?o?unu ??zerken matematik problemleri?zellikle 10. s?n?ftan ?nce ger?ekle?enlerde, hedefe g?t?recek eylemlerin s?ras? a??k?a tan?mlan?r. Bu t?r problemler aras?nda ?rne?in do?rusal ve ikinci dereceden denklemler, do?rusal ve ikinci dereceden e?itsizlikler, kesirli denklemler ve ikinci dereceden denklemlere indirgenen denklemler yer al?r. Bahsedilen sorunlar?n her birini ba?ar?l? bir ?ekilde ??zme ilkesi ?u ?ekildedir: Ne t?r bir sorunu ??zd???n?z? belirlemeniz, istenen sonuca yol a?acak gerekli eylem s?ras?n? hat?rlaman?z gerekir; cevaplay?n ve ?u ad?mlar? izleyin.

Belirli bir problemi ??zmedeki ba?ar?n?n veya ba?ar?s?zl???n esas olarak ??z?len denklem t?r?n?n ne kadar do?ru belirlendi?ine, ??z?m?n?n t?m a?amalar?n?n s?ras?n?n ne kadar do?ru yeniden ?retildi?ine ba?l? oldu?u a??kt?r. Elbette bu durumda ayn? d?n???mleri ve hesaplamalar? yapabilme becerisine sahip olmak gerekir.

ile durum farkl? trigonometrik denklemler. Denklemin trigonometrik oldu?u ger?e?ini tespit etmek hi? de zor de?il. Do?ru cevaba yol a?acak eylemlerin s?ras?n? belirlerken zorluklar ortaya ??kar.

Bir denklemin g?r?n?m?ne g?re t?r?n? belirlemek bazen zordur. Ve denklemin t?r?n? bilmeden, birka? d?zine trigonometrik form?l aras?ndan do?ru olan? se?mek neredeyse imkans?zd?r.

Trigonometrik bir denklemi ??zmek i?in ?unlar? denemeniz gerekir:

1. Denklemde yer alan t?m fonksiyonlar? “ayn? a??lara” getirin;
2. Denklemi “?zde? fonksiyonlara” getirebilecek;
3. Denklemin sol taraf?n? ?arpanlara ay?r?n, vb.

d???nelim Trigonometrik denklemlerin ??z?m? i?in temel y?ntemler.

I. En basit trigonometrik denklemlere indirgeme

??z?m diyagram?

Ad?m 1. Bir trigonometrik fonksiyonu bilinen bile?enler cinsinden ifade edin.

Ad?m 2. Form?lleri kullanarak i?lev ba??ms?z de?i?kenini bulun:

??nk? x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

g?nah x = a; x = (-1) n arcsin a + pn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + pn, n Є Z.

ctg x = a; x = arkctg a + pn, n Є Z.

Ad?m 3. Bilinmeyen de?i?keni bulun.

?rnek.

2 cos(3x – p/4) = -?2.

??z?m.

1) cos(3x – p/4) = -?2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Є Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Є Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Є Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Є Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

Cevap: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

II. De?i?ken de?i?tirme

??z?m diyagram?

Ad?m 1. Denklemi trigonometrik fonksiyonlardan birine g?re cebirsel forma indirgeyin.

Ad?m 2. Ortaya ??kan i?levi t de?i?keniyle belirtin (gerekirse t'ye k?s?tlamalar getirin).

Ad?m 3. Ortaya ??kan cebirsel denklemi yaz?n ve ??z?n.

Ad?m 4. Ters de?i?tirme yap?n.

Ad?m 5. En basit trigonometrik denklemi ??z?n.

?rnek.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

??z?m.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t olsun, burada |t| <= 1.

3) 2t2 + 5t+3 = 0;

t = 1 veya e = -3/2, |t| ko?ulunu sa?lamaz <= 1.

4) g?nah(x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Є Z;

x = p + 4pn, n Є Z.

Cevap: x = p + 4pn, n Є Z.

III. Denklem s?ras? azaltma y?ntemi

??z?m diyagram?

Ad?m 1. Dereceyi azaltmak i?in form?l? kullanarak bu denklemi do?rusal bir denklemle de?i?tirin:

g?nah 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Ad?m 2. Ortaya ??kan denklemi y?ntem I ve II'yi kullanarak ??z?n.

?rnek.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

??z?m.

1) ??nk? 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) ??nk? 2x + 1/2 + 1/2 · ??nk? 2x = 5/4;

3/2 ??nk? 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Є Z;

x = ±p/6 + pn, n Є Z.

Cevap: x = ±p/6 + pn, n Є Z.

IV. Homojen denklemler

??z?m diyagram?

Ad?m 1. Bu denklemi forma indirgeyin

a) a sin x + b cos x = 0 (birinci dereceden homojen denklem)

veya g?r?n?me

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci derecenin homojen denklemi).

Ad?m 2. Denklemin her iki taraf?n? da ?una b?l?n:

a) ??nk? x ? 0;

b) ??nk? 2 x ? 0;

ve tan x denklemini elde edin:

a) tan rengi x + b = 0;

b) a ten rengi 2 x + b arktan x + c = 0.

Ad?m 3. Bilinen y?ntemleri kullanarak denklemi ??z?n.

?rnek.

5sin 2 x + 3sin x ??nk? x – 4 = 0.

??z?m.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin? x – 4cos 2 x = 0;

g?nah 2 x + 3sin x · ??nk? x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ? 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t olsun, o zaman

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 veya t = -4, bunun anlam?

tg x = 1 veya tg x = -4.

?lk denklemden x = p/4 + pn, n Є Z; ikinci denklemden x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Cevap: x = p/4 + pn, n Є Z; x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Trigonometrik form?ller kullanarak bir denklemi d?n??t?rme y?ntemi

??z?m diyagram?

Ad?m 1. Olas? t?m trigonometrik form?lleri kullanarak bu denklemi I, II, III, IV y?ntemleriyle ??z?len bir denkleme d?n??t?r?n.

Ad?m 2. Ortaya ??kan denklemi bilinen y?ntemleri kullanarak ??z?n.

?rnek.

g?nah x + g?nah 2x + g?nah 3x = 0.

??z?m.

1) (g?nah x + g?nah 3x) + g?nah 2x = 0;

2sin 2x ??nk? x + sin 2x = 0.

2) g?nah 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 veya 2cos x + 1 = 0;

?lk denklemden 2x = p/2 + pn, n Є Z; ikinci denklemden cos x = -1/2.

x = p/4 + pn/2, n Є Z; ikinci denklemden x = ±(p – p/3) + 2pk, k Є Z.

Sonu? olarak x = p/4 + pn/2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Cevap: x = p/4 + pn/2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

Trigonometrik denklemleri ??zme yetene?i ve becerisi ?ok Daha da ?nemlisi, onlar?n geli?imi hem ??renci hem de ??retmen a??s?ndan ciddi ?aba gerektirir.

Stereometri, fizik vb. pek ?ok problem, trigonometrik denklemlerin ??z?m?yle ili?kilidir. Bu t?r problemleri ??zme s?reci, trigonometri unsurlar?n?n incelenmesiyle elde edilen bilgi ve becerilerin ?o?unu b?nyesinde bar?nd?r?r.

Trigonometrik denklemler matematik ??renme s?recinde ve genel olarak ki?isel geli?im s?recinde ?nemli bir yer tutar.

Hala sorular?n?z m? var? Trigonometrik denklemleri nas?l ??zece?inizi bilmiyor musunuz?
Bir ??retmenden yard?m almak i?in kaydolun.
?lk ders ?cretsiz!

web sitesi, materyalin tamam?n? veya bir k?sm?n? kopyalarken kayna?a bir ba?lant? gereklidir.

Bir defas?nda iki aday aras?nda ge?en bir konu?maya tan?k oldum:

– 2pn’yi ne zaman eklemelisiniz ve pn’yi ne zaman eklemelisiniz? Sadece hat?rlayam?yorum!

– Ve bende de ayn? sorun var.

Onlara sadece ?unu s?ylemek istedim: “Ezberlemenize gerek yok, anlay?n!”

Bu makale ?ncelikle lise ??rencilerine y?neliktir ve umar?m en basit trigonometrik denklemleri "anlayarak" ??zmelerine yard?mc? olur:

Say? ?emberi

Say? do?rusu kavram?n?n yan? s?ra say? ?emberi kavram? da vard?r. bildi?imiz gibi Dikd?rtgen koordinat sisteminde, merkezi (0;0) noktas?nda ve yar??ap? 1 olan bir daireye birim daire ad? verilir. Bir say? do?rusunu ince bir iplik gibi hayal edelim ve onu bu ?emberin etraf?na saral?m: Orijini (0 noktas?) birim ?emberin “sa?” noktas?na ba?layaca??z, pozitif yar? ekseni saat y?n?n?n tersine, negatif yar? ekseni ise saat y?n?n?n tersine saraca??z. y?n?nde eksen (?ekil 1). B?yle bir birim ?embere say?sal ?ember denir.

Say? ?emberinin ?zellikleri

• Her ger?ek say?, say? ?emberi ?zerinde bir noktada bulunur.
• Say? ?emberinin her noktas?nda sonsuz say?da reel say? vard?r. Birim ?emberin uzunlu?u 2p oldu?undan, ?emberin bir noktas?ndaki herhangi iki say? aras?ndaki fark ±2p say?lar?ndan birine e?ittir; ±4p ; ±6p ; ...

Sonu? olarak ?unu belirtelim: A noktas?n?n say?lar?ndan birini bildi?imizde A noktas?n?n t?m say?lar?n? bulabiliriz.

Kliman?n ?ap?n? ?izelim (?ekil 2). x_0, A noktas?n?n say?lar?ndan biri oldu?undan, x_0±p say?lar?; x_0±3p; x_0±5p; ... ve sadece bunlar C noktas?n?n say?lar? olacak. Bu say?lardan birini se?elim, diyelim ki x_0+p ve onu C noktas?n?n t?m say?lar?n? yazmak i?in kullanal?m: x_C=x_0+p+2pk ,k? Z. A ve C noktalar?ndaki say?lar?n tek bir form?lde birle?tirilebilece?ine dikkat edin: x_(A ; C)=x_0+pk ,k?Z (k = 0; ±2; ±4; ... i?in) say?lar?n? elde ederiz A noktas? ve k = ±1; … – C noktas?n?n say?lar?).

Sonu? olarak ?unu belirtelim: AC ?ap?n?n A veya C noktalar?ndan birindeki say?lardan birini bildi?imizde, bu noktalardaki t?m say?lar? bulabiliriz.

• ?emberin apsis eksenine g?re simetrik olan noktalar?nda iki z?t say? bulunmaktad?r.

Dikey bir AB akoru ?izelim (?ekil 2). A ve B noktalar? Ox eksenine g?re simetrik oldu?undan, -x_0 say?s? B noktas?nda bulunur ve dolay?s?yla B noktas?n?n t?m say?lar? ?u form?lle verilir: x_B=-x_0+2pk ,k?Z. A ve B noktalar?na say?lar? tek bir form?l kullanarak yaz?yoruz: x_(A ; B)=±x_0+2pk ,k?Z. ?u sonuca varal?m: AB dikey kiri?inin A veya B noktalar?ndan birindeki say?lardan birini bildi?imizde, bu noktalardaki t?m say?lar? bulabiliriz. AD yatay kiri?ini ele alal?m ve D noktas?n?n say?lar?n? bulal?m (?ekil 2). BD bir ?ap oldu?undan ve -x_0 say?s? B noktas?na ait oldu?undan -x_0 + p, D noktas?n?n say?lar?ndan biridir ve dolay?s?yla bu noktan?n t?m say?lar? x_D=-x_0+p+ form?l?yle verilir. 2pk ,k?Z. A ve D noktalar?ndaki say?lar tek bir form?l kullan?larak yaz?labilir: x_(A ; D)=(-1)^k?x_0+pk ,k?Z . (k= 0; ±2; ±4; … i?in A noktas?n?n say?lar?n? ve k = ±1; ±3; ±5; … – D noktas?n?n say?s?n? elde ederiz).

Sonu? olarak ?unu belirtelim: AD yatay kiri?inin A veya D noktalar?ndan birindeki say?lardan birini bildi?imizde, bu noktalardaki t?m say?lar? bulabiliriz.

Say? ?emberinin on alt? ana noktas?

Uygulamada, en basit trigonometrik denklemlerin ?o?unun ??z?m?, bir daire ?zerinde on alt? noktay? i?erir (?ekil 3). Bu noktalar nedir? K?rm?z?, mavi ve ye?il noktalar daireyi 12 e?it par?aya b?l?yor. Yar?m dairenin uzunlu?u p oldu?undan, A1A2 yay?n?n uzunlu?u p/2, A1B1 yay?n?n uzunlu?u p/6 ve A1C1 yay?n?n uzunlu?u p/3 olur.

Art?k her seferinde bir say?y? belirtebiliriz:

C1'de p/3 ve

Turuncu karenin k??eleri her ?eyre?in yaylar?n?n orta noktalar?d?r, dolay?s?yla A1D1 yay?n?n uzunlu?u p/4'e e?ittir ve dolay?s?yla p/4, D1 noktas?n?n say?lar?ndan biridir. Say? ?emberinin ?zelliklerini kullanarak, ?emberimizin t?m i?aretli noktalar? ?zerindeki t?m say?lar? yazmak i?in form?llerden yararlanabiliriz. Bu noktalar?n koordinatlar? da ?ekilde i?aretlenmi?tir (onlar?n ediniminin a??klamas?n? atlayaca??z).

Yukar?dakilere hakim olduktan sonra, art?k ?zel durumlar? ??zmek i?in yeterli haz?rl??a sahibiz (say?lar?n dokuz de?eri i?in) A) en basit denklemler.

Denklemleri ??z

1)sinx=1/(2).

– Bizden ne isteniyor?

– Sin?s? 1/2'ye e?it olan t?m x say?lar?n? bulun.

Sin?s tan?m?n? hat?rlayal?m: sinx – say? ?emberinde x say?s?n?n bulundu?u noktan?n koordinat?. ?emberin ?zerinde koordinatlar? 1/2 olan iki noktam?z var. Bunlar B1B2 yatay akorunun u?lar?d?r. Bu, "sinx=1/2 denklemini ??zme" gereksiniminin "B1 noktas?ndaki t?m say?lar? ve B2 noktas?ndaki t?m say?lar? bulma" gereksinimine e?de?er oldu?u anlam?na gelir.

2)sinx=-?3/2 .

C4 ve C3 noktalar?ndaki t?m say?lar? bulmam?z gerekiyor.

3) sinx=1. ?ember ?zerinde ordinat? 1 olan tek bir noktam?z var - A2 noktas? ve bu nedenle yaln?zca bu noktan?n t?m say?lar?n? bulmam?z gerekiyor.

Cevap: x=p/2+2pk, k?Z.

4)sinx=-1 .

Yaln?zca A_4 noktas?n?n koordinat? -1'dir. Bu noktadaki t?m say?lar denklemin atlar? olacakt?r.

Cevap: x=-p/2+2pk, k?Z.

5) sinx=0 .

?ember ?zerinde ordinat? 0 olan iki noktam?z var; A1 ve A3 noktalar?. Her bir noktadaki say?lar? ayr? ayr? belirtebilirsiniz, ancak bu noktalar?n taban tabana z?t oldu?u g?z ?n?ne al?nd???nda, bunlar? tek bir form?lde birle?tirmek daha iyidir: x=pk,k?Z.

Cevap: x=pk ,k?Z .

6)cosx=?2/2 .

Kosin?s tan?m?n? hat?rlayal?m: cosx, x say?s?n?n bulundu?u say? ?emberi ?zerindeki noktan?n apsisidir.?ember ?zerinde apsis ?2/2 olan iki noktam?z var - D1D4 yatay akorunun u?lar?. Bu noktalardaki t?m say?lar? bulmam?z gerekiyor. Bunlar? tek bir form?lde birle?tirerek yazal?m.

Cevap: x=±p/4+2pk, k?Z.

7) cosx=-1/2 .

C_2 ve C_3 noktalar?ndaki say?lar? bulmam?z gerekiyor.

Cevap: x=±2p/3+2pk , k?Z .

10) cosx=0 .

Yaln?zca A2 ve A4 noktalar?n?n apsisi 0'd?r, bu da bu noktalar?n her birindeki t?m say?lar?n denklemin ??z?m? olaca?? anlam?na gelir.
.

Sistemin denkleminin ??z?mleri B_3 ve B_4 noktalar?ndaki say?lard?r. Cosx e?itsizli?ine.<0 удовлетворяют только числа b_3
Cevap: x=-5p/6+2pk, k?Z.

X'in kabul edilebilir herhangi bir de?eri i?in ikinci fakt?r?n pozitif oldu?unu ve dolay?s?yla denklemin sisteme e?de?er oldu?unu unutmay?n.

Sistem denkleminin ??z?mleri D_2 ve D_3 noktalar?n?n say?s?d?r. D_2 noktas?n?n say?lar? sinx<=0.5 e?itsizli?ini sa?lamaz, ancak D_3 noktas?n?n say?lar? sa?lar.

blog.site, materyalin tamam?n? veya bir k?sm?n? kopyalarken, orijinal kayna?a bir ba?lant? gereklidir.

Trigonometrik denklemler kolay bir konu de?ildir. ?ok ?e?itlidirler.) ?rne?in, bunlar:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+p /4) = bebek karyolas?(2x-p /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Ve benzeri...

Ancak bu (ve di?er t?m) trigonometri canavarlar?n?n iki ortak ve zorunlu ?zelli?i vard?r. Birincisi - inanmayacaks?n?z - denklemlerde trigonometrik fonksiyonlar var.) ?kincisi: x'li t?m ifadeler bulunur ayn? i?levler dahilinde. Ve sadece orada! X bir yerde g?r?n?yorsa d??tan,?rne?in, sin2x + 3x = 3, bu zaten karma tipte bir denklem olacak. Bu t?r denklemler bireysel bir yakla??m gerektirir. Bunlar? burada ele almayaca??z.

Bu dersimizde de k?t? denklemleri ??zmeyece?iz.) Burada ?u konular? ele alaca??z: en basit trigonometrik denklemler. Neden? Evet ??nk? ??z?m herhangi trigonometrik denklemler iki a?amadan olu?ur. ?lk a?amada k?t?l?k denklemi ?e?itli d?n???mlerle basit bir denkleme indirgenir. ?kincisinde bu en basit denklem ??z?l?r. Aksi halde hi?bir ?ekilde.

Yani ikinci a?amada sorun ya?arsan?z ilk a?aman?n pek bir anlam? kalm?yor.)

Temel trigonometrik denklemler neye benzer?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Burada A herhangi bir say?y? temsil eder. Herhangi.

Bu arada, bir fonksiyonun i?inde saf bir X olmayabilir, ancak a?a??daki gibi bir t?r ifade olabilir:

cos(3x+p /3) = 1/2

ve benzerleri. Bu hayat? zorla?t?r?r, ancak trigonometrik bir denklemi ??zme y?ntemini etkilemez.

Trigonometrik denklemler nas?l ??z?l?r?

Trigonometrik denklemler iki ?ekilde ??z?lebilir. ?lk yol: mant??? ve trigonometrik ?emberi kullanmak. Burada bu yola bakaca??z. ?kinci yol olan haf?za ve form?llerin kullan?lmas? bir sonraki derste tart???lacakt?r.

?lk yol a??k, g?venilir ve unutulmas? zordur.) Trigonometrik denklemleri, e?itsizlikleri ve her t?rl? zorlu standart d??? ?rnekleri ??zmek i?in iyidir. Mant?k haf?zadan daha g??l?d?r!)

Trigonometrik ?ember kullanarak denklem ??zme.

Temel mant??? ve trigonometrik ?emberi kullanma yetene?ini dahil ediyoruz. Nas?l oldu?unu bilmiyor musun? Ancak... Trigonometride zorlanacaks?n?z...) Ama ?nemi yok. "Trigonometrik ?ember...... Nedir?" derslerine bir g?z at?n. ve "Trigonometrik bir daire ?zerinde a??lar?n ?l??lmesi." Orada her ?ey basit. Ders kitaplar?ndan farkl? olarak...)

Ah, biliyor musun? Ve hatta "Trigonometrik ?emberle pratik ?al??ma" konusunda ustala?t?n?z!? Tebrikler. Bu konu size yak?n ve anla??l?r gelecektir.) ?zellikle sevindirici olan, trigonometrik ?emberin hangi denklemi ??zd???n?z? umursamamas?d?r. Sin?s, kosin?s, te?et, kotanjant - onun i?in her ?ey ayn?. Tek ??z?m ilkesi vard?r.

Yani herhangi bir temel trigonometrik denklemi al?yoruz. En az?ndan bu:

cosx = 0,5

X'i bulmam?z gerekiyor. ?nsan dilinde konu?man?z gerekir kosin?s? 0,5 olan (x) a??s?n? bulun.

Daha ?nce ?emberi nas?l kullan?yorduk? ?zerine bir a?? ?izdik. Derece veya radyan cinsinden. Ve hemen testere Bu a??n?n trigonometrik fonksiyonlar?. ?imdi tam tersini yapal?m. Dairenin ?zerine 0,5'e e?it bir kosin?s ?izelim ve hemen g?rece?iz k??e. Geriye kalan tek ?ey cevab? yazmakt?r.) Evet, evet!

Bir daire ?izin ve kosin?s? 0,5'e e?it olarak i?aretleyin. Elbette kosin?s ekseninde. Bunun gibi:

?imdi bu kosin?s?n bize verdi?i a??y? ?izelim. Farenizi resmin ?zerine getirin (veya tabletinizdeki resme dokunun) ve g?receksin tam bu k??e X.

Hangi a??n?n kosin?s? 0,5'tir?

x = p /3

??nk? 60°= ??nk?( p /3) = 0,5

Baz?lar? ??pheyle k?k?rdayacak, evet... Her ?ey ortadayken ?ember ?izmeye de?er miydi sanki... Elbette k?k?rdayabilirsiniz...) Ama ger?ek ?u ki bu hatal? bir cevap. Daha do?rusu yetersiz. ?ember uzmanlar? burada kosin?s de?eri 0,5 olan bir s?r? ba?ka a??n?n da bulundu?unu biliyorlar.

Hareketli taraf? OA'y? ?evirirseniz tam d?n?? A noktas? orijinal konumuna geri d?necektir. Ayn? kosin?s 0,5'e e?it. Onlar. a?? de?i?ecek 360° veya 2p radyan ve kosin?s - hay?r. Yeni a?? 60° + 360° = 420° de denklemimizin ??z?m? olacakt?r, ??nk?

Bunun gibi sonsuz say?da tam d?n?? yap?labilir... Ve t?m bu yeni a??lar trigonometrik denklemimizin ??z?m? olacakt?r. Ve yan?t olarak hepsinin bir ?ekilde yaz?lmas? gerekiyor. T?m. Aksi takdirde karar say?lmaz, evet...)

Matematik bunu basit ve zarif bir ?ekilde yapabilir. K?sa bir cevapla yaz?n sonsuz k?me kararlar. ??te denklemimiz i?in ??yle g?r?n?yor:

x = p /3 + 2p n, n ? Z

?ifresini ??zece?im. Hala yaz anlaml? bir ?ekilde Aptalca gizemli harfler ?izmekten daha ho?, de?il mi?)

p /3 - buras? bizim bulundu?umuz k??enin ayn?s? testere daire ?zerinde ve azimli kosin?s tablosuna g?re.

2p radyan cinsinden tam bir devrimdir.

N - bu tam olanlar?n say?s?d?r, yani. t?m devir/dakika A??kt?r ki N 0, ±1, ±2, ±3... vb.'ye e?it olabilir. K?sa giri?te belirtildi?i gibi:

n ? Z

N ait ( ? ) tam say?lar k?mesi ( Z ). Bu arada, mektup yerine N harfler iyi kullan?labilir k, m, t vesaire.

Bu g?sterim herhangi bir tam say?y? alabilece?iniz anlam?na gelir N . En az -3, en az 0, en az +55. Ne istersen. Bu say?y? cevaba koyarsan?z belirli bir a?? elde edersiniz ve bu kesinlikle sert denklemimizin ??z?m? olacakt?r.)

Veya ba?ka bir deyi?le, x = p /3 sonsuz bir k?menin tek k?k?d?r. Di?er t?m k?kleri elde etmek i?in, p /3'e herhangi bir say?da tam devir eklemek yeterlidir ( N ) radyan cinsinden. Onlar. 2pn radyan.

T?m? HAYIR. Zevki kas?tl? olarak uzat?yorum. Daha iyi hat?rlamak i?in.) Denklemimizin cevaplar?n?n yaln?zca bir k?sm?n? ald?k. ??z?m?n bu ilk b?l?m?n? ?u ?ekilde yazaca??m:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 1 - sadece bir k?k de?il, k?sa bi?imde yaz?lm?? bir dizi k?k.

Ancak kosin?s de?eri 0,5 olan a??lar da vard?r!

Cevab?n? yazd???m?z resmimize d?nelim. ??te:

Farenizi resmin ?zerine getirin ve g?r?yoruz ba?ka bir a?? ayr?ca 0,5'lik bir kosin?s verir. Sizce neye e?ittir? ??genler ayn?... Evet! A??ya e?ittir X , yaln?zca olumsuz y?nde geciktirilir. Buras? k??e -X. Ama biz zaten x'i hesaplad?k. p /3 veya 60°. Bu nedenle g?venle yazabiliriz:

x 2 = - p /3

Elbette tam d?n??lerle elde edilen t?m a??lar? ekliyoruz:

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

?imdilik bu kadar.) Trigonometrik ?emberde testere(elbette kim anlar)) T?m 0,5 kosin?s veren a??lar. Ve bu a??lar? k?sa matematiksel formda yazd?k. Cevap iki sonsuz k?k dizisiyle sonu?land?:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

Bu do?ru cevapt?r.

Umut, Trigonometrik denklemlerin ??z?m? i?in genel prensip Bir daire kullanmak a??kt?r. Verilen denklemden kosin?s? (sin?s, te?et, kotanjant) bir daire ?zerinde i?aretliyoruz, ona kar??l?k gelen a??lar? ?iziyoruz ve cevab? yaz?yoruz. Elbette hangi k??elerde oldu?umuzu bulmam?z gerekiyor. testere daire ?zerinde. Bazen o kadar a??k de?ildir. Eh, burada mant???n gerekli oldu?unu s?yledim.)

?rne?in ba?ka bir trigonometrik denkleme bakal?m:

L?tfen denklemlerde m?mk?n olan tek say?n?n 0,5 say?s? olmad???n? dikkate al?n!) Bunu yazmak benim i?in k?kleri ve kesirleri yazmaktan daha uygun.

Genel prensiplere g?re ?al???yoruz. Bir daire ?iziyoruz, i?aretliyoruz (tabii ki sin?s ekseninde!) 0,5. Bu sin?se kar??l?k gelen t?m a??lar? ayn? anda ?iziyoruz. Bu resmi elde ediyoruz:

?nce a??y? ele alal?m X ilk ?eyrekte. Sin?s tablosunu hat?rl?yoruz ve bu a??n?n de?erini belirliyoruz. Bu basit bir mesele:

x = p /6

T?m d?n??leri hat?rl?yoruz ve vicdan rahatl???yla ilk cevap dizisini yaz?yoruz:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

??in yar?s? tamamland?. Ama ?imdi belirlememiz gerekiyor. ikinci k??e... Kosin?s kullanmaktan daha zordur, evet... Ama mant?k bizi kurtaracak! ?kinci a?? nas?l belirlenir x arac?l???yla m?? ?ok kolay! Resimdeki ??genler ayn? ve k?rm?z? k??e X a??ya e?it X . Sadece p a??s?ndan negatif y?nde say?l?r. Bu y?zden k?rm?z?d?r.) Ve cevap i?in pozitif yar? eksen OX'tan do?ru ?l??len bir a??ya ihtiyac?m?z var, yani. 0 derecelik bir a??yla.

?mleci ?izimin ?zerine getiriyoruz ve her ?eyi g?r?yoruz. Resmi karma??kla?t?rmamak i?in ilk k??eyi kald?rd?m. ?lgilendi?imiz a?? (ye?ille ?izilmi?) ?una e?it olacakt?r:

p - x

X bunu biliyoruz p /6 . Bu nedenle ikinci a?? ?u ?ekilde olacakt?r:

p - p /6 = 5p /6

Yine tam devrimler eklemeyi hat?rl?yoruz ve ikinci cevap serisini yaz?yoruz:

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

??te bu. Tam bir cevap iki dizi k?kten olu?ur:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Te?et ve kotanjant denklemler, trigonometrik denklemlerin ??z?m?nde kullan?lan ayn? genel prensip kullan?larak kolayca ??z?lebilir. Tabii ki trigonometrik bir daire ?zerinde te?et ve kotanjant?n nas?l ?izilece?ini biliyorsan?z.

Yukar?daki ?rneklerde sin?s ve kosin?s?n tablo de?erini kulland?m: 0,5. Onlar. ??rencinin bildi?i anlamlardan biri mecbur.?imdi yeteneklerimizi geni?letelim di?er t?m de?erler. Karar ver, ?yleyse karar ver!)

Diyelim ki bu trigonometrik denklemi ??zmemiz gerekiyor:

K?sa tablolarda b?yle bir kosin?s de?eri yoktur. Bu korkun? ger?e?i so?ukkanl?l?kla g?rmezden geliyoruz. Bir daire ?izin, kosin?s ekseninde 2/3'? i?aretleyin ve kar??l?k gelen a??lar? ?izin. Bu resmi elde ediyoruz.

?lk ?nce ilk ?eyrekteki a??ya bakal?m. Ke?ke x'in neye e?it oldu?unu bilseydik, cevab? hemen yazard?k! Bilmiyoruz... Ba?ar?s?zl?k!? Sakinlik! Matematik kendi insan?n? zor durumda b?rakmaz! Bu durum i?in yay kosin?slerini buldu. Bilmiyor musun? Bo?una. ??renin, d???nd???n?zden ?ok daha kolay. Bu ba?lant?da "ters trigonometrik fonksiyonlar" ile ilgili tek bir hileli b?y? yok... Bu konuda bu gereksizdir.

Biliyorsan?z kendinize ?unu s?yleyin: "X, kosin?s? 2/3 olan bir a??d?r." Ve hemen, tamamen ark kosin?s tan?m?na g?re ?unu yazabiliriz:

Ek devrimleri hat?rl?yoruz ve trigonometrik denklemimizin ilk k?k serisini sakince yaz?yoruz:

x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

?kinci a??n?n ikinci k?k serisi neredeyse otomatik olarak yaz?l?r. Her ?ey ayn?, yaln?zca X (arccos 2/3) eksi olacak:

x 2 = - arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

??te bu kadar! Bu do?ru cevapt?r. Tablo de?erlerinden bile daha kolay. Hi?bir ?eyi hat?rlaman?za gerek yok.) Bu arada, en dikkatli ki?i bu resmin ark kosin?s yoluyla ??z?m? g?sterdi?ini fark edecektir. ?z?nde cosx = 0,5 denklemi i?in resimdekinden hi?bir fark? yoktur.

Bu do?ru! Genel prensip tam da budur! Kas?tl? olarak neredeyse ayn? iki resim ?izdim. ?ember bize a??y? g?sterir X kosin?s?ne g?re. Tablosal kosin?s olup olmad??? herkes taraf?ndan bilinmiyor. Bunun ne t?r bir a?? oldu?una, p /3'e veya ark kosin?s?n ne oldu?una karar vermek bize kalm??.

Sin?s ile ayn? ?ark?. ?rne?in:

Tekrar bir daire ?izin, sin?s? 1/3'e e?it olarak i?aretleyin, a??lar? ?izin. Elde etti?imiz resim ?u:

Ve yine resim denklemle hemen hemen ayn? sinx = 0,5.?lk ?eyre?e yine kornerden ba?l?yoruz. Sin?s? 1/3 ise X neye e?ittir? Soru yok!

Art?k ilk k?k paketi haz?r:

x 1 = yaysin 1/3 + 2p n, n ? Z

?kinci a??y? ele alal?m. Tablo de?eri 0,5 olan ?rnekte ?una e?itti:

p - x

Burada da durum tamamen ayn? olacak! Sadece x farkl?d?r, yay 1/3't?r. Ne olmu?!? ?kinci k?k paketini g?venle yazabilirsiniz:

x 2 = p - arcsin 1/3 + 2p n, n ? Z

Bu tamamen do?ru bir cevapt?r. Her ne kadar pek tan?d?k gelmese de. Ama a??kt?r, umar?m.)

Trigonometrik denklemler daire kullan?larak bu ?ekilde ??z?l?r. Bu yol a??k ve anla??l?rd?r. Belirli bir aral?kta k?klerin se?imi ile trigonometrik denklemlerden, trigonometrik e?itsizliklerden tasarruf eden ki?idir - bunlar genellikle neredeyse her zaman bir daire i?inde ??z?l?r. K?sacas? standart g?revlerden biraz daha zor olan her t?rl? g?revde.

Bilgiyi pratikte uygulayal?m m??)

Trigonometrik denklemleri ??z?n:

?lk olarak, daha basit, do?rudan bu dersten.

?imdi durum daha karma??k.

?pucu: Burada daireyi d???nmeniz gerekecek. ?ahsen.)

Ve ?imdi g?r?n??te basitler... Bunlara ?zel durumlar da deniyor.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

?pucu: Burada bir daire i?inde iki seri cevab?n oldu?u ve nerede bir cevap oldu?unu bulman?z gerekiyor... Ve iki seri cevap yerine bir cevab?n nas?l yaz?laca??n?. Evet, b?ylece sonsuz say?dan tek bir k?k? bile kaybolmaz!)

Asl?nda ?ok basit):

sinx = 0,3

cosx = p

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

?pucu: Burada arksin?s ve arkkosin?s?n ne oldu?unu bilmeniz gerekiyor? Arktanjant, arkkotanjant nedir? En basit tan?mlar. Ancak herhangi bir tablo de?erini hat?rlaman?za gerek yok!)

Cevaplar elbette bir karma?a):

x 1= arcsin0,3 + 2p n, n ? Z
x 2= p - arcsin0,3 + 2

Her ?ey yolunda gitmiyor mu? Olur. Dersi tekrar okuyun. Sadece d???nceli bir ?ekilde(o kadar modas? ge?mi? bir kelime var ki...) Ve ba?lant?lar? takip edin. Ana ba?lant?lar daireyle ilgilidir. Trigonometri olmadan, g?zleri ba?l? olarak yolda ge?meye benzer. Bazen i?e yarar.)

Bu siteyi be?endiyseniz...

Bu arada, sizin i?in birka? ilgin? sitem daha var.)

?rnek ??zerek pratik yapabilir ve seviyenizi ??renebilirsiniz. An?nda do?rulama ile test etme. Hadi ??renelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve t?revler hakk?nda bilgi sahibi olabilirsiniz.

Gizlili?inizin korunmas? bizim i?in ?nemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nas?l kulland???m?z? ve saklad???m?z? a??klayan bir Gizlilik Politikas? geli?tirdik. L?tfen gizlilik uygulamalar?m?z? inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Ki?isel bilgilerin toplanmas? ve kullan?lmas?

Ki?isel bilgiler, belirli bir ki?iyi tan?mlamak veya onunla ileti?im kurmak i?in kullan?labilecek verileri ifade eder.

Bizimle ileti?ime ge?ti?inizde istedi?iniz zaman ki?isel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

A?a??da toplayabilece?imiz ki?isel bilgi t?rlerine ve bu bilgileri nas?l kullanabilece?imize dair baz? ?rnekler verilmi?tir.

Hangi ki?isel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir ba?vuru g?nderdi?inizde ad?n?z, telefon numaran?z, e-posta adresiniz vb. dahil olmak ?zere ?e?itli bilgiler toplayabiliriz.

Ki?isel bilgilerinizi nas?l kullan?yoruz:

• Toplad???m?z ki?isel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, di?er etkinlikler ve yakla?an etkinlikler konusunda sizinle ileti?im kurmam?za olanak tan?r.
• Zaman zaman ki?isel bilgilerinizi ?nemli bildirimler ve ileti?imler g?ndermek i?in kullanabiliriz.
• Ki?isel bilgileri, sundu?umuz hizmetleri geli?tirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amac?yla denetimler, veri analizi ve ?e?itli ara?t?rmalar yapmak gibi ?irket i?i ama?larla da kullanabiliriz.
• Bir ?d?l ?ekili?ine, yar??maya veya benzer bir promosyona kat?l?rsan?z, sa?lad???n?z bilgileri bu t?r programlar? y?netmek i?in kullanabiliriz.

Bilgilerin ???nc? ?ah?slara a??klanmas?

Sizden ald???m?z bilgileri ???nc? ?ah?slara a??klam?yoruz.

?stisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosed?re uygun olarak, yasal i?lemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklar?ndaki h?k?met yetkililerinin talepleri temelinde - ki?isel bilgilerinizi if?a etmek. Ayr?ca, bu t?r bir a??klaman?n g?venlik, kanun yapt?r?m? veya di?er kamu ?nemi ama?lar? a??s?ndan gerekli veya uygun oldu?unu tespit edersek, hakk?n?zdaki bilgileri de a??klayabiliriz.
• Yeniden yap?lanma, birle?me veya sat?? durumunda toplad???m?z ki?isel bilgileri ilgili halef ???nc? tarafa aktarabiliriz.

Ki?isel bilgilerin korunmas?

Ki?isel bilgilerinizi kay?p, h?rs?zl?k ve k?t?ye kullan?m?n yan? s?ra yetkisiz eri?ime, if?a edilmeye, de?i?tirilmeye ve imhaya kar?? korumak i?in idari, teknik ve fiziksel ?nlemler al?yoruz.

?irket d?zeyinde gizlili?inize sayg? duymak

Ki?isel bilgilerinizin g?vende oldu?undan emin olmak i?in gizlilik ve g?venlik standartlar?n? ?al??anlar?m?za aktar?yor ve gizlilik uygulamalar?n? s?k? bir ?ekilde uyguluyoruz.

En basit trigonometrik denklemler kural olarak form?ller kullan?larak ??z?l?r. Size en basit trigonometrik denklemlerin ??yle oldu?unu hat?rlatmama izin verin:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x bulunacak a??d?r,
a herhangi bir say?d?r.

Ve i?te bu en basit denklemlerin ??z?mlerini hemen yazabilece?iniz form?ller.

Sin?s i?in:

Kosin?s i?in:

x = ± arccos a + 2p n, n ? Z

Te?et i?in:

x = arktan a + p n, n ? Z

Kotanjant i?in:

x = arkctg a + p n, n ? Z

Asl?nda bu, en basit trigonometrik denklemleri ??zmenin teorik k?sm?d?r. ?stelik her ?ey!) Hi?bir ?ey. Ancak bu konudaki hatalar?n say?s? tablolar?n d???ndad?r. ?zellikle ?rnek ?ablondan biraz sap?yorsa. Neden?

Evet, ??nk? pek ?ok insan bu mektuplar? yaz?yor, anlamlar?n? hi? anlamadan! Bir ?ey olmas?n diye dikkatli yaz?yor...) Bunun ??z?lmesi gerekiyor. Sonu?ta insanlar i?in trigonometri veya trigonometri i?in insanlar!?)

Hadi ??zelim mi?

Bir a?? ?una e?it olacakt?r: Arccos bir, ikinci: -arccos a.

Ve bu her zaman bu ?ekilde sonu?lanacakt?r. Herhangi biri i?in A.

Bana inanm?yorsan?z farenizi resmin ?zerine getirin veya tabletinizdeki resme dokunun.) Numaray? de?i?tirdim A olumsuz bir ?eye. Neyse, bir k??emiz var Arccos bir, ikinci: -arccos a.

Bu nedenle cevap her zaman iki k?k dizisi ?eklinde yaz?labilir:

x 1 = arccos a + 2p n, n ? Z

x 2 = - arccos a + 2p n, n ? Z

Bu iki seriyi tek bir seride birle?tirelim:

x= ± arccos a + 2p n, n ? Z

Ve hepsi bu. En basit trigonometrik denklemi kosin?sle ??zmek i?in genel bir form?l elde ettik.

Bunun bir t?r bilim d??? bilgelik olmad???n?, ancak iki dizi yan?t?n yaln?zca k?salt?lm?? bir versiyonu, Ayr?ca “C” g?revlerini de yerine getirebileceksiniz. E?itsizliklerde, belirli bir aral?ktan k?klerin se?ilmesinde... Orada art?/eksili cevap i?e yaram?yor. Ama cevab? i? gibi ele al?p iki ayr? cevaba b?lerseniz her ?ey ??z?l?r.) Asl?nda biz de bu y?zden ara?t?r?yoruz. Ne, nas?l ve nerede.

En basit trigonometrik denklemde

sinx = a

ayr?ca iki dizi k?k elde ederiz. Her zaman. Ve bu iki seri de kaydedilebilir tek sat?rda. Yaln?zca bu sat?r daha yan?lt?c? olacakt?r:

x = (-1) n arcsin a + p n, n ? Z

Ancak ?z? ayn? kal?yor. Matematik?iler, k?k dizilerinin iki kayd? yerine bir kayd? olu?turacak bir form?l tasarlad?lar. Hepsi bu!

Matematik?ileri kontrol edelim mi? Ve asla bilemezsin...)

?nceki derste sin?sl? bir trigonometrik denklemin ??z?m? (herhangi bir form?l olmadan) ayr?nt?l? olarak tart???ld?:

Cevap iki dizi k?kle sonu?land?:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Ayn? denklemi form?l? kullanarak ??zersek ?u cevab? al?r?z:

x = (-1) n arcsin 0,5 + p n, n ? Z

Asl?nda bu yar?m kalm?? bir cevapt?r.) ??rencinin ?unu bilmesi gerekir. arcsin 0,5 = p /6. Tam cevap ??yle olacakt?r:

x = (-1)n p /6+ p n, n ? Z

Bu ilgin? bir soruyu g?ndeme getiriyor. ?ununla yan?tla: x 1; x 2 (bu do?ru cevap!) ve yaln?zl???n i?inden X (ve bu do?ru cevapt?r!) - bunlar ayn? ?ey mi, de?il mi? ?imdi ??renece?iz.)

Cevab? ?ununla de?i?tiriyoruz: x 1 de?erler N =0; 1; 2; vb. sayarsak bir dizi k?k elde ederiz:

x 1 = p/6; 13p/6; 25p/6 ve benzeri.

Yan?t olarak ayn? oyuncu de?i?ikli?i ile x 2 , ?unu elde ederiz:

x2 = 5p/6; 17p/6; 29p/6 ve benzeri.

?imdi de?erleri yerine koyal?m N (0; 1; 2; 3; 4...) tekil i?in genel form?le d?n??t?r?l?r X . Yani, eksi birin s?f?r kuvvetine, ard?ndan birinciye, ikinciye vb. y?kseltiriz. Tabii ki ikinci terimin yerine 0 koyuyoruz; 1; 2 3; 4 vb. Ve say?yoruz. Seriyi al?yoruz:

x = p/6; 5p/6; 13p/6; 17p/6; 25p/6 ve benzeri.

G?rebildi?iniz tek ?ey bu.) Genel form?l bize ?unu verir: tamamen ayn? sonu?lar iki cevap ayr? ayr? oldu?u gibi. Her ?ey bir anda, s?rayla. Matematik?iler aldanmad?lar.)

Te?et ve kotanjantl? trigonometrik denklemlerin ??z?m?ne y?nelik form?ller de kontrol edilebilir. Ama yapmayaca??z.) Zaten basitler.

T?m bu de?i?tirme ve do?rulamay? ?zel olarak yazd?m. Burada basit bir ?eyi anlamak ?nemlidir: temel trigonometrik denklemleri ??zmek i?in form?ller vard?r, cevaplar?n sadece k?sa bir ?zeti. Bu k?sal?k i?in kosin?s ??z?m?ne art?/eksi ve sin?s ??z?m?ne (-1) n eklemek zorunda kald?k.

Bu ekler, yaln?zca temel bir denklemin cevab?n? yazman?z gereken g?revlere hi?bir ?ekilde m?dahale etmez. Ancak bir e?itsizli?i ??zmeniz gerekiyorsa veya yan?tla ilgili bir ?eyler yapman?z gerekiyorsa: belirli bir aral?kta k?kleri se?in, ODZ'yi kontrol edin vb., bu eklemeler bir ki?iyi kolayca rahats?z edebilir.

Peki ne yapmal?y?m? Evet, ya cevab? iki seri halinde yaz?n ya da denklemi/e?itsizli?i trigonometrik ?emberi kullanarak ??z?n. Daha sonra bu eklemeler ortadan kalkar ve hayat kolayla??r.)

?zetleyebiliriz.

En basit trigonometrik denklemleri ??zmek i?in haz?r cevap form?lleri vard?r. D?rt par?a. Bir denklemin ??z?m?n? an?nda yazmak i?in iyidirler. ?rne?in denklemleri ??zmeniz gerekir:

sinx = 0,3

Kolayca: x = (-1) n arcsin 0,3 + p n, n ? Z

cosx = 0,2

Sorun de?il: x = ± arccos 0,2 + 2p n, n ? Z

tgx = 1,2

Kolayca: x = arktan 1,2 + p n, n ? Z

ctgx = 3,7

Bir tane kald?: x= arcctg3,7 + p n, n ? Z

??nk? x = 1,8

E?er bilgiyle parl?yorsan?z, an?nda cevab? yaz?n:

x= ± arccos 1,8 + 2p n, n ? Z

o zaman zaten parl?yorsun, bu... ?u... bir su birikintisinden.) Do?ru cevap: hi?bir ??z?m yok. Nedenini anlam?yor musun? Ark kosin?s?n ne oldu?unu okuyun. Ek olarak, orijinal denklemin sa? taraf?nda sin?s, kosin?s, te?et, kotanjant?n tablo de?erleri varsa, - 1; 0; ?3; 1/2; ?3/2 vesaire. - kemerlerden ge?en cevap bitmeyecek. Kemerler radyana d?n??t?r?lmelidir.

Ve e?er e?itsizlikle kar??la??rsan?z,

o zaman cevap ?u:

x pn, n ? Z

nadir sa?mal?klar var, evet...) Burada trigonometrik daireyi kullanarak ??zmeniz gerekiyor. ?lgili ba?l?kta ne yapaca??z.

Bu sat?rlar? kahramanca okuyanlar i?in. Devasa ?abalar?n?z? takdir etmeden duram?yorum. Size bonus.)

Bonus:

Endi?e verici bir sava? durumunda form?lleri yazarken deneyimli ineklerin bile nerede oldu?u konusunda kafas? kar???r. n, ve nerede 2pn. ??te size basit bir numara. ??inde herkes de?erindeki form?ller n. Ark kosin?s? olan tek form?l hari?. Orada duruyor 2pn. ?ki Peen. Anahtar kelime - iki. Ayn? form?lde iki ba??nda imzalay?n. Art? ve eksi. Ve orada ve orada - iki.

Yani e?er yazsayd?n iki yay kosin?s?nden ?nce i?areti koyun, sonunda ne olaca??n? hat?rlamak daha kolayd?r iki Peen. Ve bunun tersi de oluyor. Ki?i i?areti ka??racak ± , sonuna var?r, do?ru yazar iki Pien, akl? ba??na gelecektir. ?leride bir ?ey var iki imza! Ki?i ba?lang?ca d?necek ve hatay? d?zeltecektir! Bunun gibi.)

Bu siteyi be?endiyseniz...

Bu arada, sizin i?in birka? ilgin? sitem daha var.)

?rnek ??zerek pratik yapabilir ve seviyenizi ??renebilirsiniz. An?nda do?rulama ile test etme. Hadi ??renelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve t?revler hakk?nda bilgi sahibi olabilirsiniz.