P?RKUFIZIM

P?rshkruan procesin adiabatik q? ndodh n?. Adiabatik ?sht? nj? proces n? t? cilin nuk ka shk?mbim nxeht?sie midis sistemit n? shqyrtim dhe mjedisit: .

Ekuacioni i Poisson-it duket si ky:

K?tu, v?llimi i z?n? nga gazi ?sht? i tij, dhe vlera quhet eksponent adiabatik.

Eksponenti adiabatik n? ekuacionin e Poisson-it

N? llogaritjet praktike, ?sht? e p?rshtatshme t? kujtojm? se p?r nj? gaz ideal, eksponenti adiabatik ?sht? i barabart? me , p?r nj? gaz diatomik - , dhe p?r nj? gaz triatomik - .

?far? duhet b?r? me gazrat e v?rtet?, kur forcat e bashk?veprimit midis molekulave fillojn? t? luajn? nj? rol t? r?nd?sish?m? N? k?t? rast, indeksi adiabatik p?r ?do gaz n? studim mund t? merret n? m?nyr? eksperimentale. Nj? metod? e till? u propozua n? 1819 nga Cl?ment dhe Desormes. Mbushim cilindrin me gaz t? ftoht? derisa t? arrij? presioni n? t?. Pastaj hapim rubinetin, gazi fillon t? zgjerohet adiabatikisht dhe presioni n? cilind?r bie n? presionin atmosferik. Pasi gazi t? nxehet n? m?nyr? izohorike n? temperatur?n e ambientit, presioni n? cilind?r do t? rritet n? . Pastaj eksponenti adiabatik mund t? llogaritet duke p?rdorur formul?n:

Indeksi adiabatik ?sht? gjithmon? m? i madh se 1, prandaj, gjat? ngjeshjes adiabatike t? nj? gazi - ideal dhe real - n? nj? v?llim m? t? vog?l, temperatura e gazit gjithmon? rritet, dhe gjat? zgjerimit gazi ftohet. Kjo veti e procesit adiabatik, e quajtur stralli pneumatik, p?rdoret n? motor?t me naft?, ku p?rzierja e djegshme ngjeshet n? cilind?r dhe ndizet nga temperatura e lart?. Le t? kujtojm? ligjin e par? t? termodinamik?s: , ku - , dhe A ?sht? puna e kryer mbi t?. Sepse puna e b?r? nga gazi shkon vet?m p?r t? ndryshuar energjin? e tij t? brendshme - dhe p?r rrjedhoj? temperatur?n. Nga ekuacioni Poisson mund t? marrim nj? formul? p?r llogaritjen e pun?s s? nj? gazi n? nj? proces adiabatik:

K?tu n ?sht? sasia e gazit n? mol, R ?sht? konstanta universale e gazit, T ?sht? temperatura absolute e gazit.

Ekuacioni i Poisson p?r procesin adiabatik p?rdoret jo vet?m n? llogaritjet e motor?ve me djegie t? brendshme, por edhe n? projektimin e makinave ftoh?se.

Vlen t? kujtohet se ekuacioni Poisson p?rshkruan me sakt?si vet?m nj? proces adiabatik t? ekuilibrit q? p?rb?het nga gjendje ekuilibri t? alternuara vazhdimisht. N?se n? realitet hapim valvul?n n? cilind?r n? m?nyr? q? gazi t? zgjerohet adiabatikisht, do t? lind? nj? proces kalimtar i paq?ndruesh?m me vorbullat e gazit, t? cilat do t? shuhen p?r shkak t? f?rkimit makroskopik.

Shembuj t? zgjidhjes s? problemeve

SHEMBULL 1

Ushtrimi	Nj? gaz ideal monatomik ishte i ngjeshur n? m?nyr? adiabatike n? m?nyr? q? v?llimi i tij u dyfishua. Si do t? ndryshoj? presioni i gazit?
Zgjidhje	Eksponenti adiabatik p?r nj? gaz monoatomik ?sht? i barabart? me . Sidoqoft?, mund t? llogaritet gjithashtu duke p?rdorur formul?n: ku R ?sht? konstanta universale e gazit, dhe i ?sht? shkalla e liris? s? molekul?s s? gazit. P?r nj? gaz monatomik, shkalla e liris? ?sht? 3: kjo do t? thot? q? qendra e molekul?s mund t? kryej? l?vizje p?rkthimore p?rgjat? tre akseve koordinative. Prandaj, indeksi adiabatik: Le t? paraqesim gjendjet e gazit n? fillim dhe n? fund t? procesit adiabatik p?rmes ekuacionit Poisson:
P?rgjigju	Presioni do t? ulet me 3.175 her?.

SHEMBULL 2

Ushtrimi	100 mol t? nj? gazi ideal diatomik u kompresuan adiabatikisht n? nj? temperatur? prej 300 K. N? t? nj?jt?n koh?, presioni i gazit u rrit 3 her?. Si ka ndryshuar puna e gazit?
Zgjidhje	Shkalla e liris? s? nj? molekule diatomike, pasi molekula mund t? l?viz? n? m?nyr? p?rkthimore p?rgjat? tre boshteve koordinative dhe t? rrotullohet rreth dy boshteve.

P?r q?llime edukative, do t? doja t? flisja p?r ekuacionet q? u p?rdor?n p?r t? nxjerr? ekuacionin Debye-H?ckel. K?to jan? ekuacioni Poisson dhe shp?rndarja e Boltzmann-it.

ekuacioni i Poisson-it

Ne zbuluam se plazma ?sht? kuazineutrale n? nj? gjendje ekuilibri dhe se n?n ndikimin e nj? fushe elektrike nga ngarkesat l?viz?se, grimcat e ngarkuara zhvendosen nga gjat?sia Debye dhe fusha zb?rthehet brenda k?saj gjat?si. N? elektrostatik?, bashk?veprimi i grimcave t? ngarkuara p?rshkruhet nga ekuacioni i Kulombit:

Ku jan? madh?sit? e ngarkesave pika nd?rvepruese dhe ?sht? katrori i distanc?s nd?rmjet ngarkesave. Koeficienti k ?sht? nj? konstante. N?se e p?rdorim sistemin n? nj?sit? elektrostatike t? CGS, t? sh?nuara SGSEq, at?her? k = 1. N?se p?rdoret sistemi SI, at?her? , ku ?sht? konstanta dielektrike e mediumit n? t? cilin ndodhen ngarkesat, ?sht? konstanta elektrike e barabart? me 8,86 ? .

N? fizik?, ata nuk p?rdorin drejtp?rdrejt forc?n, por prezantojn? konceptin e nj? fushe elektrostatike t? ngarkesave t? shp?rndara dhe matin fush?n me vler?n forca e fush?s elektrike. P?r ta b?r? k?t?, vendosni mend?risht nj? ngarkes? t? vetme prov? n? secil?n pik? t? fush?s dhe matni forc?n me t? cil?n fusha e ngarkesave vepron n? ngarkes?n e prov?s:

Prandaj, n?se z?vend?sojm? forc?n e Kulombit n? k?t? ekuacion, marrim:
Por fizikan?t nuk e kufizojn? veten n? k?t? p?r t? p?rshkruar plot?sisht fush?n elektrike. Konsideroni nj? ngarkes? nj?si t? vendosur n? nj? fush? elektrostatike. Fusha b?n pun?n e l?vizjes s? k?saj ngarkese n? nj? distanc? elementare ds nga pika P1 n? pik?n P2:
Sasia quhet diferenc? potenciale ose tension. Tensioni matet n? Volt. Shenja minus na tregon se fusha vet? b?n pun?n p?r t? transferuar nj? nj?si t? ngarkes?s pozitive. Forcat q? l?vizin ngarkesat jan? konservatore, pasi puna p?rgjat? nj? rruge t? mbyllur ?sht? gjithmon? zero, pavar?sisht se n? cil?n rrug? l?viz ngarkesa.

Kjo n?nkupton nj? kuptim t? thell? t? ndryshimit potencial. N?se rregulloni pik?n P1 dhe zhvendosni ngarkes?n n? nj? pik? t? ndryshueshme P2, at?her? puna varet vet?m nga pozicioni i pik?s s? dyt? P2. N? k?t? m?nyr? mund t? prezantojm? konceptin e potencialit. Potenciali ?sht? nj? funksion force q? tregon se sa pun? duhet t? b?j? fusha p?r t? l?vizur nj? ngarkes? nga pafund?sia n? nj? pik? t? caktuar P2, ku potenciali n? pafund?si supozohet n? m?nyr? konvencionale t? jet? zero.

P?r t? kuptuar ekuacionin e Poisson-it, duhet t? kuptoni matematik?n vektoriale "speciale". Do t? flas shkurtimisht p?r koncepte t? tilla si gradienti i fush?s dhe divergjenca (supozohet se lexuesi ?sht? i njohur me analiz?n matematikore)
Le t? jet? f(x,y,z) nj? funksion i vazhduesh?m i diferencuesh?m i koordinatave. Duke ditur derivatet e tij t? pjesshme n? ?do pik? t? hap?sir?s, ne mund t? nd?rtojm? nj? vektor, p?rb?r?sit e t? cilit x, y, z jan? t? barabart? me derivatet e pjessh?m p?rkat?s:

ku jan? vektor?t nj?si t? boshteve p?rkat?se x, y, z. Ikona lexon "nabla" dhe ?sht? nj? operator diferencial
Ky operator u fut n? matematik? nga Hamilton. Nga nabla mund t? kryeni operacione t? zakonshme matematikore si produkt i zakonsh?m, produkt me pika, produkt kryq etj.

Tani le t? kthehemi n? fush?n elektrostatike E. Nga nj?ra an?, ndryshimi i potencialit gjat? l?vizjes nga nj? pik? n? tjetr?n ka form?n e m?poshtme:

Nga ana tjet?r, sipas formul?s (*)
Duke p?rdorur konceptin e gradientit t? sapo prezantuar, kjo formul? b?het:
Tani le t? shohim konceptin e divergjenc?s n? terren. Konsideroni nj? v?llim t? kufizuar t? mbyllur V me form? arbitrare (shih figur?n m? posht?). Le t? sh?nojm? sip?rfaqen e k?saj sip?rfaqeje S. Fluksi total i vektorit F q? del nga ky v?llim ?sht?, sipas p?rkufizimit, i barabart? me
, ku da ?sht? nj? vektor pafund?sisht i vog?l, madh?sia e t? cilit ?sht? e barabart? me sip?rfaqen e nj? elementi t? vog?l t? sip?rfaqes S, dhe drejtimi p?rkon me normalen e jashtme t? k?tij elementi.
Le t? marrim k?t? rrjedh? t? vektorit F, ta ndajm? at? sipas v?llimit dhe t? gjejm? kufirin pasi priret n? zero, d.m.th. Ne do ta kontraktojm? v?llimin n? nj? pik? infinite t? vog?l.

Kemi ardhur te koncepti i divergjenc?s. Divergjenca sh?nohet me simbolin div dhe ?sht? raporti i rrjedh?s s? vektorit F me v?llimin V, ku V priret n? zero.

Para se t? tregohet se si fitohet ekuacioni i Poisson-it, ?sht? e r?nd?sishme t? njihni ligjin e Gausit dhe teorem?n e Gausit. Le t? imagjinojm? nj? sfer? q? p?rmban ngarkes? q. Ngarkesa krijon rreth vetes nj? fush? elektrike me intensitet E. Le t? marrim rrjedh?n e vektorit E

ku S sip?rfaqja e sfer?s son? ?sht? e barabart? me . Prandaj
Ky ?sht? ligji i Gausit, i cili thot? se rrjedha e fush?s elektrike E n?p?r ?do sip?rfaqe t? mbyllur ?sht? e barabart? me produktin e ngarkes?s totale t? mbuluar nga sip?rfaqja:
ku ?sht? dend?sia e ngarkes?s hap?sinore, d.m.th. madh?sia e ngarkes?s elektrike p?r nj?si v?llimi, dhe ?sht? v?llimi elementar i ndar? brenda v?llimit ton? t? mbyllur.

Teorema e Gausit (emri i plot? teorema Gauss-Ostrogradsky) ?sht? nj? teorem? thjesht matematikore p?r divergjenc?n. Le t? rishkruajm? rrjedh?n e plot? t? vektorit F si m? posht?:

N? kufi, kur N -> ?, ->0, vlera n? kllapa b?het nj? divergjenc? dhe shuma shkon n? integralin e v?llimit:
Kjo ?sht? teorema e Gausit, dhe ?sht? me t? v?rtet? formula m? e r?nd?sishme e teoris? s? fush?s. Le ta zbatojm? k?t? teorem? n? fush?n elektrostatike. Nga nj?ra an?, sipas ligjit t? Gausit
Nga ana tjet?r, sipas teorem?s s? Gausit (thjesht mos e ngat?rroni teorem?n me ligjin e Gausit):
Duke kombinuar dy ekuacionet e fundit, marrim:
Le t? kujtojm? formul?n (**) dhe t? z?vend?sojm? potencialin e fush?s k?tu n? vend t? E
Divergjenca e gradientit ?sht? nj? operator i ri, i cili n? matematik? quhet operator Laplace, ose shkurt Laplasian. Laplasiani sh?nohet me ikon?n nabla si m? posht? dhe ?sht? i barabart? me
Le t? rishkruajm? formul?n e m?parshme n? form?n Laplaciane:
S? fundi kemi ekuacionin e Poisson-it. N? artikullin e par?, ky ekuacion ishte n? nj? form? paksa t? ndryshme, duke marr? parasysh konstant?n dielektrike t? mediumit. Mos harroni forc?n e Kulombit n? sistemin SI, ekziston nj? konstante. Prandaj, n? ligjin e Gausit nuk do t? ket? nj? koeficient, por nj? koeficient. K?shtu, marrim ekuacionin Poisson n? form?n e paraqitur n? artikullin e m?parsh?m
K?shtu, n? thelb, ekuacioni Poisson ?sht? ligji i Kulombit (ose m? mir? ligji i Gausit) i rishkruar n? nj? form? tjet?r, n? sh?nimin e analiz?s diferenciale vektoriale.

N? do t? analizojm? nj? shp?rndarje t? r?nd?sishme nga statistikat matematikore - shp?rndarjen Boltzmann.

Etiketa:

• fizik?s
• elektrostatike

Shto etiketa

Ekuacioni (10.2) vendos marr?dh?nien nd?rmjet potencialit t? fush?s elektrostatike dhe fuqis? s? k?saj fushe. Nga ky ekuacion mund t? marrim lidhjen midis densitetit t? potencialit dhe ngarkes?s. P?r ta b?r? k?t?, duhet t? formoni divergjenc?n e t? dy an?ve t? k?tij ekuacioni dhe m? pas t? p?rdorni formul?n (6.5):

Sipas rregullave t? analiz?s vektoriale [shih ekuacioni (40)

k?shtu ekuacioni (11.1) mund t? shkruhet si:

Ky ekuacion diferencial quhet ekuacioni i Poisson-it. N? ato zona t? fush?s ku nuk ka ngarkesa elektrike

Ky ekuacion kthehet n? sa vijon:

Kjo form? e ve?ant? e ekuacionit Poisson quhet ekuacioni Laplace.

Ekuacioni Poisson b?n t? mundur p?rcaktimin e potencialit t? fush?s s? ngarkesave hap?sinore n?se dihet vendndodhja e k?tyre ngarkesave. Zgjidhja (integrale) e k?tij ekuacioni diferencial (n? kushte t? caktuara kufitare) duhet padyshim t? p?rkoj? me formul?n (8.8) q? kemi nxjerr? m? her?t:

N? vijim do ta v?rtetojm? k?t? me kalkulim t? drejtp?rdrejt?. Tani p?r tani, le t? v?rejm? se p?r t? zgjidhur disa probleme ?sht? m? e p?rshtatshme t? fillohet jo nga integrali (8.8), por drejtp?rdrejt nga ekuacioni diferencial (11.3).

Shembull. P?rcaktoni densitetin e rrym?s termionike midis dy elektrodave t? pafundme t? sheshta n? vakum. Ky shembull i aplikimit t? ekuacionit t? Puason-it ?sht? marr? jo nga elektrostatika, por nga studimi i rrym?s dhe ka nj? r?nd?si t? madhe p?r teorin? e tubave katod? (p?rforcues).

Dihet se metalet e nxehta l?shojn? nj? rrym? elektronesh t? lira nga sip?rfaqja e tyre n? hap?sir?n p?rreth. N?se nj? ndryshim i caktuar potencial zbatohet n? dy elektroda metalike dhe elektroda negative (katoda) nxehet, at?her? elektronet e emetuara vazhdimisht nga katoda e nxeht? do t? t?rhiqen n? sip?rfaqen e elektrod?s pozitive (anod?s). Rrjedha e elektroneve q? l?vizin nga katoda n? anod? ?sht? e barabart? me nj? rrym? elektrike. Kjo rrym? quhet termionike.

Le t? zgjedhim boshtet e koordinatave karteziane n? m?nyr? q? origjina e tyre t? jet? e vendosur n? katod?, dhe boshti x t? jet? pingul me rrafshin e elektrodave dhe i drejtuar drejt anod?s. Le t? marrim potencialin e katod?s t? barabart? me zero, dhe potencialin e anod?s t? barabart?.Nga konsideratat e simetris?, ?sht? e qart? se sip?rfaqet ekuipotenciale jan? paralele me elektrodat, prandaj ekuacioni Poisson n? hap?sir?n midis elektrodave merr form?n

N?se sh?nojm? me numrin e elektroneve p?r nj?si v?llimi n? hap?sir?n nd?rmjet elektrodave n? nj? distanc? x nga katoda dhe me vler?n absolute t? ngarkes?s s? elektronit, at?her? dend?sia e ngarkes?s n?

kjo distanc? do t? jet?:

Le t? supozojm? p?r thjesht?si se elektronet e emetuara nga katoda, kur largohen nga sip?rfaqja e saj, nuk kan? ndonj? shpejt?si fillestare. Gjat? rrug?s nga katoda n? anod?, forcat e fush?s elektrike do t? punojn? n? elektronet e ngarkes?s - t? cilat, padyshim, do t? kthehen n? energjin? kinetike t? l?vizjes s? elektroneve. Duke treguar me shpejt?sin? e elektronit n? nj? distanc? x nga katoda dhe me potencialin n? t? nj?jt?n distanc?, marrim

ku 771 ?sht? masa e elektronit. S? fundi, densiteti i rrym?s elektrike, d.m.th., ngarkesa q? rrjedh p?r nj?si t? koh?s n?p?r zon?n pingul me rrym?n (d.m.th., pingul me boshtin b, ?sht? padyshim:

sepse ekziston numri i elektroneve q? kalojn? n?p?r k?t? zon? p?r nj?si t? koh?s. N? t? kund?rt, dend?sia e rrym?s ?sht? nj? vler? konstante q? nuk varet nga x, sepse me arritjen e nj? gjendje t? pal?vizshme, padyshim q? i nj?jti num?r elektronesh kalon n?p?r ?do rrafsh paralel me elektrodat.

Le t? p?rjashtojm? nga ekuacioni (11.5) t? gjith? funksionet e panjohura x, p?rve? Para s? gjithash

Por nga (11.6) rrjedh se

kjo eshte,

Duke prezantuar sh?nimin A, marrim

?sht? e leht? t? shihet me z?vend?sim nga zgjidhjet e k?tij ekuacioni diferencial, i cili, sipas kushteve t? problemit, zhduket n? katod? dhe, p?rve? k?saj, plot?son kushtin.

N?se sh?nojm? distanc?n nga anoda n? katod? me I, at?her? n? potencial duhet t? kthehemi n? Prandaj,

K?shtu, dend?sia e rrym?s termionike nuk i bindet ligjit t? Ohm-it, por rritet n? proporcion me fuqin? e 3/2 t? tensionit t? aplikuar n? elektroda dhe n? p?rpjes?tim t? zhdrejt? me katrorin e distanc?s nd?rmjet tyre. Ky ndryshim midis ligjeve t? rrym?s termionike dhe ligjeve t? rrym?s n? metale ?sht? p?r shkak t? dy llojeve t? arsyeve. S? pari, elektronet n? metale p?rplasen me jone pozitive q? formojn? skeletin e ngurt? t? metalit, dhe p?r shkak t? k?saj ata p?rjetojn? rezistenc? ndaj l?vizjes s? tyre, e cila mungon kur l?viz n? vakum 1). S? dyti, me nj? rrym? termionike, n? hap?sir?n midis elektrodave ka vet?m elektrone t? lira, ngarkesa e t? cilave nuk kompensohet nga ngarkesa e joneve pozitive, si? ?sht? rasti te metalet, si rezultat i s? cil?s fusha e k?saj. -e quajtur “ngarkes? hap?sinore” shtremb?ron fush?n e elektrodave.

Vini re se formula (11.9) pushon s? vlefshmi n? densitet t? lart? t? rrym?s 2). Kur rritet potenciali i anod?s, vjen nj? moment kur t? gjitha elektronet e l?shuara nga katoda t?rhiqen menj?her? drejt anod?s. Nj? rritje e m?tejshme e potencialit t? anod?s nuk mund t? ?oj? padyshim n? nj? rritje t? densitetit t? rrym?s, e cila k?shtu arrin nj? vler? konstante (rryma e ngopjes).

Problemi 10. Le t? sh?nojm? distanc?n e nj? pike t? caktuar n? hap?sir? nga nj? pik? fillestare e zgjedhur n? m?nyr? arbitrare Tregoni se skalari

plot?son ekuacionin e Laplasit

Pika nuk merret parasysh.

Detyra 11. Nj? pllak? e shesht? e pafundme me trash?si 2a ?sht? e ngarkuar n? m?nyr? t? nj?trajtshme me energji elektrike me nj? densitet v?llimor.Aksi x ?sht? pingul me pllak?n, origjina e koordinatave ndodhet n? rrafshin e mes?m, n? distanc? t? barabart? nga t? dyja sip?rfaqet e pllak?s. Tregoni se potenciali i fush?s brenda dhe jasht? pllak?s ?sht? i barabart?, p?rkat?sisht:

dhe vektori drejtohet p?rgjat? boshtit x nga rrafshi i mes?m dhe numerikisht ?sht? i barabart? me:

Krahasoni k?t? rast me rastin kufizues t? nj? rrafshi t? pafund t? ngarkuar (§ 4).

Problemi 12. Gjeni potencialin e fush?s s? nj? topi t? ngarkuar n? m?nyr? t? nj?trajtshme n? t? gjith? v?llimin e tij [formula (8.12)], bazuar n? ekuacionin Poisson n? koordinatat sferike.

Ekuacionet e Poisson dhe Laplace jan? ekuacionet baz? t? elektrostatik?s. Ato rrjedhin nga teorema e Gausit n? form? diferenciale. N? t? v?rtet?, dihet se E = - grad j. N? t? nj?jt?n koh?, sipas teorem?s s? Gausit

Le t? z?vend?sojm? n? (11.22) E nga (11.7). marrim

.

Le t? heqim shenj?n minus p?r shenj?n e divergjenc?s

.

N? vend t? shkrimit gradj, Le t? shkruajm? ekuivalentin e tij ?j. N? vend t? div do t? shkruajm? ?. Pastaj

Ekuacioni (11.27) quhet ekuacioni i Poisson-it. Nj? form? e ve?ant? e ekuacionit Poisson, kur r svb =0, quhet ekuacioni Laplace. Ekuacioni i Laplace do t? shkruhet si m? posht?:

Operatori quhet operator Laplace ose Laplacian dhe ndonj?her? sh?nohet edhe me simbolin D. Prandaj, ndonj?her? mund t? gjeni k?t? form? t? shkrimit t? ekuacionit Poisson:

Le ta zgjerojm? at? n? nj? sistem koordinativ kartezian. P?r k?t? q?llim, produkti i dy faktor?ve С dhe ne shkruajm? n? form? t? zgjeruar

Le t? kryejm? shum?zim term pas termi dhe t? marrim

.

K?shtu, ekuacioni Poisson n? sistemin koordinativ Kartezian do t? shkruhet si m? posht?:

. (11.29)

Ekuacioni i Laplasit n? sistemin koordinativ kartezian

. (11.30)

T? paraqesim pa derivim shprehjet ? 2 j n? nj? sistem koordinativ cilindrik

, (11.31)

n? nj? sistem koordinativ sferik (11.32)

Ekuacioni i Poisson-it jep nj? marr?dh?nie midis derivateve t? pjesshme t? rendit t? dyt? t? j n? ?do pik? t? fush?s dhe dend?sia v?llimore e ngarkesave t? lira n? k?t? pik? t? fush?s. N? t? nj?jt?n koh?, potenciali j n? ?do pik? t? fush?s varet, natyrisht, nga t? gjitha ngarkesat q? krijojn? fush?n, dhe jo vet?m nga madh?sia e tarif?s s? lir? q? ndodhet n? nj? pik? t? caktuar.

Ekuacioni i Laplace (1780) fillimisht u aplikua p?r t? p?rshkruar fushat e mundshme t? mekanik?s qiellore dhe m? pas u p?rdor p?r t? p?rshkruar fushat elektrike. Ekuacioni i Poisson-it ?sht? aplikuar n? studimin e fushave potenciale (elektrike dhe magnetike) q? nga viti 1820.

Le t? shqyrtojm? pyetjen se si zgjidhja e ekuacionit Poisson mund t? shkruhet n? form? t? p?rgjithshme. L?reni n? v?llim V Ka ngarkesa v?llimore (r), sip?rfaq?sore (s) dhe lineare (t). Le t'i paraqesim k?to tarifa si koleksione t? tarifave me pik? rdV, sds, tdl; dV- elementi i v?llimit, ds- elementi i sip?rfaqes s? ngarkuar, dl- elementi i gjat?sis? s? boshtit t? ngarkuar. Komponenti i mundsh?m dj n? nj? pik? t? hap?sir?s larg rdV n? nj? distanc? R, n? p?rputhje me formul?n (11.20) ?sht? e barabart? me

Ne p?rcaktojm? p?rb?r?sit e potencialit nga ngarkesat sip?rfaq?sore dhe lineare, duke i konsideruar ato si ngarkesa pik?sore, n? m?nyr? t? ngjashme:

Kuptimi i plot? j do t? p?rkufizohet si shuma (integrale) e komponent?ve t? mundsh?m nga t? gjitha ngarkesat n? terren:

N? formul?n (11.33) r, s Dhe t ka funksione rreze R. N? praktik?, formula (11.33) p?rdoret rrall?, q? nga shp?rndarja s ne siperfaqe, t n? gjat?si dhe r n? v?llim varet n? m?nyr? komplekse nga konfigurimi i elektrodave dhe, si rregull, ?sht? i panjohur para llogaritjes. Me fjal? t? tjera, nuk dihet se si r, s Dhe t varen nga rrezja R.

Kushtet kufitare

Kushtet kufitare kuptohen si kushtet t? cilave u n?nshtrohet fusha n? nd?rfaqet nd?rmjet mediave me veti t? ndryshme elektrike. Gjat? studimit t? seksionit "proceset kalimtare", ??shtja e kushteve fillestare dhe ligjeve t? nd?rrimit ishte e nj? r?nd?sie t? jasht?zakonshme. Kushtet fillestare dhe ligjet e nd?rrimit b?n? t? mundur p?rcaktimin e konstanteve t? integrimit gjat? zgjidhjes s? problemeve duke p?rdorur metod?n klasike. N? metod?n klasike ato u p?rdor?n n? m?nyr? eksplicite, n? metod?n e operatorit - n? nj? form? t? fshehur. Pa p?rdorimin e tyre, asnj? problem i vet?m q? p?rfshin procese kalimtare nuk mund t? zgjidhet.

Mund t? b?het nj? paralele midis rolit t? kushteve kufitare n? nj? fush? elektrike (dhe ?do fush? tjet?r) dhe rolit t? kushteve fillestare dhe ligjeve t? komutimit gjat? proceseve kalimtare. Kur integrohet ekuacioni Laplace (ose Poisson), zgjidhja do t? p?rfshij? konstante integrimi. Ato p?rcaktohen n? baz? t? kushteve kufitare. P?rpara se t? kalojm? n? nj? diskutim t? holl?sish?m t? kushteve kufitare, le t? shqyrtojm? ??shtjen e fush?s brenda nj? trupi p?rcjell?s n? kushte elektrostatike.

Studimi i ekuacioneve Laplace dhe Poisson ?on n? shqyrtimin e problemeve n? lidhje me nj? proces t? pal?vizsh?m: k?to jan? probleme t? hidrodinamik?s, difuzionit, shp?rndarjes s? temperatur?s, elektrostatik?s, etj.

K?to ekuacione jan? ekuacione t? tipit eliptik.

Ato probleme q? ?ojn? n? ekuacione q? p?rmbajn? koh? quhen probleme jo-stacionare ose dinamike t? fizik?s matematikore; problemet q? ?ojn? n? ekuacione q? nuk p?rmbajn? koh? quhen stacionare ose statike.

Si? u tregua, ekuacionet e fizik?s matematikore kan? nj? num?r t? pafund zgjidhjesh n? var?si t? dy funksioneve arbitrare (po flasim p?r ekuacione t? rendit t? dyt? p?r nj? funksion t? dy ndryshoreve). P?r t? zgjedhur nga nj? shum?llojshm?ri zgjidhjesh nj? t? ve?ant? q? karakterizon procesin, ?sht? e nevojshme t? vendosen kushte shtes? p?r funksionin e d?shiruar, t? cilat diktohen nga konsideratat fizike. Kushtet e tilla p?r ekuacionet diferenciale t? pjesshme jan?, m? s? shpeshti, kushtet fillestare dhe kufitare. Kushtet kufitare jan? kushtet e specifikuara n? kufirin e mediumit n? shqyrtim; Kushtet fillestare jan? kushte q? kan? t? b?jn? me nj? moment n? koh? nga i cili fillon studimi i nj? dukurie t? caktuar fizike. Kushtet shtes?, si dhe vet? ekuacioni diferencial, rrjedhin bazuar n? konsideratat fizike q? lidhen me vet? procesin. N? t? nj?jt?n koh?, kushtet shtes? duhet t? jen? t? tilla q? t? sigurojn? zgjedhjen e nj? zgjidhjeje t? vetme nga i gjith? grupi i zgjidhjeve. Numri i kushteve kufitare dhe fillestare p?rcaktohen nga lloji i ekuacionit, dhe lloji i tyre p?rcaktohet nga gjendja fillestare e dh?n? n? kufirin e objektit dhe mjedisit t? jasht?m. P?r ekuacionet q? po shqyrtojm?, numri i kushteve fillestare ?sht? i barabart? me rendin e derivatit m? t? lart? n? lidhje me koh?n e p?rfshir? n? ekuacion, dhe numri i kushteve kufitare ?sht? i barabart? me rendin e derivatit m? t? lart? n? lidhje me koordinatat .

Bashk?sia e ekuacioneve diferenciale dhe kushteve shtes? p?rfaq?sojn? nj? formulim matematikor t? nj? problemi fizik dhe quhet problem i fizik?s matematikore.

Pra, detyra e fizik?s matematikore ?sht? t? gjej? zgjidhje p?r ekuacionet diferenciale t? pjesshme q? plot?sojn? disa kushte shtes?, t? themi, kushtet kufitare dhe fillestare.

Nj? problem i fizik?s matematikore konsiderohet i shtruar sakt? n?se ekziston nj? zgjidhje e problemit q? plot?son t? gjitha kushtet e tij, ?sht? unike dhe e q?ndrueshme.

Dridhjet e vargut. Kushtet kufitare dhe fillestare. Deklarata e problemeve t? vler?s kufitare

L?reni vargun t? jet? n?n nj? tension t? fort? fillestar. N?se nj? varg hiqet nga pozicioni i tij ekuilib?r dhe i n?nshtrohet ndonj? force, vargu do t? filloj? t? dridhet. Procesi i l?kundjes mund t? p?rshkruhet nga nj? funksion q? karakterizon l?vizjen vertikale t? vargut (devijimi nga pozicioni i ekuilibrit (Fig. 2.2)). P?r ?do vler? fikse, grafiku i funksionit n? plan jep form?n e vargut n? nj? ?ast n? koh?.

Funksioni plot?son ekuacionin

p?rshkruan dridhjet e lira t? nj? vargu pa ndikimin e forcave t? jashtme.

Ekuacioni (2.69) ?sht? ekuacioni m? i thjesht? i tipit hiperbolik dhe n? t? nj?jt?n koh? nj? nga ekuacionet m? t? r?nd?sishme t? fizik?s matematikore.

Nj? ekuacion i l?vizjes (2.69) ose (2.70) nuk mjafton p?r nj? p?rshkrim matematikor t? nj? procesi fizik. Kur shqyrtohet problemi i dridhjes s? vargut, kushtet shtes? mund t? jen? dy llojesh: fillestare dhe kufitare (skajore).

Meqen?se procesi i l?kundjes s? vargut varet nga forma e tij fillestare dhe shp?rndarja e shpejt?sis?, duhet t? vendosen kushtet fillestare:

Ne do t? flasim p?r tre lloje t? kushteve kufitare:

ku jan? funksionet e njohura,

dhe konstante t? njohura.

Kushtet e dh?na quhen p?rkat?sisht kushte kufitare t? llojit t? par?, t? dyt?, t? tret?. Kushtet I ndodhin kur skajet e objektit (vargu, shufra etj.) l?vizin sipas nj? ligji t? caktuar; kushtet II - n? rastin kur forcat e specifikuara aplikohen n? skajet; kushtet III - n? rastin e fiksimit elastik t? skajeve.

N?se funksionet e specifikuara n? an?n e djatht? t? barazis? jan? t? barabarta me zero, at?her? kushtet kufitare quhen homogjene. K?shtu, kushtet kufitare (2.72) jan? homogjene. Duke kombinuar llojet e ndryshme t? listuara t? kushteve kufitare, marrim gjasht? lloje t? problemeve m? t? thjeshta t? vler?s kufitare.

N? rastin kur modaliteti n? skajet nuk ka nj? efekt t? r?nd?sish?m n? at? pjes? t? vargut q? ?sht? mjaftuesh?m larg tyre, vargu konsiderohet i pafund. P?r shkak t? k?saj, n? vend t? nj? problemi t? plot? t? vler?s kufitare, parashtrohet nj? problem kufi - problemi Cauchy: gjeni nj? zgjidhje p?r ekuacionin (2.69) p?r , duke p?rmbushur kushtet fillestare

N?se studiojm? nj? proces pran? nj? kufiri dhe ndikimi i regjimit t? kufirit n? kufirin e dyt? nuk ?sht? i r?nd?sish?m gjat? periudh?s kohore q? na intereson, at?her? arrijm? n? formulimin e problemit n? nj? vij? t? drejt? gjysm? t? kufizuar. N? k?t? rast, kushtet fillestare dhe nj? nga kushtet kufitare I - III specifikohen n?.

Shembuj t? zgjidhjes s? problemeve

SHEMBULL 2.42. Nj? varg uniform me gjat?si p?son dridhje t? vogla t?rthore. Vendos problemin e p?rcaktimit t? devijimeve t? pikave t? vargut nga pozicioni i prerjes drejtvizore, n?se n? momentin q? vargu kishte form?n () dhe shpejt?sia e secil?s pik? t? tij jepet nga funksioni. Merrni parasysh rastet:

• a) skajet e vargut jan? t? fiksuara;
• b) skajet e vargut jan? t? lira;

c) forcat t?rthore dhe zbatohen n? skajet e vargut dhe, duke filluar nga momenti;

d) skajet e vargut jan? t? fiksuara n? m?nyr? elastike, d.m.th. ?do skaj p?rjeton rezistenc? proporcionale me devijimin e skajit.

Zgjidhje. Si? dihet, devijimet e pikave t? vargut nga pozicioni i ekuilibrit plot?sojn? ekuacionin e l?kundjeve t? lira (2.70) n? munges? t? nj? force t? jashtme q? vepron.

K?tu, tensioni, dend?sia lineare, sepse vargu ?sht? homogjen.

Kushtet fillestare jan?:

Le t? fillojm? nxjerrjen e kushteve kufitare.

Rasti a). Meqen?se skajet e vargut jan? fikse, devijimet e tyre n? pika dhe duhet t? jen? t? barabarta me zero p?r ?do, d.m.th.

Pra, problemi fizik i l?kundjeve t? nj? vargu t? fiksuar n? skajet ?sht? reduktuar n? problemin matematikor t? m?posht?m: gjeni nj? funksion t? p?rcaktuar n? dhe q? ?sht? nj? zgjidhje p?r ekuacionin

dhe plot?simin e kushteve kufitare

dhe kushtet fillestare