Ushbu maqolada usul chiziqli tenglamalar tizimini (SLAE) echish usuli sifatida ko'rib chiqiladi. Usul analitik, ya'ni yechim algoritmini yozish imkonini beradi umumiy ko'rinish, va keyin u erda aniq misollardagi qiymatlarni almashtiring. Matritsa usuli yoki Kramer formulalaridan farqli o'laroq, Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echishda siz cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lganlar bilan ham ishlashingiz mumkin. Yoki ularda umuman yo'q.

Gauss nimani anglatadi?

Avval siz bizning tenglamalar tizimini yozishingiz kerak. Bu shunday ko'rinadi. Tizim olinadi:

Koeffitsientlar jadval shaklida, o'ng tomonda esa alohida ustunda - bo'sh a'zolar yoziladi. Bo'sh a'zolar bo'lgan ustun qulaylik uchun ajratilgan.Ushbu ustunni o'z ichiga olgan matritsa kengaytirilgan deb ataladi.

Bundan tashqari, koeffitsientli asosiy matritsa yuqori uchburchak shaklga tushirilishi kerak. Bu tizimni Gauss usuli bilan yechishning asosiy nuqtasidir. Oddiy qilib aytganda, ma'lum manipulyatsiyalardan so'ng, matritsa shunday ko'rinishi kerak, shunda uning pastki chap qismida faqat nollar bo'ladi:

Keyin, agar siz yangi matritsani yana tenglamalar tizimi sifatida yozsangiz, oxirgi qatorda ildizlardan birining qiymati allaqachon mavjud bo'lib, keyin yuqoridagi tenglamaga almashtiriladi, boshqa ildiz topiladi va hokazo.

Bu Gauss usuli bo'yicha yechimning eng umumiy ma'noda tavsifi. Va agar to'satdan tizimda yechim bo'lmasa nima bo'ladi? Yoki ularning cheksiz soni bormi? Bu va boshqa ko'plab savollarga javob berish uchun Gauss usuli bo'yicha yechimda ishlatiladigan barcha elementlarni alohida ko'rib chiqish kerak.

Matritsalar, ularning xossalari

Matritsada yashirin ma'no yo'q. Bu keyingi operatsiyalar uchun ma'lumotlarni yozib olishning qulay usuli. Hatto maktab o'quvchilari ham ulardan qo'rqmasliklari kerak.

Matritsa har doim to'rtburchaklar shaklida bo'ladi, chunki u qulayroqdir. Hatto Gauss usulida ham, hamma narsa uchburchak matritsani qurishga to'g'ri keladi, yozuvda to'rtburchaklar paydo bo'ladi, faqat raqamlar bo'lmagan joyda nollar mavjud. Nollarni o'tkazib yuborish mumkin, ammo ular nazarda tutilgan.

Matritsaning o'lchami bor. Uning "kengligi" qatorlar soni (m), "uzunligi" - ustunlar soni (n). Keyin A matritsasining o'lchami (odatda ularni belgilash uchun katta lotin harflari ishlatiladi) A mxn sifatida belgilanadi. Agar m=n bo'lsa, bu matritsa kvadrat, m=n esa uning tartibi. Shunga ko'ra, A matritsaning istalgan elementini uning satri va ustuni soni bilan belgilash mumkin: a xy ; x - qator raqami, o'zgarishlar , y - ustun raqami, o'zgarishlar .

B yechimning asosiy nuqtasi emas. Asosan, barcha operatsiyalar to'g'ridan-to'g'ri tenglamalarning o'zlari bilan bajarilishi mumkin, ammo yozuv ancha og'irroq bo'lib chiqadi va unda chalkashib ketish ancha oson bo'ladi.

Aniqlovchi

Matritsaning determinanti ham bor. Bu juda muhim xususiyatdir. Endi uning ma'nosini topish bunga loyiq emas, siz shunchaki uning qanday hisoblanganligini ko'rsatishingiz mumkin, so'ngra matritsaning qaysi xususiyatlarini aniqlayotganini aytishingiz mumkin. Determinantni topishning eng oson yo'li diagonallardir. Matritsada xayoliy diagonallar chiziladi; ularning har birida joylashgan elementlar ko'paytiriladi, so'ngra hosil bo'lgan mahsulotlar qo'shiladi: o'ngga nishabli diagonallar - "ortiqcha" belgisi bilan, chap tomonda - "minus" belgisi bilan.

Shuni ta'kidlash kerakki, determinant faqat kvadrat matritsa uchun hisoblanishi mumkin. To'rtburchaklar matritsa uchun siz quyidagilarni qilishingiz mumkin: qatorlar soni va ustunlar sonidan eng kichigini tanlang (u k bo'lsin), so'ngra matritsadagi k ustun va k qatorni tasodifiy belgilang. Tanlangan ustunlar va qatorlar kesishmasida joylashgan elementlar yangi kvadrat matritsa hosil qiladi. Agar bunday matritsaning determinanti noldan boshqa raqam bo'lsa, u asl to'rtburchaklar matritsaning asosiy minori deb ataladi.

Gauss usuli bilan tenglamalar tizimini yechishga kirishishdan oldin determinantni hisoblash zarar qilmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, biz darhol aytishimiz mumkinki, matritsada cheksiz ko'p echimlar mavjud yoki umuman yo'q. Bunday qayg'uli holatda siz oldinga borib, matritsaning darajasi haqida bilib olishingiz kerak.

Tizim tasnifi

Matritsaning darajasi kabi narsa bor. Bu uning nolga teng bo'lmagan determinantining maksimal tartibi (minor asosini eslab, matritsaning darajasi bazis minorning tartibi deb aytishimiz mumkin).

Narsalar darajasiga ko'ra, SLAE ni quyidagilarga bo'lish mumkin:

• Birgalikda. Da qo'shma tizimlar uchun asosiy matritsaning darajasi (faqat koeffitsientlardan iborat) kengaytirilgan (erkin atamalar ustuni bilan) darajasiga to'g'ri keladi. Bunday tizimlar yechimga ega, ammo bitta emas, shuning uchun qo'shma tizimlar qo'shimcha ravishda quyidagilarga bo'linadi:
• - aniq- o'ziga xos yechimga ega bo'lish. Muayyan tizimlarda matritsaning darajasi va noma'lumlar soni (yoki bir xil bo'lgan ustunlar soni) tengdir;
• - cheksiz - cheksiz ko'p echimlar bilan. Bunday tizimlar uchun matritsalar darajasi noma'lumlar sonidan kamroq.
• Mos kelmaydi. Da bunday tizimlarda asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajalari mos kelmaydi. Mos kelmaydigan tizimlarning yechimi yo'q.

Gauss usuli yaxshi, chunki u tizimning nomuvofiqligini aniq isbotini (katta matritsalarning determinantlarini hisoblamasdan) yoki yechim davomida cheksiz miqdordagi echimlarga ega bo'lgan tizim uchun umumiy echimni olishga imkon beradi.

Elementar transformatsiyalar

To'g'ridan-to'g'ri tizimning echimiga o'tishdan oldin, uni kamroq noqulay va hisob-kitoblar uchun qulayroq qilish mumkin. Bunga elementar transformatsiyalar orqali erishiladi - ularni amalga oshirish yakuniy javobni hech qanday tarzda o'zgartirmaydi. Shuni ta'kidlash kerakki, yuqoridagi elementar o'zgarishlarning ba'zilari faqat matritsalar uchun amal qiladi, ularning manbai aniq SLAE edi. Mana bu o'zgarishlar ro'yxati:

1. String almashtirish. Ko'rinib turibdiki, agar biz tizim yozuvidagi tenglamalar tartibini o'zgartirsak, bu yechimga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi. Binobarin, bu tizimning matritsasidagi satrlarni almashish ham mumkin, albatta, erkin a'zolar ustuni haqida ham unutmang.
2. Satrning barcha elementlarini qandaydir omilga ko'paytirish. Juda foydali! Uning yordamida siz matritsadagi katta raqamlarni kamaytirishingiz yoki nollarni olib tashlashingiz mumkin. Yechimlar to'plami, odatdagidek, o'zgarmaydi va keyingi operatsiyalarni bajarish qulayroq bo'ladi. Asosiysi, koeffitsient nolga teng emas.
3. Proportsional koeffitsientli qatorlarni o'chirish. Bu qisman oldingi paragrafdan kelib chiqadi. Agar matritsadagi ikki yoki undan ortiq satrlar proportsional koeffitsientlarga ega bo'lsa, u holda satrlardan birini mutanosiblik koeffitsientiga ko'paytirish / bo'lishda ikkita (yoki yana, yana) mutlaqo bir xil qatorlar olinadi va siz qo'shimchalarni olib tashlashingiz mumkin, faqat qolgan. bitta.
4. Null qatorni olib tashlash. Agar transformatsiyalar jarayonida barcha elementlar, shu jumladan erkin a'zo ham nolga teng bo'lgan satr olingan bo'lsa, unda bunday qatorni nol deb atash va matritsadan chiqarib tashlash mumkin.
5. Bir qatorning elementlariga boshqasining elementlarini qo'shish (tegishli ustunlarda), ma'lum bir koeffitsientga ko'paytiriladi. Eng noaniq va eng muhim transformatsiya. Bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tishga arziydi.

Koeffitsientga ko'paytirilgan qatorni qo'shish

Tushunish qulayligi uchun ushbu jarayonni bosqichma-bosqich qismlarga ajratishga arziydi. Matritsadan ikkita qator olinadi:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Aytaylik, birinchisini ikkinchisiga qo'shish kerak, "-2" koeffitsientiga ko'paytiriladi.

a" 21 \u003d a 21 + -2 x a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 x a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 x a 1n

Keyin matritsada ikkinchi qator yangisi bilan almashtiriladi va birinchisi o'zgarishsiz qoladi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Shuni ta'kidlash kerakki, ko'paytirish koeffitsientini shunday tanlash mumkinki, ikkita qator qo'shilishi natijasida yangi qatorning elementlaridan biri nolga teng bo'ladi. Shuning uchun tizimda tenglamani olish mumkin, bu erda kamroq noma'lum bo'ladi. Va agar siz ikkita bunday tenglamani olsangiz, unda operatsiya yana bajarilishi mumkin va ikkita kamroq noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamani olishingiz mumkin. Va agar biz har safar asl satrdan past bo'lgan barcha qatorlar uchun bitta koeffitsientni nolga aylantirsak, biz qadamlar kabi matritsaning eng pastki qismiga tushib, bitta noma'lum tenglamani olishimiz mumkin. Bu tizimni Gauss usuli yordamida yechish deyiladi.

Umuman

Tizim bo'lsin. U m tenglama va n ta noma'lum ildizga ega. Siz buni quyidagicha yozishingiz mumkin:

Asosiy matritsa tizim koeffitsientlaridan tuzilgan. Kengaytirilgan matritsaga bepul a'zolar ustuni qo'shiladi va qulaylik uchun bar bilan ajratiladi.

• matritsaning birinchi qatori k = (-a 21 / a 11) koeffitsientiga ko'paytiriladi;
• matritsaning birinchi o'zgartirilgan qatori va ikkinchi qatori qo'shiladi;
• ikkinchi qator o‘rniga matritsaga oldingi banddagi qo‘shimchaning natijasi kiritiladi;
• endi yangi ikkinchi qatordagi birinchi koeffitsient 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Endi bir xil transformatsiyalar seriyasi amalga oshiriladi, faqat birinchi va uchinchi qatorlar ishtirok etadi. Shunga ko'ra, algoritmning har bir bosqichida a 21 elementi 31 ga almashtiriladi. Keyin hamma narsa 41, ... a m1 uchun takrorlanadi. Natijada qatorlardagi birinchi element nolga teng bo'lgan matritsa hosil bo'ladi. Endi biz birinchi qatorni unutib, ikkinchi qatordan boshlab bir xil algoritmni bajarishimiz kerak:

• koeffitsient k \u003d (-a 32 / a 22);
• ikkinchi o'zgartirilgan qator "joriy" qatorga qo'shiladi;
• qo‘shish natijasi uchinchi, to‘rtinchi va shunga o‘xshash qatorlarda almashtiriladi, birinchi va ikkinchisi esa o‘zgarishsiz qoladi;
• matritsaning qatorlarida birinchi ikkita element allaqachon nolga teng.

Algoritmni k = (-a m,m-1 /a mm) koeffitsienti paydo bo'lguncha takrorlash kerak. Bu shuni anglatadiki, algoritm oxirgi marta faqat pastki tenglama uchun bajarilgan. Endi matritsa uchburchakka o'xshaydi yoki pog'onali shaklga ega. Pastki qatorda a mn x x n = b m tengligi mavjud. Koeffitsient va erkin muddat ma'lum va ildiz ular orqali ifodalanadi: x n = b m /a mn. Olingan ildiz x n-1 = (b m-1 - a m-1,n x(b m /a mn))?a m-1,n-1 ni topish uchun yuqori qatorga almashtiriladi. Va shunga o'xshash o'xshashlik: har bir keyingi qatorda yangi ildiz mavjud va tizimning "yuqori" ga etib, siz ko'plab echimlarni topishingiz mumkin. Bu yagona bo'ladi.

Yechimlar bo'lmaganda

Agar matritsa qatorlaridan birida erkin haddan tashqari barcha elementlar nolga teng bo'lsa, bu qatorga mos keladigan tenglama 0 = b ko'rinadi. Buning yechimi yo'q. Va bunday tenglama tizimga kiritilganligi sababli, butun tizimning echimlar to'plami bo'sh, ya'ni degenerativdir.

Cheksiz ko'p echimlar mavjud bo'lganda

Ma'lum bo'lishicha, qisqartirilgan uchburchak matritsada bitta element - tenglama koeffitsienti va bitta - bo'sh a'zo bo'lgan qatorlar yo'q. Qayta yozilsa, ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamaga o'xshab ketadigan faqat satrlar mavjud. Bu shuni anglatadiki, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Bunday holda, javob umumiy yechim shaklida berilishi mumkin. Buni qanday qilish kerak?

Matritsadagi barcha o'zgaruvchilar asosiy va erkin bo'linadi. Asosiy - bu pog'onali matritsadagi qatorlarning "chekkasida" turganlar. Qolganlari bepul. Umumiy yechimda asosiy o'zgaruvchilar erkin bo'lganlar nuqtai nazaridan yoziladi.

Qulaylik uchun matritsa birinchi navbatda tenglamalar tizimiga qayta yoziladi. Keyin ularning oxirgisida, faqat bitta asosiy o'zgaruvchi qolgan joyda, u bir tomonda qoladi, qolganlari esa boshqasiga o'tkaziladi. Bu bitta asosiy o'zgaruvchiga ega bo'lgan har bir tenglama uchun amalga oshiriladi. Keyin, qolgan tenglamalarda, iloji bo'lsa, asosiy o'zgaruvchining o'rniga, uning uchun olingan ifoda almashtiriladi. Agar natijada faqat bitta asosiy o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifoda yana paydo bo'lsa, u erdan yana ifodalanadi va har bir asosiy o'zgaruvchi erkin o'zgaruvchilarga ega ifoda sifatida yozilgunga qadar davom etadi. Bu SLAE ning umumiy yechimidir.

Shuningdek, siz tizimning asosiy yechimini topishingiz mumkin - bepul o'zgaruvchilarga har qanday qiymatlarni bering, so'ngra ushbu alohida holat uchun asosiy o'zgaruvchilarning qiymatlarini hisoblang. Cheksiz ko'p maxsus echimlar mavjud.

Muayyan misollar bilan yechim

Bu erda tenglamalar tizimi.

Qulaylik uchun darhol uning matritsasini yaratish yaxshiroqdir

Ma'lumki, Gauss usuli bilan yechishda birinchi qatorga mos keladigan tenglama o'zgartirishlar oxirida o'zgarishsiz qoladi. Shuning uchun, agar matritsaning yuqori chap elementi eng kichik bo'lsa, foydaliroq bo'ladi - keyin operatsiyalardan keyin qolgan qatorlarning birinchi elementlari nolga aylanadi. Bu shuni anglatadiki, tuzilgan matritsada birinchi qator o'rniga ikkinchisini qo'yish foydali bo'ladi.

ikkinchi qator: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k x a 11 \u003d 3 + (-3) x 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k x a 12 \u003d -1 + (-3) x 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k x b 1 \u003d 12 + (-3) x 12 \u003d -24

uchinchi qator: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k x b 1 \u003d 3 + (-5) x 12 \u003d -57

Endi, chalkashmaslik uchun, matritsani o'zgartirishlarning oraliq natijalari bilan yozish kerak.

Ko'rinib turibdiki, bunday matritsani ba'zi operatsiyalar yordamida idrok qilish uchun qulayroq qilish mumkin. Misol uchun, har bir elementni "-1" ga ko'paytirish orqali ikkinchi qatordan barcha "minuslar" ni olib tashlashingiz mumkin.

Shuni ham ta'kidlash joizki, uchinchi qatorda barcha elementlar uchga ko'paytiriladi. Keyin har bir elementni "-1/3" ga ko'paytirib, satrni bu raqamga kamaytirishingiz mumkin (minus - bir vaqtning o'zida salbiy qiymatlarni olib tashlash uchun).

Juda chiroyli ko'rinadi. Endi biz birinchi qatorni yolg'iz qoldirib, ikkinchi va uchinchi bilan ishlashimiz kerak. Vazifa - ikkinchi qatorni uchinchi qatorga qo'shish, a 32 elementi nolga teng bo'ladigan koeffitsientga ko'paytiriladi.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 kasrlar va shundan keyingina, javoblar olingandan so'ng, yaxlitlash va yozuvning boshqa shakliga tarjima qilish haqida qaror qabul qiling)

a" 32 = a 32 + k x a 22 = 3 + (-3/7) x 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k x a 23 \u003d 6 + (-3/7) x 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k x b 2 \u003d 19 + (-3/7) x 24 \u003d -61/7

Matritsa yana yangi qiymatlar bilan yoziladi.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Ko'rib turganingizdek, natijada olingan matritsa allaqachon bosqichli shaklga ega. Shuning uchun tizimni Gauss usuli bo'yicha keyingi o'zgartirishlar talab qilinmaydi. Bu erda nima qilish mumkin - uchinchi qatordan umumiy "-1/7" koeffitsientini olib tashlash.

Endi hamma narsa chiroyli. Nuqta kichik - matritsani yana tenglamalar tizimi shaklida yozing va ildizlarni hisoblang

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Endi ildizlarni topadigan algoritm Gauss usulida teskari harakat deb ataladi. (3) tenglama z qiymatini o'z ichiga oladi:

y = (24 - 11x(61/9))/7 = -65/9

Va birinchi tenglama sizga x ni topishga imkon beradi:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Bunday tizimni qo'shma va hatto aniq, ya'ni o'ziga xos yechimga ega deb atashga haqlimiz. Javob quyidagi shaklda yoziladi:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Noaniq tizimga misol

Muayyan sistemani Gauss usulida yechish varianti tahlil qilindi, endi sistema noaniq bo'lsa, ya'ni unga cheksiz ko'p yechim topish mumkin bo'lgan holatni ko'rib chiqish kerak.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Tizimning o'zi allaqachon xavotirga solmoqda, chunki noma'lumlar soni n = 5 va tizim matritsasining darajasi allaqachon bu raqamdan to'liq kamroq, chunki qatorlar soni m = 4, ya'ni. kvadrat determinantning eng katta tartibi 4. Demak, yechimlar cheksiz ko'p bo'lib, uning umumiy shaklini izlash kerak. Chiziqli tenglamalar uchun Gauss usuli buni amalga oshirish imkonini beradi.

Birinchidan, odatdagidek, kengaytirilgan matritsa tuziladi.

Ikkinchi qator: koeffitsient k = (-a 21 / a 11) = -3. Uchinchi qatorda birinchi element o'zgarishlardan oldin bo'ladi, shuning uchun hech narsaga tegmaslik kerak, uni avvalgidek qoldirish kerak. To'rtinchi qator: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Birinchi qatorning elementlarini har bir koeffitsientiga navbat bilan ko'paytirib, ularni kerakli qatorlarga qo'shib, biz quyidagi shakldagi matritsani olamiz:

Ko'rib turganingizdek, ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi qatorlar bir-biriga mutanosib bo'lgan elementlardan iborat. Ikkinchi va to'rtinchi odatda bir xil bo'ladi, shuning uchun ulardan biri darhol olib tashlanishi mumkin, qolganlari esa "-1" koeffitsientiga ko'paytiriladi va 3-sonli qatorni oladi va yana ikkita bir xil satrlardan birini qoldiring.

Bunday matritsa chiqdi. Tizim hali yozilmagan, bu erda asosiy o'zgaruvchilarni aniqlash kerak - a 11 \u003d 1 va 22 \u003d 1 koeffitsientlarida va bepul - qolganlari.

Ikkinchi tenglama faqat bitta asosiy o'zgaruvchiga ega - x 2 . Demak, u yerdan erkin bo'lgan x 3 , x 4 , x 5 o'zgaruvchilari orqali yozib, ifodalanishi mumkin.

Olingan ifodani birinchi tenglamaga almashtiramiz.

Yagona asosiy o'zgaruvchi x 1 bo'lgan tenglama chiqdi. Keling, u bilan x 2 bilan xuddi shunday qilaylik.

Ikkita bo'lgan barcha asosiy o'zgaruvchilar uchta bepul ko'rinishda ifodalanadi, endi siz javobni umumiy shaklda yozishingiz mumkin.

Shuningdek, siz tizimning alohida yechimlaridan birini belgilashingiz mumkin. Bunday holatlar uchun, qoida tariqasida, erkin o'zgaruvchilar uchun qiymatlar sifatida nollar tanlanadi. Keyin javob shunday bo'ladi:

16, 23, 0, 0, 0.

Mos kelmaydigan tizimga misol

Mos kelmaydigan tenglamalar sistemalarini Gauss usulida yechish eng tezkor hisoblanadi. Bosqichlardan birida yechimi bo'lmagan tenglama olinishi bilanoq tugaydi. Ya'ni, ildizlarni hisoblash bilan, ancha uzoq va g'amgin bo'lgan bosqich yo'qoladi. Quyidagi tizim hisobga olinadi:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Odatdagidek, matritsa tuziladi:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Va u bosqichli shaklga tushiriladi:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Birinchi o'zgartirishdan so'ng, uchinchi qatorda shaklning tenglamasi mavjud

yechim yo'q. Shuning uchun tizim mos kelmaydi va javob bo'sh to'plamdir.

Usulning afzalliklari va kamchiliklari

Agar siz SLAE-ni qog'ozda qalam bilan hal qilishning qaysi usulini tanlasangiz, unda ushbu maqolada ko'rib chiqilgan usul eng jozibali ko'rinadi. Elementar o'zgarishlarda, agar siz determinantni yoki biron bir qiyin teskari matritsani qo'lda qidirishingiz kerak bo'lsa, chalkashib ketish ancha qiyin. Biroq, agar siz ushbu turdagi ma'lumotlar bilan ishlash uchun dasturlardan foydalansangiz, masalan, elektron jadvallar, unda bunday dasturlarda matritsalarning asosiy parametrlarini - determinant, minorlar, teskari va boshqalarni hisoblash algoritmlari allaqachon mavjud. Va agar siz mashina bu qiymatlarni o'zi hisoblab chiqishiga va xato qilmasligiga ishonchingiz komil bo'lsa, matritsa usuli yoki Kramer formulalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir, chunki ularni qo'llash determinantlar va teskari matritsalarni hisoblash bilan boshlanadi va tugaydi.

Ilova

Gauss yechimi algoritm, matritsa esa, aslida, ikki o‘lchovli massiv bo‘lgani uchun undan dasturlashda foydalanish mumkin. Ammo maqola o'zini "qo'g'irchoqlar uchun" qo'llanma sifatida ko'rsatganligi sababli, usulni qo'yishning eng oson joyi elektron jadvallar, masalan, Excel ekanligini aytish kerak. Shunga qaramay, jadvalga matritsa shaklida kiritilgan har qanday SLAE Excel tomonidan ikki o'lchovli massiv sifatida ko'rib chiqiladi. Va ular bilan operatsiyalar uchun juda ko'p yoqimli buyruqlar mavjud: qo'shish (faqat bir xil o'lchamdagi matritsalarni qo'shishingiz mumkin!), Songa ko'paytirish, matritsani ko'paytirish (shuningdek, ma'lum cheklovlar bilan), teskari va ko'chirilgan matritsalarni topish va eng muhimi , determinantni hisoblash. Agar bu ko'p vaqt talab qiladigan vazifa bitta buyruq bilan almashtirilsa, matritsaning darajasini aniqlash va shuning uchun uning mosligini yoki nomuvofiqligini aniqlash ancha tezroq bo'ladi.

Ta'lim muassasasi "Belarus davlati

Qishloq xo'jaligi akademiyasi"

Oliy matematika kafedrasi

Ko'rsatmalar

"Chiziqli tizimlarni echishning Gauss usuli" mavzusini o'rganish uchun

Tenglamalar” Buxgalteriya hisobi fakulteti sirtqi ta’lim shakli (NISPO) talabalari tomonidan

Gorkiy, 2013 yil

Chiziqli tenglamalar tizimini yechishning Gauss usuli

Ekvivalent tenglamalar sistemasi

Ikki chiziqli tenglamalar tizimi, agar ulardan birining har bir yechimi ikkinchisining yechimi bo'lsa, ekvivalent deyiladi. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish jarayoni uni ketma-ket ekvivalent tizimga aylantirishdan iborat. elementar transformatsiyalar , qaysiki:

1) tizimning istalgan ikkita tenglamasini almashtirish;

2) tizimning istalgan tenglamasining ikkala qismini nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish;

3) istalgan tenglamaga istalgan songa ko‘paytiriladigan boshqa tenglamani qo‘shish;

4) nollardan tashkil topgan tenglamani o'chirish, ya'ni. tipidagi tenglamalar.

Gaussni yo'q qilish

Tizimni ko'rib chiqing m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum:

Gauss usuli yoki noma'lumlarni ketma-ket chiqarib tashlash usulining mohiyati quyidagicha.

Birinchidan, elementar transformatsiyalar yordamida noma'lum tizimning barcha tenglamalaridan chiqarib tashlanadi, birinchisidan tashqari. Tizimning bunday transformatsiyalari deyiladi Gauss yo'q qilish bosqichi . Noma'lum deb ataladi hal qiluvchi o'zgaruvchi transformatsiyaning birinchi bosqichida. Koeffitsient deyiladi rezolyutsiya omili , birinchi tenglama deyiladi yechish tenglamasi , va da koeffitsientlar ustuni ustunni yoqish .

Bitta Gauss yo'q qilish bosqichini bajarishda quyidagi qoidalardan foydalanish kerak:

1) hal qiluvchi tenglamaning koeffitsientlari va erkin muddati o'zgarishsiz qoladi;

2) hal qiluvchi koeffitsientdan pastda joylashgan hal qiluvchi ustunning koeffitsientlari nolga aylanadi;

3) birinchi bosqichdagi barcha boshqa koeffitsientlar va bo'sh shartlar to'rtburchaklar qoidasiga muvofiq hisoblanadi:

, qayerda i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Biz tizimning ikkinchi tenglamasida shunga o'xshash o'zgarishlarni amalga oshiramiz. Bu birinchi ikkitadan tashqari barcha tenglamalarda noma'lumlar chiqarib tashlanadigan tizimga olib keladi. Tizimning har bir tenglamasi (Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishi) bo'yicha bunday o'zgartirishlar natijasida dastlabki tizim quyidagi turlardan birining ekvivalent bosqichli tizimiga tushiriladi.

Teskari Gauss usuli

Bosqich tizimi

uchburchak shaklga ega va barchasi (i=1,2,…,n). Bunday tizim o'ziga xos echimga ega. Noma'lumlar oxirgi tenglamadan boshlab aniqlanadi (Gauss usulining teskarisi).

Qadam tizimi shaklga ega

qayerda, ya'ni. sistema tenglamalari soni noma'lumlar sonidan kam yoki teng. Ushbu tizim hech qanday yechimga ega emas, chunki oxirgi tenglama o'zgaruvchining hech qanday qiymatiga mos kelmaydi.

Bosqichli ko'rish tizimi

cheksiz sonli yechimlarga ega. Oxirgi tenglamadan noma'lum noma'lumlar bilan ifodalanadi . Keyin noma'lum o'rniga uning noma'lumlar ko'rinishidagi ifodasi oxirgidan oldingi tenglamaga almashtiriladi. . Gauss usulining teskari yo'nalishini davom ettirish, noma'lumlar noma’lumlar bilan ifodalanishi mumkin . Bunday holda, noma'lum chaqirdi ozod va har qanday qiymatni olishi mumkin va noma'lum Asosiy.

Tizimlarni amaliyotda echishda barcha o'zgartirishlarni tenglamalar tizimi bilan emas, balki noma'lumlar koeffitsientlari va erkin shartlar ustunidan iborat tizimning kengaytirilgan matritsasi bilan bajarish qulay.

1-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz va elementar transformatsiyalarni bajaramiz:

.

Tizimning kengaytirilgan matritsasida 3 raqami (u ta'kidlangan) o'lchamlari koeffitsienti, birinchi qator - ruxsat satri va birinchi ustun - ruxsat ustuni. Keyingi matritsaga o'tishda hal qiluvchi qator o'zgarmaydi, hal qiluvchi element ostidagi hal qiluvchi ustunning barcha elementlari nolga almashtiriladi. Va matritsaning barcha boshqa elementlari to'rtburchak qoidaga muvofiq qayta hisoblab chiqiladi. Ikkinchi qatordagi 4-element o'rniga biz yozamiz , ikkinchi qatordagi -3 element o'rniga u yoziladi va hokazo. Shunday qilib, ikkinchi matritsa olinadi. Ushbu matritsa ikkinchi qatorda 18-raqamli hal qiluvchi elementga ega bo'ladi. Keyingi (uchinchi matritsa) hosil qilish uchun biz ikkinchi qatorni o'zgarishsiz qoldiramiz, hal qiluvchi element ostidagi ustunga nol yozamiz va qolgan ikkita elementni qayta hisoblaymiz: 1 raqami o'rniga biz yozamiz. , va 16 raqami o'rniga biz yozamiz.

Natijada, dastlabki tizim ekvivalent tizimga tushiriladi

Uchinchi tenglamadan biz topamiz . Ushbu qiymatni ikkinchi tenglamaga almashtiring: y=3. Topilgan qiymatlarni birinchi tenglamaga almashtiring y va z: , x=2.

Shunday qilib, bu tenglamalar tizimining yechimi x=2, y=3, .

2-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasida elementar o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Ikkinchi matritsada uchinchi qatorning har bir elementi 2 ga bo'linadi.

To'rtinchi matritsada uchinchi va to'rtinchi qatorlarning har bir elementi 11 ga bo'lingan.

. Olingan matritsa tenglamalar tizimiga mos keladi

Ushbu tizimni hal qilib, biz topamiz , , .

3-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalarni bajaramiz:

.

Ikkinchi matritsada ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi qatorlarning har bir elementi 7 ga bo'lingan.

Natijada, tenglamalar tizimi

asl nusxaga teng.

Noma'lumlardan ikkita kam tenglamalar mavjud bo'lganligi sababli, ikkinchi tenglamadan . Birinchi tenglamaga ifodani almashtiring: , .

Shunday qilib, formulalar bu tenglamalar sistemasining umumiy yechimini keltiring. Noma'lum va bepul va har qanday qiymatni olishi mumkin.

Keling, masalan, Keyin va . Yechim tizimning o'ziga xos yechimlaridan biri bo'lib, ulardan son-sanoqsiz.

Bilimlarni o'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

1) Chiziqli sistemalarning qanday transformatsiyalari elementar deyiladi?

2) Tizimning qanday o'zgarishlari Gauss eliminatsiya bosqichi deb ataladi?

3) Yechish o'zgaruvchisi, yechish koeffitsienti, yechish ustuni nima?

4) Gauss eliminatsiyasining bir bosqichini bajarishda qanday qoidalardan foydalanish kerak?

Yechilishi kerak bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimi berilsin (tizimning har bir tenglamasini tenglikka aylantiradigan xi noma'lumlarning shunday qiymatlarini toping).

Biz bilamizki, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi:

1) Hech qanday yechim yo'q (bo'lishi mos kelmaydigan).
2) Cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ling.
3) Noyob yechimga ega bo'ling.

Esda tutganimizdek, Kramer qoidasi va matritsa usuli tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan yoki mos kelmaydigan hollarda mos kelmaydi. Gauss usuli – har qanday chiziqli tenglamalar tizimining yechimlarini topish uchun eng kuchli va ko'p qirrali vosita, qaysi har holda bizni javobga olib boring! Usulning algoritmi har uch holatda ham xuddi shunday ishlaydi. Agar Kramer va matritsa usullari determinantlarni bilishni talab qilsa, Gauss usulini qo'llash faqat arifmetik amallarni bilishni talab qiladi, bu esa uni hatto boshlang'ich sinf o'quvchilari uchun ham qulay qiladi.

Kengaytirilgan matritsa konvertatsiyalari ( bu tizimning matritsasi - faqat noma'lumlar koeffitsientlaridan tashkil topgan matritsa, ortiqcha erkin shartlar ustuni) Gauss usulida chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari:

1) Bilan troky matritsalar mumkin qayta tartibga solish joylar.

2) agar matritsada proportsional (alohida holatda - bir xil) qatorlar mavjud bo'lsa (yoki bo'lsa), u holda u quyidagicha bo'ladi. o'chirish matritsadan, bittadan tashqari barcha bu qatorlar.

3) agar o'zgartirishlar paytida matritsada nol qator paydo bo'lgan bo'lsa, u ham shunday bo'ladi o'chirish.

4) matritsaning qatori mumkin ko'paytirish (bo'lish) noldan boshqa istalgan raqamga.

5) matritsa qatoriga, mumkin raqamga ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shing, noldan farq qiladi.

Gauss usulida elementar o‘zgartirishlar tenglamalar sistemasi yechimini o‘zgartirmaydi.

Gauss usuli ikki bosqichdan iborat:

1. "To'g'ridan-to'g'ri harakat" - elementar transformatsiyalardan foydalanib, chiziqli algebraik tenglamalar tizimining kengaytirilgan matritsasini "uchburchak" bosqichli shaklga keltiring: kengaytirilgan matritsaning asosiy diagonal ostida joylashgan elementlari nolga teng (yuqoridan pastga siljish). ). Masalan, bu turga:

Buning uchun quyidagi amallarni bajaring:

1) Chiziqli algebraik tenglamalar tizimining birinchi tenglamasini ko'rib chiqamiz va x 1 da koeffitsient K ga teng. Ikkinchi, uchinchi va hokazo. biz tenglamalarni quyidagicha o'zgartiramiz: biz har bir tenglamani (noma'lumlar uchun koeffitsientlarni, shu jumladan erkin shartlarni) har bir tenglamada bo'lgan noma'lum x 1 koeffitsientiga ajratamiz va K ga ko'paytiramiz. Shundan so'ng, ikkinchi tenglamadan birinchisini ayiramiz ( noma'lumlar va erkin shartlar uchun koeffitsientlar). Biz ikkinchi tenglamada x 1 da 0 koeffitsientini olamiz. Uchinchi o'zgartirilgan tenglamadan biz birinchi tenglamani ayiramiz, shuning uchun birinchisidan tashqari barcha tenglamalar x 1 noma'lum bo'lgunga qadar 0 koeffitsientiga ega bo'lmaydi.

2) Keyingi tenglamaga o'ting. Bu ikkinchi tenglama bo'lsin va x 2 da koeffitsient M ga teng bo'lsin. Barcha "bo'ysunuvchi" tenglamalar bilan biz yuqorida tavsiflangan tarzda harakat qilamiz. Shunday qilib, barcha tenglamalarda noma'lum x 2 "ostida" nolga teng bo'ladi.

3) Biz keyingi tenglamaga o'tamiz va shunga o'xshash oxirgi noma'lum va o'zgartirilgan erkin atama qolguncha.

1. Gauss usulining "teskari harakati" chiziqli algebraik tenglamalar tizimining yechimini olishdir ("pastdan yuqoriga" harakat). Oxirgi "pastki" tenglamadan biz bitta birinchi yechimni olamiz - noma'lum x n. Buning uchun A * x n \u003d B elementar tenglamani yechamiz. Yuqoridagi misolda x 3 \u003d 4. Topilgan qiymatni keyingi “yuqori” tenglamaga almashtiramiz va uni keyingi noma’lumga nisbatan yechamiz. Masalan, x 2 - 4 \u003d 1, ya'ni. x 2 \u003d 5. Biz barcha noma'lumlarni topgunimizcha davom etamiz.

Misol.

Ba'zi mualliflar maslahat berganidek, biz Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echamiz:

Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichli shaklga keltiramiz:

Biz yuqori chap "qadam" ga qaraymiz. U erda bizda birlik bo'lishi kerak. Muammo shundaki, birinchi ustunda umuman hech kim yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish orqali hech narsani hal qilib bo'lmaydi. Bunday hollarda birlik elementar transformatsiya yordamida tashkil etilishi kerak. Bu odatda bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Keling, buni shunday qilaylik:
1 qadam . Birinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shamiz, -1 ga ko'paytiriladi. Ya'ni, biz aqliy ravishda ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytirdik va birinchi va ikkinchi qatorlarni qo'shishni amalga oshirdik, ikkinchi qator esa o'zgarmadi.

Endi yuqori chap tomonda "minus bir", bu bizga juda mos keladi. Kim +1 olishni xohlasa, qo'shimcha amalni bajarishi mumkin: birinchi qatorni -1 ga ko'paytiring (uning belgisini o'zgartiring).

2 qadam . 5 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga, 3 ga ko'paytirilgan birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi.

3 qadam . Birinchi qator -1 ga ko'paytirildi, qoida tariqasida, bu go'zallik uchun. Uchinchi qatorning belgisi ham o'zgartirildi va ikkinchi o'ringa ko'chirildi, shuning uchun ikkinchi "qadamda biz kerakli birlikka ega bo'ldik.

4 qadam . Uchinchi qatorga 2 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing.

5 qadam . Uchinchi qator 3 ga bo'linadi.

Hisoblashda xatolikni ko'rsatadigan belgi (kamroq matn terish xatosi) "yomon" pastki chiziqdir. Ya'ni, agar biz quyida (0 0 11 | 23) va shunga mos ravishda 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 kabi biror narsaga ega bo'lsak, unda yuqori ehtimollik bilan biz boshlang'ich bosqichda xatolikka yo'l qo'yilgan deb aytishimiz mumkin. transformatsiyalar.

Biz teskari harakatni amalga oshiramiz, misollarni loyihalashda tizimning o'zi ko'pincha qayta yozilmaydi va tenglamalar "to'g'ridan-to'g'ri berilgan matritsadan olinadi". Teskari harakat, eslataman, "pastdan yuqoriga" ishlaydi. Ushbu misolda sovg'a paydo bo'ldi:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, shuning uchun x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Javob:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Keling, taklif qilingan algoritm yordamida bir xil tizimni hal qilaylik. olamiz

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Ikkinchi tenglamani 5 ga, uchinchi tenglamani 3 ga bo'ling.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Ikkinchi va uchinchi tenglamalarni 4 ga ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ikkinchi va uchinchi tenglamalardan birinchi tenglamani ayirsak, bizda:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Uchinchi tenglamani 0,64 ga bo'ling:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Uchinchi tenglamani 0,4 ga ko'paytiring

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Uchinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayirsak, biz “qadamli” kengaytirilgan matritsani olamiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Shunday qilib, hisob-kitoblar jarayonida xatolik to'planganligi sababli, biz x 3 \u003d 0,96 yoki taxminan 1 ni olamiz.

x 2 \u003d 3 va x 1 \u003d -1.

Shu tarzda yechish, siz hech qachon hisob-kitoblarda adashmaysiz va hisoblash xatolariga qaramay, natijaga erishasiz.

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishning bu usuli oson dasturlashtiriladi va noma'lumlar uchun koeffitsientlarning o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olmaydi, chunki amalda (iqtisodiy va texnik hisoblarda) butun son bo'lmagan koeffitsientlar bilan shug'ullanish kerak.

Omad tilayman! Sinfda ko'rishguncha! Repetitor Dmitriy Aistraxanov.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Ikki chiziqli tenglamalar tizimi, agar ularning barcha yechimlari to'plami bir xil bo'lsa, ekvivalent deyiladi.

Tenglamalar tizimining elementar o'zgarishlari:

1. Trivial tenglamalar tizimidan o'chirish, ya'ni. barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lganlar;
2. Har qanday tenglamani nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish;
3. Har qanday j - tenglamaning istalgan i - tenglamasiga qo'shish, istalgan songa ko'paytiriladi.

Agar bu o'zgaruvchiga ruxsat berilmasa va butun tenglamalar tizimi ruxsat etilsa, x i o'zgaruvchisi erkin deyiladi.

Teorema. Elementar transformatsiyalar tenglamalar tizimini ekvivalentga aylantiradi.

Gauss usulining ma'nosi dastlabki tenglamalar tizimini o'zgartirish va ekvivalent ruxsat etilgan yoki ekvivalent nomuvofiq tizimni olishdir.

Shunday qilib, Gauss usuli quyidagi bosqichlardan iborat:

1. Birinchi tenglamani ko'rib chiqing. Biz birinchi nolga teng bo'lmagan koeffitsientni tanlaymiz va butun tenglamani unga bo'lamiz. Ba'zi x i o'zgaruvchisi 1 koeffitsienti bilan kiradigan tenglamani olamiz;
2. Keling, qolgan tenglamalarda x i o'zgaruvchisi uchun koeffitsientlar nolga teng bo'ladigan tarzda raqamlarga ko'paytirib, boshqa barcha tenglamalardan ayiraylik. Biz x i o'zgaruvchisiga nisbatan echilgan va dastlabkisiga ekvivalent bo'lgan tizimni olamiz;
3. Agar ahamiyatsiz tenglamalar paydo bo'lsa (kamdan-kam hollarda, lekin bu sodir bo'ladi; masalan, 0 = 0), biz ularni tizimdan o'chirib tashlaymiz. Natijada tenglamalar bitta kam bo'ladi;
4. Oldingi qadamlarni n martadan ko'p bo'lmagan takrorlaymiz, bu erda n - tizimdagi tenglamalar soni. Har safar biz "qayta ishlash" uchun yangi o'zgaruvchini tanlaymiz. Agar qarama-qarshi tenglamalar paydo bo'lsa (masalan, 0 = 8), tizim mos kelmaydi.

Natijada, bir necha qadamlardan so'ng biz ruxsat etilgan tizimni (ehtimol, erkin o'zgaruvchilar bilan) yoki mos kelmaydigan tizimni olamiz. Ruxsat etilgan tizimlar ikki holatga bo'linadi:

1. O'zgaruvchilar soni tenglamalar soniga teng. Shunday qilib, tizim aniqlandi;
2. O'zgaruvchilar soni tenglamalar sonidan kattaroqdir. Biz barcha bo'sh o'zgaruvchilarni o'ng tomonda to'playmiz - biz ruxsat etilgan o'zgaruvchilar uchun formulalarni olamiz. Bu formulalar javobda yozilgan.

Ana xolos! Chiziqli tenglamalar tizimi yechildi! Bu juda oddiy algoritm va uni o'zlashtirish uchun matematika o'qituvchisiga murojaat qilish shart emas. Bir misolni ko'rib chiqing:

Vazifa. Tenglamalar tizimini yeching:

Bosqichlarning tavsifi:

1. Birinchi tenglamani ikkinchi va uchinchidan ayiramiz - ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 1 ni olamiz;
2. Biz ikkinchi tenglamani (-1) ga ko'paytiramiz va uchinchi tenglamani (-3) ga bo'lamiz - biz ikkita tenglamani olamiz, unda x 2 o'zgaruvchisi 1 koeffitsienti bilan kiradi;
3. Biz ikkinchi tenglamani birinchisiga qo'shamiz va uchinchisidan ayiramiz. Ruxsat etilgan o'zgaruvchini olamiz x 2 ;
4. Nihoyat, birinchidan uchinchi tenglamani olib tashlaymiz - ruxsat etilgan o'zgaruvchini olamiz x 3 ;
5. Biz vakolatli tizimni oldik, javobni yozamiz.

Chiziqli tenglamalarning qo'shma tizimining umumiy yechimi - bu barcha ruxsat etilgan o'zgaruvchilar bo'sh bo'lganlar bilan ifodalangan dastlabki tizimga ekvivalent yangi tizimdir.

Umumiy yechim qachon kerak bo'lishi mumkin? Agar siz k dan kamroq qadam tashlashingiz kerak bo'lsa (k - jami nechta tenglama). Biroq, jarayonning ba'zi bir bosqichda tugashining sabablari l< k , может быть две:

1. l -chi bosqichdan so'ng biz (l + 1) sonli tenglamani o'z ichiga olmaydigan tizimni olamiz. Aslida, bu yaxshi, chunki. hal qilingan tizim baribir qabul qilinadi - hatto bir necha qadam oldin.
2. l -chi bosqichdan so'ng, o'zgaruvchilarning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lgan tenglama olinadi va erkin koeffitsient noldan farq qiladi. Bu mos kelmaydigan tenglama va shuning uchun tizim mos kelmaydi.

Gauss usuli bilan mos kelmaydigan tenglamaning paydo bo'lishi nomuvofiqlik uchun etarli sabab ekanligini tushunish muhimdir. Shu bilan birga, shuni ta'kidlaymizki, l --bosqich natijasida ahamiyatsiz tenglamalar qolishi mumkin emas - ularning barchasi jarayonda bevosita o'chiriladi.

Bosqichlarning tavsifi:

1. Birinchi tenglamani ikkinchidan 4 marta ayiring. Shuningdek, birinchi tenglamani uchinchisiga qo'shing - biz ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 1 ni olamiz;
2. Ikkinchidan 2 ga ko'paytiriladigan uchinchi tenglamani ayiramiz - biz 0 = -5 qarama-qarshi tenglamani olamiz.

Demak, tizim nomuvofiq, chunki nomuvofiq tenglama topilgan.

Vazifa. Muvofiqlikni o'rganing va tizimning umumiy yechimini toping:

Bosqichlarning tavsifi:

1. Birinchi tenglamani ikkinchidan (ikkiga ko'paytirgandan so'ng) olib tashlaymiz va uchinchisi - ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 1 ni olamiz;
2. Uchinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani olib tashlang. Ushbu tenglamalardagi barcha koeffitsientlar bir xil bo'lganligi sababli, uchinchi tenglama ahamiyatsiz bo'ladi. Shu bilan birga, biz ikkinchi tenglamani (-1) ga ko'paytiramiz;
3. Birinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayiramiz - ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 2 ni olamiz. Endi tenglamalarning butun tizimi ham hal qilindi;
4. x 3 va x 4 o'zgaruvchilar erkin bo'lgani uchun biz ruxsat etilgan o'zgaruvchilarni ifodalash uchun ularni o'ngga o'tkazamiz. Bu javob.

Shunday qilib, tizim qo'shma va noaniqdir, chunki ikkita ruxsat etilgan o'zgaruvchi (x 1 va x 2) va ikkita erkin (x 3 va x 4) mavjud.

Gauss usuli oson! Nega? Mashhur nemis matematigi Iogann Karl Fridrix Gauss hayoti davomida barcha davrlarning eng buyuk matematigi, dahosi sifatida tan olingan va hatto “Matematika qiroli” laqabini ham olgan. Va hamma narsa, siz bilganingizdek, oddiy! Aytgancha, pulga nafaqat so'rg'ichlar, balki daholar ham tushadi - Gaussning portreti 10 nemis markasi (evro joriy etilishidan oldin) bo'lgan vekselda ko'zga tashlandi va Gauss hali ham oddiy pochta markalaridan nemislarga sirli tabassum qiladi.

Gauss usuli oddiy, chunki uni o‘zlashtirish uchun BESHINCHI SINF O‘QUVCHISINING BILIMI YETADI. Qo'shish va ko'paytirish qobiliyatiga ega bo'lishi kerak! Noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli ko'pincha maktab matematika fani fani o'qituvchilari tomonidan ko'rib chiqilishi bejiz emas. Bu paradoks, ammo Gauss usuli talabalar uchun eng katta qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Ajablanarlisi yo'q - bu metodologiya haqida va men usulning algoritmi haqida ochiq shaklda aytib berishga harakat qilaman.

Birinchidan, chiziqli tenglamalar tizimlari haqidagi bilimlarni biroz tizimlashtiramiz. Chiziqli tenglamalar tizimi:

1) Noyob yechimga ega bo'ling.
2) Cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ling.
3) Hech qanday yechim yo'q (bo'lishi mos kelmaydigan).

Gauss usuli yechim topish uchun eng kuchli va ko'p qirrali vositadir har qanday chiziqli tenglamalar tizimlari. Biz eslaganimizdek Kramer qoidasi va matritsa usuli tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan yoki nomuvofiq bo'lgan hollarda mos kelmaydi. Noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli nima bo'lganda ham bizni javobga olib boring! Ushbu darsda biz yana Gauss usulini 1-holda (tizimning yagona yechimi) ko'rib chiqamiz, maqola 2-3-bandlarning holatlari uchun ajratilgan. Shuni ta'kidlaymanki, usul algoritmining o'zi uchta holatda ham xuddi shunday ishlaydi.

Keling, darsdan eng oddiy tizimga qaytaylik Chiziqli tenglamalar sistemasi qanday yechiladi?
va Gauss usuli yordamida yechish.

Birinchi qadam - yozish kengaytirilgan matritsa tizimi:
. Koeffitsientlar qanday printsip bo'yicha qayd etilgan, menimcha, hamma ko'rishi mumkin. Matritsa ichidagi vertikal chiziq hech qanday matematik ma'noga ega emas - bu dizayn qulayligi uchun shunchaki chizilgan.

Malumot :eslab qolishni tavsiya qilaman shartlari chiziqli algebra. Tizim matritsasi faqat noma'lumlar uchun koeffitsientlardan tashkil topgan matritsa bo'lib, bu misolda sistemaning matritsasi: . Kengaytirilgan tizim matritsasi tizimning bir xil matritsasi va erkin shartlar ustuni, bu holda: . Har qanday matritsani qisqalik uchun oddiy matritsa deb atash mumkin.

Tizimning kengaytirilgan matritsasi yozilgandan so'ng, u bilan ba'zi amallarni bajarish kerak, ular ham deyiladi. elementar transformatsiyalar.

Quyidagi elementar o'zgarishlar mavjud:

1) Strings matritsalar mumkin qayta tartibga solish joylar. Masalan, ko'rib chiqilayotgan matritsada siz birinchi va ikkinchi qatorlarni xavfsiz tarzda o'zgartirishingiz mumkin:

2) Agar matritsada proportsional (alohida holatda - bir xil) qatorlar mavjud bo'lsa (yoki paydo bo'lsa), u quyidagicha bo'ladi. o'chirish matritsadan, bittadan tashqari barcha bu qatorlar. Masalan, matritsani ko'rib chiqing . Ushbu matritsada oxirgi uchta qator proportsionaldir, shuning uchun ulardan faqat bittasini qoldirish kifoya: .

3) Agar o'zgartirishlar paytida matritsada nol qator paydo bo'lgan bo'lsa, u ham shunday bo'ladi o'chirish. Men chizmayman, albatta, nol chiziq qaysi chiziqdir faqat nollar.

4) Matritsaning qatori bo'lishi mumkin ko'paytirish (bo'lish) har qanday raqam uchun nolga teng bo'lmagan. Masalan, matritsani ko'rib chiqing. Bu erda birinchi qatorni -3 ga bo'lish va ikkinchi qatorni 2 ga ko'paytirish tavsiya etiladi: . Ushbu harakat juda foydali, chunki u matritsaning keyingi o'zgarishlarini soddalashtiradi.

5) Ushbu transformatsiya eng ko'p qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi, lekin aslida hech qanday murakkab narsa yo'q. Matritsa qatoriga siz mumkin raqamga ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shing, noldan farq qiladi. Bizning matritsamizni amaliy misoldan ko'rib chiqing: . Birinchidan, men o'zgarishlarni batafsil tasvirlab beraman. Birinchi qatorni -2 ga ko'paytiring: , va ikkinchi qatorga birinchi qatorni -2 ga ko'paytiramiz: . Endi birinchi qatorni "orqaga" -2 ga bo'lish mumkin: . Ko'rib turganingizdek, qo'shilgan qator LI – o'zgarmagan. Har doim satr o'zgartirildi, QAYSIGA QO'SHILGAN UT.

Amalda, albatta, ular bunday tafsilotlarni bo'yashmaydi, lekin qisqaroq yozadilar:

Yana bir bor: ikkinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi. Chiziq odatda og'zaki yoki qoralama ko'paytiriladi, hisob-kitoblarning aqliy yo'nalishi quyidagicha:

"Men matritsani qayta yozaman va birinchi qatorni qayta yozaman: »

Birinchi ustun birinchi. Quyida men nol olishim kerak. Shuning uchun yuqoridagi birlikni -2: ga ko'paytiraman va ikkinchi qatorga birinchisini qo'shaman: 2 + (-2) = 0. Natijani ikkinchi qatorga yozaman: »

“Endi ikkinchi ustun. Yuqorida -1 marta -2: . Ikkinchi qatorga birinchisini qo'shaman: 1 + 2 = 3. Natijani ikkinchi qatorga yozaman: »

"Va uchinchi ustun. Yuqorida -5 marta -2: . Birinchi qatorni ikkinchi qatorga qo'shaman: -7 + 10 = 3. Natijani ikkinchi qatorga yozaman: »

Iltimos, ushbu misolni yaxshilab o'ylab ko'ring va ketma-ket hisoblash algoritmini tushunib oling, agar buni tushunsangiz, Gauss usuli amalda "cho'ntagingizda". Lekin, albatta, biz hali ham bu transformatsiya ustida ishlayapmiz.

Elementar o'zgartirishlar tenglamalar sistemasining yechimini o'zgartirmaydi

! DIQQAT: ko'rib chiqilgan manipulyatsiyalar foydalana olmaydi, agar sizga matritsalar "o'z-o'zidan" berilgan vazifa taklif etilsa. Masalan, "klassik" bilan matritsalar hech qanday holatda matritsalar ichida biror narsani qayta tartibga solmasligingiz kerak!

Keling, tizimimizga qaytaylik. U deyarli qismlarga bo'lingan.

Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni qisqartiramiz bosqichli ko'rinish:

(1) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Va yana: nima uchun birinchi qatorni -2 ga ko'paytiramiz? Pastki qismida nolga erishish uchun, bu ikkinchi qatordagi bitta o'zgaruvchidan xalos bo'lishni anglatadi.

(2) Ikkinchi qatorni 3 ga bo'ling.

Elementar transformatsiyalarning maqsadi – matritsani bosqichli shaklga aylantiring: . Vazifani loyihalashda ular to'g'ridan-to'g'ri oddiy qalam bilan "narvon" ni chizishadi, shuningdek, "zinapoyalar" da joylashgan raqamlarni aylantiradilar. "Bosqichli ko'rinish" atamasining o'zi mutlaqo nazariy emas, ilmiy va o'quv adabiyotlarida u ko'pincha deyiladi. trapezoidal ko'rinish yoki uchburchak ko'rinishi.

Elementar o'zgarishlar natijasida biz erishdik ekvivalent Asl tenglamalar tizimi:

Endi tizimni teskari yo'nalishda "burilishsiz" qilish kerak - pastdan yuqoriga, bu jarayon deyiladi teskari Gauss usuli.

Pastki tenglamada biz allaqachon tugagan natijaga egamiz: .

Tizimning birinchi tenglamasini ko'rib chiqing va unga allaqachon ma'lum bo'lgan "y" qiymatini almashtiring:

Keling, uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimini echish uchun Gauss usuli talab qilinadigan eng keng tarqalgan vaziyatni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching:

Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz:

Endi men darhol yechim jarayonida keladigan natijani chiqaraman:

Va takror aytaman, bizning maqsadimiz elementar transformatsiyalar yordamida matritsani bosqichli shaklga keltirishdir. Harakat qilishni qaerdan boshlash kerak?

Birinchidan, yuqori chap raqamga qarang:

Bu erda deyarli har doim bo'lishi kerak birlik. Umuman olganda, -1 (va ba'zan boshqa raqamlar) ham mos keladi, lekin qandaydir tarzda an'anaviy tarzda u erda odatda birlik joylashtiriladi. Birlikni qanday tashkil qilish kerak? Biz birinchi ustunga qaraymiz - bizda tayyor birlik bor! Birinchi o'zgartirish: birinchi va uchinchi qatorlarni almashtiring:

Endi birinchi qator yechimning oxirigacha o'zgarishsiz qoladi. Endi yaxshi.

Yuqori chapdagi birlik tashkil etilgan. Endi siz ushbu joylarda nollarni olishingiz kerak:

Nollar faqat "qiyin" transformatsiya yordamida olinadi. Birinchidan, biz ikkinchi qator bilan ishlaymiz (2, -1, 3, 13). Birinchi o'rinda nolga erishish uchun nima qilish kerak? Kerak ikkinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Aqliy yoki qoralama ustida biz birinchi qatorni -2 ga ko'paytiramiz: (-2, -4, 2, -18). Va biz doimiy ravishda (yana aqliy yoki qoralama) qo'shimchani amalga oshiramiz, ikkinchi qatorga biz birinchi qatorni qo'shamiz, allaqachon -2 ga ko'paytiriladi:

Natija ikkinchi qatorda yoziladi:

Xuddi shunday, biz uchinchi qator bilan ishlaymiz (3, 2, -5, -1). Birinchi pozitsiyada nolga erishish uchun sizga kerak uchinchi qatorga -3 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Aqliy yoki qoralama ustida biz birinchi qatorni -3 ga ko'paytiramiz: (-3, -6, 3, -27). Va uchinchi qatorga birinchi qatorni -3 ga ko'paytiramiz:

Natija uchinchi qatorda yoziladi:

Amalda, bu harakatlar odatda og'zaki ravishda amalga oshiriladi va bir bosqichda yoziladi:

Hamma narsani bir vaqtning o'zida va bir vaqtning o'zida hisoblashning hojati yo'q. Hisoblash tartibi va natijalarni "qo'shish" izchil va odatda shunday: avval biz birinchi qatorni qayta yozamiz va o'zimizni jimgina puflaymiz - ISTOVLI va Ehtiyotkorlik bilan:


Va men yuqorida hisob-kitoblarning aqliy yo'nalishini allaqachon ko'rib chiqdim.

Ushbu misolda buni qilish oson, biz ikkinchi qatorni -5 ga bo'lamiz (chunki u erda barcha raqamlar 5 ga qoldiqsiz bo'linadi). Shu bilan birga, uchinchi qatorni -2 ga bo'lamiz, chunki raqam qanchalik kichik bo'lsa, yechim shunchalik sodda bo'ladi:

Elementar o'zgarishlarning yakuniy bosqichida bu erda yana bitta nolga erishish kerak:

Buning uchun uchinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shamiz, -2 ga ko'paytiriladi:


Ushbu harakatni o'zingiz tahlil qilishga harakat qiling - ikkinchi qatorni aqliy ravishda -2 ga ko'paytiring va qo'shimchani bajaring.

Oxirgi bajarilgan harakat - natijaning soch turmagi, uchinchi qatorni 3 ga bo'ling.

Elementar o'zgarishlar natijasida chiziqli tenglamalarning ekvivalent boshlang'ich tizimi olindi:

Ajoyib.

Endi Gauss usulining teskari yo'nalishi o'ynaydi. Tenglamalar pastdan yuqoriga "ochiladi".

Uchinchi tenglamada biz allaqachon yakuniy natijaga egamiz:

Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqamiz: . "Z" ning ma'nosi allaqachon ma'lum, shuning uchun:

Va nihoyat, birinchi tenglama: . "Y" va "Z" ma'lum, masala kichik:

Javob:

Qayta-qayta ta'kidlanganidek, har qanday tenglamalar tizimi uchun topilgan yechimni tekshirish mumkin va zarur, xayriyatki, bu qiyin va tez emas.

2-misol

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun namuna, tugatish namunasi va dars oxirida javob.

Shuni ta'kidlash kerakki, sizning harakat kursi Mening harakat yo'limga to'g'ri kelmasligi mumkin, va bu Gauss usulining xususiyatidir. Lekin javoblar bir xil bo'lishi kerak!

3-misol

Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching

Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichli shaklga keltiramiz:

Biz yuqori chap "qadam" ga qaraymiz. U erda bizda birlik bo'lishi kerak. Muammo shundaki, birinchi ustunda umuman hech kim yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish orqali hech narsani hal qilib bo'lmaydi. Bunday hollarda birlik elementar transformatsiya yordamida tashkil etilishi kerak. Bu odatda bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Men buni qildim:
(1) Birinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shamiz, -1 ga ko'paytiriladi. Ya'ni, biz aqliy ravishda ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytirdik va birinchi va ikkinchi qatorlarni qo'shishni amalga oshirdik, ikkinchi qator esa o'zgarmadi.

Endi yuqori chap tomonda "minus bir", bu bizga juda mos keladi. Kim +1 olishni xohlasa, qo'shimcha imo-ishorani bajarishi mumkin: birinchi qatorni -1 ga ko'paytiring (uning belgisini o'zgartiring).

(2) 5 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga, 3 ga ko'paytirilgan birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi.

(3) Birinchi qator -1 ga ko'paytirildi, asosan, bu go'zallik uchun. Uchinchi qatorning belgisi ham o'zgartirildi va ikkinchi o'ringa ko'chirildi, shuning uchun ikkinchi "qadamda biz kerakli birlikka ega bo'ldik.

(4) 2 ga ko'paytirilgan ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi.

(5) Uchinchi qator 3 ga bo'lingan.

Hisoblash xatosini ko'rsatadigan yomon belgi (kamroq matn terish xatosi) "yomon" pastki chiziqdir. Ya'ni, agar biz quyida o'xshash narsaga ega bo'lsak va shunga mos ravishda, , keyin yuqori ehtimollik bilan elementar transformatsiyalar jarayonida xatolikka yo'l qo'yilganligi haqida bahslashish mumkin.

Biz teskari harakatni zaryad qilamiz, misollarni loyihalashda tizimning o'zi ko'pincha qayta yozilmaydi va tenglamalar "to'g'ridan-to'g'ri berilgan matritsadan olinadi". Teskari harakat, eslataman, pastdan yuqoriga ishlaydi. Ha, bu erda sovg'a:

Javob: .

4-misol

Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching

Bu mustaqil yechim uchun misol, u biroz murakkabroq. Agar kimdir sarosimaga tushib qolsa, yaxshi. Dars oxirida to'liq yechim va dizayn namunasi. Sizning yechimingiz menikidan farq qilishi mumkin.

Oxirgi qismda biz Gauss algoritmining ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.
Birinchi xususiyat shundaki, ba'zida tizim tenglamalarida ba'zi o'zgaruvchilar yo'q, masalan:

Tizimning kengaytirilgan matritsasi qanday to'g'ri yoziladi? Men allaqachon darsda bu lahza haqida gapirganman. Kramer qoidasi. Matritsa usuli. Tizimning kengaytirilgan matritsasida etishmayotgan o'zgaruvchilar o'rniga nollarni qo'yamiz:

Aytgancha, bu juda oson misol, chunki birinchi ustunda allaqachon bitta nol bor va amalga oshirish uchun kamroq elementar transformatsiyalar mavjud.

Ikkinchi xususiyat - bu. Ko'rib chiqilgan barcha misollarda biz "qadamlar" ga -1 yoki +1 qo'ydik. Boshqa raqamlar bo'lishi mumkinmi? Ba'zi hollarda ular mumkin. Tizimni ko'rib chiqing: .

Bu erda yuqori chap "qadam" da bizda ikkilik bor. Ammo biz birinchi ustundagi barcha raqamlar 2 ga qoldiqsiz bo'linishini payqadik - va yana ikkita va olti. Va yuqori chapdagi ikkilik bizga mos keladi! Birinchi bosqichda siz quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak: ikkinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing; uchinchi qatorga -3 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Shunday qilib, biz birinchi ustunda kerakli nollarni olamiz.

Yoki boshqa faraziy misol: . Bu erda ikkinchi "pog'ona" dagi uchlik ham bizga mos keladi, chunki 12 (nol olishimiz kerak bo'lgan joy) 3 ga qoldiqsiz bo'linadi. Quyidagi o'zgartirishni amalga oshirish kerak: uchinchi qatorga -4 ga ko'paytiriladigan ikkinchi qatorni qo'shing, buning natijasida bizga kerak bo'lgan nol olinadi.

Gauss usuli universaldir, lekin bitta o'ziga xoslik mavjud. Tizimlarni boshqa usullar (Kramer usuli, matritsa usuli) bilan birinchi marta tom ma'noda qanday hal qilishni ishonchli tarzda o'rganishingiz mumkin - juda qattiq algoritm mavjud. Ammo Gauss usulida ishonchni his qilish uchun siz "qo'lingizni to'ldirishingiz" va kamida 5-10 tizimni hal qilishingiz kerak. Shuning uchun, dastlab chalkashliklar, hisob-kitoblarda xatolar bo'lishi mumkin va bu erda g'ayrioddiy yoki fojiali narsa yo'q.

Derazadan tashqarida yomg'irli kuzgi ob-havo .... Shuning uchun, har bir kishi uchun mustaqil yechim uchun yanada murakkab misol:

5-misol

To'rtta noma'lumli to'rtta chiziqli tenglamalar tizimini Gauss usuli yordamida yeching.

Amalda bunday vazifa juda kam uchraydi. Menimcha, hatto ushbu sahifani batafsil o'rgangan choynak ham bunday tizimni intuitiv ravishda hal qilish algoritmini tushunadi. Asosan bir xil - faqat ko'proq harakat.

Tizimning yechimlari bo'lmagan (mos kelmaydigan) yoki cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan holatlar "Mos kelmaydigan tizimlar va umumiy yechimga ega tizimlar" darsida ko'rib chiqiladi. U erda siz Gauss usulining ko'rib chiqilgan algoritmini tuzatishingiz mumkin.

Omad tilayman!

Yechimlar va javoblar:

2-misol: Yechim : Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichli shaklga keltiramiz.


Amalga oshirilgan elementar transformatsiyalar:
(1) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi. Diqqat! Bu erda uchinchi qatordan birinchisini olib tashlash jozibador bo'lishi mumkin, men ayirishni qat'iyan tavsiya etmayman - xatolik xavfi sezilarli darajada oshadi. Biz shunchaki yig'amiz!
(2) Ikkinchi qatorning belgisi o'zgartirildi (-1 ga ko'paytirildi). Ikkinchi va uchinchi qatorlar almashtirildi. Eslatma"qadamlar" da biz nafaqat bittadan, balki -1 dan ham mamnunmiz, bu yanada qulayroq.
(3) Uchinchi qatorga 5 ga ko'paytirilgan ikkinchi qatorni qo'shing.
(4) Ikkinchi qatorning belgisi o'zgartirildi (-1 ga ko'paytirildi). Uchinchi qator 14 ga bo'lingan.

Teskari harakat:

Javob: .

4-misol: Yechim : Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichli shaklga keltiramiz:

Amalga oshirilgan konversiyalar:
(1) Birinchi qatorga ikkinchi qator qo'shildi. Shunday qilib, kerakli birlik yuqori chap "qadam" da tashkil etilgan.
(2) 7 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga, 6 ga ko'paytirilgan birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi.

Ikkinchi "qadam" bilan hamma narsa yomonroq , buning uchun "nomzodlar" 17 va 23 raqamlari bo'lib, bizga bitta yoki -1 kerak. Transformatsiyalar (3) va (4) kerakli birlikni olishga qaratilgan bo'ladi

(3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi.
(4) -3 ga ko'paytirilgan uchinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi.
(3) 4 ga ko'paytirilgan ikkinchi qator uchinchi qatorga, to'rtinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan ikkinchi qator qo'shildi.
(4) Ikkinchi qatorning belgisi o'zgartirildi. To'rtinchi qator 3 ga bo'linib, uchinchi qator o'rniga qo'yildi.
(5) Uchinchi qator to'rtinchi qatorga qo'shildi, -5 ga ko'paytirildi.

Teskari harakat: