Koncept pyram?dy

Defin?cia 1

Geometrick? ?tvar tvoren? mnohouholn?kom a bodom, ktor? nele?? v rovine obsahuj?cej tento mnohouholn?k, spojen? so v?etk?mi vrcholmi mnohouholn?ka, sa naz?va pyram?da (obr. 1).

Mnohouholn?k, z ktor?ho je pyram?da zlo?en?, sa naz?va z?klad?a pyram?dy, trojuholn?ky z?skan? spojen?m s bodom s? bo?n? strany pyram?dy, strany trojuholn?kov s? strany pyram?dy a bod spolo?n? pre v?etk?ch. trojuholn?ky je vrchol pyram?dy.

Druhy pyram?d

V z?vislosti od po?tu rohov na z?kladni pyram?dy ju mo?no nazva? trojuholn?kovou, ?tvorhrannou at?. (obr. 2).

Obr?zok 2

?al??m typom pyram?dy je pravideln? pyram?da.

Uve?me a dok??me vlastnos? pravidelnej pyram?dy.

Veta 1

V?etky bo?n? strany pravidelnej pyram?dy s? rovnoramenn? trojuholn?ky, ktor? s? si navz?jom rovn?.

D?kaz.

Uva?ujme pravideln? $n-$gon?lnu pyram?du s vrcholom $S$ s v??kou $h=SO$. Op??me kruh okolo z?kladne (obr. 4).

Obr?zok 4

Zv??te trojuholn?k $SOA$. Pod?a Pytagorovej vety dostaneme

Je zrejm?, ?e ka?d? bo?n? okraj bude definovan? t?mto sp?sobom. Preto s? v?etky bo?n? hrany navz?jom rovnak?, to znamen?, ?e v?etky bo?n? strany s? rovnoramenn? trojuholn?ky. Dok??me, ?e s? si navz?jom rovn?. Ke??e z?klad?a je pravideln? mnohouholn?k, z?kladne v?etk?ch bo?n?ch pl?ch s? si navz?jom rovn?. V d?sledku toho s? v?etky bo?n? strany rovnak? pod?a III znamienka rovnosti trojuholn?kov.

Veta bola dok?zan?.

Teraz predstav?me nasleduj?cu defin?ciu s?visiacu s pojmom pravideln? pyram?da.

Defin?cia 3

Apot?m pravidelnej pyram?dy je v??ka jej bo?nej steny.

Je zrejm?, ?e pod?a vety 1 s? v?etky apot?my rovnak?.

Veta 2

Bo?n? povrch pravidelnej pyram?dy je definovan? ako s??in pol obvodu z?kladne a apot?mu.

D?kaz.

Ozna?me stranu z?kladne $n-$uho?nej pyram?dy $a$ a apot?mu $d$. Preto sa plocha bo?nej plochy rovn?

Preto?e pod?a vety 1 s? v?etky strany rovnak?

Veta bola dok?zan?.

?al??m typom pyram?dy je zrezan? pyram?da.

Defin?cia 4

Ak je rovina rovnobe?n? s jej z?klad?ou nakreslen? cez oby?ajn? ihlan, potom obrazec vytvoren? medzi touto rovinou a rovinou z?kladne sa naz?va zrezan? ihlan (obr. 5).

Obr?zok 5. Zrezan? pyram?da

Bo?n? strany zrezanej pyram?dy s? lichobe?n?ky.

Veta 3

Plocha bo?n?ho povrchu pravidelnej zrezanej pyram?dy je definovan? ako s??in s??tu semiperimetrov z?kladn? a apot?mu.

D?kaz.

Ozna?me strany podstav $n-$uho?nej pyram?dy $a\ a\ b$ a apot?m $d$. Preto sa plocha bo?nej plochy rovn?

Preto?e v?etky strany s? si rovn?

Veta bola dok?zan?.

Pr?klad ?lohy

Pr?klad 1

N?jdite plochu bo?n?ho povrchu zrezan?ho trojuholn?kov?ho ihlana, ak je z?skan? z pravidelnej pyram?dy so z?kladnou stranou 4 a apot?mou 5 odrezan?m rovinou prech?dzaj?cou stredovou ?iarou bo?n?ch pl?ch.

Rie?enie.

Pod?a vety o strednej ?iare z?skame, ?e horn? z?klad?a zrezanej pyram?dy sa rovn? $4\cdot \frac(1)(2)=2$ a apot?ma sa rovn? $5\cdot \frac(1)( 2) = 2,5 $.

Potom pod?a vety 3 dostaneme

Tento video tutori?l pom??e pou??vate?om z?ska? predstavu o t?me Pyramid. Spr?vna pyram?da. V tejto lekcii sa zozn?mime s pojmom pyram?da, d?me jej defin?ciu. Zv??te, ?o je pravideln? pyram?da a ak? vlastnosti m?. Potom dok??eme vetu na bo?nom povrchu pravidelnej pyram?dy.

V tejto lekcii sa zozn?mime s pojmom pyram?da, d?me jej defin?ciu.

Predstavte si mnohouholn?k A 1 A 2...A n, ktor? le?? v rovine a, a bod P, ktor? nele?? v rovine a (obr. 1). Spojme bodku P s vrcholmi A 1, A 2, A 3, … A n. Z?skajte n trojuholn?ky: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R a tak ?alej.

Defin?cia. Mnohosten RA 1 A 2 ... A n, tvoren? n- gon A 1 A 2...A n a n trojuholn?ky RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , tzv n- uho?n? pyram?da. Ry?a. jeden.

Ry?a. jeden

Uva?ujme o ?tvorhrannej pyram?de PABCD(obr. 2).

R- vrchol pyram?dy.

A B C D- z?klad?a pyram?dy.

RA- bo?n? rebro.

AB- okraj z?kladne.

Z jedn?ho bodu R klesn?? kolmice RN na z?kladnej rovine A B C D. Nakreslen? kolmica je v??ka pyram?dy.

Ry?a. 2

Celkov? plocha pyram?dy pozost?va z bo?nej plochy, teda plochy v?etk?ch bo?n?ch pl?ch, a z?kladnej plochy:

S pln? \u003d S strana + S hlavn?

Pyram?da sa naz?va spr?vna, ak:

• jeho z?klad?a je pravideln? mnohouholn?k;
• segment sp?jaj?ci vrchol pyram?dy so stredom podstavy je jej v??ka.

Vysvetlenie na pr?klade pravidelnej ?tvorhrannej pyram?dy

Zv??te pravideln? ?tvorhrann? pyram?du PABCD(obr. 3).

R- vrchol pyram?dy. z?klad?a pyram?dy A B C D- pravideln? ?tvoruholn?k, teda ?tvorec. Bodka O, priese?n?k uhloprie?ok, je stredom ?tvorca. znamen?, RO je v??ka pyram?dy.

Ry?a. 3

Vysvetlenie: vpravo n-gon, stred vp?sanej kru?nice a stred op?sanej kru?nice sa zhoduj?. Tento stred sa naz?va stred mnohouholn?ka. Niekedy sa hovor?, ?e vrchol sa premieta do stredu.

V??ka bo?nej steny pravidelnej pyram?dy, nakreslen? z jej vrcholu, sa naz?va apot?ma a ozna?en? h a.

1. v?etky bo?n? hrany pravidelnej pyram?dy s? rovnak?;

2. bo?n? strany s? rovnak? rovnoramenn? trojuholn?ky.

Dok??me tieto vlastnosti na pr?klade pravideln?ho ?tvorbok?ho ihlana.

Dan?: RABCD- pravideln? ?tvorhrann? pyram?da,

A B C D- n?mestie,

RO je v??ka pyram?dy.

dok?za?:

1. RA = PB = PC = PD

2.?ATP = ?BCP = ?CDP = ?DAP Pozri obr. ?tyri.

Ry?a. ?tyri

D?kaz.

RO je v??ka pyram?dy. Teda rovno RO kolmo na rovinu ABC a teda priame AO, VO, SO a DO le?a? v ?om. Tak?e trojuholn?ky ROA, ROV, ROS, ROD- pravouhl?.

Zv??te ?tvorec A B C D. Z vlastnost? ?tvorca vypl?va, ?e AO = BO = CO = DO.

Potom prav? trojuholn?ky ROA, ROV, ROS, ROD nohu RO- gener?l a nohy AO, VO, SO a DO rovnak?, tak?e tieto trojuholn?ky s? rovnak? v dvoch noh?ch. Z rovnosti trojuholn?kov vypl?va rovnos? ?se?iek, RA = PB = PC = PD. Bod 1 je dok?zan?.

Segmenty AB a slnko s? rovnak?, preto?e s? stranami toho ist?ho ?tvorca, RA = RV = PC. Tak?e trojuholn?ky AVR a VCR - rovnoramenn? a rovnak? na troch stran?ch.

Podobne dostaneme, ?e trojuholn?ky ABP, BCP, CDP, DAP s? rovnoramenn? a rovn?, ?o bolo potrebn? preuk?za? v bode 2.

Plocha bo?n?ho povrchu pravidelnej pyram?dy sa rovn? polovici s??inu obvodu z?kladne a apot?mu:

Na d?kaz zvol?me pravideln? trojuholn?kov? pyram?du.

Dan?: RAVS je pravideln? trojuholn?kov? pyram?da.

AB = BC = AC.

RO- v??ka.

dok?za?: . Pozri obr. 5.

Ry?a. 5

D?kaz.

RAVS je pravideln? trojuholn?kov? pyram?da. Teda AB= AC = BC. Nechaj O- stred trojuholn?ka ABC, potom RO je v??ka pyram?dy. Z?klad?a pyram?dy je rovnostrann? trojuholn?k. ABC. V?imni si .

trojuholn?ky RAV, RVS, RSA- rovnak? rovnoramenn? trojuholn?ky (pod?a vlastnosti). Trojuholn?kov? pyram?da m? tri bo?n? strany: RAV, RVS, RSA. Tak?e plocha bo?n?ho povrchu pyram?dy je:

Strana S = 3S RAB

Veta bola dok?zan?.

Polomer kruhu vp?san?ho do z?kladne pravidelnej ?tvoruholn?kovej pyram?dy je 3 m, v??ka pyram?dy je 4 m. N?jdite plochu bo?n?ho povrchu pyram?dy.

Dan?: pravideln? ?tvorhrann? ihlan A B C D,

A B C D- n?mestie,

r= 3 m,

RO- v??ka pyram?dy,

RO= 4 m.

N?js?: S strana. Pozri obr. 6.

Ry?a. 6

Rie?enie.

Pod?a osved?enej vety, .

Najprv n?jdite stranu z?kladne AB. Vieme, ?e polomer kru?nice vp?sanej do podstavy pravideln?ho ?tvorbok?ho ihlana je 3 m.

Potom, m.

N?jdite obvod ?tvorca A B C D so stranou 6 m:

Zv??te trojuholn?k BCD. Nechaj M- stredn? strana DC. Preto?e O- stredn? BD, potom (m).

Trojuholn?k DPC- rovnoramenn?. M- stredn? DC. teda RM- medi?n, a teda aj v??ka v trojuholn?ku DPC. Potom RM- apot?ma pyram?dy.

RO je v??ka pyram?dy. Potom rovno RO kolmo na rovinu ABC, a teda priamy OM le?a? v ?om. Po?me n?js? apot?mu RM z pravouhl?ho trojuholn?ka ROM.

Teraz m??eme n?js? bo?n? povrch pyram?dy:

Odpove?: 60 m2.

Polomer kru?nice op?sanej v bl?zkosti z?kladne pravideln?ho trojuholn?kov?ho ihlana je m. Bo?n? povrch je 18 m 2 . N?jdite d??ku apot?mu.

Dan?: ABCP- pravideln? trojuholn?kov? pyram?da,

AB = BC = SA,

R= m,

S strana = 18 m 2.

N?js?: . Pozri obr. 7.

Ry?a. 7

Rie?enie.

V pravouhlom trojuholn?ku ABC dan? polomerom kru?nice op?sanej. Po?me n?js? stranu AB tento trojuholn?k pomocou s?nusovej vety.

Ke? pozn?me stranu pravideln?ho trojuholn?ka (m), n?jdeme jeho obvod.

Pod?a vety o ploche bo?n?ho povrchu pravidelnej pyram?dy, kde h a- apot?ma pyram?dy. potom:

Odpove?: 4 m.

Tak?e sme sk?mali, ?o je pyram?da, ?o je pravideln? pyram?da, dok?zali sme vetu na bo?nom povrchu pravidelnej pyram?dy. V ?al?ej lekcii sa zozn?mime so zrezanou pyram?dou.

Bibliografia

1. Geometria. 10.-11. ro?n?k: u?ebnica pre ?tudentov vzdel?vac?ch in?tit?ci? (z?kladn? a profilov? ?rove?) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, Rev. a dodato?n? - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor.
2. Geometria. 10.-11. ro?n?k: U?ebnica pre v?eobecn? vzdel?vacie in?tit?cie / Sharygin I. F. - M .: Drop, 1999. - 208 s.: chor.
3. Geometria. 10. ro?n?k: U?ebnica pre v?eobecnovzdel?vacie in?tit?cie s h?bkov?m a profilov?m ?t?diom matematiky / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vyd., stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s.: chor.

1. Internetov? port?l "Yaklass" ()
2. Internetov? port?l „Festival pedagogick?ch my?lienok „Prv? september“ ()
3. Internetov? port?l "Slideshare.net" ()

Dom?ca ?loha

1. M??e by? pravideln? mnohouholn?k z?klad?ou nepravidelnej pyram?dy?
2. Dok??te, ?e nepret?naj?ce sa hrany pravidelnej pyram?dy s? kolm?.
3. N?jdite hodnotu dihedr?lneho uhla na strane podstavy pravidelnej ?tvorbokej pyram?dy, ak sa apot?m pyram?dy rovn? strane jej podstavy.
4. RAVS je pravideln? trojuholn?kov? pyram?da. Zostrojte line?rny uhol dihedr?lneho uhla na z?kladni pyram?dy.

In?trukcia

V pr?pade, ?e z?klad pyram?dy le?? ?tvorec, je zn?ma d??ka jeho uhloprie?ky, ako aj d??ka hrany tohto pyram?dy, potom v??ka toto pyram?dy mo?no vyjadri? z Pytagorovej vety, preto?e trojuholn?k, ktor? je tvoren? hranou pyram?dy a polovica uhloprie?ky na z?kladni je pravouhl? trojuholn?k.
Pytagorova veta hovor?, ?e ve?kos? ?tvorca prepony v obd??niku sa rovn? s??tu ?tvorcov jeho n?h (a? = b? + c?). hrana pyram?dy- prepona, jedna z n?h m? polovicu uhloprie?ky ?tvorca. Potom sa d??ka nezn?mej nohy (v??ka) zist? pod?a vzorcov:
b? = a? - c?;
c? = a? - b?.

Aby boli obe situ?cie ?o najjasnej?ie a najzrozumite?nej?ie, m??ete zv??i? p?r.
Pr?klad 1: Z?kladn? plocha pyram?dy 46 cm?, jeho objem je 120 cm?. Na z?klade t?chto ?dajov v??ka pyram?dy nach?dza sa takto:
h = 3 x 120/46 = 7,83 cm
Odpove?: v??ka dan?ho pyram?dy bude ma? pribli?ne 7,83 cm
Pr?klad 2: pyram?dy, na z?kladni ktor?ho le?? mnohouholn?k - ?tvorec, jeho uhloprie?ka je 14 cm, d??ka hrany je 15 cm. v??ka pyram?dy, mus?te pou?i? nasleduj?ci vzorec (ktor? je v d?sledku Pytagorovej vety):
h? = 15? - 14?
h? = 225 - 196 = 29
v = ?29 cm
Odpove?: v??ka dan?ho pyram?dy je ?29 cm alebo pribli?ne 5,4 cm

Pozn?mka

Ak je na z?kladni pyram?dy ?tvorec alebo in? pravideln? mnohouholn?k, potom t?to pyram?du mo?no nazva? pravidelnou. Tak?to pyram?da m? nieko?ko vlastnost?:
jeho bo?n? rebr? s? rovnak?;
jeho strany s? rovnoramenn? trojuholn?ky, ktor? s? si navz?jom rovn?;
v bl?zkosti takejto pyram?dy je mo?n? op?sa? gu?u, ako aj vp?sa? ju.

Zdroje:

• Spr?vna pyram?da

Pyram?da je postava, na z?kladni ktorej le?? mnohouholn?k, pri?om jej strany s? trojuholn?ky so spolo?n?m vrcholom pre v?etk?ch. V typick?ch probl?moch je ?asto potrebn? zostroji? a ur?i? d??ku kolmice nakreslenej z vrcholu pyram?dy do roviny jeho z?kladne. D??ka tohto segmentu sa naz?va v??ka pyram?dy.

Budete potrebova?

• - prav?tko
• - ceruzka
• - kompasy

In?trukcia

Ak chcete vykona?, postavte pyram?du v s?lade so stavom probl?mu. Napr?klad, ak chcete postavi? pravideln? ?tvorsten, mus?te nakresli? postavu tak, aby v?etk?ch 6 hr?n bolo rovnak?ch. Ak potrebujete stava? v??ka?tvoruholn?kov?, potom by mali by? rovnak? iba 4 okraje z?kladne. Potom m??u by? okraje bo?n?ch pl?ch nerovnak? ako okraje mnohouholn?ka. Pomenujte pyram?du a ozna?te v?etky vrcholy latinsk?mi p?smenami. Napr?klad pre pyram?dy s trojuholn?kom na z?kladni si m??ete vybra? A, B, C (pre z?klad?u), S (pre vrch). Ak s? v podmienke ?pecifikovan? konkr?tne ve?kosti hr?n, pri kon?trukcii fig?ry sa vych?dza z t?chto hodn?t.

Na za?iatok podmiene?ne vyberte pomocou kompasu, pri?om sa zvn?tra dot?kajte v?etk?ch okrajov mnohouholn?ka. Ak pyram?da, tak bod (nazvite to napr. H) na z?kl pyram?dy, do ktor?ho v??ka spad?, mus? zodpoveda? stredu kru?nice vp?sanej do spr?vnej z?kladne pyram?dy. Stred bude zodpoveda? bodu, ktor? je rovnako vzdialen? od ak?hoko?vek in?ho bodu na kru?nici. Ak spoj?me vrchol pyram?dy S so stredom kruhu H, potom segment SH bude v??ka pyram?dy. Z?rove? si pam?tajte, ?e kruh mo?no vp?sa? do ?tvoruholn?ka, ktor?ho s??ty proti?ahl?ch str?n s? rovnak?. To plat? pre ?tvorec a koso?tvorec. V tomto pr?pade bude bod H le?a? v ?tvoruholn?ku. Pre ka?d? trojuholn?k je mo?n? vp?sa? a op?sa? kruh.

Postavi? v??ka pyram?dy, pomocou kru?idla nakreslite kru?nicu a potom pomocou prav?tka spojte jej stred H s vrcholom S. SH je po?adovan? v??ka. Ak na z?kladni pyram?dy SABC je neplatn? ?daj, potom v??ka spoj? vrchol pyram?dy so stredom kru?nice, do ktorej je vp?san? mnohouholn?k podstavy. V?etky vrcholy mnohouholn?ka le?ia na takejto kru?nici. V tomto pr?pade bude tento segment kolm? na rovinu z?kladne pyram?dy. Kruh okolo ?tvoruholn?ka m??ete op?sa?, ak s??et proti?ahl?ch uhlov je 180o. Potom stred tak?hoto kruhu bude le?a? na priese?n?ku uhloprie?ok zodpovedaj?ceho

Defin?cia. Bo?n? tv?r- je to trojuholn?k, v ktorom jeden uhol le?? na vrchole pyram?dy a jeho opa?n? strana sa zhoduje so stranou z?kladne (mnohouholn?ka).

Defin?cia. Bo?n? rebr? s? spolo?n? strany bo?n?ch pl?ch. Pyram?da m? to?ko hr?n, ko?ko je rohov v polyg?ne.

Defin?cia. v??ka pyram?dy je kolmica spadnut? z vrcholu na z?klad?u pyram?dy.

Defin?cia. Apothem- toto je kolmica na bo?n? stranu pyram?dy, spusten? z vrcholu pyram?dy na stranu z?kladne.

Defin?cia. Diagon?lny rez- je to rez pyram?dy rovinou prech?dzaj?cou vrcholom pyram?dy a uhloprie?kou podstavy.

Defin?cia. Spr?vna pyram?da- Toto je pyram?da, ktorej z?klad?ou je pravideln? mnohouholn?k a v??ka kles? do stredu z?kladne.

Objem a povrch pyram?dy

Vzorec. objem pyram?dy cez z?kladn? plochu a v??ku:

vlastnosti pyram?dy

Ak s? v?etky bo?n? hrany rovnak?, potom m??e by? okolo z?kladne pyram?dy op?san? kruh a stred z?kladne sa zhoduje so stredom kruhu. Taktie? kolmica spadnut? zhora prech?dza stredom z?kladne (kruhu).

Ak s? v?etky bo?n? rebr? rovnak?, potom s? naklonen? k z?kladnej rovine v rovnak?ch uhloch.

Bo?n? rebr? s? rovnak?, ke? zvieraj? rovnak? uhly so z?kladnou rovinou, alebo ak mo?no okolo z?kladne pyram?dy op?sa? kruh.

Ak s? bo?n? steny naklonen? k rovine z?kladne pod jedn?m uhlom, potom m??e by? do z?kladne pyram?dy vp?san? kruh a vrchol pyram?dy sa premieta do jej stredu.

Ak s? bo?n? plochy naklonen? k z?kladnej rovine pod jedn?m uhlom, potom s? apot?my bo?n?ch pl?ch rovnak?.

Vlastnosti pravidelnej pyram?dy

1. Vrch pyram?dy je rovnako vzdialen? od v?etk?ch rohov z?kladne.

2. V?etky bo?n? okraje s? rovnak?.

3. V?etky bo?n? rebr? s? naklonen? v rovnak?ch uhloch k z?kladni.

4. Apot?my v?etk?ch bo?n?ch pl?ch s? rovnak?.

5. Plochy v?etk?ch bo?n?ch pl?ch s? rovnak?.

6. V?etky plochy maj? rovnak? dihedr?lne (ploch?) uhly.

7. Okolo pyram?dy mo?no op?sa? gu?u. Stred op?sanej gule bude priese?n?kom kolmic, ktor? prech?dzaj? stredom hr?n.

8. Gu?a m??e by? vp?san? do pyram?dy. Stred vp?sanej gule bude priese?n?kom priese?n?kov vych?dzaj?cich z uhla medzi okrajom a z?klad?ou.

9. Ak sa stred vp?sanej gule zhoduje so stredom op?sanej gule, potom sa s??et ploch?ch uhlov na vrchole rovn? p alebo naopak, jeden uhol sa rovn? p / n, kde n je ??slo uhlov na z?kladni pyram?dy.

Spojenie pyram?dy s gu?ou

Okolo pyram?dy mo?no op?sa? gu?u, ke? na z?kladni pyram?dy le?? mnohosten, okolo ktor?ho mo?no op?sa? kruh (nevyhnutn? a posta?uj?ca podmienka). Stred gule bude priese?n?kom rov?n prech?dzaj?cich kolmo cez stredy bo?n?ch hr?n pyram?dy.

Gu?a m??e by? v?dy op?san? okolo akejko?vek trojuholn?kovej alebo pravidelnej pyram?dy.

Gu?a m??e by? vp?san? do pyram?dy, ak sa osov? roviny vn?torn?ch dihedr?lnych uhlov pyram?dy pret?naj? v jednom bode (nevyhnutn? a posta?uj?ca podmienka). Tento bod bude stredom gule.

Spojenie pyram?dy s ku?e?om

Ku?e? sa naz?va vp?san? do pyram?dy, ak sa ich vrcholy zhoduj? a z?klad?a ku?e?a je vp?san? do z?kladne pyram?dy.

Ku?e? m??e by? vp?san? do pyram?dy, ak s? apot?my pyram?dy rovnak?.

Ku?e? je op?san? okolo pyram?dy, ak sa ich vrcholy zhoduj? a z?klad?a ku?e?a je op?san? okolo z?kladne pyram?dy.

Ku?e? m??e by? op?san? okolo pyram?dy, ak s? v?etky bo?n? hrany pyram?dy rovnak?.

Spojenie pyram?dy s valcom

O pyram?de sa hovor?, ?e je vp?san? do valca, ak vrchol pyram?dy le?? na jednej z?kladni valca a z?klad?a pyram?dy je vp?san? do inej z?kladne valca.

Valec m??e by? op?san? okolo pyram?dy, ak m??e by? kruh op?san? okolo z?kladne pyram?dy.

Defin?cia. Zrezan? pyram?da (pyram?dov? hranol)- Toto je mnohosten, ktor? sa nach?dza medzi z?klad?ou pyram?dy a rovinou rezu rovnobe?nou so z?klad?ou. Pyram?da m? teda ve?k? z?klad?u a men?iu z?klad?u, ktor? je podobn? tej v???ej. Bo?n? plochy s? lichobe?n?kov?.

Defin?cia. Trojuholn?kov? pyram?da (tetrahedron)- je to pyram?da, v ktorej s? tri steny a z?klad?a ?ubovo?n? trojuholn?ky.

?tvorsten m? ?tyri steny a ?tyri vrcholy a ?es? hr?n, pri?om ?iadne dve hrany nemaj? spolo?n? vrcholy, ale nedot?kaj? sa.

Ka?d? vrchol pozost?va z troch pl?ch a hr?n, ktor? tvoria trojstenn? uhol.

Segment sp?jaj?ci vrchol ?tvorstenu so stredom proti?ahlej plochy sa naz?va medi?n ?tvorstenu(GM).

Bimedi?n sa naz?va segment sp?jaj?ci stredy proti?ahl?ch hr?n, ktor? sa nedot?kaj? (KL).

V?etky bimedi?ny a medi?ny ?tvorstenu sa pret?naj? v jednom bode (S). V tomto pr?pade s? bimedi?ny rozdelen? na polovicu a medi?ny v pomere 3: 1 za??naj?c zhora.

Defin?cia. naklonen? pyram?da je ihlan, v ktorom jedna z hr?n zviera tup? uhol (v) so z?klad?ou.

Defin?cia. Obd??nikov? pyram?da je pyram?da, v ktorej je jedna z bo?n?ch pl?ch kolm? na z?klad?u.

Defin?cia. Ak?tna uhlov? pyram?da je pyram?da, v ktorej m? apot?m viac ako polovicu d??ky strany z?kladne.

Defin?cia. tup? pyram?da je pyram?da, v ktorej m? apot?m menej ako polovicu d??ky strany z?kladne.

Defin?cia. pravideln? ?tvorsten?tvorsten, ktor?ho ?tyri strany s? rovnostrann? trojuholn?ky. Je to jeden z piatich pravideln?ch polyg?nov. V pravidelnom ?tvorstene s? v?etky dihedr?lne uhly (medzi plochami) a trojstenn? uhly (vo vrchole) rovnak?.

Defin?cia. Obd??nikov? ?tvorsten naz?va sa ?tvorsten, ktor? m? vo vrchole prav? uhol medzi tromi hranami (hrany s? kolm?). Vytv?raj? sa tri tv?re pravouhl? trojstenn? uhol a plochy s? pravouhl? trojuholn?ky a z?klad?a je ?ubovo?n? trojuholn?k. Apot?m akejko?vek tv?re sa rovn? polovici strany z?kladne, na ktor? pad? apot?m.

Defin?cia. Izoedrick? ?tvorsten Naz?va sa ?tvorsten, v ktorom s? bo?n? strany rovnak? a z?klad?a je pravideln? trojuholn?k. Tv?re tak?ho ?tvorstenu s? rovnoramenn? trojuholn?ky.

Defin?cia. Ortocentrick? ?tvorsten naz?va sa ?tvorsten, v ktorom sa v?etky v??ky (kolmice), ktor? s? zn??en? zhora na opa?n? stranu, pret?naj? v jednom bode.

Defin?cia. hviezdna pyram?da Mnohosten, ktor?ho z?kladom je hviezda, sa naz?va.

Defin?cia. bipyram?da- mnohosten pozost?vaj?ci z dvoch r?znych pyram?d (pyram?dy m??u by? aj odrezan?), ktor? maj? spolo?n? z?klad?u a vrcholy le?ia na opa?n?ch stran?ch z?kladnej roviny.

Na?alej zva?ujeme ?lohy zahrnut? v sk??ke z matematiky. U? sme ?tudovali probl?my, kde je dan? podmienka a je potrebn? n?js? vzdialenos? medzi dvoma dan?mi bodmi alebo uhol.

Pyram?da je mnohosten, ktor?ho z?klad?ou je mnohouholn?k, ostatn? steny s? trojuholn?ky a maj? spolo?n? vrchol.

Pravideln? pyram?da je pyram?da, na z?kladni ktorej le?? pravideln? mnohouholn?k a jej vrchol sa premieta do stredu z?kladne.

Pravideln? ?tvorhrann? ihlan - podstavou je ?tvorec Vrchol ihlana sa premieta do priese?n?ka uhloprie?ok podstavy (?tvorca).

ML - apot?m
?MLO - dihedr?lny uhol na z?kladni pyram?dy
?MCO - uhol medzi bo?n?m okrajom a rovinou z?kladne pyram?dy

V tomto ?l?nku zv??ime ?lohy na rie?enie spr?vnej pyram?dy. Je potrebn? n?js? ak?ko?vek prvok, bo?n? plochu, objem, v??ku. Samozrejme, mus?te pozna? Pytagorovu vetu, vzorec pre oblas? bo?n?ho povrchu pyram?dy, vzorec na n?jdenie objemu pyram?dy.

V ?l?nku « » s? uveden? vzorce, ktor? s? potrebn? na rie?enie probl?mov v stereometrii. Tak?e ?lohy s?:

SABCD bodka O- z?kladn? stredS vrchol, SO = 51, AC= 136. N?jdite bo?n? hranuSC.

V tomto pr?pade je z?kladom ?tvorec. To znamen?, ?e uhloprie?ky AC a BD s? rovnak?, pret?naj? sa a pret?naj? v priese?n?ku. V?imnite si, ?e v pravidelnej pyram?de v??ka zn??en? z jej vrcholu prech?dza stredom z?kladne pyram?dy. Tak?e SO je v??ka a trojuholn?kSOCpravouhl?. Potom pod?a Pytagorovej vety:

Ako odkoreni? ve?k? ??slo.

odpove?: 85

Rozhodnite sa sami:

V pravidelnej ?tvorhrannej pyram?de SABCD bodka O- z?kladn? stred S vrchol, SO = 4, AC= 6. N?jdite bo?n? hranu SC.

V pravidelnej ?tvorhrannej pyram?de SABCD bodka O- z?kladn? stred S vrchol, SC = 5, AC= 6. N?jdite d??ku segmentu SO.

V pravidelnej ?tvorhrannej pyram?de SABCD bodka O- z?kladn? stred S vrchol, SO = 4, SC= 5. N?jdite d??ku segmentu AC.

SABC R- stred rebra BC, S- vrchol. To je zn?me AB= 7 a SR= 16. N?jdite plochu bo?n?ho povrchu.

Plocha bo?n?ho povrchu pravidelnej trojuholn?kovej pyram?dy sa rovn? polovici s??inu obvodu z?kladne a apot?mu (apot?m je v??ka bo?nej steny pravidelnej pyram?dy, nakreslen? od jej vrcholu):

Alebo m??ete poveda? toto: plocha bo?n?ho povrchu pyram?dy sa rovn? s??tu pl?ch troch bo?n?ch stien. Bo?n? steny v pravidelnej trojuholn?kovej pyram?de s? trojuholn?ky rovnakej plochy. V tomto pr?pade:

odpove?: 168

Rozhodnite sa sami:

V pravidelnej trojuholn?kovej pyram?de SABC R- stred rebra BC, S- vrchol. To je zn?me AB= 1 a SR= 2. N?jdite plochu bo?n?ho povrchu.

V pravidelnej trojuholn?kovej pyram?de SABC R- stred rebra BC, S- vrchol. To je zn?me AB= 1 a plocha bo?n?ho povrchu je 3. N?jdite d??ku segmentu SR.

V pravidelnej trojuholn?kovej pyram?de SABC L- stred rebra BC, S- vrchol. To je zn?me SL= 2 a plocha bo?n?ho povrchu je 3. N?jdite d??ku segmentu AB.

V pravidelnej trojuholn?kovej pyram?de SABC M. Oblas? trojuholn?ka ABC je 25, objem pyram?dy je 100. N?jdite d??ku segmentu PANI.

Z?klad?a pyram?dy je rovnostrann? trojuholn?k. Preto Mje stred z?kladne aPANI- v??ka pravidelnej pyram?dySABC. Objem pyram?dy SABC rovn? sa: kontrola rie?enia

V pravidelnej trojuholn?kovej pyram?de SABC z?kladn? medi?ny sa pret?naj? v bode M. Oblas? trojuholn?ka ABC je 3, PANI= 1. N?jdite objem pyram?dy.

V pravidelnej trojuholn?kovej pyram?de SABC z?kladn? medi?ny sa pret?naj? v bode M. Objem pyram?dy je 1, PANI= 1. N?jdite obsah trojuholn?ka ABC.

Skon?ime s t?m. Ako vid?te, ?lohy sa rie?ia v jednom alebo dvoch krokoch. V bud?cnosti s vami zv??ime ?al?ie probl?my z tejto ?asti, kde s? uveden? org?ny revol?cie, nenechajte si to ujs?!

Prajem ti ?spech!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som v?a?n?, keby ste o str?nke povedali na soci?lnych sie?ach.