Kush ?sht? Bayes? dhe ?far? lidhje ka me menaxhmentin? - mund t? vijoj? nj? pyetje krejt?sisht e drejt?. Tani p?r tani, pranoni fjal?n time: kjo ?sht? shum? e r?nd?sishme!.. dhe interesante (t? pakt?n p?r mua).

Cila ?sht? paradigma n? t? cil?n veprojn? shumica e menaxher?ve: N?se v?zhgoj di?ka, ?far? p?rfundimesh mund t? nxjerr prej saj? ?far? m?son Bayes: ?far? duhet t? jet? n? t? v?rtet? atje q? un? t? v?zhgoj k?t? di?ka? Pik?risht k?shtu zhvillohen t? gjitha shkencat dhe ai shkruan p?r k?t? (citoj nga kujtesa): nj? person q? nuk ka nj? teori n? kok?n e tij do t? shmanget nga nj? ide n? tjetr?n n?n ndikimin e ngjarjeve (v?zhgimeve) t? ndryshme. Jo m? kot thon?: nuk ka asgj? m? praktike se nj? teori e mir?.

Shembull nga praktika. Vart?si im b?n nj? gabim dhe kolegu im (drejtuesi i nj? departamenti tjet?r) thot? se do t? ishte e nevojshme t? ushtrohej ndikim menaxherial mbi punonj?sin neglizhent (me fjal? t? tjera, nd?shkimi/qortimi). Dhe un? e di q? ky punonj?s kryen 4-5 mij? t? t? nj?jtit lloj operacionesh n? muaj, dhe gjat? k?saj kohe nuk b?n m? shum? se 10 gabime. A e ndjeni ndryshimin n? paradigm?? Kolegja ime reagon ndaj v?zhgimit dhe un? kam njohuri apriori q? punonj?si b?n nj? num?r t? caktuar gabimesh, k?shtu q? nj? tjet?r nuk ka ndikuar n? k?t? njohuri... Tani, n?se n? fund t? muajit del se ka, p?r shembull, 15 gabime t? tilla!.. Kjo tashm? do t? jet? nj? arsye p?r t? studiuar arsyet e mosrespektimit t? standardeve.

Jeni t? bindur p?r r?nd?sin? e qasjes Bayesian? T? intriguar? Un? shpresoj se po. Dhe tani miza n? vaj. Fatkeq?sisht, idet? Bayesian rrall? jepen menj?her?. Sinqerisht, pata fat, pasi u njoha me k?to ide p?rmes let?rsis? popullore, pas leximit t? s? cil?s mbet?n shum? pyetje. Kur planifikoja t? shkruaj nj? sh?nim, mblodha gjith?ka q? kisha marr? m? par? sh?nime n? Bayes, dhe gjithashtu studiova at? q? shkruhej n? internet. Un? paraqes n? v?mendjen tuaj supozimin tim m? t? mir? p?r k?t? tem?. Hyrje n? probabilitetin Bayesian.

Nxjerrja e teorem?s s? Bayes

Merrni parasysh eksperimentin e m?posht?m: ne th?rrasim ?do num?r q? shtrihet n? segment dhe regjistrojm? kur ky num?r ?sht?, p?r shembull, midis 0.1 dhe 0.4 (Fig. 1a). Probabiliteti i k?saj ngjarje ?sht? i barabart? me raportin e gjat?sis? s? segmentit me gjat?sin? totale t? segmentit, me kusht q? paraqitja e numrave n? segment po aq e mundshme. Matematikisht kjo mund t? shkruhet fq(0,1 <= x <= 0,4) = 0,3, или кратко r(X) = 0.3, ku r- probabiliteti, X– ndryshore e rast?sishme n? rangun , X– ndryshore e rast?sishme n? rangun . Kjo do t? thot?, probabiliteti p?r t? goditur segmentin ?sht? 30%.

Oriz. 1. Interpretimi grafik i probabiliteteve

Tani merrni parasysh katrorin x (Fig. 1b). Le t? themi se duhet t? em?rtojm? ?ifte numrash ( x, y), secila prej t? cilave ?sht? m? e madhe se zero dhe m? e vog?l se nj?. Probabiliteti q? x(numri i par?) do t? jet? brenda segmentit (zona blu 1), e barabart? me raportin e sip?rfaqes s? zon?s blu me sip?rfaqen e t? gjith? katrorit, dometh?n? (0.4 - 0.1) * (1 - 0 ) / (1 * 1) = 0, 3, dometh?n? e nj?jta 30%. Probabiliteti q? y e vendosur brenda segmentit (zona e gjelb?r 2) ?sht? e barabart? me raportin e sip?rfaqes s? zon?s s? gjelb?r me sip?rfaqen e t? gjith? sheshit fq(0,5 <= y <= 0,7) = 0,2, или кратко r(Y) = 0,2.

?far? mund t? m?soni p?r vlerat n? t? nj?jt?n koh?? x Dhe y. P?r shembull, sa ?sht? probabiliteti q? n? t? nj?jt?n koh? x Dhe y jan? n? segmentet p?rkat?se t? dh?na? P?r ta b?r? k?t?, duhet t? llogaritni raportin e sip?rfaqes s? zon?s 3 (kryq?zimi i shiritave jeshil dhe blu) me sip?rfaqen e t? gjith? sheshit: fq(X, Y) = (0,4 – 0,1) * (0,7 – 0,5) / (1 * 1) = 0,06.

Tani le t? themi se duam t? dim? se cila ?sht? probabiliteti y?sht? n? intervalin n?se x?sht? tashm? n? rangun . Kjo ?sht?, n? fakt, ne kemi nj? filt?r dhe kur th?rrasim ?ifte ( x, y), pastaj i hedhim menj?her? ato ?ifte q? nuk plot?sojn? kushtin p?r gjetje x n? nj? interval t? caktuar, dhe m? pas nga ?iftet e filtruara num?rojm? ato p?r t? cilat y plot?son gjendjen ton? dhe e konsideron probabilitetin si raport t? numrit t? ?ifteve p?r t? cilat y q?ndron n? segmentin e m?sip?rm ndaj numrit total t? ?ifteve t? filtruara (d.m.th., p?r t? cilat x shtrihet n? segment). K?t? probabilitet mund ta shkruajm? si fq(Y|X n? X goditi rrezen." Natyrisht, ky probabilitet ?sht? i barabart? me raportin e sip?rfaqes s? zon?s 3 me sip?rfaqen e zon?s blu 1. Sip?rfaqja e zon?s 3 ?sht? (0,4 – 0,1) * (0,7 – 0,5) = 0,06, dhe sip?rfaqja e zon?s blu 1 ( 0,4 – 0,1) * (1 – 0) = 0,3, at?her? raporti i tyre ?sht? 0,06 / 0,3 = 0,2. Me fjal? t? tjera, probabiliteti i gjetjes y n? segmentin me kusht q? x i p?rket segmentit fq(Y|X) = 0,2.

N? paragrafin e m?parsh?m ne n? fakt formuluam identitetin: fq(Y|X) = fq(X, Y) / p( X). Aty shkruhet: “probabiliteti i goditjes n? n? rangun , me kusht q? X goditi diapazonin, i barabart? me raportin e probabilitetit t? goditjes s? nj?kohshme X n? gam? dhe n? n? rreze, n? probabilitet p?r t? goditur X n? rreze”.

P?r analogji, merrni parasysh probabilitetin fq(X|Y). Ne i quajm? ?ifte ( x, y) dhe filtro ato p?r t? cilat y q?ndron nd?rmjet 0.5 dhe 0.7, at?her? probabiliteti q? x?sht? n? intervalin me kusht q? y i p?rket segmentit ?sht? i barabart? me raportin e sip?rfaqes s? rajonit 3 me zon?n e rajonit t? gjelb?r 2: fq(X|Y) = fq(X, Y) / fq(Y).

Vini re se probabilitetet fq(X, Y) Dhe fq(Y, X) jan? t? barabarta, dhe t? dyja jan? t? barabarta me raportin e sip?rfaqes s? zon?s 3 me sip?rfaqen e t? gjith? katrorit, por probabilitetet fq(Y|X) Dhe fq(X|Y) nuk jan? t? barabarta; nd?rsa probabiliteti fq(Y|X) ?sht? e barabart? me raportin e sip?rfaqes s? rajonit 3 me rajonin 1, dhe fq(X|Y) – rajoni 3 n? rajonin 2. Vini re gjithashtu se fq(X, Y) shpesh sh?nohet si fq(X&Y).

Pra, ne prezantuam dy p?rkufizime: fq(Y|X) = fq(X, Y) / p( X) Dhe fq(X|Y) = fq(X, Y) / fq(Y)

Le t'i rishkruajm? k?to barazi n? form?n: fq(X, Y) = fq(Y|X) * p( X) Dhe fq(X, Y) = fq(X|Y) * fq(Y)

Meqen?se an?t e majta jan? t? barabarta, an?t e djathta jan? t? barabarta: fq(Y|X) * p( X) = fq(X|Y) * fq(Y)

Ose mund ta rishkruajm? barazin? e fundit si:

Kjo ?sht? teorema e Bayes!

A lindin v?rtet nj? teorem? t? madhe transformime t? tilla t? thjeshta (pothuajse tautologjike)? Mos nxitoni n? p?rfundime. Le t? flasim p?rs?ri p?r at? q? kemi. Kishte nj? probabilitet t? caktuar fillestar (apriori). r(X), se ndryshorja e rastit X shp?rndara n? m?nyr? uniforme n? segment bie brenda intervalit X. Ndodhi nj? ngjarje Y, si rezultat i s? cil?s mor?m probabilitetin e pas?m t? s? nj?jt?s ndryshore t? rast?sishme X: r(X|Y), dhe kjo probabilitet ndryshon nga r(X) sipas koeficientit. Ngjarje Y t? quajtur prova, pak a shum? v?rtetuese ose p?rg?njeshtuese X. Ky koeficient nganj?her? quhet fuqia e prov?s. Sa m? e fort? t? jet? prova, aq m? shum? fakti i v?zhgimit t? Y ndryshon probabilitetin e m?parsh?m, aq m? shum? probabiliteti i pas?m ndryshon nga ai i m?parshmi. N?se provat jan? t? dob?ta, probabiliteti i m?vonsh?m ?sht? pothuajse i barabart? me at? t? m?parsh?m.

Formula e Bayes p?r variabla diskrete t? rast?sishme

N? seksionin e m?parsh?m, kemi nxjerr? formul?n e Bayes p?r ndryshoret e vazhdueshme t? rast?sishme x dhe y t? p?rcaktuara n? interval. Le t? shqyrtojm? nj? shembull me variabla t? rast?sishme diskrete, secila duke marr? dy vlera t? mundshme. Gjat? ekzaminimeve rutin? mjek?sore, u konstatua se n? mosh?n dyzetvje?are, 1% e grave vuajn? nga kanceri i gjirit. 80% e grave me kancer marrin rezultate pozitive t? mamografis?. 9.6% e grave t? sh?ndetshme marrin gjithashtu rezultate pozitive t? mamografis?. Gjat? ekzaminimit, nj? grua e k?saj grupmoshe ka marr? rezultat pozitiv t? mamografis?. Sa jan? gjasat q? ajo t? ket? kancer t? gjirit?

Linja e arsyetimit/llogaritjes ?sht? si m? posht?. Nga 1% e pacient?ve me kancer, mamografia do t? jap? 80% rezultate pozitive = 1% * 80% = 0.8%. Nga 99% e grave t? sh?ndetshme, mamografia do t? jap? 9,6% rezultate pozitive = 99% * 9,6% = 9,504%. Gjithsej 10.304% (9.504% + 0.8%) me rezultate pozitive t? mamografis?, vet?m 0.8% jan? t? s?mur?, nd?rsa pjesa tjet?r 9.504% jan? t? sh?ndetsh?m. K?shtu, probabiliteti q? nj? grua me rezultat pozitiv t? mamografis? t? ket? kancer ?sht? 0,8% / 10,304% = 7,764%. Mendonit 80% apo m? shum??

N? shembullin ton?, formula e Bayes merr form?n e m?poshtme:

Le t? flasim edhe nj? her? p?r kuptimin "fizik" t? k?saj formule. X– variabli i rast?sish?m (diagnoza), duke marr? vlera: X 1- i s?mur? dhe X 2– i sh?ndetsh?m; Y– variabli i rast?sish?m (rezultati i matjes – mamografia), duke marr? vlerat: Y 1- rezultat pozitiv dhe Y2- rezultat negativ; p(X 1)– probabiliteti i s?mundjes para mamografis? (probabiliteti a priori) i barabart? me 1%; p(Y 1 |X 1 ) - probabiliteti i nj? rezultati pozitiv n?se pacienti ?sht? i s?mur? (probabiliteti i kusht?zuar, pasi duhet t? specifikohet n? kushtet e detyr?s), i barabart? me 80%; p(Y 1 |X 2 ) – probabiliteti i nj? rezultati pozitiv n?se pacienti ?sht? i sh?ndetsh?m (gjithashtu probabiliteti i kusht?zuar) ?sht? 9.6%; p(X 2)– probabiliteti q? pacienti t? jet? i sh?ndetsh?m para mamografis? (probabiliteti a priori) ?sht? 99%; p(X 1|Y 1 ) – probabiliteti q? pacienti t? jet? i s?mur?, duke pasur parasysh nj? rezultat pozitiv t? mamografis? (probabiliteti posterior).

Mund t? shihet se probabiliteti i pas?m (ajo q? ne k?rkojm?) ?sht? proporcional me probabilitetin e m?parsh?m (fillestar) me nj? koeficient pak m? kompleks. . M? lejoni t? theksoj p?rs?ri. Sipas mendimit tim, ky ?sht? nj? aspekt themelor i qasjes Bayesian. matje ( Y) shtoi nj? sasi t? caktuar informacioni n? at? q? ishte fillimisht e disponueshme (a priori), e cila sqaroi njohurit? tona p?r objektin.

Shembuj

P?r t? konsoliduar materialin q? keni mbuluar, p?rpiquni t? zgjidhni disa probleme.

Shembulli 1. Ka 3 urna; n? t? par?n ka 3 topa t? bardh? dhe 1 t? zi; n? t? dyt?n - 2 topa t? bardh? dhe 3 t? zinj; n? t? tret?n ka 3 topa t? bardh?. Dikush i afrohet nj?r?s nga urnat rast?sisht dhe nxjerr 1 top prej saj. Ky top doli t? ishte i bardh?. Gjeni probabilitetet e pasme q? topi ?sht? t?rhequr nga urna 1, 2, 3.

Zgjidhje. Kemi tre hipoteza: H 1 = (zgjidhet urna e par?), H 2 = (zgjidhet urna e dyt?), H 3 = (zgjidhet urna e tret?). Meqen?se urna zgjidhet n? m?nyr? t? rast?sishme, probabilitetet a priori t? hipotezave jan? t? barabarta: P(H 1) = P(H 2) = P(H 3) = 1/3.

Si rezultat i eksperimentit, u shfaq ngjarja A = (nj? top i bardh? u nxor nga urna e zgjedhur). Probabilitetet e kusht?zuara t? ngjarjes A sipas hipotezave H 1, H 2, H 3: P(A|H 1) = 3/4, P(A|H 2) = 2/5, P(A|H 3) = 1. P?r shembull, barazia e par? thot? k?shtu: "probabiliteti p?r t? nxjerr? nj? top t? bardh? n?se zgjidhet urna e par? ?sht? 3/4 (pasi ka 4 topa n? urn?n e par? dhe 3 prej tyre jan? t? bardha).

Duke p?rdorur formul?n e Bayes, gjejm? probabilitetet e pasme t? hipotezave:

K?shtu, n? drit?n e informacionit p?r ndodhjen e ngjarjes A, probabilitetet e hipotezave ndryshuan: hipoteza H 3 u b? m? e mundshme, hipoteza H 2 u b? m? e mundshme.

Shembulli 2. Dy gjuajt?s q?llojn? n? m?nyr? t? pavarur n? t? nj?jtin objektiv, secili q?llon nga nj? gjuajtje. Probabiliteti p?r t? goditur objektivin p?r gjuajt?sin e par? ?sht? 0.8, p?r t? dytin - 0.4. Pas t? sht?nave, n? objektiv ?sht? gjetur nj? vrim?. Gjeni probabilitetin q? kjo vrim? t'i p?rkas? gjuajt?sit t? par? (Rezultati (t? dyja vrimat p?rkuan) hidhet posht? si paksa e pamundur).

Zgjidhje. Para eksperimentit, hipotezat e m?poshtme jan? t? mundshme: H 1 = (as shigjeta e par? dhe as e dyta nuk do t? godas?), H 2 = (t? dyja shigjetat do t? godasin), H 3 - (qit?si i par? do t? godas?, por i dyti jo ), H 4 = (qit?si i par? nuk do t? godas?, dhe i dyti do t? godas?). Probabilitetet e m?parshme t? hipotezave:

P(H1) = 0,2*0,6 = 0,12; P(H2) = 0,8*0,4 = 0,32; P (H 3) = 0,8 * 0,6 = 0,48; P(H 4) = 0,2*0,4 = 0,08.

Probabilitetet e kusht?zuara t? ngjarjes s? v?zhguar A = (ka nj? vrim? n? objektiv) sipas k?tyre hipotezave jan? t? barabarta: P(A|H 1) = P(A|H 2) = 0; P(A|H 3) = P(A|H 4) = 1

Pas eksperimentit, hipotezat H 1 dhe H 2 b?hen t? pamundura, dhe probabilitetet e pasme t? hipotezave H 3 dhe H 4 sipas formul?s s? Bayes do t? jen?:

Bayes kund?r spamit

Formula e Bayes ka gjetur aplikim t? gjer? n? zhvillimin e filtrave t? spamit. Le t? themi se d?shironi t? trajnoni nj? kompjuter p?r t? p?rcaktuar se cilat email jan? post? t? pad?shiruar. Ne do t? vazhdojm? nga fjalori dhe frazat duke p?rdorur vler?simet Bayesian. Le t? krijojm? s? pari nj? hap?sir? hipotezash. Le t? kemi dy hipoteza n? lidhje me ?do shkronj?: H A ?sht? spam, H B nuk ?sht? spam, por nj? shkronj? normale, e nevojshme.

S? pari, le t? "trajnojm?" sistemin ton? t? ardhsh?m anti-spam. Le t? marrim t? gjitha shkronjat q? kemi dhe t'i ndajm? n? dy "grumbulla" me nga 10 shkronja secila. Le t? vendosim emailet e pad?shiruara n? nj?r?n dhe ta quajm? grumbulli H A, n? tjetrin do t? vendosim korrespondenc?n e nevojshme dhe do ta quajm? grumbulli H B. Tani le t? shohim: cilat fjal? dhe fraza gjenden n? letrat e pad?shiruara dhe t? nevojshme dhe me ?far? frekuence? Ne do t'i quajm? k?to fjal? dhe fraza prova dhe do t'i sh?nojm? ato E 1 , E 2 ... Rezulton se fjal?t e p?rdorura zakonisht (p?r shembull, fjal?t "si", "juaj") n? grumbullimet H A dhe H B ndodhin af?rsisht me t? nj?jt?n frekuenc?. Pra, prania e k?tyre fjal?ve n? nj? let?r nuk na tregon asgj? se cilit grumbull t'i caktojm? (prova t? dob?ta). Le t'u caktojm? k?tyre fjal?ve nj? rezultat probabiliteti neutral "spam", le t? themi 0.5.

Shprehja "anglisht e folur" le t? shfaqet vet?m me 10 shkronja, dhe m? shpesh me shkronja t? pad?shiruara (p?r shembull, n? 7 shkronja t? pad?shiruara nga t? gjitha 10) sesa n? ato t? nevojshme (n? 3 nga 10). Le t'i japim k?saj fraze nj? vler?sim m? t? lart? p?r post?n e pad?shiruar: 7/10 dhe nj? vler?sim m? t? ul?t p?r emailet normale: 3/10. Anasjelltas, doli q? fjala "mik" shfaqej m? shpesh me shkronja normale (6 nga 10). Dhe pastaj mor?m nj? let?r t? shkurt?r: “Shoku im! Si ?sht? anglishtja juaj e folur?”. Le t? p?rpiqemi t? vler?sojm? "spammyness" e tij. Ne do t? japim vler?sime t? p?rgjithshme P(H A), P(H B) t? nj? shkronje q? i p?rket ?do grumbulli duke p?rdorur nj? formul? disi t? thjeshtuar t? Bayes dhe vler?simet tona t? p?raf?rta:

P(H A) = A/(A+B), Ku A = p a1 *p a2 *…*p an , B = p b1 *p b2 *…*p b n = (1 – p a1)*(1 – p a2)*… *(1 – p an).

Tabela 1. Vler?simi i thjeshtuar (dhe i paplot?) i Bayes i shkrimit.

K?shtu, letra jon? hipotetike mori nj? probabilitet t? pik?s p?rkat?se me theks n? "spammy". A mund t? vendosim ta hedhim letr?n n? nj? nga pirgjet? Le t? vendosim pragjet e vendimit:

• Do t? supozojm? se shkronja i p?rket grumbullit H i n?se P(H i) >= T.
• Nj? shkronj? nuk i p?rket grumbullit n?se P(H i) <= L.
• N?se L <= P(H i) <= T, at?her? nuk mund t? merret asnj? vendim.

Ju mund t? merrni T = 0,95 dhe L = 0,05. Q? p?r letr?n n? fjal? dhe 0.05< P(H A) < 0,95, и 0,05 < P(H В) < 0,95, то мы не сможем принять решение, куда отнести данное письмо: к спаму (H A) или к нужным письмам (H B). Можно ли улучшить оценку, используя больше информации?

po. Le t? llogarisim rezultatin p?r secil?n pjes? t? prov?s n? nj? m?nyr? t? ndryshme, ashtu si? propozoi n? t? v?rtet? Bayes. Le t?:

F a ?sht? numri i p?rgjithsh?m i emaileve t? pad?shiruara;

F ai ?sht? numri i shkronjave me certifikat? i n? nj? grumbull spam;

F b ?sht? numri i p?rgjithsh?m i shkronjave t? nevojshme;

F bi ?sht? numri i shkronjave me certifikat? i n? nj? tuf? shkronjash t? nevojshme (p?rkat?se).

At?her?: p ai = F ai /F a, p bi = F bi /F b. P(H A) = A/(A+B), P(H B) = B/(A+B), Ku A = p a1 *p a2 *…*p an , B = p b1 *p b2 *…*p b n

Ju lutemi vini re se vler?simet e fjal?ve provuese p ai dhe p bi jan? b?r? objektive dhe mund t? llogariten pa nd?rhyrjen njer?zore.

Tabela 2. Vler?sim m? i sakt? (por jo i plot?) i Bayes bazuar n? ve?orit? e disponueshme nga nj? let?r

Ne mor?m nj? rezultat shum? t? caktuar - me nj? avantazh t? madh, letra mund t? klasifikohet si shkronja e d?shiruar, pasi P(H B) = 0,997 > T = 0,95. Pse ndryshoi rezultati? P?r shkak se ne p?rdor?m m? shum? informacion - mor?m parasysh numrin e shkronjave n? secil?n prej shtyllave dhe, nga rruga, p?rcaktuam vler?simet p ai dhe p bi shum? m? sakt?. Ne i p?rcaktuam ato n? t? nj?jt?n m?nyr? si vet? Bayes, duke llogaritur probabilitetet e kusht?zuara. Me fjal? t? tjera, p a3 ?sht? probabiliteti q? fjala "shok" t? shfaqet n? nj? shkronj?, me kusht q? kjo shkronj? i p?rket tashm? grumbullit t? post?s s? pad?shiruar H A . Rezultati nuk vonoi - duket se mund t? marrim nj? vendim me siguri m? t? madhe.

Bayes kund?r mashtrimit t? korporat?s

Nj? aplikim interesant i qasjes Bayesian u p?rshkrua nga MAGNUS8.

Projekti im aktual (IS p?r zbulimin e mashtrimit n? nj? nd?rmarrje prodhuese) p?rdor formul?n Bayes p?r t? p?rcaktuar probabilitetin e mashtrimit (mashtrimit) n? prani/munges? t? disa fakteve q? indirekt d?shmojn? n? favor t? hipotez?s p?r mund?sin? e kryerjes s? mashtrimit. Algoritmi ?sht? vet?-m?sues (me reagime), d.m.th. rillogarit koeficient?t e tij (probabilitetet e kusht?zuara) me konfirmimin ose moskonfirmimin faktik t? mashtrimit gjat? verifikimit nga sh?rbimi i siguris? ekonomike.

Ndoshta ia vlen t? thuhet se metoda t? tilla gjat? hartimit t? algoritmeve k?rkojn? nj? kultur? mjaft t? lart? matematikore t? zhvilluesit, sepse gabimi m? i vog?l n? nxjerrjen dhe/ose zbatimin e formulave llogarit?se do t? anuloj? dhe diskreditoj? t? gjith? metod?n. Metodat probabiliste jan? ve?an?risht t? prirura p?r k?t?, pasi t? menduarit njer?zor nuk ?sht? p?rshtatur p?r t? punuar me kategori probabiliste dhe, n? p?rputhje me rrethanat, nuk ka "dukshm?ri" dhe kuptim t? "kuptimit fizik" t? parametrave probabilistik? t? nd?rmjet?m dhe p?rfundimtar?. Ky kuptim ekziston vet?m p?r konceptet themelore t? teoris? s? probabilitetit, dhe at?her? ju vet?m duhet t? kombinoni dhe nxirrni me shum? kujdes gj?ra komplekse sipas ligjeve t? teoris? s? probabilitetit - sensi i p?rbashk?t nuk do t? ndihmoj? m? p?r objektet e p?rb?ra. Kjo, n? ve?anti, shoq?rohet me beteja mjaft serioze metodologjike q? zhvillohen n? faqet e librave modern? mbi filozofin? e probabilitetit, si dhe me nj? num?r t? madh sofizmash, paradoksesh dhe enigmash kurioze p?r k?t? tem?.

Nj? nuanc? tjet?r me t? cil?n m? ?sht? dashur t? p?rballem ?sht? se, p?r fat t? keq, pothuajse gjith?ka edhe pak a shum? E DOBISHME N? PRAKTIK? p?r k?t? tem? ?sht? e shkruar n? anglisht. N? burimet n? gjuh?n ruse ekziston kryesisht vet?m nj? teori e njohur me shembuj demonstrues vet?m p?r rastet m? primitive.

Jam plot?sisht dakord me v?rejtjen e fundit. P?r shembull, Google, kur u p?rpoq t? gjente di?ka si "libri i probabilitetit Bayesian", nuk prodhoi asgj? t? kuptueshme. V?rtet?, ai raportoi se nj? lib?r me statistika Bayesian ishte i ndaluar n? Kin?. (Profesori i statistikave Andrew Gelman raportoi n? blogun e Universitetit t? Kolumbias se libri i tij, Analiza e t? dh?nave me regresion dhe modele shum?nivel?she/hierarkike, u ndalua nga botimi n? Kin?. Botuesi atje raportoi se "libri nuk u miratua nga autoritetet p?r shkak t? shum? ndjeshm?ris? politike materiali n? tekst.") Pyes veten n?se nj? arsye e ngjashme ?oi n? munges?n e librave mbi probabilitetin Bayesian n? Rusi?

Konservatorizmi n? p?rpunimin e informacionit njer?zor

Probabilitetet p?rcaktojn? shkall?n e pasiguris?. Probabiliteti, si sipas Bayes ashtu edhe sipas intuitave tona, ?sht? thjesht nj? num?r midis zeros dhe atij q? p?rfaq?son shkall?n n? t? cil?n nj? person disi i idealizuar beson se pohimi ?sht? i v?rtet?. Arsyeja q? nj? person ?sht? disi i idealizuar ?sht? se shuma e probabiliteteve t? tij p?r dy ngjarje reciprokisht ekskluzive duhet t? jet? e barabart? me probabilitetin e tij p?r t? ndodhur secila ngjarje. Vetia e aditivitetit ka pasoja t? tilla q? pak njer?z t? v?rtet? mund t'i takojn? t? gjitha.

Teorema e Bayes ?sht? nj? pasoj? e par?nd?sishme e vetive t? aditivitetit, e padiskutueshme dhe e pranuar nga t? gjith? probabilist?t, Bayesian dhe t? tjer?. Nj? m?nyr? p?r t? shkruar k?t? ?sht? si m? posht?. N?se P(H A |D) ?sht? probabiliteti pasues q? hipoteza A ishte pasi u v?zhgua nj? vler? e caktuar D, P(H A) ?sht? probabiliteti i saj paraprak p?rpara se t? v?zhgohej nj? vler? e caktuar D, P(D|H A) ?sht? probabiliteti q? nj? vlera e dh?n? D do t? v?rehet n?se H A ?sht? e v?rtet?, dhe P(D) ?sht? probabiliteti i pakusht?zuar i nj? vlere t? dh?n? D, at?her?

(1) P(H A |D) = P(D|H A) * P(H A) / P(D)

P(D) mendohet m? s? miri si nj? konstante normalizuese, duke b?r? q? probabilitetet e pasme t? shtohen n? unitet mbi grupin shterues t? hipotezave reciproke ekskluzive q? po shqyrtohen. N?se duhet t? llogaritet, mund t? jet? k?shtu:

Por m? shpesh P(D) eliminohet n? vend q? t? llogaritet. Nj? m?nyr? e p?rshtatshme p?r ta eliminuar k?t? ?sht? transformimi i teorem?s s? Bayes n? form?n e raportit probabilitet-shans.

Konsideroni nj? hipotez? tjet?r, H B, e cila ?sht? reciprokisht ekskluzive me H A, dhe ndryshoni mendjen tuaj p?r t? bazuar n? t? nj?jt?n sasi t? dh?n? q? ju ndryshoi mendjen p?r teorema e Bayes-it

(2) P(H B |D) = P(D|H B) * P(H B) / P(D)

Tani le t? ndajm? ekuacionin 1 me ekuacionin 2; rezultati do t? jet? si ky:

ku O 1 jan? shanset e pasme n? favor t? H A deri n? H B, O 0 jan? shanset e m?parshme dhe L ?sht? sasia e njohur p?r statisticien?t si raport probabiliteti. Ekuacioni 3 ?sht? i nj?jti version p?rkat?s i teorem?s s? Bayes si Ekuacioni 1, dhe shpesh ?sht? duksh?m m? i dobish?m ve?an?risht p?r eksperimentet q? p?rfshijn? hipoteza. Bayesians argumentojn? se teorema e Bayes ?sht? nj? rregull formalisht optimal p?r m?nyr?n e rishikimit t? opinioneve n? drit?n e provave t? reja.

Ne jemi t? interesuar t? krahasojm? sjelljen ideale t? p?rcaktuar nga teorema e Bayes me sjelljen aktuale t? njer?zve. P?r t'ju dh?n? nj? ide se ?far? do t? thot? kjo, le t? provojm? nj? eksperiment me ju si subjekt i testimit. Kjo ?ant? p?rmban 1000 patate t? skuqura pokeri. Un? kam dy ?anta t? tilla, nj?ra p?rmban 700 patate t? skuqura t? kuqe dhe 300 blu, dhe tjetra p?rmban 300 t? kuqe dhe 700 blu. Un? hodha nj? monedh? p?r t? p?rcaktuar se cil?n t? p?rdor. Pra, n?se mendimet tona jan? t? nj?jta, probabiliteti juaj aktual p?r t? marr? nj? qese q? p?rmban m? shum? patate t? skuqura ?sht? 0,5. Tani, ju b?ni nj? most?r t? rast?sishme me nj? kthim pas ?do ?ipi. N? 12 patate t? skuqura ju merrni 8 t? kuqe dhe 4 blu. Tani, bazuar n? gjith?ka q? dini, sa ?sht? probabiliteti q? t? ulni ?ant?n me m? shum? t? kuqe? ?sht? e qart? se ?sht? m? e lart? se 0.5. Ju lutemi mos vazhdoni t? lexoni derisa t? keni regjistruar rezultatin tuaj.

N?se jeni si nj? testues tipik, rezultati juaj ra n? rangun nga 0.7 deri n? 0.8. Megjithat?, n?se do t? b?nim llogaritjen p?rkat?se, p?rgjigja do t? ishte 0.97. ?sht? me t? v?rtet? shum? e rrall? q? nj? personi t? cilit nuk i ?sht? treguar m? par? ndikimi i konservatorizmit t? arrij? n? nj? vler?sim kaq t? lart?, edhe n?se ai ishte i njohur me teorem?n e Bayes.

N?se proporcioni i patatinave t? kuqe n? qese ?sht? r, at?her? probabiliteti i marrjes r patate t? skuqura t? kuqe dhe ( n -r) blu n? n mostrat me kthim - p r (1-p)n-r. Pra, n? nj? eksperiment tipik me nj? ?ant? dhe patate t? skuqura pokeri, n?se NA do t? thot? se proporcioni i patate t? skuqura t? kuqe ?sht? r A Dhe NB– do t? thot? se pjesa ?sht? rB, at?her? raporti i probabilitetit:

Kur aplikoni formul?n e Bayes, duhet t? merrni parasysh vet?m probabilitetin e v?zhgimit aktual dhe jo probabilitetin e v?zhgimeve t? tjera q? ai mund t? kishte b?r? por nuk i b?ri. Ky parim ka implikime t? gjera p?r t? gjitha aplikimet statistikore dhe jostatistikore t? teorem?s s? Bayes; ?sht? mjeti teknik m? i r?nd?sish?m p?r arsyetimin Bayesian.

Revolucioni Bayesian

Miqt? dhe koleg?t tuaj po flasin p?r di?ka t? quajtur "Teorema e Bayes" ose "Rregulla e Bayes" ose di?ka q? quhet Arsyetimi Bayesian. Ata jan? v?rtet t? interesuar p?r k?t?, k?shtu q? ju shkoni n? internet dhe gjeni nj? faqe rreth teorem?s s? Bayes dhe... ?sht? nj? ekuacion. Dhe kaq... Pse nj? koncept matematikor krijon nj? entuziaz?m t? till? n? mendje? ?far? lloj "revolucioni Bayesian" po ndodh midis shkenc?tar?ve dhe argumentohet se edhe vet? qasja eksperimentale mund t? p?rshkruhet si rasti i saj i ve?ant?? Cili ?sht? sekreti q? din? bajezian?t? ?far? lloj drite shohin ata?

Revolucioni Bayesian n? shkenc? nuk ndodhi sepse gjithnj? e m? shum? shkenc?tar? njoh?s filluan t? vinin re befas se fenomenet mendore kishin nj? struktur? Bayesian; jo sepse shkenc?tar?t n? ?do fush? kan? filluar t? p?rdorin metod?n Bayesian; por sepse vet? shkenca ?sht? nj? rast i ve?ant? i teorem?s s? Bayes; provat eksperimentale jan? prova Bayesian. Revolucionar?t Bayesian argumentojn? se kur kryeni nj? eksperiment dhe merrni prova q? "konfirmojn?" ose "kund?rshtojn?" teorin? tuaj, ai konfirmim ose p?rg?njeshtrim ndodh sipas rregullave Bayesian. P?r shembull, ju duhet t? merrni parasysh jo vet?m q? teoria juaj mund t? shpjegoj? nj? fenomen, por gjithashtu se ka shpjegime t? tjera t? mundshme q? gjithashtu mund ta parashikojn? at? fenomen.

M? par?, filozofia m? e njohur e shkenc?s ishte filozofia e vjet?r, e cila u zhvendos nga revolucioni Bayesian. Ideja e Karl Popper-it se teorit? mund t? falsifikohen plot?sisht, por kurr? nuk verifikohen plot?sisht, ?sht? nj? rast tjet?r i ve?ant? i rregullave Bayesian; n?se p(X|A) ? 1 – n?se teoria b?n parashikime t? sakta, at?her? v?zhgimi i ~X falsifikon A shum? fuqish?m. Nga ana tjet?r, n?se p(X|A) ? 1 dhe ne v?zhgojm? X, kjo nuk konfirmon fuqish?m. teoria; ndoshta nj? kusht tjet?r B ?sht? i mundur, i till? q? p(X|B) ? 1, dhe sipas t? cilit v?zhgimi X nuk d?shmon n? favor t? A, por d?shmon n? favor t? B. Q? v?zhgimi X t? konfirmoj? p?rfundimisht A, do t? kishim t? mos e dim? se p(X|A) ? 1 dhe at? p(X|~A) ? 0, t? cilat nuk mund t'i dim? sepse nuk mund t'i shqyrtojm? t? gjitha shpjegimet e mundshme alternative. P?r shembull, kur teoria e relativitetit t? p?rgjithsh?m t? Ajnshtajnit tejkaloi teorin? e gravitetit t? mb?shtetur mir? t? Njutonit, ajo i b?ri t? gjitha parashikimet e teoris? s? Njutonit nj? rast t? ve?ant? t? parashikimeve t? Ajnshtajnit.

N? m?nyr? t? ngjashme, pretendimi i Popper-it se nj? ide duhet t? jet? e falsifikueshme mund t? interpretohet si nj? manifestim i rregullit Bayesian t? ruajtjes s? probabilitetit; n?se rezultati X ?sht? prov? pozitive p?r teorin?, at?her? rezultati ~X duhet ta hedh? posht? teorin? n? nj? far? mase. N?se p?rpiqeni t? interpretoni X dhe ~X si "konfirmim" t? teoris?, rregullat Bayesian thon? se ?sht? e pamundur! P?r t? rritur gjasat e nj? teorie, duhet t'i n?nshtroheni testeve q? potencialisht mund t? zvog?lojn? gjasat e saj; Ky nuk ?sht? vet?m nj? rregull p?r t? identifikuar sharlatan?t n? shkenc?, por nj? pasoj? e teorem?s s? probabilitetit Bayesian. Nga ana tjet?r, ideja e Popper-it se nevojitet vet?m falsifikim dhe nuk nevojitet konfirmim ?sht? i pasakt?. Teorema e Bayes tregon se falsifikimi ?sht? prov? shum? e fort? n? krahasim me konfirmimin, por falsifikimi ?sht? ende i natyr?s probabiliste; ai nuk drejtohet nga rregulla thelb?sisht t? ndryshme dhe nuk ndryshon n? k?t? m?nyr? nga konfirmimi, si? pretendon Popper.

K?shtu, ne zbulojm? se shum? dukuri n? shkencat njoh?se, plus metodat statistikore t? p?rdorura nga shkenc?tar?t, plus vet? metoda shkencore, jan? t? gjitha raste t? ve?anta t? teorem?s s? Bayes. Ky ?sht? revolucioni Bayesian.

Mir? se vini n? Komplotin Bayesian!

Literatura mbi probabilitetin Bayesian

2. Shum? aplikime t? ndryshme t? Bayes jan? p?rshkruar nga laureati i Nobelit n? ekonomi Kahneman (dhe shok?t e tij) n? nj? lib?r t? mrekulluesh?m. Vet?m n? p?rmbledhjen time t? shkurt?r t? k?tij libri shum? t? madh, un? num?rova 27 p?rmendje t? emrit t? nj? ministri presbiterian. Formulat minimale. (.. M? p?lqeu shum?. V?rtet?, ?sht? pak e nd?rlikuar, ka shum? matematik? (dhe ku do t? ishim pa t?), por kapitujt individual? (p?r shembull, Kapitulli 4. Informacioni) jan? qart?sisht n? tem?. Un? e rekomandoj at? p?r t? gjith? edhe n?se matematika ?sht? e v?shtir? p?r ju, lexoni ?do rresht tjet?r, duke anashkaluar matematik?n dhe duke peshkuar p?r kokrra t? dobishme.

14. (shtes? e dat?s 15 janar 2017), nj? kapitull nga libri i Tony Crilly. 50 ide p?r t? cilat duhet t? dini. Matematika.

Fizikani laureat i Nobelit, Richard Feynman, duke folur p?r nj? filozof me vet?vler?sim ve?an?risht t? madh, nj? her? tha: “Ajo q? m? irriton mua nuk ?sht? filozofia si shkenc?, por pompoziteti q? krijohet rreth saj. Sikur filozof?t t? qeshin me veten! Sikur t? mund t? thoshin: "Un? them se ?sht? k?shtu, por Von Leipzig mendoi se ishte ndryshe, dhe ai gjithashtu di di?ka p?r t?." Sikur t? kujtoheshin t? sqaronin se ?sht? vet?m e tyre .

Gjat? nxjerrjes s? formul?s probabilitet t? plot? supozohej se ngjarja A, probabiliteti i t? cilit duhej p?rcaktuar, mund t? ndodhte me nj? nga ngjarjet N 1 , N 2 , ... , N n, duke formuar nj? grup t? plot? ngjarjesh t? papajtueshme n? ?ift. P?r m? tep?r, gjasat e k?tyre ngjarjeve (hipotezave) ishin t? njohura paraprakisht. Le t? supozojm? se ?sht? kryer nj? eksperiment, si rezultat i t? cilit ngjarja A ka ardhur. Ky informacion shtes? na lejon t? rivler?sojm? probabilitetet e hipotezave. N i, duke llogaritur P(H i /A).

ose, duke p?rdorur formul?n e probabilitetit total, marrim

Kjo formul? quhet formula e Bayes ose teorema e hipotez?s. Formula e Bayes ju lejon t? "rishikoni" probabilitetet e hipotezave pasi rezultati i eksperimentit q? rezultoi n? ngjarje t? b?het i njohur. A.

Probabilitetet Р(Н i)- k?to jan? probabilitetet a priori t? hipotezave (llogariten para eksperimentit). Probabilitetet P(H i /A)- k?to jan? probabilitetet e pasme t? hipotezave (ato llogariten pas eksperimentit). Formula e Bayes ju lejon t? llogaritni probabilitetet e pasme nga probabilitetet e tyre t? m?parshme dhe nga probabilitetet e kusht?zuara t? nj? ngjarjeje A.

Shembull. Dihet se 5% e t? gjith? meshkujve dhe 0.25% e t? gjitha femrave jan? t? verb?r. Nj? person i zgjedhur rast?sisht bazuar n? numrin e kart?s s? tij mjek?sore vuan nga verb?ria e ngjyrave. Sa ?sht? probabiliteti q? t? jet? mashkull?

Zgjidhje. Ngjarje A– nj? person vuan nga verb?ria e ngjyrave. Hap?sira e ngjarjeve elementare p?r eksperimentin - nj? person zgjidhet me numrin e kart?s mjek?sore - O = ( N 1 , N 2 ) p?rb?het nga 2 ngjarje:

N 1 - zgjidhet nj? burr?,

N 2 - zgjidhet nj? grua.

K?to ngjarje mund t? zgjidhen si hipoteza.

Sipas kushteve t? problemit (zgjedhja e rast?sishme), probabilitetet e k?tyre ngjarjeve jan? t? nj?jta dhe t? barabarta P(N 1 ) = 0.5; P(N 2 ) = 0.5.

N? k?t? rast, probabilitetet e kusht?zuara q? nj? person vuan nga verb?ria e ngjyrave jan? t? barabarta, p?rkat?sisht:

R(A/N 1 ) = 0.05 = 1/20; R(A/N 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Meqen?se dihet q? personi i p?rzgjedhur ?sht? i verb?r nga ngjyra, pra ngjarja ka ndodhur, ne p?rdorim formul?n e Bayes p?r t? rivler?suar hipotez?n e par?:

Shembull. Ka tre kuti me pamje identike. Kutia e par? p?rmban 20 topa t? bardh?, kutia e dyt? p?rmban 10 topa t? bardh? dhe 10 topa t? zinj dhe kutia e tret? p?rmban 20 topa t? zinj. Nj? top i bardh? merret nga nj? kuti e zgjedhur rast?sisht. Llogaritni probabilitetin q? topi t? jet? t?rhequr nga kutia e par?.

Zgjidhje. Le t? sh?nojm? me A ngjarje - shfaqja e nj? topi t? bardh?. Mund t? b?hen tre supozime (hipoteza) p?r zgjedhjen e kutis?: N 1 ,N 2 , N 3 – p?rzgjedhja e kutis? s? par?, t? dyt? dhe t? tret?, p?rkat?sisht.

Meqen?se zgjedhja e cil?sdo prej kutive ?sht? po aq e mundshme, probabilitetet e hipotezave jan? t? nj?jta:

P(N 1 )=P(N 2 )=P(N 3 )= 1/3.

Sipas problemit, probabiliteti p?r t? nxjerr? nj? top t? bardh? nga kutia e par? ?sht?

Probabiliteti p?r t? nxjerr? nj? top t? bardh? nga kutia e dyt?

Probabiliteti p?r t? nxjerr? nj? top t? bardh? nga kutia e tret?

Ne gjejm? probabilitetin e d?shiruar duke p?rdorur formul?n Bayes:

P?rs?ritja e testeve. formula e Bernulit.

Kryhen N prova, n? secil?n prej t? cilave ngjarja A mund t? ndodh? ose jo, dhe probabiliteti i ngjarjes A n? ?do prov? individuale ?sht? konstante, d.m.th. nuk ndryshon nga p?rvoja n? p?rvoj?. Ne tashm? e dim? se si t? gjejm? probabilitetin e ngjarjes A n? nj? eksperiment.

Me interes t? ve?ant? ?sht? probabiliteti i shfaqjes s? nj? numri t? caktuar her? (m her?) t? ngjarjes A n? n eksperimente. Probleme t? tilla mund t? zgjidhen leht?sisht n?se testet jan? t? pavarura.

Def. Quhen disa teste i pavarur n? lidhje me ngjarjen A , n?se probabiliteti i ngjarjes A n? secil?n prej tyre nuk varet nga rezultatet e eksperimenteve t? tjera.

Probabiliteti P n (m) i ndodhjes s? ngjarjes A sakt?sisht m her? (nuk ndodh n-m her?, ngjarje ) n? k?to n prova. Ngjarja A shfaqet n? nj? s?r? sekuencash m her?).

- Formula e Bernulit.

Formulat e m?poshtme jan? t? dukshme:

Р n (m m? pak k her? n? n prova.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - probabiliteti i ndodhjes s? ngjarjes A m? shum? k her? n? n prova.

Le t? dihen probabilitetet e tyre dhe probabilitetet e kusht?zuara p?rkat?se. At?her? probabiliteti q? ngjarja t? ndodh? ?sht?:

Kjo formul? quhet formulat e probabilitetit total. N? tekstet shkollore ?sht? formuluar si teorem?, v?rtetimi i s? cil?s ?sht? elementare: sipas algjebra e ngjarjeve, (ndodhi nj? ngjarje Dhe ose ka ndodhur nj? ngjarje Dhe pasi erdhi nj? ngjarje ose ka ndodhur nj? ngjarje Dhe pasi erdhi nj? ngjarje ose …. ose ka ndodhur nj? ngjarje Dhe pasi erdhi nj? ngjarje). Q? nga hipotezat jan? t? papajtueshme, dhe ngjarja ?sht? e varur, at?her? sipas teorema e mbledhjes s? probabiliteteve t? ngjarjeve t? papajtueshme (hapi i par?) Dhe teorema e shum?zimit t? probabiliteteve t? ngjarjeve t? varura (hapi i dyt?):

Shum? njer?z ndoshta parashikojn? p?rmbajtjen e shembullit t? par? =)

Kudo q? t? p?shtyni, ka nj? urn?:

Problemi 1

Ka tre urna identike. Urna e par? p?rmban 4 topa t? bardh? dhe 7 topa t? zinj, e dyta p?rmban vet?m topa t? bardh? dhe e treta p?rmban vet?m topa t? zinj. Nj? urn? zgjidhet rast?sisht dhe nga ajo nxirret nj? top rast?sisht. Sa ?sht? probabiliteti q? ky top t? jet? i zi?

Zgjidhje: merrni parasysh ngjarjen - nj? top i zi do t? nxirret nga nj? urn? e zgjedhur rast?sisht. Kjo ngjarje mund t? ndodh? si rezultat i nj? prej hipotezave t? m?poshtme:
– do t? zgjidhet urna e par?;
– do t? zgjidhet urna e dyt?;
– do t? zgjidhet urna e tret?.

Meqen?se urna zgjidhet n? m?nyr? t? rast?sishme, zgjedhja e cil?sdo prej tre urnave po aq e mundur, pra:

Ju lutemi vini re se hipotezat e m?sip?rme formohen grupi i plot? i ngjarjeve d.m.th., sipas kushtit, nj? top i zi mund t? shfaqet vet?m nga k?to urna dhe, p?r shembull, nuk mund t? dal? nga tavolina e bilardos. Le t? b?jm? nj? kontroll t? thjesht? t? nd?rmjet?m:
, OK, le t? vazhdojm?:

Urna e par? p?rmban 4 topa t? bardh? + 7 t? zeza = 11 topa, secila p?rkufizimi klasik:
– probabiliteti p?r t? vizatuar nj? top t? zi duke pasur parasysh se, se do t? zgjidhet urna e par?.

Urna e dyt? p?rmban vet?m topa t? bardh?, pra n?se zgjidhet b?het pamja e topit t? zi e pamundur: .

Dhe s? fundi, urna e tret? p?rmban vet?m topa t? zinj, q? do t? thot? p?rkat?se probabiliteti i kusht?zuar nxjerrja e topit t? zi do t? jet? (ngjarja ?sht? e besueshme).

– probabiliteti q? nj? top i zi t? nxirret nga nj? urn? e zgjedhur rast?sisht.

P?rgjigju:

Shembulli i analizuar p?rs?ri sugjeron se sa e r?nd?sishme ?sht? t? thellohesh n? GJENDJE. Le t? marrim t? nj?jtat probleme me urnat dhe topat - pavar?sisht ngjashm?ris? s? tyre t? jashtme, metodat e zgjidhjes mund t? jen? krejt?sisht t? ndryshme: diku duhet t? p?rdorni vet?m p?rkufizimi klasik i probabilitetit, diku ngjarje t? pavarur, diku i varur, dhe diku po flasim p?r hipoteza. N? t? nj?jt?n koh?, nuk ka asnj? kriter t? qart? zyrtar p?r zgjedhjen e nj? zgjidhjeje - pothuajse gjithmon? duhet t? mendoni p?r t?. Si t? p?rmir?soni aft?sit? tuaja? Ne vendosim, vendosim dhe vendosim p?rs?ri!

Problemi 2

Polonia e qitjes ka 5 pushk? me sakt?si t? ndryshme. Probabilitetet e goditjes s? objektivit p?r nj? gjuajt?s t? caktuar jan? p?rkat?sisht t? barabarta me 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 dhe 0,4. Sa ?sht? probabiliteti p?r t? goditur objektivin n?se gjuajt?si q?llon nj? t? sht?n? nga nj? pushk? e zgjedhur rast?sisht?

Nj? zgjidhje dhe p?rgjigje e shkurt?r n? fund t? m?simit.

N? shumic?n e problemeve tematike, hipotezat, natyrisht, nuk jan? nj?soj t? mundshme:

Problemi 3

N? piramid? gjenden 5 pushk?, tre prej t? cilave jan? t? pajisura me nj? pamje optike. Probabiliteti q? nj? gjuajt?s t? godas? objektivin kur gjuan nj? pushk? me nj? pamje teleskopike ?sht? 0,95; p?r nj? pushk? pa pamje optike, kjo probabilitet ?sht? 0.7. Gjeni probabilitetin q? objektivi t? goditet n?se gjuajt?si q?llon nj? t? sht?n? nga nj? pushk? e marr? rast?sisht.

Zgjidhje: n? k?t? problem numri i pushk?ve ?sht? sakt?sisht i nj?jt? me at? t? m?parsh?m, por ka vet?m dy hipoteza:
– gjuajt?si do t? zgjedh? nj? pushk? me pamje optike;
– qit?si do t? zgjedh? nj? pushk? pa pamje optike.
Nga p?rkufizimi klasik i probabilitetit: .
Kontrolli:

Merrni parasysh ngjarjen: – nj? gjuajt?s godet nj? objektiv me nj? pushk? t? marr? rast?sisht.
Sipas kushtit: .

Sipas formul?s s? probabilitetit total:

P?rgjigju: 0,85

N? praktik?, nj? m?nyr? e shkurtuar e formatimit t? nj? detyre, me t? cil?n jeni njohur gjithashtu, ?sht? mjaft e pranueshme:

Zgjidhje: sipas p?rkufizimit klasik: – probabilitetet e zgjedhjes s? nj? pushke me dhe pa pamje optike, p?rkat?sisht.

Sipas kushtit, – probabiliteti i goditjes s? objektivit nga llojet p?rkat?se t? pushk?ve.

Sipas formul?s s? probabilitetit total:
- probabiliteti q? nj? gjuajt?s t? godas? nj? objektiv me nj? pushk? t? zgjedhur rast?sisht.

P?rgjigju: 0,85

Detyr?n e m?poshtme duhet ta zgjidhni vet?:

Problemi 4

Motori funksionon n? tre m?nyra: normale, t? detyruar dhe boshe. N? modalitetin boshe, probabiliteti i d?shtimit t? tij ?sht? 0.05, n? modalitetin normal t? funksionimit - 0.1, dhe n? modalitetin e detyruar - 0.7. 70% t? rasteve motori funksionon n? modalitetin normal dhe 20% n? modalitetin e detyruar. Sa ?sht? probabiliteti i d?shtimit t? motorit gjat? funksionimit?

P?r ?do rast, m? lejoni t'ju kujtoj se p?r t? marr? vlerat e probabilitetit, p?rqindjet duhet t? ndahen me 100. Kujdes! Sipas v?zhgimeve t? mia, njer?zit shpesh p?rpiqen t? ngat?rrojn? kushtet e problemeve q? p?rfshijn? formul?n e probabilitetit total; dhe un? zgjodha n? m?nyr? specifike k?t? shembull. Un? do t'ju them nj? sekret - pothuajse u hutova vet? =)

Zgjidhja n? fund t? or?s s? m?simit (formatuar n? nj? m?nyr? t? shkurt?r)

Probleme duke p?rdorur formulat e Bayes

Materiali ?sht? i lidhur ngusht? me p?rmbajtjen e paragrafit t? m?parsh?m. L?reni q? ngjarja t? ndodh? si rezultat i zbatimit t? nj?r?s prej hipotezave . Si t? p?rcaktohet probabiliteti q? t? ket? ndodhur nj? hipotez? e ve?ant??

Duke pasur parasysh se at? ngjarje tashm? ka ndodhur, probabilitete hipoteze mbivler?suar sipas formulave q? mor?n emrin e priftit anglez Thomas Bayes:

– probabiliteti q? hipoteza t? ket? ndodhur;
– probabiliteti q? hipoteza t? ket? ndodhur;
…
– probabiliteti q? hipoteza t? ket? ndodhur.

N? pamje t? par?, duket krejt?sisht absurde - pse t? rillogaritni probabilitetet e hipotezave n?se ato tashm? dihen? Por n? fakt ka nj? ndryshim:

- Kjo a priori(vler?suar te teste) probabiliteti.

- Kjo a posteriori(vler?suar pas teste) probabilitetet e t? nj?jtave hipoteza, t? rillogaritura n? lidhje me "rrethanat e zbuluara rishtazi" - duke marr? parasysh faktin se ngjarja ka ndodhur patjet?r.

Le ta shohim k?t? ndryshim me nj? shembull specifik:

Problemi 5

2 tufa produktesh mb?rrit?n n? magazin?: e para - 4000 cop?, e dyta - 6000 cop?. P?rqindja mesatare e produkteve jo standarde n? grupin e par? ?sht? 20%, dhe n? t? dyt?n - 10%. Produkti i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme nga magazina doli t? ishte standard. Gjeni probabilitetin q? ?sht?: a) nga grupi i par?, b) nga grupi i dyt?.

Pjesa e par? zgjidhjet konsiston n? p?rdorimin e formul?s s? probabilitetit total. Me fjal? t? tjera, llogaritjet kryhen n?n supozimin se testi ende i pa prodhuar dhe ngjarje "produkti doli t? ishte standard" ende jo.

Le t? shqyrtojm? dy hipoteza:
– nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme do t? jet? nga grupi i par?;
– nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme do t? jet? nga grupi i dyt?.

Gjithsej: 4000 + 6000 = 10000 artikuj n? magazin?. Sipas p?rkufizimit klasik:
.

Kontrolli:

Le t? shqyrtojm? ngjarjen e varur: – nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme nga magazina do standarde.

N? grupin e par? 100% – 20% = 80% produkte standarde, prandaj: duke pasur parasysh se se i p?rket pal?s s? par?.

N? m?nyr? t? ngjashme, n? grupin e dyt? 100% - 10% = 90% produkte standarde dhe – probabiliteti q? nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme nga nj? magazin? t? jet? standard duke pasur parasysh se se i p?rket pal?s s? dyt?.

Sipas formul?s s? probabilitetit total:
– probabiliteti q? nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme nga nj? magazin? t? jet? standard.

Pjesa e dyte. L?reni q? nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme nga nj? magazin? t? dal? standard. Kjo fraz? shprehet drejtp?rdrejt n? kusht dhe tregon faktin se ngjarja ndodhi.

Sipas formulave t? Bayes:

a) ?sht? probabiliteti q? produkti standard i zgjedhur i p?rket grupit t? par?;

b) ?sht? probabiliteti q? produkti standard i zgjedhur i p?rket grupit t? dyt?.

Pas rivler?simi hipotezat, natyrisht, ende formohen grupi i plot?:
(provim;-))

P?rgjigju:

Ivan Vasilyevich, i cili p?rs?ri ndryshoi profesionin e tij dhe u b? drejtor i uzin?s, do t? na ndihmoj? t? kuptojm? kuptimin e rivler?simit t? hipotezave. Ai e di q? sot pun?toria e par? d?rgoi 4000 produkte n? magazin? dhe pun?toria e dyt? - 6000 produkte dhe vjen t? sigurohet p?r k?t?. Le t? supozojm? se t? gjitha produktet jan? t? t? nj?jtit lloj dhe jan? n? t? nj?jtin en?. Natyrisht, Ivan Vasilyevich llogariti paraprakisht se produkti q? ai do t? hiqte tani p?r inspektim ka shum? t? ngjar? t? prodhohej nga pun?toria e par? dhe ka shum? t? ngjar? nga e dyta. Por pasi produkti i zgjedhur rezulton t? jet? standard, ai th?rret: “?far? rrufe n? qiell! "M? tep?r u l?shua nga pun?toria e dyt?." K?shtu, probabiliteti i hipotez?s s? dyt? mbivler?sohet p?r mir?, dhe probabiliteti i hipotez?s s? par? n?nvler?sohet: . Dhe ky rivler?sim nuk ?sht? i pabazuar - n? fund t? fundit, pun?toria e dyt? jo vet?m q? prodhoi m? shum? produkte, por funksionon edhe 2 her? m? mir?!

Subjektiviz?m i past?r, thua? Pjes?risht - po, p?r m? tep?r, vet? Bayes interpretoi a posteriori probabilitetet si niveli i besimit. Sidoqoft?, jo gjith?ka ?sht? kaq e thjesht? - ekziston gjithashtu nj? kok?rr objektive n? qasjen Bayesian. N? fund t? fundit, gjasat q? produkti do t? jet? standard (0.8 dhe 0.9 p?r pun?torin? e par? dhe t? dyt?, respektivisht) Kjo paraprake(apriori) dhe mesatare vler?simet. Por, duke folur filozofikisht, gjith?ka rrjedh, gjith?ka ndryshon, p?rfshir? edhe probabilitetet. ?sht? mjaft e mundur q? n? momentin e studimit seminari i dyt? m? i suksessh?m rriti p?rqindjen e produkteve standarde t? prodhuara (dhe/ose seminari i par? i reduktuar), dhe n?se kontrolloni nj? num?r m? t? madh ose t? gjitha 10 mij? produktet n? magazin?, at?her? vlerat e mbivler?suara do t? rezultojn? t? jen? shum? m? af?r t? v?rtet?s.

Nga rruga, n?se Ivan Vasilyevich nxjerr nj? pjes? jo standarde, at?her? p?rkundrazi, ai do t? jet? m? "dyshues" p?r pun?torin? e par? dhe m? pak p?r t? dytin. Un? ju sugjeroj ta kontrolloni k?t? vet?:

Problemi 6

2 tufa produktesh mb?rrit?n n? magazin?: e para - 4000 cop?, e dyta - 6000 cop?. P?rqindja mesatare e produkteve jo standarde n? grupin e par? ?sht? 20%, n? t? dyt?n - 10%. Produkti i marr? nga magazina n? m?nyr? t? rast?sishme rezultoi t? jet? Jo standarde. Gjeni probabilitetin q? ?sht?: a) nga grupi i par?, b) nga grupi i dyt?.

Kushti dallohet nga dy germa, t? cilat i kam theksuar me shkronja t? zeza. Problemi mund t? zgjidhet nga e para, ose duke p?rdorur rezultatet e llogaritjeve t? m?parshme. N? kampion kam kryer nj? zgjidhje t? plot?, por p?r t? shmangur ?do mbivendosje formale me problemin nr. 5, ngjarja "Nj? produkt i marr? n? m?nyr? t? rast?sishme nga nj? magazin? do t? jet? jo standard" treguar nga .

Skema Bayesian p?r rivler?simin e probabiliteteve gjendet kudo, dhe gjithashtu shfryt?zohet n? m?nyr? aktive nga lloje t? ndryshme mashtruesish. Le t? marrim parasysh nj? shoq?ri aksionare me tre shkronja q? ?sht? b?r? em?r i njohur, q? t?rheq depozita nga publiku, gjoja i investon diku, paguan rregullisht divident? etj. ?far? po ndodh? Dit? pas dite, muaj pas muaji kalon dhe gjithnj? e m? shum? fakte t? reja, t? p?rcjella p?rmes reklamave dhe goj?dh?nave, vet?m sa rrisin nivelin e besimit n? piramid?n financiare. (pasteriori rivler?sim Bayesian p?r shkak t? ngjarjeve t? s? kaluar?s!). Kjo do t? thot?, n? syt? e investitor?ve ka nj? rritje t? vazhdueshme t? gjasave q? "Kjo ?sht? nj? kompani serioze"; nd?rsa probabiliteti i hipotez?s s? kund?rt ("k?ta jan? m? shum? mashtrues"), natyrisht, zvog?lohet dhe zvog?lohet. Ajo q? vijon, mendoj se ?sht? e qart?. Vlen t? p?rmendet se reputacioni i fituar u jep organizator?ve koh? p?r t'u fshehur me sukses nga Ivan Vasilyevich, i cili mbeti jo vet?m pa nj? grumbull bulonash, por edhe pa pantallona.

Ne do t'i kthehemi shembujve po aq interesant? pak m? von?, por tani p?r tani hapi tjet?r ?sht? ndoshta rasti m? i zakonsh?m me tre hipoteza:

Problemi 7

Llambat elektrike prodhohen n? tre fabrika. Fabrika e par? prodhon 30% t? numrit t? p?rgjithsh?m t? llambave, e dyta - 55%, dhe e treta - pjesa tjet?r. Produktet e uzin?s s? par? p?rmbajn? 1% llamba me defekt, e dyta - 1,5%, e treta - 2%. Dyqani merr produkte nga t? tre fabrikat. Llamba e bler? doli t? jet? me defekt. Sa ?sht? probabiliteti q? ?sht? prodhuar nga impianti 2?

Vini re se n? problemet n? formulat e Bayes n? gjendje Domosdoshm?risht ka nj? t? caktuar ?far? ndodhi ngjarje, n? k?t? rast blerja e nj? llamb?.

Ngjarjet jan? shtuar, dhe zgjidhje?sht? m? i p?rshtatsh?m p?r ta rregulluar at? n? nj? stil "t? shpejt?".

Algoritmi ?sht? sakt?sisht i nj?jt?: n? hapin e par? gjejm? probabilitetin q? llamba e bler? ?sht? rezulton me t? meta.

Duke p?rdorur t? dh?nat fillestare, ne konvertojm? p?rqindjet n? probabilitete:
– probabiliteti q? llamba t? jet? prodhuar nga fabrikat 1, 2 dhe 3, p?rkat?sisht.
Kontrolli:

N? m?nyr? t? ngjashme: – probabiliteti i prodhimit t? nj? llamb? me defekt p?r fabrikat p?rkat?se.

Sipas formul?s s? probabilitetit total:

– probabiliteti q? llamba e bler? t? jet? me defekt.

Hapi dy. L?reni q? llamba e bler? t? dal? e d?mtuar (ngjarja ka ndodhur)

Sipas formul?s s? Bayes:
– probabiliteti q? llamba e bler? me defekt ?sht? prodhuar nga nj? fabrik? e dyt?

P?rgjigju:

Pse u rrit probabiliteti fillestar i hipotez?s s? dyt? pas rivler?simit? N? fund t? fundit, fabrika e dyt? prodhon llamba me cil?si mesatare (e para ?sht? m? e mir?, e treta ?sht? m? e keqe). Pra, pse u rrit a posteriori A ka mund?si q? llamba me defekt t? jet? nga impianti i dyt?? Kjo nuk shpjegohet m? nga "reputacioni", por nga madh?sia. Meqen?se fabrika nr. 2 prodhoi numrin m? t? madh t? llambave, ata e faj?sojn? at? (t? pakt?n subjektivisht): "Me shum? mund?si, kjo llamb? me defekt ?sht? nga atje".

?sht? interesante t? theksohet se probabilitetet e hipotezave 1 dhe 3 u mbivler?suan n? drejtimet e pritura dhe u b?n? t? barabarta:

Kontrolli: , e cila ishte ajo q? duhej t? kontrollohej.

Nga rruga, p?r vler?simet e n?nvler?suara dhe t? mbivler?suara:

Problemi 8

N? grupin e student?ve, 3 persona kan? nivel t? lart? formimi, 19 persona kan? nivel mesatar dhe 3 persona kan? nivel t? ul?t. Probabilitetet e kalimit me sukses t? provimit p?r k?ta student? jan? p?rkat?sisht t? barabarta me: 0,95; 0.7 dhe 0.4. Dihet se nj? student e ka kaluar provimin. Sa ?sht? probabiliteti q?:

a) ishte p?rgatitur shum? mir?;
b) ishte p?rgatitur mesatarisht;
c) ishte i p?rgatitur keq.

Kryeni llogaritjet dhe analizoni rezultatet e rivler?simit t? hipotezave.

Detyra ?sht? af?r realitetit dhe ?sht? ve?an?risht e besueshme p?r nj? grup student?sh me koh? t? pjesshme, ku m?suesi praktikisht nuk ka njohuri p?r aft?sit? e nj? studenti t? caktuar. N? k?t? rast, rezultati mund t? shkaktoj? pasoja mjaft t? papritura. (ve?an?risht p?r provimet n? semestrin e par?). N?se nj? student i p?rgatitur dob?t ka fatin t? marr? nj? bilet?, at?her? m?suesi ka t? ngjar? ta konsideroj? at? nj? student t? mir? apo edhe nj? student t? fort?, gj? q? do t? sjell? divident? t? mir? n? t? ardhmen. (natyrisht, ju duhet t? "ngritni shiritin" dhe t? ruani imazhin tuaj). N?se nj? student studionte, grumbullohej dhe p?rs?riste p?r 7 dit? e 7 net?, por ishte thjesht i pafat, at?her? ngjarjet e m?tejshme mund t? zhvillohen n? m?nyr?n m? t? keqe t? mundshme - me rimarrje t? shumta dhe balancim n? prag t? eliminimit.

Esht? e panevojshme t? thuhet, reputacioni ?sht? kapitali m? i r?nd?sish?m, nuk ?sht? rast?si q? shum? korporata mbajn? emrat e baballar?ve t? tyre themelues, t? cil?t drejtuan biznesin 100-200 vjet m? par? dhe u b?n? t? famsh?m p?r reputacionin e tyre t? pat?met?.

Po, qasja Bayesian ?sht? deri diku subjektive, por... k?shtu funksionon jeta!

Le ta konsolidojm? materialin me nj? shembull p?rfundimtar industrial, n? t? cilin do t? flas p?r nd?rlikimet teknike t? panjohura deri tani t? zgjidhjes:

Problemi 9

Tre punishte t? uzin?s prodhojn? t? nj?jtin lloj pjes?sh, t? cilat d?rgohen n? nj? kontejner t? p?rbashk?t p?r montim. Dihet se punishtja e par? prodhon 2 her? m? shum? pjes? se punishtja e dyt? dhe 4 her? m? shum? se punishtja e tret?. N? pun?torin? e par? shkalla e defektit ?sht? 12%, n? t? dyt?n – 8%, n? t? tret?n – 4%. P?r kontroll, nj? pjes? merret nga ena. Sa ?sht? probabiliteti q? ai t? jet? me defekt? Sa ?sht? probabiliteti q? pjesa e nxjerr? me defekt t? jet? prodhuar nga punishtja e tret??

Ivan Vasilyevich ?sht? p?rs?ri mbi kal? =) Filmi duhet t? ket? nj? fund t? lumtur =)

Zgjidhje: ndryshe nga problemat nr. 5-8, k?tu shtrohet n? m?nyr? eksplicite nj? pyetje, e cila zgjidhet duke p?rdorur formul?n e probabilitetit total. Por nga ana tjet?r, gjendja ?sht? pak e "kriptuar" dhe aft?sia shkollore p?r t? hartuar ekuacione t? thjeshta do t? na ndihmoj? t? zgjidhim k?t? enigm?. ?sht? e p?rshtatshme p?r t? marr? vler?n m? t? vog?l si "x":

Le t? jet? pjesa e pjes?ve t? prodhuara nga punishtja e tret?.

Sipas kushtit, punishtja e par? prodhon 4 her? m? shum? se punishtja e tret?, pra pjesa e punishtes s? par? ?sht? .

P?rve? k?saj, punishtja e par? prodhon 2 her? m? shum? produkte se punishtja e dyt?, q? do t? thot? pjesa e k?saj t? fundit: .

Le t? krijojm? dhe zgjidhim ekuacionin:

K?shtu: – probabiliteti q? pjesa e hequr nga kontejneri t? jet? prodhuar nga pun?toria 1, 2 dhe 3, p?rkat?sisht.

Kontrolli: . P?rve? k?saj, nuk do t? d?mtonte ta shikonim p?rs?ri fraz?n “Dihet q? punishtja e par? prodhon produkte 2 her? m? shum? se punishtja e dyt? dhe 4 her? m? shum? se punishtja e tret?. dhe sigurohuni q? vlerat e fituara t? probabilitetit t? p?rputhen me k?t? kusht.

Fillimisht, mund t? merret pjesa e 1-s? ose pjesa e pun?toris? s? dyt? si "X" - probabilitetet do t? ishin t? nj?jta. Por, n? nj? m?nyr? apo tjet?r, pjesa m? e v?shtir? ka kaluar dhe zgjidhja ?sht? n? rrug?n e duhur:

Nga gjendja gjejm?:
– probabiliteti i prodhimit t? nj? pjese me defekt p?r punishtet p?rkat?se.

Sipas formul?s s? probabilitetit total:
– gjasat q? nj? pjes? e hequr rast?sisht nga nj? en? t? rezultoj? t? jet? jo standarde.

Pyetja e dyt?: sa ?sht? probabiliteti q? pjesa e nxjerr? me defekt t? jet? prodhuar nga punishtja e tret?? Kjo pyetje supozon se pjesa tashm? ?sht? hequr dhe ka rezultuar me defekt. Ne rivler?sojm? hipotez?n duke p?rdorur formul?n e Bayes:
- probabiliteti i d?shiruar. Plot?sisht e pritshme - n? fund t? fundit, pun?toria e tret? jo vet?m q? prodhon p?rqindjen m? t? vog?l t? pjes?ve, por edhe udh?heq n? cil?si!

N? k?t? rast ishte e nevojshme thjeshtojn? thyes?n kat?rkat?she, t? cil?n ju duhet ta b?ni mjaft shpesh n? problemet duke p?rdorur formulat e Bayes. Por p?r k?t? m?sim, un? zgjodha disi rast?sisht shembuj n? t? cil?t mund t? kryhen shum? llogaritje pa fraksione t? zakonshme.

Meqen?se kushti nuk p?rmban pikat "a" dhe "be", at?her? ?sht? m? mir? t? jepni p?rgjigjen me komente teksti:

P?rgjigju: – probabiliteti q? nj? pjes? e hequr nga kontejneri t? jet? me defekt; – probabiliteti q? pjesa e nxjerr? me defekt ?sht? prodhuar nga punishtja e tret?.

Si? mund ta shihni, problemet me formul?n e probabilitetit total dhe formul?n Bayes jan? mjaft t? thjeshta, dhe, ndoshta p?r k?t? arsye, ata shpesh p?rpiqen t? komplikojn? gjendjen, t? cil?n e p?rmenda tashm? n? fillim t? artikullit.

Shembuj shtes? jan? n? dosjen me zgjidhje t? gatshme p?r F.P.V. dhe formulat e Bayes, p?rve? k?saj, ndoshta do t? ket? nga ata q? duan t? njihen m? thell? me k?t? tem? n? burime t? tjera. Dhe tema ?sht? v?rtet shum? interesante - sa ia vlen? Paradoksi i Bayes, e cila justifikon k?shill?n e p?rditshme se n?se nj? person diagnostikohet me nj? s?mundje t? rrall?, at?her? ka kuptim q? ai t? b?j? nj? p?rs?ritje ose edhe dy t? p?rs?ritura ekzaminime t? pavarura. Duket se k?t? po e b?jn? vet?m nga d?shp?rimi... - por jo! Por le t? mos flasim p?r gj?ra t? trishtueshme.

?sht? probabiliteti q? nj? student i p?rzgjedhur rast?sisht t? kaloj? provimin.
L?reni studentin t? kaloj? provimin. Sipas formulave t? Bayes:
A) – probabiliteti q? studenti q? ka dh?n? provimin t? jet? p?rgatitur shum? mir?. Probabiliteti fillestar objektiv rezulton t? jet? i mbivler?suar, pasi pothuajse gjithmon? disa "njer?z mesatar?" jan? me fat me pyetjet dhe p?rgjigjen shum? fort, gj? q? jep p?rshtypjen e gabuar t? p?rgatitjes s? pat?met?.
b) – probabiliteti q? studenti q? ka dh?n? provimin t? jet? p?rgatitur mesatarisht. Probabiliteti fillestar rezulton t? jet? pak i mbivler?suar, sepse nx?n?sit me nj? nivel mesatar t? p?rgatitjes jan? zakonisht shumica, p?rve? k?saj, k?tu m?suesi do t? p?rfshij? student? "t? shk?lqyer" q? u p?rgjigj?n pa sukses, dhe her? pas here nj? student me performanc? t? dob?t q? ishte shum? me fat me nj? bilet?.
V) – gjasat q? studenti q? e ka kaluar provimin t? jet? i p?rgatitur dob?t. Probabiliteti fillestar u mbivler?sua p?r keq. Nuk ?sht? ?udi.
Ekzaminimi:
P?rgjigju :

TEKNOLOGJIA E INFORMACIONIT, SHKENCA KOMPJUTERIKE DHE MENAXHIMI

Mbi zbatueshm?rin? e formul?s s? Bayes

DOI 10.12737/16076

A. I. Dolgov **

1 Shoq?ria aksionare "Byroja e projektimit p?r monitorimin e radios t? sistemeve t? kontrollit, navigimit dhe komunikimit", Rostov-on-Don, Federata Ruse

Mbi zbatueshm?rin? e formul?s Bayes"*** A. I. Dolgov1**

1 "Zyra e projektimit p?r monitorimin e sistemeve t? kontrollit, navigimit dhe komunikimit" SHA, Rostov-on-Don, Federata Ruse

Subjekti i k?tij studimi ?sht? formula e Bayes. Q?llimi i k?saj pune ?sht? t? analizoj? dhe zgjeroj? fush?n e zbatimit t? formul?s. Detyra kryesore ?sht? t? studiohen botimet kushtuar k?tij problemi, t? cilat b?n? t? mundur identifikimin e mang?sive n? p?rdorimin e formul?s Bayes, duke ?uar n? rezultate t? pasakta. Detyra tjet?r ?sht? t? nd?rtojm? modifikime t? formul?s Bayes q? marrin parasysh prova t? ndryshme t? vetme dhe marrin rezultate t? sakta. Dhe s? fundi, duke p?rdorur shembullin e t? dh?nave specifike t? burimit, rezultatet e pasakta t? marra duke p?rdorur formul?n Bayes krahasohen me rezultatet e sakta t? llogaritura duke p?rdorur modifikimet e propozuara. P?r kryerjen e studimit jan? p?rdorur dy metoda. S? pari, u krye nj? analiz? e parimeve t? nd?rtimit t? shprehjeve t? njohura t? p?rdorura p?r t? shkruar formul?n Bayes dhe modifikimet e saj. S? dyti, u krye nj? vler?sim krahasues i rezultateve (p?rfshir? at? sasior). Modifikimet e propozuara sigurojn? aplikim m? t? gjer? t? formul?s Bayes n? teori dhe praktik?, duke p?rfshir? zgjidhjen e problemeve t? aplikuara.

Fjal?t ky?e: probabilitete t? kusht?zuara, hipoteza jokonsistente, prova t? pajtueshme dhe t? papajtueshme, normalizim.

Formula Bayes" ?sht? objekti i k?rkimit. Objektivi i pun?s ?sht? t? analizoj? aplikimin e formul?s dhe t? zgjeroj? fush?n e zbatueshm?ris? s? saj. Problemi i prioritetit t? par? p?rfshin identifikimin e disavantazheve t? formul?s Bayes bazuar n? studimin e botimeve p?rkat?se q? ?ojn? n? gabime. rezultatet. Detyra tjet?r ?sht? nd?rtimi i modifikimeve t? formul?s Bayes" p?r t? siguruar nj? llogaritje t? indikacioneve t? ndryshme t? vetme p?r t? marr? rezultate t? sakta. Dhe s? fundi, rezultatet e pasakta t? marra me aplikimin e formul?s Bayes" krahasohen me rezultatet e sakta t? llogaritura me p?rdorimin e modifikimet e propozuara t? formul?s me shembullin e t? dh?nave specifike fillestare. N? studime p?rdoren dy metoda. S? pari, b?het analiza e parimeve t? nd?rtimit t? shprehjeve t? njohura t? p?rdorura p?r t? regjistruar formul?n Bayesian dhe modifikimet e saj. S? dyti, b?het nj? vler?sim krahasues i rezultateve (p?rfshir? at? sasior). Modifikimet e propozuara ofrojn? nj? aplikim m? t? gjer? t? formul?s Bayes" si n? teori ashtu edhe n? praktik? duke p?rfshir? zgjidhjen e problemeve t? aplikuara.

Fjal? ky?e: probabilitete t? kusht?zuara, hipoteza jokonsistente, tregues t? pajtuesh?m dhe t? papajtuesh?m, normalizues.

Hyrje. Formula e Bayes p?rdoret gjithnj? e m? shum? n? teori dhe praktik?, duke p?rfshir? n? zgjidhjen e problemeve t? aplikuara duke p?rdorur teknologjin? kompjuterike. P?rdorimi i procedurave llogarit?se t? pavarura reciprokisht b?n t? mundur p?rdorimin e k?saj formule ve?an?risht n? m?nyr? efektive gjat? zgjidhjes s? problemeve n? sistemet llogarit?se me shum? procesor, pasi n? k?t? rast zbatimi paralel kryhet n? nivelin e qarkut t? p?rgjithsh?m dhe kur shtohet algoritmi ose klasa e problemeve tjet?r. nuk ka nevoj? t? ripunohet p?r paralelizimin.

Objekti i k?tij studimi ?sht? zbatueshm?ria e formul?s s? Bayes p?r vler?simin krahasues t? probabiliteteve t? kusht?zuara t? pasme t? hipotezave jokonsistente n?n prova t? ndryshme t? vetme. Si? tregon analiza, n? raste t? tilla probabilitetet e normalizuara t? ngjarjeve t? kombinuara t? papajtueshme q? i p?rkasin

S X<и ч и

?SHT? e? DHE ?SHT? X X<и H

“Puna u krye si pjes? e nj? projekti k?rkimor iniciativ.

**E-mail: [email i mbrojtur]

""K?rkimi ?sht? b?r? n? kuad?r t? R&D t? pavarur.

q? korrespondojn? me grupe t? ndryshme t? plota ngjarjesh. N? t? nj?jt?n koh?, rezultatet e krahasuara rezultojn? t? jen? t? pamjaftueshme p?r t? dh?nat reale statistikore. Kjo ?sht? p?r shkak t? faktor?ve t? m?posht?m:

P?rdoret nj? normalizim i gabuar;

Prania ose mungesa e kryq?zimeve t? provave t? marra n? konsiderat? nuk merret parasysh.

P?r t? eliminuar mang?sit? e identifikuara, jan? identifikuar rastet e zbatueshm?ris? s? formul?s Bayes. N?se formula e specifikuar nuk ?sht? e zbatueshme, problemi i nd?rtimit t? modifikimit t? saj zgjidhet, duke siguruar q? t? merren parasysh prova t? ndryshme t? vetme dhe t? merren rezultate t? sakta. Duke p?rdorur t? dh?na fillestare specifike si shembull, u krye nj? vler?sim krahasues i rezultateve:

E pasakt? - e marr? duke p?rdorur formul?n Bayes;

E sakt? - llogaritet duke p?rdorur modifikimin e propozuar.

Dispozitat fillestare. Deklaratat e dh?na m? posht? do t? bazohen n? parimin e ruajtjes s? raporteve t? probabilitetit: “P?rpunimi i sakt? i probabiliteteve t? ngjarjeve ?sht? i realizuesh?m vet?m me normalizimin duke p?rdorur nj? pjes?tues normalizues t? p?rbashk?t, i cili siguron q? raportet e probabiliteteve t? normalizuara t? jen? t? barabarta me raportet e probabiliteteve t? normalizuara p?rkat?se. .” Ky parim paraqet baz?n subjektive t? teoris? s? probabilitetit, por nuk ?sht? pasqyruar si? duhet n? literatur?n moderne arsimore dhe shkencore-teknike.

N?se shkelet ky parim, informacioni p?r shkall?n e mund?sis? s? ngjarjeve n? shqyrtim shtremb?rohet. Rezultatet dhe vendimet e marra bazuar n? informacione t? shtremb?ruara rezultojn? t? pap?rshtatshme ndaj t? dh?nave reale statistikore.

Ky artikull do t? p?rdor? konceptet e m?poshtme:

Nj? ngjarje elementare ?sht? nj? ngjarje q? nuk ?sht? e ndashme n? elemente;

Ngjarje e kombinuar - nj? ngjarje q? p?rfaq?son nj? ose nj? tjet?r kombinim t? ngjarjeve elementare;

Ngjarjet e p?rputhshme jan? ngjarje q? n? disa raste t? vler?simit krahasues t? probabiliteteve t? tyre mund t? jen? t? papajtueshme, dhe n? raste t? tjera t? pajtueshme;

Ngjarjet e papajtueshme jan? ngjarje q? jan? t? papajtueshme n? t? gjitha rastet.

Sipas teorem?s s? shum?zimit t? probabilitetit, probabiliteti P (I ^E) i produktit t? ngjarjeve elementare I ^ dhe

E llogaritet si prodhim i probabiliteteve P(Ik E) = P(E)P(I^E) . N? k?t? drejtim, formula e Bayes ?sht? shpesh

?sht? shkruar n? form?n P(Ik\E) =--- , duke p?rshkruar p?rkufizimin e probabiliteteve t? kusht?zuara t? pasme

Hipotezat P(I^E) Ik (k = 1,...n) bazuar n? normalizimin e probabiliteteve apriori P(I^E) t? ngjarjeve t? kombinuara t? papajtueshme I deri n? E t? marra n? konsiderat? produkt, faktor?t e t? cilit jan? nj? nga hipotezat e konsideruara dhe nj? pjes? e prov?s e marr? n? konsiderat?. N? t? nj?jt?n koh?, ne konsiderojm? gjith?ka

ngjarjet e mundshme IKE (k = 1,...n) formojn? nj? grup t? plot? IKE t? ngjarjeve t? kombinuara t? papajtueshme, p?r shkak t?

me t? cilat probabilitetet e tyre P(Ik E) duhet t? normalizohen duke marr? parasysh formul?n e probabilitetit total, sipas s? cil?s

tufa P(E) = 2 P(Ik)P(E\Ik). Prandaj, formula e Bayes shkruhet m? shpesh n? form?n m? t? p?rdorur:

R(Ik) R(EIk)

P(Ik\E) = -. (1)

^ kation i formul?s s? Bayes.

th Analiza e ve?orive t? nd?rtimit t? formul?s Bayes q? synon zgjidhjen e problemeve t? aplikuara, si dhe shembuj

"dhe zbatimi i tij praktik na lejon t? nxjerrim nj? p?rfundim t? r?nd?sish?m n? lidhje me zgjedhjen e nj? grupi t? plot? ngjarjesh t? kombinuara krahasuar sipas shkall?s s? mund?sis? (secila prej t? cilave ?sht? produkt i dy ngjarjeve elementare - nj?ra nga hipotezat dhe provat e marra n? llogari). Nj? zgjedhje e till? b?het subjektivisht nga vendimmarr?si, bazuar n? t? dh?nat hyr?se objektive t? natyrshme n? kushtet tipike t? situat?s: llojet dhe numri i hipotezave q? vler?sohen dhe evidencat e marra ve?an?risht parasysh.

Probabilitete t? pakrahasueshme t? hipotezave t? dh?na t? vetme t? papajtueshme. Formula e Bayes p?rdoret tradicionalisht n? rastin e p?rcaktimit t? probabiliteteve t? kusht?zuara t? pasme q? nuk jan? t? krahasueshme n? shkall?n e mund?sis?.

probabilitetet e hipotezave H^ dh?n? d?shmi t? vetme t? papajtueshme, secila prej t? cilave mund t? “shfaqet

vet?m n? kombinim me ndonj? nga k?to hipoteza." N? k?t? rast, grupet e plota dhe HkE p?rzgjidhen, kombinohen

ngjarje t? lara n? form?n e produkteve, faktor?t e t? cilave jan? nj? nga d?shmit? c. (1=1,...,t) dhe nj?

prej n hipotezave n? shqyrtim.

Formula e Bayes p?rdoret p?r nj? vler?sim krahasues t? probabiliteteve t? ngjarjeve t? kombinuara t? secilit grup t? till? t? plot?, i cili ndryshon nga grupet e tjera t? plota jo vet?m nga provat e marra parasysh, por edhe n? rastin e p?rgjithsh?m nga llojet e hipotezave H ^ dhe (ose) numrin e tyre n (shih, p?r shembull,)

RNkY = P(Hk) P(eH)

% Р(Нк) Р(Эг\Нк) к = 1

N? rastin e ve?ant? me n = 2

RNk\E,~ P(Hk) P(EN)

% Р(Нк) Р(Э,\Н к) к = 1

dhe rezultatet e marra jan? t? sakta, duke pasur parasysh parimin e ruajtjes s? raporteve t? probabilitetit:

P(H1E,) _ P(H 1)P(E,\H1) / P(H2) P(E,\H2) = P(H 1) P(E,\H1)

Р(Н 2= % РШ1!) РЭ,\Н0 % ^) РЭ,\Н) "Р(Н 2> 2>"

Subjektiviteti i zgjedhjes s? nj? grupi t? plot? ngjarjesh t? kombinuara n? krahasim me shkall?n e mund?sis? (me

nj? ose nj? tjet?r modifikuar nga ngjarje elementare) ju lejon t? zgjidhni nj? grup t? plot? ngjarjesh dhe Hk E ? me

mohimi i ngjarjes elementare E ? () dhe shkruani formul?n e Bayes (1 = 1,...,t) si m? posht?:

P(Hk\E) -=-RNSh±.

% P(Hk)P(E,Hk)

Kjo formul? ?sht? gjithashtu e zbatueshme dhe b?n t? mundur marrjen e rezultateve t? sakta n?se llogaritet

probabilitetet e normalizuara krahasohen sipas hipotezave t? ndryshme n? shqyrtim, por jo n?n prova t? ndryshme.

pun?t. ?^

Probabilitete t? krahasueshme t? hipotezave n?n prova t? vetme t? papajtueshme. Duke gjykuar nga botimet e njohura

p?rdoret p?r vler?simin krahasues t? probabiliteteve t? kusht?zuara t? pasme t? hipotezave p?r prova t? ndryshme t? vetme.

pun?t. N? t? nj?jt?n koh?, nuk i kushtohet v?mendje faktit t? m?posht?m. N? k?to raste, krahasohen probabilitetet ^ t? normalizuara t? ngjarjeve t? kombinuara t? papajtueshme (t? papajtueshme) q? u p?rkasin grupeve t? ndryshme t? plota prej n ngjarjesh. Sidoqoft?, n? k?t? rast, formula e Bayes nuk ?sht? e zbatueshme, pasi krahasohen ngjarjet e kombinuara q? nuk p?rfshihen n? nj? grup t? plot?, normalizimi i probabiliteteve t? t? cilave kryhet duke p?rdorur n pjes?tues t? ndrysh?m normalizues. Probabilitetet e normalizuara t? ngjarjeve t? kombinuara t? papajtueshme (t? papajtueshme) mund t? krahasohen vet?m n?se i p?rkasin t? nj?jtit grup t? plot? ngjarjesh dhe jan? normalizuar?3 duke p?rdorur pjes?tues i p?rbashk?t, e barabart? me shum?n e probabiliteteve t? t? gjitha ngjarjeve t? normalizuara t? p?rfshira n? § t? plot?

N? p?rgjith?si, t? m?poshtmet mund t? konsiderohen prova t? papajtueshme:

Dy prova (p?r shembull, prova dhe mohimi i saj); ^

Tre certifikata (p?r shembull, n? situata e loj?s fitoni, humbni dhe barazoni); ^

Kat?r certifikata (n? ve?anti, n? sport, fitore, humbje, barazim dhe riluajtje), etj. ^

Le t? shqyrtojm? nj? shembull mjaft t? thjesht? (q? korrespondon me shembullin e dh?n? n?) t? p?rdorimit t? formul?s Bayes ^ p?r t? p?rcaktuar probabilitetet e pasme t? kusht?zuara t? hipotez?s H ^ p?r dy ngjarje t? papajtueshme n?

n? form?n e prov?s L]- dhe mohimi i saj L]

P(H,k) - ^ . ^ P(A^k", (2)

] E R(Hk> R(A]\vk> k - 1

? _ P(HkA ]) P(Hk> P(A ]\nc>

P(H,\A,) ----k-]-. (3)

V k\L]> P(A> fq

] E R(Hk) R(A]\Hk) n? -1

N? rastet (2) dhe (3), grupet e plota t? p?rzgjedhura subjektivisht krahasohen sipas shkall?s s? mund?sis? s? kom-

ngjarjet e lidhura jan? p?rkat?sisht bashk?sit? dhe H n? A dhe dhe H n? A. Ky ?sht? rasti kur formula

k-1 k] k-1 k]

Bayes nuk ?sht? i zbatuesh?m, pasi parimi i ruajtjes s? raporteve t? probabilitetit ?sht? shkelur - barazia e raporteve t? probabiliteteve t? normalizuara me raportet e probabiliteteve p?rkat?se t? normalizuara nuk respektohet:

P(N n? A]] P(Nk) P(A]\Nk) / P(Nk) P(A]\Nk) P(Nk) P(A] Nk)

P(Nk E P(Nk) P(A]\Nk)/ E P(Nk) P(A]\Nk) P(Nk) P(A] Nk)

k - 1 /k - 1 Sipas parimit t? ruajtjes s? raporteve t? probabilitetit, p?rpunimi i sakt? i probabiliteteve t? ngjarjeve ?sht? i mundur vet?m kur normalizohet duke p?rdorur nj? pjes?tues normalizues t? p?rbashk?t t? barabart? me shum?n e t? gjitha shprehjeve t? normalizuara t? krahasuara. Kjo ?sht? arsyeja pse

E R(Hk)R(A]\Hk) + E R(Hk)R(A]\Hk) - E R(Hk)[P(A]\Hk) + P(Hk) P(A]\Hk )] - EP (Hk) - 1. n? -1 n? -1 n? -1 n? -1

K?shtu, zbulohet fakti se ekzistojn? varietete t? formul?s s? Bayes q? ndryshojn? nga

i njohur p?r munges?n e nj? pjes?tuesi normalizues:

А,) - Р(Н) Р(А]\Нк), Р(Нк А,) - Р(Н) Р(А, Нк). (4)

J te I ?> te

N? k?t? rast, v?rehet barazia e raporteve t? probabiliteteve t? normalizuara me raportet e probabiliteteve p?rkat?se t? normalizuara:

t^A^ P(Hk) P(A]\Hk)

A,) R(N k) R(A,Hk)

Bazuar n? zgjedhjen subjektive t? grupeve t? plota t? regjistruara n? m?nyr? jokonvencionale t? ngjarjeve t? kombinuara t? papajtueshme, ?sht? e mundur t? rritet numri i modifikimeve t? formul?s Bayes, duke p?rfshir? d?shmit?, si dhe nj? num?r t? caktuar t? mohimeve t? tyre. P?r shembull, grupi m? i plot? i ngjarjeve t? kombinuara

dhe dhe Hk /"./ ^ dhe dhe Hk Yo\ korrespondon (duke marr? parasysh munges?n e nj? pjes?tuesi normalizues) modifikimin e formul?s; =1 A"=1 ; =1 ly Bayesian

Р(Нк\~) - Р(Н к) ПЁ^^^

ku nj? ngjarje elementare n? form?n e prov?s E\ e II II / "/ ?sht? nj? nga elementet e shum?fishimit t? specifikuar

o N? munges? t? mohimeve t? provave, pra kur Ё\ = // e dhe /"./,

^ P(H\E) P(Hk) P(E,\Hk)

E R(Hk) R(E\Hk) k - 1

K?shtu, nj? modifikim i formul?s s? Bayes, q? synon t? p?rcaktoj? probabilitete t? kusht?zuara t? hipotezave t? krahasueshme n? shkall?n e mund?sis? n?n prova t? vetme t? papajtueshme, duket si m? posht?. Num?ruesi p?rmban probabilitetin e normalizuar t? nj? prej ngjarjeve t? kombinuara t? papajtueshme q? formojn? nj? grup t? plot?, t? shprehur si produkt i probabiliteteve a priori, dhe em?ruesi p?rmban shum?n e t? gjitha

probabilitete t? normalizuara. N? k?t? rast, respektohet parimi i ruajtjes s? raporteve t? probabilitetit - dhe rezultati i marr? ?sht? i sakt?.

Probabilitetet e hipotezave t? dh?na nj? d?shmi e vetme konsistente. Formulat e Bayes p?rdoren tradicionalisht p?r t? p?rcaktuar probabilitete t? krahasueshme t? kusht?zuara t? pasme t? hipotezave Hk (k = 1,...,n) duke pasur parasysh nj? nga disa prova t? konsideruara t? pajtueshme EL (1 = 1,...,m). N? ve?anti (shih

p?r shembull, dhe ), kur p?rcaktohen probabilitetet e pasme t? kusht?zuara P(H 1E^) dhe P(H 1 E2) p?r secil?n nga dy provat e pajtueshme E1 dhe E2, p?rdoren formulat e form?s:

P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1- dhe P(H J E 2) =--1-. (5)

I P(Hk) PE\Hk) I P(Hk) P(E2 Hk)

k = 1 k = 1 Ju lutemi vini re se ky ?sht? nj? rast tjet?r ku formula e Bayes nuk ?sht? e zbatueshme. P?r m? tep?r, n? k?t? rast duhet t? eliminohen dy mang?si:

Normalizimi i ilustruar i probabiliteteve t? ngjarjeve t? kombinuara ?sht? i pasakt?, p?r faktin se ngjarjet n? shqyrtim i p?rkasin grupeve t? ndryshme t? plota;

T? dh?nat simbolike t? ngjarjeve t? kombinuara HkEx dhe HkE2 nuk pasqyrojn? faktin q? provat e marra parasysh E x dhe E 2 jan? t? pajtueshme.

P?r t? eliminuar penges?n e fundit, mund t? p?rdoret nj? regjistrim m? i detajuar i ngjarjeve t? kombinuara, duke marr? parasysh faktin se provat e pajtueshme E1 dhe E2 n? disa raste mund t? jen? t? papajtueshme, dhe n? t? tjera t? pajtueshme:

HkE1 = HkE1 E2 dhe HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, ku E1 dhe E 2 jan? prova n? kund?rshtim me E1 dhe E 2.

Natyrisht, n? raste t? tilla produkti i ngjarjeve Hk E1E2 merret parasysh dy her?. P?rve? k?saj, mund t? merret parasysh p?rs?ri ve?mas, por kjo nuk ndodh. Fakti ?sht? se n? situat?n n? shqyrtim, situata e vler?suar ndikohet nga tre ngjarje t? kombinuara t? mundshme t? papajtueshme: HkE1E2, HkE 1E2 dhe

Hk E1E2. N? t? nj?jt?n koh?, vendimmarr?si ?sht? i interesuar t? vler?soj? vet?m shkall?n e mund?sis?

dy ngjarje t? kombinuara t? papajtueshme: HkE1 E2 dhe HkE 1E2, q? korrespondon me marrjen n? konsiderat? vet?m g

certifikata t? vetme. ?Ts

K?shtu, kur nd?rtohet nj? modifikim i formul?s Bayes p?r p?rcaktimin e vlerave t? kusht?zuara a posteriori,

Probabilitetet e hipotezave me prova t? vetme t? pajtueshme duhet t? bazohen n? sa vijon. Personi q? pranoi- ^

duke marr? nj? vendim, ?sht? i interesuar se ?far? lloj ngjarje elementare p?rfaq?sohet nga kjo apo ajo d?shmi

numrat n? shqyrtim kan? ndodhur n? t? v?rtet? n? kushte specifike. N?se nj? ngjarje tjet?r elementare ndodh n? K

n? form?n e nj? certifikate t? vetme, k?rkohet rishikimi i vendimit bazuar n? rezultatet e nj? vler?simi krahasues

probabilitetet e pasme t? kusht?zuara t? hipotezave me konsiderat? t? domosdoshme t? kushteve t? tjera q? ndikojn? n? totalin real

instalimi 3

Le t? prezantojm? sh?nimin e m?posht?m: HkE- p?r nj? (dhe vet?m nj?) t? kombinuar t? papajtuesh?m bashk?-^

ekzistenca, q? konsiston n? faktin se nga m> 1 ngjarje elementare Ei (i = 1,...,m) n? shqyrtim, s? bashku me hipotez?n “

Hk nj? ngjarje elementare Ex ka ndodhur dhe nuk ka ndodhur asnj? ngjarje tjet?r elementare. se"

N? rastin m? t? thjesht?, merren parasysh dy prova t? vetme t? papajtueshme. N?se konfirmohet

nj? prej tyre pritet, probabiliteti i kusht?zuar i prov?s n? pamje e p?rgjithshme shprehur me formul?n l

P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) g

Vlefshm?ria e formul?s mund t? shihet qart? (Fig. 1).

Oriz. 1. Interpretimi gjeometrik i llogaritjes s? P(Hk E-) p?r / = 1,...,2 Me d?shmi t? pavarura kushtimisht

P(K1K2\Hk) = p(E\Hk)P(E2\Hk),

prandaj, duke marr? parasysh (6)

P(Hk E-) = PE Nk) - P(E1 Nk) P(E21Hk) , = 1,.,2. (7)

N? m?nyr? t? ngjashme, probabiliteti P(HkE-) i nj? prej tre (/ = 1,...,3) ngjarjeve t? papajtueshme HkE^ shprehet me formul?n

P?r shembull, kur i = 1:

p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk) ] + P(EiE2E3Hk)

p(HkE-) = P(E7|Hk)- P(E]E^Hk)- P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)

Vlefshm?ria e k?saj formule konfirmohet qart? nga interpretimi gjeometrik i paraqitur n?

Oriz. 2. Interpretimi gjeometrik i llogaritjes s? P(Hk E-) p?r / = 1,...,3

Mund t? v?rtetohet me induksion matematikor formul? e p?rgjithshme p?r probabilitetin P(Hk E-) p?r ?do sasi d?shmie e, 0=1,...,t):

P(HkE-) = P(E,Hk)- t RE\Hk) P(E]\Hk) + 1 P(E\Hk) P(E]\Hk) P(E^Hk) +??? + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

Duke p?rdorur teorem?n e shum?zimit t? probabilitetit, ne shkruajm? probabilitetin e kusht?zuar P(HkE~-) n? dy forma:

^ nga ku rrjedh se

P(Hk E -) = P(H k) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk

E-)= P(HkE-) "" P(E-)

Duke p?rdorur formul?n e probabilitetit total P(Ei) = S P(H?) P(Ei Hk) rezulton se

E-) = P(HkET)

2 P(HkE-) k = 1

Duke z?vend?suar shprehjet p?r P(HkE-) n? form?n e an?s s? djatht? t? (8) n? formul?n q? rezulton, marrim form?n p?rfundimtare t? formul?s p?r p?rcaktimin e probabiliteteve t? kusht?zuara t? pasme t? hipotezave H^ (k = 1, ... ,n) p?r nj? nga disa d?shmi t? vetme t? konsideruara t? papajtueshme: (E^\Hk)

P(Nk)[P(E,\Nk) - 2 P(E,\Nk) P(Er k) +...+ (-1)t-1 P(P P(Erk)] P(N, E ~) =-] = 1(] * ?----(9)

deri n? 1 p t t t

2 P(N k) 2 [P(E,\N k) - 2 P(EgHk) P(E^Hk) + ...+ (-1)m-1 P(P P (Ep k)]

k=1 , = 1 ) = 1() *,) ?! =1

Vler?sime krahasuese. Mjaft e thjesht? por shembuj ilustrues, i kufizuar n? analiz?n e probabiliteteve t? llogaritura t? kusht?zuara t? pasme t? nj?r?s prej dy hipotezave t? dh?na dy prova t? vetme. 1. Probabilitetet e hipotezave t? dh?na prova t? vetme t? paq?ndrueshme. Le t? krahasojm? rezultatet e marra duke p?rdorur formulat e Bayes (2) dhe (3), duke p?rdorur shembullin e dy d?shmive L. = L dhe L. = L me t? dh?nat fillestare:

Р(Н1 = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(Л| Н^ = 0,1; Р(Л\н 1) = 0,9; Р(Л\Н2) = 0,6; P(L\H2) = 0,4. N? shembujt e konsideruar me hipotez?n H1, formulat tradicionale (2) dhe (3) ?ojn? n? rezultatet e m?poshtme:

R(N.) R(A\Jo 0 07

P(N, L) =-- 11 = - = 0,28,

2 Р(Н к) Р(А\Нк) к = 1

R(N L R(A\N 1) 0 63

P(N, L) =-- 11 = - = 0,84,

2 Р(Нк) Р(А\Нк) к = 1

duke formuar ndarje P(H 1 A) = P(H^ P(L\Hp = 0.07; P(H^ A) = P(H1) P(l|H^ = 0.63. 1acionet e formulave t? propozuara n? lidhje me:

R<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

dhe me formulat e propozuara (4), t? cilat nuk kan? pjes?tues normalizues: “dhe

K?shtu, n? rastin e aplikimit t? formulave t? propozuara, raporti i probabiliteteve t? normalizuara ?sht? i barabart? me raportin e probabiliteteve t? normalizuara: K

gt f P(N 1) P(A\N 1) A11 |

Kur p?rdoren formula t? njohura me t? nj?jtin raport -;-=-= 0,11 veron i normalizuar

Р(Н 1) Р(А\Н 1) «§

probabilitetet e treguara n? num?rues, raporti i probabiliteteve t? normalizuara q? rezultojn?: 2

Р(Н 1) Р(А\Н 1) Р(А\Н 1) 0,63

P(N1 L) = 0,28 P(N 1 L) = 0,84

Kjo do t? thot?, nuk respektohet parimi i ruajtjes s? raporteve t? probabilitetit dhe merren rezultate t? pasakta. N? t? nj?jt?n koh? ?

n? rastin e p?rdorimit t? formulave t? njohura, vlera e devijimit relativ t? raportit (11) t? probabiliteteve t? kusht?zuara t? pasme t? hipotezave nga rezultatet e sakta (10) rezulton t? jet? shum? dometh?n?se, pasi arrin n?

°.33 - °.P x 100 = 242%.. I

2. Probabilitetet e hipotezave t? dh?na prova t? p?rputhshme t? vetme. Le t? krahasojm? rezultatet e marra duke p?rdorur formulat Bayes (5) dhe modifikimin e sakt? t? nd?rtuar (9), duke p?rdorur t? dh?nat fillestare t? m?poshtme: ^

P(H1 = 0,7; P(H2) = 0,3; P(E1H1) = 0,4; P(E2H1) = 0,8; P(E1\H2) = 0,7; P(E^ H2) = 0,2.

N? shembujt e konsideruar me hipotez?n H 2 n? rastin e p?rdorimit t? formulave tradicionale (5):

P(H 2) P(E1 H 2) Q, 21

P(H 2 E1) = -2-!-2- = - = Q,429,

I p(Hk) p(El Hk) k = 1

P(H 2) P(E 2 H 2) Q,Q6

P(H 2 E 2) = -2-- = - = 0,097.

I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1

N? rastin e aplikimit t? formul?s s? propozuar (9) duke marr? parasysh (7) P(H

P(H2) 0,168

E.) ----- 0,291,

Z P(Hk) Z"

P(H2) 0,018

E0) ----- 0,031.

Z P(Hk) Z k - 1 i - 1

Kur p?rdorni formulat e sakta t? propozuara, p?r shkak t? em?ruesve t? nj?jt?, raporti P(H2) -

Probabilitetet e normalizuara t? treguara n? num?rues jan? t? barabarta me raportin

P(H2)

probabilitete t? normalizuara:

Kjo do t? thot?, respektohet parimi i ruajtjes s? raporteve t? probabilitetit.

Sidoqoft?, n? rastin e p?rdorimit t? formulave t? njohura me raportin e probabiliteteve t? normalizuara t? treguara n? num?rues

P(H 2) P(E1\H 2) _ 0,21 _3 5 P(H 2) P(E 2 H 2) 0,06,

raporti i probabiliteteve t? normalizuara:

P(H 2 = 0,429 = 4,423. (13)

P(H 2\e2) 0,097

Kjo do t? thot?, parimi i ruajtjes s? raporteve t? probabilitetit, si m? par?, nuk respektohet. P?r m? tep?r, n? rastin e p?rdorimit t? formulave t? njohura, vlera e devijimit relativ t? raportit (13) t? probabiliteteve t? kusht?zuara t? pasme t? hipotezave nga rezultatet e sakta (12) rezulton gjithashtu t? jet? shum? dometh?n?se:

9,387 4,423 x 100 = 52,9%.

konkluzioni. Analiza e nd?rtimit t? marr?dh?nieve t? formul?s specifike q? zbatojn? formul?n Bayes dhe modifikimet e saj t? propozuara p?r zgjidhjen e problemeve praktike na lejon t? themi sa vijon. Grupi i plot? i ngjarjeve t? kombinuara t? krahasueshme mund t? zgjidhet subjektivisht nga vendimmarr?si. Kjo zgjedhje bazohet n? t? dh?nat fillestare objektive t? marra parasysh karakteristike t? nj? mjedisi tipik (llojet specifike dhe numri i ngjarjeve elementare - hipotezat dhe provat e vler?suara). Me interes praktik ?sht? zgjedhja subjektive e opsioneve t? tjera p?r grupin e plot? krahasuar p?r nga shkalla e mund?sis?.

ity e ngjarjeve t? kombinuara - duke siguruar k?shtu nj? shum?llojshm?ri t? konsiderueshme t? marr?dh?nieve t? formul?s kur nd?rtojm? variante jo tradicionale t? modifikimeve t? formul?s Bayes. Kjo, nga ana tjet?r, mund t? jet? baza p?r p?rmir?simin e mb?shtetjes matematikore t? zbatimit t? softuerit, si dhe zgjerimin e fush?s s? aplikimit t? marr?dh?nieve t? formul?s s? re p?r zgjidhjen e problemeve t? aplikuara.

Bibliografia

1. Gnedenko, B. V. Nj? hyrje elementare n? teorin? e probabilitetit / B. V. Gnedenko, A. Ya. Khin?in. - 114 New York: Dover Publications, 1962. - 144 r.

2. Ventzel, E. S. Teoria e Probabilitetit / E. S. Ventzel. - Botimi i 10-t?, i fshir?. - Mosk?: Shkolla e Lart?, 2006. - 575 f.

3. Andronov. A. M., Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore / A. M. Andronov, E. A. Kopytov, L. Gringlaz. - Sh?n Petersburg: Peter, 2004. - 481 f.

4. Zmitrovich, A. I. Sistemet inteligjente t? informacionit / A. I. Zmitrovich. - Minsk: TetraSystems, 1997. - 496 f.

5. Chernorutsky, I. G. Metodat e vendimmarrjes / I. G. Chernorutsky. - Sh?n Petersburg: BHV-Petersburg, 2005. - 416 f.

6. Naylor, C.-M. Nd?rtoni sistemin tuaj t? ekspert?ve / C.-M. Naylor. - Chichester: John Wiley & Sons, 1987. - 289 f.

7. Romanov, V. P. Sistemet inteligjente t? informacionit n? ekonomi / V. P. Romanov. - Botimi i dyt?, i fshir?.

Mosk?: Provim, 2007. - 496 f.

8. Efi?enca ekonomike dhe konkurrenca / D. Yu. - Tambov: Sht?pia Botuese Tamb. shteti teknologjis?. Universiteti, 2007.- 96 f.

9. Dolgov, A. I. Modifikimet e sakta t? formul?s Bayes p?r programimin paralel / A. I. Dolgov // Teknologjit? e superkompjuter?ve: materialet e 3-t? All-Russian. shkencore-teknike konf. - Rostov-on-Don. - 2014.- T. 1 - F. 122-126.

10. Dolgov, A. I. Mbi korrekt?sin? e modifikimeve t? formul?s Bayes / A. I. Dolgov // Vestnik Don. shteti teknologjis?. un-ta.

2014. - T. 14, nr 3 (78). - F. 13-20.

1. Gnedenko, B.V., Khinchin, A.Ya. Nj? hyrje elementare n? teorin? e probabilitetit. New York: Dover Publications, 1962, 144 r.

2. Ventsel, E.S. Teoriya veroyatnostey.

Ed. 10, reimpr. Mosk?: Vysshaya shkola, 2006, 575 f. (n? rusisht).

3. Andronov, A.M., Kopytov, E.A., Gringlaz, L.Y. Teoriya veroyatnostey dhe statistika matematicheskaya.

Sh?n Petersburg: Piter, 2004, 481 f. (n? rusisht).

6. Naylor, C.-M. Nd?rtoni sistemin tuaj t? ekspert?ve. Chichester: John Wiley & Sons, 1987, 289 f.

7. Romanov, V.P. Intellektual"nye informatsionnye sistemy v ekonomike. 2nd ed., reimpr. Moscow: Ekzamen, 2007, 496 f. (n? rusisht).

8. Muromtsev, D.Y., et al. Efektivnost ekonomik" dhe konkurentosposobnost".

Tambov: Izd-vo Tamb. shkon. tekhn. un-ta, 2007, 96 f. (n? rusisht). I.B.

9. Dolgov, A1. Korrektnye modifikatsii formuly Bayesa dlya paralel"nogo programmirovaniya. Superkomp"yuternye tekhnologii: mat-ly 3-y vseros. nauch-tekn. konf.

Rostov-on-Don, 2014, v?ll. 1, fq. 122-126 (n? Rusisht). ^ 10. Dolgov, A1. O korrektnosti modifikatsiy formully Bayesa.^ Vestnik i DSTU, 2014, v?ll. 14, nr. 3 (78), fq. 13-20 (n? rusisht). * Le t? fillojm? me nj? shembull. N? urn?n p?rball? jush, me probabilitet t? barabart?

mund t? ket? (1) dy topa t? bardh?, (2) nj? t? bardh? dhe nj? t? zi, (3) dy t? zeza. E t?rhiqni topin dhe ai rezulton t? jet? i bardh?. Si do ta vler?sonit tani?

X probabiliteti k?to tre opsione (hipoteza)? Natyrisht, probabiliteti i hipotez?s (3) me dy topa t? zinj = 0. Por si t? llogariten probabilitetet e dy hipotezave t? mbetura!? Kjo mund t? b?het me formul?n Bayes, e cila n? rastin ton? ka form?n (numri i formul?s korrespondon me numrin e hipotez?s q? testohet): Shkarkoni sh?nimin n? ose – nj? ndryshore e rast?sishme (hipotez?) q? merr vlerat e m?poshtme: x 1 - dy t? bardha, x 2 n?– nj? e bardh?, nj? e zez?; x 3– dy t? zeza; – variabla e rast?sishme (ngjarje) merr vlera: n? 1 – nxirret nj? top i bardh? dhe n? 2 – nxirret nj? top i zi; P(x 1) te– probabiliteti i hipotez?s s? par? p?rpara se t? vizatoj? topin ( a priori gjasat ose mund?sit? p?rvoj?) = 1/3; P(x 2) – probabiliteti i hipotez?s s? dyt? para t?rheqjes s? topit = 1/3;|P(x 3)– probabiliteti i hipotez?s s? tret? para t?rheqjes s? topit = 1/3; – probabiliteti i hipotez?s s? dyt? para t?rheqjes s? topit = 1/3;|P(y 1 – x 1) – probabiliteti i hipotez?s s? dyt? para t?rheqjes s? topit = 1/3;|– probabiliteti i kusht?zuar p?r t? vizatuar nj? top t? bardh?, n?se hipoteza e par? ?sht? e v?rtet? (topat jan? t? bardh?) = 1; – x 2) probabiliteti p?r t? vizatuar nj? top t? bardh? n?se hipoteza e dyt? ?sht? e v?rtet? (nj? top ?sht? i bardh?, i dyti ?sht? i zi) = 1/2 ; x 3) probabiliteti p?r t? vizatuar nj? top t? bardh? n?se hipoteza e tret? ?sht? e v?rtet? (t? dyja t? zeza) = 0; P(y 1) – probabiliteti p?r t? vizatuar nj? top t? bardh? = 1/2 ;|R(y 2) – – probabiliteti p?r t? vizatuar nj? top t? zi = 1/2 ; dhe s? fundi, ajo q? ne po k?rkojm? - a posteriori P(x 1) pas P (x 1 y 1)|R(y 2) – probabiliteti q? hipoteza e par? t? jet? e v?rtet? (t? dy topat jan? t? bardh?), duke pasur parasysh q? ne vizatuam nj? top t? bardh? (

Probabiliteti q? hipoteza e par? (dy t? bardha) t? jet? e v?rtet?, duke pasur parasysh q? kemi vizatuar nj? top t? bardh?:

Probabiliteti q? hipoteza e dyt? t? jet? e v?rtet? (nj?ra ?sht? e bardh?, tjetra ?sht? e zez?), me kusht q? t? vizatojm? nj? top t? bardh?:

Probabiliteti q? hipoteza e tret? t? jet? e v?rtet? (dy t? zeza), duke pasur parasysh q? ne vizatuam nj? top t? bardh?:

?far? b?n formula e Bayes? Ai b?n t? mundur, bazuar n? probabilitetet a priori t? hipotezave - P(x 1), P(x 2), p?rvoj?) = 1/3;- dhe probabilitetet e ndodhjes s? ngjarjeve - P (y 1), probabiliteti p?r t? vizatuar nj? top t? bardh? n?se hipoteza e tret? ?sht? e v?rtet? (t? dyja t? zeza) = 0;- llogaritni probabilitetet e pasme t? hipotezave, p?r shembull, probabilitetin e hipotez?s s? par?, me kusht q? t? vizatohet nj? top i bardh? - – probabiliteti p?r t? vizatuar nj? top t? bardh? = 1/2 ;|R(y 2).

Le t? kthehemi edhe nj? her? n? formul?n (1). Probabiliteti fillestar i hipotez?s s? par? ishte P(x 1) = 1/3. Me probabilitet P(y 1) = 1/2 ne mund t? vizatojm? nj? top t? bardh?, dhe me gjas? P(y 2) = 1/2- e zez?. E kemi nxjerr? t? bardh?n. Probabiliteti i vizatimit t? bardh?, me kusht q? hipoteza e par? t? jet? e v?rtet? – probabiliteti i hipotez?s s? dyt? para t?rheqjes s? topit = 1/3;|x 1) = 1. Formula e Bayes thot? se q? kur ?sht? t?rhequr e bardha, probabiliteti i hipotez?s s? par? ?sht? rritur n? 2/3, probabiliteti i hipotez?s s? dyt? ?sht? ende 1/3 dhe probabiliteti i hipotez?s s? tret? ?sht? b?r? zero.

?sht? e leht? t? kontrollosh q? n?se nxirrnim nj? top t? zi, probabilitetet e pasme do t? ndryshonin n? m?nyr? simetrike: – probabiliteti p?r t? vizatuar nj? top t? bardh? = 1/2 ;|y 2) = 0, P (x 2|y 2) = 1/3, P(x 3|y 2) = 2/3.

Ja ?far? shkroi Pierre Simon Laplace p?r formul?n e Bayes n? nj? vep?r t? botuar n? 1814:

Ky ?sht? parimi baz? i asaj dege t? analiz?s s? kontigjenc?s q? merret me kalimet nga ngjarjet n? shkaqe.

Pse formula e Bayes ?sht? kaq e v?shtir? p?r t'u kuptuar!? Sipas mendimit tim, sepse qasja jon? e zakonshme ?sht? arsyetimi nga shkaqet n? pasoja. P?r shembull, n?se ka 36 topa n? nj? urn?, 6 prej t? cilave jan? t? zeza dhe pjesa tjet?r jan? t? bardha. Sa ?sht? probabiliteti p?r t? vizatuar nj? top t? bardh?? Formula e Bayes ju lejon t? kaloni nga ngjarjet n? arsye (hipoteza). N?se do t? kishim tre hipoteza dhe nj? ngjarje ndodhi, si ka ndikuar sakt?sisht ajo ngjarje (dhe jo alternativa) n? probabilitetet fillestare t? hipotezave? Si kan? ndryshuar k?to probabilitete?

Un? besoj se formula e Bayes nuk ka t? b?j? vet?m me probabilitetet. Ajo ndryshon paradigm?n e perceptimit. Cili ?sht? procesi i t? menduarit kur p?rdoret paradigma deterministe? N?se ka ndodhur nj? ngjarje, cili ishte shkaku i saj? N?se ka pasur nj? aksident, emergjenc?, konflikt ushtarak. Kush apo cili ishte faji i tyre? ?far? mendon nj? v?zhgues Bayesian? Cila ?sht? struktura e realitetit q? ?oi n? dh?n? rasti ndaj nj? manifestimi t? till? dhe atij... Bajeziani e kupton se n? ndryshe N? k?t? rast, rezultati mund t? ishte i ndrysh?m...

Le t'i vendosim simbolet n? formulat (1) dhe (2) pak m? ndryshe:

Le t? flasim p?rs?ri p?r at? q? shohim. Me probabilitet t? barabart? fillestar (apriori), nj? nga tre hipotezat mund t? jet? e v?rtet?. Me probabilitet t? barabart? mund t? vizatojm? nj? top t? bardh? ose t? zi. E kemi nxjerr? t? bardh?n. N? drit?n e k?tij informacioni t? ri shtes?, vler?simi yn? i hipotezave duhet t? rishqyrtohet. Formula e Bayes na lejon ta b?jm? k?t? n? m?nyr? numerike. Probabiliteti paraprak i hipotez?s s? par? (formula 7) ishte – nxirret nj? top i bardh? dhe, u vizatua nj? top i bardh?, u b? probabiliteti i pas?m i hipotez?s s? par? – probabiliteti p?r t? vizatuar nj? top t? bardh? = 1/2 ;|n? 1). K?to probabilitete ndryshojn? nga nj? faktor.

Ngjarje x 3 e quajtur prov? q? pak a shum? konfirmon ose hedh posht? nj? hipotez? k?to tre opsione (hipoteza)? Natyrisht, probabiliteti i hipotez?s (3) me dy topa t? zinj = 0. Por si t? llogariten probabilitetet e dy hipotezave t? mbetura!? Kjo mund t? b?het me formul?n Bayes, e cila n? rastin ton? ka form?n (numri i formul?s korrespondon me numrin e hipotez?s q? testohet):. Ky koeficient nganj?her? quhet fuqia e prov?s. Sa m? e fuqishme t? jet? prova (sa m? shum? koeficienti ndryshon nga uniteti), aq m? i madh ?sht? fakti i v?zhgimit x 3 ndryshon probabilitetin e m?parsh?m, aq m? shum? probabiliteti i pas?m ndryshon nga ai i m?parshmi. N?se provat jan? t? dob?ta (koeficienti ~1), probabiliteti i pas?m ?sht? pothuajse i barabart? me at? t? m?parsh?m.

Certifikata x 3 V = 2 her? ndryshuan probabilitetin paraprak t? hipotez?s x 1(formula 4). N? t? nj?jt?n koh?, prova x 3 nuk ka ndryshuar probabilitetin e hipotez?s – nj? ndryshore e rast?sishme (hipotez?) q? merr vlerat e m?poshtme:, q? nga fuqia e saj = 1 (formula 5).

N? p?rgjith?si, formula e Bayes ka form?n e m?poshtme:

X– nj? ndryshore e rast?sishme (nj? grup hipotezash ekskluzive reciproke) q? merr vlerat e m?poshtme: k?to tre opsione (hipoteza)? Natyrisht, probabiliteti i hipotez?s (3) me dy topa t? zinj = 0. Por si t? llogariten probabilitetet e dy hipotezave t? mbetura!? Kjo mund t? b?het me formul?n Bayes, e cila n? rastin ton? ka form?n (numri i formul?s korrespondon me numrin e hipotez?s q? testohet):, – nj? ndryshore e rast?sishme (hipotez?) q? merr vlerat e m?poshtme:, … , Xn. n?– nj? ndryshore e rast?sishme (nj? grup ngjarjesh reciprokisht ekskluzive) q? merr vlerat e m?poshtme: x 3, – variabla e rast?sishme (ngjarje) merr vlera:, … , n?n. Formula e Bayes ju lejon t? gjeni probabilitetin e pas?m t? nj? hipoteze Xi me ndodhjen e nj? ngjarjeje y j. Num?ruesi ?sht? produkt i probabilitetit paraprak t? hipotez?s Xi – P(xi) mbi probabilitetin q? t? ndodh? nj? ngjarje y j, n?se hipoteza ?sht? e v?rtet? Xi – P(y j|xi). Em?ruesi ?sht? shuma e produkteve t? nj?jt? si n? num?rues, por p?r t? gjitha hipotezat. N?se llogarisim em?ruesin, marrim probabilitetin total t? ndodhjes s? ngjarjes n?j(n?se ndonj? nga hipotezat ?sht? e v?rtet?) - P(y j) (si n? formulat 1-3).

Edhe nj? her? p?r d?shmin?. Ngjarje y j jep informacion shtes?, i cili ju lejon t? rishikoni probabilitetin paraprak t? hipotez?s Xi. Fuqia e prov?s - – p?rmban n? num?rues probabilitetin e ndodhjes s? ngjarjes y j, n?se hipoteza ?sht? e v?rtet? Xi. Em?ruesi ?sht? probabiliteti total i ndodhjes s? ngjarjes. n?j(ose probabiliteti q? t? ndodh? nj? ngjarje n?j mesatare mbi t? gjitha hipotezat). n?j m? sip?r p?r hipotez? xi, se sa mesatarja p?r t? gjitha hipotezat, at?her? provat jan? n? dobi t? hipotez?s xi, duke rritur probabilitetin e tij t? pas?m P(y j|xi). N?se probabiliteti i ndodhjes s? nj? ngjarjeje n?j m? posht? p?r hipotez?n xi se mesatarja p?r t? gjitha hipotezat, at?her? provat ul probabilitetin e pas?m P(y j|xi) P?r hipoteza xi. N?se probabiliteti i ndodhjes s? nj? ngjarjeje n?j p?r nj? hipotez? xi?sht? e nj?jt? me mesataren p?r t? gjitha hipotezat, at?her? evidenca nuk e ndryshon probabilitetin e pas?m P(y j|xi) P?r hipoteza xi.

K?tu jan? disa shembuj q? shpresoj se do t? p?rforcojn? t? kuptuarit tuaj t? formul?s s? Bayes.

Problemi 2. Dy gjuajt?s q?llojn? n? m?nyr? t? pavarur n? t? nj?jtin objektiv, secili q?llon nga nj? gjuajtje. Probabiliteti p?r t? goditur objektivin p?r gjuajt?sin e par? ?sht? 0.8, p?r t? dytin - 0.4. Pas t? sht?nave, n? objektiv ?sht? gjetur nj? vrim?. Gjeni probabilitetin q? kjo vrim? i p?rket gjuajt?sit t? par?. .

Detyra 3. Objekti q? monitorohet mund t? jet? n? nj? nga dy gjendjet: H 1 = (funksionon) dhe H 2 = (nuk funksionon). Probabilitetet paraprake t? k?tyre gjendjeve jan? P(H 1) = 0.7, P(H 2) = 0.3. Ekzistojn? dy burime informacioni q? ofrojn? informacione kontradiktore p?r gjendjen e objektit; burimi i par? raporton se objekti nuk funksionon, i dyti - se ?sht? duke funksionuar. Dihet se burimi i par? jep informacion t? sakt? me nj? probabilitet prej 0.9, dhe me nj? probabilitet prej 0.1 - informacion t? pasakt?. Burimi i dyt? ?sht? m? pak i besuesh?m: ai jep informacion t? sakt? me nj? probabilitet prej 0.7 dhe informacion t? pasakt? me nj? probabilitet prej 0.3. Gjeni probabilitetet e pasme t? hipotezave. .

Problemet 1–3 jan? marr? nga libri shkollor nga E.S. Ventzel, L.A. Ovcharov. Teoria e probabilitetit dhe aplikimet e saj inxhinierike, seksioni 2.6 Teorema e hipotez?s (formula Bayes).

Problemi 4 marr? nga libri, seksioni 4.3 Teorema e Bayes.