• apothem- visina bo?ne strane pravilne piramide, koja je povu?ena iz njenog vrha (osim toga, apotema je du?ina okomice, koja se spu?ta od sredine pravilnog mnogougla na jednu od njegovih stranica);
• bo?ne strane (ASB, BSC, CSD, DSA) - trouglovi koji se sastaju na vrhu;
• bo?na rebra ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — zajedni?ke strane bo?nih strana;
• vrh piramide (t. S) - ta?ka koja spaja bo?na rebra i koja ne le?i u ravni osnove;
• visina ( SO ) - okomiti segment povu?en kroz vrh piramide na ravan njene osnove (krajevi takvog segmenta ?e biti vrh piramide i osnova okomice);
• dijagonalni presjek piramide- presek piramide koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;
• baza (A B C D) - poligon koji ne pripada vrhu piramide.

Svojstva piramide.

1. Kada sve bo?ne ivice imaju istu veli?inu, tada:

• lako je opisati krug blizu osnove piramide, a vrh piramide ?e biti projektovan u centar ovog kruga;
• bo?na rebra formiraju jednake uglove sa ravninom osnove;
• ?tavi?e, ta?no je i suprotno, tj. kada bo?na rebra formiraju jednake uglove sa ravninom osnove, ili kada se krug mo?e opisati oko osnove piramide, a vrh piramide ?e biti projektovan u centar ove kru?nice, to zna?i da su svi bo?ni rubovi piramide su iste veli?ine.

2. Kada bo?ne strane imaju ugao nagiba prema ravni osnove iste vrijednosti, tada:

• lako je opisati krug blizu osnove piramide, a vrh piramide ?e biti projektovan u centar ovog kruga;
• visine bo?nih strana su jednake du?ine;
• povr?ina bo?ne povr?ine jednaka je 1/2 umno?ka opsega baze i visine bo?ne povr?ine.

3. Sfera se mo?e opisati oko piramide ako se u osnovi piramide nalazi poligon oko kojeg se mo?e opisati krug (nu?an i dovoljan uslov). Sredi?te sfere ?e biti ta?ka presjeka ravnina koje prolaze kroz sredine ivica piramide okomitih na njih. Iz ove teoreme zaklju?ujemo da se sfera mo?e opisati i oko bilo koje trouglaste i oko bilo koje pravilne piramide.

4. Sfera se mo?e upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutra?njih diedarskih uglova piramide seku u 1. ta?ki (neophodan i dovoljan uslov). Ova ta?ka ?e postati centar sfere.

Najjednostavnija piramida.

Na osnovu broja uglova, osnova piramide se deli na trouglastu, ?etvorougaonu i tako dalje.

Bi?e piramida trouglasti, ?etvorougaona, i tako dalje, kada je osnova piramide trokut, ?etverougao i tako dalje. Trouglasta piramida je tetraedar - tetraedar. ?etverokutni - peterokutni i tako dalje.

S konceptom piramide u?enici se susre?u mnogo prije nego ?to su po?eli prou?avati geometriju. Gre?ka je u ?uvenim velikim egipatskim ?udima svijeta. Stoga, kada po?nu prou?avati ovaj divni poliedar, ve?ina u?enika to ve? jasno zami?lja. Sve gore navedene atrakcije imaju pravilan oblik. ?ta se desilo pravilne piramide, a koja svojstva ima bit ?e rije?i dalje.

U kontaktu sa

Definicija

Postoji dosta definicija piramide. Od davnina je veoma popularan.

Na primjer, Euklid ga je definirao kao tjelesnu figuru koja se sastoji od ravni koje se, polaze?i od jedne, konvergiraju u odre?enoj ta?ki.

Heron je dao precizniju formulaciju. Insistirao je da je to cifra koja ima bazu i ravni u obliku trokuta, konvergiraju?i u jednoj ta?ki.

Na osnovu savremene interpretacije, piramida je predstavljena kao prostorni poliedar, koji se sastoji od odre?enog k-ugla i k ravnih trouglastih figura, koje imaju jednu zajedni?ku ta?ku.

Pogledajmo to detaljnije, od kojih elemenata se sastoji:

• K-ugao se smatra osnovom figure;
• 3-kutni oblici str?e kao ivice bo?nog dijela;
• gornji dio iz kojeg poti?u bo?ni elementi naziva se vrh;
• svi segmenti koji povezuju vrh nazivaju se ivicama;
• ako se ravna linija spusti iz vrha u ravan figure pod uglom od 90 stepeni, tada je njen deo sadr?an u unutra?njem prostoru visina piramide;
• u bilo kojem bo?nom elementu, okomita, nazvana apotema, mo?e se povu?i na stranu na?eg poliedra.

Broj ivica se izra?unava pomo?u formule 2*k, gdje je k broj stranica k-ugla. Koliko strana ima poliedar kao ?to je piramida mo?e se odrediti pomo?u izraza k+1.

Bitan! Piramida pravilnog oblika je stereometrijska figura ?ija je osnovna ravan k-ugao sa jednakim stranicama.

Osnovna svojstva

Ispravna piramida ima mnogo svojstava, koje su jedinstvene za nju. Nabrojimo ih:

1. Osnova je figura pravilnog oblika.
2. Rubovi piramide koji ograni?avaju bo?ne elemente imaju jednake numeri?ke vrijednosti.
3. Bo?ni elementi su jednakokraki trouglovi.
4. Osnova visine figure pada u centar poligona, a istovremeno je centralna ta?ka upisanog i opisanog.
5. Sva bo?na rebra su nagnuta prema ravni baze pod istim uglom.
6. Sve bo?ne povr?ine imaju isti ugao nagiba u odnosu na bazu.

Zahvaljuju?i svim navedenim svojstvima, izvo?enje prora?una elemenata je mnogo jednostavnije. Na osnovu gore navedenih svojstava obra?amo pa?nju na dva znaka:

1. U slu?aju kada se poligon uklapa u krug, bo?ne strane ?e imati jednake uglove sa bazom.
2. Kada se opisuje kru?nica oko poligona, sve ivice piramide koje izlaze iz vrha imat ?e jednake du?ine i jednake uglove sa bazom.

Osnova je kvadrat

Pravilna ?etvorougaona piramida - poliedar ?ija je osnova kvadrat.

Ima ?etiri bo?ne strane, koje su po izgledu jednakokra?ne.

Kvadrat je prikazan na ravni, ali je zasnovan na svim svojstvima pravilnog ?etverougla.

Na primjer, ako je potrebno povezati stranu kvadrata sa njegovom dijagonalom, onda koristite sljede?u formulu: dijagonala je jednaka proizvodu stranice kvadrata i kvadratnog korijena iz dva.

Zasnovan je na pravilnom trouglu

Pravilna trouglasta piramida je poliedar ?ija je osnova pravilan trougao.

Ako je osnova pravilan trokut, a bo?ne ivice jednake su rubovima baze, onda je takav lik nazvan tetraedar.

Sve strane tetraedra su jednakostrani?ni trouglovi. U ovom slu?aju morate znati neke to?ke i ne gubiti vrijeme na njih prilikom izra?unavanja:

• ugao nagiba rebara prema bilo kojoj osnovi je 60 stepeni;
• veli?ina svih unutra?njih strana je tako?e 60 stepeni;
• svako lice mo?e poslu?iti kao osnova;
• , nacrtani unutar figure, to su jednaki elementi.

Presjeci poliedra

U bilo kojem poliedru postoje nekoliko vrsta sekcija stan. ?esto u ?kolskom kursu geometrije rade sa dvoje:

• aksijalni;
• paralelno sa osnovom.

Aksijalni presek se dobija presecanjem poliedra sa ravninom koja prolazi kroz vrh, bo?ne ivice i osu. U ovom slu?aju, os je visina povu?ena iz vrha. Rezna ravnina je ograni?ena linijama presjeka sa svim stranama, ?to rezultira trokutom.

Pa?nja! U pravilnoj piramidi, aksijalni presjek je jednakokraki trokut.

Ako rezna ravnina ide paralelno sa bazom, onda je rezultat druga opcija. U ovom slu?aju imamo lik popre?nog presjeka sli?an bazi.

Na primjer, ako je u osnovi kvadrat, tada ?e i presjek paralelan s bazom biti kvadrat, samo manjih dimenzija.

Prilikom rje?avanja zadataka pod ovim uvjetom koriste znakove i svojstva sli?nosti figura, na osnovu Talesove teoreme. Prije svega, potrebno je odrediti koeficijent sli?nosti.

Ako se ravnina povu?e paralelno s bazom i odsije?e gornji dio poliedra, onda se u donjem dijelu dobije pravilna skra?ena piramida. Tada se za osnove skra?enog poliedra ka?e da su sli?ni poligoni. U ovom slu?aju, bo?ne strane su jednakokraki trapezi. Aksijalni presjek je tako?er jednakokraki.

Da bi se odredila visina skra?enog poliedra, potrebno je povu?i visinu u aksijalnom presjeku, odnosno u trapezu.

Povr?ine

Glavni geometrijski problemi koji se moraju rije?iti u ?kolskom predmetu geometrije su odre?ivanje povr?ine i zapremine piramide.

Postoje dvije vrste vrijednosti povr?ine:

• povr?ina bo?nih elemenata;
• povr?ine cele povr?ine.

Iz samog imena je jasno o ?emu je re?. Bo?na povr?ina uklju?uje samo bo?ne elemente. Iz ovoga slijedi da da biste ga prona?li, jednostavno trebate sabrati povr?ine bo?nih ravnina, odnosno povr?ine jednakokra?nih 3-kuta. Poku?ajmo izvu?i formulu za povr?inu bo?nih elemenata:

1. Povr?ina jednakokra?nog 3-ugla je Str=1/2(aL), gdje je a stranica baze, L je apotema.
2. Broj bo?nih ravni zavisi od vrste k-ugla u bazi. Na primjer, pravilna ?etverokutna piramida ima ?etiri bo?ne ravni. Stoga je potrebno sabrati povr?ine ?etiri cifre Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Izraz je pojednostavljen na ovaj na?in jer je vrijednost 4a = Rosn, gdje je Rosn obim baze. A izraz 1/2*Rosn je njegov poluperimetar.
3. Dakle, zaklju?ujemo da je povr?ina bo?nih elemenata pravilne piramide jednaka umno?ku poluperimetra osnove i apoteme: Sside = Rosn * L.

Povr?ina ukupne povr?ine piramide sastoji se od zbira povr?ina bo?nih ravnina i osnove: Sp.p. = Sside + Sbas.

?to se ti?e povr?ine baze, ovdje se formula koristi prema vrsti poligona.

Zapremina pravilne piramide jednak proizvodu povr?ine osnovne ravni i visine podijeljene sa tri: V=1/3*Sbas*H, gdje je H visina poliedra.

?ta je pravilna piramida u geometriji

Svojstva pravilne ?etvorougaone piramide

Koncept piramide

Definicija 1

Geometrijska figura koju ?ine poligon i ta?ka koja ne le?i u ravni koja sadr?i ovaj poligon, povezana sa svim vrhovima poligona, naziva se piramida (slika 1).

Poligon od kojeg je napravljena piramida naziva se osnova piramide; rezultiraju?i trokuti, kada su spojeni u ta?ku, su bo?ne strane piramide, stranice trokuta su stranice piramide, a ta?ka zajedni?ka svim trouglovima je vrh piramide.

Vrste piramida

U zavisnosti od broja uglova u osnovi piramide, mo?e se nazvati trouglastim, ?etvorougaonim i tako dalje (slika 2).

Slika 2.

Druga vrsta piramide je redovna piramida.

Hajde da uvedemo i doka?emo svojstvo pravilne piramide.

Teorema 1

Sve bo?ne strane pravilne piramide su jednakokraki trouglovi koji su me?usobno jednaki.

Dokaz.

Razmotrimo pravilnu $n-$gonalnu piramidu sa vrhom $S$ visine $h=SO$. Nacrtajmo krug oko baze (slika 4).

Slika 4.

Razmotrimo trougao $SOA$. Prema Pitagorinoj teoremi, dobijamo

O?igledno, svaka bo?na ivica ?e biti definirana na ovaj na?in. Prema tome, sve bo?ne ivice su me?usobno jednake, odnosno sve bo?ne strane su jednakokraki trouglovi. Doka?imo da su oni me?usobno jednaki. Po?to je osnova pravilan mnogougao, osnove svih bo?nih strana su jedna drugoj. Prema tome, sve bo?ne strane su jednake prema III kriterijumu jednakosti trouglova.

Teorema je dokazana.

Hajde da sada uvedemo sljede?u definiciju koja se odnosi na koncept pravilne piramide.

Definicija 3

Apotem pravilne piramide je visina njene bo?ne strane.

O?igledno, prema teoremi jedan, sve apoteme su jedna drugoj jednake.

Teorema 2

Bo?na povr?ina pravilne piramide odre?ena je kao proizvod poluperimetra osnove i apoteme.

Dokaz.

Ozna?imo stranu osnove $n-$gonalne piramide sa $a$, a apotemu sa $d$. Dakle, povr?ina bo?ne strane je jednaka

Po?to su, prema teoremi 1, sve strane jednake, onda

Teorema je dokazana.

Druga vrsta piramide je skra?ena piramida.

Definicija 4

Ako se kroz obi?nu piramidu povu?e ravan paralelna njenoj osnovici, onda se lik formiran izme?u ove ravni i ravni baze naziva skra?enom piramidom (slika 5).

Slika 5. Krnja piramida

Bo?ne strane krnje piramide su trapezi.

Teorema 3

Bo?na povr?ina pravilne skra?ene piramide odre?ena je kao proizvod zbira poluperimetara baza i apoteme.

Dokaz.

Ozna?imo stranice osnova $n-$gonalne piramide sa $a\ i\ b$, respektivno, a apotemu sa $d$. Dakle, povr?ina bo?ne strane je jednaka

Po?to su sve strane jednake, onda

Teorema je dokazana.

Primer zadatka

Primjer 1

Na?ite povr?inu bo?ne povr?ine skra?ene trokutaste piramide ako se ona dobije iz pravilne piramide sa osnovnom stranom 4 i apotemom 5 odsijecanjem ravnine koja prolazi kroz srednju liniju bo?nih strana.

Rje?enje.

Koriste?i teoremu srednje linije, nalazimo da je gornja osnova skra?ene piramide jednaka $4\cdot \frac(1)(2)=2$, a apotema jednaka $5\cdot \frac(1)(2) =2,5$.

Tada, prema teoremi 3, dobijamo

Piramida. Krnja piramida

Piramida je poliedar, ?ije je jedno lice mnogougao ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedni?kim vrhom ( bo?ne strane ) (Sl. 15). Piramida se zove ispravan , ako je njegova osnova pravilan mnogougao i vrh piramide je projektovan u centar osnove (Sl. 16). Zove se trouglasta piramida ?iji su svi rubovi jednaki tetraedar .

Lateralno rebro piramide je strana bo?ne strane koja ne pripada osnovici Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravni baze. Sve bo?ne ivice pravilne piramide su jednake jedna drugoj, sve bo?ne strane su jednaki jednakokraki trouglovi. Visina bo?ne strane pravilne piramide povu?ena iz vrha naziva se apothem . Dijagonalni presjek naziva se presjek piramide ravninom koja prolazi kroz dvije bo?ne ivice koje ne pripadaju istoj povr?ini.

Bo?na povr?ina piramida je zbir povr?ina svih bo?nih strana. Ukupna povr?ina naziva se zbir povr?ina svih bo?nih strana i baze.

Teoreme

1. Ako su u piramidi sve bo?ne ivice jednako nagnute prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar kru?nice opisane u blizini baze.

2. Ako su sve bo?ne ivice piramide jednake du?ine, tada se vrh piramide projektuje u centar kru?nice opisane blizu osnove.

3. Ako su sva lica u piramidi podjednako nagnuta prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar kruga upisanog u bazu.

Za izra?unavanje zapremine proizvoljne piramide, ispravna formula je:

Gdje V- zapremina;

S baza– bazna povr?ina;

H– visina piramide.

Za pravilnu piramidu ispravne su sljede?e formule:

Gdje str– perimetar baze;

h a– apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S baza– bazna povr?ina;

V– zapremina pravilne piramide.

Krnja piramida naziva se dio piramide zatvoren izme?u osnove i rezne ravni paralelne sa osnovom piramide (slika 17). Pravilna skra?ena piramida naziva se dio pravilne piramide zatvoren izme?u osnove i rezne ravni paralelne s osnovom piramide.

Grounds skra?ena piramida - sli?ni poligoni. Bo?ne strane – trapezi. Visina krnje piramide je rastojanje izme?u njenih osnova. Dijagonala skra?ena piramida je segment koji povezuje njene vrhove koji ne le?e na istoj povr?ini. Dijagonalni presjek je presjek skra?ene piramide ravninom koja prolazi kroz dvije bo?ne ivice koje ne pripadaju istoj povr?ini.

Za skra?enu piramidu va?e sljede?e formule:

(4)

Gdje S 1 , S 2 – povr?ine gornje i donje osnove;

S puna– ukupna povr?ina;

S strana– bo?na povr?ina;

H- visina;

V– zapremina krnje piramide.

Za pravilnu skra?enu piramidu formula je ta?na:

Gdje str 1 , str 2 – perimetri osnova;

h a– apotema pravilne krnje piramide.

Primjer 1. U pravilnoj trouglastoj piramidi, ugao diedara u osnovi je 60?. Prona?ite tangentu ugla nagiba bo?ne ivice prema ravni baze.

Rje?enje. Napravimo crte? (slika 18).

Piramida je pravilna, ?to zna?i da se u osnovi nalazi jednakostrani?ni trougao, a sve bo?ne strane su jednaki jednakokraki trouglovi. Diedarski ugao u osnovi je ugao nagiba bo?ne strane piramide prema ravni osnove. Linearni ugao je ugao a izme?u dvije okomice: itd. Vrh piramide projektovan je u centar trougla (sredi?te opisane i upisane kru?nice trokuta ABC). Ugao nagiba bo?ne ivice (npr S.B.) je ugao izme?u samog ruba i njegove projekcije na ravan baze. Za rebro S.B. ovaj ugao ?e biti ugao SBD. Da biste prona?li tangentu, morate znati noge SO I O.B.. Neka je du?ina segmenta BD jednako 3 A. Dot O linijski segment BD je podijeljen na dijelove: i Od nalazimo SO: Od nalazimo:

odgovor:

Primjer 2. Na?ite zapreminu pravilne skra?ene ?etvorougaone piramide ako su dijagonale njenih osnova jednake cm i cm, a visina 4 cm.

Rje?enje. Da bismo prona?li zapreminu krnje piramide, koristimo formulu (4). Da biste prona?li povr?inu baza, morate prona?i stranice osnovnih kvadrata, znaju?i njihove dijagonale. Stranice osnovica su jednake 2 cm odnosno 8 cm.To zna?i povr?ine osnova i Zamjenom svih podataka u formulu izra?unavamo zapreminu krnje piramide:

odgovor: 112 cm 3.

Primjer 3. Na?ite povr?inu bo?ne strane pravilne trokutaste skra?ene piramide ?ije su stranice osnova 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Rje?enje. Napravimo crte? (slika 19).

Bo?na strana ove piramide je jednakokraki trapez. Da biste izra?unali povr?inu trapeza, morate znati osnovu i visinu. Osnove su date prema uslovu, samo visina ostaje nepoznata. Na?i ?emo je odakle A 1 E okomito iz ta?ke A 1 na ravni donje baze, A 1 D– okomito od A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, jer je ovo visina piramide. Na?i DE Napravimo dodatni crte? koji prikazuje pogled odozgo (slika 20). Dot O– projekcija centara gornje i donje baze. budu?i da (vidi sliku 20) i S druge strane uredu– radijus upisan u krug i OM– radijus upisan u krug:

MK = DE.

Prema Pitagorinoj teoremi iz

Bo?na povr?ina lica:

odgovor:

Primjer 4. U osnovi piramide le?i jednakokraki trapez, ?ije su osnove A I b (a> b). Svaka bo?na strana formira ugao jednak ravni osnove piramide j. Prona?ite ukupnu povr?inu piramide.

Rje?enje. Napravimo crte? (slika 21). Ukupna povr?ina piramide SABCD jednak zbroju povr?ina i povr?ine trapeza A B C D.

Upotrijebimo tvrdnju da ako su sva lica piramide podjednako nagnuta prema ravni baze, tada se vrh projektuje u sredi?te kruga upisanog u bazu. Dot O– projekcija temena S u osnovi piramide. Trougao SOD je ortogonalna projekcija trougla CSD do ravni baze. Koriste?i teoremu o povr?ini ortogonalne projekcije ravne figure, dobijamo:

Isto tako zna?i Dakle, problem se sveo na pronala?enje povr?ine trapeza A B C D. Nacrtajmo trapez A B C D odvojeno (sl. 22). Dot O– sredi?te kruga upisanog u trapez.

Kako se kru?nica mo?e upisati u trapez, onda ili Iz Pitagorine teoreme imamo

Prilikom rje?avanja Zadatka C2 primjenom koordinatnog metoda mnogi u?enici se suo?avaju sa istim problemom. Ne mogu da izra?unaju koordinate ta?aka uklju?eno u formulu skalarnog proizvoda. Najve?e pote?ko?e se javljaju piramide. A ako se bazne ta?ke smatraju manje-vi?e normalnim, onda su vrhovi pravi pakao.

Danas ?emo raditi na pravilnoj ?etvorougaonoj piramidi. Tu je i trouglasta piramida (tzv. tetraedar). Ovo je slo?eniji dizajn, pa ?e mu biti posve?ena posebna lekcija.

Prvo, prisjetimo se definicije:

Pravilna piramida je ona koja:

1. Osnova je pravilan poligon: trokut, kvadrat, itd.;
2. Visina povu?ena do baze prolazi kroz njeno sredi?te.

Konkretno, osnova ?etvorougaone piramide je kvadrat. Ba? kao Keops, samo malo manji.

Ispod su prora?uni za piramidu u kojoj su sve ivice jednake 1. Ako to nije slu?aj u va?em zadatku, prora?uni se ne mijenjaju - samo ?e brojevi biti druga?iji.

Vrhovi ?etvorougaone piramide

Dakle, neka je data pravilna ?etvorougaona piramida SABCD, gde je S vrh, a osnova ABCD kvadrat. Sve ivice su jednake 1. Potrebno je uneti koordinatni sistem i prona?i koordinate svih ta?aka. Imamo:

Uvodimo koordinatni sistem sa ishodi?tem u ta?ki A:

1. Osa OX je usmjerena paralelno sa ivicom AB;
2. OY osa je paralelna sa AD. Po?to je ABCD kvadrat, AB ? AD;
3. Kona?no, usmjeravamo OZ os prema gore, okomito na ravan ABCD.

Sada izra?unavamo koordinate. Dodatna konstrukcija: SH - visina povu?ena do osnove. Radi prakti?nosti, bazu piramide ?emo postaviti u poseban crte?. Po?to ta?ke A, B, C i D le?e u ravni OXY, njihova koordinata je z = 0. Imamo:

1. A = (0; 0; 0) - poklapa se sa ishodi?tem;
2. B = (1; 0; 0) - korak za 1 du? ose OX od po?etka;
3. C = (1; 1; 0) - korak za 1 du? ose OX i za 1 du? ose OY;
4. D = (0; 1; 0) - korak samo du? ose OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - centar kvadrata, sredina segmenta AC.

Ostaje prona?i koordinate ta?ke S. Imajte na umu da su x i y koordinate ta?aka S i H iste, budu?i da le?e na pravoj paralelnoj sa OZ osi. Ostaje prona?i z koordinatu za ta?ku S.

Razmotrimo trouglove ASH i ABH:

1. AS = AB = 1 po uslovu;
2. Ugao AHS = AHB = 90°, po?to je SH visina, a AH ? HB kao dijagonale kvadrata;
3. Strana AH je uobi?ajena.

Dakle, pravougli trouglovi ASH i ABH jednaka po jedan krak i po jedna hipotenuza. To zna?i SH = BH = 0,5 BD. Ali BD je dijagonala kvadrata sa stranicom 1. Stoga imamo:

Ukupne koordinate ta?ke S:

U zaklju?ku, zapisujemo koordinate svih vrhova pravilne pravokutne piramide:

?ta u?initi kada su rebra druga?ija

?ta ako bo?ne ivice piramide nisu jednake ivicama baze? U ovom slu?aju, razmotrite trokut AHS:

trokut AHS - pravougaona, a hipotenuza AS je tako?er bo?na ivica originalne piramide SABCD. Nog AH se lako izra?unava: AH = 0,5 AC. Prona?i ?emo preostalu nogu SH prema Pitagorinoj teoremi. Ovo ?e biti z koordinata za ta?ku S.

Zadatak. Zadata je pravilna ?etvorougaona piramida SABCD, u ?ijem dnu le?i kvadrat sa stranicom 1. Bo?na ivica BS = 3. Odredite koordinate ta?ke S.

Ve? znamo koordinate x i y ove ta?ke: x = y = 0,5. To proizilazi iz dvije ?injenice:

1. Projekcija ta?ke S na ravan OXY je ta?ka H;
2. Istovremeno, ta?ka H je centar kvadrata ABCD, ?ije su sve strane jednake 1.

Ostaje prona?i koordinate ta?ke S. Razmotrimo trougao AHS. Pravougaona je, sa hipotenuzom AS = BS = 3, krak AH je polovina dijagonale. Za dalje izra?une potrebna nam je njegova du?ina:

Pitagorina teorema za trougao AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Imamo:

Dakle, koordinate ta?ke S: