Shkolla e mesme rurale Kopyevskaya

10 m?nyra p?r t? zgjidhur ekuacionet kuadratike

Drejtues: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

m?sues matematike

fshati Kopev?, 2007

1. Historia e zhvillimit t? ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike n? Babilonin? e Lasht?

1.2 Si i p?rpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike

1.3 Ekuacionet kuadratike n? Indi

1.4 Ekuacionet kuadratike nga al-Khorezmi

1.5 Ekuacionet kuadratike n? Evrop? shekujt XIII - XVII

1.6 Rreth teorem?s s? Viet?s

2. Metodat p?r zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

konkluzioni

Let?rsia

1. Historia e zhvillimit t? ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike n? Babilonin? e Lasht?

Nevoja p?r zgjidhjen e ekuacioneve jo vet?m t? shkall?s s? par?, por edhe t? shkall?s s? dyt?, edhe n? koh?t e lashta, u shkaktua nga nevoja p?r zgjidhjen e problemeve q? lidhen me gjetjen e sip?rfaqeve t? parcelave dhe me pun? g?rmimi t? karakterit ushtarak, si dhe. si me zhvillimin e vet? astronomis? dhe matematik?s. Ekuacionet kuadratike mund t? zgjidheshin rreth vitit 2000 para Krishtit. e. babilonasit.

Duke p?rdorur sh?nimet algjebrike moderne, mund t? themi se n? tekstet e tyre kuneiforme ka, p?rve? atyre jo t? plota, t? tilla, p?r shembull, ekuacione t? plota kuadratike:

X 2 + X = 3/4 ; X 2 - X = 14,5

Rregulli p?r zgjidhjen e k?tyre ekuacioneve, i p?rcaktuar n? tekstet babilonase, n? thelb p?rkon me at? modern, por nuk dihet se si babilonasit arrit?n n? k?t? rregull. Pothuajse t? gjitha tekstet kuneiforme t? gjetura deri m? tani japin vet?m probleme me zgjidhjet e paraqitura n? form?n e recetave, pa asnj? tregues se si u gjet?n.

Megjith? nivelin e lart? t? zhvillimit t? algjebr?s n? Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i nj? numri negativ dhe metodat e p?rgjithshme p?r zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

1.2 Si i p?rpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike.

Aritmetika e Diofantit nuk p?rmban nj? paraqitje sistematike t? algjebr?s, por p?rmban nj? s?r? problemesh sistematike, t? shoq?ruara me shpjegime dhe t? zgjidhura duke nd?rtuar ekuacione t? shkall?ve t? ndryshme.

Kur kompozon ekuacione, Diofanti zgjedh me mjesht?ri t? panjohurat p?r t? thjeshtuar zgjidhjen.

K?tu, p?r shembull, ?sht? nj? nga detyrat e tij.

Problemi 11."Gjeni dy numra duke e ditur se shuma e tyre ?sht? 20 dhe prodhimi i tyre ?sht? 96"

Diofanti arsyeton si m? posht?: nga kushtet e problemit del se numrat e k?rkuar nuk jan? t? barabart?, pasi n?se do t? ishin t? barabart?, at?her? produkti i tyre nuk do t? ishte i barabart? me 96, por me 100. K?shtu, nj?ri prej tyre do t? jet? m? shum? se gjysma e shum?s s? tyre, d.m.th. 10 + x, tjetri ?sht? m? pak, d.m.th. 10-ta. Dallimi mes tyre 2x .

Prandaj ekuacioni:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Nga k?tu x = 2. Nj? nga numrat e k?rkuar ?sht? i barabart? me 12 , t? tjera 8 . Zgjidhje x = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vet?m numra pozitiv?.

N?se e zgjidhim k?t? problem duke zgjedhur nj? nga numrat e k?rkuar si t? panjohur, at?her? do t? arrijm? n? nj? zgjidhje t? ekuacionit

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)

?sht? e qart? se duke zgjedhur gjysm?diferenc?n e numrave t? k?rkuar si t? panjohur, Diofanti thjeshton zgjidhjen; ai arrin ta reduktoj? problemin n? zgjidhjen e nj? ekuacioni kuadratik jo t? plot? (1).

1.3 Ekuacionet kuadratike n? Indi

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashm? n? traktatin astronomik "Aryabhattiam", t? p?rpiluar n? 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Nj? tjet?r shkenc?tar indian, Brahmagupta (shekulli VII), p?rshkroi nj? rregull t? p?rgjithsh?m p?r zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike t? reduktuara n? nj? form? t? vetme kanonike:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

N? ekuacionin (1), koeficient?t, p?rve? A, mund t? jet? edhe negative. Rregulli i Brahmagupta ?sht? n? thelb i nj?jt? me yni.

N? Indin? e lasht?, konkurset publike n? zgjidhjen e problemeve t? v?shtira ishin t? zakonshme. Nj? nga librat e vjet?r indian thot? si vijon p?r konkurse t? tilla: "Nd?rsa dielli i kalon yjet me shk?lqimin e tij, k?shtu nj? njeri i ditur do ta kaloj? lavdin? e nj? tjetri n? asamblet? publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin n? form? poetike.

Ky ?sht? nj? nga problemet e matematikanit t? famsh?m indian t? shekullit t? 12-t?. Bhaskar?t.

Problemi 13.

"Nj? tuf? majmun?sh t? gjall? dhe dymb?dhjet? p?rgjat? hardhive...

Autoritetet, pasi kishin ngr?n?, u arg?tuan. Ata filluan t? k?rcejn?, t? varen...

Jan? n? shesh, pjesa e tet? Sa majmun? ishin?

Po arg?tohesha n? pastrim. M? thuaj, n? k?t? paket??

Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai e dinte se rr?nj?t e ekuacioneve kuadratike jan? me dy vlera (Fig. 3).

Ekuacioni q? i korrespondon problemit 13 ?sht?:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara shkruan n?n mask?n:

x 2 - 64x = -768

dhe, p?r t? plot?suar an?n e majt? t? k?tij ekuacioni n? nj? katror, shton n? t? dyja an?t 32 2 , pastaj duke marr?:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ekuacionet kuadratike n? el - Khorezmi

N? traktatin algjebrik t? al-Khorezmi, jepet nj? klasifikim i ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori num?ron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si m? posht?:

1) "Katroret jan? t? barabart? me rr?nj?t", d.m.th. s?pat? 2 + c = b X.

2) “Katroret jan? t? barabart? me numrat”, d.m.th. s?pat? 2 = c.

3) "Rr?nj?t jan? t? barabarta me numrin", d.m.th. ah = s.

4) "Katroret dhe numrat jan? t? barabart? me rr?nj?t", d.m.th. s?pat? 2 + c = b X.

5) “Katroret dhe rr?nj?t jan? t? barabarta me numrat”, d.m.th. ah 2 + bx = s.

6) "Rr?nj?t dhe numrat jan? t? barabart? me katror?", d.m.th. bx + c = s?pat? 2 .

P?r al-Khorezmi, i cili shmangi p?rdorimin e numrave negativ?, termat e secilit prej k?tyre ekuacioneve jan? shtesa dhe jo zbrit?s. N? k?t? rast, ekuacionet q? nuk kan? zgjidhje pozitive padyshim q? nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda p?r zgjidhjen e k?tyre ekuacioneve duke p?rdorur teknikat el-xhebr dhe el-muqabala. Vendimet e tij, natyrisht, nuk p?rkojn? plot?sisht me tonat. P?r t? mos p?rmendur q? ?sht? thjesht retorik, duhet theksuar, p?r shembull, se kur zgjidhet nj? ekuacion kuadratik jo i plot? i llojit t? par?

al-Khorezmi, si t? gjith? matematikan?t para shekullit t? 17-t?, nuk e merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse n? problemet specifike praktike nuk ka r?nd?si. Kur zgjidh ekuacione t? plota kuadratike, al-Khorezmi p?rcakton rregullat p?r zgjidhjen e tyre duke p?rdorur shembuj t? ve?ant? numerik, dhe m? pas prova gjeometrike.

Problemi 14.“Katrori dhe numri 21 jan? t? barabart? me 10 rr?nj?. Gjeni rr?nj?n" (duke n?nkuptuar rr?nj?n e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).

Zgjidhja e autorit shkon di?ka e till?: ndani numrin e rr?nj?ve n? gjysm?, merrni 5, shum?zoni 5 me vetveten, zbrisni 21 nga prodhimi, ajo q? mbetet ?sht? 4. Merrni rr?nj?n nga 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5 , ju merrni 3, kjo do t? jet? rr?nja e d?shiruar. Ose shtoni 2 n? 5, q? jep 7, kjo ?sht? gjithashtu nj? rr?nj?.

Traktati i el-Khorezmi ?sht? libri i par? q? na ka ardhur, i cili p?rcakton sistematikisht klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula p?r zgjidhjen e tyre.

1.5 Ekuacionet kuadratike n? Evrop? XIII - XVII bb

Formulat p?r zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike p?rgjat? linjave t? al-Khorezmi n? Evrop? u parashtruan p?r her? t? par? n? Librin e Abacus, shkruar n? 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vep?r voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematik?s, si nga vendet islame, ashtu edhe nga Greqia e lasht?, dallohet p?r plot?sin? dhe qart?sin? e paraqitjes. Autori zhvilloi n? m?nyr? t? pavarur disa shembuj t? rinj algjebrik? t? zgjidhjes s? problemeve dhe ishte i pari n? Evrop? q? iu afrua futjes s? numrave negativ?. Libri i tij kontribuoi n? p?rhapjen e njohurive algjebrike jo vet?m n? Itali, por edhe n? Gjermani, Franc? dhe vende t? tjera evropiane. Shum? probleme nga Libri i Abacus u p?rdor?n pothuajse n? t? gjitha tekstet evropiane t? shekujve 16 - 17. dhe pjes?risht XVIII.

Rregulli i p?rgjithsh?m p?r zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar n? nj? form? t? vetme kanonike:

x 2 + bx = c,

p?r t? gjitha kombinimet e mundshme t? shenjave t? koeficientit b , Me u formulua n? Evrop? vet?m n? vitin 1544 nga M. Stiefel.

Derivimi i formul?s p?r zgjidhjen e nj? ekuacioni kuadratik n? form? t? p?rgjithshme ?sht? i disponuesh?m nga Vieth, por Vieth njohu vet?m rr?nj? pozitive. Matematikan?t italian? Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin nd?r t? par?t n? shekullin e 16-t?. P?rve? pozitiveve, merren parasysh edhe rr?nj?t negative. Vet?m n? shekullin e 17-t?. Fal? pun?s s? Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkenc?tar?ve t? tjer?, metoda e zgjidhjes s? ekuacioneve kuadratike merr nj? form? moderne.

1.6 Rreth teorem?s s? Viet?s

Teorema q? shpreh marr?dh?nien midis koeficient?ve t? nj? ekuacioni kuadratik dhe rr?nj?ve t? tij, me emrin Vieta, u formulua prej tij p?r her? t? par? n? 1591 si m? posht?: "N?se B + D, shum?zuar me A - A 2 , e barabart? BD, Kjo A barazohet N? dhe t? barabart? D ».

P?r t? kuptuar Viet?n, duhet ta kujtojm? k?t? A, si ?do shkronj? zanore, n?nkuptonte t? panjohur?n (ton? X), zanoret N?, D- koeficient?t p?r t? panjohur?n. N? gjuh?n e algjebr?s moderne, formulimi i m?sip?rm Vieta do t? thot?: n?se ka

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Duke shprehur marr?dh?nien midis rr?nj?ve dhe koeficient?ve t? ekuacioneve me formulat e p?rgjithshme t? shkruara duke p?rdorur simbole, Vi?te vendosi uniformitet n? metodat e zgjidhjes s? ekuacioneve. Sidoqoft?, simbolika e Vietit ?sht? ende larg nga forma e saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativ? dhe p?r k?t? arsye, kur zgjidhte ekuacionet, ai merrte parasysh vet?m rastet kur t? gjitha rr?nj?t ishin pozitive.

2. Metodat p?r zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Ekuacionet kuadratike jan? themeli mbi t? cilin mb?shtetet nd?rtesa madh?shtore e algjebr?s. Ekuacionet kuadratike p?rdoren gjer?sisht n? zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale dhe transcendentale. T? gjith? dim? t? zgjidhim ekuacionet kuadratike nga shkolla (klasa e 8-t?) deri n? diplomim.

Nj? ekuacion kuadratik ?sht? nj? ekuacion i form?s ax^2 + bx + c = 0, ku koeficient?t a, b dhe c jan? numra arbitrar, dhe a ? 0, p?rndryshe nuk do t? jet? m? nj? ekuacion kuadratik. Ekuacionet kuadratike ose nuk kan? rr?nj?, ose kan? sakt?sisht nj? rr?nj?, ose dy rr?nj? t? ndryshme. Hapi i par? ?sht? t? k?rkoni nj? diskriminues. Formula: D = b^2 - 4ac.< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >1. N?se D

0, do t? ket? dy rr?nj?. Me opsionin e par? ?sht? e qart?, nuk ka rr?nj?. N?se diskriminuesi D > 0, rr?nj?t mund t? gjenden si m? posht?: x12 = (-b +- ?D) / 2a. Sa i p?rket opsionit t? dyt?, kur D = 0, mund t? p?rdoret formula e m?sip?rme.

Ekuacionet kuadratike fillojn? t? studiohen n? l?nd?n e matematik?s shkollore. Por, p?r fat t? keq, jo t? gjith? e kuptojn? dhe din? t? zgjidhin sakt? nj? ekuacion kuadratik dhe t? llogarisin rr?nj?t e tij. S? pari, le t? kuptojm? se ?far? ?sht? nj? ekuacion kuadratik.

?far? ?sht? nj? ekuacion kuadratik

• Termi ekuacion kuadratik zakonisht n?nkupton nj? ekuacion algjebrik t? form?s s? p?rgjithshme. Ky ekuacion ka k?t? form?: ax2 + bx + c = 0, nd?rsa a, b dhe c jan? disa numra specifik?, x ?sht? nj? i panjohur. K?ta tre numra zakonisht quhen koeficient?t e ekuacionit kuadratik:
• a - koeficienti i par?;
• b - koeficienti i dyt?;

c ?sht? koeficienti i tret?.

Si t? gjeni rr?nj?t e nj? ekuacioni kuadratik

P?r t? llogaritur se me ?far? do t? jen? t? barabarta rr?nj?t e nj? ekuacioni kuadratik, ?sht? e nevojshme t? gjendet diskriminuesi i ekuacionit. Diskriminuesi i nj? ekuacioni kuadratik ?sht? nj? shprehje q? barazohet dhe llogaritet duke p?rdorur formul?n b2 - 4ac. N?se diskriminuesi ?sht? m? i madh se zero, rr?nja llogaritet duke p?rdorur formul?n: x = -b + - rr?nja e diskriminuesit pjes?tuar me 2 a.

Shqyrtoni shembullin e ekuacionit 5x n? katror - 8x +3 = 0

Diskriminuesi ?sht? i barabart? me tet? n? katror, minus kat?r her? pes?, her? tre, q? ?sht? = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 = 8 + rr?nja e kat?r e ndar? me dy her? pes? = 8 +2/10 = 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Prandaj, rr?nj?t e k?tij ekuacioni kuadratik do t? jen? 1 dhe 0.6.

Ekuacioni i form?s ShprehjeD 2 = b- 4 ac thirrur diskriminuese ekuacioni kuadratik.Shprehje N?se> 0, at?her? ekuacioni ka dy rr?nj? reale.
N? rast Shprehje = 0 , nganj?her? thuhet se nj? ekuacion kuadratik ka dy rr?nj? identike.
Duke p?rdorur sh?nimin ShprehjeD 2 = b, ne mund ta rishkruajm? formul?n (2) n? form?

N?se b= 2k, at?her? formula (2) merr form?n:

Ku kD / 2 .
Formula e fundit ?sht? ve?an?risht e p?rshtatshme n? rastet kur b / 2 - nj? num?r i plot?, d.m.th. koeficienti b- num?r ?ift.
Shembulli 1: Zgjidhe ekuacionin 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . K?tu a = 2, b = -5, c = 2. ne kemi ShprehjeD 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Sepse Shprehje > 0 , at?her? ekuacioni ka dy rr?nj?. Le t'i gjejm? ato duke p?rdorur formul?n (2)

Pra x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
pra x 1 = 2 Dhe x 2 = 1 / 2 - rr?nj?t e nj? ekuacioni t? dh?n?.
Shembulli 2: Zgjidhe ekuacionin 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . K?tu a = 2, b = -3, c = 5. Gjetja e diskriminuesit ShprehjeD 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Sepse Shprehje 0 , at?her? ekuacioni nuk ka rr?nj? reale.

Ekuacionet kuadratike jo t? plota. N?se n? nj? ekuacion kuadratik s?pat? 2 +bx+ c =0 koeficienti i dyt? b ose an?tar i lir? c?sht? e barabart? me zero, at?her? thirret ekuacioni kuadratik jo t? plota. Ekuacionet jo t? plota ve?ohen sepse p?r t? gjetur rr?nj?t e tyre nuk duhet t? p?rdorni formul?n p?r rr?nj?t e nj? ekuacioni kuadratik - ?sht? m? e leht? t? zgjidhni ekuacionin duke faktorizuar an?n e majt? t? tij.
Shembulli 1: zgjidhin ekuacionin 2 x 2 - 5 x = 0 .
ne kemi x(2 x - 5) = 0 . Pra ose x = 0 , ose 2 x - 5 = 0 , pra x = 2.5 . Pra, ekuacioni ka dy rr?nj?: 0 Dhe 2.5
Shembulli 2: zgjidhin ekuacionin 3 x 2 - 27 = 0 .
ne kemi 3 x 2 = 27 . Prandaj, rr?nj?t e k?tij ekuacioni jan? 3 Dhe -3 .

Teorema e Viet?s. N?se ekuacioni kuadratik i reduktuar x 2 + px+q =0 ka rr?nj? reale, at?her? shuma e tyre ?sht? e barabart? me - fq, dhe produkti ?sht? i barabart? q, pra

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(shuma e rr?nj?ve t? ekuacionit kuadratik t? m?sip?rm ?sht? e barabart? me koeficientin e dyt? t? marr? me shenj?n e kund?rt, dhe prodhimi i rr?nj?ve ?sht? i barabart? me termin e lir?).

Problemet e ekuacioneve kuadratike studiohen si n? kurrikul?n shkollore ashtu edhe n? universitete. Me to n?nkuptojm? ekuacione t? form?s a*x^2 + b*x + c = 0, ku x- ndryshore, a, b, c – konstante; a<>0 . Detyra ?sht? t? gjesh rr?nj?t e ekuacionit.

Kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik

Grafiku i nj? funksioni q? p?rfaq?sohet nga nj? ekuacion kuadratik ?sht? nj? parabol?. Zgjidhjet (rr?nj?t) e nj? ekuacioni kuadratik jan? pikat e prerjes s? parabol?s me boshtin e abshis?s (x). Nga kjo rezulton se ka tre raste t? mundshme:
1) parabola nuk ka pika t? prerjes me boshtin e abshisave. Kjo do t? thot? se ?sht? n? rrafshin e sip?rm me deg? lart ose n? fund me deg? posht?. N? raste t? tilla, ekuacioni kuadratik nuk ka rr?nj? reale (ka dy rr?nj? komplekse).

2) parabola ka nj? pik? kryq?zimi me boshtin Ox. Nj? pik? e till? quhet kulmi i parabol?s dhe ekuacioni kuadratik n? t? fiton vler?n e tij minimale ose maksimale. N? k?t? rast, ekuacioni kuadratik ka nj? rr?nj? reale (ose dy rr?nj? identike).

3) Rasti i fundit ?sht? m? interesant n? praktik? - ekzistojn? dy pika t? kryq?zimit t? parabol?s me boshtin e abshis?. Kjo do t? thot? se ka dy rr?nj? reale t? ekuacionit.

N? baz? t? analiz?s s? koeficient?ve t? fuqive t? variablave, mund t? nxirren p?rfundime interesante p?r vendosjen e parabol?s.

1) N?se koeficienti a ?sht? m? i madh se zero, at?her? deg?t e parabol?s jan? t? drejtuara lart, n?se ai ?sht? negativ, deg?t e parabol?s drejtohen posht?;

2) N?se koeficienti b ?sht? m? i madh se zero, at?her? kulmi i parabol?s q?ndron n? gjysm?rrafshin e majt?, n?se merr vler? negative, at?her? n? gjysm?rrafshin e djatht?.

Nxjerrja e formul?s p?r zgjidhjen e nj? ekuacioni kuadratik

Le t? transferojm? konstant?n nga ekuacioni kuadratik

p?r shenj?n e barabart?, marrim shprehjen

Shum?zojini t? dyja an?t me 4a

P?r t? marr? nj? katror t? plot? n? t? majt?, shtoni b^2 n? t? dy an?t dhe kryeni transformimin

Nga k?tu gjejm?

Formula p?r diskriminuesin dhe rr?nj?t e nj? ekuacioni kuadratik

Diskriminuesi ?sht? vlera e shprehjes radikale n?se ?sht? pozitive, at?her? ekuacioni ka dy rr?nj? reale, t? llogaritura me formul? Kur diskriminuesi ?sht? zero, ekuacioni kuadratik ka nj? zgjidhje (dy rr?nj? q? p?rputhen), e cila mund t? merret leht?sisht nga formula e m?sip?rme p?r D=0, kur diskriminuesi ?sht? negativ, ekuacioni nuk ka rr?nj? reale. Sidoqoft?, zgjidhjet e ekuacionit kuadratik gjenden n? planin kompleks dhe vlera e tyre llogaritet duke p?rdorur formul?n

Teorema e Viet?s

Le t? shqyrtojm? dy rr?nj?t e nj? ekuacioni kuadratik dhe t? nd?rtojm? nj? ekuacion kuadratik mbi baz?n e tyre vet? teorema e Viet?s rrjedh leht?sisht nga sh?nimi: n?se kemi nj? ekuacion kuadratik t? form?s. at?her? shuma e rr?nj?ve t? tij ?sht? e barabart? me koeficientin p t? marr? me shenj?n e kund?rt, dhe prodhimi i rr?nj?ve t? ekuacionit ?sht? i barabart? me termin e lir? q. Paraqitja formulore e sa m? sip?r do t? duket si N?se n? nj? ekuacion klasik konstanta a ?sht? jozero, at?her? duhet t? ndani t? gjith? ekuacionin me t? dhe m? pas t? zbatoni teorem?n e Vieta-s.

Skema e ekuacioneve kuadratike t? faktorizimit

Le t? vendoset detyra: faktorizoni nj? ekuacion kuadratik. P?r ta b?r? k?t?, s? pari zgjidhim ekuacionin (gjeni rr?nj?t). M? pas, ne i z?vend?sojm? rr?nj?t e gjetura n? formul?n e zgjerimit p?r ekuacionin kuadratik.

Problemet e ekuacionit kuadratik

Detyra 1. Gjeni rr?nj?t e nj? ekuacioni kuadratik

x^2-26x+120=0 .

Zgjidhje: Shkruani koeficient?t dhe z?vend?sojini n? formul?n diskriminuese

Rr?nja e k?saj vlere ?sht? 14, ?sht? e leht? t? gjendet me nj? makin? llogarit?se, ose t? mbahet mend me p?rdorim t? shpesht?, megjithat?, p?r leht?si, n? fund t? artikullit do t'ju jap nj? list? t? katror?ve t? numrave q? mund t? hasen shpesh n? probleme t? tilla.
Ne e z?vend?sojm? vler?n e gjetur n? formul?n rr?nj?sore

dhe marrim

Detyra 2. Zgjidhe ekuacionin

2x 2 +x-3=0.

Zgjidhja: Kemi nj? ekuacion t? plot? kuadratik, shkruajm? koeficient?t dhe gjejm? diskriminuesin


Duke p?rdorur formulat e njohura gjejm? rr?nj?t e ekuacionit kuadratik

Detyra 3. Zgjidhe ekuacionin

9x 2 -12x+4=0.

Zgjidhje: Kemi nj? ekuacion t? plot? kuadratik. P?rcaktimi i diskriminuesit

Kemi nj? rast kur rr?nj?t p?rkojn?. Gjeni vlerat e rr?nj?ve duke p?rdorur formul?n

Detyra 4. Zgjidhe ekuacionin

x^2+x-6=0 .

Zgjidhja: N? rastet kur ka koeficient? t? vegj?l p?r x, k?shillohet t? zbatohet teorema e Viet?s. Sipas gjendjes s? tij marrim dy ekuacione

Nga kushti i dyt? gjejm? se produkti duhet t? jet? i barabart? me -6. Kjo do t? thot? q? nj?ra prej rr?nj?ve ?sht? negative. Kemi ?iftin e m?posht?m t? mundsh?m t? zgjidhjeve (-3;2), (3;-2) . Duke marr? parasysh kushtin e par?, ne refuzojm? ?iftin e dyt? t? zgjidhjeve.
Rr?nj?t e ekuacionit jan? t? barabarta

Detyra 5. Gjeni gjat?sit? e brinj?ve t? nj? drejtk?nd?shi n?se perimetri i tij ?sht? 18 cm dhe sip?rfaqja e tij ?sht? 77 cm 2.

Zgjidhje: Gjysma e perimetrit t? nj? drejtk?nd?shi ?sht? e barabart? me shum?n e brinj?ve t? tij ngjitur. Le t? sh?nojm? x si an?n m? t? madhe, at?her? 18-x ?sht? ana e saj m? e vog?l. Sip?rfaqja e drejtk?nd?shit ?sht? e barabart? me produktin e k?tyre gjat?sive:
x(18-x)=77;
ose
x 2 -18x+77=0.
Le t? gjejm? diskriminuesin e ekuacionit

Llogaritja e rr?nj?ve t? ekuacionit

N?se x=11, Se 18 = 7, e kund?rta ?sht? gjithashtu e v?rtet? (n?se x=7, at?her? 21's=9).

Detyra 6. Faktoroni ekuacionin kuadratik 10x 2 -11x+3=0.

Zgjidhja: Le t? llogarisim rr?nj?t e ekuacionit, p?r ta b?r? k?t? gjejm? diskriminuesin

Ne e z?vend?sojm? vler?n e gjetur n? formul?n rr?nj?sore dhe llogarisim

Zbatojm? formul?n p?r zb?rthimin e nj? ekuacioni kuadratik sipas rr?nj?ve

Duke hapur kllapat marrim nj? identitet.

Ekuacioni kuadratik me paramet?r

Shembulli 1. N? cilat vlera parametrash A, a ka nj? rr?nj? ekuacioni (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0?

Zgjidhje: Me z?vend?sim t? drejtp?rdrejt? t? vler?s a=3 shohim se nuk ka zgjidhje. M? pas, do t? p?rdorim faktin q? me nj? diskriminues zero, ekuacioni ka nj? rr?nj? t? shum?fishimit 2. Le t? shkruajm? diskriminuesin

Le ta thjeshtojm? dhe ta barazojm? me zero

Ne kemi marr? nj? ekuacion kuadratik n? lidhje me parametrin a, zgjidhja e t? cilit mund t? merret leht?sisht duke p?rdorur teorem?n e Viet?s. Shuma e rr?nj?ve ?sht? 7, dhe prodhimi i tyre ?sht? 12. Me k?rkim t? thjesht? konstatojm? se numrat 3,4 do t? jen? rr?nj?t e ekuacionit. Meqen?se ne kemi refuzuar tashm? zgjidhjen a=3 n? fillim t? llogaritjeve, e vetmja e sakt? do t? jet? - a=4. K?shtu, kur a=4 ekuacioni ka nj? rr?nj?.

Shembulli 2. N? cilat vlera parametrash A, ekuacioni a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ka m? shum? se nj? rr?nj??

Zgjidhja: Le t? shqyrtojm? fillimisht pikat nj?j?s, ato do t? jen? vlerat a=0 dhe a=-3. Kur a=0, ekuacioni do t? thjeshtohet n? form?n 6x-9=0; x=3/2 dhe do t? ket? nj? rr?nj?. P?r a= -3 marrim identitetin 0=0.
Le t? llogarisim diskriminuesin

dhe gjeni vler?n e a n? t? cil?n ?sht? pozitive

Nga kushti i par? marrim a>3. P?r t? dyt?n, gjejm? diskriminuesin dhe rr?nj?t e ekuacionit


Le t? p?rcaktojm? intervalet ku funksioni merr vlera pozitive. Duke z?vend?suar pik?n a=0 marrim 3>0 . Pra, jasht? intervalit (-3;1/3) funksioni ?sht? negativ. Mos harroni pik?n a=0, e cila duhet t? p?rjashtohet sepse ekuacioni origjinal ka nj? rr?nj? n? t?.
Si rezultat, marrim dy intervale q? plot?sojn? kushtet e problemit

Do t? ket? shum? detyra t? ngjashme n? praktik?, p?rpiquni t'i kuptoni vet? detyrat dhe mos harroni t? merrni parasysh kushtet q? jan? reciprokisht ekskluzive. Studioni mir? formulat p?r zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike ato shpesh nevojiten n? llogaritjet n? probleme dhe shkenca t? ndryshme.

N? shoq?rin? moderne, aft?sia p?r t? kryer operacione me ekuacione q? p?rmbajn? nj? ndryshore n? katror mund t? jet? e dobishme n? shum? fusha t? veprimtaris? dhe p?rdoret gjer?sisht n? praktik? n? zhvillimet shkencore dhe teknike. D?shmi p?r k?t? mund t? gjenden n? projektimin e anijeve detare dhe lumore, avion?ve dhe raketave. Duke p?rdorur llogaritje t? tilla, p?rcaktohen trajektoret e l?vizjes s? nj? shum?llojshm?rie t? gjer? trupash, duke p?rfshir? objektet hap?sinore. Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike p?rdoren jo vet?m n? parashikimin ekonomik, n? projektimin dhe nd?rtimin e nd?rtesave, por edhe n? rrethanat m? t? zakonshme t? p?rditshme. Ato mund t? nevojiten n? udh?timet e ecjes, n? ngjarje sportive, n? dyqane kur b?ni blerje dhe n? situata t? tjera shum? t? zakonshme.

Le ta ndajm? shprehjen n? faktor?t p?rb?r?s t? saj

Shkalla e nj? ekuacioni p?rcaktohet nga vlera maksimale e shkall?s s? ndryshores q? p?rmban shprehja. N?se ?sht? e barabart? me 2, at?her? nj? ekuacion i till? quhet kuadratik.

N?se flasim n? gjuh?n e formulave, at?her? shprehjet e treguara, pavar?sisht se si duken, gjithmon? mund t? sillen n? form?n kur ana e majt? e shprehjes p?rb?het nga tre terma. Midis tyre: boshti 2 (d.m.th., nj? ndryshore n? katror me koeficientin e saj), bx (nj? e panjohur pa katror me koeficientin e saj) dhe c (nj? p?rb?r?s i lir?, dometh?n? nj? num?r i zakonsh?m). E gjith? kjo n? an?n e djatht? ?sht? e barabart? me 0. N? rastin kur nj? polinomi t? till? i mungon nj? nga termat p?rb?r?s, me p?rjashtim t? s?pat?s 2, quhet ekuacion kuadratik jo i plot?. Shembujt me zgjidhjen e problemeve t? tilla, vlerat e variablave n? t? cilat gjenden leht?sisht, duhet t? merren parasysh s? pari.

N?se shprehja duket n? at? m?nyr? q? shprehja n? an?n e djatht? t? ket? dy terma, m? sakt? ax 2 dhe bx, m?nyra m? e leht? p?r t? gjetur x ?sht? duke e vendosur variablin jasht? kllapave. Tani ekuacioni yn? do t? duket k?shtu: x(ax+b). M? pas, b?het e qart? se ose x=0, ose problemi zbret n? gjetjen e nj? ndryshoreje nga shprehja e m?poshtme: ax+b=0. Kjo diktohet nga nj? nga vetit? e shum?zimit. Rregulli thot? se prodhimi i dy faktor?ve rezulton n? 0 vet?m n?se nj?ri prej tyre ?sht? zero.

Shembull

x=0 ose 8x - 3 = 0

Si rezultat, marrim dy rr?nj? t? ekuacionit: 0 dhe 0.375.

Ekuacionet e k?tij lloji mund t? p?rshkruajn? l?vizjen e trupave n?n ndikimin e gravitetit, t? cil?t filluan t? l?viznin nga nj? pik? e caktuar e marr? si origjin? e koordinatave. K?tu sh?nimi matematik merr form?n e m?poshtme: y = v 0 t + gt 2 /2. Duke z?vend?suar vlerat e nevojshme, duke barazuar an?n e djatht? me 0 dhe duke gjetur t? panjohurat e mundshme, mund t? zbuloni koh?n q? kalon nga momenti kur trupi ngrihet deri n? momentin kur ai bie, si dhe shum? sasi t? tjera. Por ne do t? flasim p?r k?t? m? von?.

Faktorizimi i nj? shprehjeje

Rregulli i p?rshkruar m? sip?r b?n t? mundur zgjidhjen e k?tyre problemeve n? raste m? komplekse. Le t? shohim shembuj t? zgjidhjes s? ekuacioneve kuadratike t? k?tij lloji.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ky trinom kuadratik ?sht? i plot?. S? pari, le t? transformojm? shprehjen dhe ta faktorizojm? at?. Jan? dy prej tyre: (x-8) dhe (x-25) = 0. Si rezultat, kemi dy rr?nj? 8 dhe 25.

Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike n? klas?n 9 lejojn? q? kjo metod? t? gjej? nj? ndryshore n? shprehjet jo vet?m t? rendit t? dyt?, por edhe t? rendit t? tret? dhe t? kat?rt.

P?r shembull: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kur faktorizon an?n e djatht? n? faktor? me nj? ndryshore, jan? tre prej tyre, dometh?n? (x+1), (x-3) dhe (x+ 3).

Si rezultat, b?het e qart? se ky ekuacion ka tre rr?nj?: -3; -1; 3.

Rr?nja katrore

Nj? rast tjet?r i nj? ekuacioni jo t? plot? t? rendit t? dyt? ?sht? nj? shprehje e paraqitur n? gjuh?n e shkronjave n? nj? m?nyr? t? till? q? ana e djatht? t? nd?rtohet nga p?rb?r?sit ax 2 dhe c. K?tu, p?r t? marr? vler?n e ndryshores, termi i lir? transferohet n? an?n e djatht?, dhe pas k?saj rr?nja katrore nxirret nga t? dy an?t e barazis?. Duhet t? theksohet se n? k?t? rast zakonisht ekzistojn? dy rr?nj? t? ekuacionit. P?rjashtimet e vetme mund t? jen? barazit? q? nuk p?rmbajn? fare term me, ku ndryshorja ?sht? e barabart? me zero, si dhe variantet e shprehjeve kur ana e djatht? ?sht? negative. N? rastin e fundit, nuk ka zgjidhje fare, pasi veprimet e m?sip?rme nuk mund t? kryhen me rr?nj?. Duhet t? merren parasysh shembuj t? zgjidhjeve t? ekuacioneve kuadratike t? k?tij lloji.

N? k?t? rast, rr?nj?t e ekuacionit do t? jen? numrat -4 dhe 4.

Llogaritja e sip?rfaqes s? tok?s

Nevoja p?r k?t? lloj llogaritjeje u shfaq n? koh?t e lashta, sepse zhvillimi i matematik?s n? ato koh? t? larg?ta ishte p?rcaktuar kryesisht nga nevoja p?r t? p?rcaktuar me sakt?sin? m? t? madhe sip?rfaqet dhe perimetrat e parcelave t? tok?s.

Duhet t? shqyrtojm? edhe shembuj t? zgjidhjes s? ekuacioneve kuadratike bazuar n? problema t? k?tij lloji.

Pra, le t? themi se ekziston nj? truall drejtk?ndor, gjat?sia e s? cil?s ?sht? 16 metra m? e madhe se gjer?sia. Ju duhet t? gjeni gjat?sin?, gjer?sin? dhe perimetrin e truallit n?se e dini se sip?rfaqja e tij ?sht? 612 m2.

P?r t? filluar, le t? krijojm? s? pari ekuacionin e nevojsh?m. Le t? sh?nojm? me x gjer?sin? e zon?s, at?her? gjat?sia e saj do t? jet? (x+16). Nga ajo q? ?sht? shkruar del se sip?rfaqja p?rcaktohet me shprehjen x(x+16), e cila sipas kushteve t? problemit ton? ?sht? 612. Kjo do t? thot? se x(x+16) = 612.

Zgjidhja e ekuacioneve t? plota kuadratike, dhe kjo shprehje ?sht? pik?risht ajo, nuk mund t? b?het n? t? nj?jt?n m?nyr?. Pse? Edhe pse ana e majt? ende p?rmban dy faktor?, produkti i tyre nuk ?sht? aspak i barabart? me 0, k?shtu q? k?tu p?rdoren metoda t? ndryshme.

Diskriminues

Para s? gjithash, ne do t? b?jm? transformimet e nevojshme, at?her? pamja e k?saj shprehjeje do t? duket k?shtu: x 2 + 16x - 612 = 0. Kjo do t? thot? se ne kemi marr? shprehjen n? nj? form? q? korrespondon me standardin e specifikuar m? par?, ku a=1, b=16, c= -612.

Ky mund t? jet? nj? shembull i zgjidhjes s? ekuacioneve kuadratike duke p?rdorur nj? diskriminues. K?tu b?hen llogaritjet e nevojshme sipas skem?s: D = b 2 - 4ac. Kjo sasi ndihm?se jo vet?m q? b?n t? mundur gjetjen e sasive t? k?rkuara n? nj? ekuacion t? rendit t? dyt?, por p?rcakton numrin e opsioneve t? mundshme. N?se D>0, jan? dy prej tyre; p?r D=0 ka nj? rr?nj?. N? rastin D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Rreth rr?nj?ve dhe formul?s s? tyre

N? rastin ton?, diskriminuesi ?sht? i barabart? me: 256 - 4(-612) = 2704. Kjo sugjeron q? problemi yn? ka nj? p?rgjigje. N?se e dini k, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duhet t? vazhdohet duke p?rdorur formul?n e m?poshtme. Kjo ju lejon t? llogaritni rr?nj?t.

Kjo do t? thot? se n? rastin e paraqitur: x 1 =18, x 2 =-34. Opsioni i dyt? n? k?t? dilem? nuk mund t? jet? zgjidhje, sepse p?rmasat e truallit nuk mund t? maten n? sasi negative, q? do t? thot? se x (pra gjer?sia e parcel?s) ?sht? 18 m Nga k?tu llogarisim gjat?sin?: 18 +16=34, dhe perimetri 2(34+ 18)=104(m2).

Shembuj dhe detyra

Ne vazhdojm? studimin ton? t? ekuacioneve kuadratike. Shembuj dhe zgjidhje t? detajuara t? disa prej tyre do t? jepen m? posht?.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Le t? zhvendosim gjith?ka n? an?n e majt? t? barazis?, t? b?jm? nj? transformim, dometh?n?, do t? marrim llojin e ekuacionit q? zakonisht quhet standard dhe do ta barazojm? at? me zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Duke shtuar t? ngjashme, ne p?rcaktojm? diskriminuesin: D = 49 - 48 = 1. Kjo do t? thot? se ekuacioni yn? do t? ket? dy rr?nj?. Le t'i llogarisim ato sipas formul?s s? m?sip?rme, q? do t? thot? se e para prej tyre do t? jet? e barabart? me 4/3 dhe e dyta me 1.

2) Tani le t? zgjidhim misteret e nj? lloji tjet?r.

Le t? zbulojm? n?se ka ndonj? rr?nj? k?tu x 2 - 4x + 5 = 1? P?r t? marr? nj? p?rgjigje gjith?p?rfshir?se, le t? reduktojm? polinomin n? form?n p?rkat?se t? zakonshme dhe t? llogarisim diskriminuesin. N? shembullin e m?sip?rm, nuk ?sht? e nevojshme t? zgjidhet ekuacioni kuadratik, sepse ky nuk ?sht? fare thelbi i problemit. N? k?t? rast, D = 16 - 20 = -4, q? do t? thot? se me t? v?rtet? nuk ka rr?nj?.

Teorema e Viet?s

?sht? e p?rshtatshme t? zgjidhen ekuacionet kuadratike duke p?rdorur formulat e m?sip?rme dhe diskriminuesin, kur rr?nja katrore merret nga vlera e k?saj t? fundit. Por kjo nuk ndodh gjithmon?. Megjithat?, ka shum? m?nyra p?r t? marr? vlerat e variablave n? k?t? rast. Shembull: zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke p?rdorur teorem?n e Viet?s. Ajo ?sht? em?ruar pas asaj q? jetoi n? shekullin e 16-t? n? Franc? dhe b?ri nj? karrier? t? shk?lqyer fal? talentit t? tij matematikor dhe lidhjeve n? gjykat?. Portreti i tij mund t? shihet n? artikull.

Modeli q? vuri re francezi i famsh?m ishte si m? posht?. Ai v?rtetoi se rr?nj?t e ekuacionit mblidhen numerikisht n? -p=b/a, dhe prodhimi i tyre korrespondon me q=c/a.

Tani le t? shohim detyrat specifike.

3x 2 + 21x - 54 = 0

P?r thjesht?si, le t? transformojm? shprehjen:

x 2 + 7x - 18 = 0

Le t? p?rdorim teorem?n e Viet?s, kjo do t? na jap? si vijon: shuma e rr?nj?ve ?sht? -7, dhe prodhimi i tyre ?sht? -18. Nga k?tu marrim se rr?nj?t e ekuacionit jan? numrat -9 dhe 2. Pas kontrollit, do t? sigurohemi q? k?to vlera t? ndryshueshme p?rshtaten me t? v?rtet? n? shprehje.

Grafiku i parabol?s dhe ekuacioni

Konceptet e funksionit kuadratik dhe ekuacioneve kuadratike jan? t? lidhura ngusht?. Shembuj t? k?saj tashm? jan? dh?n? m? her?t. Tani le t? shohim disa gj?egj?za matematikore n? pak m? shum? detaje. ?do ekuacion i tipit t? p?rshkruar mund t? paraqitet vizualisht. Nj? marr?dh?nie e till?, e vizatuar si grafik, quhet parabol?. Llojet e tij t? ndryshme jan? paraqitur n? figur?n m? posht?.

?do parabol? ka nj? kulm, dometh?n? nj? pik? nga e cila dalin deg?t e saj. N?se a>0, ato shkojn? lart n? pafund?si, dhe kur a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Paraqitjet vizuale t? funksioneve ndihmojn? n? zgjidhjen e ?do ekuacioni, duke p?rfshir? edhe ato kuadratike. Kjo metod? quhet grafike. Dhe vlera e ndryshores x ?sht? koordinata e abshis?s n? pikat ku vija e grafikut kryq?zohet me 0x. Koordinatat e kulmit mund t? gjenden duke p?rdorur formul?n e sapo dh?n? x 0 = -b/2a. Dhe duke z?vend?suar vler?n q? rezulton n? ekuacionin origjinal t? funksionit, mund t? zbuloni y 0, dometh?n? koordinat?n e dyt? t? kulmit t? parabol?s, e cila i p?rket boshtit t? ordinatave.

Prerja e deg?ve t? nj? parabole me boshtin e abshisave

Ka shum? shembuj t? zgjidhjes s? ekuacioneve kuadratike, por ka edhe modele t? p?rgjithshme. Le t'i shikojm? ato. ?sht? e qart? se kryq?zimi i grafikut me boshtin 0x p?r a>0 ?sht? i mundur vet?m n?se 0 merr vlera negative. Dhe p?r nj?<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. P?rndryshe D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Nga grafiku i parabol?s mund t? p?rcaktoni edhe rr?nj?t. E kund?rta ?sht? gjithashtu e v?rtet?. Kjo do t? thot?, n?se nuk ?sht? e leht? p?r t? marr? nj? paraqitje vizuale t? nj? funksioni kuadratik, mund t? barazoni an?n e djatht? t? shprehjes me 0 dhe t? zgjidhni ekuacionin q? rezulton. Dhe duke ditur pikat e kryq?zimit me boshtin 0x, ?sht? m? e leht? t? nd?rtohet nj? grafik.

Nga historia

Duke p?rdorur ekuacione q? p?rmbajn? nj? ndryshore n? katror, n? koh?t e vjetra ata jo vet?m q? b?nin llogaritjet matematikore dhe p?rcaktonin sip?rfaqet e figurave gjeometrike. T? lasht?ve u duheshin llogaritje t? tilla p?r zbulime madh?shtore n? fush?n e fizik?s dhe astronomis?, si dhe p?r t? b?r? parashikime astrologjike.

Si? sugjerojn? shkenc?tar?t modern?, banor?t e Babilonis? ishin nd?r t? par?t q? zgjidh?n ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi kat?r shekuj para er?s son?. Sigurisht, llogaritjet e tyre ishin rr?nj?sisht t? ndryshme nga ato t? pranuara aktualisht dhe doli t? ishin shum? m? primitive. P?r shembull, matematikan?t mesopotamian? nuk kishin asnj? ide p?r ekzistenc?n e numrave negativ?. Ata ishin gjithashtu t? panjohur me holl?sit? e tjera q? nj? nx?n?s modern i shkoll?s.

Ndoshta edhe m? her?t se shkenc?tar?t e Babilonis?, i urti nga India Baudhayama filloi t? zgjidhte ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi rreth tet? shekuj para epok?s s? Krishtit. V?rtet?, ekuacionet e rendit t? dyt?, metodat p?r zgjidhjen e t? cilave ai dha, ishin m? t? thjeshtat. P?rve? tij, matematikan?t kinez? ishin gjithashtu t? interesuar p?r pyetje t? ngjashme n? koh?t e vjetra. N? Evrop?, ekuacionet kuadratike filluan t? zgjidheshin vet?m n? fillim t? shekullit t? 13-t?, por m? von? ato u p?rdor?n n? veprat e tyre nga shkenc?tar? t? till? t? m?dhenj si Njutoni, Dekarti dhe shum? t? tjer?.