kromia na ?rovni spolo?nosti

Aby sme zaistili bezpe?nos? va?ich osobn?ch ?dajov, informujeme na?ich zamestnancov o ?tandardoch ochrany osobn?ch ?dajov a bezpe?nosti a pr?sne presadzujeme postupy ochrany osobn?ch ?dajov.