Koja je su?tina formule?

Ova formula vam omogu?ava da prona?ete bilo koji PO NJEGOVOM BROJU" n" .

Naravno, morate znati prvi pojam a 1 i razlika u napredovanju d, pa, bez ovih parametara, ne mo?ete zapisati odre?enu progresiju.

Nije dovoljno zapamtiti (ili prevariti) ovu formulu. Potrebno je asimilirati njenu su?tinu i primijeniti formulu u raznim problemima. Da, i ne zaboravite u pravo vrijeme, da...) Kako ne zaboravi- Ne znam. Ali kako zapamtiti Ako bude potrebno, dat ?u vam savjet. Za one koji savladaju lekciju do kraja.)

Dakle, pozabavimo se formulom n-tog ?lana aritmeti?ke progresije.

?ta je uop?te formula – zami?ljamo.) ?ta je aritmeti?ka progresija, broj ?lana, razlika progresije – jasno je re?eno u prethodnoj lekciji. Pogledajte ako ga niste pro?itali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje da se shvati ?ta n-ti ?lan.

Progresija se op?enito mo?e napisati kao niz brojeva:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- ozna?ava prvi ?lan aritmeti?ke progresije, a 3- tre?i ?lan a 4- ?etvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo a 5, ako sto dvadeseti - od a 120.

Kako generalno definisati bilo koji?lan aritmeti?ke progresije, s bilo koji broj? Veoma jednostavno! Volim ovo:

a n

To je ono ?to je n-ti ?lan aritmeti?ke progresije. Ispod slova n svi brojevi ?lanova su skriveni odjednom: 1, 2, 3, 4 itd.

A ?ta nam takav zapis daje? Zamislite samo, umjesto broja, napisali su slovo...

Ova notacija nam daje mo?an alat za rad sa aritmeti?kim progresijama. Koriste?i notaciju a n, mo?emo brzo prona?i bilo koji?lan bilo koji aritmeti?ka progresija. I gomila zadataka za rje?avanje u toku. Vidjet ?ete dalje.

U formuli n-tog ?lana aritmeti?ke progresije:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- prvi ?lan aritmeti?ke progresije;

n- ?lanski broj.

Formula povezuje klju?ne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1 ; d i n. Oko ovih parametara, sve se zagonetke vrte u progresiji.

Formula n-tog pojma se tako?er mo?e koristiti za pisanje odre?ene progresije. Na primjer, u zadatku se mo?e re?i da je progresija data uslovom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav problem mo?e ?ak i zbuniti... Nema serije, nema razlike... Ali, upore?uju?i stanje sa formulom, lako je zaklju?iti da u ovoj progresiji a 1 = 5 i d = 2.

A mo?e biti jo? ljutije!) Ako uzmemo isti uslov: a n = 5 + (n-1) 2, da, otvori zagrade i daj sli?ne? Dobijamo novu formulu:

an = 3 + 2n.

to Samo ne op?enito, ve? za konkretnu progresiju. Tu le?i zamka. Neki ljudi misle da je prvi mandat trojka. Iako je u stvarnosti prvi ?lan petica... Malo ni?e ?emo raditi s tako izmijenjenom formulom.

U zadacima za napredovanje postoji jo? jedna notacija - a n+1. Ovo je, poga?ate, "n plus prvi" ?lan progresije. Njegovo zna?enje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je ?lan progresije, ?iji je broj ve?i od broja n za jedan. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo za a n onda peti mandat a n+1 bi?e ?esti ?lan. itd.

Naj?e??e oznaka a n+1 javlja se u rekurzivnim formulama. Ne boj se ove stra?ne rije?i!) Ovo je samo na?in da se izrazi izraz aritmeti?ke progresije kroz prethodni. Pretpostavimo da nam je data aritmeti?ka progresija u ovom obliku, koriste?i rekurentnu formulu:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

?etvrti - kroz tre?i, peti - kroz ?etvrti, i tako dalje. I kako odmah prebrojati, recimo dvadeseti pojam, a 20? Ali nikako!) Dok 19. mandat nije poznat, 20. se ne mo?e ra?unati. Ovo je fundamentalna razlika izme?u rekurzivne formule i formule n-tog ?lana. Rekurzivno radi samo kroz prethodni pojam, a formula n-og ?lana - kroz prvi i dozvoljava odmah prona?ite bilo kojeg ?lana po broju. Ne ra?unaju?i ?itav niz brojeva po redu.

U aritmeti?koj progresiji, rekurzivna formula se lako mo?e pretvoriti u regularnu. Izbrojte par uzastopnih ?lanova, izra?unajte razliku d, prona?ite, ako je potrebno, prvi pojam a 1, napi?ite formulu u uobi?ajenom obliku i radite s njom. U GIA-i se takvi zadaci ?esto nalaze.

Primjena formule n-tog ?lana aritmeti?ke progresije.

Prvo, pogledajmo direktnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

S obzirom na aritmeti?ku progresiju (a n). Prona?ite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Ovaj problem se mo?e rije?iti bez ikakvih formula, jednostavno na osnovu zna?enja aritmeti?ke progresije. Dodaj, da dodaj... Sat ili dva.)

A prema formuli, rje?enje ?e trajati manje od minute. Mo?ete ga tempirati.) Odlu?ujemo.

Uvjeti pru?aju sve podatke za kori?tenje formule: a 1 = 3, d \u003d 1/6. Ostaje da se vidi ?ta n. Nema problema! Moramo prona?i a 121. Ovdje pi?emo:

Molimo obratite pa?nju! Umjesto indeksa n pojavio se odre?eni broj: 121. ?to je sasvim logi?no.) Zanima nas ?lan aritmeti?ke progresije broj sto dvadeset jedan. Ovo ?e biti na?e n. To je ovo zna?enje n= 121 zameni?emo dalje u formulu, u zagradama. Zamijenite sve brojeve u formuli i izra?unajte:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je sve. Jednako brzo se mogao prona?i petsto deseti ?lan, a hiljadu i tre?i, bilo koji. Stavili smo umjesto toga n?eljeni broj u indeksu slova " a" i u zagradama, i razmatramo.

Dozvolite mi da vas podsjetim na su?tinu: ova formula vam omogu?ava da prona?ete bilo koji pojam aritmeti?ke progresije PO NJEGOVOM BROJU" n" .

Re?imo problem pametnije. Recimo da imamo sljede?i problem:

Prona?ite prvi ?lan aritmeti?ke progresije (a n) ako je a 17 =-2; d=-0,5.

Ako budete imali pote?ko?a, predlo?it ?u prvi korak. Zapi?ite formulu za n-ti ?lan aritmeti?ke progresije! Da da. Napi?ite rukom, pravo u svoju svesku:

a n = a 1 + (n-1)d

I sada, gledaju?i slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a ?ta nedostaje? Dostupan d=-0,5, ima sedamnaesti ?lan... Sve? Ako mislite da je to sve, onda ne mo?ete rije?iti problem, da...

Imamo i broj n! U stanju a 17 =-2 skriveno dvije opcije. Ovo je i vrijednost sedamnaestog ?lana (-2) i njegov broj (17). One. n=17. Ova „sitnica“ ?esto pro?e pored glave, a bez nje (bez „sitnice“, a ne glave!) problem se ne mo?e re?iti. Mada... i bez glave.)

Sada mo?emo samo glupo zamijeniti na?e podatke u formulu:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh da, a 17 znamo da je -2. U redu, stavimo to:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

To je, u su?tini, sve. Ostaje da izrazimo prvi ?lan aritmeti?ke progresije iz formule i izra?unamo. Dobijate odgovor: a 1 = 6.

Takva tehnika - pisanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - puno poma?e u jednostavnim zadacima. Pa, morate, naravno, znati izraziti varijablu iz formule, ali ?ta da se radi!? Bez ove vje?tine matematika se uop?e ne mo?e u?iti...

Jo? jedan popularan problem:

Prona?ite razliku aritmeti?ke progresije (a n) ako je a 1 =2; a 15 =12.

?ta mi radimo? Iznenadit ?ete se, pi?emo formulu!)

a n = a 1 + (n-1)d

Razmotrite ?ta znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (poseban naglasak!) n=15. Slobodno zamijenite u formuli:

12=2 + (15-1)d

Uradimo aritmetiku.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je ta?an odgovor.

Dakle, zadaci a n , a 1 i d odlu?ila. Ostaje nau?iti kako prona?i broj:

Broj 99 je ?lan aritmeti?ke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Prona?ite broj ovog ?lana.

Zamjenjujemo poznate koli?ine u formulu n-tog ?lana:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvi pogled ovde postoje dve nepoznate koli?ine: a n i n. Ali a n je neki ?lan progresije s brojem n... A ovog ?lana progresije poznajemo! 99 je. Ne znamo njegov broj. n, tako da i ovaj broj treba prona?i. Zamijenite termin progresije 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izra?avamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.

A sada problem na istu temu, ali kreativniji):

Odredite da li ?e broj 117 biti ?lan aritmeti?ke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Hajde da ponovo napi?emo formulu. ?ta, nema opcija? Hm... Za?to su nam potrebne o?i?) Vidimo li prvog ?lana progresije? Vidimo. Ovo je -3,6. Mo?ete sa sigurno??u napisati: a 1 \u003d -3,6. Razlika d mo?e se odrediti iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmeti?ke progresije:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Da, uradili smo najjednostavniju stvar. Ostaje da se pozabavimo nepoznatim brojem n i nerazumljiv broj 117. U prethodnom zadatku se barem znalo da je zadan termin progresije. Ali mi to ni ne znamo... Kako biti!? Pa, kako biti, kako biti... Uklju?ite svoje kreativne sposobnosti!)

Mi pretpostavimo da je 117, na kraju krajeva, ?lan na?eg napredovanja. Sa nepoznatim brojem n. I, ba? kao u prethodnom zadatku, poku?ajmo prona?i ovaj broj. One. pi?emo formulu (da-da!)) i zamjenjujemo na?e brojeve:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opet izra?avamo iz formulen, ra?unamo i dobijamo:

Ups! Broj se ispostavio fractional! Sto jedan i po. I razlomci u progresijama ne mo?e biti. Kakav zaklju?ak donosimo? Da! Broj 117 nije?lan na?eg napredovanja. To je negdje izme?u 101. i 102. pripadnika. Ako se ispostavi da je broj prirodan, tj. pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio ?lan progresije s prona?enim brojem. A u na?em slu?aju, odgovor na problem ?e biti: br.

Zadatak zasnovan na pravoj verziji GIA:

Aritmeti?ka progresija je data uslovom:

a n \u003d -4 + 6,8n

Prona?ite prvi i deseti ?lan progresije.

Ovdje je progresija postavljena na neobi?an na?in. Nekakva formula... De?ava se.) Me?utim, ova formula (kao ?to sam gore napisao) - tako?er formula n-tog ?lana aritmeti?ke progresije! Ona tako?e dozvoljava prona?ite bilo kojeg ?lana progresije po njegovom broju.

Tra?imo prvog ?lana. Onaj koji misli. da je prvi ?lan minus ?etiri, fatalno je pogre?no!) Jer je formula u zadatku izmijenjena. Prvi ?lan aritmeti?ke progresije u njemu skriveno. Ni?ta, sada ?emo to prona?i.)

Kao iu prethodnim zadacima, vr?imo zamjenu n=1 u ovu formulu:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Evo! Prvi ?lan je 2,8, a ne -4!

Sli?no, tra?imo i deseti termin:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

To je sve.

A sada, za one koji su pro?itali do ovih redova, obe?ani bonus.)

Pretpostavimo da ste u te?koj borbenoj situaciji GIA ili Jedinstvenog dr?avnog ispita zaboravili korisnu formulu n-tog ?lana aritmeti?ke progresije. Ne?to mi pada na pamet, ali nekako nesigurno... Da li n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?

Smiren! Ovu formulu je lako izvesti. Nije ba? strogo, ali da budemo sigurni i ispravna odluka dosta je!) Za zaklju?ak je dovoljno zapamtiti elementarno zna?enje aritmeti?ke progresije i imati par minuta vremena. Samo treba da nacrtate sliku. Radi jasno?e.

Nacrtamo numeri?ku osu i na njoj ozna?imo prvu. drugi, tre?i itd. ?lanovi. I primijetite razliku d izme?u ?lanova. Volim ovo:

Gledamo sliku i mislimo: ?emu je jednak drugi ?lan? Sekunda jedan d:

a 2 =a 1 + 1 d

?ta je tre?i termin? Tre?e pojam je jednak prvom ?lanu plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

Da li shvatate? Ne stavljam neke rije?i podebljano uzalud. U redu, jo? jedan korak.)

?ta je ?etvrti mandat? ?etvrto pojam je jednak prvom ?lanu plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Vrijeme je da shvatimo da je broj praznina, tj. d, uvijek jedan manji od broja ?lana kojeg tra?ite n. Odnosno, do broja n, broj praznina bice n-1. Dakle, formula ?e biti (bez opcija!):

a n = a 1 + (n-1)d

Op?enito, vizualne slike su od velike pomo?i u rje?avanju mnogih matemati?kih problema. Nemojte zanemariti slike. Ali ako je te?ko nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog ?lana omogu?ava vam da pove?ete cijeli mo?ni arsenal matematike na rje?enje - jednad?be, nejedna?ine, sisteme itd. Ne mozes sliku staviti u jednacinu...

Zadaci za samostalno odlu?ivanje.

Za zagrevanje:

1. U aritmeti?koj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Prona?ite 3.

Savjet: prema slici, problem se rje?ava za 20 sekundi... Prema formuli, ispada te?e. Ali za savladavanje formule, korisnije je.) U odjeljku 555, ovaj problem je rije?en i slikom i formulom. Osjetite razliku!)

I ovo vi?e nije zagrijavanje.)

2. U aritmeti?koj progresiji (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Prona?ite a 3 .

?ta, nevoljkost da nacrtam sliku?) Ipak! Bolje je u formuli, da...

3. Aritmeti?ka progresija je data uslovom:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Prona?ite sto dvadeset peti ?lan ove progresije.

U ovom zadatku, napredovanje se daje na ponavljaju?i na?in. Ali ra?unaju?i do sto dvadeset i petog ?lana... Ne mo?e svako da u?ini takav podvig.) Ali formula n-tog ?lana je u mo?i svakoga!

4. S obzirom na aritmeti?ku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Prona?ite broj najmanjeg pozitivnog ?lana progresije.

5. Prema uslovu zadatka 4, prona?ite zbir najmanjih pozitivnih i najve?ih negativnih ?lanova progresije.

6. Proizvod petog i dvanaestog ?lana rastu?e aritmeti?ke progresije je -2,5, a zbir tre?eg i jedanaestog ?lana je nula. Prona?ite 14.

Nije najlak?i zadatak, da ...) Ovdje metoda "na prstima" ne?e raditi. Morate napisati formule i rije?iti jedna?ine.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Desilo se? Lijepo je!)

Nije sve u redu? De?ava se. Ina?e, u posljednjem zadatku postoji jedna suptilna to?ka. Bi?e potrebna pa?nja prilikom ?itanja problema. I logika.

Rje?enje svih ovih problema detaljno je razmotreno u Odjeljku 555. I element fantazije za ?etvrti, i suptilni trenutak za ?esti, i op?i pristupi rje?avanju bilo kojeg problema za formulu n-og ?lana - sve je oslikano. Predla?em.

Ako vam se svi?a ovaj sajt...

Ina?e, imam jo? par zanimljivih stranica za vas.)

Mo?ete vje?bati rje?avanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. U?enje - sa interesovanjem!)

mo?ete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

IV Yakovlev | Materijali iz matematike | MathUs.ru

Aritmeti?ka progresija

Aritmeti?ka progresija je posebna vrsta niza. Stoga, prije definiranja aritmeti?ke (a zatim geometrijske) progresije, moramo ukratko prodiskutirati o va?nom konceptu niza brojeva.

Subsequence

Zamislite ure?aj na ?ijem se ekranu neki brojevi prikazuju jedan za drugim. Recimo 2; 7; 13; jedan; 6; 0; 3; : : : Takav skup brojeva je samo primjer niza.

Definicija. Numeri?ki niz je skup brojeva u kojem se svakom broju mo?e dodijeliti jedinstveni broj (tj. staviti u korespondenciju s jednim prirodnim brojem)1. Broj sa brojem n naziva se n-ti ?lan niza.

Dakle, u gornjem primjeru, prvi broj ima broj 2, koji je prvi ?lan niza, koji se mo?e ozna?iti sa a1; broj pet ima broj 6 koji je peti ?lan niza, koji se mo?e ozna?iti a5. Op?enito, n-ti ?lan niza je ozna?en sa (ili bn, cn, itd.).

Vrlo zgodna situacija je kada se n-ti ?lan niza mo?e specificirati nekom formulom. Na primjer, formula an = 2n 3 specificira niz: 1; jedan; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n definira niz: 1; jedan; jedan; jedan; : : :

Nije svaki skup brojeva niz. Dakle, segment nije niz; sadr?i 3/4 previ?e? brojeva da bi se prenumerirali. Skup R svih realnih brojeva tako?er nije niz. Ove ?injenice su dokazane u toku matemati?ke analize.

Aritmeti?ka progresija: osnovne definicije

Sada smo spremni da defini?emo aritmeti?ku progresiju.

Definicija. Aritmeti?ka progresija je niz u kojem je svaki ?lan (po?ev?i od drugog) jednak zbiru prethodnog ?lana i nekog fiksnog broja (koji se naziva razlika aritmeti?ke progresije).

Na primjer, sekvenca 2; 5; osam; jedanaest; : : : je aritmeti?ka progresija sa prvim ?lanom 2 i razlikom 3. Sekvenca 7; 2; 3; osam; : : : je aritmeti?ka progresija sa prvim ?lanom 7 i razlikom 5. Sekvenca 3; 3; 3; : : : je aritmeti?ka progresija sa nultom razlikom.

Ekvivalentna definicija: Niz an se naziva aritmeti?kom progresijom ako je razlika an+1 an konstantna vrijednost (ne ovisi o n).

Za aritmeti?ku progresiju se ka?e da raste ako je njena razlika pozitivna, a opada ako je njena razlika negativna.

1 A evo i sa?etije definicije: niz je funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva. Na primjer, niz realnih brojeva je funkcija f: N! R.

Podrazumevano, nizovi se smatraju beskona?nim, odnosno sadr?e beskona?an broj brojeva. Ali niko se ne trudi uzeti u obzir i kona?ne nizove; u stvari, bilo koji kona?ni skup brojeva mo?e se nazvati kona?nim nizom. Na primjer, kona?ni niz 1; 2; 3; ?etiri; 5 se sastoji od pet brojeva.

Formula n-tog ?lana aritmeti?ke progresije

Lako je shvatiti da je aritmeti?ka progresija u potpunosti odre?ena sa dva broja: prvim ?lanom i razlikom. Stoga se postavlja pitanje: kako, znaju?i prvi ?lan i razliku, prona?i proizvoljan ?lan aritmeti?ke progresije?

Nije te?ko dobiti ?eljenu formulu za n-ti ?lan aritmeti?ke progresije. Neka an

aritmeti?ka progresija s razlikom d. Imamo:
an+1 = an + d (n = 1; 2; ::):
Posebno pi?emo:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
i sada postaje jasno da je formula za an:
an = a1 + (n 1)d:

Zadatak 1. U aritmeti?koj progresiji 2; 5; osam; jedanaest; : : : prona?ite formulu n-tog ?lana i izra?unajte stoti ?lan.

Rje?enje. Prema formuli (1) imamo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Svojstvo i znak aritmeti?ke progresije

svojstvo aritmeti?ke progresije. U aritmeti?koj progresiji an za bilo koji

Drugim rije?ima, svaki ?lan aritmeti?ke progresije (po?ev?i od drugog) je aritmeti?ka sredina susjednih ?lanova.

	Dokaz. Imamo:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

?to je bilo potrebno.

Op?enito, aritmeti?ka progresija an zadovoljava jednakost

a n = a n k+ a n+k

za bilo koji n > 2 i bilo koji prirodni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ispada da formula (2) nije samo nu?an ve? i dovoljan uslov da niz bude aritmeti?ka progresija.

Znak aritmeti?ke progresije. Ako jednakost (2) vrijedi za sve n > 2, tada je niz an aritmeti?ka progresija.

Dokaz. Prepi?imo formulu (2) na sljede?i na?in:

a na n 1= a n+1a n:

Ovo pokazuje da razlika an+1 an ne zavisi od n, a to samo zna?i da je niz an aritmeti?ka progresija.

Svojstvo i znak aritmeti?ke progresije mogu se formulisati kao jedan iskaz; radi prakti?nosti, to ?emo u?initi za tri broja (ovo je situacija koja se ?esto javlja u problemima).

Karakterizacija aritmeti?ke progresije. Tri broja a, b, c formiraju aritmeti?ku progresiju ako i samo ako je 2b = a + c.

Zadatak 2. (Moskovski dr?avni univerzitet, Ekonomski fakultet, 2007) Tri broja 8x, 3 x2 i 4 u navedenom redosledu formiraju opadaju?u aritmeti?ku progresiju. Prona?ite x i napi?ite razliku ove progresije.

Rje?enje. Po svojstvu aritmeti?ke progresije imamo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Ako je x = 1, onda se dobija opadaju?a progresija od 8, 2, 4 sa razlikom od 6. Ako je x = 5, onda se dobija rastu?a progresija od 40, 22, 4; ovaj slu?aj ne radi.

Odgovor: x = 1, razlika je 6.

Zbir prvih n ?lanova aritmeti?ke progresije

Legenda ka?e da je jednom u?iteljica rekla djeci da prona?u zbir brojeva od 1 do 100 i sjela da tiho ?itaju novine. Me?utim, za nekoliko minuta jedan dje?ak je rekao da je rije?io problem. Bio je to devetogodi?nji Carl Friedrich Gauss, kasnije jedan od najve?ih matemati?ara u istoriji.

Ideja malog Gausa je bila ovo. Neka

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Zapi?imo ovaj zbir obrnutim redoslijedom:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

i dodajte ove dvije formule:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Svaki ?lan u zagradama jednak je 101, a takvih je ukupno 100. Dakle

2S = 101 100 = 10100;

Koristimo ovu ideju da izvedemo formulu sume

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Korisna modifikacija formule (3) se dobija zamjenom formule za n-ti ?lan an = a1 + (n 1)d u nju:

		2a1 + (n 1)d

Zadatak 3. Na?ite zbir svih pozitivnih trocifrenih brojeva djeljivih sa 13.

Rje?enje. Trocifreni brojevi koji su vi?ekratnici broja 13 formiraju aritmeti?ku progresiju sa prvim ?lanom 104 i razlikom 13; n-ti ?lan ove progresije je:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Hajde da saznamo koliko ?lanova sadr?i na?a progresija. Da bismo to u?inili, rje?avamo nejednakost:

an 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Dakle, u na?oj progresiji ima 69 ?lanova. Prema formuli (4) nalazimo potrebnu koli?inu:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Aritmeti?ka progresija imenovati niz brojeva (?lanovi progresije)

U kojoj se svaki sljede?i pojam razlikuje od prethodnog po ?eli?nom pojmu, koji se jo? naziva razlika koraka ili progresije.

Dakle, postavljanjem koraka progresije i njegovog prvog ?lana, mo?ete prona?i bilo koji od njegovih elemenata koriste?i formulu

Svojstva aritmeti?ke progresije

1) Svaki ?lan aritmeti?ke progresije, po?ev?i od drugog broja, je aritmeti?ka sredina prethodnog i sljede?eg ?lana progresije

I obrnuto je ta?no. Ako je aritmeti?ka sredina susjednih neparnih (parnih) ?lanova progresije jednaka ?lanu koji stoji izme?u njih, onda je ovaj niz brojeva aritmeti?ka progresija. Ovom tvrdnjom vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.

Tako?er, pomo?u svojstva aritmeti?ke progresije, gornja formula se mo?e generalizirati na sljede?e

To je lako provjeriti ako zapi?emo pojmove desno od znaka jednakosti

?esto se koristi u praksi za pojednostavljenje prora?una u problemima.

2) Zbir prvih n ?lanova aritmeti?ke progresije izra?unava se po formuli

Dobro zapamtite formulu za zbir aritmeti?ke progresije, neophodna je u prora?unima i prili?no je ?esta u jednostavnim ?ivotnim situacijama.

3) Ako trebate prona?i ne cijeli zbir, ve? dio niza po?ev?i od njegovog k-tog ?lana, onda ?e vam sljede?a formula sume dobro do?i

4) Od prakti?nog je interesa prona?i zbir n ?lanova aritmeti?ke progresije po?ev?i od k-tog broja. Da biste to u?inili, koristite formulu

Tu se zavr?ava teorijski materijal i prelazimo na rje?avanje problema koji su uobi?ajeni u praksi.

Primjer 1. Prona?ite ?etrdeseti ?lan aritmeti?ke progresije 4;7;...

Rje?enje:

Prema uslovima imamo

Definirajte korak napredovanja

Prema poznatoj formuli nalazimo ?etrdeseti ?lan progresije

Primjer2. Aritmeti?ku progresiju daju njen tre?i i sedmi ?lan. Prona?ite prvi ?lan progresije i zbir deset.

Rje?enje:

Zapisujemo date elemente progresije prema formulama

Prvu jedna?inu oduzimamo od druge jedna?ine, kao rezultat nalazimo korak progresije

Prona?ena vrijednost se zamjenjuje u bilo koju od jednad?bi kako bi se prona?ao prvi ?lan aritmeti?ke progresije

Izra?unajte zbir prvih deset ?lanova progresije

Bez primjene slo?enih prora?una, prona?li smo sve tra?ene vrijednosti.

Primjer 3. Aritmeti?ku progresiju daje imenilac i jedan od njegovih ?lanova. Prona?ite prvi ?lan progresije, zbir njegovih 50 ?lanova po?ev?i od 50, i zbir prvih 100.

Rje?enje:

Napi?imo formulu za stoti element progresije

i prona?ite prvu

Na osnovu prvog nalazimo 50. ?lan progresije

Pronala?enje zbroja dijela progresije

i zbir prvih 100

Zbir progresije je 250.

Primjer 4

Prona?ite broj ?lanova aritmeti?ke progresije ako:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Rje?enje:

Zapisujemo jedna?ine u terminima prvog ?lana i koraka progresije i definiramo ih

Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u formulu sume kako bismo odredili broj ?lanova u zbroju

Pravljenje pojednostavljenja

i rije?i kvadratnu jedna?inu

Od dvije prona?ene vrijednosti, samo je broj 8 prikladan za stanje problema. Tako je zbir prvih osam ?lanova progresije 111.

Primjer 5

rije?i jedna?inu

1+3+5+...+x=307.

Rje?enje: Ova jedna?ina je zbir aritmeti?ke progresije. Zapisujemo njegov prvi ?lan i nalazimo razliku progresije

Zbir aritmeti?ke progresije.

Zbir aritmeti?ke progresije je jednostavna stvar. I po zna?enju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od osnovnog do sasvim solidnog.

Prvo, hajde da se pozabavimo zna?enjem i formulom sume. A onda ?emo odlu?iti. Za vlastito zadovoljstvo.) Zna?enje sume je jednostavno kao spu?tanje. Da biste prona?li zbir aritmeti?ke progresije, potrebno je samo pa?ljivo sabrati sve njene ?lanove. Ako je ovih pojmova malo, mo?ete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno... dodatak je neugodan.) U ovom slu?aju formula ?tedi.

Formula sume je jednostavna:

Hajde da shvatimo kakva su slova uklju?ena u formulu. Ovo ?e razjasniti mnogo toga.

S n je zbir aritmeti?ke progresije. Rezultat zbrajanja sve?lanovi, sa prvo on zadnji. Va?no je. Ta?no zbrojite sve?lanovi u nizu, bez razmaka i skokova. I, ta?no, po?ev?i od prvo. U problemima kao ?to je pronala?enje zbira tre?eg i osmog ?lana, ili zbira ?lanova od petog do dvadesetog, direktna primjena formule ?e biti razo?aravaju?a.)

a 1 - prvi?lan progresije. Ovde je sve jasno, jednostavno prvo broj reda.

a n- zadnji?lan progresije. Poslednji broj u redu. Ime nije ba? poznato, ali kada se primeni na koli?inu, vrlo je prikladno. Onda ?ete se sami uvjeriti.

n je broj posljednjeg ?lana. Va?no je shvatiti da je u formuli ovaj broj poklapa se sa brojem dodatih pojmova.

Hajde da defini?emo koncept zadnji?lan a n. Popunjavaju?e pitanje: kakav ?e ?lan posljednje, ako je dato beskrajno aritmeti?ka progresija?

Za pouzdan odgovor, morate razumjeti osnovno zna?enje aritmeti?ke progresije i ... pa?ljivo pro?itati zadatak!)

U zadatku pronala?enja zbira aritmeti?ke progresije uvijek se pojavljuje posljednji ?lan (direktno ili indirektno), koje bi trebalo ograni?iti. Ina?e, kona?an, specifi?an iznos jednostavno ne postoji. Za rje?enje nije bitno kakva je progresija data: kona?na ili beskona?na. Nije va?no kako je dat: nizom brojeva ili formulom n-tog ?lana.

Najva?nije je shvatiti da formula funkcionira od prvog ?lana progresije do ?lana s brojem n. Zapravo, puno ime formule izgleda ovako: zbir prvih n ?lanova aritmeti?ke progresije. Broj ovih prvih ?lanova, tj. n, odre?en je isklju?ivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije ?esto ?ifrirane, da... Ali ni?ta, u primjerima ispod ?emo otkriti ove tajne.)

Primjeri zadataka za zbir aritmeti?ke progresije.

Prije svega korisne informacije:

Glavna pote?ko?a u zadacima za zbir aritmeti?ke progresije je ispravno odre?ivanje elemenata formule.

Autori zadataka ?ifriraju upravo ove elemente bezgrani?nom ma?tom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevaju?i su?tinu elemenata, dovoljno ih je samo de?ifrirati. Pogledajmo nekoliko primjera u detalje. Po?nimo sa zadatkom zasnovanim na stvarnom GIA.

1. Aritmeti?ka progresija je data uslovom: a n = 2n-3.5. Prona?ite zbir prvih 10 ?lanova.

Dobar posao. Lako.) ?ta treba da znamo da bismo odredili koli?inu prema formuli? Prvi ?lan a 1, pro?li mandat a n, da broj posljednjeg termina n.

Gdje dobiti posljednji ?lanski broj n? Da, na istom mestu, u stanju! Pi?e prona?ite sumu prvih 10 ?lanova. Pa, koji ?e to biti broj posljednje, deseti ?lan?) Ne?ete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n zamijenit ?emo u formulu a 10, ali umjesto toga n- deset. Opet, broj posljednjeg ?lana je isti kao i broj ?lanova.

Ostaje da se utvrdi a 1 i a 10. To se lako izra?unava formulom n-tog ?lana, koja je data u opisu problema. Ne znate kako to u?initi? Posjetite prethodnu lekciju, bez ovoga - ni?ta.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Saznali smo zna?enje svih elemenata formule za zbir aritmeti?ke progresije. Ostaje ih zamijeniti i ra?unati:

To je sve. Odgovor: 75.

Jo? jedan zadatak baziran na GIA. Malo komplikovanije:

2. Zadata je aritmeti?ka progresija (a n), ?ija je razlika 3,7; a 1 \u003d 2.3. Prona?ite zbir prvih 15 ?lanova.

Odmah pi?emo formulu sume:

Ova formula nam omogu?ava da prona?emo vrijednost bilo kojeg ?lana po njegovom broju. Tra?imo jednostavnu zamjenu:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formuli za zbir aritmeti?ke progresije i izra?unati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako u formuli zbira umjesto a n samo zamijenimo formulu n-tog ?lana, dobi?emo:

Dajemo sli?ne, dobijamo novu formulu za zbir ?lanova aritmeti?ke progresije:

Kao ?to vidite, n-ti pojam ovdje nije potreban. a n. U nekim zadacima ova formula puno poma?e, da... Mo?ete zapamtiti ovu formulu. I mo?ete ga jednostavno povu?i u pravo vrijeme, kao ovdje. Na kraju krajeva, formula za zbir i formula za n-ti ?lan moraju se pamtiti na svaki na?in.)

Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):

3. Na?ite zbir svih pozitivnih dvocifrenih brojeva koji su vi?estruki od tri.

Kako! Nema prvog ?lana, nema poslednjeg, nema napredovanja uop?te... Kako ?ivjeti!?

Morat ?ete razmi?ljati svojom glavom i izvu?i iz stanja sve elemente zbira aritmeti?ke progresije. ?ta su dvocifreni brojevi - znamo. Sastoje se od dva broja.) Koji ?e dvocifreni broj prvo? 10, vjerovatno.) poslednja stvar dvocifreni broj? 99, naravno! Trocifrene ?e ga pratiti...

Vi?estruki od tri... Hm... Ovo su brojevi koji su jednako djeljivi sa tri, evo! Deset nije deljivo sa tri, 11 nije deljivo... 12... je deljivo! Dakle, ne?to se pojavljuje. Ve? mo?ete napisati niz prema stanju problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ho?e li ova serija biti aritmeti?ka progresija? Naravno! Svaki termin se razlikuje od prethodnog striktno za tri. Ako se terminu doda 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj vi?e ne?e biti podijeljen sa 3. Mo?ete odmah odrediti razliku aritmeti?ke progresije do hrpe: d = 3. Korisno!)

Dakle, mo?emo sigurno zapisati neke parametre progresije:

Koji ?e biti broj n zadnji ?lan? Ko misli da je 99 kobno se vara... Brojevi - uvijek idu redom, a na?i ?lanovi preska?u prva tri. Ne poklapaju se.

Ovdje postoje dva rje?enja. Jedan na?in je za super vrijedne. Mo?ete oslikati progresiju, cijeli niz brojeva i prebrojati broj pojmova prstom.) Drugi na?in je za promi?ljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti ?lan. Ako se formula primijeni na na? problem, dobijamo da je 99 trideseti ?lan progresije. One. n = 30.

Gledamo formulu za zbir aritmeti?ke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Izvukli smo sve ?to je potrebno za izra?unavanje koli?ine iz stanja problema:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Ono ?to ostaje je elementarna aritmetika. Zamijenite brojeve u formuli i izra?unajte:

Odgovor: 1665

Jo? jedna vrsta popularnih zagonetki:

4. Zadana je aritmeti?ka progresija:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Na?ite zbir pojmova od dvadesetog do trideset ?etvrtog.

Gledamo formulu zbira i ... uznemireni smo.) Formula, da vas podsjetim, izra?unava zbir od prve?lan. A u zadatku treba izra?unati sumu od dvadesetog... Formula ne?e raditi.

Mo?ete, naravno, oslikati cijelu progresiju u nizu, i staviti ?lanove od 20 do 34. Ali ... nekako ispadne glupo i dugo, zar ne?)

Postoji elegantnije rje?enje. Podijelimo na?u seriju na dva dijela. Prvi dio ?e od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - dvadeset do trideset ?etiri. Jasno je da ako izra?unamo zbir ?lanova prvog dijela S 1-19, dodajmo je zbiru ?lanova drugog dijela S 20-34, dobijamo zbir progresije od prvog ?lana do trideset ?etvrtog S 1-34. Volim ovo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ovo pokazuje da se nalazi zbir S 20-34 mo?e se uraditi jednostavnim oduzimanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

U obzir se uzimaju oba suma na desnoj strani od prve?lan, tj. standardna formula sume je prili?no primjenjiva na njih. Po?injemo li?

Izvla?imo parametre progresije iz uslova zadatka:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Da bismo izra?unali zbir prvih 19 i prva 34 ?lana, trebat ?e nam 19. i 34. ?lan. Ra?unamo ih prema formuli n-tog ?lana, kao u zadatku 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Ni?ta vi?e nije ostalo. Oduzmite zbir 19 ?lanova od zbira 34 ?lana:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262.5

Jedna va?na napomena! Postoji vrlo korisna funkcija u rje?avanju ovog problema. Umjesto direktnog obra?una ?ta ti treba (S 20-34), brojali smo ono ?to, ?ini se, nije potrebno - S 1-19. A onda su odlu?ili S 20-34, odbacuju?i nepotrebno iz punog rezultata. Takva "finta s u?ima" ?esto ?tedi u zlim zagonetkama.)

U ovoj lekciji smo ispitali probleme za koje je dovoljno razumjeti zna?enje zbira aritmeti?ke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)

Prakti?ni savjeti:

Kada rje?avate bilo koji zadatak za zbir aritmeti?ke progresije, preporu?ujem da odmah napi?ete dvije glavne formule iz ove teme.

Formula n-tog ?lana:

Ove formule ?e vam odmah re?i ?ta da tra?ite, u kom pravcu da razmi?ljate kako biste re?ili problem. Poma?e.

A sada zadaci za samostalno rje?avanje.

5. Prona?ite zbir svih dvocifrenih brojeva koji nisu djeljivi sa tri.

Cool?) Nagove?taj je skriven u napomeni za problem 4. Pa, problem 3 ?e pomo?i.

6. Aritmeti?ka progresija je data uslovom: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Prona?ite zbir prva 24 ?lana.

Neobi?no?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome mo?ete pro?itati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takve se zagonetke ?esto nalaze u GIA-i.

7. Vasya je u?tedio novac za praznik. ?ak 4550 rubalja! I odlu?io sam da najvoljenijoj osobi (sebi) poklonim nekoliko dana sre?e). ?ivite lijepo, ne uskra?uju?i sebi ni?ta. Potro?ite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljede?i dan potro?ite 50 rubalja vi?e nego prethodnog! Dok novac ne ponestane. Koliko je dana sre?e imao Vasja?

Je li te?ko?) Dodatna formula iz zadatka 2 ?e pomo?i.

Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.

Ako vam se svi?a ovaj sajt...

Ina?e, imam jo? par zanimljivih stranica za vas.)

Mo?ete vje?bati rje?avanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. U?enje - sa interesovanjem!)

mo?ete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Problemi aritmeti?ke progresije postoje od davnina. Pojavili su se i tra?ili rje?enje, jer su imali prakti?nu potrebu.

Dakle, u jednom od papirusa starog Egipta, koji ima matemati?ki sadr?aj - Rhindov papirus (XIX vek pne) - sadr?i slede?i zadatak: podelite deset mera hleba na deset ljudi, pod uslovom da je razlika izme?u svakog od njih jedna osmina mjere.

A u matemati?kim radovima starih Grka postoje elegantne teoreme vezane za aritmeti?ku progresiju. Tako je Hipsikle iz Aleksandrije (2. vek, koji je sastavio mnoge zanimljive probleme i dodao ?etrnaestu knjigu Euklidovim „Elementima“), formulisao ideju: „U aritmeti?koj progresiji sa parnim brojem ?lanova, zbir ?lanova 2. pol. je ve?i od zbira ?lanova 1. za kvadrat 1/2 ?lanova.

Niz an je ozna?en. Brojevi niza nazivaju se njegovim ?lanovima i obi?no se ozna?avaju slovima sa indeksima koji ozna?avaju serijski broj ovog ?lana (a1, a2, a3 ... ?itaju: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” i tako dalje).

Niz mo?e biti beskona?an ili kona?an.

?ta je aritmeti?ka progresija? Podrazumijeva se da se dobije dodavanjem prethodnog ?lana (n) sa istim brojem d, ?to je razlika progresije.

Ako d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, onda se smatra da se takva progresija pove?ava.

Za aritmeti?ku progresiju se ka?e da je kona?na ako se uzme u obzir samo nekoliko njenih prvih ?lanova. Sa veoma velikim brojem ?lanova, ovo je ve? beskona?an napredak.

Bilo koja aritmeti?ka progresija data je sljede?om formulom:

an =kn+b, dok su b i k neki brojevi.

Tvrdnja, koja je suprotna, apsolutno je ta?na: ako je niz zadan sli?nom formulom, onda je to upravo aritmeti?ka progresija, koja ima svojstva:

1. Svaki ?lan progresije je aritmeti?ka sredina prethodnog i sljede?eg ?lana.
2. Suprotno: ako je, po?ev?i od 2., svaki ?lan aritmeti?ka sredina prethodnog i sljede?eg, tj. ako je uslov ispunjen, tada je dati niz aritmeti?ka progresija. Ova jednakost je istovremeno i znak progresije, pa se obi?no naziva karakteristi?nim svojstvom progresije.
   Na isti na?in, ta?na je teorema koja odra?ava ovo svojstvo: niz je aritmeti?ka progresija samo ako je ova jednakost istinita za bilo koji od ?lanova niza, po?ev?i od 2.

Karakteristi?no svojstvo za bilo koja ?etiri broja aritmeti?ke progresije mo?e se izraziti formulom an + am = ak + al ako je n + m = k + l (m, n, k su brojevi progresije).

U aritmeti?koj progresiji, bilo koji neophodan (N-ti) ?lan se mo?e prona?i primjenom sljede?e formule:

Na primjer: prvi ?lan (a1) u aritmeti?koj progresiji je dat i jednak je tri, a razlika (d) jednaka je ?etiri. Morate prona?i ?etrdeset peti ?lan ove progresije. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) vam omogu?ava da odredite n-ti ?lan aritmeti?ke progresije kroz bilo koji njen k-ti ?lan, pod uslovom da je poznat.

Zbir ?lanova aritmeti?ke progresije (pod pretpostavkom da je 1. n ?lanova kona?ne progresije) izra?unava se na sljede?i na?in:

Sn = (a1+an) n/2.

Ako je i 1. ?lan poznat, onda je druga formula pogodna za izra?unavanje:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Zbir aritmeti?ke progresije koja sadr?i n ?lanova izra?unava se na sljede?i na?in:

Izbor formula za prora?un zavisi od uslova zadataka i po?etnih podataka.

Prirodni niz bilo kojih brojeva kao ?to su 1,2,3,...,n,... je najjednostavniji primjer aritmeti?ke progresije.

Pored aritmeti?ke progresije, postoji i geometrijska, koja ima svoja svojstva i karakteristike.