at?her? thon? se ndryshorja e rast?sishme x ka Funksioni i densitetit t? probabilitetit f(x).

P?rkufizimi. Le . P?r nj? funksion t? shp?rndarjes s? vazhdueshme F a-kuantili teorik quhet zgjidhja e ekuacionit.

Kjo zgjidhje mund t? mos jet? e vetmja.

Niveli kuantil 1/2 quhet teorik mesatare , nivelet kuantile 1/4 Dhe 3/4 -kuartil?t e posht?m dhe t? sip?rm p?rkat?sisht.

N? aplikimet aktuariale, luan nj? rol t? r?nd?sish?m Pabarazia e Chebyshev:

n? ?do

Simboli i pritjes matematikore.

Lexohet k?shtu: probabiliteti q? moduli t? jet? m? i madh ose i barabart? me pritshm?rin? matematikore t? modulit pjes?tuar me .

Jet?gjat?sia si nj? ndryshore e rast?sishme

Pasiguria e momentit t? vdekjes ?sht? nj? faktor rreziku kryesor n? sigurimin e jet?s.

Nuk mund t? thuhet asgj? konkrete p?r momentin e vdekjes s? nj? individi. Megjithat?, n?se kemi t? b?jm? me nj? grup t? madh homogjen njer?zish dhe nuk na intereson fati i individ?ve t? k?tij grupi, at?her? jemi brenda korniz?s s? teoris? s? probabilitetit si shkenc? e fenomeneve t? rast?sishme masive q? kan? vetin? e stabilitetit t? frekuenc?s. .

P?rkat?sisht, ne mund t? flasim p?r jet?gjat?sin? si nj? ndryshore e rast?sishme T.

Funksioni i mbijetes?s

Teoria e probabilitetit p?rshkruan natyr?n stokastike t? ?do ndryshoreje t? rast?sishme T funksioni i shp?rndarjes F(x), e cila p?rkufizohet si probabilitet q? ndryshorja e rastit T m? pak se numri x:

.

N? matematik?n aktuariale ?sht? mir? t? punohet jo me funksionin e shp?rndarjes, por me funksionin shtes? t? shp?rndarjes . P?r sa i p?rket jet?gjat?sis?, kjo ?sht? probabiliteti q? nj? person t? jetoj? deri n? mosh?n x vjet.

thirrur funksioni i mbijetes?s(funksioni i mbijetes?s):

Funksioni i mbijetes?s ka k?to karakteristika:

Tabelat e jet?s zakonisht supozojn? se ka disa kufiri i mosh?s (duke kufizuar mosh?n) (zakonisht vite) dhe, n? p?rputhje me rrethanat, n? x>.

Kur p?rshkruhet vdekshm?ria me ligje analitike, zakonisht supozohet se koha e jet?s ?sht? e pakufizuar, por lloji dhe parametrat e ligjeve zgjidhen n? m?nyr? q? probabiliteti i jet?s p?rtej nj? moshe t? caktuar t? jet? i pap?rfillsh?m.

Funksioni i mbijetes?s ka kuptim t? thjesht? statistikor.

Le t? themi se po v?zhgojm? nj? grup t? porsalindur (zakonisht), t? cil?t i v?zhgojm? dhe mund t'i regjistrojm? momentet e vdekjes s? tyre.

Le t? sh?nojm? numrin e p?rfaq?suesve t? gjall? t? k?tij grupi n? mosh? me . Pastaj:

.

Simboli E k?tu dhe m? posht? p?rdoret p?r t? treguar pritjet matematikore.

Pra, funksioni i mbijetes?s ?sht? i barabart? me p?rqindjen mesatare t? atyre q? mbijetojn? deri n? mosh?n nga nj? grup fiks i t? porsalindurve.

N? matematik?n aktuariale, njeriu shpesh nuk punon me funksionin e mbijetes?s, por me vler?n e sapo prezantuar (duke rregulluar madh?sin? fillestare t? grupit).

Funksioni i mbijetes?s mund t? rind?rtohet nga dend?sia:

Karakteristikat e jet?gjat?sis?

Nga pik?pamja praktike, karakteristikat e m?poshtme jan? t? r?nd?sishme:

1 . Mesatare koha e jet?s

,
2 . Dispersion jet?gjat?si

,
Ku
,

Nuk ka gjasa q? shum? njer?z t? mendojn? n?se ?sht? e mundur t? llogariten ngjarje q? jan? pak a shum? t? rast?sishme. Me fjal? t? thjeshta, a ?sht? e mundur t? dihet se cila an? e kubit do t? dal? m? pas? Pik?risht k?t? pyetje i b?n? vetes dy shkenc?tar? t? m?dhenj, t? cil?t hodh?n themelet p?r nj? shkenc? t? till? si teoria e probabilitetit, n? t? cil?n probabiliteti i nj? ngjarjeje studiohet mjaft gjer?sisht.

Origjina

N?se p?rpiqeni t? p?rcaktoni nj? koncept t? till? si teoria e probabilitetit, do t? merrni sa vijon: kjo ?sht? nj? nga deg?t e matematik?s q? studion q?ndrueshm?rin? e ngjarjeve t? rast?sishme. Sigurisht, ky koncept nuk zbulon n? t? v?rtet? t? gjith? thelbin, k?shtu q? ?sht? e nevojshme ta shqyrtojm? at? m? n? detaje.

Do t? doja t? filloja me krijuesit e teoris?. Si? u p?rmend m? lart, kishte dy prej tyre, dhe ata ishin nd?r t? par?t q? u p?rpoq?n t? llogaritnin rezultatin e k?saj apo asaj ngjarjeje duke p?rdorur formula dhe llogaritjet matematikore. N? p?rgjith?si, fillimet e k?saj shkence u shfaq?n n? mesjet?. N? at? koh?, mendimtar? dhe shkenc?tar? t? ndrysh?m u p?rpoq?n t? analizonin loj?rat e loj?rave t? fatit, t? tilla si ruleta, katrahurat, etj., duke p?rcaktuar k?shtu modelin dhe p?rqindjen e r?nies s? nj? numri t? caktuar. Themeli u hodh n? shekullin e shtat?mb?dhjet? nga shkenc?tar?t e lartp?rmendur.

N? fillim, veprat e tyre nuk mund t? konsideroheshin arritje t? m?dha n? k?t? fush?, sepse gjith?ka q? ata b?n? ishin thjesht fakte empirike dhe eksperimentet kryheshin vizualisht, pa p?rdorur formula. Me kalimin e koh?s u arrit t? arriheshin rezultate t? shk?lqyera, t? cilat u shfaq?n si rezultat i v?zhgimit t? hedhjes s? zareve. Ishte ky mjet q? ndihmoi n? nxjerrjen e formulave t? para t? kuptueshme.

Njer?z me mendje t? nj?jt?

?sht? e pamundur t? mos p?rmendet nj? person i till? si Christiaan Huygens n? procesin e studimit t? nj? teme t? quajtur "teoria e probabilitetit" (probabiliteti i nj? ngjarjeje mbulohet pik?risht n? k?t? shkenc?). Ky person ?sht? shum? interesant. Ai, si shkenc?tar?t e paraqitur m? lart, u p?rpoq t? nxirrte modelin e ngjarjeve t? rast?sishme n? form?n e formulave matematikore. Vlen t? p?rmendet se ai nuk e b?ri k?t? s? bashku me Pascal dhe Fermat, dometh?n? t? gjitha veprat e tij nuk kryq?zoheshin me k?to mendje. Huygens konkludoi

Nj? fakt interesant ?sht? se puna e tij doli shum? p?rpara rezultateve t? pun?s s? zbuluesve, ose m? sakt?, nj?zet vjet m? par?. Nd?r konceptet e identifikuara, m? t? famshmit jan?:

• koncepti i probabilitetit si vler? e rast?sis?;
• pritjet matematikore p?r raste diskrete;
• teoremat e shum?zimit dhe mbledhjes s? probabiliteteve.

?sht? gjithashtu e pamundur t? mos kujtohet se kush dha gjithashtu nj? kontribut t? r?nd?sish?m n? studimin e problemit. Duke kryer testet e tij, pavar?sisht nga kushdo, ai ishte n? gjendje t? paraqiste nj? prov? t? ligjit t? numrave t? m?dhenj. Nga ana tjet?r, shkenc?tar?t Poisson dhe Laplace, t? cil?t punuan n? fillim t? shekullit t? n?nt?mb?dhjet?, ishin n? gjendje t? v?rtetonin teoremat origjinale. Ishte nga ky moment q? teoria e probabilitetit filloi t? p?rdoret p?r t? analizuar gabimet n? v?zhgime. Shkenc?tar?t rus?, ose m? mir? Markov, Chebyshev dhe Dyapunov, nuk mund ta injoronin k?t? shkenc?. Bazuar n? pun?n e b?r? nga gjenit? e m?dhenj, ata e themeluan k?t? l?nd? si deg? t? matematik?s. K?to shifra funksionuan tashm? n? fund t? shekullit t? n?nt?mb?dhjet? dhe fal? kontributit t? tyre u v?rtetuan fenomenet e m?poshtme:

• ligji i numrave t? m?dhenj;
• teoria e zinxhirit Markov;
• teorema e kufirit qendror.

Pra, me historin? e lindjes s? shkenc?s dhe me njer?zit kryesor? q? ndikuan n? t?, gjith?ka ?sht? pak a shum? e qart?. Tani ka ardhur koha p?r t? sqaruar t? gjitha faktet.

Konceptet Baz?

Para se t? prekim ligjet dhe teoremat, ia vlen t? studiohen konceptet themelore t? teoris? s? probabilitetit. Ngjarja luan nj? rol kryesor n? t?. Kjo tem? ?sht? mjaft voluminoze, por pa t? nuk do t? jet? e mundur t? kuptohet gjith?ka tjet?r.

Nj? ngjarje n? teorin? e probabilitetit ?sht? ?do grup rezultatesh t? nj? eksperimenti. Ka mjaft koncepte t? k?tij fenomeni. K?shtu, shkenc?tari Lotman, q? punon n? k?t? fush?, tha se n? k?t? rast po flasim p?r at? q? "ndodhi, megjith?se mund t? mos kishte ndodhur".

Ngjarjet e rast?sishme (teoria e probabilitetit i kushton v?mendje t? ve?ant?) ?sht? nj? koncept q? n?nkupton absolutisht ?do fenomen q? ka mund?si t? ndodh?. Ose, anasjelltas, ky skenar mund t? mos ndodh? n?se plot?sohen shum? kushte. Vlen gjithashtu t? dihet se jan? ngjarje t? rast?sishme ato q? kapin t? gjith? v?llimin e fenomeneve q? kan? ndodhur. Teoria e probabilitetit tregon se t? gjitha kushtet mund t? p?rs?riten vazhdimisht. ?sht? sjellja e tyre q? quhet "p?rvoj?" ose "test".

Nj? ngjarje e besueshme ?sht? nj? fenomen q? ka nj?qind p?r qind gjasa t? ndodh? n? nj? test t? caktuar. Prandaj, nj? ngjarje e pamundur ?sht? ajo q? nuk do t? ndodh?.

Kombinimi i nj? ?ifti veprimesh (me kusht, rasti A dhe rasti B) ?sht? nj? fenomen q? ndodh nj?koh?sisht. Ata jan? caktuar si AB.

Shuma e ?ifteve t? ngjarjeve A dhe B ?sht? C, me fjal? t? tjera, n?se t? pakt?n nj?ra prej tyre ndodh (A ose B), at?her? C do t? merret formula p?r fenomenin e p?rshkruar: C = A + B.

Ngjarjet e papajtueshme n? teorin? e probabilitetit n?nkuptojn? se dy raste jan? reciprokisht ekskluzive. N? asnj? rrethan? nuk mund t? ndodhin n? t? nj?jt?n koh?. Ngjarjet e p?rbashk?ta n? teorin? e probabilitetit jan? antipodi i tyre. Ajo q? n?nkuptohet k?tu ?sht? se n?se A ka ndodhur, at?her? ajo nuk e pengon B n? asnj? m?nyr?.

Ngjarjet e kund?rta (teoria e probabilitetit i konsideron ato n? detaje) jan? t? lehta p?r t'u kuptuar. M?nyra m? e mir? p?r t'i kuptuar ato ?sht? krahasimi. Ato jan? pothuajse t? nj?jta me ngjarjet e papajtueshme n? teorin? e probabilitetit. Por ndryshimi i tyre q?ndron n? faktin se nj? nga shum? fenomene duhet t? ndodh? n? ?do rast.

Ngjarjet po aq t? mundshme jan? ato veprime q? kan? shanse t? barabarta p?r t'u p?rs?ritur. P?r ta b?r? m? t? qart?, mund t? imagjinoni t? hidhni nj? monedh?: humbja e nj?r?s an? t? saj ka t? nj?jtat gjasa t? bjer? nga tjetra.

?sht? m? e leht? t? merret n? konsiderat? nj? ngjarje e mbar? me nj? shembull. Le t? themi se ka nj? episod B dhe nj? episod A. E para ?sht? hedhja e zarit me nj? num?r tek q? shfaqet dhe e dyta ?sht? shfaqja e numrit pes? n? peshore. Pastaj rezulton se A favorizon B.

Ngjarjet e pavarura n? teorin? e probabilitetit projektohen vet?m n? dy ose m? shum? raste dhe n?nkuptojn? pavar?sin? e ?do veprimi nga nj? tjet?r. P?r shembull, A ?sht? humbja e kokave kur hedh nj? monedh?, dhe B ?sht? t?rheqja e nj? krike nga kuverta. Ato jan? ngjarje t? pavarura n? teorin? e probabilitetit. N? k?t? pik? u b? m? e qart?.

Ngjarjet e varura n? teorin? e probabilitetit jan? gjithashtu t? lejueshme vet?m p?r nj? grup prej tyre. Ato n?nkuptojn? var?sin? e nj?r?s nga tjetra, dometh?n?, fenomeni B mund t? ndodh? vet?m n?se A ka ndodhur tashm? ose, anasjelltas, nuk ka ndodhur, kur ky ?sht? kushti kryesor p?r B.

Rezultati i nj? eksperimenti t? rast?sish?m i p?rb?r? nga nj? komponent ?sht? ngjarje elementare. Teoria e probabilitetit shpjegon se ky ?sht? nj? fenomen q? ka ndodhur vet?m nj? her?.

Formulat baz?

Pra, konceptet e "ngjarjes" dhe "teoris? s? probabilitetit" u diskutuan m? lart, u dha edhe p?rkufizimi i termave baz? t? k?saj shkence. Tani ?sht? koha p?r t'u njohur drejtp?rdrejt me formulat e r?nd?sishme. K?to shprehje konfirmojn? matematikisht t? gjitha konceptet kryesore n? nj? l?nd? kaq komplekse si teoria e probabilitetit. Mund?sia e nj? ngjarjeje gjithashtu luan nj? rol t? madh k?tu.

?sht? m? mir? t? filloni me ato themelore dhe para se t? filloni me to, ia vlen t? merrni parasysh se cilat jan? ato.

Kombinatorika ?sht? kryesisht nj? deg? e matematik?s, ajo merret me studimin e nj? numri t? madh numrash t? plot?, si dhe nd?rrime t? ndryshme si t? vet? numrave ashtu edhe t? elementeve t? tyre, t? dh?na t? ndryshme, etj., duke ?uar n? shfaqjen e nj? numri kombinimesh. P?rve? teoris? s? probabilitetit, kjo deg? ?sht? e r?nd?sishme p?r statistikat, shkencat kompjuterike dhe kriptografin?.

Pra, tani mund t? kalojm? n? paraqitjen e vet? formulave dhe p?rkufizimin e tyre.

E para prej tyre do t? jet? shprehja p?r numrin e permutacioneve, duket k?shtu:

P_n = n ? (n - 1) ? (n - 2)…3 ? 2 ? 1 = n!

Ekuacioni zbatohet vet?m n?se element?t ndryshojn? vet?m n? rendin e renditjes s? tyre.

Tani formula e vendosjes do t? merret parasysh, duket k?shtu:

A_n^m = n ? (n - 1) ? (n-2) ? ... ? (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Kjo shprehje ?sht? e zbatueshme jo vet?m p?r rendin e vendosjes s? elementit, por edhe p?r p?rb?rjen e tij.

Ekuacioni i tret? nga kombinatorika, dhe ?sht? gjithashtu i fundit, quhet formula p?r numrin e kombinimeve:

C_n^m = n! : ((n - m))! :m!

Nj? kombinim i referohet zgjedhjeve q? nuk jan? renditur n? p?rputhje me rrethanat, ky rregull zbatohet p?r to.

Ishte e leht? t? kuptosh formulat e kombinatorik?s, tani mund t? kalosh n? p?rkufizimin klasik t? probabiliteteve. Kjo shprehje duket si kjo:

N? k?t? formul?, m ?sht? numri i kushteve t? favorshme p?r ngjarjen A, dhe n ?sht? numri i absolutisht t? gjitha rezultateve elementare dhe po aq t? mundshme.

Ka nj? num?r t? madh shprehjesh, artikulli nuk do t'i mbuloj? t? gjitha, por do t? preken m? t? r?nd?sishmet, si p.sh., probabiliteti i shum?s s? ngjarjeve:

P(A + B) = P(A) + P(B) - kjo teorem? ?sht? p?r t? shtuar vet?m ngjarje t? papajtueshme;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - dhe kjo ?sht? p?r t? shtuar vet?m ato t? p?rputhshme.

Probabiliteti i ndodhjes s? ngjarjeve:

P(A ? B) = P(A) ? P(B) - kjo teorem? ?sht? p?r ngjarje t? pavarura;

(P(A ? B) = P(A) ? P(B|A); P(A ? B) = P(A) ? P(A|B)) - dhe kjo ?sht? p?r t? varurit.

Lista e ngjarjeve do t? plot?sohet me formul?n e ngjarjeve. Teoria e probabilitetit na tregon p?r teorem?n e Bayes, e cila duket si kjo:

P(H_m|A) = (P(H_m)P(A|H_m)) : (?_(k=1)^n P(H_k)P(A|H_k)),m = 1,..., n

N? k?t? formul?, H 1, H 2, ..., H n ?sht? nj? grup i plot? hipotezash.

Shembuj

N?se studioni me kujdes ndonj? seksion t? matematik?s, ai nuk ?sht? i plot? pa ushtrime dhe zgjidhje mostrash. K?shtu ?sht? edhe teoria e probabilitetit: ngjarjet dhe shembujt k?tu jan? nj? komponent integral q? konfirmon llogaritjet shkencore.

Formula p?r numrin e permutacioneve

Le t? themi se ka tridhjet? letra n? nj? kuvert? letrash, duke filluar me nj? vler?. Pyetja e radh?s. Sa m?nyra ka p?r t? grumbulluar kuvert?n n? m?nyr? q? letrat me vler?n nj? dhe dy t? mos jen? pran? nj?ra-tjetr?s?

Detyra ?sht? vendosur, tani le t? kalojm? n? zgjidhjen e saj. S? pari ju duhet t? p?rcaktoni numrin e permutacioneve t? tridhjet? elementeve, p?r k?t? marrim formul?n e paraqitur m? sip?r, rezulton P_30 = 30!.

Bazuar n? k?t? rregull, ne zbulojm? se sa opsione ka p?r t? palosur kuvert?n n? m?nyra t? ndryshme, por duhet t? zbresim prej tyre ato n? t? cilat kartat e para dhe t? dyta jan? pran? nj?ra-tjetr?s. P?r ta b?r? k?t?, le t? fillojm? me opsionin kur i pari ?sht? mbi t? dytin. Rezulton se letra e par? mund t? z?r? nj?zet e n?nt? vende - nga e para n? t? nj?zet e n?nt?n, dhe letra e dyt? nga e dyta n? t? tridhjet?n, duke b?r? gjithsej nj?zet e n?nt? vende p?r nj? pal? letra. Nga ana tjet?r, pjesa tjet?r mund t? pranoj? nj?zet e tet? vende, dhe n? ?do m?nyr?. Kjo do t? thot?, p?r t? riorganizuar nj?zet e tet? letra, ka nj?zet e tet? opsione P_28 = 28!

Si rezultat, rezulton se n?se marrim parasysh zgjidhjen kur letra e par? ?sht? mbi t? dytin, do t? ket? 29 ? 28 mund?si shtes?! = 29!

Duke p?rdorur t? nj?jt?n metod?, duhet t? llogaritni numrin e opsioneve t? tep?rta p?r rastin kur karta e par? ?sht? n?n t? dytin. Gjithashtu rezulton t? jet? 29 ? 28! = 29!

Nga kjo rezulton se ka 2 ? 29 opsione shtes?!, nd?rsa m?nyrat e nevojshme p?r t? montuar nj? kuvert? jan? 30! - 2 ? 29!. Gjith?ka q? mbetet ?sht? t? num?rohet.

30! = 29! ? 30; 30!- 2 ? 29! = 29! ? (30 - 2) = 29! ? 28

Tani ju duhet t? shum?zoni t? gjith? numrat nga nj? n? nj?zet e n?nt? dhe m? n? fund t? shum?zoni gjith?ka me 28. P?rgjigja ?sht? 2,4757335 ??10?^32

Shembull zgjidhje. Formula p?r numrin e vendosjes

N? k?t? problem, duhet t? zbuloni se sa m?nyra ka p?r t? vendosur pes?mb?dhjet? v?llime n? nj? raft, por me kusht q? t? ket? tridhjet? v?llime n? total.

Zgjidhja e k?tij problemi ?sht? pak m? e thjesht? se ajo e m?parshme. Duke p?rdorur formul?n tashm? t? njohur, ?sht? e nevojshme t? llogaritet numri i p?rgjithsh?m i aranzhimeve prej tridhjet? v?llimesh prej pes?mb?dhjet?.

A_30^15 = 30 ? 29 ? 28?... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? 16 = 202 843 204 931 72003

P?rgjigja, n? p?rputhje me rrethanat, do t? jet? e barabart? me 202,843,204,931,727,360,000.

Tani le t? marrim nj? detyr? pak m? t? v?shtir?. Ju duhet t? zbuloni se sa m?nyra ka p?r t? rregulluar tridhjet? libra n? dy rafte librash, duke qen? se nj? raft mund t? mbaj? vet?m pes?mb?dhjet? v?llime.

Para se t? filloj zgjidhjen, do t? doja t? sqaroja se disa probleme mund t? zgjidhen n? disa m?nyra, dhe kjo ka dy metoda, por t? dyja p?rdorin t? nj?jt?n formul?.

N? k?t? problem mund t? marr?sh p?rgjigjen nga ai i m?parshmi, sepse aty kemi llogaritur sa her? mund t? mbush?sh nj? raft me pes?mb?dhjet? libra n? m?nyra t? ndryshme. Doli A_30^15 = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ...? 16.

Raftin e dyt? do ta llogarisim duke p?rdorur formul?n e nd?rrimit, sepse n? t? mund t? vendosen pes?mb?dhjet? libra, nd?rsa mbeten vet?m pes?mb?dhjet?. Ne p?rdorim formul?n P_15 = 15!.

Rezulton se totali do t? jet? A_30^15 ? P_15 m?nyra, por, p?rve? k?saj, produkti i t? gjith? numrave nga tridhjet? n? gjasht?mb?dhjet? do t? duhet t? shum?zohet me prodhimin e numrave nga nj? n? pes?mb?dhjet?, n? fund ju do t? marr? prodhimin e t? gjith? numrave nga nj? deri n? tridhjet?, dometh?n?, p?rgjigja ?sht? e barabart? me 30!

Por ky problem mund t? zgjidhet n? nj? m?nyr? tjet?r - m? e leht?. P?r ta b?r? k?t?, mund t? imagjinoni se ka nj? raft p?r tridhjet? libra. T? gjith? jan? vendosur n? k?t? aeroplan, por meqen?se kushti k?rkon q? t? ket? dy rafte, ne pam? nj? t? gjat? nj? n? gjysm?, k?shtu q? marrim dy nga pes?mb?dhjet?. Nga kjo rezulton se mund t? ket? P_30 = 30 opsione p?r rregullim!.

Shembull zgjidhje. Formula p?r numrin e kombinimit

Tani do t? shqyrtojm? nj? version t? problemit t? tret? nga kombinatorika. ?sht? e nevojshme t? zbuloni se sa m?nyra ka p?r t? rregulluar pes?mb?dhjet? libra, me kusht q? t? duhet t? zgjidhni nga tridhjet? absolutisht identik?.

P?r t? zgjidhur, sigurisht, do t? zbatohet formula p?r numrin e kombinimeve. Nga kushti b?het e qart? se renditja e pes?mb?dhjet? librave identik? nuk ?sht? e r?nd?sishme. Prandaj, fillimisht duhet t? zbuloni numrin e p?rgjithsh?m t? kombinimeve t? tridhjet? librave me pes?mb?dhjet?.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Kjo ?sht? ajo. Duke p?rdorur k?t? formul?, ne ishim n? gjendje ta zgjidhim k?t? problem n? koh?n m? t? shkurt?r t? mundshme, p?rgjigja, n? p?rputhje me rrethanat, ?sht? 155,117,520.

Shembull zgjidhje. P?rkufizimi klasik i probabilitetit

Duke p?rdorur formul?n e m?sip?rme, mund t? gjeni p?rgjigjen p?r nj? problem t? thjesht?. Por kjo do t? ndihmoj? p?r t? par? dhe gjurmuar qart? ecurin? e veprimeve.

Problemi thot? se ka dhjet? topa absolutisht identik? n? urn?. Prej tyre, kat?r jan? t? verdha dhe gjasht? jan? blu. Nj? top merret nga urna. Ju duhet t? zbuloni probabilitetin p?r t'u b?r? blu.

P?r t? zgjidhur problemin, ?sht? e nevojshme t? caktohet marrja e topit blu si ngjarja A. Ky eksperiment mund t? ket? dhjet? rezultate, t? cilat, nga ana tjet?r, jan? elementare dhe po aq t? mundshme. N? t? nj?jt?n koh?, nga dhjet?, gjasht? jan? t? favorshme p?r ngjarjen A. Ne e zgjidhim duke p?rdorur formul?n:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Duke zbatuar k?t? formul?, m?suam se probabiliteti p?r t? marr? topin blu ?sht? 0.6.

Shembull zgjidhje. Probabiliteti i shum?s s? ngjarjeve

Tani do t? paraqitet nj? opsion q? zgjidhet duke p?rdorur formul?n e probabilitetit t? shum?s s? ngjarjeve. Pra, jepet kushti q? t? jen? dy kuti, e para p?rmban nj? gri dhe pes? topa t? bardh?, dhe e dyta p?rmban tet? topa gri dhe kat?r topa t? bardh?. Si rezultat, ata mor?n nj?r?n prej tyre nga kutia e par? dhe e dyt?. Ju duhet t? zbuloni se cila ?sht? mund?sia q? topat q? merrni t? jen? gri dhe t? bardh?.

P?r t? zgjidhur k?t? problem, ?sht? e nevojshme t? identifikohen ngjarjet.

• Pra, A - mori nj? top gri nga kutia e par?: P(A) = 1/6.
• A’ - mori nj? top t? bardh? gjithashtu nga kutia e par?: P(A") = 5/6.
• B - nj? top gri u hoq nga kutia e dyt?: P(B) = 2/3.
• B’ - mori nj? top gri nga kutia e dyt?: P(B") = 1/3.

Sipas kushteve t? problemit ?sht? e nevojshme q? t? ndodh? nj? nga dukurit?: AB’ ose A’B. Duke p?rdorur formul?n, marrim: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Tani ?sht? p?rdorur formula p?r shum?zimin e probabilitetit. Tjetra, p?r t? gjetur p?rgjigjen, duhet t? zbatoni ekuacionin e mbledhjes s? tyre:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

K?shtu mund t? zgjidhni probleme t? ngjashme duke p?rdorur formul?n.

Fundi

Artikulli prezantoi informacione mbi tem?n "Teoria e probabilitetit", n? t? cil?n probabiliteti i nj? ngjarjeje luan nj? rol jetik. Sigurisht, jo gjith?ka u mor parasysh, por, bazuar n? tekstin e paraqitur, teorikisht mund t? njiheni me k?t? pjes? t? matematik?s. Shkenca n? fjal? mund t? jet? e dobishme jo vet?m n? ??shtjet profesionale, por edhe n? jet?n e p?rditshme. Me ndihm?n e tij, ju mund t? llogarisni ?do mund?si p?r ?do ngjarje.

Teksti preku gjithashtu data t? r?nd?sishme n? historin? e formimit t? teoris? s? probabilitetit si shkenc?, dhe emrat e njer?zve, puna e t? cil?ve u investua n? t?. Kjo ?sht? m?nyra se si kurioziteti njer?zor ?oi n? faktin q? njer?zit m?suan t? llogarisin edhe ngjarje t? rast?sishme. Nj?her? e nj? koh? ata thjesht ishin t? interesuar p?r k?t?, por sot t? gjith? tashm? e din? p?r k?t?. Dhe askush nuk do t? thot? se ?far? na pret n? t? ardhmen, ?far? zbulimesh t? tjera t? shk?lqyera n? lidhje me teorin? n? shqyrtim do t? b?hen. Por nj? gj? ?sht? e sigurt - hulumtimi nuk q?ndron ende!

Ky ?sht? raporti i numrit t? atyre v?zhgimeve n? t? cilat ka ndodhur ngjarja n? fjal? me numrin e p?rgjithsh?m t? v?zhgimeve. Ky interpretim ?sht? i pranuesh?m n? rastin e nj? numri mjaft t? madh v?zhgimesh ose eksperimentesh. P?r shembull, n?se rreth gjysma e njer?zve q? takoni n? rrug? jan? gra, at?her? mund t? thoni se probabiliteti q? personi q? takoni n? rrug? t? jet? grua ?sht? 1/2. Me fjal? t? tjera, nj? vler?sim i probabilitetit t? nj? ngjarjeje mund t? jet? frekuenca e shfaqjes s? saj n? nj? seri t? gjat? p?rs?ritjesh t? pavarura t? nj? eksperimenti t? rast?sish?m.

Probabiliteti n? matematik?

N? qasjen moderne matematikore, probabiliteti klasik (d.m.th., jo kuantik) jepet nga aksiomatika Kolmogorov. Probabiliteti ?sht? nj? mas? P, e cila p?rcaktohet n? set X, e quajtur hap?sira e probabilitetit. Kjo mas? duhet t? ket? k?to karakteristika:

Nga k?to kushte del se masa e probabilitetit P ka edhe pron?n aditiviteti: n?se vendoset A 1 dhe A 2 mos kryq?zoni, at?her? . P?r t? v?rtetuar, duhet t? vendosni gjith?ka A 3 , A 4 , ... baraz me grupin bosh dhe zbato vetin? e aditivitetit t? num?ruesh?m.

Masa e probabilitetit mund t? mos p?rcaktohet p?r t? gjitha n?ngrupet e grupit X. Mjafton ta p?rcaktojm? n? nj? algjeb?r sigma, t? p?rb?r? nga disa n?nbashk?si t? grupit X. N? k?t? rast, ngjarjet e rast?sishme p?rcaktohen si n?nbashk?si t? matshme t? hap?sir?s X, pra si elemente t? algjebr?s sigma.

Ndjenja e probabilitetit

Kur zbulojm? se arsyet p?r disa fakte t? mundshme q? ndodhin n? t? v?rtet? tejkalojn? arsyet e kund?rta, ne e konsiderojm? at? fakt e mundshme, ndryshe - e pabesueshme. Ky mbizot?rim i bazave pozitive ndaj atyre negative, dhe anasjelltas, mund t? p?rfaq?soj? nj? grup t? pacaktuar shkall?sh, si rezultat i t? cilave probabiliteti(Dhe pamund?si) Ndodh m? shum? ose m? pak .

Faktet komplekse individuale nuk lejojn? nj? llogaritje t? sakt? t? shkall?ve t? probabilitetit t? tyre, por edhe k?tu ?sht? e r?nd?sishme t? krijohen disa n?nndarje t? m?dha. K?shtu, p?r shembull, n? fush?n juridike, kur nj? fakt personal objekt gjykimi v?rtetohet mbi baz?n e d?shmis?, ai mbetet gjithmon?, n? m?nyr? rigoroze, vet?m i mundsh?m dhe duhet ditur se sa e r?nd?sishme ?sht? kjo probabilitet; n? t? drejt?n romake u miratua nj? ndarje e kat?rfisht? k?tu: probatio plena(ku probabiliteti praktikisht shnd?rrohet n? besueshm?ria), pastaj - probatio minus plena, pastaj - probatio semiplena major dhe n? fund probatio semiplena minor .

P?rve? ??shtjes s? probabilitetit t? ??shtjes, mund t? lind? pyetja, si n? fush?n e s? drejt?s ashtu edhe n? at? moral (me nj? k?ndv?shtrim t? caktuar etik), se sa e mundshme ka q? nj? fakt i caktuar t? p?rb?j? nj? shkelje e ligjit t? p?rgjithsh?m. Kjo pyetje, e cila sh?rben si motivi kryesor n? jurisprudenc?n fetare t? Talmudit, gjithashtu shkaktoi nd?rtime sistematike shum? komplekse dhe nj? literatur? t? madhe, dogmatike dhe polemike, n? teologjin? morale katolike romake (ve?an?risht nga fundi i shekullit t? 16-t?) shih Probabiliz?m).

Koncepti i probabilitetit lejon nj? shprehje t? caktuar numerike kur zbatohet vet?m p?r fakte t? tilla q? jan? pjes? e serive t? caktuara homogjene. Pra (n? shembullin m? t? thjesht?), kur dikush hedh nj? monedh? nj?qind her? radhazi, ne gjejm? k?tu nj? seri t? p?rgjithshme ose t? madhe (shuma e t? gjitha r?nieve t? monedh?s), e p?rb?r? nga dy private ose m? t? vogla, n? k?t? rast numerikisht. e barabart?, seri (bie " koka" dhe bie "bisht"); Probabiliteti q? k?t? her? monedha t? zbarkoj?, dometh?n? q? ky an?tar i ri i seris? s? p?rgjithshme t'i p?rkas? k?saj prej dy serive m? t? vogla, ?sht? i barabart? me fraksionin q? shpreh marr?dh?nien numerike midis k?saj serie t? vog?l dhe asaj m? t? madhe, gjegj?sisht 1/2, dometh?n?, i nj?jti probabilitet i p?rket nj?r?s ose tjetr?s nga dy seri t? ve?anta. N? shembuj m? pak t? thjesht?, p?rfundimi nuk mund t? nxirret drejtp?rdrejt nga t? dh?nat e vet? problemit, por k?rkon induksion paraprak. K?shtu, p?r shembull, pyetja ?sht?: sa ?sht? probabiliteti q? nj? i porsalindur i caktuar t? jetoj? deri n? 80 vje?? K?tu duhet t? ket? nj? seri t? p?rgjithshme, ose t? madhe, t? nj? numri t? caktuar njer?zish t? lindur n? kushte t? ngjashme dhe q? vdesin n? mosha t? ndryshme (ky num?r duhet t? jet? mjaftuesh?m i madh p?r t? eliminuar devijimet e rast?sishme dhe mjaftuesh?m i vog?l p?r t? ruajtur homogjenitetin e seris?, p?r p?r nj? person, i lindur, p?r shembull, n? Sh?n Petersburg n? nj? familje t? pasur, t? kulturuar, e gjith? popullsia milionashe e qytetit, nj? pjes? e konsiderueshme e s? cil?s p?rb?het nga njer?z nga grupe t? ndryshme q? mund t? vdesin para kohe - ushtar?, gazetar?, pun?tor?t n? profesione t? rrezikshme - p?rfaq?son nj? grup shum? heterogjen p?r nj? p?rcaktim real t? probabilitetit); le t? p?rb?het kjo seri e p?rgjithshme nga dhjet? mij? jet? njer?zore; ai p?rfshin seri m? t? vogla q? p?rfaq?sojn? numrin e njer?zve q? mbijetojn? n? nj? mosh? t? caktuar; nj? nga k?to seri m? t? vogla p?rfaq?son numrin e njer?zve q? jetojn? deri n? mosh?n 80 vje?. Por ?sht? e pamundur t? p?rcaktohet numri i k?saj serie m? t? vog?l (si gjith? t? tjer?t) a priori; kjo b?het thjesht n? m?nyr? induktive, n?p?rmjet statistikave. Supozoni se studimet statistikore kan? v?rtetuar se nga 10,000 banor? t? klas?s s? mesme n? Sh?n Petersburg, vet?m 45 jetojn? deri n? 80 vje?; K?shtu, kjo seri m? e vog?l lidhet me at? m? t? madhe pasi 45 ?sht? me 10,000, dhe probabiliteti q? nj? person i caktuar t'i p?rkas? k?saj serie m? t? vog?l, dometh?n? t? jetoj? deri n? 80 vje?, shprehet si fraksion 0.0045. Studimi i probabilitetit nga pik?pamja matematikore p?rb?n nj? disiplin? t? ve?ant? - teorin? e probabilitetit.

Shihni gjithashtu

Sh?nime

Let?rsia

• Alfred Renyi. Letra mbi probabilitetin / trans. nga hungarezja D. Saas dhe A. Crumley, eds. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Kursi i teoris? s? probabilitetit. M., 2007. 42 f.
• Kuptsov V.I. Determinizmi dhe probabiliteti. M., 1976. 256 f.

Fondacioni Wikimedia.

Sinonimet:

Antonimet

Shihni se ?far? ?sht? "Probabiliteti" n? fjalor? t? tjer?: T? p?rgjithshme shkencore dhe filozofike. nj? kategori q? tregon shkall?n sasiore t? mund?sis? s? shfaqjes s? ngjarjeve t? rast?sishme masive n? kushte fikse v?zhgimi, duke karakterizuar q?ndrueshm?rin? e frekuencave t? tyre relative. N? logjik?, shkall? semantike... ...

Enciklopedia Filozofike PROBABILITETI, nj? num?r n? rangun nga zero n? nj? p?rfshir?s, q? p?rfaq?son mund?sin? e nj? ngjarjeje t? caktuar. Probabiliteti i nj? ngjarjeje p?rcaktohet si raporti i numrit t? shanseve q? nj? ngjarje t? mund t? ndodh? me numrin total t? t? mundshmeve... ...

Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik Sipas t? gjitha gjasave.. Fjalor sinonimesh ruse dhe shprehje t? ngjashme. n?n. ed. N. Abramova, M.: Fjalor?t rus?, 1999. probabiliteti mund?sia, gjasat, rast?sia, mund?sia objektive, maza, pranueshm?ria, rreziku. Ant. pamundesi......

probabiliteti Fjalor sinonimish - Nj? mas? q? nj? ngjarje ka gjasa t? ndodh?. Sh?nim P?rkufizimi matematikor i probabilitetit ?sht?: "nj? num?r real midis 0 dhe 1 q? shoq?rohet me nj? ngjarje t? rast?sishme". Numri mund t? pasqyroj? frekuenc?n relative n? nj? seri v?zhgimesh... ...

Udh?zues teknik i p?rkthyesit Probabiliteti - "Nj? karakteristik? matematikore, numerike e shkall?s s? mund?sis? s? ndodhjes s? ndonj? ngjarjeje n? kushte t? caktuara specifike q? mund t? p?rs?ritet nj? num?r t? pakufizuar her?". Bazuar n? k?t? klasik... ...

Fjalor ekonomik dhe matematikor - (probabiliteti) Mund?sia e ndodhjes s? nj? ngjarjeje ose t? nj? rezultati t? caktuar. Mund t? paraqitet n? form?n e nj? shkalle me ndarje nga 0 n? 1. N?se probabiliteti i nj? ngjarjeje ?sht? zero, ndodhja e saj ?sht? e pamundur. Me nj? probabilitet t? barabart? me 1, fillimi i...