Medzi v?etk?mi trojuholn?kmi existuj? dva ?peci?lne typy: pravouhl? trojuholn?ky a rovnoramenn? trojuholn?ky. Pre?o s? tieto typy trojuholn?kov tak? zvl??tne? Po prv?, tak?to trojuholn?ky sa mimoriadne ?asto uk??u ako hlavn? postavy v probl?moch Jednotnej ?t?tnej sk??ky v prvej ?asti. A po druh?, probl?my s prav?m a rovnoramenn?m trojuholn?kom sa rie?ia ove?a ?ah?ie ako in? geometrick? probl?my. Sta?? pozna? nieko?ko pravidiel a vlastnost?. V?etky najzauj?mavej?ie veci o pravouhl?ch trojuholn?koch s? diskutovan? v, ale teraz sa pozrime na rovnoramenn? trojuholn?ky. A v prvom rade, ?o je to rovnoramenn? trojuholn?k? Alebo, ako hovoria matematici, ak? je defin?cia rovnoramenn?ho trojuholn?ka?

Pozrite sa, ako to vyzer?:

Rovnako ako pravouhl? trojuholn?k, aj rovnoramenn? trojuholn?k m? ?peci?lne n?zvy pre svoje strany. Naz?vaj? sa dve rovnak? strany strany a tretia strana - z?klad.

A op?? venujte pozornos? obr?zku:

Mohlo by to by?, samozrejme, takto:

Bu? opatrn?: bo?n? strana - jedna z dvoch rovnak?ch str?n v rovnoramennom trojuholn?ku a z?kladom je tretia strana.

Pre?o je rovnoramenn? trojuholn?k tak? dobr?? Aby sme to pochopili, nakresl?me v??ku k z?kladni. Pam?t?te si, ak? je v??ka?

?o sa stalo? Z jedn?ho rovnoramenn?ho trojuholn?ka dostaneme dva pravouhl?.

To je u? dobr?, ale stane sa to v akomko?vek, dokonca aj v tom „naj?ikmej?om“ trojuholn?ku.

Ako sa l??i obr?zok pre rovnoramenn? trojuholn?k? Pozrite sa znova:

No, po prv?, samozrejme, t?mto zvl??tnym matematikom nesta?? len vidie? – musia to ur?ite dok?za?. V opa?nom pr?pade sa zrazu tieto trojuholn?ky mierne l??ia, ale budeme ich pova?ova? za rovnak?.

Ale nebojte sa: v tomto pr?pade je dokazovanie takmer tak? jednoduch? ako vidie?.

M??eme za?a?? Pozrite sa pozorne, m?me:

A to znamen?! pre?o? ?no, jednoducho n?jdeme a az Pytagorovej vety (s??asne si pam?tajme, ?e)

Si si ist?? No, teraz m?me

A na troch stran?ch - najjednoduch?? (tret?) znak rovnosti trojuholn?kov.

N?? rovnoramenn? trojuholn?k sa rozdelil na dva rovnak? pravouhl?.

Vid?te, ak? je to zauj?mav?? Uk?zalo sa, ?e:

Ako o tom zvy?ajne hovoria matematici? Po?me po poriadku:

(Pam?tajte, ?e stred je ?iara veden? z vrcholu, ktor? del? stranu na polovicu, a stred je uhol.)

Tu sme diskutovali o tom, ak? dobr? veci mo?no vidie?, ak dostaneme rovnoramenn? trojuholn?k. Z toho sme odvodili, ?e v rovnoramennom trojuholn?ku s? uhly v z?kladni rovnak? a v??ka, stred a stred nakreslen? k z?kladni sa zhoduj?.

A teraz vyvst?va ?al?ia ot?zka: ako rozpozna? rovnoramenn? trojuholn?k? To je, ako hovoria matematici, ?o s? znaky rovnoramenn?ho trojuholn?ka?

A uk?zalo sa, ?e sta?? „oto?i?“ v?etky vyhl?senia naopak. To sa, samozrejme, nest?va v?dy, ale rovnoramenn? trojuholn?k je st?le skvel? vec! ?o sa stane po „obrate“?

No pozri:
Ak sa v??ka a medi?n zhoduj?, potom:

Ak sa v??ka a os zhoduj?, potom:


Ak sa os a stred zhoduj?, potom:

No, nezabudnite a pou?ite:

• Ak dostanete rovnoramenn? trojuholn?kov? trojuholn?k, pokojne nakreslite v??ku, z?skajte dva pravouhl? trojuholn?ky a vyrie?te ?lohu o pravouhlom trojuholn?ku.
• Ak je to dan? dva uhly s? rovnak?, potom trojuholn?k presne tak rovnoramenn? a m??ete nakresli? v??ku a….(Dom, ktor? postavil Jack…).
• Ak sa uk??e, ?e v??ka je rozdelen? na polovicu, potom je trojuholn?k rovnoramenn? so v?etk?mi z toho vypl?vaj?cimi bonusmi.
• Ak sa uk??e, ?e v??ka rozde?uje uhol medzi poschodiami - je to tie? rovnoramenn?!
• Ak os rozdel? stranu na polovicu alebo stred rozdel? uhol, stane sa to tie? iba v rovnoramennom trojuholn?ku

Pozrime sa, ako to vyzer? v ?loh?ch.

Probl?m 1(najjednoduch?ie)

V trojuholn?ku s? strany a rovnak?, a. N?js?.

Rozhodujeme sa:

Najprv kresba.

Ak? je tu z?klad? Ur?ite,.

Pripome?me si, ?o keby, potom a.

Aktualizovan? v?kres:

Ozna?me pod?a. Ak? je s??et uhlov trojuholn?ka? ?

Pou??vame:

To je odpove?: .

Nie je to ?a?k?, v?ak? Nemusel som ani nastavova? v??ku.

Probl?m 2(Tie? nie ve?mi zlo?it?, ale mus?me si zopakova? t?mu)

V trojuholn?ku, . N?js?.

Rozhodujeme sa:

Trojuholn?k je rovnoramenn?! Nakresl?me v??ku (to je trik, s ktor?m sa teraz v?etko rozhodne).

Teraz „vy?krtnime zo ?ivota“, len sa na to pozrime.

Tak?e m?me:

Zapam?tajme si tabu?kov? hodnoty kos?nusov (no, alebo sa pozrite na cheat sheet...)

Zost?va len n?js?: .

odpove?: .

V?imnite si, ?e sme tu Ve?mi po?adovan? znalosti t?kaj?ce sa pravouhl?ch trojuholn?kov a „tabu?kov?ch“ s?nusov a kos?nusov. Ve?mi ?asto sa to st?va: t?my , „Rovnoramenn? trojuholn?k“ a probl?my id? spolu, ale nie s? ve?mi priate?sk? k in?m t?mam.

Rovnoramenn? trojuholn?k. Priemern? ?rove?.

T?to dve rovnak? strany sa volaj? strany, A tretia strana je z?klad?a rovnoramenn?ho trojuholn?ka.

Pozrite sa na obr?zok: a - strany, - z?klad?a rovnoramenn?ho trojuholn?ka.

Pou?ime jeden obr?zok, aby sme pochopili, pre?o sa to deje. Nakresl?me v??ku z bodu.

To znamen?, ?e v?etky zodpovedaj?ce prvky s? rovnak?.

V?etky! Na jeden z??ah (v??ka) dok?zali v?etky tvrdenia naraz.

A pam?tajte: na vyrie?enie probl?mu o rovnoramennom trojuholn?ku je ?asto ve?mi u?ito?n? zn??i? v??ku k z?kladni rovnoramenn?ho trojuholn?ka a rozdeli? ho na dva rovnak? pravouhl? trojuholn?ky.

Znaky rovnoramenn?ho trojuholn?ka

Aj opa?n? tvrdenia s? pravdiv?:

Takmer v?etky tieto tvrdenia mo?no op?? dok?za? „jedn?m ?ahom“.

1. Tak?e vpusti? sa uk?zalo by? rovn? a.

Skontrolujeme v??ku. Potom

2. a) Teraz vpustite nejak? trojuholn?k v??ka a stred sa zhoduj?.

2. b) A ak sa v??ka a medi?n zhoduj?? V?etko je takmer rovnak?, ni? komplikovanej?ie!

- na dvoch stran?ch

2. c) Ale ak tam nie je v??ka, ktor? je zn??en? na z?klad?u rovnoramenn?ho trojuholn?ka, potom neexistuj? ?iadne p?vodne pravouhl? trojuholn?ky. Zle!

Existuje v?ak cesta von - pre??tajte si to na ?al?ej ?rovni te?rie, preto?e d?kaz je tu komplikovanej??, ale zatia? si pam?tajte, ?e ak sa medi?n a bisektor zhoduj?, trojuholn?k sa tie? uk??e ako rovnoramenn? a v??ka sa bude st?le zhodova? s t?mito osami a medi?nom.

Po?me si to zhrn??:

1. Ak je trojuholn?k rovnoramenn?, potom s? uhly v z?kladni rovnak? a nadmorsk? v??ka, stred a stred nakreslen? k z?kladni sa zhoduj?.
2. Ak s? v niektorom trojuholn?ku dva rovnak? uhly alebo sa zhoduj? dve z troch ?se?iek (sektor, stred, nadmorsk? v??ka), potom je tak?to trojuholn?k rovnoramenn?.

Rovnoramenn? trojuholn?k. Stru?n? popis a z?kladn? vzorce

Rovnoramenn? trojuholn?k je trojuholn?k, ktor? m? dve rovnak? strany.

Znaky rovnoramenn?ho trojuholn?ka:

1. Ak s? v ur?itom trojuholn?ku dva uhly rovnak?, potom je rovnoramenn?.
2. Ak sa v nejakom trojuholn?ku zhoduj?:
   A) v??ka a osi?ka alebo
   b) v??ka a medi?n alebo
   V) medi?n a stred,
   nakreslen? na jednu stranu, potom je tak?to trojuholn?k rovnoramenn?.

Prv? historici na?ej civiliz?cie – star? Gr?ci – spom?naj? Egypt ako rodisko geometrie. Je ?a?k? s nimi nes?hlasi?, preto?e vieme, s akou ??asnou presnos?ou boli postaven? obrovsk? hrobky fara?nov. Vz?jomn? poloha rov?n pyram?d, ich proporcie, orient?cia na svetov? strany - bolo by nemyslite?n? dosiahnu? tak? dokonalos? bez znalosti z?kladov geometrie.

Samotn? slovo „geometria“ mo?no prelo?i? ako „meranie zeme“. Navy?e, slovo „zem“ sa nejav? ako plan?ta - s??as? slne?nej s?stavy, ale ako rovina. Vyty?ovanie pl?ch pre po?nohospod?rstvo je s najv???ou pravdepodobnos?ou ve?mi p?vodn?m z?kladom vedy o geometrick?ch tvaroch, ich druhoch a vlastnostiach.

Trojuholn?k je najjednoduch?? priestorov? ?tvar planimetrie, ktor? obsahuje iba tri body - vrcholy (nie je ich menej). Z?klad z?kladov, mo?no pr?ve preto sa v ?om zd? by? nie?o tajomn? a prastar?. V?evidiace oko vo vn?tri trojuholn?ka je jedn?m z prv?ch zn?mych okultn?ch znamen? a geografia jeho distrib?cie a ?asov? r?mec s? jednoducho ??asn?. Od starovek?ch egyptsk?ch, sumersk?ch, azt?ckych a in?ch civiliz?ci? a? po modernej?ie komunity milovn?kov okultizmu roztr?sen?ch po celom svete.

?o s? trojuholn?ky?

Oby?ajn? zmen?en? trojuholn?k je uzavret? geometrick? ?tvar pozost?vaj?ci z troch segmentov r?znych d??ok a troch uhlov, z ktor?ch ?iadny nie je prav?. Okrem toho existuje nieko?ko ?peci?lnych typov.

Ostr? trojuholn?k m? v?etky uhly men?ie ako 90 stup?ov. In?mi slovami, v?etky uhly tak?hoto trojuholn?ka s? ostr?.

Prav? trojuholn?k, nad ktor?m ?kol?ci v?dy plakali kv?li mno?stvu viet, m? jeden uhol 90 stup?ov alebo, ako sa to tie? naz?va, priamku.

Tup? trojuholn?k sa vyzna?uje t?m, ?e jeden z jeho uhlov je tup?, to znamen?, ?e jeho ve?kos? je v???ia ako 90 stup?ov.

Rovnostrann? trojuholn?k m? tri strany rovnakej d??ky. Na takomto obr?zku s? v?etky uhly rovnak?.

A nakoniec, rovnoramenn? trojuholn?k m? tri strany, dve rovnak?.

Charakteristick? rysy

Vlastnosti rovnoramenn?ho trojuholn?ka ur?uj? aj jeho hlavn?, hlavn? rozdiel – rovnos? jeho dvoch str?n. Tieto rovnak? strany sa zvy?ajne naz?vaj? boky (alebo ?astej?ie strany) a tretia strana sa naz?va „z?klad?a“.

Na uva?ovanom obr?zku a = b.

Druh? krit?rium pre rovnoramenn? trojuholn?k vypl?va z vety o s?nusoch. Ke??e strany a a b s? rovnak?, s?nusy ich opa?n?ch uhlov s? rovnak?:

a/sin g = b/sin a, odkia? m?me: sin g = sin a.

Z rovnosti s?nusov vypl?va rovnos? uhlov: g = a.

Tak?e druh?m znakom rovnoramenn?ho trojuholn?ka je rovnos? dvoch uhlov susediacich so z?klad?ou.

Tretie znamenie. V trojuholn?ku s? prvky ako nadmorsk? v??ka, stred a stred.

Ak sa v procese rie?enia probl?mu uk??e, ?e v predmetnom trojuholn?ku sa ktor?ko?vek dva z t?chto prvkov zhoduj?: v??ka s osou; osi?ka s medi?nom; medi?n s v??kou - m??eme definit?vne us?di?, ?e trojuholn?k je rovnoramenn?.

Geometrick? vlastnosti obrazca

1. Vlastnosti rovnoramenn?ho trojuholn?ka. Jednou z charakteristick?ch vlastnost? postavy je rovnos? uhlov susediacich so z?klad?ou:

<ВАС = <ВСА.

2. E?te jedna vlastnos? bola diskutovan? vy??ie: medi?n, stred a nadmorsk? v??ka v rovnoramennom trojuholn?ku sa zhoduj?, ak s? postaven? od jeho vrcholu k jeho z?kladni.

3. Rovnos? os? nakreslen?ch z vrcholov na z?kladni:

Ak AE je osou uhla BAC a CD je osou uhla BCA, potom: AE = DC.

4. Vlastnosti rovnoramenn?ho trojuholn?ka tie? zabezpe?uj? rovnos? v??ok, ktor? s? nakreslen? z vrcholov na z?kladni.

Ak zostroj?me v??ky trojuholn?ka ABC (kde AB = BC) z vrcholov A a C, potom sa v?sledn? ?se?ky CD a AE bud? rovna?.

5. Stredy nakreslen? z rohov na z?kladni bud? tie? rovnak?.

Ak s? teda AE a DC medi?ny, to znamen? AD = DB a BE = EC, potom AE = DC.

V??ka rovnoramenn?ho trojuholn?ka

Rovnos? str?n a uhlov s nimi zav?dza niektor? funkcie do v?po?tu d??ok prvkov uva?ovan?ho obr?zku.

Nadmorsk? v??ka v rovnoramennom trojuholn?ku rozde?uje obrazec na 2 symetrick? pravouhl? trojuholn?ky, ktor?ch prepony s? po stran?ch. V??ka je v tomto pr?pade ur?en? pod?a Pytagorovej vety ako noha.

Trojuholn?k m??e ma? v?etky tri strany rovnak?, potom sa bude naz?va? rovnostrann?. V??ka v rovnostrannom trojuholn?ku sa ur?uje podobn?m sp?sobom, len na v?po?ty sta?? pozna? iba jednu hodnotu - d??ku strany tohto trojuholn?ka.

V??ku m??ete ur?i? in?m sp?sobom, napr?klad tak, ?e pozn?te z?klad?u a uhol, ktor? k nej prilieha.

Medi?n rovnoramenn?ho trojuholn?ka

Uva?ovan? typ trojuholn?ka vzh?adom na jeho geometrick? vlastnosti mo?no vyrie?i? celkom jednoducho pomocou minim?lneho s?boru po?iato?n?ch ?dajov. Ke??e medi?n v rovnoramennom trojuholn?ku sa rovn? jeho v??ke aj jeho osi, algoritmus na jeho ur?enie sa nel??i od postupu na v?po?et t?chto prvkov.

Napr?klad d??ku medi?nu m??ete ur?i? pod?a zn?mej bo?nej strany a ve?kosti vrcholov?ho uhla.

Ako ur?i? obvod

Ke??e obe strany uva?ovan?ho planimetrick?ho ?tvaru s? v?dy rovnak?, na ur?enie obvodu sta?? pozna? d??ku z?kladne a d??ku jednej zo str?n.

Zoberme si pr?klad, ke? potrebujete ur?i? obvod trojuholn?ka pomocou zn?mej z?kladne a v??ky.

Obvod sa rovn? s??tu z?kladne a dvojn?sobku d??ky strany. Bo?n? strana je zas definovan? pomocou Pytagorovej vety ako prepona pravouhl?ho trojuholn?ka. Jeho d??ka sa rovn? druhej odmocnine s??tu druhej mocniny v??ky a druhej mocniny polovice z?kladne.

Oblas? rovnoramenn?ho trojuholn?ka

V?po?et plochy rovnoramenn?ho trojuholn?ka spravidla nesp?sobuje ?a?kosti. V na?om pr?pade samozrejme plat? univerz?lne pravidlo na ur?enie plochy trojuholn?ka ako polovice s??inu z?kladne a jej v??ky. Vlastnosti rovnoramenn?ho trojuholn?ka v?ak op?? u?ah?uj? ?lohu.

Predpokladajme, ?e v??ka a uhol susediaci so z?klad?ou s? zn?me. Je potrebn? ur?i? oblas? obr?zku. D? sa to urobi? t?mto sp?sobom.

Ke??e s??et uhlov ak?hoko?vek trojuholn?ka je 180°, nie je ?a?k? ur?i? ve?kos? uhla. ?alej pomocou podielu zostaven?ho pod?a vety o s?nusoch sa ur?? d??ka z?kladne trojuholn?ka. V?etko, z?klad?a a v??ka - dostato?n? ?daje na ur?enie oblasti - s? k dispoz?cii.

?al?ie vlastnosti rovnoramenn?ho trojuholn?ka

Poloha stredu kru?nice op?sanej okolo rovnoramenn?ho trojuholn?ka z?vis? od ve?kosti vrcholov?ho uhla. Ak je teda rovnoramenn? trojuholn?k ostr?, stred kruhu sa nach?dza vo vn?tri obr?zku.

Stred kru?nice op?sanej okolo tup?ho rovnoramenn?ho trojuholn?ka le?? mimo nej. A nakoniec, ak je uhol vo vrchole 90°, stred le?? presne v strede z?kladne a priemer kruhu prech?dza samotnou z?klad?ou.

Na ur?enie polomeru kru?nice op?sanej rovnoramenn?mu trojuholn?ku sta?? vydeli? d??ku strany dvojn?sobkom kos?nusu polovice vrcholov?ho uhla.

T?to lekcia sa bude zaobera? t?mou „Rovnoramenn? trojuholn?k a jeho vlastnosti“. Dozviete sa, ako vyzeraj? rovnoramenn? a rovnostrann? trojuholn?ky a ako s? charakterizovan?. Dok??te vetu o rovnosti uhlov na z?kladni rovnoramenn?ho trojuholn?ka. Zv??te tie? vetu o stredovej osi (strednej a nadmorskej v??ke) nakreslenej k z?kladni rovnoramenn?ho trojuholn?ka. Na konci lekcie vyrie?ite dve ?lohy pomocou defin?cie a vlastnost? rovnoramenn?ho trojuholn?ka.

Defin?cia:Rovnoramenn? sa naz?va trojuholn?k, ktor?ho dve strany s? rovnak?.

Ry?a. 1. Rovnoramenn? trojuholn?k

AB = AC - strany. BC - z?klad.

Plocha rovnoramenn?ho trojuholn?ka sa rovn? polovici s??inu jeho z?kladne a v??ky.

Defin?cia:Rovnostrann? sa naz?va trojuholn?k, v ktorom s? v?etky tri strany rovnak?.

Ry?a. 2. Rovnostrann? trojuholn?k

AB = BC = SA.

Veta 1: V rovnoramennom trojuholn?ku s? z?kladn? uhly rovnak?.

Vzh?adom na to: AB = AC.

dok?za?:?B =?C.

Ry?a. 3. Kreslenie pre vetu

d?kaz: trojuholn?k ABC = trojuholn?k ACB pod?a prv?ho znamienka (dve rovnak? strany a uhol medzi nimi). Z rovnosti trojuholn?kov vypl?va, ?e v?etky zodpovedaj?ce prvky s? rovnak?. To znamen? ?B = ?C, ?o je potrebn? dok?za?.

Veta 2: V rovnoramennom trojuholn?ku bisector pritiahnut? k z?kladni je medi?n A v??ka.

Vzh?adom na to: AB = AC, ?1 = ?2.

dok?za?:ВD = DC, AD kolm? na BC.

Ry?a. 4. Kreslenie pre vetu 2

d?kaz: trojuholn?k ADB = trojuholn?k ADC pod?a prv?ho znamienka (AD - v?eobecn?, AB = AC pod?a podmienky, ?BAD = ?DAC). Z rovnosti trojuholn?kov vypl?va, ?e v?etky zodpovedaj?ce prvky s? rovnak?. BD = DC, preto?e le?ia oproti rovnak?m uhlom. Tak?e AD je medi?n. Tie? ?3 = ?4, preto?e le?ia na opa?n?ch rovnak?ch stran?ch. Ale okrem toho s? si ?plne rovn?. Preto ?3 = ?4 = . To znamen?, ?e AD je v??ka trojuholn?ka, ?o sme potrebovali dok?za?.

V jedinom pr?pade a = b = . V tomto pr?pade sa ?iary AC a BD naz?vaj? kolm?.

Ke??e os, v??ka a medi?n s? rovnak? segment, platia aj nasleduj?ce tvrdenia:

Nadmorsk? v??ka rovnoramenn?ho trojuholn?ka nakreslen?ho k z?kladni je stred a stred.

Medi?n rovnoramenn?ho trojuholn?ka nakreslen?ho k z?kladni je nadmorsk? v??ka a stred.

Pr?klad 1: V rovnoramennom trojuholn?ku m? z?klad?a polovi?n? ve?kos? strany a obvod je 50 cm N?jdite strany trojuholn?ka.

Vzh?adom na to: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

N?js?: BC, AC, AB.

Rie?enie:

Ry?a. 5. Kreslenie napr?klad 1

Ozna?me z?klad BC ako a, potom AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

odpove?: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Pr?klad 2: Dok??te, ?e v rovnostrannom trojuholn?ku s? v?etky uhly rovnak?.

Vzh?adom na to: AB = BC = SA.

dok?za?:?A = ?B = ?C.

d?kaz:

Ry?a. 6. Napr?klad kreslenie

?B = ?C, preto?e AB = AC a ?A = ?B, preto?e AC = BC.

Preto ?A = ?B = ?C, ?o je potrebn? dok?za?.

odpove?: Osved?en?.

V dne?nej lekcii sme sa pozreli na rovnoramenn? trojuholn?k a ?tudovali jeho z?kladn? vlastnosti. V ?al?ej lekcii budeme rie?i? probl?my na t?mu rovnoramenn? trojuholn?ky, na v?po?et plochy rovnoramenn?ho a rovnostrann?ho trojuholn?ka.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. a in? Geometria 7. - M.: Vzdel?vanie.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. a in?.Geometria 7. 5. vyd. - M.: Osveta.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov?, vyd. Sadovnichego V.A. - M.: Vzdel?vanie, 2010.

1. Slovn?ky a encyklop?die o akademikov ().
2. Festival pedagogick?ch my?lienok „Otvoren? hodina“ ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. ??slo 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov?, vyd. Sadovnichego V.A. - M.: Vzdel?vanie, 2010.

2. Obvod rovnoramenn?ho trojuholn?ka je 35 cm a z?klad?a je trikr?t men?ia ako strana. N?jdite strany trojuholn?ka.

3. Dan?: AB = BC. Dok??te, ?e ?1 = ?2.

4. Obvod rovnoramenn?ho trojuholn?ka je 20 cm, jedna jeho strana je dvakr?t v???ia ako druh?. N?jdite strany trojuholn?ka. Ko?ko rie?en? m? probl?m?

Kontrola dom?cich ?loh

№ 111.

Vzh?adom na to: CD = BD , 1 = 2

Dok?za?: A B C - rovnoramenn?

№ 107.

strane A C je 2-kr?t menej ako AB

P = 50 cm,

P = 50 cm

x + 2x + 2x = 50

x = 10

2 X

2 X

AC = 10 cm,

AB = BC = 20 cm

Ktor? trojuholn?ky s? rovnoramenn?? Pre rovnoramenn? trojuholn?ky pomenujte z?klad?u a strany.

Dan?: AD - stred ? BAC, BAC = 74 0. N?jdi: BA D. (obr. 1)

Dan?: KL - v??ka ? KMN. N?js?: KLN. (Obr.2)

Dan?: QS - medi?n ? PQR, PS = 5,3 cm. N?js?: PR. (Obr. 3)

• Dan?: ? ABC je rovnoramenn? so z?klad?ou AC, VC je os, AC = 46 cm. N?js?: AK. (obr. 4)
• Dan?: ? ABC je rovnoramenn? so z?klad?ou AC, v??ka VC, ABC = 46 0. N?js?: AVK. (Obr.5)
• Je dan?: ? C BD rovnoramenn? so z?klad?ou B C, DA medi?n, BDC = 120 0. N?js?: ADB. (Obr. 6)

7. trieda

Vlastnosti rovnoramenn?ho trojuholn?ka

K poznaniu ved? tri cesty:

Cesta reflexie je naju??achtilej?ia cesta,

Cesta napodob?ovania je najjednoduch?ia cesta,

A cesta sk?senost? je t? najtrpkej?ia cesta.

Konfucius.

V rovnoramennom trojuholn?ku s? z?kladn? uhly rovnak?.

Dan?: ABC rovnoramenn?

dok?za?:

d?kaz:

1. Nakresl?me os BD uhla B.

2. Zv??te ? AB D a ? CBD:

AB = BC (pod?a podmienok),

V D – spolo?n? strana,

? A BD = ? C BD

? АВD = ?CBD (na z?klade 1 znamienka rovnosti trojuholn?kov)

3. V rovnak?ch trojuholn?koch s? pr?slu?n? uhly ? A= ? C.

V rovnoramennom trojuholn?ku je stred pripojen? k z?kladni stred a nadmorsk? v??ka.

Vzh?adom na to: ABC rovnoramenn?,

A D – bisector .

dok?za?: A D - v??ka,

A D – medi?n.

d?kaz:

1) Zv??te tie?:

? BAD = ?CAD (na z?klade 1 krit?ria pre rovnos? trojuholn?kov).

2) V rovnak?ch trojuholn?koch s? zodpovedaj?ce strany a uhly rovnak?

1 = 2 = 90° (susedn? uhly).

Preto je AD medi?n a v??ka ? ABC.

Rie?enie probl?mov.

Savra?ov? S.M., Yastrebinetsky G.A. „Cvi?enia planimetrie na hotov?ch v?kresoch“

110

70

70

Rie?enie probl?mov.

Dan?: AB = B C, 1 = 130 0.

L. S. Atanasyan. "Geometria 7-9" ?. 112.

Rie?enie probl?mov.

N?js?: AB D.

Trojuholn?k

ABC - rovnoramenn?

V D – medi?n

To znamen?, ?e B D je os

40 0

40 0

CM. Savra?ov?, G.A. Yastrebinetsky „Cvi?enia na hotov?ch v?kresoch“

Dom?ca ?loha:

• odsek 19 (str. 35 – 36), ?. 109, 112, 118.

Vlastnosti rovnoramenn?ho trojuholn?ka vyjadruj? nasleduj?ce vety.

Veta 1. V rovnoramennom trojuholn?ku s? uhly v z?kladni rovnak?.

Veta 2. V rovnoramennom trojuholn?ku je stred pripojen? k z?kladni stred a nadmorsk? v??ka.

Veta 3. V rovnoramennom trojuholn?ku je stredom k z?kladni prie?inka a nadmorsk? v??ka.

Veta 4. V rovnoramennom trojuholn?ku je nadmorsk? v??ka nakreslen? k z?kladni osou a stredom.

Dok??me jednu z nich, napr?klad vetu 2.5.

D?kaz. Uva?ujme rovnoramenn? trojuholn?k ABC so z?klad?ou BC a dok??me, ?e ? B = ? C. Nech AD je osi trojuholn?ka ABC (obr. 1). Trojuholn?ky ABD a ACD s? rovnak? pod?a prv?ho znamienka rovnosti trojuholn?kov (AB = AC pod?a podmienky, AD je spolo?n? strana, ? 1 = ? 2, ke??e AD je os). Z rovnosti t?chto trojuholn?kov vypl?va, ?e ? B = ? C. Veta je dok?zan?.

Pomocou vety 1 je stanoven? nasleduj?ca veta.

Veta 5. Tretie krit?rium pre rovnos? trojuholn?kov. Ak sa tri strany jedn?ho trojuholn?ka rovnaj? trom stran?m in?ho trojuholn?ka, potom s? tieto trojuholn?ky zhodn? (obr. 2).

Komentujte. Vety ustanoven? v pr?kladoch 1 a 2 vyjadruj? vlastnosti odvesny ?se?ky. Z t?chto n?vrhov vypl?va, ?e kolmice na strany trojuholn?ka sa pret?naj? v jednom bode.

Pr?klad 1 Dok??te, ?e bod v rovine rovnako vzdialen? od koncov ?se?ky le?? na kolmici na t?to ?se?ku.

Rie?enie. Bod M nech je rovnako vzdialen? od koncov segmentu AB (obr. 3), t.j. AM = BM.

Potom je D AMV rovnoramenn?. Nakresl?me priamku p cez bod M a stred O ?se?ky AB. Pod?a kon?trukcie je ?se?ka MO medi?nom rovnoramenn?ho trojuholn?ka AMB, a preto (Veta 3), a v??ka, t.j. priamka MO, je kolmica na ?se?ku AB.

Pr?klad 2 Dok??te, ?e ka?d? bod kolmice na ?se?ku je rovnako vzdialen? od jej koncov.

Rie?enie. Nech p je kolmica na ?se?ku AB a bod O je stred ?se?ky AB (pozri obr. 3).

Uva?ujme ?ubovo?n? bod M le?iaci na priamke p. Nakresl?me segmenty AM a BM. Trojuholn?ky AOM a BOM s? rovnak?, preto?e ich uhly vo vrchole O s? prav?, noha OM je spolo?n? a noha OA sa rovn? vetve OB pod?a podmienky. Z rovnosti trojuholn?kov AOM a BOM vypl?va, ?e AM = BM.

Pr?klad 3 V trojuholn?ku ABC (pozri obr. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; v trojuholn?ku DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Porovnajte trojuholn?ky ABC a DEF. N?jdite zodpovedaj?ce rovnak? uhly.

Rie?enie. Tieto trojuholn?ky s? rovnak? pod?a tretieho krit?ria. Zodpovedaj?co rovnak? uhly: A a E (le?ia oproti rovnak?m stran?m BC a FD), B a F (le?ia oproti rovnak?m stran?m AC a DE), C a D (le?ia oproti rovnak?m stran?m AB a EF).

Pr?klad 4. Na obr?zku 5, AB = DC, BC = AD, ?B = 100°.

N?jdite uhol D.

Rie?enie. Zv??te trojuholn?ky ABC a ADC. Rovnak? s? pod?a tretieho krit?ria (AB = DC, BC = AD pod?a podmienky a strana AC je spolo?n?). Z rovnosti t?chto trojuholn?kov vypl?va, ?e ? B = ? D, ale uhol B sa rovn? 100°, ?o znamen?, ?e uhol D sa rovn? 100°.

Pr?klad 5. V rovnoramennom trojuholn?ku ABC so z?klad?ou AC je vonkaj?? uhol pri vrchole C 123°. N?jdite ve?kos? uhla ABC. Svoju odpove? uve?te v stup?och.

Video rie?enie.