Logaritmi i nj? numri pozitiv b p?r baz?n a (a>0, a nuk ?sht? i barabart? me 1) ?sht? nj? num?r c i till? q? a c = b: log a b = c <=> a c = b (a > 0, a ? 1, b > 0)       

Vini re se logaritmi i nj? numri jo pozitiv ?sht? i pap?rcaktuar. P?r m? tep?r, baza e logaritmit duhet t? jet? nj? num?r pozitiv q? nuk ?sht? i barabart? me 1. P?r shembull, n?se vendosim n? katror -2, marrim numrin 4, por kjo nuk do t? thot? se logaritmi baz? -2 i 4 ?sht? i barabart?. tek 2.

Identiteti baz? logaritmik

a log a b = b (a > 0, a ? 1) (2)

?sht? e r?nd?sishme q? shtrirja e p?rcaktimit t? an?s s? djatht? dhe t? majt? t? k?saj formule t? jet? e ndryshme. Ana e majt? p?rcaktohet vet?m p?r b>0, a>0 dhe a ? 1. Ana e djatht? p?rcaktohet p?r ?do b dhe nuk varet fare nga a. K?shtu, aplikimi i "identitetit" baz? logaritmik gjat? zgjidhjes s? ekuacioneve dhe pabarazive mund t? ?oj? n? nj? ndryshim n? OD.

Dy pasoja t? dukshme t? p?rkufizimit t? logaritmit

log a a = 1 (a > 0, a ? 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ? 1) (4)

N? t? v?rtet?, kur e ngrem? numrin a n? fuqin? e par?, marrim t? nj?jtin num?r, dhe kur e ngrem? at? n? fuqin? zero, marrim nj?.

Logaritmi i prodhimit dhe logaritmi i her?sit

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0) (6)

Un? do t? doja t? paralajm?roja nx?n?sit e shkollave q? t? mos p?rdorin pa menduar k?to formula kur zgjidhin ekuacionet logaritmike dhe pabarazit?. Kur i p?rdorni ato "nga e majta n? t? djatht?", ODZ ngushtohet dhe kur l?viz nga shuma ose diferenca e logaritmeve n? logaritmin e produktit ose koeficientit, ODZ zgjerohet.

N? t? v?rtet?, shprehja log a (f (x) g (x)) p?rcaktohet n? dy raste: kur t? dy funksionet jan? rrept?sisht pozitive ose kur f (x) dhe g (x) jan? t? dy m? pak se zero.

Duke e shnd?rruar k?t? shprehje n? shum?n log a f (x) + log a g (x), jemi t? detyruar t? kufizohemi vet?m n? rastin kur f(x)>0 dhe g(x)>0. Ka nj? ngushtim t? gam?s s? vlerave t? pranueshme, dhe kjo ?sht? kategorikisht e papranueshme, pasi mund t? ?oj? n? humbje t? zgjidhjeve. Nj? problem i ngjash?m ekziston p?r formul?n (6).

Shkalla mund t? hiqet nga shenja e logaritmit

log a b p = p log a b (a > 0, a ? 1, b > 0) (7)

Dhe p?rs?ri do t? doja t? b?ja thirrje p?r sakt?si. Merrni parasysh shembullin e m?posht?m:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ana e majt? e barazis? ?sht? e p?rcaktuar qart? p?r t? gjitha vlerat e f(x) p?rve? zeros. Ana e djatht? ?sht? vet?m p?r f(x)>0! Duke hequr shkall?n nga logaritmi, p?rs?ri ngushtojm? ODZ-n?. Procedura e kund?rt ?on n? nj? zgjerim t? gam?s s? vlerave t? pranueshme. T? gjitha k?to v?rejtje vlejn? jo vet?m p?r pushtetin 2, por edhe p?r ?do pushtet t? barabart?.

Formula p?r t? kaluar n? nj? themel t? ri

log a b = log c b log c a (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0, c ? 1) (8)

Ai rast i rrall? kur ODZ nuk ndryshon gjat? transformimit. N?se e keni zgjedhur me men?uri baz?n c (pozitive dhe jo e barabart? me 1), formula p?r t? kaluar n? nj? baz? t? re ?sht? plot?sisht e sigurt.

N?se zgjedhim numrin b si baz?n e re c, marrim nj? rast t? ve?ant? t? r?nd?sish?m t? formul?s (8):

Regjistri a b = 1 log b a (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1) (9)

Disa shembuj t? thjesht? me logaritme

Shembulli 1. Llogaritni: log2 + log50.
Zgjidhje. log2 + log50 = log100 = 2. Ne kemi p?rdorur formul?n e shum?s s? logaritmeve (5) dhe p?rkufizimin e logaritmit dhjetor.

Shembulli 2. Llogaritni: lg125/lg5.
Zgjidhje. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ne p?rdor?m formul?n p?r kalimin n? nj? baz? t? re (8).

Tabela e formulave q? lidhen me logaritmet

a log a b = b (a > 0, a ? 1)

log a a = 1 (a > 0, a ? 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ? 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ? 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0, c ? 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1)

Ne vazhdojm? t? studiojm? logaritmet. N? k?t? artikull do t? flasim p?r llogaritja e logaritmeve, ky proces quhet logaritmi. Fillimisht do t? kuptojm? llogaritjen e logaritmeve sipas definicionit. M? tej, le t? shohim se si gjenden vlerat e logaritmeve duke p?rdorur vetit? e tyre. Pas k?saj, ne do t? fokusohemi n? llogaritjen e logaritmeve p?rmes vlerave t? p?rcaktuara fillimisht t? logaritmeve t? tjera. S? fundi, le t? m?sojm? se si t? p?rdorim tabelat logaritmike. E gjith? teoria jepet me shembuj me zgjidhje t? detajuara.

Navigimi i faqes.

Llogaritja e logaritmeve sipas p?rkufizimit

N? rastet m? t? thjeshta ?sht? e mundur t? kryhet mjaft shpejt dhe leht? gjetja e logaritmit sipas definicionit. Le t? hedhim nj? v?shtrim m? t? af?rt se si ndodh ky proces.

Thelbi i tij ?sht? t? p?rfaq?soj? numrin b n? form?n a c, nga i cili, sipas p?rcaktimit t? nj? logaritmi, numri c ?sht? vlera e logaritmit. Kjo do t? thot?, sipas p?rkufizimit, zinxhiri i m?posht?m i barazive korrespondon me gjetjen e logaritmit: log a b=log a a c =c.

Pra, llogaritja e nj? logaritmi sipas p?rkufizimit zbret n? gjetjen e nj? numri c t? till? q? a c = b, dhe vet? numri c ?sht? vlera e d?shiruar e logaritmit.

Duke marr? parasysh informacionin n? paragraf?t e m?parsh?m, kur numri n?n shenj?n e logaritmit jepet nga nj? fuqi e caktuar e baz?s s? logaritmit, menj?her? mund t? tregoni se me ?far? logaritmi ?sht? i barabart? - ?sht? i barabart? me eksponentin. Le t? tregojm? zgjidhje p?r shembuj.

Shembull.

Gjeni log 2 2 -3, si dhe llogaritni logaritmin natyror t? numrit e 5,3.

Zgjidhje.

P?rkufizimi i logaritmit na lejon t? themi menj?her? se log 2 2 -3 =-3. N? t? v?rtet?, numri n?n shenj?n e logaritmit ?sht? i barabart? me baz?n 2 me fuqin? -3.

N? m?nyr? t? ngjashme, gjejm? logaritmin e dyt?: lne 5.3 =5.3.

P?rgjigje:

log 2 2 -3 =-3 dhe lne 5,3 =5,3.

N?se numri b n?n shenj?n e logaritmit nuk ?sht? specifikuar si fuqi e baz?s s? logaritmit, at?her? duhet t? shikoni me kujdes p?r t? par? n?se ?sht? e mundur t? dilni me nj? paraqitje t? numrit b n? form?n a c. Shpesh kjo paraqitje ?sht? mjaft e dukshme, ve?an?risht kur numri n?n shenj?n e logaritmit ?sht? i barabart? me baz?n me fuqin? 1, ose 2, ose 3, ...

Shembull.

Llogaritni logaritmet log 5 25 , dhe .

Zgjidhje.

?sht? e leht? t? shihet se 25=5 2, kjo ju lejon t? llogaritni logaritmin e par?: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Le t? kalojm? n? llogaritjen e logaritmit t? dyt?. Numri mund t? p?rfaq?sohet si nj? fuqi prej 7: (shiko n?se ?sht? e nevojshme). Prandaj, .

Le t? rishkruajm? logaritmin e tret? n? form?n e m?poshtme. Tani mund ta shihni at? , nga ku konkludojm? se . Prandaj, sipas p?rkufizimit t? logaritmit .

Shkurtimisht, zgjidhja mund t? shkruhet si m? posht?: .

P?rgjigje:

log 5 25=2 , Dhe .

Kur ka nj? num?r mjaftuesh?m t? madh natyror n?n shenj?n e logaritmit, nuk ?sht? e d?mshme ta faktorizojm? at? n? faktor?t kryesor?. Shpesh ndihmon p?r t? p?rfaq?suar nj? num?r t? till? si nj? fuqi e baz?s s? logaritmit, dhe p?r k?t? arsye llogaritja e k?tij logaritmi sipas p?rkufizimit.

Shembull.

Gjeni vler?n e logaritmit.

Zgjidhje.

Disa veti t? logaritmeve ju lejojn? t? specifikoni menj?her? vler?n e logaritmeve. K?to veti p?rfshijn? vetin? e logaritmit t? nj?s dhe vetin? e logaritmit t? nj? numri t? barabart? me baz?n: log 1 1=log a a 0 =0 dhe log a a=log a 1 =1. Dometh?n?, kur n?n shenj?n e logaritmit ?sht? nj? num?r 1 ose nj? num?r a i barabart? me baz?n e logaritmit, at?her? n? k?to raste logaritmet jan? t? barabart? me 0 dhe 1, p?rkat?sisht.

Shembull.

Me ?far? barazohen logaritmet dhe log10?

Zgjidhje.

Meqen?se , at?her? nga p?rkufizimi i logaritmit rrjedh .

N? shembullin e dyt?, numri 10 n?n shenj?n e logaritmit p?rkon me baz?n e tij, pra logaritmi dhjetor i dhjet? ?sht? i barabart? me nj?, pra lg10=lg10 1 =1.

P?rgjigje:

DHE lg10=1.

Vini re se llogaritja e logaritmeve sipas p?rkufizimit (q? e diskutuam n? paragrafin e m?parsh?m) n?nkupton p?rdorimin e barazis? log a a p =p, q? ?sht? nj? nga vetit? e logaritmeve.

N? praktik?, kur nj? num?r n?n shenj?n e logaritmit dhe baz?n e logaritmit p?rfaq?sohen leht?sisht si nj? fuqi e nj? numri t? caktuar, ?sht? shum? e p?rshtatshme t? p?rdoret formula , e cila korrespondon me nj? nga vetit? e logaritmeve. Le t? shqyrtojm? nj? shembull t? gjetjes s? logaritmit, duke ilustruar p?rdorimin e k?saj formule.

Shembull.

Llogaritni logaritmin.

Zgjidhje.

P?rgjigje:

.

Vetit? e logaritmeve q? nuk jan? p?rmendur m? sip?r p?rdoren gjithashtu n? llogaritjet, por ne do t? flasim p?r k?t? n? paragraf?t n? vijim.

Gjetja e logaritmeve p?rmes logaritmeve t? tjera t? njohura

Informacioni n? k?t? paragraf vazhdon tem?n e p?rdorimit t? vetive t? logaritmeve gjat? llogaritjes s? tyre. Por k?tu ndryshimi kryesor ?sht? se vetit? e logaritmeve p?rdoren p?r t? shprehur logaritmin origjinal n? termat e nj? logaritmi tjet?r, vlera e t? cilit dihet. Le t? japim nj? shembull p?r sqarim. Le t? themi se e dim? se log 2 3?1.584963, at?her? mund t? gjejm?, p?r shembull, log 2 6 duke b?r? nj? transformim t? vog?l duke p?rdorur vetit? e logaritmit: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3? 1+1,584963=2,584963 .

N? shembullin e m?sip?rm, na mjaftoi t? p?rdornim vetin? e logaritmit t? nj? produkti. Sidoqoft?, shum? m? shpesh ?sht? e nevojshme t? p?rdoret nj? arsenal m? i gjer? i vetive t? logaritmeve p?r t? llogaritur logaritmin origjinal p?rmes atyre t? dh?na.

Shembull.

Llogaritni logaritmin e 27 n? baz?n 60 n?se e dini se log 60 2=a dhe log 60 5=b.

Zgjidhje.

Pra, ne duhet t? gjejm? log 60 27 . ?sht? e leht? t? shihet se 27 = 3 3, dhe logaritmi origjinal, p?r shkak t? vetive t? logaritmit t? fuqis?, mund t? rishkruhet si 3·log 60 3.

Tani le t? shohim se si t? shprehim log 60 3 n? terma t? logaritmeve t? njohura. Vetia e logaritmit t? nj? numri t? barabart? me baz?n na lejon t? shkruajm? login e barazis? 60 60=1. Nga ana tjet?r, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . K?shtu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prandaj, log 60 3=1-2·log 60 2-log 60 5=1-2·a-b.

S? fundi, ne llogarisim logaritmin origjinal: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

P?rgjigje:

log 60 27=3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

M? vete, vlen t? p?rmendet kuptimi i formul?s p?r kalimin n? nj? baz? t? re t? logaritmit t? form?s . Ju lejon t? kaloni nga logaritmet me ?do baz? n? logaritme me nj? baz? specifike, vlerat e t? cilave dihen ose ?sht? e mundur t'i gjeni. Zakonisht, nga logaritmi origjinal, duke p?rdorur formul?n e tranzicionit, ata kalojn? n? logaritme n? nj?r?n nga bazat 2, e ose 10, pasi p?r k?to baza ekzistojn? tabela logaritmesh q? lejojn? q? vlerat e tyre t? llogariten me nj? shkall? t? caktuar. sakt?si. N? paragrafin tjet?r do t? tregojm? se si b?het kjo.

Tabelat e logaritmit dhe p?rdorimet e tyre

P?r llogaritjen e p?raf?rt t? vlerave t? logaritmit mund t? p?rdoren tabelat e logaritmit. Tabela e logaritmit baz? 2 m? e p?rdorur, tabela e logaritmit natyror dhe tabela e logaritmit dhjetor. Kur punoni n? sistemin e numrave dhjetor?, ?sht? e p?rshtatshme t? p?rdorni nj? tabel? logaritmesh bazuar n? baz?n dhjet?. Me ndihm?n e tij do t? m?sojm? t? gjejm? vlerat e logaritmeve.

Tabela e paraqitur ju lejon t? gjeni vlerat e logaritmeve dhjetore t? numrave nga 1000 n? 9999 (me tre shifra dhjetore) me nj? sakt?si prej nj? t? dhjet?mijt?. Ne do t? analizojm? parimin e gjetjes s? vler?s s? nj? logaritmi duke p?rdorur nj? tabel? logaritmesh dhjetore duke p?rdorur nj? shembull specifik - ?sht? m? e qart? n? k?t? m?nyr?. Le t? gjejm? log1.256.

N? kolon?n e majt? t? tabel?s s? logaritmeve dhjetore gjejm? dy shifrat e para t? numrit 1.256, dometh?n? gjejm? 1.2 (ky num?r ?sht? rrethuar me blu p?r qart?si). Shifra e tret? e numrit 1.256 (shifra 5) gjendet n? rreshtin e par? ose t? fundit n? t? majt? t? vij?s dyshe (ky num?r ?sht? i rrethuar me t? kuqe). Shifra e kat?rt e numrit origjinal 1.256 (shifra 6) gjendet n? rreshtin e par? ose t? fundit n? t? djatht? t? vij?s s? dyfisht? (ky num?r ?sht? i rrethuar me nj? vij? t? gjelb?r). Tani i gjejm? numrat n? qelizat e tabel?s s? logaritmit n? kryq?zimin e rreshtit t? sh?nuar dhe kolonave t? sh?nuara (k?ta numra jan? t? theksuar n? portokalli). Shuma e numrave t? sh?nuar jep vler?n e d?shiruar t? logaritmit dhjetor t? sakt? n? numrin e kat?rt dhjetor, d.m.th. log1.236?0.0969+0.0021=0.0990.

A ?sht? e mundur, duke p?rdorur tabel?n e m?sip?rme, t? gjesh vlerat e logaritmeve dhjetore t? numrave q? kan? m? shum? se tre shifra pas pik?s dhjetore, si dhe ato q? shkojn? p?rtej intervalit nga 1 n? 9.999? Po ti mundesh. Le t? tregojm? se si b?het kjo me nj? shembull.

Le t? llogarisim lg102.76332. S? pari ju duhet t? shkruani num?r n? form? standarde: 102.76332=1.0276332·10 2. Pas k?saj, mantisa duhet t? rrumbullakoset n? numrin e tret? dhjetor, kemi 1.0276332 10 2 ?1.028 10 2, nd?rsa logaritmi dhjetor origjinal ?sht? af?rsisht i barabart? me logaritmin e numrit q? rezulton, dometh?n? marrim log102.76332?lg1.028·10 2. Tani zbatojm? vetit? e logaritmit: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. S? fundi, vler?n e logaritmit lg1.028 e gjejm? nga tabela e logaritmeve dhjetore lg1.028?0.0086+0.0034=0.012. Si rezultat, i gjith? procesi i llogaritjes s? logaritmit duket si ky: log102.76332=log1.0276332 10 2 ?lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2?0.012+2=2.012.

Si p?rfundim, vlen t? p?rmendet se duke p?rdorur nj? tabel? logaritmesh dhjetore mund t? llogaritni vler?n e p?raf?rt t? ?do logaritmi. P?r ta b?r? k?t?, mjafton t? p?rdorni formul?n e tranzicionit p?r t? shkuar n? logaritme dhjetore, p?r t? gjetur vlerat e tyre n? tabel? dhe p?r t? kryer llogaritjet e mbetura.

P?r shembull, le t? llogarisim regjistrin 2 3 . Sipas formul?s p?r kalimin n? nj? baz? t? re t? logaritmit, kemi . Nga tabela e logaritmeve dhjetore gjejm? log3?0.4771 dhe log2?0.3010. K?shtu, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe t? tjera Algjebra dhe fillimet e analiz?s: Lib?r m?suesi p?r klasat 10 - 11 t? institucioneve t? arsimit t? p?rgjithsh?m.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (nj? manual p?r ata q? hyjn? n? shkolla teknike).

Pra, ne kemi fuqi prej dy. N?se e merrni numrin nga fundi, mund t? gjeni leht?sisht fuqin? n? t? cil?n do t'ju duhet t? ngrini dy p?r t? marr? k?t? num?r. P?r shembull, p?r t? marr? 16, ju duhet t? ngrini dy n? fuqin? e kat?rt. Dhe p?r t? marr? 64, ju duhet t? ngrini dy n? fuqin? e gjasht?. Kjo mund t? shihet nga tabela.

Dhe tani - n? fakt, p?rkufizimi i logaritmit:

Baza e nj? logaritmi t? x ?sht? fuqia n? t? cil?n duhet t? rritet a p?r t? marr? x.

P?rcaktimi: log a x = b, ku a ?sht? baza, x ?sht? argumenti, b ?sht? ajo me ?far? logaritmi ?sht? n? t? v?rtet? i barabart?.

P?r shembull, 2 3 = 8 => log 2 8 = 3 (logaritmi baz? 2 i 8 ?sht? tre sepse 2 3 = 8). Me t? nj?jtin regjist?r suksesi 2 64 = 6, pasi 2 6 = 64.

Veprimi i gjetjes s? logaritmit t? nj? numri n? nj? baz? t? caktuar quhet logaritmizim. Pra, le t? shtojm? nj? rresht t? ri n? tabel?n ton?:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
regjistri 2 2 = 1	regjistri 2 4 = 2	regjistri 2 8 = 3	regjistri 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Fatkeq?sisht, jo t? gjitha logaritmet llogariten kaq leht?. P?r shembull, provoni t? gjeni regjistrin 2 5 . Numri 5 nuk ?sht? n? tabel?, por logjika dikton q? logaritmi do t? shtrihet diku n? segment. Sepse 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Numra t? till? quhen irracional?: numrat pas presjes dhjetore mund t? shkruhen pafund?sisht dhe nuk p?rs?riten kurr?. N?se logaritmi rezulton irracional, ?sht? m? mir? ta l?m? k?shtu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

?sht? e r?nd?sishme t? kuptohet se nj? logarit?m ?sht? nj? shprehje me dy variabla (baz?n dhe argumentin). N? fillim, shum? njer?z ngat?rrojn? se ku ?sht? baza dhe ku ?sht? argumenti. P?r t? shmangur keqkuptimet e bezdisshme, mjafton t? shikoni foton:

Para nesh nuk ?sht? gj? tjet?r ve?se p?rkufizimi i nj? logaritmi. Mbani mend: logaritmi ?sht? nj? fuqi, n? t? cil?n duhet t? nd?rtohet baza p?r t? marr? nj? argument. ?sht? baza q? ?sht? ngritur n? nj? fuqi - ?sht? e theksuar me t? kuqe n? foto. Rezulton se baza ?sht? gjithmon? n? fund! Un? u them student?ve t? mi k?t? rregull t? mrekulluesh?m q? n? m?simin e par? - dhe nuk lind asnj? konfuzion.

Ne e kemi kuptuar p?rkufizimin - gjith?ka q? mbetet ?sht? t? m?sojm? se si t? num?rojm? logaritmet, d.m.th. hiqni qafe shenj?n "log". P?r t? filluar, v?rejm? se nga p?rkufizimi rrjedhin dy fakte t? r?nd?sishme:

1. Argumenti dhe baza duhet t? jen? gjithmon? m? t? m?dha se zero. Kjo rrjedh nga p?rkufizimi i nj? shkalle nga nj? eksponent racional, n? t? cilin reduktohet p?rkufizimi i nj? logaritmi.
2. Baza duhet t? jet? e ndryshme nga nj?, pasi nj? n? ?do shkall? mbetet ende nj?. P?r shkak t? k?saj, pyetja "n? ?far? fuqie duhet t? ngrihet p?r t? marr? dy" ?sht? e pakuptimt?. Nuk ka nj? diplom? t? till?!

Kufizime t? tilla quhen varg vlerash t? pranueshme(ODZ). Rezulton se ODZ e logaritmit duket k?shtu: log a x = b => x > 0, a > 0, a ? 1.

Vini re se nuk ka kufizime n? numrin b (vlera e logaritmit). P?r shembull, logaritmi mund t? jet? negativ: log 2 0.5 = -1, sepse 0,5 = 2 -1.

Megjithat?, tani po shqyrtojm? vet?m shprehjet numerike ku nuk k?rkohet t? dihet VA e logaritmit. T? gjitha kufizimet tashm? jan? marr? parasysh nga autor?t e detyrave. Por kur ekuacionet logaritmike dhe pabarazit? hyjn? n? loj?, k?rkesat DL do t? b?hen t? detyrueshme. N? fund t? fundit, baza dhe argumenti mund t? p?rmbajn? nd?rtime shum? t? forta q? nuk korrespondojn? domosdoshm?risht me kufizimet e m?sip?rme.

Tani le t? shohim skem?n e p?rgjithshme p?r llogaritjen e logaritmeve. Ai p?rb?het nga tre hapa:

1. Shprehni baz?n a dhe argumentin x si fuqi me baz?n minimale t? mundshme m? t? madhe se nj?. Gjat? rrug?s, ?sht? m? mir? t? heq?sh qafe numrat dhjetor?;
2. Zgjidheni ekuacionin p?r ndryshoren b: x = a b ;
3. Numri b q? rezulton do t? jet? p?rgjigja.

Kjo eshte e gjitha! N?se logaritmi rezulton irracional, kjo do t? jet? e dukshme q? n? hapin e par?. K?rkesa q? baza t? jet? m? e madhe se nj? ?sht? shum? e r?nd?sishme: kjo zvog?lon gjasat e gabimit dhe thjeshton shum? llogaritjet. ?sht? e nj?jta gj? me thyesat dhjetore: n?se i shnd?rroni menj?her? n? ato t? zakonshme, do t? ket? shum? m? pak gabime.

Le t? shohim se si funksionon kjo skem? duke p?rdorur shembuj specifik?:

Detyr?. Llogaritni logaritmin: log 5 25

1. Le t? imagjinojm? baz?n dhe argumentin si nj? fuqi prej pes?: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Le t? krijojm? dhe zgjidhim ekuacionin:
log 5 25 = b => (5 1) b = 5 2 => 5 b = 5 2 => b = 2 ;

2. Mor?m p?rgjigjen: 2.

Detyr?. Llogaritni logaritmin:

Detyr?. Llogaritni logaritmin: log 4 64

1. Le t? imagjinojm? baz?n dhe argumentin si nj? fuqi prej dy: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Le t? krijojm? dhe zgjidhim ekuacionin:
   log 4 64 = b => (2 2) b = 2 6 => 2 2b = 2 6 => 2b = 6 => b = 3 ;
3. Mor?m p?rgjigjen: 3.

Detyr?. Llogaritni logaritmin: log 16 1

1. Le t? imagjinojm? baz?n dhe argumentin si nj? fuqi prej dy: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Le t? krijojm? dhe zgjidhim ekuacionin:
   log 16 1 = b => (2 4) b = 2 0 => 2 4b = 2 0 => 4b = 0 => b = 0 ;
3. Mor?m p?rgjigjen: 0.

Detyr?. Llogaritni logaritmin: log 7 14

1. Le t? imagjinojm? baz?n dhe argumentin si nj? fuqi prej shtat?: 7 = 7 1 ; 14 nuk mund t? p?rfaq?sohet si nj? fuqi e shtat?, pasi 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Nga paragrafi i m?parsh?m rezulton se logaritmi nuk llogaritet;
3. P?rgjigja ?sht? pa ndryshim: log 7 14.

Nj? sh?nim i vog?l n? shembullin e fundit. Si mund t? jeni i sigurt se nj? num?r nuk ?sht? nj? fuqi e sakt? e nj? numri tjet?r? ?sht? shum? e thjesht? - thjesht vendoseni n? faktor?t kryesor?. N?se zgjerimi ka t? pakt?n dy faktor? t? ndrysh?m, numri nuk ?sht? nj? fuqi e sakt?.

Detyr?. Zbuloni n?se numrat jan? fuqi t? sakta: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - shkalla e sakt?, sepse ka vet?m nj? shum?zues;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nuk ?sht? nj? fuqi e sakt?, pasi ekzistojn? dy faktor?: 3 dhe 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - shkalla e sakt?;
35 = 7 · 5 - p?rs?ri jo nj? fuqi e sakt?;
14 = 7 · 2 - p?rs?ri jo nj? shkall? e sakt?;

Vini re gjithashtu se vet? numrat e thjesht? jan? gjithmon? fuqi t? sakta t? tyre.

Logaritmi dhjetor

Disa logaritme jan? aq t? zakonshme sa kan? nj? em?r dhe simbol t? ve?ant?.

Logaritmi dhjetor i x ?sht? logaritmi me baz?n 10, d.m.th. Fuqia n? t? cil?n duhet t? rritet numri 10 p?r t? marr? numrin x. Em?rtimi: lg x.

P?r shembull, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - etj.

Q? tani e tutje, kur nj? fraz? si "Gjeni lg 0.01" shfaqet n? nj? lib?r shkollor, dijeni se kjo nuk ?sht? nj? gabim shtypi. Ky ?sht? nj? logarit?m dhjetor. Sidoqoft?, n?se nuk jeni t? njohur me k?t? sh?nim, gjithmon? mund ta rishkruani at?:
log x = log 10 x

?do gj? q? ?sht? e v?rtet? p?r logaritmet e zakonshme ?sht? gjithashtu e v?rtet? p?r logaritmet dhjetore.

Logaritmi natyror

Ekziston nj? logarit?m tjet?r q? ka p?rcaktimin e vet. N? disa m?nyra, ?sht? edhe m? i r?nd?sish?m se dhjetori. Po flasim p?r logaritmin natyror.

Logaritmi natyror i x ?sht? logaritmi me baz?n e, d.m.th. fuqia n? t? cil?n duhet t? rritet numri e p?r t? marr? numrin x. Em?rtimi: ln x.

Shum? do t? pyesin: cili ?sht? numri e? Ky ?sht? nj? num?r irracional, vlera e tij e sakt? nuk mund t? gjendet dhe t? shkruhet. Un? do t? jap vet?m shifrat e para:
e = 2.718281828459...

Ne nuk do t? hyjm? n? detaje se ?far? ?sht? ky num?r dhe pse ?sht? i nevojsh?m. Vet?m mos harroni se e ?sht? baza e logaritmit natyror:
ln x = log e x

K?shtu ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etj. Nga ana tjet?r, ln 2 ?sht? nj? num?r irracional. N? p?rgjith?si, logaritmi natyror i ?do numri racional ?sht? irracional. P?rve?, sigurisht, p?r nj?: ln 1 = 0.

P?r logaritmet natyrore, t? gjitha rregullat q? jan? t? v?rteta p?r logaritmet e zakonshme jan? t? vlefshme.

Ruajtja e privat?sis? suaj ?sht? e r?nd?sishme p?r ne. P?r k?t? arsye, ne kemi zhvilluar nj? politik? t? privat?sis? q? p?rshkruan se si ne p?rdorim dhe ruajm? informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona t? privat?sis? dhe na tregoni n?se keni ndonj? pyetje.

Mbledhja dhe p?rdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet t? dh?nave q? mund t? p?rdoren p?r t? identifikuar ose kontaktuar nj? person specifik.

Mund t'ju k?rkohet t? jepni informacionin tuaj personal n? ?do koh? kur na kontaktoni.

M? posht? jan? disa shembuj t? llojeve t? informacionit personal q? mund t? mbledhim dhe se si mund ta p?rdorim k?t? informacion.

?far? informacioni personal mbledhim:

• Kur dor?zoni nj? aplikim n? sajt, ne mund t? mbledhim informacione t? ndryshme, duke p?rfshir? emrin tuaj, numrin e telefonit, adres?n e emailit, etj.

Si i p?rdorim t? dh?nat tuaja personale:

• Informacioni personal q? mbledhim na lejon t'ju kontaktojm? me oferta unike, promovime dhe ngjarje t? tjera dhe ngjarje t? ardhshme.
• Her? pas here, ne mund t? p?rdorim t? dh?nat tuaja personale p?r t? d?rguar njoftime dhe komunikime t? r?nd?sishme.
• Ne gjithashtu mund t? p?rdorim t? dh?nat personale p?r q?llime t? brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave t? t? dh?nave dhe k?rkimeve t? ndryshme, me q?llim q? t? p?rmir?sojm? sh?rbimet q? ofrojm? dhe t'ju ofrojm? rekomandime n? lidhje me sh?rbimet tona.
• N?se merrni pjes? n? nj? t?rheqje ?mimesh, konkurs ose promovim t? ngjash?m, ne mund t? p?rdorim informacionin q? ju jepni p?r t? administruar programe t? tilla.

Zbulimi i informacionit pal?ve t? treta

Ne nuk ua zbulojm? informacionin e marr? nga ju pal?ve t? treta.

P?rjashtimet:

• N?se ?sht? e nevojshme - n? p?rputhje me ligjin, procedur?n gjyq?sore, n? procedurat ligjore dhe/ose n? baz? t? k?rkesave publike ose k?rkesave nga autoritetet qeveritare n? territorin e Federat?s Ruse - p?r t? zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund t? zbulojm? informacione p?r ju n?se p?rcaktojm? se nj? zbulim i till? ?sht? i nevojsh?m ose i p?rshtatsh?m p?r q?llime sigurie, zbatimi t? ligjit ose q?llime t? tjera me r?nd?si publike.
• N? rast t? nj? riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojm? informacionet personale q? mbledhim te pala e tret? pasardh?se e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke p?rfshir? administrative, teknike dhe fizike - p?r t? mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqp?rdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkat?rrimi i paautorizuar.

Respektimi i privat?sis? suaj n? nivel kompanie

P?r t'u siguruar q? informacioni juaj personal ?sht? i sigurt, ne i komunikojm? punonj?sve tan? standardet e privat?sis? dhe siguris? dhe zbatojm? n? m?nyr? rigoroze praktikat e privat?sis?.

Me k?t? video un? filloj nj? seri t? gjat? m?simesh rreth ekuacioneve logaritmike. Tani keni tre shembuj n? baz? t? t? cil?ve do t? m?sojm? t? zgjidhim problemet m? t? thjeshta, t? cilat quhen - protozoar?t.

log 0,5 (3x - 1) = -3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

M? lejoni t'ju kujtoj se ekuacioni logaritmik m? i thjesht? ?sht? ky:

log a f (x) = b

N? k?t? rast, ?sht? e r?nd?sishme q? ndryshorja x t? jet? e pranishme vet?m brenda argumentit, pra vet?m n? funksionin f (x). Dhe numrat a dhe b jan? vet?m numra, dhe n? asnj? rast nuk jan? funksione q? p?rmbajn? ndryshoren x.

Metodat baz? t? zgjidhjes

Ka shum? m?nyra p?r t? zgjidhur struktura t? tilla. P?r shembull, shumica e m?suesve n? shkoll? ofrojn? k?t? metod?: Shprehni menj?her? funksionin f (x) duke p?rdorur formul?n f ( x) = a b. Kjo do t? thot?, kur hasni n? nd?rtimin m? t? thjesht?, mund t? kaloni menj?her? n? zgjidhje pa veprime dhe nd?rtime shtes?.

Po, sigurisht, vendimi do t? jet? i sakt?. Megjithat?, problemi me k?t? formul? ?sht? se shumica e student?ve nuk kuptoj, nga vjen dhe pse e ngrem? shkronj?n a n? shkronj?n b.

Si rezultat, un? shpesh shoh gabime shum? t? bezdisshme kur, p?r shembull, k?to shkronja shk?mbehen. Kjo formul? ose duhet kuptuar ose e mbushur, dhe metoda e dyt? ?on n? gabime n? momentet m? t? pap?rshtatshme dhe m? vendimtare: gjat? provimeve, testeve, etj.

Kjo ?sht? arsyeja pse un? u sugjeroj t? gjith? nx?n?sve t? mi t? braktisin formul?n standarde t? shkoll?s dhe t? p?rdorin qasjen e dyt? p?r zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike, e cila, si? me siguri e keni marr? me mend nga emri, quhet form? kanonike.

Ideja e form?s kanonike ?sht? e thjesht?. Le t? shohim problemin ton? p?rs?ri: n? t? majt? kemi log a, dhe me shkronj?n a n?nkuptojm? nj? num?r dhe n? asnj? rast nj? funksion q? p?rmban ndryshoren x. P?r rrjedhoj?, kjo let?r i n?nshtrohet t? gjitha kufizimeve q? vlejn? p?r baz?n e logaritmit. gjegj?sisht:

1 ? a > 0

Nga ana tjet?r, nga i nj?jti ekuacion shohim se logaritmi duhet t? jet? i barabart? me numrin b, dhe nuk vendosen kufizime p?r k?t? shkronj?, sepse mund t? marr? ?do vler? - pozitive dhe negative. E gjitha varet nga vlerat q? merr funksioni f(x).

Dhe k?tu kujtojm? rregullin ton? t? mrekulluesh?m q? ?do num?r b mund t? p?rfaq?sohet si nj? logarit?m n? baz?n a t? a me fuqin? e b:

b = log a a b

Si ta mbani mend k?t? formul?? Po, shum? e thjesht?. Le t? shkruajm? nd?rtimin e m?posht?m:

b = b 1 = b log a a

Sigurisht, n? k?t? rast lindin t? gjitha kufizimet q? sh?nuam n? fillim. Tani le t? p?rdorim vetin? baz? t? logaritmit dhe t? prezantojm? shum?zuesin b si fuqin? e a. Ne marrim:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Si rezultat, ekuacioni origjinal do t? rishkruhet si m? posht?:

log a f (x) = log a a b -> f (x) = a b

Kjo eshte e gjitha. Funksioni i ri nuk p?rmban m? nj? logarit?m dhe mund t? zgjidhet duke p?rdorur teknika standarde algjebrike.

Sigurisht, dikush tani do t? kund?rshtoj?: pse ishte e nevojshme t? dilte fare me nj? lloj formule kanonike, pse t? kryheshin dy hapa shtes? t? panevojsh?m n?se do t? ishte e mundur t? kalonte menj?her? nga modeli origjinal n? formul?n p?rfundimtare? Po, vet?m sepse shumica e student?ve nuk e kuptojn? se nga vjen kjo formul? dhe, si rezultat, rregullisht b?jn? gabime kur e zbatojn? at?.

Por kjo sekuenc? veprimesh, e p?rb?r? nga tre hapa, ju lejon t? zgjidhni ekuacionin logaritmik origjinal, edhe n?se nuk e kuptoni se nga vjen formula p?rfundimtare. Nga rruga, kjo hyrje quhet formula kanonike:

log a f (x) = log a a b

Komoditeti i form?s kanonike q?ndron gjithashtu n? faktin se ajo mund t? p?rdoret p?r t? zgjidhur nj? klas? shum? t? gjer? ekuacionesh logaritmike, dhe jo vet?m ato m? t? thjeshtat q? po shqyrtojm? sot.

Shembuj zgjidhjesh

Tani le t? shohim shembuj real?. Pra, le t? vendosim:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Le ta rishkruajm? k?shtu:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 -3

Shum? student? jan? me nxitim dhe p?rpiqen t? ngren? menj?her? numrin 0.5 n? fuqin? q? na erdhi nga problemi origjinal. N? t? v?rtet?, kur tashm? jeni t? trajnuar mir? n? zgjidhjen e problemeve t? tilla, mund ta kryeni menj?her? k?t? hap.

Sidoqoft?, n?se tani sapo keni filluar t? studioni k?t? tem?, ?sht? m? mir? t? mos nxitoni askund n? m?nyr? q? t? shmangni gabimet fyese. Pra, kemi form?n kanonike. Ne kemi:

3x - 1 = 0,5 -3

Ky nuk ?sht? m? nj? ekuacion logaritmik, por linear n? lidhje me ndryshoren x. P?r ta zgjidhur at?, le t? shohim s? pari numrin 0.5 n? fuqin? -3. Vini re se 0.5 ?sht? 1/2.

(1/2) -3 = (2/1) 3 = 8

Shnd?rroni t? gjitha thyesat dhjetore n? thyesa t? zakonshme kur zgjidhni nj? ekuacion logaritmik.

Ne rishkruajm? dhe marrim:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

Kaq, e mor?m p?rgjigjen. Problemi i par? ?sht? zgjidhur.

Detyra e dyt?

Le t? kalojm? n? detyr?n e dyt?:

Si? e shohim, ky ekuacion nuk ?sht? m? m? i thjeshti. N?se vet?m sepse ka nj? ndryshim n? t? majt?, dhe jo nj? logarit?m t? vet?m n? nj? baz?.

Prandaj, ne duhet t? heqim qafe disi k?t? ndryshim. N? k?t? rast, gjith?ka ?sht? shum? e thjesht?. Le t'i hedhim nj? v?shtrim m? t? af?rt bazave: n? t? majt? ?sht? numri n?n rr?nj?:

Rekomandim i p?rgjithsh?m: n? t? gjitha ekuacionet logaritmike, p?rpiquni t? hiqni qafe radikal?t, d.m.th., nga hyrjet me rr?nj? dhe t? kaloni te funksionet e fuqis?, thjesht sepse eksponent?t e k?tyre fuqive hiqen leht?sisht nga shenja e logaritmit dhe, n? fund, t? tilla nj? hyrje thjeshton dhe shpejton ndjesh?m llogaritjet. Le ta shkruajm? k?shtu:

Tani le t? kujtojm? vetin? e jasht?zakonshme t? logaritmit: fuqit? mund t? nxirren nga argumenti, si dhe nga baza. N? rastin e bazave, ndodh si m? posht?:

log a k b = 1/k loga b

Me fjal? t? tjera, numri q? ishte n? fuqin? baz? sillet p?rpara dhe n? t? nj?jt?n koh? p?rmbyset, dometh?n? b?het nj? num?r reciprok. N? rastin ton?, shkalla baz? ishte 1/2. Prandaj, ne mund ta nxjerrim at? si 2/1. Ne marrim:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

Ju lutemi vini re: n? asnj? rrethan? nuk duhet t? hiqni qafe logaritmet n? k?t? hap. Mbani mend matematik?n e klas?s 4-5 dhe renditjen e veprimeve: fillimisht kryhet shum?zimi dhe vet?m m? pas mbledhja dhe zbritja. N? k?t? rast, ne zbresim nj? nga t? nj?jt?t element? nga 10 element?:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Tani ekuacioni yn? duket ashtu si? duhet. Ky ?sht? nd?rtimi m? i thjesht?, dhe ne e zgjidhim at? duke p?rdorur form?n kanonike:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Kjo eshte e gjitha. Problemi i dyt? ?sht? zgjidhur.

Shembulli i tret?

Le t? kalojm? n? detyr?n e tret?:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

M? lejoni t'ju kujtoj formul?n e m?poshtme:

log b = log 10 b

N?se p?r ndonj? arsye jeni t? hutuar nga sh?nimi log b, at?her? kur kryeni t? gjitha llogaritjet thjesht mund t? shkruani log 10 b. Ju mund t? punoni me logaritme dhjetore n? t? nj?jt?n m?nyr? si me t? tjer?t: merrni fuqi, shtoni dhe p?rfaq?soni ?do num?r n? form?n lg 10.

Jan? k?to veti q? tani do t'i p?rdorim p?r t? zgjidhur problemin, pasi nuk ?sht? m? e thjeshta q? kemi shkruar n? fillim t? m?simit ton?.

S? pari, vini re se faktori 2 p?rball? lg 5 mund t? futet dhe b?het nj? fuqi e baz?s 5. P?rve? k?saj, termi i lir? 3 ?sht? gjithashtu i p?rfaq?suar si nj? logarit?m - kjo ?sht? shum? e leht? p?r t'u v?zhguar nga sh?nimi yn?.

Gjykoni vet?: ?do num?r mund t? p?rfaq?sohet si regjist?r n? baz?n 10:

3 = regjistri 10 10 3 = regjistri 10 3

Le t? rishkruajm? problemin origjinal duke marr? parasysh ndryshimet e marra:

log (x - 3) = log 1000 + log 25
log (x - 3) = log 1000 25
log (x - 3) = log 25,000

Ne kemi p?rs?ri para nesh form?n kanonike dhe e kemi marr? pa kaluar n? faz?n e transformimit, pra ekuacioni m? i thjesht? logaritmik nuk u shfaq askund.

Pik?risht p?r k?t? fola n? fillim t? m?simit. Forma kanonike ju lejon t? zgjidhni nj? klas? m? t? gjer? problemesh sesa formula standarde e shkoll?s q? japin shumica e m?suesve t? shkoll?s.

Epo, kjo ?sht? ajo, ne heqim qafe shenj?n e logaritmit dhjetor dhe marrim nj? nd?rtim t? thjesht? linear:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

T? gjitha! Problemi ?sht? zgjidhur.

Nj? sh?nim p?r q?llimin

K?tu do t? doja t? b?ja nj? v?rejtje t? r?nd?sishme n? lidhje me shtrirjen e p?rkufizimit. Me siguri tani do t? ket? nx?n?s dhe m?sues q? do t? thon?: "Kur zgjidhim shprehjet me logaritme, duhet t? kujtojm? se argumenti f (x) duhet t? jet? m? i madh se zero!" N? k?t? drejtim, lind nj? pyetje logjike: pse nuk k?rkuam q? kjo pabarazi t? plot?sohej n? asnj? nga problemet e konsideruara?

Mos u shqeteso. N? k?to raste, nuk do t? shfaqen rr?nj? shtes?. Dhe ky ?sht? nj? tjet?r truk i shk?lqyesh?m q? ju lejon t? shpejtoni zgjidhjen. Vet?m dijeni se n?se n? problem ndryshorja x shfaqet vet?m n? nj? vend (ose m? mir?, n? nj? argument t? vet?m t? nj? logaritmi t? vet?m), dhe askund tjet?r n? rastin ton? nuk shfaqet ndryshorja x, at?her? shkruani domenin e p?rkufizimit nuk ka nevoj?, sepse do t? ekzekutohet automatikisht.

Gjykoni vet?: n? ekuacionin e par? kemi marr? se 3x - 1, pra argumenti duhet t? jet? i barabart? me 8. Kjo automatikisht do t? thot? se 3x - 1 do t? jet? m? i madh se zero.

Me t? nj?jtin sukses, mund t? shkruajm? se n? rastin e dyt? x duhet t? jet? i barabart? me 5 2, d.m.th. ?sht? sigurisht m? i madh se zero. Dhe n? rastin e tret?, ku x + 3 = 25,000, pra, p?rs?ri, padyshim m? i madh se zero. Me fjal? t? tjera, shtrirja plot?sohet automatikisht, por vet?m n?se x shfaqet vet?m n? argumentin e vet?m nj? logaritmi.

Kjo ?sht? gjith?ka q? duhet t? dini p?r t? zgjidhur problemet m? t? thjeshta. Vet?m ky rregull, s? bashku me rregullat e transformimit, do t'ju lejoj? t? zgjidhni nj? klas? shum? t? gjer? problemesh.

Por le t? jemi t? sinqert?: p?r t? kuptuar p?rfundimisht k?t? teknik?, p?r t? m?suar se si t? aplikoni form?n kanonike t? ekuacionit logaritmik, nuk mjafton vet?m t? shikoni nj? m?sim video. Prandaj, tani shkarkoni opsionet p?r zgjidhje t? pavarura q? i jan? bashkangjitur k?tij m?simi video dhe filloni t? zgjidhni t? pakt?n nj? nga k?to dy vepra t? pavarura.

Do t'ju marr? fjal? p?r fjal? disa minuta. Por efekti i nj? trajnimi t? till? do t? jet? shum? m? i lart? sesa n?se thjesht e shikoni k?t? m?sim video.

Shpresoj se ky m?sim do t'ju ndihmoj? t? kuptoni ekuacionet logaritmike. P?rdorni form?n kanonike, thjeshtoni shprehjet duke p?rdorur rregullat p?r t? punuar me logaritme - dhe nuk do t? keni frik? nga asnj? problem. Kjo ?sht? gjith?ka q? kam p?r sot.

Duke marr? parasysh fush?n e p?rkufizimit

Tani le t? flasim p?r domenin e p?rkufizimit t? funksionit logaritmik dhe se si kjo ndikon n? zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike. Konsideroni nj? nd?rtim t? form?s

log a f (x) = b

Nj? shprehje e till? quhet m? e thjeshta - p?rmban vet?m nj? funksion, dhe numrat a dhe b jan? vet?m numra, dhe n? asnj? rast funksion q? varet nga ndryshorja x. Mund t? zgjidhet shum? thjesht. Thjesht duhet t? p?rdorni formul?n:

b = log a a b

Kjo formul? ?sht? nj? nga vetit? kryesore t? logaritmit, dhe kur z?vend?sojm? n? shprehjen ton? origjinale marrim sa vijon:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Kjo ?sht? nj? formul? e njohur nga tekstet shkollore. Shum? student? ndoshta do t? ken? nj? pyetje: meqen?se n? shprehjen origjinale funksioni f (x) ?sht? n?n shenj?n e regjistrit, kufizimet e m?poshtme vendosen mbi t?:

f(x) > 0

Ky kufizim vlen sepse logaritmi i numrave negativ? nuk ekziston. Pra, ndoshta, si rezultat i k?tij kufizimi, duhet t? futet nj? kontroll mbi p?rgjigjet? Ndoshta ato duhet t? futen n? burim?

Jo, n? ekuacionet m? t? thjeshta logaritmike kontrolli shtes? ?sht? i panevojsh?m. Dhe kjo ?sht? arsyeja pse. Hidhini nj? sy formul?s son? p?rfundimtare:

f (x) = a b

Fakti ?sht? se numri a ?sht? n? ?do rast m? i madh se 0 - kjo k?rkes? imponohet gjithashtu nga logaritmi. Numri a ?sht? baza. N? k?t? rast nuk vendosen kufizime p?r numrin b. Por kjo nuk ka r?nd?si, sepse pa marr? parasysh se n? cil?n fuqi e ngrem? nj? num?r pozitiv, ne do t? marrim p?rs?ri nj? num?r pozitiv n? dalje. K?shtu, k?rkesa f(x) > 0 plot?sohet automatikisht.

Ajo q? v?rtet ia vlen t? kontrollohet ?sht? domeni i funksionit n?n shenj?n e regjistrit. Mund t? ket? struktura mjaft komplekse, dhe ju patjet?r duhet t'i mbani nj? sy mbi to gjat? procesit t? zgjidhjes. Le t? hedhim nj? v?shtrim.

Detyra e par?:

Hapi i par?: konvertoni thyes?n n? t? djatht?. Ne marrim:

Ne heqim qafe shenj?n e logaritmit dhe marrim ekuacionin e zakonsh?m irracional:

Nga rr?nj?t e marra na p?rshtatet vet?m e para, pasi rr?nja e dyt? ?sht? m? e vog?l se zero. P?rgjigja e vetme do t? jet? numri 9. Kjo ?sht? ajo, problemi ?sht? zgjidhur. Nuk k?rkohen kontrolle shtes? p?r t? siguruar q? shprehja n?n shenj?n e logaritmit ?sht? m? e madhe se 0, sepse ajo nuk ?sht? thjesht m? e madhe se 0, por sipas kushtit t? ekuacionit ?sht? e barabart? me 2. Prandaj, k?rkesa “m? e madhe se zero ” k?naqet automatikisht.

Le t? kalojm? n? detyr?n e dyt?:

Gjith?ka ?sht? e nj?jt? k?tu. Ne rishkruajm? nd?rtimin, duke z?vend?suar trefishin:

Ne heqim qafe shenjat e logaritmit dhe marrim nj? ekuacion irracional:

Ne sheshojm? t? dy an?t duke marr? parasysh kufizimet dhe marrim:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Ne e zgjidhim ekuacionin q? rezulton p?rmes diskriminuesit:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = -6

Por x = -6 nuk na p?rshtatet, sepse n?se e z?vend?sojm? k?t? num?r n? pabarazin? ton?, marrim:

-6 + 4 = -2 < 0

N? rastin ton?, k?rkohet q? ajo t? jet? m? e madhe se 0 ose, n? raste ekstreme, e barabart?. Por x = -1 na p?rshtatet:

-1 + 4 = 3 > 0

P?rgjigja e vetme n? rastin ton? do t? jet? x = -1. Kjo ?sht? zgjidhja. Le t? kthehemi n? fillimin e llogaritjeve tona.

??shtja kryesore nga ky m?sim ?sht? se nuk keni nevoj? t? kontrolloni kufizimet n? nj? funksion n? ekuacione t? thjeshta logaritmike. Sepse gjat? procesit t? zgjidhjes t? gjitha kufizimet plot?sohen automatikisht.

Sidoqoft?, kjo n? asnj? m?nyr? nuk do t? thot? q? ju mund t? harroni fare kontrollin. N? procesin e pun?s p?r nj? ekuacion logaritmik, ai mund t? kthehet fare mir? n? nj? ekuacion irracional, i cili do t? ket? kufizimet dhe k?rkesat e veta p?r an?n e djatht?, gj? q? e kemi par? sot n? dy shembuj t? ndrysh?m.

Ndjehuni t? lir? p?r t? zgjidhur probleme t? tilla dhe jini ve?an?risht t? kujdessh?m n?se ka nj? rr?nj? n? argument.

Ekuacione logaritmike me baza t? ndryshme

Ne vazhdojm? t? studiojm? ekuacionet logaritmike dhe t? shikojm? dy teknika t? tjera mjaft interesante me t? cilat ?sht? n? mod? t? zgjidhen nd?rtime m? komplekse. Por s? pari, le t? kujtojm? se si zgjidhen problemet m? t? thjeshta:

log a f (x) = b

N? k?t? sh?nim, a dhe b jan? numra, dhe n? funksionin f (x) ndryshorja x duhet t? jet? e pranishme dhe vet?m aty, dometh?n? x duhet t? jet? vet?m n? argument. Ne do t? transformojm? ekuacione t? tilla logaritmike duke p?rdorur form?n kanonike. P?r ta b?r? k?t?, vini re se

b = log a a b

P?r m? tep?r, a b ?sht? pik?risht nj? argument. Le ta rishkruajm? k?t? shprehje si m? posht?:

log a f (x) = log a a b

Kjo ?sht? pik?risht ajo q? ne po p?rpiqemi t? arrijm?, n? m?nyr? q? t? ket? nj? logarit?m p?r t? bazuar a n? t? majt? dhe n? t? djatht?. N? k?t? rast, n? m?nyr? figurative, mund t? kryq?zojm? shenjat e regjistrit dhe nga pik?pamja matematikore mund t? themi se thjesht po barazojm? argumentet:

f (x) = a b

Si rezultat, do t? marrim nj? shprehje t? re q? do t? jet? shum? m? e leht? p?r t'u zgjidhur. Le ta zbatojm? k?t? rregull p?r problemet tona sot.

Pra, dizajni i par?:

Para s? gjithash, v?rej se n? t? djatht? ?sht? nj? thyes?, em?ruesi i s? cil?s ?sht? log. Kur shihni nj? shprehje si kjo, ?sht? mir? t? mbani mend nj? veti t? mrekullueshme t? logaritmeve:

E p?rkthyer n? Rusisht, kjo do t? thot? se ?do logarit?m mund t? p?rfaq?sohet si her?si i dy logaritmeve me ?do baz? c. Sigurisht 0< с ? 1.

Pra: kjo formul? ka nj? rast t? mrekulluesh?m t? ve?ant?, kur ndryshorja c ?sht? e barabart? me variablin b. N? k?t? rast marrim nj? nd?rtim si:

Ky ?sht? pik?risht nd?rtimi q? shohim nga shenja n? t? djatht? n? ekuacionin ton?. Le ta z?vend?sojm? k?t? nd?rtim me log a b, marrim:

Me fjal? t? tjera, n? krahasim me detyr?n origjinale, ne k?mbyem argumentin dhe baz?n e logaritmit. N? vend t? k?saj, ne duhej t? kthenim thyes?n.

Le t? kujtojm? se ?do shkall? mund t? nxirret nga baza sipas rregullit t? m?posht?m:

Me fjal? t? tjera, koeficienti k, i cili ?sht? fuqia e baz?s, shprehet si nj? fraksion i p?rmbysur. Le ta p?rshkruajm? at? si nj? thyes? e p?rmbysur:

Faktori thyesor nuk mund t? lihet p?rpara, sepse n? k?t? rast nuk do t? mund ta paraqesim k?t? sh?nim si nj? form? kanonik (n? fund t? fundit, n? form?n kanonik nuk ka faktor shtes? para logaritmit t? dyt?). Prandaj, le t? shtojm? thyes?n 1/4 n? argument si fuqi:

Tani ne barazojm? argumentet, bazat e t? cilave jan? t? nj?jta (dhe bazat tona jan? v?rtet t? nj?jta), dhe shkruajm?:

x + 5 = 1

x = -4

Kjo eshte e gjitha. Ne mor?m p?rgjigjen e ekuacionit t? par? logaritmik. Ju lutemi vini re: n? problemin origjinal, ndryshorja x shfaqet vet?m n? nj? regjist?r dhe shfaqet n? argumentin e saj. Prandaj, nuk ka nevoj? t? kontrolloni domenin, dhe numri yn? x = -4 ?sht? me t? v?rtet? p?rgjigja.

Tani le t? kalojm? te shprehja e dyt?:

log 56 = log 2 log 2 7 - 3log (x + 4)

K?tu, p?rve? logaritmeve t? zakonshme, do t? duhet t? punojm? me log f (x). Si t? zgjidhet nj? ekuacion i till?? P?r nj? student t? pap?rgatitur mund t? duket sikur kjo ?sht? nj? lloj detyre e v?shtir?, por n? fakt gjith?ka mund t? zgjidhet n? nj? m?nyr? elementare.

Hidhini nj? sy nga af?r termit lg 2 log 2 7. ?far? mund t? themi p?r t?? Bazat dhe argumentet e log dhe lg jan? t? nj?jta, dhe kjo duhet t? jap? disa ide. Le t? kujtojm? edhe nj? her? se si hiqen fuqit? nga n?n shenj?n e logaritmit:

log a b n = nlog a b

Me fjal? t? tjera, ajo q? ishte nj? fuqi e b n? argument b?het nj? faktor p?rball? vet? log-it. Le ta zbatojm? k?t? formul? p?r shprehjen lg 2 log 2 7. Mos u trembni nga lg 2 - kjo ?sht? shprehja m? e zakonshme. Mund ta rishkruani si m? posht?:

T? gjitha rregullat q? zbatohen p?r ?do logarit?m tjet?r jan? t? vlefshme p?r t?. N? ve?anti, faktori p?rpara mund t'i shtohet shkall?s s? argumentit. Le ta shkruajm?:

Shum? shpesh nx?n?sit nuk e shohin drejtp?rdrejt k?t? veprim, sepse nuk ?sht? mir? t? futet nj? regjist?r n?n shenj?n e nj? tjetri. N? fakt, nuk ka asgj? kriminale n? k?t?. P?r m? tep?r, marrim nj? formul? q? ?sht? e leht? p?r t'u llogaritur n?se mbani mend nj? rregull t? r?nd?sish?m:

Kjo formul? mund t? konsiderohet edhe si p?rkufizim edhe si nj? nga vetit? e saj. N? ?do rast, n?se po konvertoni nj? ekuacion logaritmik, duhet ta dini k?t? formul? ashtu si do t? njihni paraqitjen e regjistrit t? ?do numri.

Le t? kthehemi n? detyr?n ton?. Ne e rishkruajm? at? duke marr? parasysh faktin se termi i par? n? t? djatht? t? shenj?s s? barabart? do t? jet? thjesht i barabart? me lg 7. Kemi:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

Le t? l?vizim lg 7 n? t? majt?, marrim:

lg 56 - log 7 = -3lg (x + 4)

Ne zbresim shprehjet n? t? majt? sepse ato kan? t? nj?jt?n baz?:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Tani le t? hedhim nj? v?shtrim m? t? af?rt n? ekuacionin q? mor?m. ?sht? praktikisht forma kanonike, por ka nj? faktor -3 n? t? djatht?. Le ta shtojm? at? n? argumentin e duhur t? lg:

log 8 = log (x + 4) -3

Para nesh ?sht? forma kanonike e ekuacionit logaritmik, k?shtu q? kalojm? shenjat lg dhe barazojm? argumentet:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Kjo eshte e gjitha! Ne zgjidh?m ekuacionin e dyt? logaritmik. N? k?t? rast, nuk k?rkohen kontrolle shtes?, sepse n? problemin origjinal x ishte i pranish?m vet?m n? nj? argument.

M? lejoni t? rendis p?rs?ri pikat kryesore t? k?tij m?simi.

Formula kryesore q? m?sohet n? t? gjitha m?simet n? k?t? faqe kushtuar zgjidhjes s? ekuacioneve logaritmike ?sht? forma kanonike. Dhe mos u trembni nga fakti se shumica e teksteve shkollore ju m?sojn? t'i zgjidhni problemet e tilla ndryshe. Ky mjet funksionon n? m?nyr? shum? efektive dhe ju lejon t? zgjidhni nj? klas? shum? m? t? gjer? problemesh sesa ato m? t? thjeshtat q? kemi studiuar n? fillim t? m?simit ton?.

P?rve? k?saj, p?r t? zgjidhur ekuacionet logaritmike do t? jet? e dobishme t? njihen vetit? themelore. Gjegj?sisht:

1. Formula p?r kalimin n? nj? baz? dhe rasti i ve?ant? kur ne reverse log (kjo ishte shum? e dobishme p?r ne n? problemin e par?);
2. Formula p?r mbledhjen dhe zbritjen e fuqive nga shenja e logaritmit. K?tu, shum? student? ngecin dhe nuk shohin q? diploma e nxjerr? dhe e futur mund t? p?rmbaj? vet? log f (x). Nuk ka asgj? t? keqe me k?t?. Mund t? prezantojm? nj? regjist?r sipas shenj?s s? tjetrit dhe n? t? nj?jt?n koh? t? thjeshtojm? ndjesh?m zgjidhjen e problemit, gj? q? v?rejm? n? rastin e dyt?.

Si p?rfundim, do t? doja t? shtoja se nuk ?sht? e nevojshme t? kontrolloni domenin e p?rkufizimit n? secil?n prej k?tyre rasteve, sepse kudo ndryshorja x ?sht? e pranishme vet?m n? nj? shenj? log dhe n? t? nj?jt?n koh? ?sht? n? argumentimin e saj. Si pasoj?, t? gjitha k?rkesat e fush?veprimit p?rmbushen automatikisht.

Probleme me baz?n e ndryshueshme

Sot do t? shikojm? ekuacionet logaritmike, t? cilat p?r shum? student? duken jo standarde, n?se jo plot?sisht t? pazgjidhshme. Po flasim p?r shprehje t? bazuara jo n? numra, por n? variabla dhe madje funksione. Ne do t'i zgjidhim nd?rtime t? tilla duke p?rdorur teknik?n ton? standarde, p?rkat?sisht p?rmes form?s kanonike.

S? pari, le t? kujtojm? se si zgjidhen problemet m? t? thjeshta, bazuar n? numrat e zakonsh?m. Pra, quhet nd?rtimi m? i thjesht?

log a f (x) = b

P?r t? zgjidhur probleme t? tilla mund t? p?rdorim formul?n e m?poshtme:

b = log a a b

Ne rishkruajm? shprehjen ton? origjinale dhe marrim:

log a f (x) = log a a b

Pastaj i barazojm? argumentet, pra shkruajm?:

f (x) = a b

K?shtu, ne heqim qafe shenj?n e regjistrit dhe zgjidhim problemin e zakonsh?m. N? k?t? rast, rr?nj?t e marra nga zgjidhja do t? jen? rr?nj?t e ekuacionit logaritmik origjinal. P?r m? tep?r, nj? rekord kur e majta dhe e djathta jan? n? t? nj?jtin logarit?m me t? nj?jt?n baz? quhet forma kanonike. ?sht? nj? rekord i till? q? ne do t? p?rpiqemi t? reduktojm? dizajnet e sotme. Pra, le t? shkojm?.

Detyra e par?:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Z?vend?soni 1 me log x - 2 (x - 2) 1 . Shkalla q? v?rejm? n? argument ?sht? n? fakt numri b q? q?ndronte n? t? djatht? t? shenj?s s? barabart?. K?shtu, le t? rishkruajm? shprehjen ton?. Ne marrim:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

?far? shohim? Para nesh ?sht? forma kanonike e ekuacionit logaritmik, k?shtu q? ne mund t? barazojm? me siguri argumentet. Ne marrim:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Por zgjidhja nuk mbaron me kaq, sepse ky ekuacion nuk ?sht? i barabart? me at? origjinal. N? fund t? fundit, nd?rtimi q? rezulton p?rb?het nga funksione q? p?rcaktohen n? t? gjith? vij?n numerike, dhe logaritmet tona origjinale nuk jan? t? p?rcaktuara kudo dhe jo gjithmon?.

Prandaj, ne duhet t? shkruajm? ve?mas domenin e p?rkufizimit. Le t? mos ndajm? qimet dhe fillimisht t? shkruajm? t? gjitha k?rkesat:

S? pari, argumenti i secilit prej logaritmeve duhet t? jet? m? i madh se 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

S? dyti, baza jo vet?m q? duhet t? jet? m? e madhe se 0, por edhe e ndryshme nga 1:

x - 2 ? 1

Si rezultat, marrim sistemin:

Por mos u shqet?soni: kur p?rpunoni ekuacione logaritmike, nj? sistem i till? mund t? thjeshtohet ndjesh?m.

Gjykoni vet?: nga nj?ra an? k?rkohet q? funksioni kuadratik t? jet? m? i madh se zero dhe nga ana tjet?r ky funksion kuadratik barazohet me nj? shprehje t? caktuar lineare, e cila gjithashtu k?rkohet q? t? jet? m? i madh se zero.

N? k?t? rast, n?se k?rkojm? q? x - 2 > 0, at?her? k?rkesa 2x 2 - 13x + 18 > 0 do t? plot?sohet automatikisht. Prandaj, ne mund t? kalojm? me siguri pabarazin? q? p?rmban funksionin kuadratik. K?shtu, numri i shprehjeve t? p?rfshira n? sistemin ton? do t? reduktohet n? tre.

Natyrisht, me t? nj?jtin sukses ne mund t? kap?rcejm? pabarazin? lineare, dometh?n?, t? kalojm? x - 2 > 0 dhe t? k?rkojm? q? 2x 2 - 13x + 18 > 0. Por ju do t? pajtoheni q? zgjidhja e pabarazis? m? t? thjesht? lineare ?sht? shum? m? e shpejt? dhe m? e thjesht?, se kuadratike, edhe me kusht q? si rezultat i zgjidhjes s? gjith? k?tij sistemi t? marrim t? nj?jtat rr?nj?.

N? p?rgjith?si, p?rpiquni t? optimizoni llogaritjet sa her? q? ?sht? e mundur. Dhe n? rastin e ekuacioneve logaritmike, kaloni pabarazit? m? t? v?shtira.

Le t? rishkruajm? sistemin ton?:

K?tu ?sht? nj? sistem me tre shprehje, dy prej t? cilave ne, n? fakt, i kemi trajtuar tashm?. Le t? shkruajm? ve?mas ekuacionin kuadratik dhe ta zgjidhim at?:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

Para nesh ?sht? nj? trinom kuadratik i reduktuar dhe, p?r rrjedhoj?, ne mund t? p?rdorim formulat e Vieta-s. Ne marrim:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Tani kthehemi n? sistemin ton? dhe zbulojm? se x = 2 nuk na p?rshtatet, sepse na k?rkohet q? x t? jet? rrept?sisht m? i madh se 2.

Por x = 5 na p?rshtatet n? m?nyr? t? p?rkryer: numri 5 ?sht? m? i madh se 2, dhe n? t? nj?jt?n koh? 5 nuk ?sht? i barabart? me 3. Prandaj, zgjidhja e vetme p?r k?t? sistem do t? jet? x = 5.

Kjo ?sht? e gjitha, problemi ?sht? zgjidhur, duke p?rfshir? marrjen parasysh t? ODZ. Le t? kalojm? n? ekuacionin e dyt?. Llogaritjet m? interesante dhe informuese na presin k?tu:

Hapi i par?: si her?n e kaluar, ne e sjellim t? gjith? k?t? ??shtje n? form? kanonike. P?r ta b?r? k?t?, ne mund t? shkruajm? numrin 9 si m? posht?:

Nuk duhet t? prekni baz?n me rr?nj?, por ?sht? m? mir? t? transformoni argumentin. Le t? kalojm? nga rr?nja n? fuqi me nj? eksponent racional. Le t? shkruajm?:

M? lejoni t? mos e rishkruaj t? gjith? ekuacionin ton? t? madh logaritmik, por thjesht t? barazoj menj?her? argumentet:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Para nesh ?sht? nj? trinom kuadratik i reduktuar rishtazi, le t? p?rdorim formulat e Vieta-s dhe t? shkruajm?:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Pra, ne i mor?m rr?nj?t, por askush nuk na garantoi se ato do t? p?rshtateshin me ekuacionin logaritmik origjinal. N? fund t? fundit, shenjat e regjistrit vendosin kufizime shtes? (k?tu duhet t? kishim shkruar sistemin, por p?r shkak t? natyr?s s? r?nd? t? t? gjith? struktur?s, vendosa t? llogaris domenin e p?rkufizimit ve?mas).

Para s? gjithash, mbani mend se argumentet duhet t? jen? m? t? m?dha se 0, dometh?n?:

K?to jan? k?rkesat e vendosura nga q?llimi i p?rkufizimit.

Le t? v?rejm? menj?her? se duke qen? se dy shprehjet e para t? sistemit i barazojm? me nj?ra-tjetr?n, mund t? kalojm? secil?n prej tyre. T? kalojm? t? parin sepse duket m? k?rc?nues se i dyti.

P?r m? tep?r, vini re se zgjidhja p?r pabarazit? e dyt? dhe t? tret? do t? jen? t? nj?jtat grupe (kubi i nj? numri ?sht? m? i madh se zero, n?se vet? ky num?r ?sht? m? i madh se zero; n? m?nyr? t? ngjashme, me nj? rr?nj? t? shkall?s s? tret? - k?to pabarazi jan? krejt?sisht analoge, k?shtu q? ne mund ta kalojm? at?).

Por me pabarazin? e tret? kjo nuk do t? funksionoj?. Le t? heqim qafe shenj?n radikale n? t? majt? duke i ngritur t? dyja pjes?t n? nj? kub. Ne marrim:

Pra, marrim k?rkesat e m?poshtme:

- 2 ? x > -3

Cila nga rr?nj?t tona: x 1 = -3 ose x 2 = -1 i plot?son k?to k?rkesa? Natyrisht, vet?m x = -1, sepse x = -3 nuk e plot?son pabarazin? e par? (pasi pabarazia jon? ?sht? e rrept?). Pra, duke u kthyer te problemi yn?, marrim nj? rr?nj?: x = -1. Kjo ?sht? ajo, problemi u zgjidh.

Edhe nj? her?, pikat kryesore t? k?saj detyre:

1. Mos ngurroni t? aplikoni dhe zgjidhni ekuacionet logaritmike duke p?rdorur form?n kanonike. Nx?n?sit q? b?jn? nj? sh?nim t? till?, n? vend q? t? kalojn? drejtp?rdrejt nga problemi origjinal n? nj? nd?rtim si log a f (x) = b, b?jn? shum? m? pak gabime sesa ata q? nxitojn? diku, duke anashkaluar hapat e nd?rmjet?m t? llogaritjeve;
2. Sapo nj? baz? e ndryshueshme shfaqet n? nj? logarit?m, problemi pushon s? qeni m? i thjeshti. Prandaj, gjat? zgjidhjes s? tij, ?sht? e nevojshme t? merret parasysh fusha e p?rkufizimit: argumentet duhet t? jen? m? t? m?dha se zero, dhe bazat duhet t? jen? jo vet?m m? t? m?dha se 0, por ato nuk duhet t? jen? t? barabarta me 1.

K?rkesat p?rfundimtare mund t? zbatohen p?r p?rgjigjet p?rfundimtare n? m?nyra t? ndryshme. P?r shembull, ju mund t? zgjidhni nj? sistem t? t?r? q? p?rmban t? gjitha k?rkesat p?r domenin e p?rkufizimit. Nga ana tjet?r, s? pari mund ta zgjidhni vet? problemin dhe m? pas t? mbani mend domenin e p?rkufizimit, ta p?rpunoni ve?mas n? form?n e nj? sistemi dhe ta aplikoni n? rr?nj?t q? rezultojn?.

Cila metod? t? zgjidhni kur zgjidhni nj? ekuacion logaritmik t? ve?ant? varet nga ju. N? ?do rast, p?rgjigja do t? jet? e nj?jt?.