Z?vere?n? vide? z dlhej s?rie lekci? o rie?en? logaritmick?ch rovn?c. Tentoraz budeme pracova? prim?rne s ODZ logaritmu - pr?ve z d?vodu nespr?vneho zoh?adnenia (alebo dokonca ignorovania) defini?nej dom?ny vznik? najviac ch?b pri rie?en? tak?chto probl?mov.

V tejto kr?tkej video lekcii sa pozrieme na pou??vanie vzorcov na s??tanie a od??tanie logaritmov a tie? sa budeme zaobera? zlomkov?mi racion?lnymi rovnicami, s ktor?mi m? ve?a ?tudentov tie? probl?my.

O ?om sa budeme bavi?? Hlavn? vzorec, ktor? by som chcel pochopi?, vyzer? takto:

log a (f g ) = log a f + log a g

Ide o ?tandardn? prechod od s??inu k s??tu logaritmov a sp??. Tento vzorec pravdepodobne pozn?te od ?pln?ho za?iatku ?t?dia logaritmov. M? to v?ak jeden h??ik.

Pokia? s? premenn? a, f a g oby?ajn? ??sla, nevznikaj? ?iadne probl?my. Tento vzorec funguje skvele.

Akon?hle sa v?ak namiesto f a g objavia funkcie, nast?va probl?m roz??renia alebo z??enia defini?n?ho oboru v z?vislosti od toho, ktor?m smerom transformova?. Pos??te sami: v logaritme nap?sanom v?avo je oblas? defin?cie nasledovn?:

fg > 0

Ale v sume nap?sanej vpravo je oblas? defin?cie u? trochu in?:

f > 0

g > 0

Tento s?bor po?iadaviek je pr?snej?? ako p?vodn?. V prvom pr?pade sa uspokoj?me s mo?nos?ou f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 sa vykon?).

Tak?e pri prechode z ?avej kon?trukcie na prav? doch?dza k z??eniu dom?ny defin?cie. Ak sme najprv mali s??et a prep??eme ho do tvaru s??inu, potom sa oblas? defin?cie roz?iruje.

In?mi slovami, v prvom pr?pade by sme mohli pr?s? o korene a v druhom by sme mohli z?ska? ?al?ie. Toto treba bra? do ?vahy pri rie?en? re?lnych logaritmick?ch rovn?c.

Tak?e prv? ?loha:

[Popis k obr?zku]

V?avo vid?me s??et logaritmov s pou?it?m rovnak?ho z?kladu. Preto je mo?n? prida? tieto logaritmy:

[Popis k obr?zku]

Ako vid?te, vpravo sme nahradili nulu pomocou vzorca:

a = log b b a

Upravme na?u rovnicu trochu viac:

log 4 (x - 5) 2 = log 4 1

Pred nami je kanonick? tvar logaritmickej rovnice; m??eme pre?iarknu? log a argumenty prirovna?:

(x - 5) 2 = 1

|x - 5| = 1

Pozn?mka: odkia? poch?dza modul? Dovo?te mi pripomen??, ?e odmocnina presn?ho ?tvorca sa rovn? modulu:

[Popis k obr?zku]

Potom rie?ime klasick? rovnicu s modulom:

|f | = g (g > 0) =>f = ±g

x - 5 = ±1 =>x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Tu s? dve kandid?tske odpovede. S? rie?en?m p?vodnej logaritmickej rovnice? V ?iadnom pr?pade!

Nem?me pr?vo necha? v?etko len tak a zap?sa? odpove?. Pozrite sa na krok, v ktorom nahrad?me s??et logaritmov jedn?m logaritmom s??inu argumentov. Probl?m je, ?e v p?vodn?ch v?razoch m?me funkcie. Preto by ste mali vy?adova?:

x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0.

Ke? sme transformovali produkt a z?skali presn? ?tvorec, po?iadavky sa zmenili:

(x - 5) 2 > 0

Kedy je t?to po?iadavka splnen?? ?no, takmer v?dy! Okrem pr?padu, ke? x - 5 = 0. To znamen? nerovnos? sa zn??i na jeden prepichnut? bod:

x - 5 ? 0 => x ? 5

Ako vid?te, rozsah defin?cie sa roz??ril, o ?om sme hovorili na samom za?iatku lekcie. V d?sledku toho sa m??u objavi? ?al?ie korene.

Ako m??ete zabr?ni? tomu, aby sa tieto extra korene objavili? Je to ve?mi jednoduch?: pozrieme sa na na?e z?skan? korene a porovn?me ich s dom?nou defin?cie p?vodnej rovnice. Po?me po??ta?:

x (x - 5) > 0

Budeme rie?i? pomocou intervalovej met?dy:

x (x - 5) = 0 => x = 0; x = 5

V?sledn? ??sla ozna??me na riadku. V?etky body ch?baj?, preto?e nerovnos? je pr?sna. Vezmite ?ubovo?n? ??slo v???ie ako 5 a nahra?te:

[Popis k obr?zku]

Zauj?maj? n?s intervaly (-?; 0) ? (5; ?). Ak ozna??me svoje korene na ?se?ke, uvid?me, ?e x = 4 n?m nevyhovuje, preto?e tento kore? le?? mimo oblasti defin?cie p?vodnej logaritmickej rovnice.

Vr?time sa k celku, pre?iarkneme kore? x = 4 a zap??eme odpove?: x = 6. Toto je kone?n? odpove? na p?vodn? logaritmick? rovnicu. To je v?etko, probl?m vyrie?en?.

Prejdime k druhej logaritmickej rovnici:

[Popis k obr?zku]

Po?me to vyrie?i?. V?imnite si, ?e prv? ?len je zlomok a druh? je rovnak? zlomok, ale prevr?ten?. Nez?aknite sa v?razu lgx - je to len desatinn? logaritmus, m??eme ho nap?sa?:

lgx = log 10 x

Ke??e m?me dva obr?ten? zlomky, navrhujem zavies? nov? premenn?:

[Popis k obr?zku]

Preto je mo?n? na?u rovnicu prep?sa? takto:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1)2/t = 0.

Ako vid?te, ?itate? zlomku je presn? ?tvorec. Zlomok sa rovn? nule, ke? jeho ?itate? je nula a jeho menovate? je nenulov?:

(t - 1)2 = 0; t ? 0

Po?me vyrie?i? prv? rovnicu:

t - 1 = 0;

t = 1.

T?to hodnota sp??a druh? po?iadavku. Preto m??eme poveda?, ?e sme na?u rovnicu ?plne vyrie?ili, ale len s oh?adom na premenn? t. Teraz si pripome?me, ?o to je:

[Popis k obr?zku]

Dostali sme pomer:

logx = 2 logx + 1

2 logx - logx = -1

logx = -1

Prin??ame t?to rovnicu do jej kanonickej podoby:

logx = log 10 -1

x = 10 -1 = 0,1

V d?sledku toho sme dostali jeden kore?, ktor? je teoreticky rie?en?m p?vodnej rovnice. St?le v?ak hrajme na istotu a nap??me dom?nu defin?cie p?vodnej rovnice:

[Popis k obr?zku]

Preto n?? kore? sp??a v?etky po?iadavky. Na?li sme rie?enie p?vodnej logaritmickej rovnice. Odpove?: x = 0,1. Probl?m je vyrie?en?.

V dne?nej lekcii je len jeden k???ov? bod: ke? pou?ijete vzorec na prechod z produktu na sumu a sp??, nezabudnite vzia? do ?vahy, ?e rozsah defin?cie sa m??e z??i? alebo roz??ri? v z?vislosti od toho, ktor?m smerom sa prechod uskuto?n?.

Ako pochopi?, ?o sa deje: kontrakcia alebo expanzia? Ve?mi jednoduch?. Ak predt?m boli funkcie spolu, ale teraz s? oddelen?, rozsah defin?cie sa z??il (preto?e existuje viac po?iadaviek). Ak najprv funkcie st?li oddelene a teraz s? spolu, potom sa oblas? defin?cie roz?iruje (na produkt sa kladie menej po?iadaviek ako na jednotliv? faktory).

Ber?c do ?vahy t?to pozn?mku, r?d by som poznamenal, ?e druh? logaritmick? rovnica tieto transform?cie v?bec nevy?aduje, to znamen?, ?e argumenty nikde neprid?vame ani nen?sob?me. Tu by som v?ak chcel upozorni? na ?al?iu ??asn? techniku, ktor? m??e v?razne zjednodu?i? rie?enie. Ide o nahradenie premennej.

Pam?tajte v?ak, ?e ?iadne substit?cie n?s neoslobodzuj? z rozsahu defin?cie. Preto sme po n?jden? v?etk?ch kore?ov nelenili a vr?tili sa k p?vodnej rovnici n?js? jej ODZ.

?asto sa pri nahr?dzan? premennej objav? nepr?jemn? chyba, ke? ?tudenti n?jdu hodnotu t a myslia si, ?e rie?enie je hotov?. V ?iadnom pr?pade!

Ke? n?jdete hodnotu t, mus?te sa vr?ti? k p?vodnej rovnici a zisti?, ?o sme t?mto p?smenom presne mysleli. V d?sledku toho mus?me vyrie?i? e?te jednu rovnicu, ktor? v?ak bude ove?a jednoduch?ia ako t? p?vodn?.

To je presne zmysel zavedenia novej premennej. P?vodn? rovnicu sme rozdelili na dve stredn?, z ktor?ch ka?d? m? ove?a jednoduch?ie rie?enie.

Ako rie?i? "vnoren?" logaritmick? rovnice

Dnes pokra?ujeme v ?t?diu logaritmick?ch rovn?c a budeme analyzova? kon?trukcie, ke? je jeden logaritmus pod znakom in?ho logaritmu. Obe rovnice budeme rie?i? pomocou kanonick?ho tvaru.

Dnes pokra?ujeme v ?t?diu logaritmick?ch rovn?c a budeme analyzova? kon?trukcie, ke? je jeden logaritmus pod znakom druh?ho. Obe rovnice budeme rie?i? pomocou kanonick?ho tvaru. Dovo?te mi pripomen??, ?e ak m?me najjednoduch?iu logaritmick? rovnicu v tvare log a f (x) = b, potom na vyrie?enie takejto rovnice vykon?me nasleduj?ce kroky. Najprv mus?me nahradi? ??slo b :

b = log a a b

Pozn?mka: a b je argument. Podobne v p?vodnej rovnici je argumentom funkcia f(x). Potom rovnicu prep??eme a z?skame t?to kon?trukciu:

log a f (x) = log a a b

Potom m??eme vykona? tret? krok - zbavi? sa logaritmick?ho znaku a jednoducho nap?sa?:

f (x) = a b

V d?sledku toho dostaneme nov? rovnicu. V tomto pr?pade nie s? na funkciu f (x) kladen? ?iadne obmedzenia. Napr?klad m??e nahradi? logaritmick? funkciu. A potom op?? dostaneme logaritmick? rovnicu, ktor? op?? zredukujeme na najjednoduch?iu formu a vyrie?ime cez kanonick? formu.

Dos? v?ak bolo textov. Po?me vyrie?i? skuto?n? probl?m. Tak?e ?loha ??slo 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Ako vid?te, m?me jednoduch? logaritmick? rovnicu. ?lohou f (x) je kon?trukcia 1 + 3 log 2 x a ?lohou ??sla b je ??slo 2 (?lohu a zohr?va aj dvojka). Prep??me tieto dve veci takto:

Je d?le?it? pochopi?, ?e prv? dve dvojky k n?m pri?li zo z?kladu logaritmu, t.j. ak by v p?vodnej rovnici bolo 5, dostali by sme, ?e 2 = log 5 5 2. Vo v?eobecnosti z?klad z?vis? v?lu?ne od logaritmu, ktor? bol p?vodne dan? v ?lohe. A v na?om pr?pade je to ??slo 2.

Tak?e prep??eme na?u logaritmick? rovnicu s prihliadnut?m na skuto?nos?, ?e tie dve napravo s? vlastne tie? logaritmy. Dostaneme:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Prejdime k posledn?mu kroku na?ej sch?my – zbavenie sa kanonickej formy. Dalo by sa poveda?, ?e zna?ky gu?atiny jednoducho pre?iarkneme. Z matematick?ho h?adiska v?ak nie je mo?n? „pre?iarknu? denn?k“ - spr?vnej?ie by bolo poveda?, ?e argumenty jednoducho porovn?vame:

1 + 3 log 2 x = 4

Odtia? m??eme ?ahko n?js? 3 denn?ky 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Op?? sme dostali najjednoduch?iu logaritmick? rovnicu, vr??me ju do kanonickej formy. Aby sme to dosiahli, mus?me vykona? nasleduj?ce zmeny:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Pre?o je na z?kladni dvojka? Preto?e v na?ej kanonickej rovnici v?avo je logaritmus presne so z?kladom 2. ?lohu prep??eme s prihliadnut?m na t?to skuto?nos?:

log 2 x = log 2 2

Op?? sa zbav?me logaritmick?ho znamienka, t.j. jednoducho zrovn?me argumenty. M?me na to pr?vo, preto?e z?kladne s? rovnak? a napravo ani na?avo neboli vykonan? ?iadne ?al?ie akcie:

To je v?etko! Probl?m je vyrie?en?. Na?li sme rie?enie logaritmickej rovnice.

Pozn?mka! Hoci sa v argumente objavuje premenn? x (t. j. existuj? po?iadavky na dom?nu defin?cie), nebudeme kl?s? ?iadne ?al?ie po?iadavky.

Ako som povedal vy??ie, t?to kontrola je nadbyto?n?, ak sa premenn? vyskytuje iba v jednom argumente iba s jedn?m logaritmom. V na?om pr?pade sa x skuto?ne vyskytuje iba v argumente a iba pod jedn?m znakom log. Preto nie s? potrebn? ?iadne dodato?n? kontroly.

Ak v?ak tejto met?de ned?verujete, m??ete ?ahko overi?, ?e x = 2 je skuto?ne kore?. Toto ??slo sta?? dosadi? do p?vodnej rovnice.

Prejdime k druhej rovnici, je to trochu zauj?mavej?ie:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = 1

Ak v?raz vo ve?kom logaritme ozna??me funkciou f (x), dostaneme najjednoduch?iu logaritmick? rovnicu, s ktorou sme za?ali dne?n? video lekciu. Preto m??eme pou?i? kanonick? formu, pre ktor? budeme musie? jednotku reprezentova? vo forme log 2 2 1 = log 2 2.

Prep??me na?u ve?k? rovnicu:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = log 2 2

Po?me pre? od znamienka logaritmu a porovnajme argumenty. M?me na to pr?vo, preto?e v?avo aj vpravo s? z?kladne rovnak?. Okrem toho si v?imnite, ?e log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x - 1) = 0

Op?? je pred nami najjednoduch?ia logaritmick? rovnica tvaru log a f (x) = b. Prejdime ku kanonickej forme, to znamen?, ?e nulu reprezentujeme v tvare log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Prep??eme na?u rovnicu a zbav?me sa logaritmick?ho znaku, pri?om argumenty zrovn?me:

log 1/2 (2x - 1) = log 1/2 1

2x - 1 = 1

Op?? sme dostali odpove? okam?ite. Nevy?aduj? sa ?iadne ?al?ie kontroly, preto?e v p?vodnej rovnici obsahuje funkciu ako argument iba jeden logaritmus.

Preto nie s? potrebn? ?iadne dodato?n? kontroly. M??eme bezpe?ne poveda?, ?e x = 1 je jedin?m kore?om tejto rovnice.

Ale ak by v druhom logaritme bola nejak? funkcia x namiesto ?tyroch (alebo 2x nebolo v argumente, ale v z?klade) - potom by bolo potrebn? skontrolova? defini?n? obor. V opa?nom pr?pade existuje ve?k? ?anca, ?e naraz?te na ?al?ie korene.

Odkia? poch?dzaj? tieto extra korene? Tento bod mus? by? pochopen? ve?mi jasne. Pozrite sa na p?vodn? rovnice: v?ade je funkcia x pod znamienkom logaritmu. V d?sledku toho, ke??e sme zap?sali log 2 x, automaticky sme nastavili po?iadavku x > 0. V opa?nom pr?pade tento z?znam jednoducho ned?va zmysel.

Ke? v?ak rie?ime logaritmick? rovnicu, zbav?me sa v?etk?ch log znakov a z?skame jednoduch? kon?trukcie. Nie s? tu stanoven? ?iadne obmedzenia, preto?e line?rna funkcia je definovan? pre ak?ko?vek hodnotu x.

Pr?ve tento probl?m, ke? je v?sledn? funkcia definovan? v?ade a v?dy, no p?vodn? nie je definovan? v?ade a nie v?dy, je d?vodom, pre?o pri rie?en? logaritmick?ch rovn?c ve?mi ?asto vznikaj? extra korene.

Ale opakujem e?te raz: toto sa deje iba v situ?cii, ke? je funkcia bu? v nieko?k?ch logaritmoch, alebo na b?ze jedn?ho z nich. V probl?moch, o ktor?ch dnes uva?ujeme, nie s? v z?sade ?iadne probl?my s roz??ren?m dom?ny defin?cie.

Pr?pady z r?znych d?vodov

T?to lekcia je venovan? zlo?itej??m ?trukt?ram. Logaritmy v dne?n?ch rovniciach sa u? nebud? rie?i? hne?, najsk?r bude potrebn? vykona? nejak? transform?cie.

Za?neme rie?i? logaritmick? rovnice s ?plne odli?n?mi z?kladmi, ktor? nie s? navz?jom presn?mi mocninami. Nedovo?te, aby v?s tak?to probl?my vystra?ili - ich rie?enie nie je o ni? ?a??ie ako najjednoduch?ie n?vrhy, o ktor?ch sme hovorili vy??ie.

Ale predt?m, ne? prejdeme priamo k probl?mom, dovo?te mi pripomen?? v?m vzorec na rie?enie najjednoduch??ch logaritmick?ch rovn?c pomocou kanonick?ho tvaru. Zv??te tak?to probl?m:

log a f (x) = b

D?le?it? je, ?e funkcia f (x) je len funkcia a ?lohou ??sel a a b by mali by? ??sla (bez ak?chko?vek premenn?ch x). Samozrejme, doslova za min?tu sa pozrieme na pr?pady, ke? namiesto premenn?ch a a b existuj? funkcie, ale o tom teraz nejde.

Ako si pam?t?me, ??slo b mus? by? nahraden? logaritmom k rovnak?mu z?kladu a, ktor? je v?avo. Toto sa rob? ve?mi jednoducho:

b = log a a b

Samozrejme, slov? „ak?ko?vek ??slo b“ a „ak?ko?vek ??slo a“ znamenaj? hodnoty, ktor? sp??aj? rozsah defin?cie. Konkr?tne v tejto rovnici hovor?me len o b?ze a > 0 a a ? 1.

T?to po?iadavka je v?ak splnen? automaticky, preto?e p?vodn? probl?m u? obsahuje logaritmus so z?kladom a - ur?ite bude v???? ako 0 a nie rovn? 1. Preto pokra?ujeme v rie?en? logaritmickej rovnice:

log a f (x) = log a a b

Tak?to z?pis sa naz?va kanonick? forma. Jeho pohodlie spo??va v tom, ?e sa m??eme okam?ite zbavi? znaku denn?ka porovnan?m argumentov:

f (x) = a b

Pr?ve t?to techniku teraz pou?ijeme na rie?enie logaritmick?ch rovn?c s premenliv?m z?kladom. Tak, po?me!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

?o bude ?alej? Niekto teraz povie, ?e mus?te vypo??ta? spr?vny logaritmus alebo ich zn??i? na rovnak? z?klad alebo nie?o in?. A skuto?ne, teraz mus?me privies? obe z?kladne do rovnakej formy - bu? 2 alebo 0,5. Nau?me sa v?ak raz a nav?dy nasleduj?ce pravidlo:

Ak s? v logaritmickej rovnici desatinn? ??sla, nezabudnite tieto zlomky previes? z desatinn?ho na be?n? z?pis. T?to transform?cia m??e v?razne zjednodu?i? rie?enie.

Tak?to prechod sa mus? vykona? okam?ite, e?te pred vykonan?m ak?chko?vek akci? alebo transform?ci?. Po?me sa pozrie?:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

?o n?m tak?to rekord d?va? 1/2 a 1/8 m??eme reprezentova? ako mocniny so z?porn?m exponentom:

[Popis k obr?zku]

Pred nami je kanonick? forma. Zrovn?me argumenty a dostaneme klasick? kvadratick? rovnicu:

x 2 + 4 x + 11 = 8

x 2 + 4 x + 3 = 0

M?me pred sebou nasleduj?cu kvadratick? rovnicu, ktor? mo?no ?ahko vyrie?i? pomocou Vietov?ch vzorcov. Na strednej ?kole by ste mali podobn? zobrazenia vidie? doslova ?stne:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

To je v?etko! P?vodn? logaritmick? rovnica bola vyrie?en?. M?me dva korene.

Pripom?nam, ?e v tomto pr?pade nie je potrebn? ur?ova? defini?n? obor, ke??e funkcia s premennou x je pr?tomn? len v jednom argumente. Preto sa rozsah defin?cie vykon?va automaticky.

Tak?e prv? rovnica je vyrie?en?. Prejdime k druh?mu:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 -1

Teraz si v?imnite, ?e argument prv?ho logaritmu mo?no zap?sa? aj ako mocninu so z?porn?m exponentom: 1/2 = 2 -1. Potom m??ete odobra? mocniny na oboch stran?ch rovnice a vydeli? v?etko -1:

[Popis k obr?zku]

A teraz sme dokon?ili ve?mi d?le?it? krok pri rie?en? logaritmickej rovnice. Mo?no si niekto nie?o nev?imol, tak mi to dovo?te vysvetli?.

Pozrite sa na na?u rovnicu: v?avo aj vpravo je logaritmus, ale v?avo je logaritmus so z?kladom 2 a vpravo je logaritmus so z?kladom 3. Trojka nie je celo??seln? mocnina ??sla dva a naopak, nem??ete nap?sa?, ?e 2 je 3 v celo??seln?ch stup?och.

V d?sledku toho ide o logaritmy s r?znymi z?klad?ami, ktor? nemo?no redukova? na seba jednoduch?m s??tan?m mocn?n. Jedin? sp?sob, ako vyrie?i? tak?to probl?my, je zbavi? sa jedn?ho z t?chto logaritmov. V tomto pr?pade, ke??e st?le uva?ujeme o pomerne jednoduch?ch probl?moch, logaritmus vpravo bol jednoducho vypo??tan? a dostali sme najjednoduch?iu rovnicu - presne t?, o ktorej sme hovorili na samom za?iatku dne?nej lekcie.

Predstavme si ??slo 2, ktor? je vpravo, ako log 2 2 2 = log 2 4. A potom sa zbav?me logaritmick?ho znamienka, po ktorom n?m jednoducho zostane kvadratick? rovnica:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

M?me pred sebou oby?ajn? kvadratick? rovnicu, ktor? v?ak nie je redukovan?, preto?e koeficient x 2 je odli?n? od jednoty. Preto to vyrie?ime pomocou diskriminantu:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (-9 - 11)/10 = -2

To je v?etko! Na?li sme oba korene, ?o znamen?, ?e sme z?skali rie?enie p?vodnej logaritmickej rovnice. Skuto?ne, v p?vodnom probl?me je funkcia s premennou x pr?tomn? iba v jednom argumente. V d?sledku toho nie s? potrebn? ?iadne ?al?ie kontroly v oblasti defin?cie - oba korene, ktor? sme na?li, ur?ite sp??aj? v?etky mo?n? obmedzenia.

Toto by mohol by? koniec dne?nej video lekcie, ale na z?ver by som chcel e?te raz poveda?: pri rie?en? logaritmick?ch rovn?c nezabudnite previes? v?etky desatinn? zlomky na oby?ajn? zlomky. Vo v???ine pr?padov to zna?ne zjednodu?uje ich rie?enie.

Zriedkavo, ve?mi zriedkavo sa stretnete s probl?mami, pri ktor?ch zbavenie sa desatinn?ch zlomkov len skomplikuje v?po?ty. V tak?chto rovniciach je v?ak spravidla na za?iatku jasn?, ?e nie je potrebn? zbavi? sa desatinn?ch zlomkov.

Vo v???ine ostatn?ch pr?padov (najm? ak pr?ve za??nate precvi?ova? rie?enie logaritmick?ch rovn?c) sa k?udne zbavte desatinn?ch miest a preve?te ich na oby?ajn?. Prax toti? ukazuje, ?e takto si v?razne zjednodu??te n?sledn? rie?enie a v?po?ty.

Jemnosti a triky rie?enia

Dnes prejdeme k zlo?itej??m probl?mom a budeme rie?i? logaritmick? rovnicu, ktor? nie je zalo?en? na ??sle, ale na funkcii.

A aj ke? je t?to funkcia line?rna, bude potrebn? urobi? mal? zmeny v sch?me rie?enia, ktorej v?znam sa scvrk?va na dodato?n? po?iadavky kladen? na oblas? defin?cie logaritmu.

Komplexn? ?lohy

Tento tutori?l bude dos? dlh?. V nej rozoberieme dve dos? v??ne logaritmick? rovnice, pri ktor?ch rie?en? sa mnoh? ?tudenti m?lia. Po?as mojej praxe u?ite?a matematiky som sa neust?le stret?val s dvomi typmi ch?b:

1. V?skyt extra kore?ov v d?sledku roz??renia dom?ny defin?cie logaritmov. Aby ste sa vyhli tak?mto ?to?n?m chyb?m, sta?? starostlivo sledova? ka?d? transform?ciu;
2. Strata kore?ov v d?sledku skuto?nosti, ?e ?tudent zabudol zv??i? niektor? „jemn?“ pr?pady - to s? situ?cie, na ktor? sa dnes zameriame.

Toto je posledn? lekcia o logaritmick?ch rovniciach. Bude to dlh?, budeme analyzova? zlo?it? logaritmick? rovnice. Urobte si pohodlie, uvarte si ?aj a za?nime.

Prv? rovnica vyzer? celkom ?tandardne:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Okam?ite si v?imnime, ?e oba logaritmy s? navz?jom obr?ten?mi k?piami. Pripome?me si ??asn? vzorec:

log a b = 1/log b a

Tento vzorec m? v?ak mno?stvo obmedzen?, ktor? vznikaj?, ak namiesto ??sel a a b existuj? funkcie premennej x:

b > 0

1 ? a > 0

Tieto po?iadavky platia pre z?klad logaritmu. Na druhej strane, v zlomku mus?me ma? 1 ? a > 0, preto?e nielen premenn? a je v argumente logaritmu (preto a > 0), ale samotn? logaritmus je v menovateli zlomku . Ale log b 1 = 0 a menovate? mus? by? nenulov?, tak?e a ? 1.

Obmedzenia t?kaj?ce sa premennej a teda zost?vaj?. ?o sa v?ak stane s premennou b? Na jednej strane z?klad implikuje b > 0, na druhej strane premenn? b ? 1, preto?e z?klad logaritmu mus? by? odli?n? od 1. Celkovo z pravej strany vzorca vypl?va, ?e 1 ? b > 0.

Ale tu je probl?m: druh? po?iadavka (b ? 1) ch?ba v prvej nerovnosti, ktor? sa zaober? ?av?m logaritmom. In?mi slovami, pri vykon?van? tejto transform?cie mus?me skontrolujte samostatne, ?e argument b je in? ako jedna!

Po?me si to teda overi?. Aplikujme n?? vzorec:

[Popis k obr?zku]

1 ? x - 0,5 > 0; 1 ? x + 1 > 0

Tak?e u? z p?vodnej logaritmickej rovnice vypl?va, ?e a aj b musia by? v???ie ako 0 a nie rovn? 1. To znamen?, ?e logaritmick? rovnicu m??eme ?ahko prevr?ti?:

Navrhujem zavies? nov? premenn?:

log x + 1 (x - 0,5) = t

V tomto pr?pade bude na?a kon?trukcia prep?san? nasledovne:

(t2-1)/t = 0

V?imnite si, ?e v ?itateli m?me rozdiel druh?ch mocn?n. Rozdiel ?tvorcov odhal?me pomocou skr?ten?ho vzorca n?sobenia:

(t - 1) (t + 1)/t = 0

Zlomok sa rovn? nule, ke? je jeho ?itate? nulov? a menovate? nenulov?. Ale ?itate? obsahuje s??in, tak?e ka?d? faktor prirovn?me k nule:

ti = 1;

t2 = -1;

t ? 0.

Ako vid?me, obe hodnoty premennej t n?m vyhovuj?. T?m sa v?ak rie?enie nekon??, preto?e potrebujeme n?js? nie t, ale hodnotu x. Vr?time sa k logaritmu a dostaneme:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x - 0,5) = -1.

Dajme ka?d? z t?chto rovn?c v kanonickom tvare:

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) -1

Zbav?me sa logaritmick?ho znamienka v prvom pr?pade a prirovn?me argumenty:

x - 0,5 = x + 1;

x - x = 1 + 0,5;

Tak?to rovnica nem? korene, preto ani prv? logaritmick? rovnica nem? korene. Ale s druhou rovnicou je v?etko ove?a zauj?mavej?ie:

(x - 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Vyrie?en?m pomeru dostaneme:

(x - 0,5) (x + 1) = 1

Dovo?te mi pripomen??, ?e pri rie?en? logaritmick?ch rovn?c je ove?a pohodlnej?ie pou?i? v?etky desatinn? zlomky ako oby?ajn?, tak?e prep??me na?u rovnicu takto:

(x - 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2 x - 3/2 = 0.

M?me pred sebou ni??ie uveden? kvadratick? rovnicu, ktor? mo?no ?ahko vyrie?i? pomocou Vietov?ch vzorcov:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1,5;

x 2 = 1.

M?me dva korene - s? kandid?tmi na rie?enie p?vodnej logaritmickej rovnice. Aby sme pochopili, ak? korene bud? v skuto?nosti siaha? do odpovede, vr??me sa k p?vodn?mu probl?mu. Teraz skontrolujeme ka?d? z na?ich kore?ov, aby sme zistili, ?i zapadaj? do dom?ny defin?cie:

1,5 ? x > 0,5; 0 ? x > -1.

Tieto po?iadavky sa rovnaj? dvojitej nerovnosti:

1 ? x > 0,5

Odtia?to hne? vid?me, ?e odmocnina x = -1,5 n?m nevyhovuje, ale x = 1 n?m celkom vyhovuje. Preto x = 1 je kone?n?m rie?en?m logaritmickej rovnice.

Prejdime k druhej ?lohe:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Na prv? poh?ad sa m??e zda?, ?e v?etky logaritmy maj? r?zne z?klady a r?zne argumenty. ?o robi? s tak?mito ?trukt?rami? Najprv si v?imnite, ?e ??sla 25, 5 a 625 s? mocniny 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Teraz vyu?ime ??asn? vlastnos? logaritmu. Ide o to, ?e z argumentu m??ete z?ska? pr?vomoci vo forme faktorov:

log a b n = n ? log a b

T?to transform?cia tie? podlieha obmedzeniam v pr?pade, ?e b je nahraden? funkciou. Ale pre n?s je b len ??slo a nevznikaj? ?iadne ?al?ie obmedzenia. Prep??me na?u rovnicu:

2 ? log x 5 + log 125 x 5 = 4 ? log 25 x 5

Z?skali sme rovnicu s tromi ?lenmi obsahuj?cimi znamienko log. Okrem toho s? argumenty v?etk?ch troch logaritmov rovnak?.

Je ?as obr?ti? logaritmy, aby sa dostali na rovnak? z?klad - 5. Ke??e premenn? b je kon?tanta, nenastan? ?iadne zmeny v oblasti defin?cie. Len prep??eme:

[Popis k obr?zku]

Pod?a o?ak?vania sa v menovateli objavili rovnak? logaritmy. Navrhujem nahradi? premenn?:

log 5 x = t

V tomto pr?pade bude na?a rovnica prep?san? takto:

Vyp??eme ?itate?a a otvor?me z?tvorky:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4 t (t + 3) = 2 (t 2 + 5 t + 6) + t 2 + 2 t - 4 t 2 - 12 t = 2 t 2 + 10 t + 12 + t2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12

Vr??me sa k na?ej frakcii. ?itate? mus? by? nula:

[Popis k obr?zku]

A menovate? sa l??i od nuly:

t ? 0; t ? -3; t ? -2

Posledn? po?iadavky s? splnen? automaticky, preto?e s? v?etky „viazan?“ na cel? ??sla a v?etky odpovede s? iracion?lne.

?i?e zlomkov? racion?lna rovnica bola vyrie?en?, boli n?jden? hodnoty premennej t. Vr??me sa k rie?eniu logaritmickej rovnice a zapam?tajte si, ?o je t:

[Popis k obr?zku]

T?to rovnicu zredukujeme na kanonick? formu a z?skame ??slo s iracion?lnym stup?om. Nenechajte sa zmias? – aj tak?to argumenty mo?no prirovna?:

[Popis k obr?zku]

M?me dva korene. Presnej?ie, dve kandid?tske odpovede – skontrolujme ich, ?i s? v s?lade s dom?nou defin?cie. Ke??e z?kladom logaritmu je premenn? x, po?adujeme nasledovn?:

1 ? x > 0;

S rovnak?m ?spechom tvrd?me, ?e x ? 1/125, inak sa z?klad druh?ho logaritmu zmen? na jednotu. Nakoniec x ? 1/25 pre tret? logaritmus.

Celkovo sme dostali ?tyri obmedzenia:

1 ? x > 0; x ? 1/125; x ? 1/25

Teraz ot?zka znie: sp??aj? na?e korene tieto po?iadavky? Samozrejme, ?e uspokoja! Preto?e 5 na ak?ko?vek mocninu bude v???ie ako nula a po?iadavka x > 0 je splnen? automaticky.

Na druhej strane 1 = 5 0, 1/25 = 5 -2, 1/125 = 5 -3, ?o znamen?, ?e tieto obmedzenia pre na?e korene (ktor?, pripom?nam, maj? v exponente iracion?lne ??slo) s? tie? spokojn? a obe odpovede s? rie?eniami probl?mu.

Tak?e m?me kone?n? odpove?. V tejto ?lohe s? dva k???ov? body:

1. Bu?te opatrn? pri prekl?pan? logaritmu, ke? s? argument a z?klad zamenen?. Tak?to transform?cie ukladaj? zbyto?n? obmedzenia rozsahu defin?cie.
2. Nebojte sa transformova? logaritmy: daj? sa nielen obr?ti?, ale aj roz??ri? pomocou s??tov?ho vzorca a vo v?eobecnosti zmeni? pomocou ak?chko?vek vzorcov, ktor? ste ?tudovali pri rie?en? logaritmick?ch v?razov. V?dy si v?ak pam?tajte: niektor? transform?cie roz?iruj? rozsah defin?cie a niektor? ho zu?uj?.

Logaritmick? v?razy, rie?enie pr?kladov. V tomto ?l?nku sa pozrieme na probl?my s?visiace s rie?en?m logaritmov. ?lohy klad? ot?zku h?adania v?znamu v?razu. Treba poznamena?, ?e koncept logaritmu sa pou??va v mnoh?ch ?loh?ch a pochopenie jeho v?znamu je mimoriadne d?le?it?. Pokia? ide o jednotn? ?t?tnu sk??ku, logaritmus sa pou??va pri rie?en? rovn?c, v aplikovan?ch ?loh?ch a tie? v ?loh?ch s?visiacich so ?t?diom funkci?.

Uve?me pr?klady, aby sme pochopili samotn? v?znam logaritmu:

Z?kladn? logaritmick? identita:

Vlastnosti logaritmov, ktor? si treba v?dy zapam?ta?:

*Logaritmus s??inu sa rovn? s??tu logaritmov faktorov.

* * *

*Logaritmus kvocientu (zlomku) sa rovn? rozdielu medzi logaritmami faktorov.

* * *

*Logaritmus exponentu sa rovn? s??inu exponentu a logaritmu jeho z?kladu.

* * *

*Prechod na nov? z?klad

* * *

?al?ie vlastnosti:

* * *

V?po?et logaritmov ?zko s?vis? s vyu?it?m vlastnost? exponentov.

Uve?me si niektor? z nich:

Podstatou tejto vlastnosti je, ?e pri prenesen? ?itate?a do menovate?a a naopak sa znamienko exponentu zmen? na opa?n?. Napr?klad:

D?sledok tejto vlastnosti:

* * *

Pri zv??en? mocniny na mocninu zost?va z?klad rovnak?, ale exponenty sa n?sobia.

* * *

Ako ste videli, samotn? koncept logaritmu je jednoduch?. Hlavn? vec je, ?e potrebujete dobr? prax, ktor? v?m d?va ur?it? zru?nos?. Samozrejme je potrebn? znalos? vzorcov. Ak zru?nos? v prevode element?rnych logaritmov nebola vyvinut?, potom pri rie?en? jednoduch?ch ?loh m??ete ?ahko urobi? chybu.

Cvi?te, rie?te najsk?r najjednoduch?ie pr?klady z kurzu matematiky, potom prejdite na zlo?itej?ie. V bud?cnosti ur?ite uk??em, ako sa rie?ia „?kared?“ logaritmy; tieto sa s?ce na Jednotnej ?t?tnej sk??ke neobjavia, ale s? zauj?mav?, nenechajte si ich ujs?!

To je v?etko! Ve?a ??astia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh

P.S: Bol by som v?a?n?, keby ste mi o str?nke povedali na soci?lnych sie?ach.

Logaritmus ??sla b (b > 0) na z?klad a (a > 0, a ? 1)– exponent, na ktor? treba zv??i? ??slo a, aby sme z?skali b.

Logaritmus z?kladu 10 z b mo?no zap?sa? ako log(b) a logaritmus k z?kladu e (prirodzen? logaritmus) je ln(b).

?asto sa pou??va pri rie?en? probl?mov s logaritmami:

Vlastnosti logaritmov

Existuj? ?tyri hlavn? vlastnosti logaritmov.

Nech a > 0, a ? 1, x > 0 a y > 0.

Vlastnos? 1. Logaritmus s??inu

Logaritmus produktu rovn? sa s??tu logaritmov:

log a (x ? y) = log a x + log a y

Vlastnos? 2. Logaritmus kvocientu

Logaritmus kvocientu rovn? sa rozdielu logaritmov:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vlastnos? 3. Logaritmus sily

Logaritmus stup?ov rovn? s??inu mocniny a logaritmu:

Ak je z?klad logaritmu v stup?och, potom plat? in? vzorec:

Vlastnos? 4. Logaritmus kore?a

T?to vlastnos? mo?no z?ska? z vlastnosti logaritmu mocniny, preto?e n-t? odmocnina sa rovn? mocnine 1/n:

Vzorec na prevod z logaritmu v jednom z?klade na logaritmus v inom z?klade

Tento vzorec sa tie? ?asto pou??va pri rie?en? r?znych ?loh na logaritmoch:

?peci?lny pr?pad:

Porovnanie logaritmov (nerovnosti)

Majme 2 funkcie f(x) a g(x) pod logaritmami s rovnak?mi z?klad?ami a medzi nimi je znamienko nerovnosti:

Ak ich chcete porovna?, mus?te sa najprv pozrie? na z?klad logaritmov a:

• Ak a > 0, potom f(x) > g(x) > 0
• Ak 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Ako rie?i? probl?my s logaritmami: pr?klady

Probl?my s logaritmami zaradenej do Jednotnej ?t?tnej sk??ky z matematiky pre 11. ro?n?k v ?lohe 5 a ?lohe 7, ?lohy s rie?en?m n?jdete na na?ej str?nke v pr?slu?n?ch sekci?ch. V banke matematick?ch ?loh sa nach?dzaj? aj ?lohy s logaritmami. V?etky pr?klady n?jdete na str?nke.

?o je logaritmus

Logaritmy boli v?dy pova?ovan? za zlo?it? t?mu v ?kolsk?ch kurzoch matematiky. Existuje mnoho r?znych defin?ci? logaritmu, ale z nejak?ho d?vodu v???ina u?ebn?c pou??va najzlo?itej?ie a ne?spe?n? z nich.

Logaritmus definujeme jednoducho a jasne. Ak to chcete urobi?, vytvorte tabu?ku:

Tak?e m?me mocniny dvoch.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, ako rie?i?

Ak vezmete ??slo zo spodn?ho riadku, ?ahko n?jdete moc, na ktor? budete musie? zv??i? dvojku, aby ste toto ??slo z?skali. Napr?klad, ak chcete z?ska? 16, mus?te zv??i? dve na ?tvrt? mocninu. A aby ste z?skali 64, mus?te zv??i? dve na ?iestu mocninu. To je mo?n? vidie? z tabu?ky.

A teraz vlastne defin?cia logaritmu:

z?klad a argumentu x je mocnina, na ktor? sa ??slo a mus? zv??i?, aby sa z?skalo ??slo x.

Ozna?enie: log a x = b, kde a je z?klad, x je argument, b je to, ?omu sa v skuto?nosti rovn? logaritmus.

Napr?klad 2 3 = 8 =>log 2 8 = 3 (z?kladn? 2 logaritmus ??sla 8 je tri, preto?e 2 3 = 8). S rovnak?m ?spechom log 2 64 = 6, preto?e 2 6 = 64.

Zavol? sa oper?cia h?adania logaritmu ??sla k dan?mu z?kladu. Pridajme teda do tabu?ky nov? riadok:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Bohu?ia?, nie v?etky logaritmy sa po??taj? tak ?ahko. Sk?ste napr?klad n?js? log 2 5. ??slo 5 nie je v tabu?ke, ale logika diktuje, ?e logaritmus bude le?a? niekde na intervale. Preto?e 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tak?to ??sla sa naz?vaj? iracion?lne: ??sla za desatinnou ?iarkou mo?no p?sa? do nekone?na a nikdy sa neopakuj?. Ak sa logaritmus uk??e ako iracion?lny, je lep?ie ho necha? tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je d?le?it? pochopi?, ?e logaritmus je v?raz s dvoma premenn?mi (z?klad a argument). Mnoho ?ud? si spo?iatku m?tie, kde je z?klad a kde argument. Aby ste predi?li nepr?jemn?m nedorozumeniam, pozrite sa na obr?zok:

Pred nami nie je ni? in? ako defin?cia logaritmu. Pam?tajte: logaritmus je sila, do ktor?ho mus? by? z?klad?a zabudovan?, aby sa z?skal argument. Je to podstavec, ktor? je mocne vyv??en? - na obr?zku je zv?raznen? ?ervenou farbou. Ukazuje sa, ?e z?klad?a je v?dy na dne! Hne? na prvej hodine poviem svojim ?tudentom toto ??asn? pravidlo – a nevznikne zm?tok.

Ako po??ta? logaritmy

Defin?ciu sme si vymysleli – ost?va u? len nau?i? sa po??ta? logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na za?iatok si v?imneme, ?e z defin?cie vypl?vaj? dve d?le?it? skuto?nosti:

1. Argument a z?klad musia by? v?dy v???ie ako nula. Vypl?va to z defin?cie stup?a racion?lnym exponentom, na ktor? je redukovan? defin?cia logaritmu.
2. Z?klad mus? by? odli?n? od jedn?ho, preto?e jeden v akomko?vek stupni st?le zost?va jedn?m. Z tohto d?vodu je ot?zka „na ak? silu treba pozdvihn??, aby sme dostali dve“ nezmyseln?. Tak? stupe? neexistuje!

Tak?to obmedzenia s? tzv rozsah prijate?n?ch hodn?t(ODZ). Ukazuje sa, ?e ODZ logaritmu vyzer? takto: log a x = b =>x > 0, a > 0, a ? 1.

V?imnite si, ?e neexistuj? ?iadne obmedzenia na ??slo b (hodnota logaritmu). Napr?klad logaritmus m??e by? z?porn?: log 2 0,5 = -1, preto?e 0,5 = 2 -1.

Teraz v?ak uva?ujeme iba o ??seln?ch v?razoch, kde nie je potrebn? pozna? VA logaritmu. V?etky obmedzenia u? autori probl?mov zoh?adnili. Ke? v?ak do hry vst?pia logaritmick? rovnice a nerovnosti, po?iadavky DL sa stan? povinn?mi. Koniec koncov, z?klad a argument m??e obsahova? ve?mi siln? kon?trukcie, ktor? nemusia nevyhnutne zodpoveda? vy??ie uveden?m obmedzeniam.

Teraz sa pozrime na v?eobecn? sch?mu v?po?tu logaritmov. Pozost?va z troch krokov:

1. Vyjadrite z?klad a a argument x ako mocninu s minim?lnym mo?n?m z?kladom v????m ako jedna. Po ceste je lep?ie zbavi? sa desatinn?ch miest;
2. Rie?te rovnicu pre premenn? b: x = a b ;
3. V?sledn? ??slo b bude odpove?ou.

To je v?etko! Ak sa logaritmus uk??e ako iracion?lny, bude to vidite?n? u? v prvom kroku. Po?iadavka, aby bol z?klad v???? ako jedna, je ve?mi d?le?it?: zni?uje sa t?m pravdepodobnos? chyby a v?razne sa zjednodu?uj? v?po?ty. Je to rovnak? s desatinn?mi zlomkami: ak ich okam?ite prevediete na oby?ajn?, bude ove?a menej ch?b.

Pozrime sa, ako t?to sch?ma funguje na konkr?tnych pr?kladoch:

?loha. Vypo??tajte logaritmus: log 5 25

1. Predstavme si z?klad a argument ako mocninu p??ky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Po?me vytvori? a vyrie?i? rovnicu:
log 5 25 = b =>(5 1) b = 5 2 =>5 b = 5 2 => b = 2;

2. Dostali sme odpove?: 2.

?loha. Vypo??tajte logaritmus:

?loha. Vypo??tajte logaritmus: log 4 64

1. Predstavme si z?klad a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Po?me vytvori? a vyrie?i? rovnicu:
   log 4 64 = b =>(2 2) b = 2 6 =>2 2b = 2 6 =>2b = 6 => b = 3;
3. Dostali sme odpove?: 3.

?loha. Vypo??tajte logaritmus: log 16 1

1. Predstavme si z?klad a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Po?me vytvori? a vyrie?i? rovnicu:
   log 16 1 = b =>(2 4) b = 2 0 =>2 4b = 2 0 =>4b = 0 => b = 0;
3. Dostali sme odpove?: 0.

?loha. Vypo??tajte logaritmus: log 7 14

1. Predstavme si z?klad a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nem??e by? vyjadren? ako mocnina siedmich, preto?e 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z predch?dzaj?ceho odseku vypl?va, ?e logaritmus sa nepo??ta;
3. Odpove? je ?iadna zmena: log 7 14.

Mal? pozn?mka k posledn?mu pr?kladu. Ako si m??ete by? ist?, ?e ??slo nie je presnou mocninou in?ho ??sla? Je to ve?mi jednoduch? – sta?? to zapo??ta? do hlavn?ch faktorov. Ak m? expanzia aspo? dva r?zne faktory, ??slo nie je presnou mocninou.

?loha. Zistite, ?i s? ??sla presn? mocniny: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - presn? stupe?, preto?e existuje len jeden multiplik?tor;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nie je presn? mocnina, preto?e existuj? dva faktory: 3 a 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - presn? stupe?;
35 = 7 · 5 - op?? nie presn? mocnina;
14 = 7 · 2 - op?? nie presn? stupe?;

V?imnite si tie?, ?e samotn? prvo??sla s? v?dy presn? mocniny sam?ch seba.

Desatinn? logaritmus

Niektor? logaritmy s? tak? be?n?, ?e maj? ?peci?lny n?zov a symbol.

argumentu x je logaritmus so z?kladom 10, t.j. Mocnina, na ktor? treba zv??i? ??slo 10, aby sme z?skali ??slo x. Ozna?enie: lg x.

Napr?klad log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - at?.

Ke? sa odteraz v u?ebnici objav? fr?za ako „N?js? lg 0,01“, vedzte, ?e to nie je preklep. Toto je desiatkov? logaritmus. Ak v?ak tento z?pis nepozn?te, v?dy ho m??ete prep?sa?:
log x = log 10 x

V?etko, ?o plat? pre be?n? logaritmy, plat? aj pre desiatkov? logaritmy.

Prirodzen? logaritmus

Existuje ?al?? logaritmus, ktor? m? svoje vlastn? ozna?enie. V niektor?ch oh?adoch je to e?te d?le?itej?ie ako desatinn? ??slo. Hovor?me o prirodzenom logaritme.

argumentu x je logaritmus so z?kladom e, t.j. mocnina, na ktor? treba zv??i? ??slo e, aby sme z?skali ??slo x. Ozna?enie: ln x.

Mnoho ?ud? sa bude p?ta?: ak? je ??slo e? Toto je iracion?lne ??slo, jeho presn? hodnotu nemo?no n?js? a zap?sa?. Uvediem len prv? ??sla:
e = 2,718281828459…

Nebudeme sa podrobne zaobera? t?m, ?o je toto ??slo a pre?o je potrebn?. Pam?tajte, ?e e je z?kladom prirodzen?ho logaritmu:
ln x = log e x

Teda ln e = 1; lne2 = 2; ln e 16 = 16 - at?. Na druhej strane, ln 2 je iracion?lne ??slo. Vo v?eobecnosti je prirodzen? logaritmus ak?hoko?vek racion?lneho ??sla iracion?lny. Samozrejme okrem jedn?ho: ln 1 = 0.

Pre prirodzen? logaritmy platia v?etky pravidl?, ktor? platia pre be?n? logaritmy.

Pozri tie?:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnos? logaritmu).

Ako zn?zorni? ??slo ako logaritmus?

Pou??vame defin?ciu logaritmu.

Logaritmus je exponent, na ktor? sa mus? z?klad zv??i?, aby sa z?skalo ??slo pod znamienkom logaritmu.

Ak teda chcete reprezentova? ur?it? ??slo c ako logaritmus k z?kladu a, mus?te pod znamienko logaritmu vlo?i? mocninu s rovnak?m z?kladom ako z?klad logaritmu a zap?sa? toto ??slo c ako exponent:

Absol?tne ak?ko?vek ??slo m??e by? reprezentovan? ako logaritmus - kladn?, z?porn?, cel? ??slo, zlomkov?, racion?lne, iracion?lne:

Aby ste si nezamie?ali a a c v stresuj?cich podmienkach testu alebo sk??ky, m??ete pou?i? nasleduj?ce pravidlo zapam?tania:

?o je dole, ide dole, ?o je hore, ide hore.

Napr?klad mus?te reprezentova? ??slo 2 ako logaritmus k z?kladu 3.

M?me dve ??sla - 2 a 3. Tieto ??sla s? z?klad a exponent, ktor? zap??eme pod znamienko logaritmu. Zost?va ur?i?, ktor? z t?chto ??sel sa m? zap?sa? do z?kladu stup?a a ktor? – a? do exponentu.

Z?klad 3 v z?pise logaritmu je dole, ?o znamen?, ?e ke? zad?me dvojku ako logaritmus k z?kladu 3, zap??eme aj 3 k z?kladu.

2 je vy??? ako tri. A v z?pise stup?a dva p??eme nad tri, teda ako exponent:

Logaritmy. Prv? ?rove?.

Logaritmy

Logaritmus kladn? ??slo b zalo?en? na a, Kde a > 0, a ? 1, sa naz?va exponent, na ktor? sa mus? ??slo zv??i? a, Z?ska? b.

Defin?cia logaritmu d? sa to stru?ne nap?sa? takto:

T?to rovnos? plat? pre b > 0, a > 0, a ? 1. Zvy?ajne sa to naz?va logaritmick? identita.
Vol? sa akcia n?jdenia logaritmu ??sla pomocou logaritmu.

Vlastnosti logaritmov:

Logaritmus produktu:

Logaritmus kvocientu:

V?mena logaritmickej z?kladne:

Logaritmus stup?ov:

Logaritmus kore?a:

Logaritmus s v?konovou z?klad?ou:

Desatinn? a prirodzen? logaritmy.

Desatinn? logaritmus??sla volaj? logaritmus tohto ??sla so z?kladom 10 a p??u   lg b
Prirodzen? logaritmus??sla sa naz?vaj? logaritmus tohto ??sla so z?kladom e, Kde e- iracion?lne ??slo pribli?ne rovn? 2,7. Z?rove? p??u ln b.

?al?ie pozn?mky o algebre a geometrii

Z?kladn? vlastnosti logaritmov

Z?kladn? vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako v?etky ??sla, sa daj? s??ta?, od??ta? a transformova? v?etk?mi sp?sobmi. Ale ke??e logaritmy nie s? ?plne oby?ajn? ??sla, existuj? tu pravidl?, ktor? sa naz?vaj? hlavn? vlastnosti.

Tieto pravidl? ur?ite mus?te pozna? – bez nich sa ned? vyrie?i? ani jeden v??ny logaritmick? probl?m. Navy?e je ich ve?mi m?lo – v?etko sa d? nau?i? za jeden de?. Tak po?me na to.

S??tanie a od??tanie logaritmov

Uva?ujme dva logaritmy s rovnak?mi z?klad?ami: log a x a log a y. Potom ich mo?no s??ta? a od??ta? a:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

S??et logaritmov sa teda rovn? logaritmu s??inu a rozdiel sa rovn? logaritmu kvocientu. Pozn?mka: k???ov? bod je tu rovnak? d?vody. Ak s? d?vody in?, tieto pravidl? nefunguj?!

Tieto vzorce v?m pom??u vypo??ta? logaritmick? v?raz, aj ke? sa neber? do ?vahy jeho jednotliv? ?asti (pozri lekciu „?o je to logaritmus“). Pozrite sa na pr?klady a uvid?te:

Denn?k 6 4 + denn?k 6 9.

Ke??e logaritmy maj? rovnak? z?klady, pou?ijeme s??tov? vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 2 48 - log 2 3.

Z?klady s? rovnak?, pou??vame rozdielov? vzorec:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 3 135 - log 3 5.

Z?klady s? op?? rovnak?, tak?e m?me:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vid?te, p?vodn? v?razy sa skladaj? zo „zl?ch“ logaritmov, ktor? nie s? vypo??tan? samostatne. Ale po transform?ci?ch sa z?skaj? ?plne norm?lne ??sla. Mnoh? testy s? zalo?en? na tejto skuto?nosti. ?no, na Jednotnej ?t?tnej sk??ke sa so v?etkou v??nos?ou (niekedy prakticky bez zmien) pon?kaj? v?razy podobn? testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Teraz si ?lohu trochu skomplikujeme. ?o ak je z?kladom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom m??e by? exponent tohto stup?a vy?at? zo znamienka logaritmu pod?a nasleduj?cich pravidiel:

Je ?ahk? vidie?, ?e posledn? pravidlo nasleduje prv? dve. Je v?ak lep?ie si to zapam?ta? - v niektor?ch pr?padoch to v?razne zn??i mno?stvo v?po?tov.

Samozrejme, v?etky tieto pravidl? d?vaj? zmysel, ak je dodr?an? ODZ logaritmu: a > 0, a ? 1, x > 0. A e?te nie?o: nau?te sa aplikova? v?etky vzorce nielen z?ava doprava, ale aj naopak , t.j. ??sla pred znamienkom logaritmu m??ete zada? do samotn?ho logaritmu.

Ako rie?i? logaritmy

To je to, ?o sa naj?astej?ie vy?aduje.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stup?a v argumente pomocou prv?ho vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

?loha. N?jdite v?znam v?razu:

V?imnite si, ?e menovate? obsahuje logaritmus, ktor?ho z?kladom a argumentom s? presn? mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. M?me:

Mysl?m, ?e posledn? pr?klad si vy?aduje ur?it? objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chv?le pracujeme len s menovate?om. Uviedli sme z?klad a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocni?iek a vy?ali sme exponenty - dostali sme „trojposchodov?“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavn? zlomok. ?itate? a menovate? obsahuj? rovnak? ??slo: log 2 7. Ke??e log 2 7 ? 0, zlomok m??eme zmen?i? - 2/4 zostan? v menovateli. Pod?a pravidiel aritmetiky m??u by? ?tyri prenesen? do ?itate?a, ?o sa aj stalo. V?sledkom bola odpove?: 2.

Prechod na nov? z?klad

Ke? u? hovor?me o pravidl?ch s??tania a od??tania logaritmov, osobitne som zd?raznil, ?e funguj? iba s rovnak?mi z?kladmi. ?o ak s? d?vody in?? ?o ak to nie s? presn? mocniny rovnak?ho ??sla?

Na pomoc prich?dzaj? vzorce pre prechod na nov? z?klad. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je dan? logaritmus log a x. Potom pre ak?ko?vek ??slo c tak?, ?e c > 0 a c ? 1, plat? rovnos?:

Konkr?tne, ak nastav?me c = x, dostaneme:

Z druh?ho vzorca vypl?va, ?e z?klad a argument logaritmu mo?no zameni?, ale v tomto pr?pade je cel? v?raz „prevr?ten?“, t.j. logaritmus sa objav? v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nach?dzaj? v be?n?ch ??seln?ch v?razoch. Ich vhodnos? je mo?n? vyhodnoti? len pri rie?en? logaritmick?ch rovn?c a nerovn?c.

S? v?ak probl?my, ktor? sa nedaj? vyrie?i? v?bec inak ako pres?ahovan?m sa do novej nad?cie. Pozrime sa na p?r z nich:

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 5 16 log 2 25.

V?imnite si, ?e argumenty oboch logaritmov obsahuj? presn? mocniny. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz „oto?me“ druh? logaritmus:

Ke??e sa s??in pri preskupovan? faktorov nemen?, pokojne sme vyn?sobili ?tyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

?loha. N?jdite hodnotu v?razu: log 9 100 lg 3.

Z?kladom a argumentom prv?ho logaritmu s? presn? mocniny. Po?me si to zap?sa? a zbavi? sa indik?torov:

Teraz sa zbavme desiatkov?ho logaritmu prechodom na nov? z?klad:

Z?kladn? logaritmick? identita

V procese rie?enia je ?asto potrebn? reprezentova? ??slo ako logaritmus k dan?mu z?kladu.

V tomto pr?pade n?m pom??u nasleduj?ce vzorce:

V prvom pr?pade sa ??slo n stane exponentom v argumente. ??slo n m??e by? ?plne ?oko?vek, preto?e je to len logaritmick? hodnota.

Druh? vzorec je vlastne parafr?zovan? defin?cia. Tak sa to vol?: .

?o sa vlastne stane, ak sa ??slo b zv??i na tak? mocninu, ?e ??slo b s touto mocninou d?va ??slo a? Spr?vne: v?sledkom je rovnak? ??slo a. E?te raz si pozorne pre??tajte tento odsek – ve?a ?ud? sa na ?om zasekne.

Rovnako ako vzorce na prechod na nov? z?klad?u, z?kladn? logaritmick? identita je niekedy jedin?m mo?n?m rie?en?m.

?loha. N?jdite v?znam v?razu:

V?imnite si, ?e log 25 64 = log 5 8 - jednoducho vzal druh? mocninu zo z?kladu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do ?vahy pravidl? pre n?sobenie pr?vomoc? s rovnak?m z?kladom, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skuto?n? ?loha z Jednotnej ?t?tnej sk??ky :)

Logaritmick? jednotka a logaritmick? nula

Na z?ver uvediem dve identity, ktor? mo?no len ?a?ko nazva? vlastnos?ami – s? sk?r d?sledkom defin?cie logaritmu. Neust?le sa objavuj? v probl?moch a prekvapivo robia probl?my aj „pokro?il?m“ ?iakom.

1. log a a = 1 je. Pam?tajte si raz a nav?dy: logaritmus k ?ubovo?nej z?kladni a tejto samotnej z?kladne sa rovn? jednej.
2. log a 1 = 0 je. Z?kladom a m??e by? ?oko?vek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovn? nule! Preto?e a 0 = 1 je priamym d?sledkom defin?cie.

To s? v?etky vlastnosti. Ur?ite si ich nacvi?te v praxi! Stiahnite si cheat sheet na za?iatku lekcie, vytla?te si ho a vyrie?te probl?my.

Logaritmick? rovnica je rovnica, v ktorej nezn?ma (x) a v?razy s ?ou spojen? s? pod znamienkom logaritmickej funkcie. Rie?enie logaritmick?ch rovn?c predpoklad?, ?e u? pozn?te a .
Ako rie?i? logaritmick? rovnice?

Najjednoduch?ia rovnica je log a x = b, kde a a b s? nejak? ??sla, x je nezn?ma.
Rie?enie logaritmickej rovnice je x = a b za predpokladu, ?e: a > 0, a 1.

Treba poznamena?, ?e ak je x niekde mimo logaritmu, napr?klad log 2 x = x-2, potom sa tak?to rovnica u? naz?va zmie?an? a na jej rie?enie je potrebn? ?peci?lny pr?stup.

Ide?lny pr?pad je, ke? natraf?te na rovnicu, v ktorej s? pod logaritmick?m znamienkom iba ??sla, napr?klad x+2 = log 2 2. Tu na rie?enie sta?? pozna? vlastnosti logaritmov. Tak?to ??astie sa ale nest?va ?asto, preto sa pripravte na ?a??ie veci.

Najprv v?ak za?nime jednoduch?mi rovnicami. Na ich vyrie?enie je vhodn? ma? ve?mi v?eobecn? pochopenie logaritmu.

Rie?enie jednoduch?ch logaritmick?ch rovn?c

Patria sem rovnice typu log 2 x = log 2 16. Vo?n?m okom vid?me, ?e vynechan?m znamienka logaritmu dostaneme x = 16.

Na vyrie?enie zlo?itej?ej logaritmickej rovnice sa zvy?ajne redukuje na rie?enie oby?ajnej algebraickej rovnice alebo na rie?enie jednoduchej logaritmickej rovnice log a x = b. V najjednoduch??ch rovniciach sa to deje jedn?m pohybom, preto sa naz?vaj? najjednoduch?ie.

Vy??ie uveden? met?da vyp???ania logaritmov je jedn?m z hlavn?ch sp?sobov rie?enia logaritmick?ch rovn?c a nerovnost?. V matematike sa t?to oper?cia naz?va potenci?cia. Pre tento typ oper?cie existuj? ur?it? pravidl? alebo obmedzenia:

• logaritmy maj? rovnak? ??seln? z?klady
• Logaritmy na oboch stran?ch rovnice s? ?ubovo?n?, t.j. bez ak?chko?vek koeficientov alebo in?ch r?znych druhov v?razov.

Povedzme v rovnici log 2 x = 2log 2 (1 - x) potenci?cia nie je pou?ite?n? - koeficient 2 vpravo to neumo??uje. V nasleduj?com pr?klade log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) tie? nesp??a jedno z obmedzen? – v?avo s? dva logaritmy. Keby bol len jeden, bola by to ?plne in? z?le?itos?!

Vo v?eobecnosti m??ete logaritmy odstr?ni? iba vtedy, ak m? rovnica tvar:

log a (...) = log a (...)

Do hranat?ch z?tvoriek je mo?n? umiestni? absol?tne ?ubovo?n? v?razy, na ?innos? potenci?cie to nem? absol?tne ?iadny vplyv. A po odstr?nen? logaritmov zostane jednoduch?ia rovnica - line?rna, kvadratick?, exponenci?lna at?., Ktor?, d?fam, u? viete vyrie?i?.

Zoberme si ?al?? pr?klad:

log 3 (2x-5) = log 3x

Aplikujeme potenci?ciu, dostaneme:

log 3 (2x-1) = 2

Na z?klade defin?cie logaritmu, konkr?tne, ?e logaritmus je ??slo, na ktor? mus? by? z?klad pov??en?, aby sa z?skal v?raz, ktor? je pod znamienkom logaritmu, t.j. (4x-1), dostaneme:

Op?? sme dostali kr?snu odpove?. Tu sme sa zaobi?li bez odstr?nenia logaritmov, ale potenci?cia je pou?ite?n? aj tu, preto?e logaritmus mo?no vytvori? z ak?hoko?vek ??sla a presne z toho, ?o potrebujeme. T?to met?da je ve?mi n?pomocn? pri rie?en? logaritmick?ch rovn?c a najm? nerovn?c.

Vyrie?me na?u logaritmick? rovnicu log 3 (2x-1) = 2 pomocou potenci?cie:

Predstavme si ??slo 2 ako logaritmus, napr?klad tento log 3 9, preto?e 3 2 = 9.

Potom log 3 (2x-1) = log 3 9 a op?? dostaneme rovnak? rovnicu 2x-1 = 9. D?fam, ?e je v?etko jasn?.

Pozreli sme sa teda na to, ako vyrie?i? najjednoduch?ie logaritmick? rovnice, ktor? s? v skuto?nosti ve?mi d?le?it?, preto?e rie?enie logaritmick?ch rovn?c, dokonca aj tie najstra?nej?ie a prekr?ten?, nakoniec v?dy d?jde k rie?eniu t?ch najjednoduch??ch rovn?c.

Vo v?etkom, ?o sme urobili vy??ie, sme stratili zo zrete?a jeden ve?mi d?le?it? bod, ktor? bude hra? rozhoduj?cu ?lohu v bud?cnosti. Faktom je, ?e rie?enie akejko?vek logaritmickej rovnice, dokonca aj tej najelement?rnej?ej, pozost?va z dvoch rovnak?ch ?ast?. Prv?m je rie?enie samotnej rovnice, druh?m je pr?ca s rozsahom pr?pustn?ch hodn?t (APV). Toto je presne prv? ?as?, ktor? sme zvl?dli. Vo vy??ie uveden?ch pr?kladoch ODZ nijako neovplyv?uje odpove?, preto sme ju neuva?ovali.

Zoberme si ?al?? pr?klad:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Navonok sa t?to rovnica nel??i od element?rnej, ktor? mo?no ve?mi ?spe?ne vyrie?i?. Ale nie je to tak. Nie, samozrejme, ?e to vyrie?ime, ale s najv???ou pravdepodobnos?ou nespr?vne, preto?e obsahuje mal? prepad, do ktor?ho okam?ite spadn? ?iaci C-?ka aj v?born? ?iaci. Po?me sa na to pozrie? bli??ie.

Povedzme, ?e potrebujete n?js? kore? rovnice alebo s??et kore?ov, ak ich je nieko?ko:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Pou??vame potenci?ciu, tu je pr?pustn?. V?sledkom je oby?ajn? kvadratick? rovnica.

N?jdenie kore?ov rovnice:

Uk?zalo sa, ?e dva korene.

Odpove?: 3 a -1

Na prv? poh?ad je v?etko spr?vne. Ale skontrolujme v?sledok a dosa?te ho do p?vodnej rovnice.

Za?nime s x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Kontrola bola ?spe?n?, teraz je front x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Dobre, presta?! Navonok je v?etko dokonal?. Jedna vec - neexistuj? ?iadne logaritmy zo z?porn?ch ??sel! To znamen?, ?e kore? x = -1 nie je vhodn? na rie?enie na?ej rovnice. A preto spr?vna odpove? bude 3, nie 2, ako sme p?sali.

Tu zohrala ODZ svoju osudov? ?lohu, na ktor? sme zabudli.

Dovo?te mi pripomen??, ?e rozsah prijate?n?ch hodn?t zah??a tie hodnoty x, ktor? s? povolen? alebo maj? zmysel pre p?vodn? pr?klad.

Bez ODZ sa ka?d?, aj absol?tne spr?vne rie?enie akejko?vek rovnice men? na lot?riu - 50/50.

Ako by sme sa mohli pristihn?? pri rie?en? zdanlivo element?rneho pr?kladu? Ale presne v momente potencovania. Logaritmy zmizli a s nimi aj v?etky obmedzenia.

?o robi? v tomto pr?pade? Odmietate odstr?ni? logaritmy? A ?plne odmietnu? rie?i? t?to rovnicu?

Nie, my len, ako skuto?n? hrdinovia z jednej zn?mej piesne, p?jdeme ok?ukou!

Sk?r ako za?neme rie?i? ak?ko?vek logaritmick? rovnicu, zap??eme si ODZ. Ale potom m??ete s na?ou rovnicou robi? ?oko?vek, po ?om va?e srdce t??i. Po prijat? odpovede jednoducho vyhod?me tie korene, ktor? nie s? zahrnut? v na?ej ODZ, a zap??eme si kone?n? verziu.

Teraz sa rozhodneme, ako zaznamena? ODZ. Aby sme to urobili, d?kladne presk?mame p?vodn? rovnicu a h?ad?me v nej podozriv? miesta, ako je delenie x, dokonca odmocnina at?. K?m nevyrie?ime rovnicu, nevieme, ?omu sa x rovn?, ale s istotou vieme, ?e tie x, ktor? po dosaden? d?vaj? delenie 0 alebo druh? odmocninu z?porn?ho ??sla, zjavne nie s? vhodn? ako odpove?. . Preto s? tak?to x neprijate?n?, zatia? ?o zvy?ok bude tvori? ODZ.

Op?? pou?ijeme rovnak? rovnicu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Ako vid?te, neexistuje delenie 0, neexistuj? ani odmocniny, ale v tele logaritmu s? v?razy s x. Okam?ite si pripome?me, ?e v?raz vo vn?tri logaritmu mus? by? v?dy >0. T?to podmienku zapisujeme v tvare ODZ:

Tie. Zatia? sme ni? nevyrie?ili, ale u? sme si zap?sali povinn? podmienku pre cel? sublogaritmick? v?raz. Zlo?en? z?tvorka znamen?, ?e tieto podmienky musia by? splnen? s??asne.

Zapisuje sa ODZ, ale je potrebn? vyrie?i? aj v?sledn? syst?m nerovnost?, ?o urob?me. Dostaneme odpove? x > v3. Teraz u? s istotou vieme, ktor? x n?m nebude vyhovova?. A potom za?neme rie?i? samotn? logaritmick? rovnicu, ?o sme urobili vy??ie.

Po z?skan? odpoved? x 1 = 3 a x 2 = -1 je ?ahk? vidie?, ?e n?m vyhovuje iba x1 = 3 a zap??eme si to ako kone?n? odpove?.

Pre bud?cnos? je ve?mi d?le?it? zapam?ta? si nasledovn?: ak?ko?vek logaritmick? rovnicu rie?ime v 2 etap?ch. Prv?m je vyrie?enie samotnej rovnice, druh?m vyrie?enie podmienky ODZ. Obe etapy sa vykon?vaj? nez?visle na sebe a porovn?vaj? sa a? pri p?san? odpovede, t.j. vyho?te v?etko nepotrebn? a zap??te si spr?vnu odpove?.

Na posilnenie materi?lu d?razne odpor??ame pozrie? si video:

Video ukazuje ?al?ie pr?klady rie?enia log. rovn?c a vypracovanie intervalovej met?dy v praxi.

Na t?to ot?zku, ako rie?i? logaritmick? rovnice To je zatia? v?etko. Ak o nie?om rozhoduje log. rovnice zost?vaj? nejasn? alebo nezrozumite?n?, p??te svoje ot?zky do koment?rov.

Pozn?mka: Akad?mia soci?lneho vzdel?vania (ASE) je pripraven? prija? nov?ch ?tudentov.

Zachovanie v??ho s?kromia je pre n?s d?le?it?. Z tohto d?vodu sme vyvinuli Z?sady ochrany osobn?ch ?dajov, ktor? popisuj?, ako pou??vame a uchov?vame va?e inform?cie. Pre??tajte si na?e postupy ochrany osobn?ch ?dajov a ak m?te nejak? ot?zky, dajte n?m vedie?.

Zhroma??ovanie a pou??vanie osobn?ch ?dajov

Osobn? ?daje s? ?daje, ktor? mo?no pou?i? na identifik?ciu alebo kontaktovanie konkr?tnej osoby.

Ke? n?s budete kontaktova?, m??ete by? kedyko?vek po?iadan? o poskytnutie svojich osobn?ch ?dajov.

Ni??ie s? uveden? niektor? pr?klady typov osobn?ch ?dajov, ktor? m??eme zhroma??ova?, a ako m??eme tieto inform?cie pou?i?.

Ak? osobn? ?daje zhroma??ujeme:

• Ke? odo?lete ?iados? na str?nke, m??eme zhroma??ova? r?zne inform?cie vr?tane v??ho mena, telef?nneho ??sla, e-mailovej adresy at?.

Ako pou??vame va?e osobn? ?daje:

• Osobn? ?daje, ktor? zhroma??ujeme, n?m umo??uj? kontaktova? v?s s jedine?n?mi ponukami, propaga?n?mi akciami a in?mi udalos?ami a pripravovan?mi udalos?ami.
• Z ?asu na ?as m??eme pou?i? va?e osobn? ?daje na zasielanie d?le?it?ch upozornen? a komunik?cie.
• Osobn? ?daje m??eme pou?i? aj na intern? ??ely, ako je vykon?vanie auditov, anal?za ?dajov a r?zne v?skumy, aby sme zlep?ili slu?by, ktor? poskytujeme, a poskytli v?m odpor??ania t?kaj?ce sa na?ich slu?ieb.
• Ak sa z??astn?te ?rebovania o ceny, s??a?e alebo podobnej propaga?nej akcie, m??eme pou?i? inform?cie, ktor? n?m poskytnete, na spr?vu tak?chto programov.

Spr?stupnenie inform?ci? tret?m stran?m

Inform?cie, ktor? od v?s dostaneme, nezverej?ujeme tret?m stran?m.

V?nimky:

• V pr?pade potreby – v s?lade so z?konom, s?dnym konan?m, v s?dnom konan? a/alebo na z?klade verejn?ch ?iadost? alebo ?iadost? vl?dnych org?nov na ?zem? Ruskej feder?cie – poskytn?? va?e osobn? ?daje. M??eme tie? zverejni? inform?cie o v?s, ak zist?me, ?e tak?to zverejnenie je potrebn? alebo vhodn? na ??ely bezpe?nosti, presadzovania pr?va alebo na in? ??ely verejn?ho v?znamu.
• V pr?pade reorganiz?cie, zl??enia alebo predaja m??eme osobn? ?daje, ktor? zhroma??ujeme, prenies? na pr?slu?n? n?stupn?cku tretiu stranu.

Ochrana osobn?ch ?dajov

Prij?mame opatrenia – vr?tane administrat?vnych, technick?ch a fyzick?ch – na ochranu va?ich osobn?ch ?dajov pred stratou, kr?de?ou a zneu?it?m, ako aj neopr?vnen?m pr?stupom, zverejnen?m, zmenou a zni?en?m.

Re?pektovanie v??ho s?kromia na ?rovni spolo?nosti

Aby sme zaistili bezpe?nos? va?ich osobn?ch ?dajov, informujeme na?ich zamestnancov o ?tandardoch ochrany osobn?ch ?dajov a bezpe?nosti a pr?sne presadzujeme postupy ochrany osobn?ch ?dajov.