ladybe.ru
Bir ifadenin do?al logaritmas?. Logaritmik denklem: temel form?ller ve teknikler
?ununla ba?layal?m: bir logaritmas?n?n ?zellikleri. Form?lasyonu ?u ?ekildedir: Birli?in logaritmas? s?f?ra e?ittir, yani, 1=0'? g?nl??e kaydet herhangi bir a>0 i?in a?1. Kan?t zor de?ildir: Yukar?daki a>0 ve a?1 ko?ullar?n? kar??layan herhangi bir a i?in a 0 = 1 oldu?undan, kan?tlanacak log a 1=0 e?itli?i logaritman?n tan?m?ndan hemen ??kar.
Dikkate al?nan ?zelli?in uygulamas?na ?rnekler verelim: log 3 1=0, log1=0 ve .
Bir sonraki ?zelli?e ge?elim: taban?na e?it bir say?n?n logaritmas? bire e?ittir yani, log a=1 a>0 i?in a?1. Asl?nda, herhangi bir a i?in a 1 =a oldu?undan logaritman?n tan?m? gere?i log a a=1 olur.
Logaritmalar?n bu ?zelli?ini kullanma ?rnekleri log 5 5=1, log 5,6 5,6 ve lne=1 e?itlikleridir.
?rne?in, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ve 
.
?ki pozitif say?n?n ?arp?m?n?n logaritmas? x ve y bu say?lar?n logaritmas?n?n ?arp?m?na e?ittir: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a?1 . Bir ?arp?m?n logaritmas?n?n ?zelli?ini kan?tlayal?m. Derecenin ?zelliklerinden dolay? a log a x+log a y =a log a x ·a log a y ve ana logaritmik ?zde?li?e g?re a log a x =x ve a log a y =y oldu?undan, a log a x ·a log a y =x·y. B?ylece, logaritman?n tan?m?na g?re e?itli?in kan?tland??? log a x+log a y =x·y olur.
Bir ?arp?m?n logaritmas? ?zelli?inin kullan?m?na ili?kin ?rnekler g?sterelim: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ve 
.
Bir ?arp?m?n logaritmas?n?n ?zelli?i, x 1 , x 2 , …, x n pozitif say?lar?ndan olu?an sonlu bir n say?s?n?n ?arp?m?na ?u ?ekilde genelle?tirilebilir: log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Bu e?itlik sorunsuz bir ?ekilde kan?tlanabilir.
?rne?in, ?arp?m?n do?al logaritmas? 4, e ve say?lar?n?n ?? do?al logaritmas?n?n toplam? ile de?i?tirilebilir.
?ki pozitif say?n?n b?l?m?n?n logaritmas? x ve y bu say?lar?n logaritmalar? aras?ndaki farka e?ittir. Bir b?l?m?n logaritmas?n?n ?zelli?i, a>0, a?1, x ve y'nin baz? pozitif say?lar oldu?u formdaki bir form?le kar??l?k gelir. Bu form?l?n ge?erlili?i, bir ?arp?m?n logaritmas? form?l?n?n yan? s?ra kan?tlanm??t?r: ??nk? 
, daha sonra logaritman?n tan?m? gere?i.
Logaritman?n bu ?zelli?ini kullanman?n bir ?rne?i: 
.
Hadi devam edelim kuvvetin logaritmas?n?n ?zelli?i. Bir derecenin logaritmas?, ?ss?n ?arp?m?na ve bu derecenin taban?n?n mod?l?n?n logaritmas?na e?ittir. Bir kuvvetin logaritmas?n?n bu ?zelli?ini form?l olarak yazal?m: log a b p =p·log a |b| burada a>0, a?1, b ve p, b p derecesi anlaml? ve b p >0 olacak ?ekilde say?lard?r.
?ncelikle bu ?zelli?i pozitif b i?in kan?tlayal?m. Temel logaritmik ?zde?lik, b say?s?n? a log a b, ard?ndan b p =(a log a b) p olarak temsil etmemize olanak tan?r ve ortaya ??kan ifade, kuvvet ?zelli?i nedeniyle a p·log a b'ye e?ittir. B?ylece b p =a p·log a b e?itli?ine ula??yoruz ve bundan logaritman?n tan?m?na g?re log a b p =p·log a b sonucunu ??kar?yoruz.
Geriye bu ?zelli?i negatif b i?in kan?tlamak kal?yor. Burada negatif b i?in log a b p ifadesinin yaln?zca ?ift p ?sleri i?in anlaml? oldu?unu g?r?yoruz (??nk? b p derecesinin de?eri s?f?rdan b?y?k olmal?d?r, aksi takdirde logaritman?n bir anlam? olmayacakt?r) ve bu durumda b p =|b| P. Daha sonra b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, buradan log a b p =p·log a |b| .
?rne?in, 
ve ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
?nceki m?lkten kaynaklanmaktad?r k?kten logaritman?n ?zelli?i: n'inci k?k?n logaritmas?, 1/n kesrinin radikal ifadenin logaritmas? ile ?arp?m?na e?ittir, yani, 
, burada a>0, a?1, n birden b?y?k bir do?al say?d?r, b>0.
Kan?t, herhangi bir pozitif b i?in ge?erli olan e?itli?e (bkz.) ve kuvvetin logaritmas?n?n ?zelli?ine dayanmaktad?r: 
.
Bu ?zelli?i kullanman?n bir ?rne?ini burada bulabilirsiniz: 
.
?imdi kan?tlayal?m yeni bir logaritma taban?na ge?me form?l? t?r 
. Bunu yapmak i?in log c b=log a b·log c a e?itli?inin ge?erlili?ini kan?tlamak yeterlidir. Temel logaritmik kimlik, b say?s?n? a log a b olarak temsil etmemize ve ard?ndan log c b=log ca log a b olarak g?stermemize olanak tan?r. Derecenin logaritmas?n?n ?zelli?ini kullanmaya devam ediyor: log c a log a b =log a b log c a. Bu, log c b=log a b·log c a e?itli?ini kan?tlar; bu, yeni bir logaritma taban?na ge?me form?l?n?n de kan?tlanm?? oldu?u anlam?na gelir.
Logaritman?n bu ?zelli?ini kullanmaya ili?kin birka? ?rnek g?sterelim: ve 
.
Yeni bir tabana ge?me form?l?, "uygun" bir tabana sahip logaritmalarla ?al??maya devam etmenize olanak tan?r. ?rne?in, do?al veya ondal?k logaritmalara gitmek i?in kullan?labilir, b?ylece bir logaritma tablosundan bir logaritman?n de?erini hesaplayabilirsiniz. Yeni bir logaritma taban?na ge?me form?l?, baz? durumlarda, baz? logaritmalar?n di?er tabanlarla de?erleri bilindi?inde belirli bir logaritman?n de?erini bulmay? da sa?lar.
Formun c=b'si i?in yeni bir logaritma taban?na ge?i? i?in form?l?n ?zel bir durumu s?kl?kla kullan?l?r. 
. Bu, log a b ve log b a – oldu?unu g?sterir. ?rne?in, 
.
Form?l de s?kl?kla kullan?l?r 
Logaritma de?erlerini bulmak i?in uygundur. S?zlerimizi do?rulamak i?in, formun logaritmas?n?n de?erini hesaplamak i?in nas?l kullan?labilece?ini g?sterece?iz. Sahibiz 
. Form?l? kan?tlamak i?in 
logaritman?n yeni bir taban?na ge?i? i?in form?l? kullanmak yeterlidir: 
.
Logaritmalar?n kar??la?t?r?lmas? ?zelliklerini kan?tlamak i?in kal?r.
Herhangi bir pozitif say? i?in b 1 ve b 2, b 1 oldu?unu kan?tlayal?m. log a b 2 ve a>1 i?in – e?itsizlik log a b 1 Son olarak, logaritman?n listelenen ?zelliklerinin sonuncusunu kan?tlamak kal?yor. Kendimizi bunun ilk k?sm?n?n ispat?yla s?n?rlayal?m, yani a 1 >1, a 2 >1 ve a 1 ise ispatlayaca??z. 1 do?rudur log a 1 b>log a 2 b . Logaritman?n bu ?zelli?inin geri kalan ifadeleri benzer bir prensibe g?re kan?tlanm??t?r. Tam tersi y?ntemi kullanal?m. 1 >1, 2 >1 ve 1 i?in oldu?unu varsayal?m. =log a 2 b
, а при b>1 do?rudur log a 1 b<=log a 2 b . Logaritman?n ?zelliklerine dayanarak bu e?itsizlikler ?u ?ekilde yeniden yaz?labilir: 
Ve 
s?ras?yla log b a 1 <=log b a 2 ve log b a 1 >=log b a 2 olur. O halde ayn? tabanlara sahip kuvvetlerin ?zelliklerine g?re b log b a 1 >=b log b a 2 ve b log b a 1 >=b log b a 2 e?itlikleri ge?erli olmal?d?r, yani a 1 >=a 2 . B?ylece a 1 ko?uluyla ?eli?kiye geldik
Referanslar.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve di?erleri. Cebir ve analizin ba?lang?c?: Genel e?itim kurumlar?n?n 10 - 11. s?n?flar? i?in ders kitab?.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler i?in bir el kitab?).
Logaritmik denklemlerin ??z?m?yle ilgili uzun ders serisinin son videolar?. Bu sefer ?ncelikle logaritman?n ODZ'si ile ?al??aca??z - bu t?r problemleri ??zerken ?o?u hatan?n ortaya ??kmas?n?n nedeni tam olarak tan?m alan?n?n yanl?? de?erlendirilmesinden (veya hatta g?z ard? edilmesinden) kaynaklanmaktad?r.
Bu k?sa video dersinde logaritmalarda toplama ve ??karma form?llerinin kullan?m?na bakaca??z ve ayr?ca bir?ok ??rencinin sorun ya?ad??? kesirli rasyonel denklemleri de ele alaca??z.
Ne hakk?nda konu?aca??z? Anlamak istedi?im ana form?l ?una benziyor:
log a (f g ) = log a f + log a g
Bu, ?arp?mdan logaritma toplam?na ve geriye do?ru standart bir ge?i?tir. Muhtemelen bu form?l? logaritma ?al??maya ba?lad???n?zdan beri biliyorsunuzdur. Ancak bir aksakl?k var.
a, f ve g de?i?kenleri s?radan say?lar oldu?u s?rece herhangi bir sorun ortaya ??kmaz. Bu form?l harika ?al???yor.
Ancak f ve g yerine fonksiyonlar ortaya ??kt??? anda, hangi y?nde d?n???m yap?laca??na ba?l? olarak tan?m alan?n?n geni?letilmesi veya daralt?lmas? sorunu ortaya ??kar. Kendiniz karar verin: Solda yaz?l? logaritmada tan?m alan? a?a??daki gibidir:
fg > 0
Ancak sa?da yaz?lan miktarda tan?m alan? zaten biraz farkl?d?r:
f > 0
g > 0
Bu gereksinimler dizisi orijinal gereksinimlerden daha kat?d?r. ?lk durumda f se?ene?inden memnun olaca??z.< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 y?r?t?l?r).
Yani soldaki yap?dan sa?a do?ru gidildi?inde tan?m alan?n?n daralmas? s?z konusudur. ?lk ba?ta bir toplam?m?z olsayd? ve onu bir ?arp?m bi?iminde yeniden yazarsak, o zaman tan?m alan? geni?ler.
Ba?ka bir deyi?le, ilk durumda k?klerimizi kaybedebilir, ikincisinde ise fazladan k?k alabiliriz. Ger?ek logaritmik denklemleri ??zerken bu dikkate al?nmal?d?r.
Yani, ilk g?rev:
[Resmin ba?l???] Solda ayn? taban? kullanan logaritmalar?n toplam?n? g?r?yoruz. Bu nedenle bu logaritmalar toplanabilir:
[Resmin ba?l???] G?rd???n?z gibi sa?daki form?l? kullanarak s?f?r? de?i?tirdik:
a = log b b a
Denklemimizi biraz daha d?zenleyelim:
g?nl?k 4 (x - 5) 2 = g?nl?k 4 1
?n?m?zde logaritmik denklemin kanonik formu var; log i?aretinin ?zerini ?izebilir ve arg?manlar? e?itleyebiliriz:
(x - 5) 2 = 1
|x - 5| = 1
L?tfen dikkat: Mod?l nereden geldi? Tam karenin k?k?n?n mod?le e?it oldu?unu hat?rlatmama izin verin:
[Resmin ba?l???] Daha sonra mod?ll? klasik denklemi ??zeriz:
|f | = g (g > 0) =>f = ±g
x - 5 = ±1 =>x 1 = 5 - 1 = 4; x2 = 5 + 1 = 6
??te iki aday cevab?. Bunlar orijinal logaritmik denklemin ??z?m? m?? Hay?r, hi?bir durumda!
Her ?eyi b?yle b?rak?p cevab? yazmaya hakk?m?z yok. Logaritmalar?n toplam?n? arg?manlar?n ?arp?m?n?n bir logaritmas? ile de?i?tirdi?imiz ad?ma bir g?z at?n. Sorun ?u ki, orijinal ifadelerde fonksiyonlar?m?z var. Bu nedenle a?a??dakilere ihtiyac?n?z olmal?d?r:
x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0.
?r?n? d?n??t?r?p tam bir kare elde etti?imizde gereksinimler de?i?ti:
(x - 5) 2 > 0
Bu gereksinim ne zaman kar??lan?r? Evet, neredeyse her zaman! x - 5 = 0 durumu hari?. Yani e?itsizlik tek bir delinmi? noktaya indirgenecek:
x - 5 ? 0 => x ? 5
G?rd???n?z gibi tan?m?n kapsam? geni?ledi, dersin ba??nda da bundan bahsetmi?tik. Sonu? olarak, ekstra k?kler g?r?nebilir.
Bu ekstra k?klerin ortaya ??kmas?n? nas?l ?nleyebilirsiniz? ?ok basit: Elde etti?imiz k?klere bak?yoruz ve bunlar? orijinal denklemin tan?m alan?yla kar??la?t?r?yoruz. Hadi sayal?m:
x (x - 5) > 0
Aral?k y?ntemini kullanarak ??zece?iz:
x (x - 5) = 0 => x = 0; x = 5
Ortaya ??kan say?lar? sat?rda i?aretliyoruz. E?itsizlik kat? oldu?undan t?m noktalar eksik. 5'ten b?y?k herhangi bir say?y? al?n ve yerine ?unu koyun:
[Resmin ba?l???] (-?; 0) ? (5; ?) aral?klar?yla ilgileniyoruz. K?klerimizi segment ?zerinde i?aretlersek x = 4'?n bize uymad???n? g?r?r?z ??nk? bu k?k orijinal logaritmik denklemin tan?m b?lgesinin d???nda kal?r.
B?t?nl??e d?n?yoruz, x = 4 k?k?n?n ?zerini ?iziyoruz ve cevab? yaz?yoruz: x = 6. Bu, orijinal logaritmik denklemin son cevab?d?r. ??te bu, sorun ??z?ld?.
?kinci logaritmik denkleme ge?elim:
[Resmin ba?l???] Hadi ??zelim. ?lk terimin bir kesir oldu?unu ve ikincisinin ayn? kesir oldu?unu ancak ters ?evrildi?ini unutmay?n. lgx ifadesinden korkmay?n - bu sadece ondal?k bir logaritmad?r, ?unu yazabiliriz:
lgx = g?nl?k 10 x
Tersine ?evrilmi? iki kesirimiz oldu?undan, yeni bir de?i?ken eklemeyi ?neriyorum:
[Resmin ba?l???] Bu nedenle denklemimiz ?u ?ekilde yeniden yaz?labilir:
t + 1/t = 2;
t + 1/t - 2 = 0;
(t 2 - 2t + 1)/t = 0;
(t - 1) 2 /t = 0.
G?rd???n?z gibi kesrin pay? tam karedir. Bir kesirin pay? s?f?r ve paydas? s?f?rdan farkl? oldu?unda s?f?ra e?ittir:
(t - 1) 2 = 0; t ? 0
?lk denklemi ??zelim:
t - 1 = 0;
t = 1.
Bu de?er ikinci ?art? kar??lamaktad?r. Dolay?s?yla denklemimizi tamamen ??zd???m?z? s?yleyebiliriz, ancak yaln?zca t de?i?kenine g?re. ?imdi t’nin ne oldu?unu hat?rlayal?m:
[Resmin ba?l???]Oran? bulduk:
lgx = 2 lgx + 1
2 logx - logx = -1
logx = -1
Bu denklemi kanonik formuna getiriyoruz:
logx = log 10 -1
x = 10 -1 = 0,1
Sonu? olarak, teoride orijinal denklemin ??z?m? olan tek bir k?k elde ettik. Ancak yine de i?i riske atal?m ve orijinal denklemin tan?m tan?m k?mesini yazal?m:
[Resmin ba?l???] Bu nedenle k?k?m?z t?m gereksinimleri kar??l?yor. Orijinal logaritmik denklemin ??z?m?n? bulduk. Cevap: x = 0,1. Sorun ??z?ld?.
Bug?nk? dersimizde tek bir kilit nokta var: Bir ?arp?mdan toplama ve geriye do?ru ge?i? form?l?n? kullan?rken, ge?i?in hangi y?ne yap?ld???na ba?l? olarak tan?m?n kapsam?n?n daralt?labilece?ini veya geni?leyebilece?ini mutlaka dikkate al?n.
Ne oldu?unu nas?l anlayabilirim: daralma m? yoksa geni?leme mi? ?ok basit. Daha ?nce i?levler bir aradaysa ve ?imdi ayr?ysa, tan?m?n kapsam? daralm??t?r (??nk? daha fazla gereksinim vard?r). Ba?lang??ta i?levler ayr? ayr? duruyorsa ve ?imdi birlikteyse, o zaman tan?m alan? geni?ler (?r?ne bireysel fakt?rlere g?re daha az gereksinim dayat?l?r).
Bu a??klamay? dikkate alarak, ikinci logaritmik denklemin bu d?n???mleri hi? gerektirmedi?ini, yani arg?manlar? hi?bir yere eklemedi?imizi veya ?arpmad???m?z? belirtmek isterim. Ancak burada, ??z?m? ?nemli ?l??de basitle?tirebilecek ba?ka bir harika tekni?e dikkatinizi ?ekmek istiyorum. Bir de?i?kenin de?i?tirilmesiyle ilgilidir.
Ancak hi?bir ikamenin bizi tan?m?n kapsam?ndan kurtarmad???n? unutmay?n. Bu nedenle t?m k?kler bulunduktan sonra tembel olmad?k ve ODZ'sini bulmak i?in orijinal denkleme geri d?nd?k.
?o?unlukla bir de?i?keni de?i?tirirken ??renciler t de?erini bulup ??z?m?n tamamland???n? d???nd?klerinde can s?k?c? bir hata ortaya ??kar. Hay?r, hi?bir durumda!
T'nin de?erini bulduktan sonra orijinal denkleme d?n?p bu harfle tam olarak ne demek istedi?imizi g?rmeniz gerekir. Sonu? olarak, orijinalinden ?ok daha basit olacak bir denklemi daha ??zmemiz gerekiyor.
Yeni bir de?i?kenin tan?t?lmas?n?n amac? tam olarak budur. Orijinal denklemi, her birinin ?ok daha basit bir ??z?m? olan iki ara denkleme ay?rd?k.
"?? i?e ge?mi?" logaritmik denklemler nas?l ??z?l?r?
Bug?n logaritmik denklemleri incelemeye devam edece?iz ve bir logaritman?n ba?ka bir logaritman?n i?areti alt?nda oldu?u durumlar? analiz edece?iz. Her iki denklemi de kanonik formu kullanarak ??zece?iz.
Bug?n logaritmik denklemleri incelemeye devam ediyoruz ve bir logaritman?n di?erinin i?areti alt?nda oldu?u durumlar? analiz edece?iz. Her iki denklemi de kanonik formu kullanarak ??zece?iz. Log a f (x) = b ?eklinde basit bir logaritmik denklemimiz varsa, b?yle bir denklemi ??zmek i?in a?a??daki ad?mlar? uygulad???m?z? hat?rlatmama izin verin. ?ncelikle b say?s?n? de?i?tirmemiz gerekiyor:
b = log a a b
Not: a b bir arg?mand?r. Benzer ?ekilde orijinal denklemde arg?man f(x) fonksiyonudur. Sonra denklemi yeniden yazar ve ?u yap?y? elde ederiz:
log a f (x) = log a a b
Daha sonra ???nc? ad?m? ger?ekle?tirebiliriz - logaritma i?aretinden kurtulun ve basit?e ?unu yaz?n:
f(x) = a b
Sonu? olarak yeni bir denklem elde ederiz. Bu durumda f(x) fonksiyonuna herhangi bir k?s?tlama getirilmemektedir. ?rne?in logaritmik bir fonksiyon da onun yerini alabilir. Ve sonra yine logaritmik bir denklem elde edece?iz ve bunu yine en basit haline indirip kanonik form arac?l???yla ??zece?iz.
Ancak ?ark? s?zleri yeterli. As?l sorunu ??zelim. Yani, g?rev numaras? 1:
g?nl?k 2 (1 + 3 g?nl?k 2 x ) = 2
G?rd???n?z gibi basit bir logaritmik denklemimiz var. F (x)'in rol? 1 + 3 log 2 x yap?s?d?r ve b say?s?n?n rol? 2 say?s?d?r (a'n?n rol? de iki taraf?ndan oynan?r). Bu ikisini ?u ?ekilde yeniden yazal?m:
?lk iki ikinin bize logaritman?n taban?ndan geldi?ini anlamak ?nemlidir; yani orijinal denklemde 5 olsayd?, o zaman 2 = log 5 5 2 elde ederdik. Genel olarak taban yaln?zca problemde ba?lang??ta verilen logaritmaya ba?l?d?r. Ve bizim durumumuzda bu 2 say?s?d?r.
Sa?daki ikisinin de asl?nda bir log