• apot?ma- v??ka bo?nej plochy pravidelnej pyram?dy, ktor? sa kresl? z jej vrcholu (navy?e apot?ma je d??ka kolmice, ktor? je zn??en? zo stredu pravideln?ho mnohouholn?ka na jednu z jeho str?n);
• bo?n? steny (ASB, BSC, CSD, DSA) - trojuholn?ky, ktor? sa stret?vaj? vo vrchole;
• bo?n? rebr? ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — spolo?n? strany bo?n?ch pl?ch;
• vrchol pyram?dy (t. S) - bod, ktor? sp?ja bo?n? rebr? a ktor? nele?? v rovine z?kladne;
• v??ka ( SO ) - kolm? segment pretiahnut? cez vrchol pyram?dy k rovine jeho z?kladne (konce tak?hoto segmentu bud? vrcholom pyram?dy a z?klad?ou kolmice);
• diagon?lny rez pyram?dy- ?as? pyram?dy, ktor? prech?dza vrcholom a uhloprie?kou z?kladne;
• z?klad?u (A B C D) - mnohouholn?k, ktor? nepatr? k vrcholu pyram?dy.

Vlastnosti pyram?dy.

1. Ke? s? v?etky bo?n? okraje rovnakej ve?kosti, potom:

• je ?ahk? op?sa? kruh bl?zko z?kladne pyram?dy a vrchol pyram?dy sa premietne do stredu tohto kruhu;
• bo?n? rebr? zvieraj? rovnak? uhly s rovinou z?kladne;
• Navy?e to plat? aj naopak, t.j. ke? bo?n? rebr? zvieraj? rovnak? uhly s rovinou podstavy, alebo ke? je mo?n? op?sa? kruh okolo podstavy pyram?dy a vrchol pyram?dy sa bude premieta? do stredu tejto kru?nice, znamen? to, ?e v?etky bo?n? hrany pyram?dy maj? rovnak? ve?kos?.

2. Ke? maj? bo?n? plochy uhol sklonu k rovine z?kladne rovnakej hodnoty, potom:

• je ?ahk? op?sa? kruh bl?zko z?kladne pyram?dy a vrchol pyram?dy sa premietne do stredu tohto kruhu;
• v??ky bo?n?ch pl?ch s? rovnako dlh?;
• plocha bo?nej plochy sa rovn? 1/2 s??inu obvodu z?kladne a v??ky bo?nej plochy.

3. Gu?u je mo?n? op?sa? okolo pyram?dy, ak sa na z?kladni pyram?dy nach?dza mnohouholn?k, okolo ktor?ho mo?no op?sa? kruh (nutn? a posta?uj?ca podmienka). Stred gule bude priese?n?kom rov?n, ktor? prech?dzaj? stredmi okrajov pyram?dy, ktor? s? na ne kolm?. Z tejto vety usudzujeme, ?e gu?u mo?no op?sa? okolo ak?hoko?vek trojuholn?ka aj okolo akejko?vek pravidelnej pyram?dy.

4. Gu?u mo?no vp?sa? do pyram?dy, ak sa osov? roviny vn?torn?ch dihedr?lnych uhlov pyram?dy pret?naj? v 1. bode (nutn? a posta?uj?ca podmienka). Tento bod sa stane stredom gule.

Najjednoduch?ia pyram?da.

Na z?klade po?tu uhlov je z?klad?a pyram?dy rozdelen? na trojuholn?kov?, ?tvoruholn?kov? at?.

Bude tam pyram?da trojuholn?kov?, ?tvoruholn?kov? a tak ?alej, ke? z?klad?ou pyram?dy je trojuholn?k, ?tvoruholn?k at?. Trojuholn?kov? pyram?da je ?tvorsten - ?tvorsten. ?tvoruholn?kov? - p??uholn?kov? a tak ?alej.

?tudenti sa stret?vaj? s pojmom pyram?da d?vno pred ?t?diom geometrie. Na vine s? sl?vne ve?k? egyptsk? divy sveta. Preto, ke? sa za??na ?tudova? tento n?dhern? mnohosten, v???ina ?tudentov si to u? jasne predstavuje. V?etky vy??ie spomenut? atrakcie maj? spr?vny tvar. ?o sa stalo pravideln? pyram?da, a ak? vlastnosti m?, bude diskutovan? ?alej.

V kontakte s

Defin?cia

Existuje pomerne ve?a defin?ci? pyram?dy. Od d?vnych ?ias bol ve?mi popul?rny.

Napr?klad Euklides ho definoval ako telesn? postavu pozost?vaj?cu z rov?n, ktor? sa od jednej zbiehaj? v ur?itom bode.

Heron poskytol presnej?iu formul?ciu. Trval na tom, ?e toto bola postava m? z?klad?u a roviny v tvare trojuholn?kov, zbiehaj?ce sa v jednom bode.

Na z?klade modernej interpret?cie je pyram?da reprezentovan? ako priestorov? mnohosten, pozost?vaj?ci z ur?it?ho k-uholn?ka a k ploch?ch trojuholn?kov?ch ?tvarov, ktor? maj? jeden spolo?n? bod.

Pozrime sa na to podrobnej?ie, z ak?ch prvkov pozost?va:

• K-uholn?k sa pova?uje za z?klad obr?zku;
• 3-uholn?kov? tvary vy?nievaj? ako okraje bo?nej ?asti;
• horn? ?as?, z ktorej poch?dzaj? bo?n? prvky, sa naz?va vrchol;
• v?etky segmenty sp?jaj?ce vrchol sa naz?vaj? hrany;
• ak je priamka spusten? z vrcholu do roviny obr?zku pod uhlom 90 stup?ov, potom jej ?as? obsiahnut? vo vn?tornom priestore je v??kou pyram?dy;
• v ktoromko?vek bo?nom prvku m??e by? na stranu n??ho mnohostena nakreslen? kolmica, naz?van? apot?m.

Po?et hr?n sa vypo??ta pomocou vzorca 2*k, kde k je po?et str?n k-uholn?ka. Ko?ko stien m? mnohosten, napr?klad pyram?da, mo?no ur?i? pomocou v?razu k+1.

D?le?it?! Pyram?da pravideln?ho tvaru je stereometrick? ?tvar, ktor?ho z?kladn? rovina je k-uholn?k s rovnak?mi stranami.

Z?kladn? vlastnosti

Spr?vna pyram?da m? ve?a vlastnost?, ktor? s? pre ?u jedine?n?. Po?me si ich vymenova?:

1. Z?kladom je fig?rka spr?vneho tvaru.
2. Okraje pyram?dy, ktor? obmedzuj? bo?n? prvky, maj? rovnak? ??seln? hodnoty.
3. Bo?n? prvky s? rovnoramenn? trojuholn?ky.
4. Z?klad?a v??ky obrazca spad? do stredu mnohouholn?ka, pri?om je s??asne stredov?m bodom vp?san?ho a op?san?ho.
5. V?etky bo?n? rebr? s? naklonen? k rovine z?kladne pod rovnak?m uhlom.
6. V?etky bo?n? plochy maj? rovnak? uhol sklonu vzh?adom na z?klad?u.

V?aka v?etk?m uveden?m vlastnostiam je vykon?vanie v?po?tov prvkov ove?a jednoduch?ie. Na z?klade vy??ie uveden?ch vlastnost? venujeme pozornos? dva znaky:

1. V pr?pade, ?e mnohouholn?k zapad? do kruhu, bo?n? strany bud? ma? rovnak? uhly so z?klad?ou.
2. Pri opise kruhu okolo mnohouholn?ka bud? ma? v?etky hrany pyram?dy vych?dzaj?ce z vrcholu rovnak? d??ku a rovnak? uhly so z?klad?ou.

Z?kladom je ?tvorec

Pravideln? ?tvorhrann? pyram?da - mnohosten, ktor?ho z?klad?a je ?tvorec.

M? ?tyri bo?n? plochy, ktor? maj? rovnoramenn? vzh?ad.

?tvorec je zn?zornen? na rovine, ale je zalo?en? na v?etk?ch vlastnostiach pravideln?ho ?tvoruholn?ka.

Napr?klad, ak je potrebn? spoji? stranu ?tvorca s jeho uhloprie?kou, potom pou?ite nasleduj?ci vzorec: uhloprie?ka sa rovn? s??inu strany ?tvorca a druhej odmocniny z dvoch.

Je zalo?en? na pravidelnom trojuholn?ku

Pravideln? trojuholn?kov? ihlan je mnohosten, ktor?ho z?klad?a je pravideln? 3-uholn?k.

Ak je z?klad?a pravideln? trojuholn?k a bo?n? okraje sa rovnaj? okrajom z?kladne, potom tak?to obr?zok naz?van? ?tvorsten.

V?etky strany ?tvorstenu s? rovnostrann? 3-uholn?ky. V tomto pr?pade mus?te pozna? niektor? body a nestr?ca? ?as pri v?po?te:

• uhol sklonu rebier k akejko?vek z?kladni je 60 stup?ov;
• ve?kos? v?etk?ch vn?torn?ch pl?ch je tie? 60 stup?ov;
• ako z?klad m??e p?sobi? ak?ko?vek tv?r;
• , nakreslen? vo vn?tri obr?zku, s? to rovnak? prvky.

?seky mnohostenu

V ka?dom mnohostene s? nieko?ko typov sekci? ploch?. Na kurze ?kolskej geometrie ?asto pracuj? s dvoma:

• axi?lne;
• paralelne so z?kladom.

Osov? rez sa z?ska pret?nan?m mnohostenu s rovinou, ktor? prech?dza cez vrchol, bo?n? hrany a os. V tomto pr?pade je osou v??ka nakreslen? od vrcholu. Rovina rezu je obmedzen? priese?n?kmi so v?etk?mi plochami, v?sledkom ?oho je trojuholn?k.

Pozor! V pravidelnej pyram?de je osov? rez rovnoramenn? trojuholn?k.

Ak rovina rezu prebieha rovnobe?ne so z?klad?ou, v?sledkom je druh? mo?nos?. V tomto pr?pade m?me prierez podobn? z?kladni.

Napr?klad, ak je na z?kladni ?tvorec, potom rez rovnobe?n? so z?klad?ou bude tie? ?tvorec, len men??ch rozmerov.

Pri rie?en? ?loh za tejto podmienky pou??vaj? znaky a vlastnosti podobnosti obr?zkov, na z?klade Thalesovej vety. V prvom rade je potrebn? ur?i? koeficient podobnosti.

Ak je rovina nakreslen? rovnobe?ne so z?klad?ou a odre?e horn? ?as? mnohostenu, potom v spodnej ?asti vznikne pravideln? zrezan? pyram?da. Potom sa hovor?, ?e z?kladne skr?ten?ho mnohostenu s? podobn? mnohouholn?ky. V tomto pr?pade s? bo?n? steny rovnoramenn? lichobe?n?ky. Axi?lny rez je tie? rovnoramenn?.

Na ur?enie v??ky zrezan?ho mnohostenu je potrebn? nakresli? v??ku v osovom reze, to znamen? v lichobe?n?ku.

Plochy povrchu

Hlavn? geometrick? probl?my, ktor? je potrebn? vyrie?i? v ?kolskom kurze geometrie, s? zistenie povrchu a objemu pyram?dy.

Existuj? dva typy hodn?t povrchovej plochy:

• plocha bo?n?ch prvkov;
• plocha cel?ho povrchu.

U? z n?zvu je jasn?, o ?om hovor?me. Bo?n? povrch obsahuje iba bo?n? prvky. Z toho vypl?va, ?e na jeho n?jdenie sta?? s??ta? plochy bo?n?ch rov?n, teda plochy rovnoramenn?ch 3-uholn?kov. Pok?sme sa odvodi? vzorec pre oblas? bo?n?ch prvkov:

1. Plocha rovnoramenn?ho 3-uholn?ka je Str=1/2(aL), kde a je strana z?kladne, L je apot?m.
2. Po?et bo?n?ch rov?n z?vis? od typu k-uholn?ka na z?kladni. Napr?klad pravideln? ?tvorhrann? pyram?da m? ?tyri bo?n? roviny. Preto je potrebn? s??ta? plochy ?tyroch ??slic Sstrana=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. V?raz je takto zjednodu?en?, preto?e hodnota je 4a = Rosn, kde Rosn je obvod z?kladne. A v?raz 1/2*Rosn je jeho polobvod.
3. Dospeli sme teda k z?veru, ?e plocha bo?n?ch prvkov pravidelnej pyram?dy sa rovn? s??inu polobvodu z?kladne a apot?mu: Sside = Rosn * L.

Plocha celkov?ho povrchu pyram?dy pozost?va zo s??tu pl?ch bo?n?ch rov?n a z?kladne: Sp.p. = Sside + Sbas.

Pokia? ide o oblas? z?kladne, tu sa vzorec pou??va pod?a typu polyg?nu.

Objem pravidelnej pyram?dy rovn? s??inu plochy z?kladnej roviny a v??ky delenej tromi: V=1/3*Sbas*H, kde H je v??ka mnohostenu.

?o je pravideln? pyram?da v geometrii

Vlastnosti pravidelnej ?tvoruholn?kovej pyram?dy

Pyram?dov? koncept

Defin?cia 1

Geometrick? ?tvar tvoren? mnohouholn?kom a bodom nele?iacim v rovine obsahuj?cej tento mnohouholn?k, spojen? so v?etk?mi vrcholmi mnohouholn?ka, sa naz?va pyram?da (obr. 1).

Mnohouholn?k, z ktor?ho je pyram?da vyroben?, sa naz?va z?klad?a pyram?dy; v?sledn? trojuholn?ky, ke? s? spojen? s bodom, s? bo?n? steny pyram?dy, strany trojuholn?kov s? strany pyram?dy a spolo?n? bod. ku v?etk?m trojuholn?kom je vrchol pyram?dy.

Druhy pyram?d

V z?vislosti od po?tu uhlov na z?kladni pyram?dy ju mo?no nazva? trojuholn?kovou, ?tvorhrannou at?. (obr. 2).

Obr?zok 2

?al??m typom pyram?dy je pravideln? pyram?da.

Uve?me a dok??me vlastnos? pravidelnej pyram?dy.

Veta 1

V?etky bo?n? steny pravidelnej pyram?dy s? rovnoramenn? trojuholn?ky, ktor? s? si navz?jom rovn?.

D?kaz.

Uva?ujme pravideln? $n-$gon?lnu pyram?du s vrcholom $S$ s v??kou $h=SO$. Okolo z?kladne nakresl?me kruh (obr. 4).

Obr?zok 4.

Zoberme si trojuholn?k $SOA$. Pod?a Pytagorovej vety dostaneme

Je zrejm?, ?e ka?d? bo?n? hrana bude definovan? t?mto sp?sobom. V d?sledku toho s? v?etky bo?n? hrany navz?jom rovnak?, to znamen?, ?e v?etky bo?n? steny s? rovnoramenn? trojuholn?ky. Dok??me, ?e s? si navz?jom rovn?. Ke??e z?klad?a je pravideln? mnohouholn?k, z?kladne v?etk?ch bo?n?ch pl?ch s? si navz?jom rovn?. V d?sledku toho s? v?etky bo?n? steny rovnak? pod?a III krit?ria rovnosti trojuholn?kov.

Veta bola dok?zan?.

Uve?me si teraz nasleduj?cu defin?ciu s?visiacu s pojmom pravideln? pyram?da.

Defin?cia 3

Apot?m pravidelnej pyram?dy je v??ka jej bo?nej steny.

Je zrejm?, ?e pod?a prvej vety s? si v?etky apot?my navz?jom rovn?.

Veta 2

Bo?n? povrch pravidelnej pyram?dy je ur?en? ako s??in pol obvodu z?kladne a apot?mu.

D?kaz.

Ozna?me stranu podstavy $n-$gon?lnej pyram?dy $a$ a apot?m $d$. Preto sa plocha bo?nej plochy rovn?

Preto?e pod?a vety 1 s? v?etky strany rovnak?

Veta bola dok?zan?.

?al??m typom pyram?dy je zrezan? pyram?da.

Defin?cia 4

Ak je rovina rovnobe?n? s jej z?klad?ou nakreslen? cez oby?ajn? ihlan, potom obrazec vytvoren? medzi touto rovinou a rovinou z?kladne sa naz?va zrezan? ihlan (obr. 5).

Obr?zok 5. Zrezan? pyram?da

Bo?n? strany zrezanej pyram?dy s? lichobe?n?ky.

Veta 3

Bo?n? povrch pravidelnej zrezanej pyram?dy je ur?en? ako s??in s??tu polobvodov z?kladn? a apot?mu.

D?kaz.

Ozna?me strany podstav $n-$gon?lnej pyram?dy $a\ a\ b$ a apot?m $d$. Preto sa plocha bo?nej plochy rovn?

Preto?e v?etky strany s? si rovn?

Veta bola dok?zan?.

Vzorov? ?loha

Pr?klad 1

N?jdite oblas? bo?n?ho povrchu zrezan?ho trojuholn?kov?ho ihlana, ak je z?skan? z pravidelnej pyram?dy so z?kladnou stranou 4 a apot?mou 5 odrezan?m roviny prech?dzaj?cej stredovou ?iarou bo?n?ch pl?ch.

Rie?enie.

Pomocou vety o strednej ?iare zist?me, ?e horn? z?klad?a skr?tenej pyram?dy sa rovn? $4\cdot \frac(1)(2)=2$ a apot?m sa rovn? $5\cdot \frac(1)(2) = 2,5 $.

Potom pod?a vety 3 dostaneme

Pyram?da. Skr?ten? pyram?da

Pyram?da je mnohosten, ktor?ho jedna plocha je mnohouholn?k ( z?klad?u ) a v?etky ostatn? plochy s? trojuholn?ky so spolo?n?m vrcholom ( bo?n? steny ) (obr. 15). Pyram?da je tzv spr?vne , ak je jeho z?klad?a pravideln? mnohouholn?k a vrchol pyram?dy sa premieta do stredu z?kladne (obr. 16). Trojuholn?kov? pyram?da so v?etk?mi rovnak?mi okrajmi sa naz?va ?tvorsten .

Bo?n? rebro pyram?dy je strana bo?nej steny, ktor? nepatr? k z?kladni V??ka pyram?da je vzdialenos? od jej vrcholu k rovine z?kladne. V?etky bo?n? hrany pravidelnej pyram?dy s? si navz?jom rovn?, v?etky bo?n? steny s? rovnak? rovnoramenn? trojuholn?ky. V??ka bo?nej plochy pravidelnej pyram?dy vytiahnutej z vrcholu sa naz?va apot?ma . Diagon?lny rez sa naz?va rez pyram?dy rovinou prech?dzaj?cou dvoma bo?n?mi hranami, ktor? nepatria k tej istej ploche.

Bo?n? povrch pyram?da je s??et pl?ch v?etk?ch bo?n?ch stien. Celkov? plocha povrchu sa naz?va s??et pl?ch v?etk?ch bo?n?ch pl?ch a z?kladne.

Vety

1. Ak s? v pyram?de v?etky bo?n? hrany rovnako naklonen? k rovine podstavy, potom sa vrchol pyram?dy premieta do stredu kru?nice op?sanej v bl?zkosti podstavy.

2. Ak maj? v?etky bo?n? hrany pyram?dy rovnak? d??ku, potom sa vrchol pyram?dy premieta do stredu kru?nice op?sanej bl?zko z?kladne.

3. Ak s? v?etky steny pyram?dy rovnako naklonen? k rovine z?kladne, potom sa vrchol pyram?dy premieta do stredu kruhu vp?san?ho do z?kladne.

Na v?po?et objemu ?ubovo?nej pyram?dy je spr?vny vzorec:

Kde V- objem;

S z?klad?a– z?kladn? plocha;

H- v??ka pyram?dy.

Pre pravideln? pyram?du s? spr?vne nasleduj?ce vzorce:

Kde p– obvod z?kladne;

h a– apot?ma;

H- v??ka;

S pln?

S strana

S z?klad?a– z?kladn? plocha;

V– objem pravidelnej pyram?dy.

Skr?ten? pyram?da naz?van? ?as? pyram?dy uzavret? medzi z?klad?ou a reznou rovinou rovnobe?nou so z?klad?ou pyram?dy (obr. 17). Pravideln? zrezan? pyram?da naz?van? ?as? pravidelnej pyram?dy uzavret? medzi z?klad?ou a reznou rovinou rovnobe?nou so z?klad?ou pyram?dy.

D?vody zrezan? pyram?da - podobn? mnohouholn?ky. Bo?n? plochy – lichobe?n?ky. V??ka zrezanej pyram?dy je vzdialenos? medzi jej z?klad?ami. Uhloprie?ka zrezan? ihlan je segment sp?jaj?ci jeho vrcholy, ktor? nele?ia na rovnakej ploche. Diagon?lny rez je rez zrezan?ho ihlana rovinou prech?dzaj?cou dvoma bo?n?mi hranami, ktor? nepatria k tej istej ploche.

Pre skr?ten? pyram?du platia nasleduj?ce vzorce:

(4)

Kde S 1 , S 2 – plochy hornej a dolnej podstavy;

S pln?– celkov? plocha;

S strana- bo?n? povrch;

H- v??ka;

V– objem zrezanej pyram?dy.

Pre pravideln? skr?ten? pyram?du je vzorec spr?vny:

Kde p 1 , p 2 – obvody podstavcov;

h a– apot?ma pravideln?ho zrezan?ho ihlana.

Pr?klad 1 V pravidelnej trojuholn?kovej pyram?de je dihedr?lny uhol pri z?kladni 60?. N?jdite doty?nicu uhla sklonu bo?nej hrany k rovine z?kladne.

Rie?enie. Urobme si n?kres (obr. 18).

Pyram?da je pravideln?, ?o znamen?, ?e na z?kladni je rovnostrann? trojuholn?k a v?etky bo?n? strany s? rovnak? rovnoramenn? trojuholn?ky. Dihedr?lny uhol pri z?kladni je uhol sklonu bo?nej plochy pyram?dy k rovine z?kladne. Line?rny uhol je uhol a medzi dvoma kolmicami: at?. Vrchol pyram?dy sa premieta do stredu trojuholn?ka (stred op?sanej kru?nice a vp?sanej kru?nice trojuholn?ka ABC). Uhol sklonu bo?nej hrany (napr S.B.) je uhol medzi samotnou hranou a jej priemetom do roviny z?kladne. Pre rebro S.B. tento uhol bude uhol SBD. Ak chcete n?js? doty?nicu, mus?te pozna? nohy SO A O.B.. Nechajte d??ku segmentu BD rovn? sa 3 A. Bodka O?se?ka BD sa del? na ?asti: a Od nach?dzame SO: Z toho n?jdeme:

odpove?:

Pr?klad 2 N?jdite objem pravideln?ho zrezan?ho ?tvorbok?ho ihlana, ak s? uhloprie?ky jeho podstav rovn? cm a cm a jeho v??ka je 4 cm.

Rie?enie. Na zistenie objemu zrezanej pyram?dy pou?ijeme vzorec (4). Ak chcete n?js? oblas? z?kladn?, mus?te n?js? strany z?kladn?ch ?tvorcov a pozna? ich uhloprie?ky. Strany podstav sa rovnaj? 2 cm a 8 cm. To znamen? plochy podstav a Nahraden?m v?etk?ch ?dajov do vzorca vypo??tame objem zrezanej pyram?dy:

odpove?: 112 cm 3.

Pr?klad 3 N?jdite plochu bo?nej steny pravidelnej trojuholn?kovej zrezanej pyram?dy, ktorej strany z?kladne s? 10 cm a 4 cm a v??ka pyram?dy je 2 cm.

Rie?enie. Urobme si n?kres (obr. 19).

Bo?n? strana tejto pyram?dy je rovnoramenn? lichobe?n?k. Na v?po?et plochy lichobe?n?ka potrebujete pozna? z?klad?u a v??ku. Z?klady s? dan? pod?a stavu, nezn?ma ost?va len v??ka. Odkia? ju n?jdeme A 1 E kolmo od bodu A 1 v rovine spodnej z?kladne, A 1 D– kolmo od A 1 os AC. A 1 E= 2 cm, ke??e toto je v??ka pyram?dy. N?js? DE Urobme si dodato?n? n?kres zobrazuj?ci poh?ad zhora (obr. 20). Bodka O– premietanie stredov hornej a dolnej z?kladne. ke??e (pozri obr. 20) a Na druhej strane OK– polomer vp?san? do kruhu a OM- polomer vp?san? do kruhu:

MK = DE.

Pod?a Pytagorovej vety z

Oblas? bo?nej tv?re:

odpove?:

Pr?klad 4. Na z?kladni pyram?dy le?? rovnoramenn? lichobe?n?k, ktor?ho z?klady A A b (a> b). Ka?d? bo?n? plocha zviera uhol rovn? rovine z?kladne pyram?dy j. N?jdite celkov? plochu pyram?dy.

Rie?enie. Urobme si n?kres (obr. 21). Celkov? plocha pyram?dy SABCD rovn? s??tu pl?ch a plochy lichobe?n?ka A B C D.

Pou?ime tvrdenie, ?e ak s? v?etky steny pyram?dy rovnako naklonen? k rovine podstavy, potom sa vrchol premieta do stredu kru?nice vp?sanej do podstavy. Bodka O– vrcholov? projekcia S na z?kladni pyram?dy. Trojuholn?k SOD je ortogon?lny priemet trojuholn?ka CSD do roviny z?kladne. Pomocou vety o oblasti ortogon?lnej projekcie rovinn?ho ?tvaru z?skame:

Rovnako to znamen? Probl?m sa teda zmen?il na n?jdenie oblasti lichobe?n?ka A B C D. Nakresl?me lichobe?n?k A B C D samostatne (obr. 22). Bodka O– stred kruhu vp?san?ho do lichobe?n?ka.

Ke??e kruh m??e by? vp?san? do lichobe?n?ka, potom alebo Z Pytagorovej vety m?me

Pri rie?en? ?lohy C2 s?radnicovou met?dou sa mnoh? ?tudenti stret?vaj? s rovnak?m probl?mom. Nevedia po??ta? s?radnice bodov zahrnut? vo vzorci skal?rneho s??inu. Vznikaj? najv???ie ?a?kosti pyram?dy. A ak s? z?kladn? body pova?ovan? za viac-menej norm?lne, potom s? vrcholy skuto?n?m peklom.

Dnes budeme pracova? na pravidelnej ?tvorhrannej pyram?de. K dispoz?cii je tie? trojuholn?kov? pyram?da (aka - ?tvorsten). Ide o zlo?itej?? dizajn, preto mu bude venovan? samostatn? lekcia.

Najprv si spome?me na defin?ciu:

Pravideln? pyram?da je tak?, ktor?:

1. Z?klad?a je pravideln? mnohouholn?k: trojuholn?k, ?tvorec at?.;
2. Jeho stredom prech?dza nadmorsk? v??ka pritiahnut? k z?kladni.

Najm? z?klad?a ?tvoruholn?kovej pyram?dy je n?mestie. Rovnako ako Cheops, len o nie?o men??.

Ni??ie s? uveden? v?po?ty pre pyram?du, v ktorej sa v?etky hrany rovnaj? 1. Ak tomu tak nie je vo va?om probl?me, v?po?ty sa nemenia – iba ??sla bud? in?.

Vrcholy ?tvoruholn?kov?ho ihlana

Nech je teda dan? pravideln? ?tvoruholn?kov? ihlan SABCD, kde S je vrchol a z?klad?a ABCD je ?tvorec. V?etky hrany s? rovn? 1. Mus?te zada? s?radnicov? syst?m a n?js? s?radnice v?etk?ch bodov. M?me:

Zav?dzame s?radnicov? syst?m s po?iatkom v bode A:

1. Os OX smeruje rovnobe?ne s okrajom AB;
2. Os OY je rovnobe?n? s AD. Ke??e ABCD je ?tvorec, AB ? AD;
3. Nakoniec nasmerujeme os OZ nahor, kolmo na rovinu ABCD.

Teraz vypo??tame s?radnice. Doplnkov? kon?trukcia: SH - v??ka pritiahnut? k z?kladni. Pre pohodlie umiestnime z?klad?u pyram?dy do samostatn?ho v?kresu. Ke??e body A, B, C a D le?ia v rovine OXY, ich s?radnica je z = 0. M?me:

1. A = (0; 0; 0) - zhoduje sa s p?vodom;
2. B = (1; 0; 0) - krok po 1 pozd?? osi OX od za?iatku;
3. C = (1; 1; 0) - krok o 1 pozd?? osi OX a o 1 pozd?? osi OY;
4. D = (0; 1; 0) - krok len pozd?? osi OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - stred ?tvorca, stred segmentu AC.

Zost?va n?js? s?radnice bodu S. V?imnite si, ?e s?radnice x a y bodov S a H s? rovnak?, preto?e le?ia na priamke rovnobe?nej s osou OZ. Zost?va n?js? s?radnicu z pre bod S.

Zv??te trojuholn?ky ASH a ABH:

1. AS = AB = 1 pod?a podmienky;
2. Uhol AHS = AHB = 90°, ke??e SH je v??ka a AH ? HB ako uhloprie?ky ?tvorca;
3. Strana AH je be?n?.

Preto pravouhl? trojuholn?ky ASH a ABH rovn? ka?d? jedna noha a jedna prepona. To znamen? SH = BH = 0,5 BD. Ale BD je uhloprie?ka ?tvorca so stranou 1. Preto m?me:

Celkov? s?radnice bodu S:

Na z?ver si zap??eme s?radnice v?etk?ch vrcholov pravidelnej pravouhlej pyram?dy:

?o robi?, ke? s? rebr? in?

?o ak sa bo?n? okraje pyram?dy nerovnaj? okrajom podstavy? V tomto pr?pade zv??te trojuholn?k AHS:

Trojuholn?k AHS - pravouhl? a prepona AS je tie? bo?n?m okrajom p?vodnej pyram?dy SABCD. Noha AH sa ?ahko vypo??ta: AH = 0,5 AC. N?jdeme zost?vaj?cu nohu SH pod?a Pytagorovej vety. Toto bude s?radnica z bodu S.

?loha. Je dan? pravideln? ?tvorhrann? ihlan SABCD, na ktor?ho z?kladni le?? ?tvorec so stranou 1. Bo?n? hrana BS = 3. N?jdite s?radnice bodu S.

S?radnice x a y tohto bodu u? pozn?me: x = y = 0,5. Vypl?va to z dvoch skuto?nost?:

1. Priemet bodu S do roviny OXY je bod H;
2. Z?rove? je bod H stredom ?tvorca ABCD, ktor?ho v?etky strany s? rovn? 1.

Zost?va n?js? s?radnicu bodu S. Zv??te trojuholn?k AHS. Je pravouhl?, s preponou AS = BS = 3, rameno AH je polovica uhloprie?ky. Pre ?al?ie v?po?ty potrebujeme jeho d??ku:

Pytagorova veta pre trojuholn?k AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. M?me:

Tak?e s?radnice bodu S: