Zavr?ni video zapisi u dugoj seriji lekcija o rje?avanju logaritamskih jednad?bi. Ovaj put ?emo prvenstveno raditi sa ODZ logaritma – upravo zbog pogre?nog razmatranja (ili ?ak zanemarivanja) domena definicije najvi?e gre?aka nastaje prilikom rje?avanja ovakvih problema.

U ovoj kratkoj video lekciji ?emo se osvrnuti na upotrebu formula za sabiranje i oduzimanje logaritama, a tako?e ?emo se pozabaviti i razlomcima racionalnih jedna?ina, sa kojima mnogi u?enici tako?e imaju problema.

O ?emu ?emo razgovarati? Glavna formula koju bih ?elio razumjeti izgleda ovako:

log a (f g ) = log a f + log a g

Ovo je standardni prijelaz sa proizvoda na zbir logaritama i nazad. Vjerovatno znate ovu formulu od samog po?etka prou?avanja logaritama. Me?utim, postoji jedan problem.

Sve dok su varijable a, f i g obi?ni brojevi, nema problema. Ova formula radi odli?no.

Me?utim, ?im se umjesto f i g pojave funkcije, javlja se problem pro?irenja ili su?avanja domene definicije ovisno o tome u kojem smjeru transformirati. Procijenite sami: u logaritmu napisanom lijevo, domen definicije je sljede?i:

fg > 0

Ali u koli?ini napisanoj desno, domen definicije je ve? ne?to druga?iji:

f > 0

g > 0

Ovaj skup zahtjeva je stro?i od prvobitnog. U prvom slu?aju ?emo se zadovoljiti opcijom f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 se izvr?ava).

Dakle, pri prelasku sa lijeve konstrukcije na desnu dolazi do su?avanja domena definicije. Ako smo u po?etku imali zbroj, pa ga prepi?emo u obliku proizvoda, onda se domen definicije ?iri.

Drugim rije?ima, u prvom slu?aju mogli bismo izgubiti korijenje, au drugom bismo mogli dobiti dodatne. Ovo se mora uzeti u obzir prilikom rje?avanja realnih logaritamskih jedna?ina.

Dakle, prvi zadatak:

[Natpis za sliku]

Na lijevoj strani vidimo zbir logaritama koji koriste istu bazu. Stoga se ovi logaritmi mogu dodati:

[Natpis za sliku]

Kao ?to vidite, na desnoj strani zamijenili smo nulu koriste?i formulu:

a = log b b a

Hajdemo jo? malo da preuredimo na?u jedna?inu:

log 4 (x - 5) 2 = log 4 1

Pred nama je kanonski oblik logaritamske jedna?ine, mo?emo precrtati log znak i izjedna?iti argumente:

(x - 5) 2 = 1

|x - 5| = 1

Napomena: odakle je do?ao modul? Da vas podsjetim da je korijen ta?nog kvadrata jednak modulu:

[Natpis za sliku]

Zatim rje?avamo klasi?nu jedna?inu sa modulom:

|f | = g (g > 0) =>f = ±g

x - 5 = ±1 =>x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Evo dva odgovora kandidata. Jesu li oni rje?enje originalne logaritamske jednad?be? Ne, ni pod kojim okolnostima!

Nemamo pravo sve ostaviti samo tako i zapisati odgovor. Pogledajte korak u kojem zamjenjujemo zbir logaritama jednim logaritmom proizvoda argumenata. Problem je ?to u originalnim izrazima imamo funkcije. Stoga bi vam trebalo:

x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0.

Kada smo transformisali proizvod, dobijaju?i ta?an kvadrat, promenili su se zahtevi:

(x - 5) 2 > 0

Kada je ovaj uslov ispunjen? Da, skoro uvek! Osim u slu?aju kada je x - 5 = 0. To jest nejednakost ?e se svesti na jednu probu?enu ta?ku:

x - 5 ? 0 => x ? 5

Kao ?to vidite, pro?irio se obim definicije, o ?emu smo govorili na samom po?etku lekcije. Posljedi?no, mogu se pojaviti dodatni korijeni.

Kako mo?ete sprije?iti pojavu ovih dodatnih korijena? Vrlo je jednostavno: gledamo na?e dobivene korijene i upore?ujemo ih s domenom definicije izvorne jednad?be. izbrojimo:

x (x - 5) > 0

Rije?it ?emo metodom intervala:

x (x - 5) = 0 => x = 0; x = 5

Rezultiraju?e brojeve ozna?avamo na liniji. Sve ta?ke nedostaju jer je nejednakost stroga. Uzmi bilo koji broj ve?i od 5 i zamijeni:

[Natpis za sliku]

Zanimaju nas intervali (-?; 0) ? (5; ?). Ako na segmentu ozna?imo na?e korijene, vidjet ?emo da nam x = 4 ne odgovara, jer se taj korijen nalazi izvan domene definicije originalne logaritamske jednad?be.

Vra?amo se na ukupnost, precrtavamo korijen x = 4 i zapisujemo odgovor: x = 6. Ovo je kona?ni odgovor na originalnu logaritamsku jedna?inu. To je to, problem re?en.

Pre?imo na drugu logaritamsku jedna?inu:

[Natpis za sliku]

Hajde da to re?imo. Imajte na umu da je prvi ?lan razlomak, a drugi isti razlomak, ali obrnut. Nemojte se pla?iti izraza lgx - to je samo decimalni logaritam, mo?emo ga napisati:

lgx = log 10 x

Po?to imamo dva obrnuta razlomka, predla?em uvo?enje nove varijable:

[Natpis za sliku]

Stoga se na?a jedna?ina mo?e prepisati na sljede?i na?in:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

Kao ?to vidite, brojilac razlomka je ta?an kvadrat. Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac nula, a imenilac razli?it od nule:

(t - 1) 2 = 0; t ? 0

Re?imo prvu jedna?inu:

t - 1 = 0;

t = 1.

Ova vrijednost zadovoljava drugi zahtjev. Stoga mo?emo re?i da smo u potpunosti rije?ili na?u jedna?inu, ali samo u odnosu na varijablu t. Sada se prisjetimo ?ta je t:

[Natpis za sliku]

Dobili smo proporciju:

lgx = 2 lgx + 1

2 logx - logx = -1

logx = -1

Ovu jedna?inu dovodimo do njenog kanonskog oblika:

logx = log 10 -1

x = 10 -1 = 0,1

Kao rezultat, dobili smo jedan korijen, koji je, u teoriji, rje?enje originalne jednad?be. Ipak, igrajmo na sigurno i napi?imo domenu definicije originalne jednad?be:

[Natpis za sliku]

Dakle, na? root zadovoljava sve zahtjeve. Prona?li smo rje?enje originalne logaritamske jednad?be. Odgovor: x = 0,1. Problem je rije?en.

Postoji samo jedna klju?na to?ka u dana?njoj lekciji: kada koristite formulu za pomicanje od proizvoda do zbroja i nazad, vodite ra?una da se opseg definicije mo?e suziti ili pro?iriti ovisno o tome u kojem smjeru se prijelaz vr?i.

Kako razumjeti ?ta se de?ava: kontrakcija ili ekspanzija? Vrlo jednostavno. Ako su ranije funkcije bile zajedno, a sada su odvojene, onda se opseg definicije suzio (jer ima vi?e zahtjeva). Ako su u po?etku funkcije stajale odvojeno, a sada su zajedno, onda je domen definicije pro?iren (manje zahtjeva se name?e proizvodu nego pojedina?nim faktorima).

Uzimaju?i u obzir ovu napomenu, ?elio bih napomenuti da druga logaritamska jednad?ba uop?e ne zahtijeva ove transformacije, odnosno nigdje ne sabiramo niti mno?imo argumente. Me?utim, ovdje bih vam skrenuo pa?nju na jo? jednu divnu tehniku koja vam omogu?ava da zna?ajno pojednostavite rje?enje. Radi se o zamjeni varijable.

Me?utim, zapamtite da nas nikakve zamjene ne osloba?aju opsega definicije. Zato nakon ?to su svi korijeni prona?eni, nismo lijeni i vratili smo se na prvobitnu jedna?inu da prona?emo njen ODZ.

?esto, prilikom zamjene varijable, dolazi do dosadne gre?ke kada u?enici prona?u vrijednost t i misle da je rje?enje potpuno. Ne, ni pod kojim okolnostima!

Nakon ?to ste prona?li vrijednost t, morate se vratiti na prvobitnu jedna?inu i vidjeti ?ta smo ta?no mislili sa ovim slovom. Kao rezultat, moramo rije?iti jo? jednu jednad?bu, koja ?e, me?utim, biti mnogo jednostavnija od originalne.

To je upravo poenta uvo?enja nove varijable. Prvobitnu jedna?inu podijelimo na dvije me?usobne, od kojih svaka ima mnogo jednostavnije rje?enje.

Kako rije?iti "ugnije??ene" logaritamske jednad?be

Danas nastavljamo sa prou?avanjem logaritamskih jednad?bi i analizira?emo konstrukcije kada je jedan logaritam pod znakom drugog logaritma. Obje jedna?ine ?emo rije?iti koriste?i kanonski oblik.

Danas nastavljamo da prou?avamo logaritamske jedna?ine i analizira?emo konstrukcije kada je jedan logaritam pod znakom drugog. Obje jedna?ine ?emo rije?iti koriste?i kanonski oblik. Da vas podsjetim da ako imamo jednostavnu logaritamsku jedna?inu oblika log a f (x) = b, tada za rje?avanje takve jedna?ine izvodimo sljede?e korake. Prije svega, trebamo zamijeniti broj b:

b = log a a b

Napomena: a b je argument. Sli?no, u originalnoj jedna?ini, argument je funkcija f(x). Zatim prepisujemo jedna?inu i dobijamo ovu konstrukciju:

log a f (x) = log a a b

Tada mo?emo izvesti tre?i korak - osloboditi se znaka logaritma i jednostavno napisati:

f (x) = a b

Kao rezultat, dobijamo novu jedna?inu. U ovom slu?aju nema ograni?enja na funkciju f (x). Na primjer, logaritamska funkcija tako?er mo?e zauzeti njeno mjesto. I tada ?emo opet dobiti logaritamsku jedna?inu, koju ?emo opet svesti na njen najjednostavniji oblik i rije?iti kroz kanonski oblik.

Me?utim, dosta tekstova. Hajde da re?imo pravi problem. Dakle, zadatak broj 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Kao ?to vidite, pred nama je najjednostavnija logaritamska jedna?ina. Uloga f (x) je konstrukcija 1 + 3 log 2 x, a uloga broja b je broj 2 (ulogu a imaju i dvojica). Prepi?imo ovo dvoje na sljede?i na?in:

Va?no je shvatiti da su nam prve dvije dvije do?le iz baze logaritma, tj. da je u originalnoj jedna?ini bilo 5, onda bismo dobili da je 2 = log 5 5 2. Op?enito, baza ovisi isklju?ivo o logaritmu koji je izvorno dat u zadatku. A u na?em slu?aju ovo je broj 2.

Dakle, hajde da prepi?emo na?u logaritamsku jedna?inu uzimaju?i u obzir ?injenicu da je dva sa desne strane zapravo tako?e logaritam. dobijamo:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Prije?imo na posljednji korak na?e sheme - osloba?anje od kanonskog oblika. Moglo bi se re?i, jednostavno precrtavamo znakove balvana. Me?utim, s matemati?ke to?ke gledi?ta, nemogu?e je "precrtati dnevnik" - ispravnije bi bilo re?i da jednostavno izjedna?avamo argumente:

1 + 3 log 2 x = 4

Odavde mo?emo lako prona?i 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Ponovo smo dobili najjednostavniju logaritamsku jedna?inu, vratimo je u kanonski oblik. Da bismo to uradili potrebno je da izvr?imo slede?e promene:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Za?to je dvojka u bazi? Jer u na?oj kanonskoj jednad?bi na lijevoj strani postoji logaritam ta?no na osnovu 2. Prepisujemo problem uzimaju?i u obzir ovu ?injenicu:

log 2 x = log 2 2

Ponovo se osloba?amo znaka logaritma, tj. jednostavno izjedna?avamo argumente. Na to imamo pravo jer su baze iste, a nikakve dodatne radnje nisu vr?ene ni s desne ni s lijeve strane:

To je to! Problem je rije?en. Prona?li smo rje?enje logaritamske jedna?ine.

Obratite pa?nju! Iako se varijabla x pojavljuje u argumentu (tj. postoje zahtjevi za domenu definicije), ne?emo postavljati nikakve dodatne zahtjeve.

Kao ?to sam rekao gore, ova provjera je suvi?na ako se varijabla pojavljuje u samo jednom argumentu samo jednog logaritma. U na?em slu?aju, x se zaista pojavljuje samo u argumentu i samo pod jednim log znakom. Stoga nisu potrebne dodatne provjere.

Me?utim, ako nemate povjerenja u ovu metodu, lako mo?ete provjeriti da je x = 2 zaista korijen. Dovoljno je zamijeniti ovaj broj u originalnu jedna?inu.

Pre?imo na drugu jedna?inu, malo je zanimljivija:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = 1

Ako izraz unutar velikog logaritma ozna?imo funkcijom f (x), dobi?emo najjednostavniju logaritamsku jedna?inu s kojom smo zapo?eli dana?nju video lekciju. Stoga mo?ete primijeniti kanonski oblik, za koji ?ete morati predstaviti jedinicu u obliku log 2 2 1 = log 2 2.

Prepi?imo na?u veliku jedna?inu:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = log 2 2

Odmaknimo se od znaka logaritma, izjedna?avaju?i argumente. Na to imamo pravo, jer su i na lijevoj i na desnoj osnovi iste. Dodatno, imajte na umu da log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x - 1) = 0

Pred nama je opet najjednostavnija logaritamska jednad?ba oblika log a f (x) = b. Pre?imo na kanonski oblik, odnosno predstavljamo nulu u obliku log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Prepisujemo na?u jedna?inu i osloba?amo se log znaka, izjedna?avaju?i argumente:

log 1/2 (2x - 1) = log 1/2 1

2x - 1 = 1

Opet, odmah smo dobili odgovor. Nisu potrebne dodatne provjere jer u originalnoj jednad?bi samo jedan logaritam sadr?i funkciju kao argument.

Stoga nisu potrebne dodatne provjere. Mo?emo sa sigurno??u re?i da je x = 1 jedini korijen ove jedna?ine.

Ali ako bi u drugom logaritmu bila neka funkcija od x umjesto ?etiri (ili 2x nije bilo u argumentu, ve? u bazi) - tada bi bilo potrebno provjeriti domenu definicije. U suprotnom, postoji velika ?ansa da naletite na dodatne korijene.

Odakle dolaze ovi dodatni korijeni? Ova ta?ka mora biti shva?ena vrlo jasno. Pogledajte originalne jednad?be: svugdje je funkcija x pod znakom logaritma. Shodno tome, po?to smo zapisali log 2 x, automatski postavljamo zahtjev x > 0. Ina?e, ovaj unos jednostavno nema smisla.

Me?utim, kako rje?avamo logaritamsku jednad?bu, osloba?amo se svih log znakova i dobivamo jednostavne konstrukcije. Ovdje nisu postavljena ograni?enja, jer je linearna funkcija definirana za bilo koju vrijednost x.

Upravo je taj problem, kada je kona?na funkcija svugdje i uvijek definirana, ali originalna nije svugdje i ne uvijek, razlog za?to se u rje?avanju logaritamskih jedna?ina vrlo ?esto pojavljuju dodatni korijeni.

Ali ponavljam jo? jednom: to se doga?a samo u situaciji kada je funkcija ili u nekoliko logaritama ili u osnovi jednog od njih. U problemima koje danas razmatramo, u principu, nema problema sa pro?irenjem obima definicije.

Slu?ajevi razli?itih osnova

Ova lekcija je posve?ena slo?enijim dizajnima. Logaritmi u dana?njim jedna?inama se vi?e ne?e odmah rje?avati;

Po?injemo rje?avati logaritamske jednad?be s potpuno razli?itim bazama, koje nisu ta?ne potencije jedna drugoj. Nemojte dopustiti da vas takvi problemi upla?e - nije ih te?e rije?iti od najjednostavnijih dizajna o kojima smo gore govorili.

Ali prije nego ?to pre?emo direktno na probleme, dopustite mi da vas podsjetim na formulu za rje?avanje najjednostavnijih logaritamskih jednad?bi pomo?u kanonskog oblika. Razmotrite ovakav problem:

log a f (x) = b

Va?no je da je funkcija f (x) samo funkcija, a uloga brojeva a i b treba da budu brojevi (bez ikakvih varijabli x). Naravno, doslovce za minut ?emo pogledati takve slu?ajeve kada umjesto varijabli a i b postoje funkcije, ali to sada nije o tome.

Kao ?to se sje?amo, broj b mora biti zamijenjen logaritmom na istu bazu a, koja je na lijevoj strani. Ovo se radi vrlo jednostavno:

b = log a a b

Naravno, rije?i "bilo koji broj b" i "bilo koji broj a" zna?e vrijednosti koje zadovoljavaju opseg definicije. Konkretno, u ovoj jedna?ini govorimo samo o bazi a > 0 i a ? 1.

Me?utim, ovaj zahtjev je automatski zadovoljen, jer izvorni problem ve? sadr?i logaritam za bazu a – sigurno ?e biti ve?i od 0 i ne?e biti jednak 1. Stoga nastavljamo rje?avati logaritamsku jedna?inu:

log a f (x) = log a a b

Takva notacija se zove kanonska forma. Njegova pogodnost le?i u ?injenici da se mo?emo odmah rije?iti znaka dnevnika izjedna?avanjem argumenata:

f (x) = a b

Upravo ovu tehniku ?emo sada koristiti za rje?avanje logaritamskih jednad?bi s promjenjivom bazom. Dakle, idemo!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

?ta je slede?e? Neko ?e sada re?i da treba izra?unati pravi logaritam, ili ih svesti na istu bazu, ili ne?to drugo. I zaista, sada moramo dovesti obje baze u isti oblik - ili 2 ili 0,5. Ali nau?imo jednom za svagda sljede?e pravilo:

Ako u logaritamskoj jednad?bi postoje decimale, obavezno pretvorite te razlomke iz decimalnog u uobi?ajeni zapis. Ova transformacija mo?e uvelike pojednostaviti rje?enje.

Takav prijelaz se mora izvr?iti odmah, ?ak i prije izvo?enja bilo kakvih radnji ili transformacija. da vidimo:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

?ta nam takav zapis daje? Mo?emo predstaviti 1/2 i 1/8 kao stepene sa negativnim eksponentom:

[Natpis za sliku]

Pred nama je kanonski oblik. Izjedna?avamo argumente i dobijamo klasi?nu kvadratnu jedna?inu:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Pred nama je sljede?a kvadratna jednad?ba, koja se lako mo?e rije?iti kori?tenjem Vietinih formula. U srednjoj ?koli trebalo bi da vidite sli?ne prikaze doslovno usmeno:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

To je to! Originalna logaritamska jednad?ba je rije?ena. Imamo dva korena.

Da vas podsjetim da u ovom slu?aju nije potrebno odre?ivati domen definicije, jer je funkcija sa varijablom x prisutna samo u jednom argumentu. Stoga se opseg definicije izvodi automatski.

Dakle, prva jedna?ina je rije?ena. Pre?imo na drugo:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 -1

Sada imajte na umu da se argument prvog logaritma mo?e zapisati i kao stepen sa negativnim eksponentom: 1/2 = 2 -1. Tada mo?ete izvaditi potencije na obje strane jedna?ine i podijeliti sve sa -1:

[Natpis za sliku]

I sada smo zavr?ili vrlo va?an korak u rje?avanju logaritamske jednad?be. Mo?da neko ne?to nije primetio, pa da objasnim.

Pogledajte na?u jedna?inu: i na lijevoj i na desnoj strani nalazi se log znak, ali lijevo je logaritam na bazu 2, a na desnoj je logaritam na bazu 3. Tri nije cijeli broj od dva i, obrnuto, ne mo?ete napisati da je 2 3 u cijelom broju stupnjeva.

Posljedi?no, radi se o logaritmima s razli?itim bazama koji se ne mogu svesti jedan na drugi jednostavnim zbrajanjem potencija. Jedini na?in za rje?avanje takvih problema je da se rije?imo jednog od ovih logaritama. U ovom slu?aju, po?to jo? uvijek razmatramo prili?no jednostavne probleme, logaritam desno je jednostavno izra?unat i dobili smo najjednostavniju jedna?inu – upravo onu o kojoj smo govorili na samom po?etku dana?nje lekcije.

Predstavimo broj 2, koji je desno, kao log 2 2 2 = log 2 4. I onda se rije?imo znaka logaritma, nakon ?ega nam jednostavno ostaje kvadratna jednad?ba:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

Pred nama je obi?na kvadratna jedna?ina, ali ona nije redukovana jer je koeficijent od x 2 razli?it od jedinice. Stoga ?emo to rije?iti pomo?u diskriminanta:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (-9 - 11)/10 = -2

To je to! Prona?li smo oba korijena, ?to zna?i da smo dobili rje?enje originalne logaritamske jednad?be. Zaista, u originalnom problemu, funkcija s promjenljivom x je prisutna u samo jednom argumentu. Shodno tome, nisu potrebne nikakve dodatne provjere u domeni definicije - oba korijena za koja smo otkrili sigurno ispunjavaju sva mogu?a ograni?enja.

Ovo bi mogao biti kraj dana?nje video lekcije, ali u zaklju?ku ?elim jo? jednom re?i: budite sigurni da ste pretvorili sve decimalne razlomke u obi?ne razlomke kada rje?avate logaritamske jednad?be. U ve?ini slu?ajeva to uvelike pojednostavljuje njihovo rje?enje.

Rijetko, vrlo rijetko, nai?ete na probleme u kojima uklanjanje decimalnih razlomaka samo komplikuje prora?une. Me?utim, u takvim jednad?bama, u pravilu, u po?etku je jasno da nema potrebe da se rije?ite decimalnih razlomaka.

U ve?ini drugih slu?ajeva (naro?ito ako tek po?injete vje?bati rje?avanje logaritamskih jednad?bi), slobodno se rije?ite decimala i pretvorite ih u obi?ne. Jer praksa pokazuje da ?ete na taj na?in zna?ajno pojednostaviti naknadno rje?enje i prora?une.

Suptilnosti i trikovi rje?enja

Danas prelazimo na slo?enije probleme i rje?avamo logaritamsku jednad?bu, koja se ne zasniva na broju, ve? na funkciji.

?ak i ako je ova funkcija linearna, morat ?e se napraviti male promjene u shemi rje?enja, ?ije se zna?enje svodi na dodatne zahtjeve nametnute domeni definicije logaritma.

Slo?eni zadaci

Ovaj vodi? ?e biti prili?no dug. U njemu ?emo analizirati dvije prili?no ozbiljne logaritamske jedna?ine, pri rje?avanju kojih mnogi u?enici grije?e. Tokom prakse kao nastavnik matematike, stalno sam nailazio na dvije vrste gre?aka:

1. Pojava dodatnih korijena zbog pro?irenja domena definicije logaritama. Da biste izbjegli takve uvredljive gre?ke, samo pa?ljivo pratite svaku transformaciju;
2. Gubitak korijena zbog ?injenice da je student zaboravio razmotriti neke „suptilne“ slu?ajeve - to su situacije na koje ?emo se danas fokusirati.

Ovo je posljednja lekcija o logaritamskim jednad?bama. Bi?e dugo, analizira?emo slo?ene logaritamske jedna?ine. Raskomotite se, skuvajte sebi ?aj i krenimo.

Prva jednad?ba izgleda sasvim standardno:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Odmah primijetimo da su oba logaritma obrnute kopije jedan drugog. Prisjetimo se divne formule:

log a b = 1/log b a

Me?utim, ova formula ima niz ograni?enja koja nastaju ako umjesto brojeva a i b postoje funkcije varijable x:

b > 0

1 ? a > 0

Ovi zahtjevi se odnose na bazu logaritma. S druge strane, u razlomku je potrebno da imamo 1 ? a > 0, jer ne samo da je varijabla a u argumentu logaritma (dakle a > 0), ve? je i sam logaritam u nazivniku razlomka . Ali log b 1 = 0, a imenilac mora biti razli?it od nule, tako da je a ? 1.

Dakle, ograni?enja za varijablu a ostaju. Ali ?ta se de?ava sa promenljivom b? S jedne strane, baza implicira b > 0, s druge strane varijabla b ? 1, jer baza logaritma mora biti razli?ita od 1. Ukupno, iz desne strane formule slijedi da je 1 ? b > 0.

Ali evo problema: drugi zahtjev (b ? 1) nedostaje u prvoj nejednakosti, koja se bavi lijevim logaritmom. Drugim rije?ima, kada vr?imo ovu transformaciju moramo provjerite posebno, da je argument b razli?it od jedan!

Pa hajde da to proverimo. Primijenimo na?u formulu:

[Natpis za sliku]

1 ? x - 0,5 > 0; 1 ? x + 1 > 0

Dakle, dobili smo da ve? iz originalne logaritamske jednad?be slijedi da i a i b moraju biti ve?i od 0, a ne jednaki 1. To zna?i da mo?emo lako invertirati logaritamsku jedna?inu:

Predla?em uvo?enje nove varijable:

log x + 1 (x - 0,5) = t

U ovom slu?aju, na?a konstrukcija ?e biti prepisana na sljede?i na?in:

(t 2 - 1)/t = 0

Imajte na umu da u brojniku imamo razliku kvadrata. Otkrivamo razliku kvadrata koriste?i skra?enu formulu mno?enja:

(t - 1)(t + 1)/t = 0

Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac nula, a imenilac razli?it od nule. Ali brojilac sadr?i proizvod, pa svaki faktor izjedna?avamo sa nulom:

t 1 = 1;

t 2 = -1;

t ? 0.

Kao ?to vidimo, odgovaraju nam obje vrijednosti varijable t. Me?utim, rje?enje se tu ne zavr?ava, jer moramo prona?i ne t, ve? vrijednost x. Vra?amo se na logaritam i dobijamo:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x - 0,5) = -1.

Stavimo svaku od ovih jedna?ina u kanonski oblik:

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) -1

Rije?imo se znaka logaritma u prvom slu?aju i izjedna?avamo argumente:

x - 0,5 = x + 1;

x - x = 1 + 0,5;

Takva jednad?ba nema korijena, stoga ni prva logaritamska jedna?ina nema korijena. Ali sa drugom jedna?inom sve je mnogo zanimljivije:

(x - 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Rje?avaju?i proporciju, dobijamo:

(x - 0,5)(x + 1) = 1

Da vas podsjetim da je pri rje?avanju logaritamskih jednad?bi mnogo zgodnije koristiti sve decimalne razlomke kao obi?ne, pa prepi?imo na?u jednad?bu na sljede?i na?in:

(x - 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Pred nama je kvadratna jednad?ba u nastavku, koja se lako mo?e rije?iti kori?tenjem Vietinih formula:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1,5;

x 2 = 1.

Dobili smo dva korijena - oni su kandidati za rje?avanje originalne logaritamske jednad?be. Da bismo razumjeli koji ?e korijeni zapravo u?i u odgovor, vratimo se izvornom problemu. Sada ?emo provjeriti svaki od na?ih korijena da vidimo da li se uklapaju u domenu definicije:

1,5 ? x > 0,5; 0 ? x > -1.

Ovi zahtjevi su jednaki dvostrukoj nejednakosti:

1 ? x > 0,5

Odavde odmah vidimo da nam korijen x = -1,5 ne odgovara, ali nam sasvim dobro odgovara x = 1. Stoga je x = 1 kona?no rje?enje logaritamske jedna?ine.

Pre?imo na drugi zadatak:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Na prvi pogled mo?e izgledati da svi logaritmi imaju razli?ite baze i razli?ite argumente. ?ta u?initi s takvim strukturama? Prije svega, imajte na umu da su brojevi 25, 5 i 625 potenci od 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Sada iskoristimo divno svojstvo logaritma. Poenta je da mo?ete izvu?i mo?i iz argumenta u obliku faktora:

log a b n = n ? log a b

Ova transformacija je tako?er podlo?na ograni?enjima u slu?aju kada je b zamijenjen funkcijom. Ali za nas je b samo broj i nema dodatnih ograni?enja. Prepi?imo na?u jedna?inu:

2 ? log x 5 + log 125 x 5 = 4 ? log 25 x 5

Dobili smo jedna?inu sa tri ?lana koji sadr?e log znak. ?tavi?e, argumenti sva tri logaritma su jednaki.

Vrijeme je da obrnemo logaritme kako bismo ih doveli na istu bazu - 5. Po?to je varijabla b konstanta, ne dolazi do promjena u domenu definicije. Samo prepisujemo:

[Natpis za sliku]

O?ekivano, isti logaritmi su se pojavili u nazivniku. Predla?em zamjenu varijable:

log 5 x = t

U ovom slu?aju, na?a jedna?ina ?e biti prepisana na sljede?i na?in:

Napi?imo brojilac i otvorimo zagrade:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12

Vratimo se na?em razlomku. Brojilac mora biti nula:

[Natpis za sliku]

I imenilac je druga?iji od nule:

t ? 0; t ? -3; t ? -2

Posljednji zahtjevi se ispunjavaju automatski, jer su svi „vezani“ za cijele brojeve, a svi odgovori su iracionalni.

Dakle, rije?ena je racionalna jednad?ba razlomaka, prona?ene su vrijednosti varijable t. Vratimo se rje?avanju logaritamske jednad?be i sjetimo se ?ta je t:

[Natpis za sliku]

Svodimo ovu jedna?inu na kanonski oblik i dobijamo broj sa iracionalnim stepenom. Ne dozvolite da vas ovo zbuni - ?ak se i takvi argumenti mogu izjedna?iti:

[Natpis za sliku]

Imamo dva korena. Preciznije, dva kandidata odgovora - hajde da ih proverimo da li su u skladu sa domenom definicije. Budu?i da je osnova logaritma varijabla x, potrebno je sljede?e:

1 ? x > 0;

Sa istim uspjehom tvrdimo da je x ? 1/125, ina?e ?e se osnova drugog logaritma pretvoriti u jedinicu. Kona?no, x ? 1/25 za tre?i logaritam.

Ukupno smo dobili ?etiri ograni?enja:

1 ? x > 0; x ? 1/125; x ? 1/25

Sada se postavlja pitanje: da li na?i korijeni zadovoljavaju ove zahtjeve? Naravno da zadovoljavaju! Zato ?to ?e 5 na bilo koji stepen biti ve?e od nule, a zahtjev x > 0 je automatski zadovoljen.

S druge strane, 1 = 5 0, 1/25 = 5 -2, 1/125 = 5 -3, ?to zna?i da ova ograni?enja za na?e korijene (koji, da vas podsjetim, imaju iracionalan broj u eksponentu) su tako?er zadovoljni, a oba odgovora su rje?enja problema.

Dakle, imamo kona?an odgovor. Dvije su klju?ne ta?ke u ovom zadatku:

1. Budite oprezni kada okre?ete logaritam kada se argument i baza zamjenjuju. Takve transformacije name?u nepotrebna ograni?enja na opseg definicije.
2. Nemojte se bojati transformirati logaritme: oni se ne mogu samo obrnuti, ve? i pro?iriti pomo?u formule sume i op?enito mijenjati pomo?u bilo koje formule koju ste prou?avali prilikom rje?avanja logaritamskih izraza. Me?utim, uvijek zapamtite: neke transformacije pro?iruju opseg definicije, a neke ih su?avaju.

Logaritamski izrazi, primjeri rje?avanja. U ovom ?lanku ?emo se osvrnuti na probleme vezane za rje?avanje logaritama. U zadacima se postavlja pitanje pronala?enja zna?enja izraza. Treba napomenuti da se koncept logaritma koristi u mnogim zadacima i razumijevanje njegovog zna?enja je izuzetno va?no. ?to se ti?e Jedinstvenog dr?avnog ispita, logaritam se koristi pri rje?avanju jedna?ina, u primijenjenim problemima, kao i u zadacima vezanim za prou?avanje funkcija.

Navedimo primjere kako bismo razumjeli samo zna?enje logaritma:

Osnovni logaritamski identitet:

Svojstva logaritama koje se uvijek moraju zapamtiti:

*Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama faktora.

* * *

*Logaritam koli?nika (razlomka) jednak je razlici izme?u logaritama faktora.

* * *

*Logaritam stepena jednak je proizvodu eksponenta i logaritma njegove baze.

* * *

*Prelazak na novu osnovu

* * *

Vi?e nekretnina:

* * *

Izra?unavanje logaritama je usko povezano sa upotrebom svojstava eksponenata.

Navedimo neke od njih:

Su?tina ovog svojstva je da kada se brojnik prenese na nazivnik i obrnuto, predznak eksponenta se mijenja u suprotan. na primjer:

Zaklju?ak iz ove nekretnine:

* * *

Kada se stepen di?e na stepen, baza ostaje ista, ali se eksponenti mno?e.

* * *

Kao ?to ste vidjeli, sam koncept logaritma je jednostavan. Glavna stvar je da vam je potrebna dobra praksa, koja vam daje odre?enu vje?tinu. Naravno, potrebno je poznavanje formula. Ako vje?tina pretvaranja elementarnih logaritama nije razvijena, tada prilikom rje?avanja jednostavnih zadataka mo?ete lako pogrije?iti.

Vje?bajte, prvo rije?ite najjednostavnije primjere iz matematike, pa pre?ite na slo?enije. U budu?nosti ?u svakako pokazati kako se "ru?ni" logaritmi rje?avaju na Jedinstvenom dr?avnom ispitu, ali su zanimljivi, ne propustite!

To je sve! Sretno vam bilo!

S po?tovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi ka?ete ne?to o stranici na dru?tvenim mre?ama.

Logaritam broja b (b > 0) na osnovu a (a > 0, a ? 1)– eksponent na koji se broj a mora podi?i da bi se dobio b.

Logaritam od 10 od b mo?e se zapisati kao dnevnik(b), a logaritam bazi e (prirodni logaritam) je ln(b).

?esto se koristi pri rje?avanju problema s logaritmima:

Svojstva logaritama

Postoje ?etiri glavna svojstva logaritama.

Neka je a > 0, a ? 1, x > 0 i y > 0.

Svojstvo 1. Logaritam proizvoda

Logaritam proizvoda jednak zbiru logaritama:

log a (x ? y) = log a x + log a y

Svojstvo 2. Logaritam koli?nika

Logaritam koli?nika jednaka razlici logaritama:

log a (x / y) = log a x – log a y

Svojstvo 3. Logaritam stepena

Logaritam stepena jednak proizvodu stepena i logaritma:

Ako je osnova logaritma na stepenu, onda se primjenjuje druga formula:

Svojstvo 4. Logaritam korijena

Ovo svojstvo se mo?e dobiti iz svojstva logaritma stepena, jer je n-ti korijen stepena jednak stepenu 1/n:

Formula za pretvaranje iz logaritma u jednoj bazi u logaritam u drugoj bazi

Ova formula se tako?er ?esto koristi pri rje?avanju razli?itih zadataka na logaritmima:

poseban slu?aj:

Pore?enje logaritama (nejednakosti)

Neka imamo 2 funkcije f(x) i g(x) pod logaritmima sa istim bazama i izme?u njih postoji znak nejednakosti:

Da biste ih uporedili, prvo morate pogledati bazu logaritma a:

• Ako je a > 0, onda je f(x) > g(x) > 0
• Ako je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako rije?iti probleme s logaritmima: primjeri

Problemi sa logaritmima uklju?eni u Jedinstveni dr?avni ispit iz matematike za 11. razred u zadatku 5 i zadatku 7, zadatke sa rje?enjima mo?ete prona?i na na?oj web stranici u odgovaraju?im odjeljcima. Tako?er, zadaci sa logaritmima nalaze se u banci matemati?kih zadataka. Sve primjere mo?ete prona?i pretra?ivanjem stranice.

?ta je logaritam

Logaritmi su oduvijek smatrani te?kom temom u ?kolskim predmetima matematike. Postoji mnogo razli?itih definicija logaritma, ali iz nekog razloga ve?ina ud?benika koristi najslo?enije i neuspje?nije od njih.

Logaritam ?emo definirati jednostavno i jasno. Da bismo to uradili, napravimo tabelu:

Dakle, imamo mo?i dvojke.

Logaritmi - svojstva, formule, kako rije?iti

Ako uzmete broj iz donje linije, lako ?ete prona?i stepen na koji ?ete morati podi?i dva da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podi?i dva na ?etvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podi?i dva na ?esti stepen. To se vidi iz tabele.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

baza a argumenta x je stepen na koji se broj a mora podi?i da bi se dobio broj x.

Oznaka: log a x = b, gdje je a baza, x je argument, b je ono ?emu je logaritam zapravo jednak.

Na primjer, 2 3 = 8 =>log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Sa istim uspjehom, log 2 64 = 6, budu?i da je 2 6 = 64.

Operacija pronala?enja logaritma broja prema datoj bazi se zove. Dakle, dodajmo novi red u na?u tabelu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Na?alost, nisu svi logaritmi izra?unati tako lako. Na primjer, poku?ajte prona?i log 2 5. Broj 5 nije u tabeli, ali logika nala?e da ?e logaritam le?ati negdje u intervalu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi brojevi se nazivaju iracionalni: brojevi iza decimalnog zareza mogu se pisati beskona?no i nikada se ne ponavljaju. Ako se ispostavi da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga tako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Va?no je shvatiti da je logaritam izraz sa dvije varijable (osnovom i argumentom). U po?etku, mnogi ljudi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Da biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama nije ni?ta drugo do definicija logaritma. Zapamtite: logaritam je stepen, u koji se baza mora ugraditi da bi se dobio argument. To je baza koja je podignuta na snagu - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispostavilo se da je baza uvijek na dnu! Svojim u?enicima govorim ovo divno pravilo ve? na prvoj lekciji - i ne nastaje zabuna.

Kako brojati logaritme

Shvatili smo definiciju - preostaje samo da nau?imo kako ra?unati logaritme, tj. oslobodite se znaka "log". Za po?etak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije va?ne ?injenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti ve?i od nule. Ovo proizilazi iz definicije stepena pomo?u racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza mora biti razli?ita od jedinice, jer jedan u bilo kom stepenu i dalje ostaje jedan. Zbog toga je besmisleno pitanje „na koju snagu se treba podi?i da bi se dobilo dva“. Ne postoji takva diploma!

Takva ograni?enja se nazivaju raspon prihvatljivih vrijednosti(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b =>x > 0, a > 0, a ? 1.

Imajte na umu da nema ograni?enja za broj b (vrijednost logaritma). Na primjer, logaritam mo?e biti negativan: log 2 0,5 = -1, jer 0,5 = 2 -1.

Me?utim, sada razmatramo samo numeri?ke izraze kod kojih nije potrebno znati VA logaritma. Autori problema su ve? uzeli u obzir sva ograni?enja. Ali kada logaritamske jedna?ine i nejednakosti u?u u igru, DL zahtjevi ?e postati obavezni. Uostalom, osnova i argument mogu sadr?avati vrlo jake konstrukcije koje nu?no ne odgovaraju gornjim ograni?enjima.

Pogledajmo sada op?u ?emu za izra?unavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao stepen sa minimalnom mogu?om bazom ve?om od jedan. Usput je bolje da se rije?ite decimala;
2. Rije?ite jedna?inu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultiraju?i broj b ?e biti odgovor.

To je to! Ako se poka?e da je logaritam iracionalan, to ?e biti vidljivo ve? u prvom koraku. Zahtjev da baza bude ve?a od jedan je vrlo va?an: to smanjuje vjerovatno?u gre?ke i uvelike pojednostavljuje prora?une. Isto je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obi?ne, bit ?e mnogo manje gre?aka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Izra?unajte logaritam: log 5 25

1. Zamislimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Kreirajmo i rije?imo jedna?inu:
log 5 25 = b =>(5 1) b = 5 2 =>5 b = 5 2 => b = 2;

2. Dobili smo odgovor: 2.

Zadatak. Izra?unaj logaritam:

Zadatak. Izra?unajte logaritam: log 4 64

1. Zamislimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Kreirajmo i rije?imo jedna?inu:
   log 4 64 = b =>(2 2) b = 2 6 =>2 2b = 2 6 =>2b = 6 => b = 3;
3. Dobili smo odgovor: 3.

Zadatak. Izra?unajte logaritam: log 16 1

1. Zamislimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Kreirajmo i rije?imo jedna?inu:
   log 16 1 = b =>(2 4) b = 2 0 =>2 4b = 2 0 =>4b = 0 => b = 0;
3. Dobili smo odgovor: 0.

Zadatak. Izra?unajte logaritam: log 7 14

1. Zamislimo bazu i argument kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 se ne mo?e predstaviti kao stepen sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog stava proizilazi da se logaritam ne ra?una;
3. Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako mo?ete biti sigurni da broj nije ta?an stepen drugog broja? Vrlo je jednostavno - samo ga ura?unajte u osnovne faktore. Ako ekspanzija ima najmanje dva razli?ita faktora, broj nije ta?na snaga.

Zadatak. Saznajte da li su brojevi ta?ni potenci: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ta?an stepen, jer postoji samo jedan mno?itelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nije ta?na snaga, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ta?an stepen;
35 = 7 · 5 - opet nije ta?na snaga;
14 = 7 · 2 - opet nije ta?an stepen;

Imajte na umu da su sami prosti brojevi uvijek ta?ni potenci sami za sebe.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobi?ajeni da imaju poseban naziv i simbol.

argumenta x je logaritam bazi 10, tj. Potencija na koju se broj 10 mora podi?i da bi se dobio broj x. Oznaka: lg x.

Na primjer, log 10 = 1; LG 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u ud?beniku pojavi fraza poput „Prona?i lg 0,01“, znajte: ovo nije gre?ka u kucanju. Ovo je decimalni logaritam. Me?utim, ako niste upoznati s ovom notacijom, uvijek je mo?ete prepisati:
log x = log 10 x

Sve ?to vrijedi za obi?ne logaritme vrijedi i za decimalne logaritme.

Prirodni logaritam

Postoji jo? jedan logaritam koji ima svoju oznaku. Na neki na?in, to je ?ak i va?nije od decimalnog. Govorimo o prirodnom logaritmu.

argumenta x je logaritam bazi e, tj. stepen na koji se broj e mora podi?i da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x.

Mnogi ?e se zapitati: koji je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova ta?na vrijednost se ne mo?e prona?i i zapisati. Navest ?u samo prve brojke:
e = 2,718281828459…

Ne?emo ulaziti u detalje koji je to broj i za?to je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Dakle, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Op?enito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jednog: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obi?ne logaritme.

Vidi tako?er:

Logaritam. Svojstva logaritma (snaga logaritma).

Kako predstaviti broj kao logaritam?

Koristimo definiciju logaritma.

Logaritam je eksponent na koji se baza mora podi?i da bi se dobio broj ispod predznaka logaritma.

Dakle, da biste odre?eni broj c predstavili kao logaritam prema bazi a, potrebno je potenciranje sa istom osnovom kao i osnova logaritma staviti pod znak logaritma, a ovaj broj c napisati kao eksponent:

Apsolutno svaki broj se mo?e predstaviti kao logaritam - pozitivan, negativan, cijeli, razlomak, racionalan, iracionalan:

Kako ne biste pobrkali a i c u stresnim uvjetima testa ili ispita, mo?ete koristiti sljede?e pravilo pam?enja:

ono ?to je dole ide dole, ono ?to je gore ide gore.

Na primjer, trebate predstaviti broj 2 kao logaritam bazi 3.

Imamo dva broja - 2 i 3. Ovi brojevi su baza i eksponent, koje ?emo zapisati pod znakom logaritma. Ostaje da odredimo koji od ovih brojeva treba zapisati, na osnovu stepena, a koji - nagore, na eksponent.

Osnova 3 u zapisu logaritma je na dnu, ?to zna?i da kada predstavljamo dva kao logaritam bazi 3, tako?er ?emo zapisati 3 na bazu.

2 je ve?e od tri. A u notaciji stepena dva pi?emo iznad tri, odnosno kao eksponent:

Logaritmi. Po?etni nivo.

Logaritmi

Logaritam pozitivan broj b na osnovu a, Gdje a > 0, a ? 1, naziva se eksponent na koji se broj mora podi?i a dobiti b.

Definicija logaritma mo?e se ukratko napisati ovako:

Ova jednakost va?i za b > 0, a > 0, a ? 1. Obi?no se zove logaritamski identitet.
Akcija pronala?enja logaritma broja se zove logaritmom.

Svojstva logaritama:

Logaritam proizvoda:

Logaritam koli?nika:

Zamjena baze logaritma:

Logaritam stepena:

Logaritam korijena:

Logaritam sa bazom stepena:

Decimalni i prirodni logaritmi.

Decimalni logaritam brojevi pozivaju logaritam ovog broja na bazu 10 i pi?u   lg b
Prirodni logaritam brojevi se nazivaju logaritam tog broja prema bazi e, Gdje e- iracionalan broj pribli?no jednak 2,7. U isto vrijeme pi?u ln b.

Ostale napomene o algebri i geometriji

Osnovna svojstva logaritama

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu sabirati, oduzimati i transformirati na sve na?ine. Ali po?to logaritmi nisu ba? obi?ni brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.

Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne mo?e rije?iti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve mo?ete nau?iti u jednom danu. Pa po?nimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istim bazama: log a x i log a y. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu koli?nika. Imajte na umu: klju?na stvar je ovdje identi?ne osnove. Ako su razlozi druga?iji, ova pravila ne funkcioni?u!

Ove formule ?e vam pomo?i da izra?unate logaritamski izraz ?ak i kada se njegovi pojedina?ni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju “?ta je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:

Dnevnik 6 4 + log 6 9.

Po?to logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza: log 2 48 - log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza: log 3 135 - log 3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao ?to vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „lo?ih“ logaritama, koji se ne ra?unaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj ?injenici. Da, izrazi poput testa se nude u potpunosti (ponekad i bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom dr?avnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. ?ta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena mo?e izvaditi iz predznaka logaritma prema sljede?im pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slu?ajevima to ?e zna?ajno smanjiti koli?inu izra?una.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se po?tuje ODZ logaritma: a > 0, a ? 1, x > 0. I jo? ne?to: nau?ite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, ve? i obrnuto , tj. Mo?ete unijeti brojeve prije znaka logaritma u sam logaritam.

Kako rije?iti logaritme

To je ono ?to se naj?e??e tra?i.

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Oslobodimo se stepena u argumentu koriste?i prvu formulu:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Prona?ite zna?enje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadr?i logaritam, ?ija su osnova i argument ta?ni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva poja?njenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadr?e isti broj: log 2 7. Po?to je log 2 7 ? 0, mo?emo smanjiti razlomak - 2/4 ?e ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, ?etvorka se mo?e prenijeti u brojilac, ?to je i u?injeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govore?i o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. ?ta ako su razlozi druga?iji? ?ta ako nisu ta?ne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomo?. Formulirajmo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam log a x. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ? 1 ta?na jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slu?aju cijeli izraz „obr?e“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u obi?nim numeri?kim izrazima. Koliko su zgodne mogu?e je procijeniti samo pri rje?avanju logaritamskih jedna?ina i nejedna?ina.

Me?utim, postoje problemi koji se nikako ne mogu rije?iti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadr?e ta?ne potencije. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomno?ili ?etiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su ta?ni potenci. Zapi?imo ovo i rije?imo se indikatora:

Sada se rije?imo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

?esto je u procesu rje?avanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu.

U ovom slu?aju pomo?i ?e nam sljede?e formule:

U prvom slu?aju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n mo?e biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .

U stvari, ?ta se de?ava ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Pa?ljivo pro?itajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.

Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino mogu?e rje?enje.

Zadatak. Prona?ite zna?enje izraza:

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - jednostavno smo uzeli kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimaju?i u obzir pravila za mno?enje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog dr?avnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaklju?ku ?u dati dva identiteta koja se te?ko mogu nazvati svojstvima – radije su to posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznena?uju?e, stvaraju probleme ?ak i „naprednim“ u?enicima.

1. log a a = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
2. log a 1 = 0 je. Baza a mo?e biti bilo koja, ali ako argument sadr?i jedan, logaritam je jednak nuli! Zato ?to je 0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vje?bajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na po?etku lekcije, od?tampajte ga i rije?ite probleme.

Logaritamska jednad?ba je jednad?ba u kojoj su nepoznata (x) i izrazi s njom pod znakom logaritamske funkcije. Rje?avanje logaritamskih jednad?bi pretpostavlja da ste ve? upoznati sa i .
Kako rije?iti logaritamske jednad?be?

Najjednostavnija jedna?ina je log a x = b, gdje su a i b neki brojevi, x je nepoznanica.
Rje?avanje logaritamske jednad?be je x = a b pod uslovom: a > 0, a 1.

Treba napomenuti da ako je x negdje izvan logaritma, na primjer log 2 x = x-2, onda se takva jednad?ba ve? zove mje?ovita i potreban je poseban pristup za njeno rje?avanje.

Idealan slu?aj je kada nai?ete na jedna?inu u kojoj su samo brojevi pod znakom logaritma, na primjer x+2 = log 2 2. Ovdje je dovoljno poznavati svojstva logaritma da biste je rije?ili. Ali takva sre?a se ne de?ava ?esto, pa se pripremite za te?e stvari.

Ali prvo, po?nimo s jednostavnim jednad?bama. Da biste ih rije?ili, preporu?ljivo je imati vrlo op?enito razumijevanje logaritma.

Rje?avanje jednostavnih logaritamskih jednad?bi

One uklju?uju jedna?ine tipa log 2 x = log 2 16. Golim okom se mo?e vidjeti da izostavljanjem znaka logaritma dobijamo x = 16.

Da bi se rije?ila slo?enija logaritamska jednad?ba, obi?no se svodi na rje?avanje obi?ne algebarske jednad?be ili na rje?avanje jednostavne logaritamske jednad?be log a x = b. U najjednostavnijim jedna?inama to se doga?a u jednom kretanju, zbog ?ega se nazivaju najjednostavnijim.

Navedena metoda ispu?tanja logaritama jedan je od glavnih na?ina rje?avanja logaritamskih jedna?ina i nejedna?ina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Postoje odre?ena pravila ili ograni?enja za ovu vrstu operacije:

• logaritmi imaju iste numeri?ke baze
• Logaritmi na obje strane jedna?ine su slobodni, tj. bez ikakvih koeficijenata ili drugih raznih vrsta izraza.

Recimo u jedna?ini log 2 x = 2log 2 (1 - x) potenciranje nije primjenjivo - koeficijent 2 na desnoj strani to ne dozvoljava. U sljede?em primjeru, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) tako?er ne zadovoljava jedno od ograni?enja - postoje dva logaritma na lijevoj strani. Da postoji samo jedan, bila bi sasvim druga stvar!

Op?enito, logaritme mo?ete ukloniti samo ako jednad?ba ima oblik:

log a (...) = log a (...)

Apsolutno bilo koji izrazi se mogu staviti u zagrade; A nakon eliminacije logaritma, ostat ?e jednostavnija jedna?ina - linearna, kvadratna, eksponencijalna itd., koju, nadam se, ve? znate rije?iti.

Uzmimo jo? jedan primjer:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Primjenjujemo potenciranje, dobijamo:

log 3 (2x-1) = 2

Na osnovu definicije logaritma, naime, da je logaritam broj na koji se baza mora podi?i da bi se dobio izraz koji je pod predznakom logaritma, tj. (4x-1), dobijamo:

Opet smo dobili prekrasan odgovor. Ovdje nismo eliminirali logaritme, ali je i ovdje primjenjivo potenciranje, jer se logaritam mo?e napraviti od bilo kojeg broja, i to upravo onog koji nam je potreban. Ova metoda je od velike pomo?i u rje?avanju logaritamskih jedna?ina, a posebno nejedna?ina.

Re?imo na?u logaritamsku jedna?inu log 3 (2x-1) = 2 koriste?i potenciranje:

Zamislimo broj 2 kao logaritam, na primjer, ovaj log 3 9, jer je 3 2 =9.

Zatim log 3 (2x-1) = log 3 9 i opet dobijamo istu jedna?inu 2x-1 = 9. Nadam se da je sve jasno.

Pa smo pogledali kako rije?iti najjednostavnije logaritamske jednad?be, koje su zapravo vrlo va?ne, jer rje?avanje logaritamskih jedna?ina, ?ak i oni najstra?niji i najizvrnutiji, na kraju se uvijek svode na rje?avanje najjednostavnijih jedna?ina.

U svemu ?to smo gore radili izgubili smo iz vida jednu veoma va?nu ta?ku, koja ?e igrati odlu?uju?u ulogu u budu?nosti. ?injenica je da se rje?enje bilo koje logaritamske jedna?ine, ?ak i one najelementarne, sastoji od dva jednaka dijela. Prvo je rje?enje same jednad?be, drugo je rad s rasponom dopu?tenih vrijednosti (APV). Ovo je upravo prvi dio koji smo savladali. U gornjim primjerima, ODZ ni na koji na?in ne uti?e na odgovor, pa ga nismo razmatrali.

Uzmimo jo? jedan primjer:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Spolja, ova jedna?ina se ne razlikuje od elementarne, koja se mo?e vrlo uspje?no rije?iti. Ali to nije sasvim ta?no. Ne, naravno da ?emo to rije?iti, ali najvjerovatnije pogre?no, jer sadr?i malu zasjedu u koju odmah upadaju i u?enici C razreda i odli?ni u?enici. Pogledajmo izbliza.

Recimo da trebate prona?i korijen jednad?be ili zbroj korijena, ako ih ima nekoliko:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Koristimo potenciranje, ovdje je prihvatljivo. Kao rezultat, dobijamo obi?nu kvadratnu jedna?inu.

Pronala?enje korijena jednad?be:

Ispostavilo se dva korijena.

Odgovor: 3 i -1

Na prvi pogled sve je ta?no. Ali hajde da proverimo rezultat i zamenimo ga u originalnu jedna?inu.

Po?nimo sa x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Provjera je bila uspje?na, sada je red x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Ok, stani! Spolja je sve savr?eno. Jedna stvar - ne postoje logaritmi od negativnih brojeva! To zna?i da korijen x = -1 nije pogodan za rje?avanje na?e jednad?be. I stoga ?e ta?an odgovor biti 3, a ne 2, kako smo napisali.

Tu je ODZ odigrao svoju fatalnu ulogu, na koju smo zaboravili.

Da vas podsjetim da raspon prihvatljivih vrijednosti uklju?uje one vrijednosti x koje su dozvoljene ili imaju smisla za originalni primjer.

Bez ODZ-a, svako rje?enje, ?ak i apsolutno ispravno, bilo koje jednad?be pretvara se u lutriju - 50/50.

Kako bismo mogli biti uhva?eni u rje?avanju naizgled elementarnog primjera? Ali upravo u trenutku potenciranja. Nestali su logaritmi, a sa njima i sva ograni?enja.

?ta u?initi u ovom slu?aju? Odbiti eliminirati logaritme? I potpuno odbiti rije?iti ovu jedna?inu?

Ne, samo ?emo, kao pravi junaci iz jedne poznate pesme, zaobi?i!

Prije nego po?nemo rje?avati bilo koju logaritamsku jednad?bu, zapisa?emo ODZ. Ali nakon toga, mo?ete raditi ?ta god vam srce po?eli sa na?om jedna?inom. Dobiv?i odgovor, jednostavno izbacimo one korijene koji nisu uklju?eni u na? ODZ i zapi?emo kona?nu verziju.

Sada odlu?imo kako snimiti ODZ. Da bismo to u?inili, pa?ljivo ispitujemo originalnu jednad?bu i tra?imo sumnjiva mjesta u njoj, kao ?to je podjela sa x, paran korijen itd. Dok ne rije?imo jedna?inu, ne znamo ?emu je x jednako, ali sigurno znamo da oni x koji, kada su zamijenjeni, daju podjelu sa 0 ili kvadratnim korijenom negativnog broja, o?ito nisu prikladni kao odgovor . Stoga su takvi x neprihvatljivi, dok ?e ostatak ?initi ODZ.

Koristimo ponovo istu jedna?inu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Kao ?to vidite, nema podjele sa 0, nema ni kvadratnih korijena, ali postoje izrazi sa x u tijelu logaritma. Podsjetimo odmah da izraz unutar logaritma uvijek mora biti >0. Ovaj uslov zapisujemo u obliku ODZ:

One. Nismo jo? ni?ta rije?ili, ali smo ve? zapisali obavezni uvjet za cijeli podlogaritamski izraz. Viti?asta zagrada zna?i da ovi uslovi moraju biti istiniti istovremeno.

ODZ je zapisan, ali je potrebno i rije?iti nastali sistem nejednakosti, ?to ?emo i uraditi. Dobijamo odgovor x > v3. Sada sa sigurno??u znamo koji nam x ne?e odgovarati. I tada po?injemo rje?avati samu logaritamsku jedna?inu, ?to smo i uradili gore.

Dobiv?i odgovore x 1 = 3 i x 2 = -1, lako je vidjeti da nam odgovara samo x1 = 3 i to zapisujemo kao kona?an odgovor.

Za budu?nost je vrlo va?no zapamtiti sljede?e: bilo koju logaritamsku jedna?inu rje?avamo u 2 faze. Prvi je rje?avanje same jedna?ine, drugi je rje?avanje ODZ uvjeta. Obe etape se izvode nezavisno jedna od druge i upore?uju se samo pri pisanju odgovora, tj. odbacite sve nepotrebno i zapi?ite ta?an odgovor.

Da biste oja?ali materijal, toplo preporu?ujemo gledanje videa:

Video prikazuje druge primjere rje?avanja log. jednad?be i uvje?bavanje intervalne metode u praksi.

na ovo pitanje, kako rije?iti logaritamske jednad?be To je sve za sada. Ako ne?to odlu?i dnevnik. jednad?be ostaju nejasne ili nerazumljive, napi?ite svoja pitanja u komentarima.

Napomena: Akademija socijalnog obrazovanja (ASE) je spremna da primi nove studente.

O?uvanje va?e privatnosti nam je va?no. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo va?e podatke. Pregledajte na?u praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i kori?tenje li?nih podataka

Li?ni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje odre?ene osobe.

Od vas se mo?e tra?iti da unesete svoje li?ne podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta li?nih podataka koje mo?emo prikupljati i kako ih mo?emo koristiti.

Koje li?ne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na web stranici, mo?emo prikupljati razli?ite informacije, uklju?uju?i va?e ime, broj telefona, adresu e-po?te itd.

Kako koristimo va?e li?ne podatke:

• Li?ni podaci koje prikupljamo omogu?avaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim doga?ajima i nadolaze?im doga?ajima.
• S vremena na vrijeme mo?emo koristiti va?e li?ne podatke za slanje va?nih obavijesti i komunikacija.
• Li?ne podatke mo?emo koristiti i za interne svrhe, kao ?to su provo?enje revizija, analiza podataka i razli?ita istra?ivanja kako bismo pobolj?ali usluge koje pru?amo i dali vam preporuke u vezi s na?im uslugama.
• Ako u?estvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sli?noj promociji, mo?emo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija tre?im licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo tre?im licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva dr?avnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti va?e li?ne podatke. Tako?e mo?emo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provo?enje zakona ili druge svrhe od javnog zna?aja.
• U slu?aju reorganizacije, spajanja ili prodaje, mo?emo prenijeti li?ne podatke koje prikupimo na odgovaraju?u tre?u stranu.

Za?tita li?nih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uklju?uju?i administrativne, tehni?ke i fizi?ke - da za?titimo va?e osobne podatke od gubitka, kra?e i zloupotrebe, kao i neovla?tenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uni?tenja.

Po?tivanje va?e privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su va?i li?ni podaci sigurni, na?im zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.