?o?unu ??zerken Matematik problemleri, ?zellikle 10. s?n?ftan ?nce ger?ekle?enler, hedefe g?t?recek eylemlerin s?ras? a??k?a tan?mlanm??t?r. Bu t?r problemler, ?rne?in, do?rusal ve ikinci dereceden denklemleri, do?rusal ve ikinci dereceden e?itsizlikleri, kesirli denklemleri ve ikinci dereceden denklemlere indirgenen denklemleri i?erir. Bahsedilen g?revlerin her birinin ba?ar?l? bir ?ekilde ??z?lmesi ilkesi ?u ?ekildedir: ne t?r bir g?revin ??z?ld???n? belirlemek, istenen sonuca g?t?recek gerekli eylem s?ras?n? hat?rlamak, yani. yan?tlay?n ve bu ad?mlar? izleyin.

A??k?as?, belirli bir sorunu ??zmedeki ba?ar? veya ba?ar?s?zl?k, esas olarak, ??z?lmekte olan denklem t?r?n?n ne kadar do?ru belirlendi?ine, ??z?m?n?n t?m a?amalar?n?n s?ras?n?n ne kadar do?ru bir ?ekilde yeniden ?retildi?ine ba?l?d?r. Elbette bu durumda ayn? d?n???mleri ve hesaplamalar? yapabilecek becerilere sahip olmak gerekir.

ile farkl? bir durum ortaya ??kar. trigonometrik denklemler. Denklemin trigonometrik oldu?u ger?e?ini tespit etmek zor de?il. Do?ru cevaba g?t?recek eylemlerin s?ras?n? belirlerken zorluklar ortaya ??kar.

Bir denklemin g?r?n?m? ile t?r?n? belirlemek bazen zordur. Ve denklemin t?r?n? bilmeden, birka? d?zine trigonometrik form?lden do?ru olan? se?mek neredeyse imkans?zd?r.

Trigonometrik denklemi ??zmek i?in ?unu denemeliyiz:

1. denklemde yer alan t?m fonksiyonlar? "ayn? a??lara" getirin;
2. denklemi "ayn? i?levlere" getirin;
3. Denklemin sol taraf?n? ?arpanlara ay?r?n, vb.

D???nmek trigonometrik denklemleri ??zmek i?in temel y?ntemler.

I. En basit trigonometrik denklemlere indirgeme

??z?m ?emas?

A?ama 1. Trigonometrik fonksiyonu bilinen bile?enler cinsinden ifade edin.

Ad?m 2 Form?lleri kullanarak i?lev ba??ms?z de?i?kenini bulun:

??nk? x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

g?nah x = a; x \u003d (-1) n arksin a + pn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + pn, n Є Z.

ctg x = bir; x \u003d arcctg a + pn, n Є Z.

A?ama 3 Bilinmeyen bir de?i?ken bulun.

?rnek.

2 cos(3x – p/4) = -?2.

??z?m.

1) cos(3x - p/4) = -?2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Є Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Є Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Є Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Є Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

Cevap: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

II. De?i?ken ikame

??z?m ?emas?

A?ama 1. Denklemi trigonometrik fonksiyonlardan birine g?re cebirsel bir forma getirin.

Ad?m 2 Ortaya ??kan i?levi t de?i?keni ile belirtin (gerekirse, t'ye k?s?tlamalar getirin).

A?ama 3 Elde edilen cebirsel denklemi yaz?n ve ??z?n.

4. Ad?m Ters bir ikame yap?n.

Ad?m 5 En basit trigonometrik denklemi ??z?n.

?rnek.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

??z?m.

1) 2(1 - g?nah 2 (x/2)) - 5g?n (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) G?nah (x/2) = t olsun, burada |t| <= 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 veya e = -3/2 |t| ko?ulunu sa?lamaz. <= 1.

4) g?nah (x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Є Z;

x = p + 4pn, n Є Z.

Cevap: x = p + 4pn, n Є Z.

III. Denklem s?ras?n? azaltma y?ntemi

??z?m ?emas?

A?ama 1. G?? azaltma form?llerini kullanarak bu denklemi do?rusal bir denklemle de?i?tirin:

g?nah 2 x \u003d 1/2 (1 - ??nk? 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Ad?m 2 Elde edilen denklemi I ve II y?ntemlerini kullanarak ??z?n.

?rnek.

cos2x + cos2x = 5/4.

??z?m.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) ??nk? 2x + 1/2 + 1/2 ??nk? 2x = 5/4;

3/2 ??nk? 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Є Z;

x = ±p/6 + pn, n Є Z.

Cevap: x = ±p/6 + pn, n Є Z.

IV. homojen denklemler

??z?m ?emas?

A?ama 1. Bu denklemi forma getirin

a) a sin x + b cos x = 0 (birinci dereceden homojen denklem)

ya da g?r?n?me

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci dereceden homojen denklem).

Ad?m 2 Denklemin her iki taraf?n? da

a) cos x ? 0;

b) cos 2 x ? 0;

ve tg x i?in denklemi al?n:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

A?ama 3 Denklemi bilinen y?ntemleri kullanarak ??z?n.

?rnek.

5sin 2 x + 3sin x ??nk? x - 4 = 0.

??z?m.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin? x – 4cos 2 x = 0;

g?nah 2 x + 3sin x ??nk? x - 4cos 2 x \u003d 0 / ??nk? 2 x ? 0.

2) tg 2x + 3tgx - 4 = 0.

3) tg x = t olsun, o zaman

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 veya t = -4, yani

tg x = 1 veya tg x = -4.

Birinci denklemden x = p/4 + pn, n Є Z; ikinci denklemden x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Cevap: x = p/4 + pn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Trigonometrik form?ller kullanarak bir denklemi d?n??t?rme y?ntemi

??z?m ?emas?

A?ama 1. Her t?rl? trigonometrik form?l? kullanarak bu denklemi I, II, III, IV y?ntemleriyle ??z?lebilecek bir denklem haline getirin.

Ad?m 2 Bilinen y?ntemleri kullanarak elde edilen denklemi ??z?n.

?rnek.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

??z?m.

1) (g?nah x + g?nah 3x) + g?nah 2x = 0;

2sin 2x ??nk? x + g?nah 2x = 0.

2) g?nah 2x (2cos x + 1) = 0;

g?nah 2x = 0 veya 2cos x + 1 = 0;

Birinci denklemden 2x = p/2 + pn, n Є Z; ikinci denklemden cos x = -1/2.

elimizde x = p/4 + pn/2, n Є Z var; ikinci denklemden x = ±(p – p/3) + 2pk, k Є Z.

Sonu? olarak, x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Cevap: x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Trigonometrik denklemleri ??zme yetene?i ve becerileri ?ok ?nemli, geli?imleri hem ??renci hem de ??retmen a??s?ndan b?y?k ?aba gerektirir.

Stereometri, fizik vb. Bir?ok problem trigonometrik denklemlerin ??z?m? ile ili?kilidir.Bu t?r problemleri ??zme s?reci, oldu?u gibi, trigonometri elemanlar?n? incelerken edinilen bilgi ve becerilerin ?o?unu i?erir.

Trigonometrik denklemler, matematik ??retimi ve genel olarak ki?ilik geli?imi s?recinde ?nemli bir yer tutar.

Sormak istedi?iniz bir ?ey var m?? Trigonometrik denklemleri nas?l ??zece?inizi bilmiyor musunuz?
Bir ??retmenden yard?m almak i?in - kaydolun.
?lk ders ?cretsiz!

site, materyalin tamamen veya k?smen kopyalanmas?yla, kayna?a bir ba?lant? gereklidir.

Bir keresinde iki ba?vuran aras?ndaki bir konu?maya tan?k oldum:

– Ne zaman 2pn eklemeniz gerekiyor ve ne zaman - pn? hat?rlayam?yorum!

- Bende de ayn? problem var.

Onlara ?unu s?ylemek istedim: “Ezberlemek de?il, anlamak gerekiyor!”

Bu makale ?ncelikle lise ??rencilerine y?neliktir ve umar?m onlara en basit trigonometrik denklemleri ??zmede "anlama" konusunda yard?mc? olur:

Say? ?emberi

Say? do?rusu kavram?n?n yan?nda say? ?emberi kavram? da vard?r. Bildi?imiz gibi, Dikd?rtgen koordinat sisteminde merkezi (0; 0) ve yar??ap? 1 olan daireye birim daire denir.?nce bir ipli?e sahip bir say? do?rusu hayal edin ve bu dairenin etraf?na sar?n: referans noktas? (0 noktas?), birim dairenin "sa?" noktas?na yap??t?r?n, pozitif yar?m ekseni saat y?n?n?n tersine ve negatif yar?m ekseni i?e sar?n. y?n (?ekil 1). B?yle bir birim ?embere say? ?emberi denir.

Say? ?emberi ?zellikleri

• Her ger?ek say?, say? ?emberinin bir noktas?ndad?r.
• Say? ?emberinin her noktas?nda sonsuz say?da ger?ek say? vard?r. Birim ?emberin uzunlu?u 2p oldu?undan, ?emberin bir noktas?ndaki herhangi iki say? aras?ndaki fark ±2p say?lar?ndan birine e?ittir; ±4p; ±6p; …

?u sonuca varal?m: A noktas?n?n say?lar?ndan birini bilerek, A noktas?n?n t?m say?lar?n? bulabiliriz..

AC ?ap?n? ?izelim (?ekil 2). x_0, A noktas?n?n say?lar?ndan biri oldu?undan, x_0±p say?lar?; x_0±3p; x_0±5p; … ve sadece C noktas?n?n say?lar? olacaklar. Diyelim ki x_0+p bu say?lardan birini se?elim ve C noktas?n?n t?m say?lar?n? yazmak i?in kullanal?m: x_C=x_0+p+2pk ,k? Z. A ve C noktalar?ndaki say?lar?n tek bir form?lde birle?tirilebilece?ini unutmay?n: x_(A ; C)=x_0+pk ,k?Z (k = 0; ±2; ±4; ... i?in ?u say?lar? elde ederiz: A noktas? ve k = ±1, ±3, ±5, … i?in C noktas?n?n say?lar?d?r).

?u sonuca varal?m: AC ?ap?n?n A veya C noktalar?ndan birindeki say?lardan birini bilerek, bu noktalardaki t?m say?lar? bulabiliriz.

• Dairenin apsis eksenine g?re simetrik olan noktalar?nda kar??l?kl? iki say? bulunur.

Dikey bir AB kiri?i ?izelim (?ekil 2). A ve B noktalar? Ox ekseni etraf?nda simetrik oldu?undan, -x_0 say?s? B noktas?nda bulunur ve bu nedenle, B noktas?n?n t?m say?lar? ?u form?lle verilir: x_B=-x_0+2pk ,k?Z. A ve B noktalar?ndaki say?lar? tek bir form?lle yaz?yoruz: x_(A ; B)=±x_0+2pk ,k?Z. Sonu? olarak: AB dikey kiri?inin A veya B noktalar?ndan birindeki say?lardan birini bilerek, bu noktalardaki t?m say?lar? bulabiliriz. AD yatay kiri?ini d???n?n ve D noktas?n?n say?lar?n? bulun (?ek. 2). BD ?ap oldu?undan ve -x_0 say?s? B noktas?na ait oldu?undan, -x_0 + p D noktas?n?n say?lar?ndan biridir ve bu nedenle bu noktan?n t?m say?lar? x_D=-x_0+p+2pk form?l?yle verilir. ,k?Z. A ve D noktalar?ndaki say?lar tek bir form?l kullan?larak yaz?labilir: x_(A ; D)=(-1)^k?x_0+pk ,k?Z . (k= 0; ±2; ±4; ... i?in A noktas?n?n numaralar?n? ve k = ±1; ±3; ±5; ... - D noktas?n?n say?lar?n? al?yoruz).

?u sonuca varal?m: AD yatay kiri?inin A veya D noktalar?ndan birindeki say?lardan birini bilerek, bu noktalardaki t?m say?lar? bulabiliriz.

Say? ?emberinin on alt? ana noktas?

Uygulamada, en basit trigonometrik denklemlerin ?o?unun ??z?m?, dairenin on alt? noktas?yla ili?kilendirilir (?ekil 3). Bu noktalar nelerdir? K?rm?z?, mavi ve ye?il noktalar daireyi 12 e?it par?aya b?ler. Yar?m dairenin uzunlu?u p oldu?undan, A1A2 yay?n?n uzunlu?u p/2, A1B1 yay?n?n uzunlu?u p/6 ve A1C1 yay?n?n uzunlu?u p/3't?r.

?imdi noktalar ?zerinde bir say? belirtebiliriz:

С1 ?zerinde p/3 ve

Turuncu karenin k??eleri, her ?eyre?in yaylar?n?n orta noktalar?d?r, bu nedenle A1D1 yay?n?n uzunlu?u p/4'e e?ittir ve dolay?s?yla p/4, D1 noktas?n?n say?lar?ndan biridir. Say? ?emberinin ?zelliklerini kullanarak ?emberimizin t?m i?aretli noktalar?ndaki t?m say?lar? form?ller kullanarak yazabiliriz. ?ekil ayr?ca bu noktalar?n koordinatlar?n? da g?stermektedir (al?nmalar?n?n a??klamas?n? atl?yoruz).

Yukar?dakileri ??rendikten sonra, art?k ?zel durumlar? ??zmek i?in yeterli haz?rl??a sahibiz (say?n?n dokuz de?eri i?in). a) en basit denklemler

Denklemleri ??z

1)sinx=1/(2).

– Bizden istenen nedir?

– Sin?s? 1/2 olan t?m x say?lar?n? bulun.

Sin?s tan?m?n? hat?rlay?n: sinx - ?zerinde x say?s?n?n bulundu?u say? ?emberinin noktas?n?n ordinat?. Dairede, ordinat? 1/2'ye e?it olan iki noktam?z var. Bunlar yatay akor B1B2'nin u?lar?d?r. Bu, "sinx=1/2 denklemini ??z" gereklili?inin "B1 noktas?ndaki t?m say?lar? ve B2 noktas?ndaki t?m say?lar? bul" gereklili?ine e?de?er oldu?u anlam?na gelir.

2)sinx=-?3/2 .

C4 ve C3 noktalar?ndaki t?m say?lar? bulmam?z gerekiyor.

3) g?nah = 1. Dairede, 1 - A2 noktas? olan sadece bir noktam?z var ve bu nedenle, bu noktan?n sadece t?m say?lar?n? bulmam?z gerekiyor.

Cevap: x=p/2+2pk , k?Z .

4)g?nah=-1 .

Sadece A_4 noktas?n?n koordinat? -1'dir. Bu noktan?n t?m say?lar? denklemin atlar? olacakt?r.

Cevap: x=-p/2+2pk , k?Z .

5) g?nah = 0 .

Dairede 0 koordinatl? iki noktam?z var - A1 ve A3 noktalar?. Her bir noktadaki say?lar? ayr? ayr? belirtebilirsiniz, ancak bu noktalar?n taban tabana z?t oldu?u g?z ?n?ne al?nd???nda, bunlar? tek bir form?lde birle?tirmek daha iyidir: x=pk ,k?Z .

Cevap: x=pk ,k?Z .

6)cosx=?2/2 .

Kosin?s tan?m?n? hat?rlay?n: cosx - x say?s?n?n bulundu?u say?sal dairenin noktas?n?n apsisi. Dairede apsis ?2/2 olan iki noktam?z var - yatay akor D1D4'?n u?lar?. Bu noktalardaki t?m say?lar? bulmam?z gerekiyor. Bunlar? tek bir form?lde birle?tirerek yaz?yoruz.

Cevap: x=±p/4+2pk , k?Z .

7) cosx=-1/2 .

C_2 ve C_3 noktalar?ndaki say?lar? bulmam?z gerekiyor.

Cevap: x=±2p/3+2pk , k?Z .

10) cosx=0 .

Yaln?zca A2 ve A4 noktalar?nda apsis 0 vard?r, bu da bu noktalar?n her birindeki t?m say?lar?n denklemin ??z?mleri olaca?? anlam?na gelir.
.

Sistemin denkleminin ??z?mleri B_3 ve B_4 noktalar?ndaki say?lard?r.E?itsizlik cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Cevap: x=-5p/6+2pk , k?Z .

Kabul edilebilir herhangi bir x de?eri i?in ikinci fakt?r?n pozitif oldu?una ve bu nedenle denklemin sisteme e?de?er oldu?una dikkat edin.

Sistem denkleminin ??z?mleri D_2 ve D_3 noktalar?n?n say?s?d?r. D_2 noktas?n?n say?lar? sinx<=0.5 e?itsizli?ini sa?lamaz, ancak D_3 noktas?n?n say?lar? bunu sa?lar.

blog.site, materyalin tamamen veya k?smen kopyalanmas?yla, kayna?a bir ba?lant? gereklidir.

Trigonometrik denklemler en kolay konu de?ildir. Ac? verici bir ?ekilde ?e?itlidirler.) ?rne?in, bunlar:

sin2x + cos3x = ctg5x

g?nah(5x+p/4) = ctg(2x-p/3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Vb...

Ancak bu (ve di?er t?m) trigonometrik canavarlar?n iki ortak ve zorunlu ?zelli?i vard?r. Birincisi - inanamayacaks?n?z - denklemlerde trigonometrik fonksiyonlar var.) ?kincisi: x'li t?m ifadeler bu ayn? i?levler i?inde. Ve sadece orada! x bir yerde g?r?n?rse d??ar?da,?rne?in, sin2x + 3x = 3, bu karma tip bir denklem olacakt?r. Bu t?r denklemler bireysel bir yakla??m gerektirir. Burada onlar? dikkate almayaca??z.

Bu derste de ?eytani denklemleri ??zmeyece?iz.) en basit trigonometrik denklemler. Neden? Niye? evet ??nk? karar hi? trigonometrik denklemler iki a?amadan olu?ur. ?lk a?amada ?er denklemi ?e?itli d?n???mlerle basite indirgenir. ?kincisi - bu en basit denklem ??z?ld?. Ba?ka yol yok.

Yani ikinci a?amada sorun ya??yorsan?z ilk a?ama pek bir anlam ifade etmiyor.)

Temel trigonometrik denklemler neye benziyor?

g?nah = bir

cosx = bir

tgx = bir

ctgx = bir

Burada a herhangi bir say? anlam?na gelir. Hi?.

Bu arada, fonksiyonun i?inde saf bir x de?il, bir t?r ifade olabilir, ?rne?in:

cos(3x+p/3) = 1/2

vb. Bu hayat? zorla?t?r?r, ancak trigonometrik denklemi ??zme y?ntemini etkilemez.

Trigonometrik denklemler nas?l ??z?l?r?

Trigonometrik denklemler iki ?ekilde ??z?lebilir. ?lk yol: mant?k ve trigonometrik daire kullanmak. Bu yolu burada ke?fedece?iz. ?kinci yol - haf?za ve form?llerin kullan?lmas? - bir sonraki derste ele al?nacakt?r.

?lk yol a??k, g?venilir ve unutulmas? zor.) Trigonometrik denklemleri, e?itsizlikleri ve her t?rl? zor standart d??? ?rne?i ??zmek i?in iyidir. Mant?k haf?zadan daha g??l?d?r!

Trigonometrik bir daire kullanarak denklemleri ??z?yoruz.

Temel mant??? ve trigonometrik bir daire kullanma yetene?ini dahil ediyoruz. Yapamaz m?s?n!? Ancak... Trigonometride sizin i?in zor olacak...) Ama ?nemli de?il. "Trigonometrik daire ...... Nedir?" derslerine bir g?z at?n. ve "Trigonometrik bir daire ?zerinde a??lar? sayma." Orada her ?ey basit. Ders kitaplar?n?n aksine...)

Ah, biliyor musun!? Ve hatta "Trigonometrik bir daire ile pratik ?al??ma" konusunda ustala?t?!? Tebrikleri kabul edin. Bu konu size yak?n ve anla??l?r olacakt?r.) ?zellikle sevindirici olan ?ey, trigonometrik dairenin hangi denklemi ??zd???n?zle ilgilenmemesidir. Sin?s, kosin?s, tanjant, kotanjant - onun i?in her ?ey ayn?d?r. ??z?m prensibi ayn?d?r.

Yani herhangi bir temel trigonometrik denklemi al?yoruz. En az?ndan bu:

cosx = 0,5

X'i bulmam gerek. ?nsan dilinde konu?mak, ihtiyac?n?z olan kosin?s? 0,5 olan a??y? (x) bulun.

Daha ?nce ?emberi nas?l kulland?k? ?zerine bir k??e ?ektik. Derece veya radyan cinsinden. Ve derhal g?r?len bu a??n?n trigonometrik fonksiyonlar?. ?imdi tersini yapal?m. ?emberin ?zerine 0,5'e e?it bir kosin?s ?izin ve hemen g?rece?iz k??e. Geriye sadece cevab? yazmak kal?yor.) Evet, evet!

Bir daire ?iziyoruz ve kosin?s? 0,5'e e?it olarak i?aretliyoruz. Tabii ki kosin?s ekseninde. Bunun gibi:

?imdi bu kosin?s?n bize verdi?i a??y? ?izelim. Farenizi resmin ?zerine getirin (veya bir tablette resme dokunun) ve g?rmek bu ayn? k??e X.

Hangi a??n?n kosin?s? 0,5'tir?

x \u003d p / 3

??nk? 60°= ??nk?( p/3) = 0,5

Baz?lar? ??pheyle homurdanacak, evet... Her ?ey ortadayken, ?emberi ?itle ?evirmeye de?di mi derler... Elbette homurdanabilirsin...) Ama ger?ek ?u ki bu yanl?? bir ?ey. Cevap. Daha do?rusu yetersiz. ?emberin uzmanlar?, hala 0,5'e e?it bir kosin?s veren bir s?r? a?? oldu?unu anl?yorlar.

Hareketli taraf? OA'y? ?evirirseniz tam bir d?n?? i?in, A noktas? orijinal konumuna geri d?necektir. Ayn? kosin?s 0,5'e e?it. ?unlar. a?? de?i?ecek 360° veya 2p radyan ve kosin?s de?ildir. 60° + 360° = 420° yeni a?? da denklemimize bir ??z?m olacakt?r, ??nk?

B?yle sonsuz say?da tam d?n?? var... Ve t?m bu yeni a??lar trigonometrik denklemimizin ??z?mleri olacak. Ve hepsinin bir ?ekilde yaz?lmas? gerekiyor. Her?ey. Aksi halde karar dikkate al?nmaz, evet...)

Matematik bunu basit ve zarif bir ?ekilde yapabilir. K?sa bir cevapta, yaz?n sonsuz k?me??z?mler. Denklemimiz i?in ??yle g?r?n?yor:

x = p /3 + 2p n, n ? Z

de?ifre edece?im. Hala yaz anlaml? bir ?ekilde baz? gizemli harfleri aptalca ?izmekten daha g?zel, de?il mi?)

p/3 bizim a??m?zla ayn? a?? testere?ember ?zerinde ve tan?mlanm?? kosin?s tablosuna g?re.

2p radyan cinsinden bir tam d?n??t?r.

n - bu, tamamlanm?? say?d?r, yani. t?m devrimler. A??kt?r ki n 0, ±1, ±2, ±3.... ve benzeri olabilir. K?sa giri?te belirtildi?i gibi:

n ? Z

n ait ( ? ) tamsay?lar k?mesine ( Z ). Bu arada, mektup yerine n harfler kullan?labilir k, m, t vb.

Bu g?sterim, herhangi bir tamsay? alabilece?iniz anlam?na gelir. n . En az -3, en az 0, en az +55. Ne istiyorsun. Bu say?y? cevab?n?za eklerseniz, zorlu denklemimizin ??z?m? olaca?? kesin olan belirli bir a?? elde edersiniz.)

Veya ba?ka bir deyi?le, x \u003d p / 3 sonsuz bir k?menin tek k?k?d?r. Di?er t?m k?kleri elde etmek i?in, p / 3'e herhangi bir say?da tam d?n?? eklemek yeterlidir ( n ) radyan cinsinden. ?unlar. 2pn radyan.

Her ?ey? Numara. ?zellikle zevki uzat?r?m. Daha iyi hat?rlamak i?in.) Denklemimize verilen cevaplar?n sadece bir k?sm?n? ald?k. ??z?m?n bu ilk b?l?m?n? a?a??daki gibi yazaca??m:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 1 - tek bir k?k de?il, k?sa bi?imde yaz?lm?? bir dizi k?kt?r.

Ancak kosin?s de?eri 0,5'e e?it olan ba?ka a??lar da vard?r!

Cevab? yazd???m?za g?re resmimize d?nelim. ??te orada:

Fareyi g?r?nt?n?n ?zerine getirin ve g?rmek ba?ka bir k??e ayr?ca 0,5 kosin?s verir. Sizce neye e?ittir? ??genler ayn?... Evet! a??ya e?ittir X , sadece negatif y?nde ?izilir. bu k??e -X. Ama biz zaten x'i hesaplad?k. p/3 veya 60°. Bu nedenle, g?venle yazabiliriz:

x 2 \u003d - p / 3

Ve elbette, tam d?n??lerle elde edilen t?m a??lar? ekliyoruz:

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

?imdi hepsi bu.) Trigonometrik bir daire i?inde, biz testere(kim anlar elbette)) t?m 0,5'e e?it bir kosin?s veren a??lar. Ve bu a??lar? k?sa bir matematiksel formda yazd?lar. Cevap iki sonsuz k?k dizisidir:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

Bu do?ru cevap.

?mit etmek, trigonometrik denklemleri ??zmek i?in genel prensip bir daire yard?m?yla anla??labilir. Verilen denklemden kosin?s? (sin?s, tanjant, kotanjant) daire ?zerinde i?aretliyoruz, kar??l?k gelen a??lar? ?iziyoruz ve cevab? yaz?yoruz. Tabii bizim ne t?r k??eler oldu?umuzu anlaman?z gerekiyor. testere daire ?zerinde. Bazen o kadar a??k de?ildir. Eh, dedi?im gibi, burada mant?k gereklidir.)

?rne?in, ba?ka bir trigonometrik denklemi analiz edelim:

L?tfen denklemlerde 0,5 say?s?n?n tek olas? say? olmad???n? unutmay?n!) Bunu yazmak benim i?in k?kler ve kesirlerden daha uygun.

Genel prensibe g?re ?al???yoruz. Bir daire ?iziyoruz, i?aretleyin (elbette sin?s ekseninde!) 0,5. Bu sin?se kar??l?k gelen t?m a??lar? bir kerede ?iziyoruz. Bu resmi al?yoruz:

?nce a??yla ilgilenelim. X ilk ?eyrekte. Sin?s tablosunu hat?rl?yoruz ve bu a??n?n de?erini belirliyoruz. Konu basit:

x \u003d p / 6

T?m d?n??leri hat?rl?yoruz ve net bir vicdanla ilk cevap dizisini yaz?yoruz:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

??in yar?s? yap?l?r. ?imdi tan?mlamam?z gerekiyor ikinci k??e... Bu kosin?slerden daha zor, evet ... Ama mant?k bizi kurtaracak! ?kinci a?? nas?l belirlenir x arac?l???yla? Evet Kolay! Resimdeki ??genler ayn? ve k?rm?z? k??e X a??ya e?it X . Sadece negatif y?nde p a??s?ndan say?l?r. Bu y?zden k?rm?z?.) Ve cevap i?in, pozitif yar?m eksen OX'den do?ru olarak ?l??len bir a??ya ihtiyac?m?z var, yani. 0 derecelik bir a??dan.

?mleci resmin ?zerine getirin ve her ?eyi g?r?n. Resmi karma??kla?t?rmamak i?in ilk k??eyi kald?rd?m. Bizi ilgilendiren a?? (ye?ille ?izilmi?) ?una e?it olacakt?r:

p - x

x onu biliyoruz p/6 . Yani ikinci a?? olacak:

p - p /6 = 5p /6

Yine, tam devirlerin eklenmesini hat?rl?yoruz ve ikinci dizi cevaplar? yaz?yoruz:

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Bu kadar. Tam bir cevap iki dizi k?kten olu?ur:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Tanjant ve kotanjantl? denklemler, trigonometrik denklemleri ??zmek i?in ayn? genel ilke kullan?larak kolayca ??z?lebilir. Tabii ki, trigonometrik bir daire ?zerinde tanjant ve kotanjant? nas?l ?izece?inizi bilmiyorsan?z.

Yukar?daki ?rneklerde sin?s ve kosin?s?n tablo de?erini kulland?m: 0,5. ?unlar. ??rencinin bildi?i anlamlardan biri zorunlu.?imdi yeteneklerimizi geni?letelim di?er t?m de?erler. Karar verin, karar verin!)

Diyelim ki a?a??daki trigonometrik denklemi ??zmemiz gerekiyor:

K?sa tablolarda kosin?s?n b?yle bir de?eri yoktur. Bu korkun? ger?e?i so?ukkanl?l?kla g?rmezden geliyoruz. Bir daire ?iziyoruz, kosin?s ekseninde 2/3'? i?aretliyoruz ve kar??l?k gelen a??lar? ?iziyoruz. Bu resmi al?yoruz.

Yeni ba?layanlar i?in ilk ?eyrekte bir a??yla anl?yoruz. x'in neye e?it oldu?unu bilmek i?in hemen cevab? yazarlard?! Bilmiyoruz... Ba?ar?s?zl?k!? Sakinlik! Matematik kendi ba??n? belada b?rakmaz! Bu durum i?in ark kosin?slerini icat etti. Bilmemek? Bo?una. ??renin. D???nd???n?zden ?ok daha kolay. Bu ba?lant?ya g?re, "ters trigonometrik fonksiyonlar" hakk?nda tek bir hileli b?y? yoktur... Bu konuda gereksizdir.

Bilginiz varsa, kendinize "X, kosin?s? 2/3 olan bir a??d?r" deyin. Ve hemen, tamamen arkozin tan?m?na g?re ?unu yazabiliriz:

Ek d?n??leri hat?rl?yoruz ve trigonometrik denklemimizin ilk k?k dizisini sakince yaz?yoruz:

x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

?kinci k?k dizisi de ikinci a?? i?in neredeyse otomatik olarak yaz?l?r. Her ?ey ayn?, sadece x (arccos 2/3) eksi ile olacak:

x 2 = - arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

Ve her ?ey! Bu do?ru cevap. Tablo de?erlerinden bile daha kolay. Hi?bir ?ey hat?rlaman?za gerek yok.) Bu arada, en dikkatli olanlar bu resmin ark kosin?s?nden ge?en ??z?mle oldu?unu fark edecek. esasen cosx = 0,5 denklemi i?in resimden farkl? de?ildir.

Aynen ?yle! Bu konuda genel ilke ve genel! ?zellikle iki neredeyse ayn? resim ?izdim. Daire bize a??y? g?sterir X kosin?s?ne g?re. Bu tablosal bir kosin?s veya de?il - daire bilmiyor. Bu ne t?r bir a??, p/3 veya ne t?r bir ark kosin?s? oldu?una karar vermek bize kalm??.

Sin?s ile ayn? ?ark? indir. ?rne?in:

Yine bir daire ?iziyoruz, sin?s? 1/3 olarak i?aretliyoruz, k??eleri ?iziyoruz. Bu resim ortaya ??k?yor:

Ve yine resim denklemdekiyle hemen hemen ayn? sinx = 0,5.?lk ?eyre?e yine kornerden ba?l?yoruz. Sin?s? 1/3 ise x neye e?ittir? Sorun de?il!

B?ylece ilk k?k paketi haz?r:

x 1 = arksin 1/3 + 2p n, n ? Z

?kinci a??ya bir g?z atal?m. 0,5 tablo de?erine sahip ?rnekte, ?una e?itti:

p - x

Yani burada tamamen ayn? olacak! Sadece x farkl?d?r, arksin 1/3. Ne olmu?!? ?kinci k?k paketini g?venle yazabilirsiniz:

x 2 = p - arksin 1/3 + 2p n, n ? Z

Bu tamamen do?ru bir cevap. ?ok tan?d?k gelmese de. Ama anla??labilir, umar?m.)

Trigonometrik denklemler bir daire kullan?larak bu ?ekilde ??z?l?r. Bu yol a??k ve anla??l?rd?r. Belirli bir aral?kta, trigonometrik e?itsizliklerde k?klerin se?imi ile trigonometrik denklemlerde tasarruf eden ki?idir - genellikle neredeyse her zaman bir daire i?inde ??z?l?rler. K?sacas?, standart olanlardan biraz daha karma??k olan herhangi bir g?revde.

Bilgiyi uygulamaya koymak m??

Trigonometrik denklemleri ??z?n:

?lk ba?ta, do?rudan bu derste daha basittir.

?imdi daha zor.

?pucu: burada daire hakk?nda d???nmeniz gerekiyor. ?ahsen.)

Ve ?imdi g?r?n??te iddias?z ... Bunlara ?zel durumlar da deniyor.

g?nah = 0

g?nah = 1

cosx = 0

cosx = -1

?pucu: burada iki dizi cevab?n oldu?u ve nerede oldu?u bir daire i?inde bulman?z gerekiyor ... Ve iki dizi cevap yerine bir tane nas?l yaz?laca??n?. Evet, b?ylece sonsuz say?dan tek bir k?k kaybolmaz!)

Eh, olduk?a basit):

g?nah = 0,3

cosx = p

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

?pucu: burada arksin?s, arkkozin nedir bilmeniz gerekiyor? Ark tanjant?, ark tanjant? nedir? En basit tan?mlar. Ancak herhangi bir tablo de?erini hat?rlaman?za gerek yok!)

Cevaplar, elbette, karga?a i?inde):

x 1= arcsin0,3 + 2pn, n ? Z
x 2= p - arcsin0.3 + 2

Her ?ey yolunda gitmiyor mu? Olur. Dersi tekrar okuyun. Sadece d???nceli(O kadar eskimi? bir kelime var ki...) Ve linkleri takip edin. Ana ba?lant?lar daire ile ilgilidir. Trigonometride onsuz - g?z? kapal? yoldan nas?l ge?ilir. Bazen i?e yarar.)

Bu siteyi be?endiyseniz...

Bu arada, sizin i?in birka? ilgin? sitem daha var.)

?rnekleri ??zme al??t?rmas? yapabilir ve seviyenizi ??renebilirsiniz. An?nda do?rulama ile test etme. ??renme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve t?revler hakk?nda bilgi sahibi olabilirsiniz.

Gizlili?iniz bizim i?in ?nemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nas?l kulland???m?z? ve saklad???m?z? a??klayan bir Gizlilik Politikas? geli?tirdik. L?tfen gizlilik politikam?z? okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Ki?isel bilgilerin toplanmas? ve kullan?lmas?

Ki?isel bilgiler, belirli bir ki?iyi tan?mlamak veya ileti?im kurmak i?in kullan?labilecek verileri ifade eder.

Bizimle ileti?ime ge?ti?inizde herhangi bir zamanda ki?isel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

A?a??da, toplayabilece?imiz ki?isel bilgi t?rlerine ve bu bilgileri nas?l kullanabilece?imize ili?kin baz? ?rnekler verilmi?tir.

Hangi ki?isel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir ba?vuru yapt???n?zda, ad?n?z, telefon numaran?z, e-posta adresiniz vb. dahil olmak ?zere ?e?itli bilgiler toplayabiliriz.

Ki?isel bilgilerinizi nas?l kullan?yoruz:

• Toplad???m?z ki?isel bilgiler, sizinle ileti?im kurmam?za ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve di?er etkinlikler ve yakla?an etkinlikler hakk?nda sizi bilgilendirmemize olanak tan?r.
• Zaman zaman, size ?nemli bildirimler ve ileti?imler g?ndermek i?in ki?isel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Ki?isel bilgileri, sundu?umuz hizmetleri iyile?tirmek ve size hizmetlerimizle ilgili ?nerilerde bulunmak i?in denetimler, veri analizleri ve ?e?itli ara?t?rmalar yapmak gibi dahili ama?larla da kullanabiliriz.
• Bir ?d?l ?ekili?ine, yar??maya veya benzer bir te?vike girerseniz, sa?lad???n?z bilgileri bu t?r programlar? y?netmek i?in kullanabiliriz.

???nc? ?ah?slara a??klama

Sizden ald???m?z bilgileri ???nc? ?ah?slara if?a etmiyoruz.

?stisnalar:

• Gerekli olmas? durumunda - yasaya, yarg? d?zenine, yasal i?lemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklar?ndaki devlet organlar?n?n kamuya a??k taleplerine veya taleplerine dayanarak - ki?isel bilgilerinizi if?a edin. G?venlik, kanun yapt?r?m? veya di?er kamu yarar? nedenleriyle bu t?r bir a??klaman?n gerekli veya uygun oldu?unu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri if?a edebiliriz.
• Yeniden yap?lanma, birle?me veya sat?? durumunda, toplad???m?z ki?isel bilgileri ilgili ???nc? taraf halefine aktarabiliriz.

Ki?isel bilgilerin korunmas?

Ki?isel bilgilerinizi kay?p, h?rs?zl?k ve k?t?ye kullan?m?n yan? s?ra yetkisiz eri?im, if?a, de?i?iklik ve imhadan korumak i?in - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak ?zere - ?nlemler al?yoruz.

?irket d?zeyinde gizlili?inizi korumak

Ki?isel bilgilerinizin g?vende oldu?undan emin olmak i?in, ?al??anlar?m?za gizlilik ve g?venlik uygulamalar?n? iletiriz ve gizlilik uygulamalar?n? s?k? bir ?ekilde uygular?z.

En basit trigonometrik denklemler genellikle form?llerle ??z?l?r. A?a??daki trigonometrik denklemlerin en basit olarak adland?r?ld???n? hat?rlatmama izin verin:

g?nah = bir

cosx = bir

tgx = bir

ctgx = bir

x bulunacak a??d?r,
a herhangi bir say?d?r.

Ve i?te bu en basit denklemlerin ??z?mlerini hemen yazabilece?iniz form?ller.

sin?s i?in:

kosin?s i?in:

x = ± arccos a + 2p n, n ? Z

te?et i?in:

x = arktg a + p n, n ? Z

Kotanjant i?in:

x = yayctg a + p n, n ? Z

Asl?nda bu, en basit trigonometrik denklemleri ??zmenin teorik k?sm?d?r. Ve tamam?!) Hi?bir ?ey. Ancak, bu konudaki hatalar?n say?s? sadece yuvarlan?r. ?zellikle, ?rne?in ?ablondan hafif bir sapma ile. Neden? Niye?

Evet, ??nk? bir?ok insan bu mektuplar? yaz?yor, anlamlar?n? hi? anlamadan! Nas?l bir ?ey olursa olsun endi?eyle yaz?yor...) Bunun ??z?lmesi gerekiyor. Ne de olsa insanlar i?in trigonometri veya trigonometri i?in insanlar!?)

Anlayal?m m??

Bir a?? e?ittir arccos bir, ikinci: -arccos a.

Ve bu her zaman b?yle ?al??acak. Herhangi a.

Bana inanm?yorsan?z, farenizi resmin ?zerine getirin veya tabletteki resme dokunun.) Numaray? de?i?tirdim. a baz? olumsuz. neyse bir k??emiz var arccos bir, ikinci: -arccos a.

Bu nedenle, cevap her zaman iki k?k dizisi olarak yaz?labilir:

x 1 = arccos a + 2p n, n ? Z

x 2 = - arccos a + 2p n, n ? Z

Bu iki seriyi tek bir seride birle?tiriyoruz:

x= ± arccos a + 2p n, n ? Z

Ve her ?ey. En basit trigonometrik denklemi kosin?s ile ??zmek i?in genel bir form?l elde ettik.

Bunun bir t?r s?per bilimsel bilgelik olmad???n? anlarsan?z, sadece iki dizi yan?t?n k?salt?lm?? kayd?, sen ve g?revler "C" omuzda olacak. E?itsizliklerle, belirli bir aral?ktan k?k se?imi ile ... Orada, art? / eksi ile cevap yuvarlanmaz. Ve cevaba i? gibi davran?rsan?z ve onu iki ayr? cevaba b?lerseniz, her ?eye karar verilir.) Asl?nda, bunun i?in anl?yoruz. Ne, nas?l ve nerede.

En basit trigonometrik denklemde

g?nah = bir

ayr?ca iki dizi k?k elde edin. Her zaman. Ve bu iki dizi de kaydedilebilir Tek ?izgi. Sadece bu hat daha ak?ll? olacak:

x = (-1) n arksin a + p n, n ? Z

Ama ?z? ayn? kal?r. Matematik?iler, iki k?k dizisi kayd? yerine bir tane yapmak i?in basit?e bir form?l olu?turdular. Ve bu kadar!

Matematik?ileri kontrol edelim mi? Ve bu yeterli de?il...)

Bir ?nceki derste, trigonometrik denklemin sin?sl? (form?ls?z) ??z?m? detayl? olarak incelenmi?ti:

Cevab?n iki dizi k?k oldu?u ortaya ??kt?:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Ayn? denklemi form?l? kullanarak ??zersek, cevab? al?r?z:

x = (-1) n arksin 0,5 + p n, n ? Z

Asl?nda bu yar?m kalm?? bir cevap.) ??renci bunu bilmeli. arksin 0,5 = p /6. Tam cevap ??yle olacakt?r:

x = (-1) n p/6+ pn, n ? Z

Burada ilgin? bir soru ortaya ??k?yor. arac?l???yla yan?tla x 1; x 2 (bu do?ru cevap!) ve yaln?zl???n i?inden X (ve bu do?ru cevap!) - ayn? ?ey mi, de?il mi? ?imdi ??renelim.)

ile yan?t olarak de?i?tirin x 1 de?erler n =0; bir; 2; vb., bir dizi k?k elde etti?imizi d???n?yoruz:

x 1 \u003d p / 6; 13p/6; 25p/6 ve benzeri.

Yan?t olarak ayn? ikame ile x 2 , ?unu elde ederiz:

x 2 \u003d 5p / 6; 17p/6; 29p/6 ve benzeri.

Ve ?imdi de?erleri de?i?tiriyoruz n (0; 1; 2; 3; 4...) yaln?zl???n genel form?l?ne X . Yani, eksi 1'i s?f?r g?ce, ard?ndan birinciye, ikinciye vb. y?kseltiriz. Ve elbette, ikinci terime 0 koyar?z; bir; 2 3; 4 vb. Ve d???n?yoruz. Bir dizi elde ederiz:

x = p/6; 5p/6; 13p/6; 17p/6; 25p/6 ve benzeri.

T?m g?rebildi?in bu.) Genel form?l bize ?unu verir: tamamen ayn? sonu?lar hangisi ayr? ayr? iki cevapt?r. Hepsi bir anda, s?rayla. Matematik?iler aldatmad?.)

Tanjant ve kotanjantl? trigonometrik denklemleri ??zmek i?in form?ller de kontrol edilebilir. Ama yapmayal?m.) ?ok iddias?zlar.

T?m bu ikame ve do?rulamay? bilerek yapt?m. Burada basit bir ?eyi anlamak ?nemlidir: temel trigonometrik denklemleri ??zmek i?in form?ller vard?r, cevaplar?n sadece bir ?zeti. Bu k?sal?k i?in, kosin?s ??z?m?ne art?/eksi ve sin?s ??z?m?ne (-1) n eklemek zorunda kald?m.

Bu ekler, yaln?zca temel bir denklemin cevab?n? yazman?z gereken g?revlere hi?bir ?ekilde m?dahale etmez. Ancak bir e?itsizli?i ??zmeniz gerekiyorsa veya o zaman cevapla bir ?eyler yapman?z gerekiyorsa: aral?klarla k?kleri se?in, ODZ'yi kontrol edin, vb., bu ekler bir ki?iyi kolayca rahats?z edebilir.

Ve ne yapmal?? Evet, ya cevab? iki seri halinde boyay?n ya da denklemi/e?itsizli?i trigonometrik daire i?inde ??z?n. Sonra bu ekler kaybolur ve hayat kolayla??r.)

?zetleyebilirsiniz.

En basit trigonometrik denklemleri ??zmek i?in haz?r cevap form?lleri vard?r. D?rt adet. ??z?m? bir denkleme an?nda yazmak i?in iyidirler. ?rne?in, denklemleri ??zmeniz gerekir:

g?nah = 0,3

Kolayca: x = (-1) n arksin 0.3 + p n, n ? Z

cosx = 0.2

Sorun de?il: x = ± arccos 0.2 + 2p n, n ? Z

tgx = 1,2

Kolayca: x = arktg 1,2 + pn, n ? Z

ctgx = 3.7

Bir kald?: x= arcctg3,7 + pn, n ? Z

??nk? x = 1.8

Bilgiyle parl?yorsan?z, cevab? an?nda yaz?n:

x= ± arccos 1.8 + 2p n, n ? Z

o zaman zaten parl?yorsun, bu ... o ... bir su birikintisinden.) Do?ru cevap: ??z?mler yok. Neden anlamad?n? Arkozinin ne oldu?unu okuyun. Ek olarak, orijinal denklemin sa? taraf?nda sin?s, kosin?s, tanjant, kotanjant, - 1; 0; ?3; 1/2; ?3/2 vb. - kemerlerden ge?en cevap bitmemi? olacak. Kemerler radyana d?n??t?r?lmelidir.

Ve zaten bir e?itsizlikle kar??la??rsan?z,

o zaman cevap:

x pn, n ? Z

Nadir bir sa?mal?k var, evet ...) Burada trigonometrik bir daireye karar vermek gerekiyor. ?lgili konuda ne yapaca??z.

Bu sat?rlar? kahramanca okuyanlar i?in. Titanik ?abalar?n?z? takdir etmemek elde de?il. Sen bir bonus.)

Bonus:

Endi?eli bir sava? durumunda form?ller yazarken, sert inekler bile nerede oldu?u konusunda kafalar? kar???r. pn, Ve nerede 2pn. ??te size basit bir hile. ??inde t?m form?ller pn. Ark kosin?sl? tek form?l hari?. orada duruyor 2pn. ?ki turta. Anahtar kelime - iki. Ayn? tek form?lde iki ba??nda imzalay?n. Art? ve eksi. Burada ve orada - iki.

peki sen yazd?ysan iki ark kosin?s?n?n ?n?nde i?aret, sonunda ne olaca??n? hat?rlamak daha kolay iki turta. Ve tam tersi olur. Adam i?aretini atla ± , sonuna kadar git, do?ru yaz iki turta, evet ve yakala. bir ?eyin ?n?nde iki i?aret! Ki?i ba?a d?necek ama hatay? d?zeltecektir! Bunun gibi.)

Bu siteyi be?endiyseniz...

Bu arada, sizin i?in birka? ilgin? sitem daha var.)

?rnekleri ??zme al??t?rmas? yapabilir ve seviyenizi ??renebilirsiniz. An?nda do?rulama ile test etme. ??renme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve t?revler hakk?nda bilgi sahibi olabilirsiniz.