Pravouhl? s?radnicov? syst?m. Pravouhl? s?radnicov? syst?m

Kon?trukcia kartezi?nskeho pravouhl?ho s?radnicov?ho syst?mu

na povrchu

Kart?zsky pravouhl? s?radnicov? syst?m v rovine tvoria dve vz?jomne kolm? s?radnicov? osi V?L 1 A V?L 2 , ktor? sa v bode pret?naj? O, naz?van? po?iatok s?radn?c (obr. 1). Na ka?dej osi je zvolen? kladn? smer ozna?en? ??pkami a jednotka merania pre segmenty na osiach. Jednotky s? zvy?ajne rovnak? pre v?etky osi (?o nie je povinn?). IN pravostrann? s?radnicov? syst?m, kladn? smer os? sa vol? tak, ?e ke? je os nasmerovan? V?L 2 hore, os V?L 1 pozrel doprava. V?L 1 -- os x, V?L 2 -- ordina?n? os. ?tyri rohy (I, II, III, IV) tvoren? s?radnicov?mi osami V?L 1 A V?L 2 , sa naz?vaj? s?radnicov? uhly resp kvadrantoch.

Bodka B A na s?radnicov? os V?L 1 ;

Bodka C- kolm? priemet bodu A na s?radnicov? os V?L 2 ;

Kon?trukcia kartezi?nskeho pravouhl?ho s?radnicov?ho syst?mu vo vesm?re

Kart?zsky pravouhl? s?radnicov? syst?m v priestore tvoria tri vz?jomne kolm? s?radnicov? osi V?L, OY A OZ. S?radnicov? osi sa pret?naj? v bode O, ktor? sa naz?va po?iatok s?radn?c, na ka?dej osi je vybran? kladn? smer ozna?en? ??pkami a jednotka merania pre segmenty na osiach. Jednotky s? zvy?ajne rovnak? pre v?etky osi (?o nie je povinn?). V?L-- os x, OY-- ordina?n? os, OZ-- os aplik?tora.

Ak sa ako smer berie palec pravej ruky X, index - pre smer Y a stredn? je pre smer Z, potom sa vytvor? spr?vny s?radnicov? syst?m. Podobn? prsty ?avej ruky tvoria ?av? s?radnicov? syst?m. In?mi slovami, kladn? smer os? je zvolen? tak, ?e ke? sa os ot??a V?L proti smeru hodinov?ch ru?i?iek o 90° sa jeho kladn? smer zhoduje s kladn?m smerom osi OY, ak je toto ot??anie pozorovan? z kladn?ho smeru osi OZ. Nie je mo?n? kombinova? prav? a ?av? s?radnicov? syst?m tak, aby sa zodpovedaj?ce osi zhodovali (obr. 2). Bodka F- kolm? priemet bodu A do s?radnicovej roviny OXY; Bodka E- kolm? priemet bodu A do s?radnicovej roviny OYZ; Bodka G- kolm? priemet bodu A do s?radnicovej roviny V?L Z ;

Reprezent?cia usporiadania kartezi?nskeho pravouhl?ho s?radnicov?ho syst?mu vo vesm?re zn?zornen? na obr?zkoch 3, 4 a 5.

Ur?enie s?radn?c bodu v kart?zskom pravouhlom s?radnicovom syst?me

Hlavnou ot?zkou ka?d?ho s?radnicov?ho syst?mu je ot?zka ur?enia s?radn?c bodu umiestnen?ho v jeho rovine alebo priestore.

Ur?enie s?radn?c bodu v rovine Kart?zsky s?radnicov? syst?m

Poloha bodu A na rovine je ur?en? dvoma s?radnicami - X A r (obr. 5). Koordinova? X rovn? d??ke segmentu O.B., koordinova? r -- d??ka segmentu O.C. vo vybran?ch mern?ch jednotk?ch. Segmenty O.B. A O.C. s? ur?en? ?iarami veden?mi z bodu A rovnobe?ne s osami OY A V?L resp. Koordinova? X naz?van? abscisa (lat. ?se?ka- segment), s?radnica r -- ordin?ta (lat. ordin?ty- umiestnen? v porad?) body A. Nap??te to takto:

Ak bod A le?? v s?radnicovom uhle I, potom m? kladn? ?se?ku a ordin?tu. Ak bod A le?? v s?radnicovom uhle II, potom je z?porn? ?se?ka a kladn? y. Ak bod A le?? v s?radnicovom uhle III, potom m? z?porn? ?se?ku a ordin?tu. Ak bod A le?? v s?radnicovom uhle IV, potom je kladn? ?se?ka a z?porn? y.

Takto sa ur?uj? s?radnice v kartezi?nskom s?radnicovom syst?me v rovine.

Usporiadan? syst?m dvoch alebo troch na seba kolm?ch pret?naj?cich sa os? so spolo?n?m po?iatkom (po?iatkom s?radn?c) a spolo?nou jednotkou d??ky sa naz?va pravouhl? kartezi?nsky s?radnicov? syst?m .

V?eobecn? kartezi?nsky s?radnicov? syst?m (afinn? s?radnicov? syst?m) nemus? nevyhnutne zah??a? kolm? osi. Na po?es? franc?zskeho matematika Ren? Descartesa (1596-1662) je pomenovan? pr?ve tak? s?radnicov? syst?m, v ktorom sa na v?etk?ch osiach meria spolo?n? jednotka d??ky a osi s? priame.

Pravouhl? kartezi?nsky s?radnicov? syst?m v rovine m? dve osi a pravouhl? kartezi?nsky s?radnicov? syst?m v priestore - tri osi. Ka?d? bod v rovine alebo v priestore je definovan? usporiadanou mno?inou s?radn?c - ??sel zodpovedaj?cich jednotke d??ky s?radnicov?ho syst?mu.

V?imnite si, ?e ako vypl?va z defin?cie, existuje kart?zsky s?radnicov? syst?m na priamke, teda v jednom rozmere. Zavedenie kartezi?nskych s?radn?c na priamke je jedn?m zo sp?sobov, ako je ak?ko?vek bod na priamke spojen? s dobre definovan?m re?lnym ??slom, teda s?radnicou.

S?radnicov? met?da, ktor? vznikla v dielach Ren? Descartesa, znamenala revolu?n? re?trukturaliz?ciu celej matematiky. Algebraick? rovnice (resp. nerovnice) bolo mo?n? interpretova? vo forme geometrick?ch obrazov (grafov) a naopak h?ada? rie?enia geometrick?ch probl?mov pomocou analytick?ch vzorcov a s?stav rovn?c. ?no, nerovnos? z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy a nach?dza sa nad touto rovinou o 3 jednotky.

Pomocou kartezi?nskeho s?radnicov?ho syst?mu pr?slu?nos? bodu na danej krivke zodpoved? skuto?nosti, ?e ??sla X A r splni? nejak? rovnicu. S?radnice bodu na kru?nici so stredom v danom bode ( a; b) splni? rovnicu (X - a)? + ( r - b)? = R? .

Pravouhl? kartezi?nsky s?radnicov? syst?m v rovine

Dve kolm? osi v rovine so spolo?n?m po?iatkom a rovnakou jednotkou mierky Kart?zsky pravouhl? s?radnicov? syst?m v rovine . Jedna z t?chto os? sa naz?va os V?l, alebo os x , druh? - os Oj, alebo os y . Tieto osi sa naz?vaj? aj s?radnicov? osi. Ozna?me pod?a MX A Mr respekt?ve priemet ?ubovo?n?ho bodu M na osi V?l A Oj. Ako z?ska? projekcie? Po?me cez pointu M V?l. T?to priamka pret?na os V?l v bode MX. Po?me cez pointu M priamka kolm? na os Oj. T?to priamka pret?na os Oj v bode Mr. To je zn?zornen? na obr?zku ni??ie.

X A r bodov M budeme pod?a toho naz?va? hodnoty smerovan?ch segmentov OMX A OMr. Hodnoty t?chto smerovan?ch segmentov sa vypo??taj? pod?a toho ako X = X0 - 0 A r = r0 - 0 . Kart?zske s?radnice X A r bodov M ?se?ka A ordin?t . Skuto?nos?, ?e bod M m? s?radnice X A r, sa ozna?uje takto: M(X, r) .

S?radnicov? osi rozde?uj? rovinu na ?tyri kvadrant , ktor?ch ??slovanie je zn?zornen? na obr?zku ni??ie. Zobrazuje tie? usporiadanie zna?iek pre s?radnice bodov v z?vislosti od ich umiestnenia v konkr?tnom kvadrante.

Okrem kart?zskych pravouhl?ch s?radn?c v rovine sa ?asto zva?uje aj pol?rny s?radnicov? syst?m. O sp?sobe prechodu z jedn?ho s?radnicov?ho syst?mu do druh?ho - v lekcii pol?rny s?radnicov? syst?m .

Pravouhl? kartezi?nsky s?radnicov? syst?m v priestore

Kart?zske s?radnice v priestore s? zaveden? ?plne analogicky s kartezi?nskymi s?radnicami v rovine.

Tri vz?jomne kolm? osi v priestore (s?radnicov? osi) so spolo?n?m po?iatkom O a s rovnakou jednotkou mierky, ktor? tvoria Kart?zsky pravouhl? s?radnicov? syst?m v priestore .

Jedna z t?chto os? sa naz?va os V?l, alebo os x , druh? - os Oj, alebo os y , tretia - os Oz, alebo os aplikova? . Nechaj MX, Mr Mz- projekcie ?ubovo?n?ho bodu M priestor na osi V?l , Oj A Oz resp.

Po?me cez pointu M V?lV?l v bode MX. Po?me cez pointu M rovina kolm? na os Oj. T?to rovina pret?na os Oj v bode Mr. Po?me cez pointu M rovina kolm? na os Oz. T?to rovina pret?na os Oz v bode Mz.

Kart?zske pravouhl? s?radnice X , r A z bodov M budeme pod?a toho naz?va? hodnoty smerovan?ch segmentov OMX, OMr A OMz. Hodnoty t?chto smerovan?ch segmentov sa vypo??taj? pod?a toho ako X = X0 - 0 , r = r0 - 0 A z = z0 - 0 .

Kart?zske s?radnice X , r A z bodov M sa naz?vaj? pod?a toho ?se?ka , ordin?t A aplikova? .

S?radnicov? osi v p?roch s? umiestnen? v s?radnicov?ch rovin?ch xOy , yOz A zOx .

Probl?my o bodoch v kartezi?nskom s?radnicovom syst?me

Pr?klad 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

N?jdite s?radnice priemetov t?chto bodov na s?radnicov? os.

Rie?enie. Ako vypl?va z teoretickej ?asti tejto lekcie, priemet bodu na ?se?ku sa nach?dza na samotnej ?se?ke, teda na osi. V?l, a preto m? ?se?ku rovnaj?cu sa ?se?ke samotn?ho bodu a ordin?tu (s?radnicu na osi Oj, ktor? os x pret?na v bode 0), ktor? sa rovn? nule. Dostaneme teda nasleduj?ce s?radnice t?chto bodov na osi x:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx (-5; 0).

Pr?klad 2 V kartezi?nskom s?radnicovom syst?me s? body dan? v rovine

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

N?jdite s?radnice priemetov t?chto bodov na s?radnicov? os.

Rie?enie. Ako vypl?va z teoretickej ?asti tejto lekcie, priemet bodu na ordin?tov? os sa nach?dza na samotnej ordin?tovej osi, teda na osi. Oj, a preto m? s?radnicu rovnaj?cu sa s?radnici samotn?ho bodu a ?se?ku (s?radnicu na osi V?l, ktor? s?radnicov? os pret?na v bode 0), ktor? sa rovn? nule. Tak?e dostaneme nasleduj?ce s?radnice t?chto bodov na osi y:

Ay(0;2);

By(0;1);

Cy(0;-2).

Pr?klad 3 V kartezi?nskom s?radnicovom syst?me s? body dan? v rovine

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

V?l .

V?l V?l V?l, bude ma? rovnak? ?se?ku ako dan? bod a ordin?tu rovnaj?cu sa absol?tnej hodnote ordinate dan?ho bodu a opa?n? znamienko. Tak?e dostaneme nasleduj?ce s?radnice bodov symetrick?ch k t?mto bodom vzh?adom na os V?l :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Vyrie?te probl?my pomocou kartezi?nskeho s?radnicov?ho syst?mu sami a potom sa pozrite na rie?enia

Pr?klad 4. Ur?te, v ktor?ch kvadrantoch (?tvrtiny, kresba s kvadrantmi - na konci odseku „Obd??nikov? kart?zsky s?radnicov? syst?m v rovine“) sa m??e nach?dza? bod M(X; r) , Ak

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) X - r = 0 ;

4) X + r = 0 ;

5) X + r > 0 ;

6) X + r < 0 ;

7) X - r > 0 ;

8) X - r < 0 .

Pr?klad 5. V kartezi?nskom s?radnicovom syst?me s? body dan? v rovine

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

N?jdite s?radnice bodov symetrick?ch k t?mto bodom vzh?adom na os Oj .

Pokra?ujme v rie?en? probl?mov spolo?ne

Pr?klad 6. V kartezi?nskom s?radnicovom syst?me s? body dan? v rovine

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

N?jdite s?radnice bodov symetrick?ch k t?mto bodom vzh?adom na os Oj .

Rie?enie. Oto?te o 180 stup?ov okolo osi Oj smerov? segment od osi Oj a? do tohto bodu. Na obr?zku, kde s? nazna?en? kvadranty roviny, vid?me, ?e bod symetrick? k dan?mu bodu vzh?adom na os Oj, bude ma? rovnak? ordin?tu ako dan? bod a ?se?ka sa v absol?tnej hodnote rovn? ?se?ke dan?ho bodu a v opa?nom znamienku. Tak?e dostaneme nasleduj?ce s?radnice bodov symetrick?ch k t?mto bodom vzh?adom na os Oj :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Pr?klad 7. V kartezi?nskom s?radnicovom syst?me s? body dan? v rovine

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

N?jdite s?radnice bodov symetrick?ch k t?mto bodom vzh?adom na po?iatok.

Rie?enie. Nasmerovan? segment smeruj?ci z po?iatku do dan?ho bodu oto??me o 180 stup?ov okolo po?iatku. Na obr?zku, kde s? nazna?en? kvadranty roviny, vid?me, ?e bod symetrick? k dan?mu bodu vzh?adom na po?iatok s?radn?c bude ma? ?se?ku a ordin?tu rovn? v absol?tnej hodnote ?se?ke a ordin?de dan?ho bodu, ale opa?ne v znamen?. Dostaneme teda nasleduj?ce s?radnice bodov symetrick?ch k t?mto bodom vzh?adom na po?iatok:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Pr?klad 8.

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

N?jdite s?radnice priemetov t?chto bodov:

1) v lietadle Oxy ;

2) v lietadle Oxz ;

3) do lietadla Oyz ;

4) na osi x;

5) na zvislej osi;

6) na osi aplik?cie.

1) Priemet bodu do roviny Oxy sa nach?dza v tejto rovine samotnej, a preto m? ?se?ku a ordin?tu rovn? ?se?ke a osi dan?ho bodu a aplik?ciu rovn? nule. Dostaneme teda nasleduj?ce s?radnice priemetov t?chto bodov na Oxy :

Axy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Priemet bodu do roviny Oxz sa nach?dza v tejto rovine samotnej, a preto m? ?se?ku a aplik?ciu rovnaj?cu sa ?se?ke a aplik?cii dan?ho bodu a ordin?tu rovn? nule. Dostaneme teda nasleduj?ce s?radnice priemetov t?chto bodov na Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Priemet bodu do roviny Oyz sa nach?dza v tejto rovine samotnej, a preto m? s?radnicu a aplik?ciu rovnaj?cu sa s?radnici a aplik?cii dan?ho bodu a s?radnicu rovnaj?cu sa nule. Dostaneme teda nasleduj?ce s?radnice priemetov t?chto bodov na Oyz :

Ayz(0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Ako vypl?va z teoretickej ?asti tejto lekcie, priemet bodu na ?se?ku sa nach?dza na samotnej ?se?ke, teda na osi. V?l, a preto m? ?se?ku rovnaj?cu sa ?se?ke samotn?ho bodu a ordin?ta a aplik?cia projekcie sa rovnaj? nule (ke??e os ordin?t a aplikovan? os pret?naj? ?se?ku v bode 0). Z?skame nasleduj?ce s?radnice priemetov t?chto bodov na os x:

Ax(4;0;0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) Priemet bodu na ordin?tov? os sa nach?dza na samotnej ordin?tovej osi, teda na osi. Oj, a preto m? s?radnicu rovnaj?cu sa s?radnici samotn?ho bodu a s?radnica a aplikovan? projekcia sa rovnaj? nule (ke??e s?radnica a aplikovan? os pret?naj? os s?radnice v bode 0). Z?skame nasleduj?ce s?radnice priemetov t?chto bodov na ordin?tov? os:

Ay(0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy(0;-3;0).

6) Priemet bodu na os aplik?cie sa nach?dza na samotnej osi aplik?cie, teda na osi. Oz, a preto m? aplik?ciu rovnaj?cu sa aplik?cii samotn?ho bodu a ?se?ka a ordin?ta projekcie sa rovnaj? nule (ke??e os ?se?ky a ordin?ty pret?naj? os aplik?cie v bode 0). Z?skame nasleduj?ce s?radnice priemetov t?chto bodov na os aplik?cie:

Az (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Pr?klad 9. V kartezi?nskom s?radnicovom syst?me s? body dan? v priestore

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

N?jdite s?radnice bodov symetrick?ch k t?mto bodom vzh?adom na:

1) lietadlo Oxy ;

2) lietadl? Oxz ;

3) lietadl? Oyz ;

4) osi x;

5) s?radnicov? osi;

6) aplikujte osi;

7) p?vod s?radn?c.

1) „Presu?te“ bod na druhej strane osi Oxy Oxy, bude ma? ?se?ku a zvisl? os rovnaj?cu sa ?se?ke a zvislej osi dan?ho bodu a aplik?ciu rovnaj?cu sa ve?kosti aplik?tu dan?ho bodu, ale opa?n?ho znamienka. Dostaneme teda nasleduj?ce s?radnice bodov symetrick? k ?dajom vzh?adom na rovinu Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) „Presu?te“ bod na druhej strane osi Oxz do rovnakej vzdialenosti. Z obr?zku zobrazuj?ceho s?radnicov? priestor vid?me, ?e bod symetrick? k dan?mu bodu vzh?adom na os Oxz, bude ma? ?se?ku a aplik?ciu rovnaj?cu sa ?se?ke a aplik?cii dan?ho bodu a ordin?tu rovnaj?cu sa ve?kosti osy dan?ho bodu, ale opa?n?ho znamienka. Dostaneme teda nasleduj?ce s?radnice bodov symetrick? k ?dajom vzh?adom na rovinu Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) „Presu?te“ bod na druhej strane osi Oyz do rovnakej vzdialenosti. Z obr?zku zobrazuj?ceho s?radnicov? priestor vid?me, ?e bod symetrick? k dan?mu bodu vzh?adom na os Oyz, bude ma? s?radnicu a aplik?t rovn? s?radnici a aplik?tu dan?ho bodu a ?se?ku rovnaj?cu sa hodnote s?radnice dan?ho bodu, ale opa?n? znamienko. Dostaneme teda nasleduj?ce s?radnice bodov symetrick? k ?dajom vzh?adom na rovinu Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Analogicky so symetrick?mi bodmi v rovine a bodmi v priestore, ktor? s? symetrick? k ?dajom vzh?adom na roviny, poznamen?vame, ?e v pr?pade symetrie vzh?adom na niektor? os kart?zskeho s?radnicov?ho syst?mu v priestore, s?radnica na osi vzh?adom na ktor?m je dan? symetria, si zachov? svoje znamienko a s?radnice na ?al??ch dvoch osiach bud? v absol?tnej hodnote rovnak? ako s?radnice dan?ho bodu, ale opa?n? v znamienku.

4) ?se?ka si zachov? svoje znamienko, ale ordin?ta a aplik?cia zmenia znamienka. Z?skame teda nasleduj?ce s?radnice bodov symetrick?ch k ?dajom vzh?adom na os x:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) S?radnica si zachov? svoje znamienko, ale ?se?ka a aplik?cia zmenia znamienka. Z?skame teda nasleduj?ce s?radnice bodov symetrick?ch k ?dajom vzh?adom na s?radnicov? os:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) ?iados? si zachov? svoje znamienko, ale ?se?ka a os zmenia znamienka. Z?skame teda nasleduj?ce s?radnice bodov symetrick?ch k ?dajom vzh?adom na os aplik?cie:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Analogicky so symetriou v pr?pade bodov v rovine, v pr?pade symetrie o po?iatku s?radn?c bud? v?etky s?radnice bodu symetrick?ho k dan?mu bodu v absol?tnej hodnote rovnak? ako s?radnice dan?ho bodu, ale oproti nim v znamen?. Z?skame teda nasleduj?ce s?radnice bodov symetrick?ch k ?dajom vzh?adom na po?iatok.

Na ur?enie polohy bodu v priestore pou?ijeme kartezi?nske pravouhl? s?radnice (obr. 2).

Kart?zsky pravouhl? s?radnicov? syst?m v priestore tvoria tri vz?jomne kolm? s?radnicov? osi OX, OY, OZ. S?radnicov? osi sa pret?naj? v bode O, ktor? sa naz?va po?iatok, na ka?dej osi je zvolen? kladn? smer ozna?en? ??pkami a jednotka merania pre segmenty na osiach. Jednotky merania s? zvy?ajne (nie nevyhnutne) rovnak? pre v?etky osi. Os OX sa naz?va os ?se?ky (alebo jednoducho ?se?ka), os OY je s?radnicov? os a os OZ je aplika?n? os.

Poloha bodu A v priestore je ur?en? tromi s?radnicami x, y a z. S?radnica x sa rovn? d??ke segmentu OB, s?radnica y je d??ka segmentu OC, s?radnica z je d??ka segmentu OD vo vybran?ch merac?ch jednotk?ch. Segmenty OB, OC a OD s? definovan? rovinami nakreslen?mi z bodu rovnobe?n?ho s rovinami YOZ, XOZ a XOY.

S?radnica x sa naz?va ?se?ka bodu A, s?radnica y sa naz?va s?radnica bodu A a s?radnica z sa naz?va aplik?cia bodu A.

Symbolicky je to nap?san? takto:

alebo prepoji? s?radnicov? z?znam s konkr?tnym bodom pomocou indexu:

x A , y A , z A ,

Ka?d? os sa pova?uje za ??seln? os, to znamen?, ?e m? kladn? smer a bodom le?iacim na z?pornom l??i s? priraden? z?porn? hodnoty s?radn?c (vzdialenos? sa berie so znamienkom m?nus). To znamen?, ?e ak napr?klad bod B nele?? ako na obr?zku - na l??i OX, ale na jeho pokra?ovan? v opa?nom smere od bodu O (na z?pornej ?asti osi OX), potom ?se?ka x bodu A by bolo z?porn? (m?nus vzdialenos? OB ). Rovnako pre ?al?ie dve osi.

S?radnicov? osi OX, OY, OZ, zn?zornen? na obr. 2, tvoria pravoto?iv? s?radnicov? syst?m. To znamen?, ?e ak sa pozriete na rovinu YOZ pozd?? kladn?ho smeru osi OX, pohyb osi OY smerom k osi OZ bude v smere hodinov?ch ru?i?iek. T?to situ?ciu mo?no op?sa? pomocou pravidla gimlet: ak sa gimlet (skrutka s prav?m z?vitom) ot??a v smere od osi OY k osi OZ, potom sa bude pohybova? pozd?? kladn?ho smeru osi OX.

Vektory jednotkovej d??ky smeruj?ce pozd?? s?radnicov?ch os? sa naz?vaj? s?radnicov? jednotkov? vektory. Zvy?ajne s? ozna?en? ako (obr. 3). Je tam aj ozna?enie Jednotkov? vektory tvoria z?klad s?radnicov?ho syst?mu.

V pr?pade pravoto?iv?ho s?radnicov?ho syst?mu platia nasleduj?ce vzorce s vektorov?mi s??inmi jednotkov?ch vektorov:

TEXTOV? PREPIS LEKCIE:

Ak s? bodom v priestore nakreslen? tri p?rov? kolm? ?iary, z ktor?ch ka?d? je zvolen? smer a jednotkov? segment, potom hovoria, ?e je ?pecifikovan? pravouhl? s?radnicov? syst?m v priestore.

Priame ?iary so zvolen?mi smermi sa naz?vaj? s?radnicov? osi a s? ozna?en? nasledovne: Ox, Oy, Oz, maj? svoje vlastn? n?zvy: s?radnicov? os, zvisl? os a aplikovan? os a ich spolo?n?m bodom je po?iatok s?radn?c. Zvy?ajne sa ozna?uje p?smenom O.

Cel? s?radnicov? syst?m je ozna?en? ako Oxyz.

Ak s? roviny nakreslen? cez s?radnicov? osi Ox a Oy, Oy a Oz, Oz a Ox, potom sa tak?to roviny bud? naz?va? s?radnicov? roviny a bud? ozna?en?: Oxy, Oyz, Ozx.

Bod O rozde?uje ka?d? zo s?radnicov?ch os? na dva l??e. L??, ktor?ho smer sa zhoduje so smerom osi, sa naz?va kladn? poloos a druh? l?? sa naz?va z?porn? poloos.

V pravouhlom s?radnicovom syst?me je ka?d? bod M v priestore spojen? s trojicou ??sel, ktor? sa naz?vaj? jeho s?radnice. Ur?uj? sa podobne ako s?radnice bodov v rovine.

Pozrime sa, ako sa to rob?.

Nakreslime tri roviny cez bod M, kolm? na s?radnicov? osi, a ozna?me M1, M? a M3 priese?n?ky t?chto rov?n s osami x, ordin?tmi a aplika?n?mi osami.

Prv? s?radnica bodu M (naz?va sa ?se?ka a zvy?ajne sa ozna?uje p?smenom x) je definovan? takto: x = OM?, ak M? je bod kladnej poloosi;

x= - OM1, ak M1 je bod z?pornej poloosi; x = 0, ak sa M? zhoduje s bodom O.

Podobne pomocou bodu M? sa ur?? druh? s?radnica (ordin?ta) v bode M,

a pomocou bodu M? - tretej s?radnice (aplik?cie) z bodu M.

S?radnice bodu M sa p??u v z?tvorke za ozna?en?m bodu M (x; y; z).

Pam?tajte, ?e ?se?ka je uveden? ako prv?, ordin?ta je druh? a aplik?cia je tretia.

N?jdite s?radnice bodov A, B, C, D, E, F, zn?zornen? na obr?zku.

Narysujme tri roviny cez bod A, kolm? na s?radnicov? osi, potom priese?n?ky t?chto rov?n s osami x, ordin?tami a aplika?n?mi osami bud? s?radnice bodu A. Bod A m? s?radnice: abscisa = 9, s?radnica = 5, aplik?cia = 10 a p??e sa takto: A (9; 5; 10).

S?radnice nasleduj?cich bodov s? zap?san? podobne:

Bod B m? s?radnice: ?se?ka = 4, ordin?ta = -3, aplik?cia = 6

Bod C m? s?radnice: ?se?ka = 9, ordin?ta = 0, aplik?cia = 0

Bod m? s?radnice D: ?se?ka = 4, ordin?ta = 0, aplik?cia = 5

Bod E m? s?radnice: ?se?ka = 0, ordin?ta = 8, aplik?cia = 0

Bod F m? s?radnice: abscisa = 0, ordin?ta = 0, aplik?cia = -3

Ak bod M (x; y; z) le?? v s?radnicovej rovine na osi s?radn?c, potom sa niektor? jeho s?radnice rovnaj? nule.

Ak MЄОху (bod M patr? do roviny Oxy), potom sa aplik?cia bodu M rovn? nule: z=0.

Podobne, ak МЄОхz (bod M patr? do roviny Oxz), potom y = 0 a ak МЄОуz (bod M patr? do roviny Oyz), potom x = 0.

Ak МЄОх (bod M le?? na osi x), ordin?ta a aplik?cia bodu M sa rovnaj? nule: y=o a z=0. V na?om pr?klade je to bod C.

Ak МЄОу (bod M le?? na zvislej osi), potom x=0 a z=0. V na?om pr?klade je to bod E.

Ak МЄОz (bod M le?? na osi aplik?cie), potom x = 0 a y = 0. V na?om pr?klade je to bod F.

Ak s? v?etky tri s?radnice bodu M rovn? nule, potom to znamen?, ?e M=O (0; 0; 0) je po?iatkom s?radn?c.

Dan? s?radnice ?tyroch vrcholov kocky ABCDA 1 B 1 C 1 D 1: A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); Ai (1; 0; 0). N?jdite s?radnice zost?vaj?cich vrcholov kocky.

Ke??e obr?zok je kocka, v?etky strany s? rovn? jednej, v?etky steny s? ?tvorce.

Bod C patr? do roviny Oxy, to znamen?, ?e jeho s?radnica z sa rovn? nule, s?radnica x sa rovn? strane CD a rovn? sa AB, ?o znamen?, ?e sa rovn? jednej, s?radnica Y sa rovn? strane. kocky CB, ?o znamen?, ?e sa rovn? AD a rovn? sa jednej.

Podobne bod B 1 patr? do roviny Oxz, to znamen?, ?e jeho s?radnica y sa rovn? nule, s?radnica x sa rovn? strane, s?radnica x sa rovn? strane A1B1 a rovn? sa AB, ?o znamen? rovn? jedna, s?radnica z sa rovn? strane kocky B B1, ?o znamen? rovn? AA1 a rovn? jednej.

Bod D 1 patr? do roviny Oyz, to znamen?, ?e jeho s?radnica x sa rovn? nule, s?radnica y sa rovn? strane A 1 D 1 a rovn? sa AD, ?o znamen?, ?e sa rovn? jednej, s?radnica z sa rovn? na stranu kocky A 1 B 1, ?o znamen?, ?e sa rovn? AB a rovn? sa jednej.

Bod C 1 nepatr? do ?iadnej roviny, to znamen?, ?e v?etky s?radnice s? odli?n? od nuly, s?radnica x sa rovn? strane C 1 D 1 a rovn? sa AB, ?o znamen?, ?e sa rovn? jednej, s?radnica y je rovn? strane kocky B 1 C 1, ?o znamen?, ?e sa rovn? AD a rovn? sa jednej, a s?radnica z sa rovn? strane CC 1, teda AA 1 a tie? sa rovn? jednej.

N?jdite s?radnice priemetov bodu C(; ;) do s?radnicov?ch rov?n Oxy, Oxz, Oyz a s?radnicov?ch os? Ox, Oy, Oz.

1) pust?me kolmice na rovinu Oxy - to je CN, na rovinu Oxz - CL a na rovinu Oyz - priamku CR.

Priemet bodu C do roviny Oxy je teda bod N a m? s?radnice x rovn? m?nus odmocnina troch, y rovn? m?nus odmocnine dva kr?t dva, z nule.

Priemet bodu C do roviny Oxz je bod L a m? s?radnice x sa rovn? m?nus odmocnina z troch, y sa rovn? nule, z sa rovn? odmocnine z piatich m?nus odmocnina z troch.

Priemet bodu C do roviny Oyz je bod R a m? s?radnice x rovn? nule, y sa rovn? m?nus odmocnina z dvoch kr?t dva, z sa rovn? odmocnine z piatich m?nus odmocnina z troch.

2) Z bodu N vedieme kolmice na os Ox - priamka NK, a na Oy - priamka NG a na os Oz kolmice z bodu R - to je priamka RP.

Priemet bodu C na os Ox - bod K m? s?radnice x rovn? m?nus odmocnine troch a y a z rovn? nule.

Priemet bodu C na os Oy - bod G m? s?radnice x a z rovn? nule, i sa rovn? m?nus odmocnine dvoch kr?t dva.

Priemet bodu C na os Oz - bod P m? s?radnice x a y rovn? nule, z rovn? odmocnine z piatich m?nus odmocnina troch.

Pravouhl? (in? n?zvy s? ploch?, dvojrozmern?) s?radnicov? syst?m, pomenovan? po franc?zskom vedcovi Descartovi (1596-1650) „kartezi?nsky s?radnicov? syst?m v rovine“, je tvoren? priese?n?kom roviny v pravom uhle (kolmice) dve ??seln? osi tak, ?e kladn? poloos jednej smeruje doprava (os x alebo s?radnica) a druh? nahor (os y alebo zvisl? os).

Priese?n?k os? sa zhoduje s bodom 0 ka?dej z nich a naz?va sa po?iatok s?radn?c.

Pre ka?d? z os? je zvolen? ?ubovo?n? mierka (jedin? segment d??ky). Ka?d? bod v rovine zodpoved? jedn?mu p?ru ??sel, ktor? sa naz?vaj? s?radnice tohto bodu v rovine. Naopak, ka?d? usporiadan? dvojica ??sel zodpoved? jedn?mu bodu v rovine, pre ktor? s? tieto ??sla s?radnicami.

Prv? s?radnica bodu sa naz?va ?se?ka tohto bodu a druh? s?radnica sa naz?va ordin?ta.

Cel? rovina s?radn?c je rozdelen? na 4 kvadranty (?tvrtiny). Kvadranty s? umiestnen? od prv?ho do ?tvrt?ho proti smeru hodinov?ch ru?i?iek (pozri obr?zok).

Ak chcete ur?i? s?radnice bodu, mus?te n?js? jeho vzdialenos? k ?se?ke a osi y. Ke??e vzdialenos? (najkrat?iu) ur?uje kolmica, potom sa dve kolmice (pomocn? ?iary na s?radnicovej rovine) zn??ia z bodu na osi tak, aby ich priese?n?k bol umiestnen?m dan?ho bodu v rovine s?radn?c. Priese?n?ky kolmic s osami sa naz?vaj? priemety bodu na s?radnicov? osi.

Prv? kvadrant je ohrani?en? kladn?mi poloosami ?se?ky a ordin?ty. Preto s?radnice bodov v tejto ?tvrtine roviny bud? kladn?
(znamienka „+“ a

Napr?klad bod M (2; 4) na obr?zku vy??ie.

Druh? kvadrant je obmedzen? z?pornou osou x a kladnou osou y. V d?sledku toho s?radnice bodov pozd?? osi x bud? z?porn? (znamienko „-“) a pozd?? osi y bud? kladn? (znamienko „+“).

Napr?klad bod C (-4; 1) na obr?zku vy??ie.

Tret? kvadrant je ohrani?en? z?pornou osou x a z?pornou osou y. V d?sledku toho bud? s?radnice bodov pozd?? osi x a y z?porn? (znamienka „-“ a „-“).

Napr?klad bod D (-6; -2) na obr?zku vy??ie.

?tvrt? kvadrant je ohrani?en? kladnou osou x a z?pornou osou y. V d?sledku toho bud? s?radnice bodov pozd?? osi x kladn? (znamienko „+“). a pozd?? zvislej osi - z?porn? (znamienko „-“).

Napr?klad bod R (3; -3) na obr?zku vy??ie.