Gausovo rje?enje. Gaussova metoda (sekvencijalna eliminacija nepoznatih). Primjeri rje?enja za lutke

Neka je zadan sistem linearnih algebarskih jednad?bi koje treba rije?iti (na?i takve vrijednosti nepoznanica xi koje pretvaraju svaku jedna?inu sistema u jednakost).

Znamo da sistem linearnih algebarskih jednad?bi mo?e:

1) Nemati rje?enja (biti non-joint).
2) Imati beskona?no mnogo rje?enja.
3) Imati jedno rje?enje.

Kao ?to se sje?amo, Cramerovo pravilo i matri?na metoda nisu prikladni u slu?ajevima kada sistem ima beskona?no mnogo rje?enja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmo?niji i najsvestraniji alat za pronala?enje rje?enja za bilo koji sistem linearnih jedna?ina, koji u svakom slu?aju?e nas dovesti do odgovora! Sam algoritam metode radi isto u sva tri slu?aja. Ako je za Cramerovu i matri?nu metodu potrebno poznavanje determinanti, onda je za primjenu Gaussove metode potrebno samo poznavanje aritmeti?kih operacija, ?to je ?ini dostupnom ?ak i u?enicima osnovne ?kole.

Pro?irene matri?ne transformacije ( ovo je matrica sistema - matrica sastavljena samo od koeficijenata nepoznatih, plus kolona slobodnih termina) sistemi linearnih algebarskih jednad?bi u Gaussovom metodu:

1) With troki matrice Mo?e preurediti na nekim mjestima.

2) ako se proporcionalni (kao poseban slu?aj – identi?ni) redovi pojavljuju (ili postoje) u matrici, onda bi trebalo izbrisati iz matrice svi ovi redovi osim jednog.

3) ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda bi i trebao biti izbrisati.

4) red matrice mo?e biti pomno?iti (podijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) na red matrice mo?ete dodajte jo? jedan niz pomno?en brojem, razli?ito od nule.

U Gauss metodi, elementarne transformacije ne mijenjaju rje?enje sistema jedna?ina.

Gaussova metoda se sastoji od dvije faze:

“Direktan potez” - koriste?i elementarne transformacije, dovedite pro?irenu matricu sistema linearnih algebarskih jednad?bi u oblik “trouglastog” koraka: elementi pro?irene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje). Na primjer, na ovu vrstu:

Da biste to u?inili, izvr?ite sljede?e korake:

1) Razmotrimo prvu jedna?inu sistema linearnih algebarskih jedna?ina i koeficijent za x 1 je jednak K. Druga, tre?a itd. transformiramo jednad?be na sljede?i na?in: svaku jedna?inu (koeficijente nepoznatih, uklju?uju?i slobodne ?lanove) podijelimo sa koeficijentom nepoznatog x 1 u svakoj jednad?bi i pomno?imo sa K. Nakon toga, oduzmemo prvu od druge jedna?ine ( koeficijenti nepoznatih i slobodnih termina). Za x 1 u drugoj jedna?ini dobijamo koeficijent 0. Od tre?e transformisane jedna?ine oduzimamo prvu jedna?inu sve dok sve jedna?ine osim prve, za nepoznato x 1, ne budu imale koeficijent 0.

2) Pre?imo na sljede?u jedna?inu. Neka je ovo druga jedna?ina i koeficijent za x 2 jednak M. Nastavljamo sa svim „ni?im“ jednad?bama kako je gore opisano. Dakle, "ispod" nepoznatog x 2 ?e biti nule u svim jedna?inama.

3) Prije?ite na sljede?u jedna?inu i tako dalje dok ne ostane posljednja nepoznanica i transformirani slobodni ?lan.

„Obrnuti potez” Gaussove metode je da se dobije re?enje sistema linearnih algebarskih jedna?ina (pomeranje „odozdo prema gore”). Iz posljednje “ni?e” jedna?ine dobijamo jedno prvo rje?enje - nepoznato x n. Da bismo to uradili, re?avamo elementarnu jedna?inu A * x n = B. U gore datom primeru, x 3 = 4. Prona?enu vrednost zamenjujemo u „gornju“ slede?u jedna?inu i re?avamo je u odnosu na slede?u nepoznanicu. Na primjer, x 2 – 4 = 1, tj. x 2 = 5. I tako sve dok ne na?emo sve nepoznate.

Primjer.

Re?imo sistem linearnih jedna?ina Gaussovom metodom, kako savetuju neki autori:

Zapi?imo pro?irenu matricu sistema i, koriste?i elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Gledamo gornji levi „stupak“. Trebalo bi da imamo jednu tamo. Problem je ?to u prvoj koloni uop?e nema jedinica, tako da preure?ivanje redova ne?e ni?ta rije?iti. U takvim slu?ajevima, jedinica mora biti organizirana pomo?u elementarne transformacije. To se obi?no mo?e u?initi na nekoliko na?ina. Uradimo ovo:
1 korak . Prvom redu dodajemo drugi red, pomno?en sa –1. Odnosno, mentalno smo pomno?ili drugi red sa –1 i dodali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.

Sada u gornjem levom uglu stoji „minus jedan“, ?to nam sasvim odgovara. Svako ko ?eli dobiti +1 mo?e izvr?iti dodatnu radnju: pomno?iti prvi red sa –1 (promijeniti njegov predznak).

Korak 2 . Prvi red, pomno?en sa 5, dodat je drugom redu, a prvi red, pomno?en sa 3, dodat je tre?em redu.

Korak 3 . Prvi red je pomno?en sa –1, u principu, ovo je za lepotu. Promijenjen je i predznak tre?eg reda i pomjeren je na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” imali potrebnu jedinicu.

Korak 4 . Tre?i red je dodat drugom redu, pomno?en sa 2.

Korak 5 . Tre?i red je podijeljen sa 3.

Znak koji ukazuje na gre?ku u prora?unima (rje?e, gre?ku u kucanju) je „lo?“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo ne?to poput (0 0 11 |23) ispod, i, shodno tome, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, onda sa velikim stepenom verovatno?e mo?emo re?i da je gre?ka napravljena tokom osnovnog transformacije.

U?inimo obrnuto; u dizajnu primjera, sam sistem se ?esto ne prepisuje, ve? se jedna?ine „preuzimaju direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsje?am, radi odozdo prema gore. U ovom primjeru rezultat je bio poklon:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, dakle x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odgovori:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Re?imo isti sistem koriste?i predlo?eni algoritam. Dobijamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugu jedna?inu podijelimo sa 5, a tre?u sa 3. Dobijamo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomno?iv?i drugu i tre?u jedna?inu sa 4, dobijamo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmimo prvu jedna?inu od druge i tre?e jedna?ine, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite tre?u jedna?inu sa 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomno?ite tre?u jedna?inu sa 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzimanjem druge od tre?e jedna?ine dobijamo „stepenastu“ pro?irenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, po?to se gre?ka nakupila tokom izra?unavanja, dobijamo x 3 = 0,96 ili pribli?no 1.

x 2 = 3 i x 1 = –1.

Ovakvim rje?avanjem nikada se ne?ete zbuniti u prora?unima i, uprkos gre?kama u prora?unu, dobit ?ete rezultat.

Ova metoda rje?avanja sistema linearnih algebarskih jedna?ina je lako programabilna i ne uzima u obzir specifi?nosti koeficijenata za nepoznate, jer se u praksi (u ekonomskim i tehni?kim prora?unima) mora raditi sa necjelobrojnim koeficijentima.

?elim ti uspjeh! Vidimo se na ?asu! Tutor Dmitry Aystrakhanov.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomi?no, link na izvor je obavezan.

U ovom ?lanku metoda se razmatra kao metoda za rje?avanje sistema linearnih jedna?ina (SLAE). Metoda je analiti?ka, odnosno omogu?ava vam da napi?ete algoritam rje?enja u op?em obliku, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matri?ne metode ili Cramerovih formula, pri rje?avanju sistema linearnih jednad?bi pomo?u Gaussove metode mo?ete raditi i sa onima koje imaju beskona?an broj rje?enja. Ili ga uop?te nemaju.

?ta zna?i rije?iti Gaussovom metodom?

Prvo, treba da zapi?emo na? sistem jedna?ina u To izgleda ovako. Uzmi sistem:

Koeficijenti su upisani u obliku tabele, a slobodni pojmovi su upisani u posebnu kolonu sa desne strane. Kolona sa slobodnim terminima je odvojena radi pogodnosti.Matrica koja uklju?uje ovu kolonu naziva se pro?irena.

Zatim se glavna matrica sa koeficijentima mora svesti na gornji trouglasti oblik. Ovo je glavna poenta rje?avanja sistema kori?tenjem Gausove metode. Jednostavno re?eno, nakon odre?enih manipulacija, matrica bi trebala izgledati tako da njen donji lijevi dio sadr?i samo nule:

Zatim, ako novu matricu ponovo napi?ete kao sistem jedna?ina, primijetit ?ete da posljednji red ve? sadr?i vrijednost jednog od korijena, koji se zatim zamjenjuje gornjom jedna?inom, pronalazi se drugi korijen i tako dalje.

Ovo je opis rje?enja Gaussovom metodom u najop?tijim terminima. ?ta se de?ava ako sistem odjednom nema re?enje? Ili ih ima beskona?no mnogo? Da bismo odgovorili na ova i mnoga druga pitanja, potrebno je posebno razmotriti sve elemente koji se koriste u rje?avanju Gausove metode.

Matrice, njihova svojstva

U matrici nema skrivenog zna?enja. Ovo je jednostavno zgodan na?in za snimanje podataka za naredne operacije s njim. ?ak ih se i ?kolarci ne moraju bojati.

Matrica je uvijek pravokutna, jer je pogodnija. ?ak i kod Gaussove metode, gde se sve svodi na konstruisanje matrice trouglastog oblika, u unosu se pojavljuje pravougaonik, samo sa nulama na mestu gde nema brojeva. Nule mo?da nisu napisane, ali se podrazumijevaju.

Matrica ima veli?inu. Njegova "?irina" je broj redova (m), "du?ina" je broj kolona (n). Tada ?e se veli?ina matrice A (za njihovo ozna?avanje obi?no koriste velika latini?na slova) biti ozna?ena kao A mxn. Ako je m=n, onda je ova matrica kvadratna, a m=n je njen red. U skladu s tim, bilo koji element matrice A mo?e se ozna?iti njegovim brojevima reda i stupaca: a xy ; x - broj reda, promjene, y - broj kolone, promjene.

B nije glavna ta?ka odluke. U principu, sve operacije se mogu izvoditi direktno sa samim jednad?bama, ali ?e notacija biti mnogo glomaznija i bit ?e mnogo lak?e zabuniti se u njoj.

Odrednica

Matrica tako?e ima determinantu. Ovo je veoma va?na karakteristika. Nema potrebe da sada saznate njegovo zna?enje; mo?ete jednostavno pokazati kako se izra?unava, a zatim re?i koja svojstva matrice odre?uje. Najlak?i na?in za pronala?enje determinante je dijagonala. Imaginarne dijagonale su nacrtane u matrici; elementi koji se nalaze na svakom od njih se mno?e, a zatim se dodaju rezultiraju?i proizvodi: dijagonale s nagibom udesno - sa znakom plus, s nagibom ulijevo - sa znakom minus.

Izuzetno je va?no napomenuti da se determinanta mo?e izra?unati samo za kvadratnu matricu. Za pravougaonu matricu mo?ete u?initi sljede?e: odabrati najmanji od broja redova i broja stupaca (neka bude k), a zatim nasumi?no ozna?iti k kolona i k redova u matrici. Elementi na sjeci?tu odabranih stupaca i redova formirat ?e novu kvadratnu matricu. Ako je determinanta takve matrice broj razli?it od nule, naziva se bazni minor originalne pravokutne matrice.

Prije nego po?nete rje?avati sistem jednad?bi Gaussovom metodom, ne ?kodi izra?unavanje determinante. Ako se poka?e da je nula, onda mo?emo odmah re?i da matrica ima ili beskona?an broj rje?enja ili nijedno. U ovako tu?nom slu?aju, morate i?i dalje i saznati o rangu matrice.

Klasifikacija sistema

Postoji takva stvar kao ?to je rang matrice. Ovo je maksimalni red njene determinante koja nije nula (ako se sjetimo baznog minora, mo?emo re?i da je rang matrice red baznog minora).

Na osnovu situacije sa rangom, SLAE se mo?e podijeliti na:

Joint. U U zajedni?kim sistemima, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) poklapa se sa rangom pro?irene matrice (sa kolonom slobodnih ?lanova). Takvi sistemi imaju rje?enje, ali ne nu?no jedno, pa se dodatno spojni sistemi dijele na:
- siguran- imati jedinstveno rje?enje. U odre?enim sistemima, rang matrice i broj nepoznatih (ili broj kolona, ?to je ista stvar) su jednaki;
- nedefinirano - sa beskona?nim brojem rje?enja. Rang matrica u takvim sistemima je manji od broja nepoznatih.
Nekompatibilno. U U takvim sistemima, rangovi glavne i pro?irene matrice se ne poklapaju. Nekompatibilni sistemi nemaju rje?enja.

Gaussova metoda je dobra jer tokom rje?avanja omogu?ava da se dobije ili nedvosmislen dokaz nekonzistentnosti sistema (bez izra?unavanja determinanti velikih matrica), ili rje?enje u op?tem obliku za sistem sa beskona?nim brojem rje?enja.

Elementarne transformacije

Prije nego ?to pre?ete direktno na rje?avanje sistema, mo?ete ga u?initi manje glomaznim i pogodnijim za prora?une. To se posti?e elementarnim transformacijama - tako da njihova implementacija ni na koji na?in ne mijenja kona?ni odgovor. Treba napomenuti da neke od datih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice ?iji je izvor bio SLAE. Evo liste ovih transformacija:

Preure?ivanje linija. O?igledno, ako promijenite redoslijed jedna?ina u zapisu sistema, to ni na koji na?in ne?e utjecati na rje?enje. Shodno tome, redovi u matrici ovog sistema tako?e se mogu zameniti, ne zaboravljaju?i, naravno, kolonu slobodnih termina.
Mno?enje svih elemenata niza odre?enim koeficijentom. Vrlo korisno! Mo?e se koristiti za smanjenje velikih brojeva u matrici ili uklanjanje nula. Mnoge odluke, kao i obi?no, ne?e se promijeniti, ali daljnje operacije ?e postati prakti?nije. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
Uklanjanje redova s proporcionalnim faktorima. Ovo djelimi?no proizilazi iz prethodnog stava. Ako dva ili vi?e reda u matrici imaju proporcionalne koeficijente, onda kada se jedan od redova pomno?i/podijeli s koeficijentom proporcionalnosti, dobiju se dva (ili, opet, vi?e) apsolutno identi?na reda, a dodatni se mogu ukloniti, ostavljaju?i samo jedan.
Uklanjanje nulte linije. Ako se tokom transformacije negdje dobije red u kojem su svi elementi, uklju?uju?i i slobodni ?lan, nula, onda se takav red mo?e nazvati nulom i izbaciti iz matrice.
Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (u odgovaraju?im kolonama), pomno?eno odre?enim koeficijentom. Najneo?iglednija i najva?nija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadr?ati na tome.

Dodavanje niza pomno?enog faktorom

Radi lak?eg razumijevanja, vrijedno je rastaviti ovaj proces korak po korak. Dva reda su uzeta iz matrice:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Recimo da morate prvo dodati drugom, pomno?eno sa koeficijentom "-2".

a" 21 = a 21 + -2xa 11

a" 22 = a 22 + -2xa 12

a" 2n = a 2n + -2xa 1n

Zatim se drugi red u matrici zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Treba napomenuti da se koeficijent mno?enja mo?e odabrati na na?in da, kao rezultat sabiranja dva reda, jedan od elemenata novog reda bude jednak nuli. Stoga je mogu?e dobiti jedna?inu u sistemu u kojem ?e biti jedna nepoznata manje. A ako dobijete dvije takve jednad?be, onda se operacija mo?e ponoviti i dobiti jedna?inu koja ?e sadr?avati dvije nepoznate manje. A ako svaki put okrenete jedan koeficijent svih redova koji su ispod originalne jedinice na nulu, onda se mo?ete, poput stepenica, spustiti do samog dna matrice i dobiti jednad?bu s jednom nepoznatom. Ovo se zove rje?avanje sistema kori?tenjem Gausove metode.

Uglavnom

Neka postoji sistem. Ima m jedna?ina i n nepoznatih korijena. Mo?ete to napisati na sljede?i na?in:

Glavna matrica je sastavljena od sistemskih koeficijenata. Stupac slobodnih termina se dodaje pro?irenoj matrici i, radi prakti?nosti, razdvaja linijom.

prvi red matrice se mno?i sa koeficijentom k = (-a 21 /a 11);
prvi modificirani red i drugi red matrice se dodaju;
umjesto drugog reda u matricu se ubacuje rezultat dodavanja iz prethodnog stava;
sada je prvi koeficijent u novom drugom redu a 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Sada se izvodi ista serija transformacija, samo prvi i tre?i red su uklju?eni. Shodno tome, u svakom koraku algoritma, element a 21 se zamjenjuje sa 31. Zatim se sve ponavlja za 41, ... a m1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u redovima nula. Sada morate zaboraviti na red broj jedan i izvesti isti algoritam, po?ev?i od reda dva:

koeficijent k = (-a 32 /a 22);
drugi modifikovani red se dodaje u „trenutni“ red;
rezultat sabiranja se zamjenjuje u tre?i, ?etvrti i tako dalje red, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
u redovima matrice prva dva elementa su ve? jednaka nuli.

Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k = (-a m,m-1 /a mm). To zna?i da je posljednji put algoritam izvr?en samo za ni?u jedna?inu. Sada matrica izgleda kao trokut ili ima stepenasti oblik. U donjem redu nalazi se jednakost a mn x x n = b m. Koeficijent i slobodni ?lan su poznati, a korijen se izra?ava kroz njih: x n = b m /a mn. Dobijeni korijen se zamjenjuje u gornji red kako bi se prona?lo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n x(b m /a mn))?a m-1,n-1. I tako dalje po analogiji: u svakom sljede?em redu nalazi se novi korijen, a kada ste dosegnuli "vrh" sistema, mo?ete prona?i mnoga rje?enja. To ?e biti jedini.

Kad nema rje?enja

Ako su u jednom od redova matrice svi elementi osim slobodnog ?lana jednaki nuli, tada jedna?ina koja odgovara ovom redu izgleda kao 0 = b. Nema rje?enja. A po?to je takva jedna?ina uklju?ena u sistem, onda je skup rje?enja cijelog sistema prazan, odnosno degeneriran.

Kada postoji beskona?an broj rje?enja

Mo?e se desiti da u datoj trokutastoj matrici nema redova sa jednim elementom koeficijenta jedna?ine i jednim slobodnim ?lanom. Postoje samo linije koje bi, kada se ponovo napi?u, izgledale kao jednad?ba sa dvije ili vi?e varijabli. To zna?i da sistem ima beskona?an broj rje?enja. U ovom slu?aju, odgovor se mo?e dati u obliku generalnog rje?enja. Kako uraditi?

Sve varijable u matrici su podijeljene na osnovne i slobodne. Osnovni su oni koji stoje “na rubu” redova u matrici koraka. Ostalo je besplatno. U op?tem rje?enju osnovne varijable se zapisuju kroz slobodne.

Radi prakti?nosti, matrica se prvo prepisuje nazad u sistem jedna?ina. Zatim u posljednjoj od njih, gdje je ostala samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. Ovo se radi za svaku jedna?inu sa jednom osnovnom promenljivom. Zatim se u preostalim jedna?inama, gdje je to mogu?e, umjesto osnovne varijable zamjenjuje dobijeni izraz. Ako je rezultat opet izraz koji sadr?i samo jednu osnovnu varijablu, ponovo se izra?ava odatle, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne napi?e kao izraz sa slobodnim varijablama. Ovo je op?te re?enje SLAE.

Mo?ete prona?i i osnovno rje?enje sistema - dajte slobodnim varijablama bilo koje vrijednosti, a zatim za ovaj konkretan slu?aj izra?unajte vrijednosti osnovnih varijabli. Postoji beskona?an broj konkretnih rje?enja koja se mogu dati.

Rje?enje sa konkretnim primjerima

Ovdje je sistem jedna?ina.

Radi prakti?nosti, bolje je odmah kreirati njegovu matricu

Poznato je da kada se rije?i Gaussovom metodom, jedna?ina koja odgovara prvom redu ostaje nepromijenjena na kraju transformacija. Stoga ?e biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada ?e se prvi elementi preostalih redova nakon operacija okrenuti na nulu. To zna?i da ?e u kompajliranoj matrici biti korisno staviti drugi red na mjesto prvog.

drugi red: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + kxa 11 = 3 + (-3)x1 = 0

a" 22 = a 22 + kxa 12 = -1 + (-3)x2 = -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b" 2 = b 2 + kxb 1 = 12 + (-3)x12 = -24

tre?i red: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b" 3 = b 3 + kxb 1 = 3 + (-5)x12 = -57

Sada, da se ne biste zbunili, morate zapisati matricu sa me?urezultatima transformacija.

O?igledno je da se takva matrica mo?e u?initi pogodnijom za percepciju kori?tenjem odre?enih operacija. Na primjer, mo?ete ukloniti sve "minuse" iz drugog reda mno?enjem svakog elementa sa "-1".

Tako?er je vrijedno napomenuti da su u tre?em redu svi elementi vi?estruki od tri. Zatim mo?ete skratiti niz za ovaj broj, mno?e?i svaki element sa "-1/3" (minus - u isto vrijeme, da uklonite negativne vrijednosti).

Izgleda mnogo ljep?e. Sada moramo ostaviti prvu liniju na miru i raditi s drugom i tre?om. Zadatak je da se tre?i red doda drugi red, pomno?en sa takvim koeficijentom da element a 32 postane jednak nuli.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ako se tokom neke transformacije odgovor ne poka?e kao ceo broj, preporu?uje se da se zadr?i ta?nost prora?una da se ostavi to „kao ?to jeste“, u obliku obi?nih razlomaka, a tek onda, kada se dobiju odgovori, odlu?ite da li ?ete zaokru?iti i pretvoriti u drugi oblik snimanja)

a" 32 = a 32 + kxa 22 = 3 + (-3/7)x7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + kxa 23 = 6 + (-3/7)x11 = -9/7

b" 3 = b 3 + kxb 2 = 19 + (-3/7)x24 = -61/7

Matrica se ponovo upisuje s novim vrijednostima.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kao ?to vidite, rezultiraju?a matrica ve? ima stepenasti oblik. Stoga nisu potrebne daljnje transformacije sistema primjenom Gausove metode. Ono ?to ovdje mo?ete u?initi je da uklonite ukupni koeficijent "-1/7" iz tre?eg reda.

Sada je sve prelepo. Sve ?to je preostalo je ponovo napisati matricu u obliku sistema jedna?ina i izra?unati korijene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritam pomo?u kojeg ?e se sada prona?i korijeni naziva se obrnuti potez u Gaussovom metodu. Jedna?ina (3) sadr?i z vrijednost:

y = (24 - 11x(61/9))/7 = -65/9

I prva jednad?ba nam omogu?ava da prona?emo x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Imamo pravo da takav sistem nazivamo zajedni?kim, pa ?ak i definitivnim, odnosno da ima jedinstveno rje?enje. Odgovor je napisan u sljede?em obliku:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Primjer nesigurnog sistema

Analizirana je varijanta rje?avanja odre?enog sistema Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slu?aj da je sistem neizvjestan, odnosno da se za njega mo?e na?i beskona?no mnogo rje?enja.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sam izgled sistema je ve? alarmantan, jer je broj nepoznanica n = 5, a rang sistemske matrice je ve? ta?no manji od ovog broja, jer je broj redova m = 4, tj. najve?i red determinante-kvadrata je 4. To zna?i da postoji beskona?an broj rje?enja i potrebno je tra?iti njegov op?i izgled. Gaussova metoda za linearne jedna?ine vam to omogu?ava.

Prvo, kao i obi?no, sastavlja se pro?irena matrica.

Drugi red: koeficijent k = (-a 21 /a 11) = -3. U tre?em redu, prvi element je prije transformacija, tako da ne morate ni?ta dirati, morate ga ostaviti kako jeste. ?etvrti red: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Mno?enjem elemenata prvog reda sa svakim od njihovih koeficijenata redom i dodavanjem tra?enim redovima, dobijamo matricu sljede?eg oblika:

Kao ?to vidite, drugi, tre?i i ?etvrti red se sastoje od elemenata proporcionalnih jedan drugom. Drugi i ?etvrti su uglavnom identi?ni, tako da se jedan od njih mo?e odmah ukloniti, a preostali se mo?e pomno?iti sa koeficijentom “-1” i dobiti red broj 3. I opet, od dva identi?na reda, ostaviti jedan.

Rezultat je ovakva matrica. Dok sistem jo? nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - one koje stoje na koeficijentima a 11 = 1 i a 22 = 1, te slobodne - sve ostale.

U drugoj jedna?ini postoji samo jedna osnovna varijabla - x 2. To zna?i da se odatle mo?e izraziti pisanjem kroz varijable x 3 , x 4 , x 5 , koje su slobodne.

Dobijeni izraz zamjenjujemo u prvu jedna?inu.

Rezultat je jedna?ina u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1 . Uradimo s njim isto kao i sa x 2.

Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izra?ene su u terminima tri slobodne varijable, sada mo?emo napisati odgovor u op?tem obliku.

Tako?er mo?ete odrediti jedno od posebnih rje?enja sistema. U takvim slu?ajevima, nule se obi?no biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada ?e odgovor biti:

16, 23, 0, 0, 0.

Primjer nekooperativnog sistema

Najbr?e je rje?avanje nekompatibilnih sistema jedna?ina Gaussovom metodom. Zavr?ava se odmah ?im se u jednoj od faza dobije jedna?ina koja nema rje?enja. Odnosno, faza izra?unavanja korijena, koja je prili?no duga i zamorna, je eliminirana. Razmatra se slede?i sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kao i obi?no, matrica se sastavlja:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I svodi se na postupni oblik:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nakon prve transformacije, tre?i red sadr?i jedna?inu oblika

bez rje?enja. Shodno tome, sistem je nekonzistentan, a odgovor ?e biti prazan skup.

Prednosti i nedostaci metode

Ako odaberete metodu za rje?avanje SLAE-a na papiru olovkom, onda metoda o kojoj se govori u ovom ?lanku izgleda najatraktivnije. Mnogo je te?e zabuniti se u elementarnim transformacijama nego ako morate ru?no tra?iti determinantu ili neku lukavu inverznu matricu. Me?utim, ako koristite programe za rad s podacima ove vrste, na primjer, prora?unske tablice, onda se ispostavlja da takvi programi ve? sadr?e algoritme za izra?unavanje glavnih parametara matrica - determinante, minore, inverzne i tako dalje. A ako ste sigurni da ?e ma?ina sama izra?unati ove vrijednosti i da ne?e pogrije?iti, preporu?ljivije je koristiti matri?nu metodu ili Cramerove formule, jer njihova primjena po?inje i zavr?ava se ra?unanjem determinanti i inverznih matrica. .

Aplikacija

Budu?i da je Gaussovo rje?enje algoritam, a matrica je zapravo dvodimenzionalni niz, mo?e se koristiti u programiranju. Ali budu?i da se ?lanak pozicionira kao vodi? „za lutke“, treba re?i da je najlak?e mjesto za postavljanje metode prora?unske tablice, na primjer, Excel. Opet, bilo koji SLAE unesen u tabelu u obliku matrice Excel ?e smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za operacije s njima postoji mnogo lijepih naredbi: zbrajanje (mo?ete dodati samo matrice iste veli?ine!), mno?enje brojem, mno?enje matrica (tako?er uz odre?ena ograni?enja), pronala?enje inverzne i transponovane matrice i, ?to je najva?nije , izra?unavanje determinante. Ako se ovaj dugotrajni zadatak zamijeni jednom naredbom, mogu?e je mnogo br?e odrediti rang matrice i samim tim utvrditi njenu kompatibilnost ili nekompatibilnost.

Dva sistema linearnih jednad?bi nazivaju se ekvivalentnima ako se skup svih njihovih rje?enja poklapa.

Elementarne transformacije sistema jedna?ina su:

Brisanje trivijalnih jedna?ina iz sistema, tj. oni za koje su svi koeficijenti jednaki nuli;

Mno?enje bilo koje jedna?ine brojem koji nije nula;

Dodavanje bilo kojoj i-toj jedna?ini bilo koje j-te jedna?ine pomno?ene bilo kojim brojem.

Varijabla x i se naziva slobodnom ako ova varijabla nije dozvoljena, ali je ceo sistem jedna?ina dozvoljen.

Teorema. Elementarne transformacije transformi?u sistem jedna?ina u ekvivalentan.

Smisao Gaussove metode je transformacija originalnog sistema jedna?ina i dobijanje ekvivalentnog razrije?enog ili ekvivalentnog nekonzistentnog sistema.

Dakle, Gaussova metoda se sastoji od sljede?ih koraka:

Pogledajmo prvu jedna?inu. Odaberimo prvi koeficijent razli?it od nule i s njim podijelimo cijelu jedna?inu. Dobijamo jedna?inu u koju neka varijabla x i ulazi sa koeficijentom 1;
Oduzmimo ovu jedna?inu od svih ostalih, mno?imo je sa takvim brojevima da se koeficijenti varijable x i u preostalim jedna?inama nule. Dobijamo sistem rije?en u odnosu na varijablu x i i ekvivalentan originalnom;
Ako se pojave trivijalne jednad?be (rijetko, ali se de?ava; na primjer, 0 = 0), precrtavamo ih iz sistema. Kao rezultat toga, jedna je jedna?ina manje;
Prethodne korake ponavljamo ne vi?e od n puta, gdje je n broj jedna?ina u sistemu. Svaki put biramo novu varijablu za “obradu”. Ako se pojave nekonzistentne jedna?ine (na primjer, 0 = 8), sistem je nekonzistentan.

Kao rezultat, nakon nekoliko koraka dobi?emo ili rije?en sistem (mogu?e sa slobodnim varijablama) ili nekonzistentan. Dozvoljeni sistemi spadaju u dva slu?aja:

Broj varijabli jednak je broju jedna?ina. To zna?i da je sistem definisan;
Broj varijabli je ve?i od broja jedna?ina. Sakupljamo sve slobodne varijable na desnoj strani - dobijamo formule za dozvoljene varijable. Ove formule su zapisane u odgovoru.

To je sve! Sistem linearnih jedna?ina rije?en! Ovo je prili?no jednostavan algoritam i da biste ga savladali ne morate kontaktirati vi?eg nastavnika matematike. Pogledajmo primjer:

Zadatak. Rije?ite sistem jedna?ina:

Opis koraka:

Oduzmite prvu jedna?inu od druge i tre?e - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
Drugu jedna?inu pomno?imo sa (-1), a tre?u podelimo sa (-3) - dobi?emo dve jedna?ine u koje promenljiva x 2 ulazi sa koeficijentom 1;
Prvoj dodajemo drugu jedna?inu, a tre?oj oduzimamo. Dobijamo dozvoljenu varijablu x 2 ;
Kona?no, oduzimamo tre?u jedna?inu od prve - dobijamo dozvoljenu varijablu x 3;
Dobili smo odobreni sistem, zapi?ite odgovor.

Op?te rje?enje simultanog sistema linearnih jedna?ina je novi sistem, ekvivalentan originalnom, u kojem su sve dozvoljene varijable izra?ene u terminima slobodnih.

Kada bi moglo biti potrebno op?te rje?enje? Ako morate napraviti manje koraka od k (k je koliko jedna?ina ima). Me?utim, razlozi za?to se proces zavr?ava u nekom koraku l< k , может быть две:

Nakon l. koraka dobili smo sistem koji ne sadr?i jedna?inu sa brojem (l + 1). U stvari, ovo je dobro, jer... autorizovani sistem se i dalje dobija - ?ak i nekoliko koraka ranije.
Nakon l. koraka dobili smo jedna?inu u kojoj su svi koeficijenti varijabli jednaki nuli, a slobodni koeficijent razli?it od nule. Ovo je kontradiktorna jedna?ina, pa je sistem nedosljedan.

Va?no je shvatiti da je pojava nekonzistentne jedna?ine pomo?u Gaussove metode dovoljna osnova za nekonzistentnost. Istovremeno, napominjemo da kao rezultat l. koraka ne mogu ostati trivijalne jednad?be - sve su one precrtane odmah u procesu.

Opis koraka:

Oduzmite prvu jedna?inu, pomno?enu sa 4, od druge. Prvu jedna?inu dodajemo i tre?oj - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
Oduzmite tre?u jedna?inu, pomno?enu sa 2, od druge - dobijamo kontradiktornu jedna?inu 0 = -5.

Dakle, sistem je nekonzistentan jer je otkrivena nekonzistentna jedna?ina.

Zadatak. Istra?ite kompatibilnost i prona?ite op?e rje?enje za sistem:

Opis koraka:

Prvu jedna?inu oduzimamo od druge (nakon mno?enja sa dva) i tre?e - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
Oduzmite drugu jedna?inu od tre?e. Po?to su svi koeficijenti u ovim jedna?inama isti, tre?a jedna?ina ?e postati trivijalna. Istovremeno, pomno?ite drugu jedna?inu sa (-1);
Oduzmite drugu od prve jedna?ine - dobijamo dozvoljenu varijablu x 2. Cijeli sistem jedna?ina je sada tako?er rije?en;
Po?to su varijable x 3 i x 4 slobodne, pomeramo ih udesno da izrazimo dozvoljene varijable. Ovo je odgovor.

Dakle, sistem je konzistentan i neodre?en, jer postoje dvije dozvoljene varijable (x 1 i x 2) i dvije slobodne (x 3 i x 4).

?ta zna?i rije?iti Gaussovom metodom?

Prvo, treba da zapi?emo na? sistem jedna?ina u To izgleda ovako. Uzmi sistem:

Matrice, njihova svojstva

U matrici nema skrivenog zna?enja. Ovo je jednostavno zgodan na?in za snimanje podataka za naredne operacije s njim. ?ak ih se i ?kolarci ne moraju bojati.

B nije glavna ta?ka odluke. U principu, sve operacije se mogu izvoditi direktno sa samim jednad?bama, ali ?e notacija biti mnogo glomaznija i bit ?e mnogo lak?e zabuniti se u njoj.

Odrednica

Klasifikacija sistema

Postoji takva stvar kao ?to je rang matrice. Ovo je maksimalni red njene determinante koja nije nula (ako se sjetimo baznog minora, mo?emo re?i da je rang matrice red baznog minora).

Na osnovu situacije sa rangom, SLAE se mo?e podijeliti na:

Joint. U U zajedni?kim sistemima, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) poklapa se sa rangom pro?irene matrice (sa kolonom slobodnih ?lanova). Takvi sistemi imaju rje?enje, ali ne nu?no jedno, pa se dodatno spojni sistemi dijele na:
- siguran- imati jedinstveno rje?enje. U odre?enim sistemima, rang matrice i broj nepoznatih (ili broj kolona, ?to je ista stvar) su jednaki;
- nedefinirano - sa beskona?nim brojem rje?enja. Rang matrica u takvim sistemima je manji od broja nepoznatih.
Nekompatibilno. U U takvim sistemima, rangovi glavne i pro?irene matrice se ne poklapaju. Nekompatibilni sistemi nemaju rje?enja.

Elementarne transformacije

Preure?ivanje linija. O?igledno, ako promijenite redoslijed jedna?ina u zapisu sistema, to ni na koji na?in ne?e utjecati na rje?enje. Shodno tome, redovi u matrici ovog sistema tako?e se mogu zameniti, ne zaboravljaju?i, naravno, kolonu slobodnih termina.
Mno?enje svih elemenata niza odre?enim koeficijentom. Vrlo korisno! Mo?e se koristiti za smanjenje velikih brojeva u matrici ili uklanjanje nula. Mnoge odluke, kao i obi?no, ne?e se promijeniti, ali daljnje operacije ?e postati prakti?nije. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
Uklanjanje redova s proporcionalnim faktorima. Ovo djelimi?no proizilazi iz prethodnog stava. Ako dva ili vi?e reda u matrici imaju proporcionalne koeficijente, onda kada se jedan od redova pomno?i/podijeli s koeficijentom proporcionalnosti, dobiju se dva (ili, opet, vi?e) apsolutno identi?na reda, a dodatni se mogu ukloniti, ostavljaju?i samo jedan.
Uklanjanje nulte linije. Ako se tokom transformacije negdje dobije red u kojem su svi elementi, uklju?uju?i i slobodni ?lan, nula, onda se takav red mo?e nazvati nulom i izbaciti iz matrice.
Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (u odgovaraju?im kolonama), pomno?eno odre?enim koeficijentom. Najneo?iglednija i najva?nija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadr?ati na tome.

Dodavanje niza pomno?enog faktorom

Radi lak?eg razumijevanja, vrijedno je rastaviti ovaj proces korak po korak. Dva reda su uzeta iz matrice:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Recimo da morate prvo dodati drugom, pomno?eno sa koeficijentom "-2".

a" 21 = a 21 + -2xa 11

a" 22 = a 22 + -2xa 12

a" 2n = a 2n + -2xa 1n

Zatim se drugi red u matrici zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Uglavnom

Neka postoji sistem. Ima m jedna?ina i n nepoznatih korijena. Mo?ete to napisati na sljede?i na?in:

Glavna matrica je sastavljena od sistemskih koeficijenata. Stupac slobodnih termina se dodaje pro?irenoj matrici i, radi prakti?nosti, razdvaja linijom.

prvi red matrice se mno?i sa koeficijentom k = (-a 21 /a 11);
prvi modificirani red i drugi red matrice se dodaju;
umjesto drugog reda u matricu se ubacuje rezultat dodavanja iz prethodnog stava;
sada je prvi koeficijent u novom drugom redu a 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

koeficijent k = (-a 32 /a 22);
drugi modifikovani red se dodaje u „trenutni“ red;
rezultat sabiranja se zamjenjuje u tre?i, ?etvrti i tako dalje red, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
u redovima matrice prva dva elementa su ve? jednaka nuli.

Kad nema rje?enja

Kada postoji beskona?an broj rje?enja

Rje?enje sa konkretnim primjerima

Ovdje je sistem jedna?ina.

Radi prakti?nosti, bolje je odmah kreirati njegovu matricu

drugi red: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + kxa 11 = 3 + (-3)x1 = 0

a" 22 = a 22 + kxa 12 = -1 + (-3)x2 = -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b" 2 = b 2 + kxb 1 = 12 + (-3)x12 = -24

tre?i red: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b" 3 = b 3 + kxb 1 = 3 + (-5)x12 = -57

Sada, da se ne biste zbunili, morate zapisati matricu sa me?urezultatima transformacija.

O?igledno je da se takva matrica mo?e u?initi pogodnijom za percepciju kori?tenjem odre?enih operacija. Na primjer, mo?ete ukloniti sve "minuse" iz drugog reda mno?enjem svakog elementa sa "-1".

a" 32 = a 32 + kxa 22 = 3 + (-3/7)x7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + kxa 23 = 6 + (-3/7)x11 = -9/7

b" 3 = b 3 + kxb 2 = 19 + (-3/7)x24 = -61/7

Matrica se ponovo upisuje s novim vrijednostima.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Sada je sve prelepo. Sve ?to je preostalo je ponovo napisati matricu u obliku sistema jedna?ina i izra?unati korijene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritam pomo?u kojeg ?e se sada prona?i korijeni naziva se obrnuti potez u Gaussovom metodu. Jedna?ina (3) sadr?i z vrijednost:

y = (24 - 11x(61/9))/7 = -65/9

I prva jednad?ba nam omogu?ava da prona?emo x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Imamo pravo da takav sistem nazivamo zajedni?kim, pa ?ak i definitivnim, odnosno da ima jedinstveno rje?enje. Odgovor je napisan u sljede?em obliku:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Primjer nesigurnog sistema

Analizirana je varijanta rje?avanja odre?enog sistema Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slu?aj da je sistem neizvjestan, odnosno da se za njega mo?e na?i beskona?no mnogo rje?enja.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Prvo, kao i obi?no, sastavlja se pro?irena matrica.

Drugi red: koeficijent k = (-a 21 /a 11) = -3. U tre?em redu, prvi element je prije transformacija, tako da ne morate ni?ta dirati, morate ga ostaviti kako jeste. ?etvrti red: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Mno?enjem elemenata prvog reda sa svakim od njihovih koeficijenata redom i dodavanjem tra?enim redovima, dobijamo matricu sljede?eg oblika:

Rezultat je ovakva matrica. Dok sistem jo? nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - one koje stoje na koeficijentima a 11 = 1 i a 22 = 1, te slobodne - sve ostale.

U drugoj jedna?ini postoji samo jedna osnovna varijabla - x 2. To zna?i da se odatle mo?e izraziti pisanjem kroz varijable x 3 , x 4 , x 5 , koje su slobodne.

Dobijeni izraz zamjenjujemo u prvu jedna?inu.

Rezultat je jedna?ina u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1 . Uradimo s njim isto kao i sa x 2.

Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izra?ene su u terminima tri slobodne varijable, sada mo?emo napisati odgovor u op?tem obliku.

Tako?er mo?ete odrediti jedno od posebnih rje?enja sistema. U takvim slu?ajevima, nule se obi?no biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada ?e odgovor biti:

16, 23, 0, 0, 0.

Primjer nekooperativnog sistema

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kao i obi?no, matrica se sastavlja:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I svodi se na postupni oblik:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nakon prve transformacije, tre?i red sadr?i jedna?inu oblika

bez rje?enja. Shodno tome, sistem je nekonzistentan, a odgovor ?e biti prazan skup.

Prednosti i nedostaci metode

Aplikacija

Gaussova metoda, koja se naziva i metodom sekvencijalne eliminacije nepoznanica, je sljede?a. Koriste?i elementarne transformacije, sistem linearnih jednad?bi se dovodi do takvog oblika da se njegova matrica koeficijenata ispostavi da je trapezoidni (isto kao trokutasti ili stepenasti) ili blizu trapezoidnog (direktan potez Gausove metode, u daljem tekstu - jednostavno ravan potez). Primjer takvog sistema i njegovo rje?enje je na gornjoj slici.

U takvom sistemu posljednja jedna?ina sadr?i samo jednu varijablu i njena vrijednost se mo?e nedvosmisleno prona?i. Vrijednost ove varijable se zatim zamjenjuje u prethodnu jedna?inu ( inverzno od Gausove metode , zatim samo obrnuto), iz koje se pronalazi prethodna varijabla, i tako dalje.

U trapezoidnom (trouglastom) sistemu, kao ?to vidimo, tre?a jedna?ina vi?e ne sadr?i varijable y I x, a druga jedna?ina je varijabla x .

Nakon ?to matrica sistema poprimi trapezoidni oblik, vi?e nije te?ko razumjeti pitanje kompatibilnosti sistema, odrediti broj rje?enja i prona?i sama rje?enja.

Prednosti metode:

pri rje?avanju sistema linearnih jedna?ina sa vi?e od tri jedna?ine i nepoznanica, Gaussova metoda nije tako glomazna kao Cramerova metoda, jer rje?avanje Gaussovom metodom zahtijeva manje prora?una;
Gaussovom metodom se mogu rje?avati neodre?eni sistemi linearnih jedna?ina, odnosno oni koji imaju op?e rje?enje (a mi ?emo ih analizirati u ovoj lekciji), a kori?tenjem Cramerove metode mo?emo samo konstatovati da je sistem neodre?en;
mo?ete rje?avati sisteme linearnih jedna?ina u kojima broj nepoznatih nije jednak broju jedna?ina (tako?er ?emo ih analizirati u ovoj lekciji);
Metoda se zasniva na elementarnim (?kolskim) metodama - metodi zamjene nepoznanica i metodi sabiranja jedna?ina, kojih smo se dotakli u odgovaraju?em ?lanku.

Kako bi svi shvatili jednostavnost kojom se rje?avaju trapezoidni (trouglasti, stepenasti) sistemi linearnih jedna?ina, predstavljamo rje?enje takvog sistema kori?tenjem obrnutog kretanja. Brzo rje?enje ovog sistema prikazano je na slici na po?etku lekcije.

Primjer 1. Rije?ite sistem linearnih jedna?ina koriste?i inverzno:

Rje?enje. U ovom trapezoidnom sistemu varijabla z mo?e se jedinstveno na?i iz tre?e jedna?ine. Njegovu vrijednost zamjenjujemo u drugu jedna?inu i dobivamo vrijednost varijable y:

Sada znamo vrijednosti dvije varijable - z I y. Zamjenjujemo ih u prvu jedna?inu i dobivamo vrijednost varijable x:

Iz prethodnih koraka ispisujemo rje?enje sistema jedna?ina:

Za dobijanje ovakvog trapeznog sistema linearnih jedna?ina, koji smo re?ili vrlo jednostavno, potrebno je koristiti potez unapred povezan sa elementarnim transformacijama sistema linearnih jedna?ina. Tako?e nije mnogo te?ko.

Elementarne transformacije sistema linearnih jedna?ina

Ponavljaju?i ?kolski metod algebarskog sabiranja jedna?ina sistema, saznali smo da jednoj od jedna?ina sistema mo?emo dodati jo? jednu jedna?inu sistema, a svaka od jedna?ina se mo?e pomno?iti sa nekim brojevima. Kao rezultat, dobijamo sistem linearnih jedna?ina koji je ekvivalentan ovom. U njoj je jedna jednad?ba ve? sadr?avala samo jednu varijablu, zamjenom ?ije vrijednosti u druge jedna?ine dolazimo do rje?enja. Takvo sabiranje je jedan od tipova elementarne transformacije sistema. Kada koristimo Gaussovu metodu, mo?emo koristiti nekoliko vrsta transformacija.

Gornja animacija pokazuje kako se sistem jedna?ina postepeno pretvara u trapezoidni. Odnosno onu koju ste vidjeli u prvoj animaciji i uvjerili se da je iz nje lako prona?i vrijednosti svih nepoznanica. O tome kako izvesti takvu transformaciju i, naravno, o primjerima ?e se dalje raspravljati.

Prilikom rje?avanja sistema linearnih jednad?bi sa bilo kojim brojem jedna?ina i nepoznanica u sistemu jedna?ina iu pro?irenoj matrici sistema Mo?e:

preurediti redove (ovo je spomenuto na samom po?etku ovog ?lanka);
ako druge transformacije rezultiraju jednakim ili proporcionalnim redovima, mogu se izbrisati, osim jednog;
ukloniti „nulte“ redove u kojima su svi koeficijenti jednaki nuli;
pomno?ite ili podijelite bilo koji niz odre?enim brojem;
bilo kojoj liniji dodajte jo? jednu liniju, pomno?enu odre?enim brojem.

Kao rezultat transformacija, dobijamo sistem linearnih jedna?ina koji je ekvivalentan ovom.

Algoritam i primjeri rje?avanja sistema linearnih jednad?bi s kvadratnom matricom sistema primjenom Gaussove metode

Razmotrimo prvo rje?avanje sistema linearnih jedna?ina u kojima je broj nepoznatih jednak broju jedna?ina. Matrica takvog sistema je kvadratna, odnosno broj redova u njoj jednak je broju kolona.

Primjer 2. Rije?ite sistem linearnih jednad?bi Gaussovom metodom

Prilikom rje?avanja sistema linearnih jedna?ina ?kolskim metodama mno?ili smo jednu od jedna?ina pojam po ?lan odre?enim brojem, tako da su koeficijenti prve varijable u dvije jedna?ine bili suprotni brojevi. Prilikom dodavanja jedna?ina ova varijabla se eliminira. Gaussova metoda djeluje sli?no.

Za pojednostavljenje izgleda rje?enja napravimo pro?irenu matricu sistema:

U ovoj matrici, koeficijenti nepoznatih se nalaze lijevo prije okomite linije, a slobodni ?lanovi su smje?teni desno nakon okomite linije.

Radi pogodnosti dijeljenja koeficijenata za varijable (da bi se dobilo dijeljenje jedinicom) Zamenimo prvi i drugi red sistemske matrice. Dobijamo sistem ekvivalentan ovom, po?to se u sistemu linearnih jedna?ina jedna?ine mogu zameniti:

Koriste?i novu prvu jedna?inu eliminisati varijablu x iz druge i svih narednih jednad?bi. Da bismo to u?inili, drugom redu matrice dodajemo prvi red pomno?en sa (u na?em slu?aju sa ), u tre?i red - prvi red pomno?en sa (u na?em slu?aju sa ).

Ovo je mogu?e jer

Kada bi u na?em sistemu bilo vi?e od tri jedna?ine, tada bismo morali svim narednim jedna?inama dodati prvi red, pomno?en odnosom odgovaraju?ih koeficijenata, uzetih sa predznakom minus.

Kao rezultat, dobijamo matricu ekvivalentnu ovom sistemu novog sistema jedna?ina, u kojem su sve jedna?ine, po?ev?i od drugog ne sadr?e varijablu x :

Da biste pojednostavili drugi red rezultuju?eg sistema, pomno?ite ga sa i ponovo dobijete matricu sistema jedna?ina ekvivalentnog ovom sistemu:

Sada, zadr?avaju?i prvu jedna?inu rezultiraju?eg sistema nepromijenjenom, pomo?u druge jedna?ine elimini?emo varijablu y iz svih narednih jedna?ina. Da bismo to u?inili, tre?em redu sistemske matrice dodajemo drugi red, pomno?en sa (u na?em slu?aju sa ).

Kada bi u na?em sistemu bilo vi?e od tri jedna?ine, onda bismo morali dodati drugu liniju svim narednim jedna?inama, pomno?enu omjerom odgovaraju?ih koeficijenata uzetih sa predznakom minus.

Kao rezultat, ponovo dobijamo matricu sistema koji je ekvivalentan ovom sistemu linearnih jedna?ina:

Dobili smo ekvivalentan trapezni sistem linearnih jedna?ina:

Ako je broj jedna?ina i varijabli ve?i nego u na?em primjeru, tada se proces sekvencijalne eliminacije varijabli nastavlja sve dok matrica sistema ne postane trapezoidna, kao u na?em demo primjeru.

Na?i ?emo rje?enje “s kraja” - obrnuti potez. Za ovo iz zadnje jedna?ine koju odredimo z:
.
Zamjenom ove vrijednosti u prethodnu jedna?inu, na?i ?emo y:

Iz prve jednad?be na?i ?emo x:

Odgovor: rje?enje ovog sistema jedna?ina je .

: u ovom slu?aju ?e se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rje?enje. Ako sistem ima beskona?an broj rje?enja, to ?e biti odgovor, a to je tema petog dijela ove lekcije.

Sami rije?ite sistem linearnih jedna?ina koriste?i Gausovu metodu, a zatim pogledajte rje?enje

Ovdje opet imamo primjer konzistentnog i odre?enog sistema linearnih jedna?ina, u kojem je broj jedna?ina jednak broju nepoznatih. Razlika u odnosu na na? demo primjer iz algoritma je u tome ?to ve? postoje ?etiri jednad?be i ?etiri nepoznate.

Primjer 4. Rije?ite sistem linearnih jednad?bi Gaussovom metodom:

Sada morate koristiti drugu jedna?inu da elimini?ete varijablu iz sljede?ih jedna?ina. Izvr?imo pripremne radove. Da bi bilo zgodnije s omjerom koeficijenata, morate dobiti jedan u drugom stupcu drugog reda. Da biste to u?inili, oduzmite tre?i od drugog reda i pomno?ite rezultiraju?i drugi red sa -1.

Hajde da sada izvr?imo stvarnu eliminaciju varijable iz tre?e i ?etvrte jedna?ine. Da biste to u?inili, dodajte drugi red, pomno?en sa , u tre?i red, a drugi, pomno?en sa , u ?etvrti red.

Sada, koriste?i tre?u jedna?inu, eliminiramo varijablu iz ?etvrte jedna?ine. Da biste to u?inili, dodajte tre?i red ?etvrtom redu, pomno?en sa . Dobijamo pro?irenu trapezoidnu matricu.

Dobili smo sistem jedna?ina kojem je dati sistem ekvivalentan:

Posljedi?no, rezultiraju?i i dati sistemi su kompatibilni i odre?eni. Kona?no rje?enje nalazimo “s kraja”. Iz ?etvrte jedna?ine mo?emo direktno izraziti vrijednost varijable “x-four”:

Tu vrijednost zamjenjujemo u tre?u jedna?inu sistema i dobijamo

Kona?no, zamjena vrijednosti

Prva jednad?ba daje

gdje nalazimo "x prvi":

Odgovor: ovaj sistem jedna?ina ima jedinstveno rje?enje .

Rje?enje sistema mo?ete provjeriti i na kalkulatoru koriste?i Cramerovu metodu: u ovom slu?aju ?e se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rje?enje.

Rje?avanje primijenjenih zadataka Gaussovom metodom na primjeru zadatka na legurama

Sistemi linearnih jedna?ina se koriste za modeliranje stvarnih objekata u fizi?kom svijetu. Hajde da rije?imo jedan od ovih problema - legure. Sli?ni problemi su problemi o mje?avinama, cijeni ili udjelu pojedina?nih roba u grupi roba i sli?no.

Primjer 5. Tri komada legure imaju ukupnu masu od 150 kg. Prva legura sadr?i 60% bakra, druga - 30%, tre?a - 10%. ?tavi?e, u drugoj i tre?oj leguri zajedno ima 28,4 kg manje bakra nego u prvoj, a u tre?oj leguri 6,2 kg manje bakra nego u drugoj. Prona?ite masu svakog komada legure.

Rje?enje. Sastavljamo sistem linearnih jedna?ina:

Pomno?imo drugu i tre?u jedna?inu sa 10, dobi?emo ekvivalentni sistem linearnih jedna?ina:

Kreiramo pro?irenu matricu sistema:

Pa?nja, pravo. Sabiranjem (u na?em slu?aju oduzimanjem) jednog reda pomno?enog brojem (primjenjujemo ga dvaput), s pro?irenom matricom sistema dolazi do sljede?ih transformacija:

Direktan potez je gotov. Dobili smo pro?irenu trapezoidnu matricu.

Primjenjujemo obrnuti potez. Pronalazimo rje?enje s kraja. Vidimo to.

Iz druge jedna?ine nalazimo

Iz tre?e jedna?ine -

Rje?enje sistema mo?ete provjeriti i na kalkulatoru koriste?i Cramerovu metodu: u ovom slu?aju ?e se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rje?enje.

O jednostavnosti Gaussove metode svjedo?i i ?injenica da je njema?kom matemati?aru Carlu Friedrichu Gausu trebalo samo 15 minuta da je izmisli. Osim metode nazvane po njemu, iz Gaussovih djela poznata je izreka „Ne treba brkati ono ?to nam se ?ini nevjerovatnim i neprirodnim sa apsolutno nemogu?im“ – svojevrsno kratko uputstvo za otkrivanje.

U mnogim primijenjenim problemima mo?da ne postoji tre?e ograni?enje, odnosno tre?a jedna?ina, tada morate rije?iti sistem od dvije jedna?ine sa tri nepoznanice koriste?i Gaussovu metodu, ili, obrnuto, ima manje nepoznanica nego jedna?ina. Sada ?emo po?eti rje?avati takve sisteme jedna?ina.

Koriste?i Gaussovu metodu, mo?ete odrediti da li je bilo koji sistem kompatibilan ili nekompatibilan n linearne jedna?ine sa n varijable.

Gaussova metoda i sistemi linearnih jedna?ina sa beskona?nim brojem rje?enja

Sljede?i primjer je konzistentan, ali neodre?en sistem linearnih jedna?ina, to jest, koji ima beskona?an broj rje?enja.

Nakon izvo?enja transformacija u pro?irenoj matrici sistema (preure?ivanje redova, mno?enje i dijeljenje redova odre?enim brojem, dodavanje drugog u jedan red), mogli bi se pojaviti redovi oblika

Ako u svim jednad?bama imaju oblik

Slobodni ?lanovi su jednaki nuli, to zna?i da je sistem neodre?en, odnosno da ima beskona?an broj rje?enja, a jedna?ine ovog tipa su „suvi?ne“ i izbacujemo ih iz sistema.

Primjer 6.

Rje?enje. Kreirajmo pro?irenu matricu sistema. Zatim, koriste?i prvu jedna?inu, eliminiramo varijablu iz sljede?ih jedna?ina. Da biste to u?inili, dodajte drugom, tre?em i ?etvrtom redu prvi, pomno?en sa:

Sada dodajmo drugi red tre?em i ?etvrtom.

Kao rezultat, dolazimo do sistema

Posljednje dvije jedna?ine su se pretvorile u jedna?ine oblika. Ove jednad?be su zadovoljene za bilo koju vrijednost nepoznanica i mogu se odbaciti.

Da bismo zadovoljili drugu jednad?bu, mo?emo odabrati proizvoljne vrijednosti za i , tada ?e vrijednost za biti odre?ena jedinstveno: . Iz prve jedna?ine vrijednost za tako?er se nalazi jedinstveno: .

I dati i posljednji sistem su konzistentni, ali nesigurni i formule

za proizvoljno i daju nam sva rje?enja datog sistema.

Gausova metoda i sistemi linearnih jedna?ina bez rje?enja

Sljede?i primjer je nekonzistentan sistem linearnih jedna?ina, odnosno onaj koji nema rje?enja. Odgovor na takve probleme formuliran je na ovaj na?in: sistem nema rje?enja.

Kao ?to je ve? spomenuto u vezi s prvim primjerom, nakon izvo?enja transformacija, redovi forme mogu se pojaviti u pro?irenoj matrici sistema

?to odgovara jedna?ini oblika

Ako me?u njima postoji bar jedna jedna?ina sa slobodnim ?lanom razli?itom od nule (tj. ), onda je ovaj sistem jedna?ina nekonzistentan, odnosno nema rje?enja i njegovo rje?enje je potpuno.

Primjer 7. Rije?ite sistem linearnih jednad?bi Gaussovom metodom:

Rje?enje. Sastavljamo pro?irenu matricu sistema. Koriste?i prvu jedna?inu, isklju?ujemo varijablu iz sljede?ih jedna?ina. Da biste to u?inili, dodajte prvi red pomno?en sa drugom redu, prvi red pomno?en sa tre?im redom i prvi red pomno?en sa ?etvrtim redom.

Sada morate koristiti drugu jedna?inu da elimini?ete varijablu iz sljede?ih jedna?ina. Da bismo dobili cjelobrojne omjere koeficijenata, zamijenimo drugi i tre?i red pro?irene matrice sistema.

Da biste isklju?ili tre?u i ?etvrtu jednad?bu, dodajte drugu pomno?enu sa , u tre?i red, a drugu pomno?enu sa , u ?etvrti red.

Sada, koriste?i tre?u jedna?inu, eliminiramo varijablu iz ?etvrte jedna?ine. Da biste to u?inili, dodajte tre?i red ?etvrtom redu, pomno?en sa .

Dakle, dati sistem je ekvivalentan slede?em:

Rezultiraju?i sistem je nekonzistentan, jer njegovu posljednju jedna?inu ne mo?e zadovoljiti nijedna vrijednost nepoznanica. Dakle, ovaj sistem nema rje?enja.