Bu say?ya geometrik ilerlemenin paydas? denir, yani her terim bir ?ncekinden q kez farkl?d?r. (q ? 1 oldu?unu varsayaca??z, aksi takdirde her ?ey ?ok ?nemsizdir). Geometrik ilerlemenin n'inci ?yesinin genel form?l?n?n b n = b 1 q n – 1 oldu?unu g?rmek kolayd?r; b n ve b m say?lar?na sahip terimler q n – m kez farkl?l?k g?sterir.

Zaten eski M?s?r'da, sadece aritmetik de?il, ayn? zamanda geometrik ilerlemeyi de biliyorlard?. ?rne?in burada Rhind papir?s?nden bir g?rev var: “Yedi y?z?n yedi kedisi var; her kedi yedi fare yer, her fare yedi ba?ak yer, her kulak yedi ?l?ek arpa yeti?tirebilir. Bu dizideki say?lar ve toplamlar? ne kadar b?y?k?

Pirin?. 1. Eski M?s?r geometrik ilerleme problemi

Bu g?rev, di?er zamanlarda di?er halklar aras?nda farkl? varyasyonlarla bir?ok kez tekrarland?. ?rne?in, XIII y?zy?lda yaz?l? olarak. Pisa'l? Leonardo'nun (Fibonacci) "Abak?s Kitab?"nda, 7 ya?l? kad?n?n Roma'ya giderken (belli ki hac?lar), her birinde 7 kat?r bulunan, her birinde 7 torba bulunan bir sorun vard?r. her biri 7 k?l?fl? 7 b??akl? 7 somun i?erir. Problem ka? tane ??e oldu?unu soruyor.

Geometrik ilerlemenin ilk n ?yesinin toplam? S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Bu form?l, ?rne?in a?a??daki gibi kan?tlanabilir: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

S n'ye b 1 q n say?s?n? ekleyelim ve ?unu elde edelim:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Dolay?s?yla S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) ve gerekli form?l? elde ederiz.

Zaten VI. Y?zy?la kadar uzanan Antik Babil'in kil tabletlerinden birinde. M.? e., 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 toplam?n? i?erir. Do?ru, di?er bir?ok durumda oldu?u gibi, bu ger?e?in Babilliler taraf?ndan nerede bilindi?ini bilmiyoruz. .

Bir dizi k?lt?rde, ?zellikle Hindistan'da geometrik bir ilerlemenin h?zl? b?y?mesi, tekrar tekrar evrenin s?n?rs?zl???n?n a??k bir sembol? olarak kullan?l?r. Satranc?n ortaya ??k???yla ilgili ?nl? efsanede, cetvel, mucitlerine bir ?d?l se?me f?rsat? verir ve satran? tahtas?n?n ilk h?cresine yerle?tirilirse elde edilecek kadar bu?day tanesi ister. , ikincide iki, ???nc?de d?rt, d?rd?nc?de sekiz vb., say? her iki kat?na ??kt???nda. Vladyka, en fazla birka? ?uval oldu?unu d???nd?, ama yanl?? hesaplad?. Satran? tahtas?n?n t?m 64 karesi i?in mucidin (2 64 - 1) 20 basamakl? bir say? olarak ifade edilen tah?l alm?? olmas? gerekti?ini g?rmek kolayd?r; D?nyan?n t?m y?zeyi ekilse bile, gerekli say?da tah?l?n toplanmas? en az 8 y?l alacakt?r. Bu efsane bazen satran? oyununda sakl? olan neredeyse s?n?rs?z olanaklara bir g?nderme olarak yorumlan?r.

Bu say?n?n ger?ekten 20 haneli oldu?u ger?e?ini g?rmek kolayd?r:

2 64 \u003d 2 4 ? (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ? 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (daha do?ru bir hesaplama 1,84 10 19 verir). Ama merak ediyorum, bu say?n?n hangi rakamla bitti?ini bulabilir misin?

Payda mutlak de?erde 1'den b?y?kse geometrik bir ilerleme art?yor veya birden k???kse azal?yor. ?kinci durumda, qn say?s?, yeterince b?y?k n i?in keyfi olarak k???k olabilir. Artan bir ?stel beklenmedik bir ?ekilde h?zl? artarken, azalan bir ?stel ayn? h?zla azal?r.

n ne kadar b?y?kse, q n say?s? o kadar zay?ft?r ve geometrik ilerlemenin n ?yesinin toplam? S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) S \u003d b 1 say?s?na ne kadar yak?nsa / (1 - q) . (Yani mant?kl?, ?rne?in F. Viet). S say?s?na sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplam? denir. Bununla birlikte, y?zy?llar boyunca, sonsuz say?da terimi ile T?M geometrik ilerlemenin toplam?n?n anlam?n?n ne oldu?u sorusu matematik?iler i?in yeterince a??k de?ildi.

Azalan bir geometrik ilerleme, ?rne?in Zeno'nun "Is?rma" ve "A?il ve kaplumba?a" a?mazlar?nda g?r?lebilir. ?lk durumda, yolun tamam?n?n (1 uzunlu?unu varsay?n) sonsuz say?da 1/2, 1/4, 1/8 vb. segmentlerin toplam? oldu?u a??k?a g?sterilmi?tir. Bu, elbette b?yledir. Sonlu toplam sonsuz geometrik ilerleme hakk?ndaki fikirlerin bak?? a??s?ndan. Ve yine de - bu nas?l olabilir?

Pirin?. 2. 1/2 fakt?rl? ilerleme

A?il ile ilgili aporiada durum biraz daha karma??kt?r, ??nk? burada ilerlemenin paydas? 1/2'ye de?il, ba?ka bir say?ya e?ittir. ?rne?in, A?il v h?z?yla ko?sun, kaplumba?a u h?z?yla hareket etsin ve aralar?ndaki ilk mesafe l olsun. A?il bu mesafeyi l/v zaman?nda ko?acak, kaplumba?a bu s?re boyunca lu/v kadar ilerleyecektir. A?il bu segmentten ge?ti?inde, onunla kaplumba?a aras?ndaki mesafe l (u / v) 2'ye e?it olacakt?r, vb. Kaplumba?ay? yakalaman?n, birinciyle sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplam?n? bulmak anlam?na geldi?i ortaya ??k?yor l terimi ve payda u / v. Bu toplam - A?il'in sonunda kaplumba?a ile bulu?ma noktas?na ko?aca?? k?s?m - l / (1 - u / v) = lv / (v - u) 'ye e?ittir. Ancak yine, bu sonucun nas?l yorumlanmas? gerekti?i ve neden bir anlam ifade etti?i uzun s?re ?ok a??k de?ildi.

Pirin?. 3. 2/3 katsay?l? geometrik ilerleme

Bir parabol?n bir b?l?m?n?n alan?n? belirlerken Ar?imet taraf?ndan geometrik bir ilerlemenin toplam? kullan?ld?. Parabol?n verilen do?ru par?as? AB kiri?i ile s?n?rland?r?ls?n ve parabol?n D noktas?ndaki tanjant AB'ye paralel olsun. C AB'nin orta noktas?, E AC'nin orta noktas?, F CB'nin orta noktas? olsun. A , E , F , B noktalar?ndan DC'ye paralel ?izgiler ?izin; D noktas?nda ?izilen te?et olsun, bu do?rular K, L, M, N noktalar?nda kesi?sin. AD ve DB segmentlerini de ?izelim. EL do?rusu AD do?rusunu G noktas?nda ve parabol H noktas?nda kesi?sin; FM do?rusu DB do?rusu ile Q noktas?nda ve parabol R noktas?nda kesi?ir. Konik kesitlerin genel teorisine g?re DC, bir parabol?n (yani eksenine paralel bir segmentin) ?ap?d?r; o ve D noktas?ndaki tanjant, parabol denkleminin y 2 \u003d 2px olarak yaz?ld??? x ve y koordinat eksenleri olarak i?lev g?rebilir (x, D'den belirli bir ?ap?n herhangi bir noktas?na olan mesafedir, y, bir bu ?ap noktas?ndan parabol?n kendisindeki bir noktaya verilen bir te?ete paralel par?a).

Parabol denklemi sayesinde, DL 2 = 2 ? p ? LH , DK 2 = 2 ? p ? KA ve DK = 2DL oldu?undan, KA = 4LH . KA = 2LG oldu?undan, LH = HG. Parabol?n ADB segmentinin alan?, DADB ??geninin alan?na ve AHD ve DRB segmentlerinin birle?tirilmi? alanlar?na e?ittir. Buna kar??l?k, AHD segmentinin alan? benzer ?ekilde AHD ??geninin alan?na ve her biri ayn? i?lemin yap?labilece?i kalan AH ve HD segmentlerine e?ittir - bir ??gene (D) b?l?n?r ve kalan iki segment (), vb.:

DAHD ??geninin alan?, DALD ??geninin alan?n?n yar?s?na e?ittir (ortak bir AD taban?na sahiptirler ve y?kseklikler 2 kat farkl?d?r), bu da, DAKD ??geni ve dolay?s?yla DACD ??geninin alan?n?n yar?s?. B?ylece, DAHD ??geninin alan?, DACD ??geninin alan?n?n d?rtte birine e?ittir. Ayn? ?ekilde, DDRB ??geninin alan?, DDFB ??geninin alan?n?n d?rtte birine e?ittir. Yani, birlikte al?nd???nda ?AHD ve ?DRB ??genlerinin alanlar?, ?ADB ??geninin alan?n?n d?rtte birine e?ittir. Bu i?lemin AH , HD , DR ve RB segmentlerine uyguland??? ?ekilde tekrarlanmas?, ayn? zamanda, alan? birlikte al?nd???nda, DAHD ve DDRB ??genlerinin alan?ndan 4 kat daha az olacak olan ??genleri de se?ecektir. birlikte al?nd???nda ve dolay?s?yla DADB ??geninin alan?ndan 16 kat daha az. Ve benzeri:

B?ylece, Ar?imet, "d?z bir ?izgi ile bir parabol aras?nda kalan her par?an?n, kendisiyle ayn? tabana ve e?it y?ksekli?e sahip bir ??genin ??te d?rd? oldu?unu" kan?tlad?.

Talimat

10, 30, 90, 270...

Geometrik bir ilerlemenin paydas?n? bulmak gerekir.
??z?m:

1 se?enek. ?lerlemenin keyfi bir ?yesini alal?m (?rne?in, 90) ve bir ?ncekine (30) b?lelim: 90/30=3.

Geometrik bir ilerlemenin birka? ?yesinin toplam? veya azalan bir geometrik ilerlemenin t?m ?yelerinin toplam? biliniyorsa, ilerlemenin paydas?n? bulmak i?in uygun form?lleri kullan?n:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), burada Sn geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplam?d?r ve
S = b1/(1-q), burada S sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplam?d?r (bir payda birden k???k olan ilerlemenin t?m ?yelerinin toplam?).
?rnek.

Azalan bir geometrik ilerlemenin ilk terimi bire e?ittir ve t?m terimlerinin toplam? ikiye e?ittir.

Bu ilerlemenin paydas?n? belirlemek gerekir.
??z?m:

G?revdeki verileri form?lde de?i?tirin. Almak:
2=1/(1-q), nereden – q=1/2.

?lerleme, bir dizi say?d?r. Geometrik bir dizide, sonraki her terim, bir ?ncekinin, ilerlemenin paydas? olarak adland?r?lan belirli bir q say?s? ile ?arp?lmas?yla elde edilir.

Talimat

Geometrik b(n+1) ve b(n)'nin iki kom?u ?yesi biliniyorsa, payday? elde etmek i?in, b?y?k bir say?y? kendisinden ?ncekine b?lmek gerekir: q=b(n) +1/b(n). Bu, ilerlemenin ve paydas?n?n tan?m?ndan kaynaklanmaktad?r. ?nemli bir ko?ul, ilerlemenin ilk terimi ve paydas?n?n s?f?ra e?it olmamas?d?r, aksi takdirde belirsiz olarak kabul edilir.

B?ylece dizinin ?yeleri aras?nda ?u ili?kiler kurulur: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) form?l?yle, payda q ve ?ye b1'in bilindi?i bir geometrik ilerlemenin herhangi bir ?yesi hesaplanabilir. Ayr?ca, ilerleme mod?l?n?n her biri kom?u ?yelerinin ortalamas?na e?ittir: |b(n)|=?, dolay?s?yla ilerleme .

Geometrik bir ilerlemenin bir benzeri, en basit ?stel fonksiyon y=a^x'tir, burada x ?s i?indedir, a bir say?d?r. Bu durumda, ilerlemenin paydas? birinci terimle ?ak???r ve a say?s?na e?ittir. x arg?man? bir do?al say? n (saya?) olarak al?n?rsa, y fonksiyonunun de?eri, dizinin n'inci ?yesi olarak anla??labilir.

Geometrik ilerlemenin ilk n ?yesinin toplam? i?in vard?r: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Bu form?l q?1 i?in ge?erlidir. q=1 ise, ilk n terimin toplam? S(n)=n b1 form?l?yle hesaplan?r. Bu arada, q birden b?y?k ve pozitif b1 i?in ilerleme artan olarak adland?r?lacakt?r. ?lerlemenin paydas?, modulo bir'i ge?medi?inde, ilerlemeye azalan denir.

Geometrik ilerlemenin ?zel bir durumu, sonsuz azalan bir geometrik ilerlemedir (b.u.g.p.). Ger?ek ?u ki, azalan bir geometrik ilerlemenin ?yeleri tekrar tekrar azalacak, ancak asla s?f?ra ula?amayacak. Buna ra?men, b?yle bir ilerlemenin t?m terimlerinin toplam?n? bulmak m?mk?nd?r. S=b1/(1-q) form?l? ile belirlenir. Toplam ?ye say?s? n sonsuzdur.

Sonsuz say?da say?y? nas?l ekleyebilece?inizi ve sonsuzu elde edemeyece?inizi g?rselle?tirmek i?in bir pasta pi?irin. Yar?s?n? kesin. Sonra yar?dan 1/2 kesin ve bu ?ekilde devam edin. Alaca??n?z par?alar, paydas? 1/2 olan sonsuz azalan bir geometrik dizinin ?yelerinden ba?ka bir ?ey de?ildir. B?t?n bu par?alar? bir araya getirirseniz, orijinal pastay? elde edersiniz.

Geometri problemleri, mekansal d???nmeyi gerektiren ?zel bir al??t?rma t?r?d?r. Geometriyi ??zemezsen g?rev a?a??daki kurallara uymaya ?al???n.

Talimat

Problemin durumunu ?ok dikkatli okuyunuz, hat?rlam?yorsan?z veya anlamad?ysan?z tekrar okuyunuz.

Ne t?r geometrik problemler oldu?unu belirlemeye ?al???n, ?rne?in: hesaplamal?, bir de?er bulman?z gerekti?inde, mant?ksal bir ak?l y?r?tme zinciri gerektiren g?revler, bir pusula ve cetvel kullanarak olu?turma g?revleri. Daha kar???k problemler. Sorunun t?r?n? anlad?ktan sonra mant?kl? d???nmeye ?al???n.

Bu problem i?in gerekli teoremi uygulay?n, ??pheler varsa veya hi? se?enek yoksa, ilgili konuda ?al??t???n?z teoriyi hat?rlamaya ?al???n.

Sorunun bir tasla??n? da yap?n. ??z?m?n?z?n do?rulu?unu kontrol etmek i?in bilinen y?ntemleri kullanmay? deneyin.

Sorunun ??z?m?n? bir defterde d?zg?n bir ?ekilde, lekesiz ve ?st? ?izili olarak tamamlay?n ve en ?nemlisi - ?lk geometrik problemleri ??zmek zaman ve ?aba gerektirecektir. Ancak, bu i?lemi bir kez kavrad???n?zda, f?nd?k gibi g?revlere t?klamaya ve bunu yaparken e?lenmeye ba?layacaks?n?z!

Geometrik bir ilerleme, b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) say?lar?ndan olu?an bir dizidir, ?yle ki b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1?0, q?0. Ba?ka bir deyi?le, ilerlemenin her bir ?yesi, ilerlemenin q s?f?r olmayan bir paydas? ile ?arp?larak bir ?ncekinden elde edilir.

Talimat

Bir ilerlemeyle ilgili problemler ?o?unlukla, ilerlemenin b1'in ilk terimine ve ilerlemenin q'nun paydas?na g?re bir sistemin derlenmesi ve izlenmesiyle ??z?l?r. Denklem yazmak i?in baz? form?lleri hat?rlamakta fayda var.

?lerlemenin ilk ?yesi arac?l???yla ilerlemenin n'inci ?yesi ve ilerlemenin paydas? nas?l ifade edilir: b(n)=b1*q^(n-1).

|q| durumunu ayr? olarak ele alal?m.<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

SAYISAL D?Z?LER VI

§ l48. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplam?

?imdiye kadar, toplamlardan bahsetmi?ken, her zaman bu toplamlardaki terim say?s?n?n sonlu oldu?unu varsayd?k (?rne?in, 2, 15, 1000, vb.). Ancak baz? problemleri (?zellikle y?ksek matematik) ??zerken, sonsuz say?da terimin toplam? ile u?ra?mak gerekir.

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Bu miktarlar nelerdir? Tan?m olarak sonsuz say?da terimin toplam? a 1 , a 2 , ..., a n , ... S toplam?n?n limiti olarak adland?r?l?r n ilk P say?lar ne zaman P -> ? :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

S?n?r (2), elbette var olabilir veya olmayabilir. Buna g?re (1) toplam?n?n var oldu?u veya olmad??? s?ylenir.

Toplam?n (1) her bir ?zel durumda var olup olmad???n? nas?l ??renebilirim? Bu soruya genel bir ??z?m, program?m?z?n kapsam?n?n ?ok ?tesine ge?er. Ancak, ?imdi dikkate almam?z gereken ?nemli bir ?zel durum var. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplam?ndan bahsedece?iz.

?zin vermek a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... sonsuz azalan bir geometrik ilerlemedir. Bunun anlam? | q |< 1. Сумма первых P bu ilerlemenin ?yeleri e?ittir

De?i?kenlerin limitleri hakk?ndaki temel teoremlerden (bkz. § 136) ?unu elde ederiz:

Ama 1 = 1, bir qn = 0. Bu nedenle

B?ylece, sonsuz olarak azalan bir geometrik ilerlemenin toplam?, bu ilerlemenin ilk teriminin bir eksi bu ilerlemenin paydas?na b?l?nmesine e?ittir.

1) Geometrik ilerlemenin toplam? 1, 1/3, 1/9, 1/27, ...

ve bir geometrik ilerlemenin toplam? 12'dir; -6; 3; - 3 / 2 , ... e?ittir

2) Basit bir periyodik kesir 0.454545 ... s?radan bir kesir haline gelir.

Bu sorunu ??zmek i?in, bu kesri sonsuz bir toplam olarak temsil ediyoruz:

Bu e?itli?in sa? taraf?, birinci terimi 45/100 ve paydas? 1/100 olan sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplam?d?r. Bu y?zden

A??klanan ?ekilde, basit periyodik kesirleri s?radan kesirlere d?n??t?rmek i?in genel kural da elde edilebilir (bkz. B?l?m II, § 38):

Basit bir periyodik kesri s?radan bir kesre d?n??t?rmek i?in a?a??daki gibi ilerlemeniz gerekir: ondal?k kesrin periyodunu paya ve paydaya koyun - periyotta basamak say?s? kadar al?nan dokuzlardan olu?an bir say? ondal?k kesirden.

3) Kar???k periyodik kesir 0.58333 .... s?radan bir kesre d?n???r.

Bu kesri sonsuz bir toplam olarak g?sterelim:

Bu e?itli?in sa? taraf?nda, 3/1000'den ba?layan t?m terimler, ilk terimi 3/1000 ve paydas? 1/10 olan sonsuz azalan bir geometrik dizi olu?turur. Bu y?zden

A??klanan ?ekilde, kar???k periyodik fraksiyonlar?n s?radan fraksiyonlara d?n??t?r?lmesine ili?kin genel kural da elde edilebilir (bkz. B?l?m II, § 38). Buraya bilerek eklemiyoruz. Bu hantal kural? ezberlemeye gerek yok. Herhangi bir kar???k periyodik kesrin, sonsuz olarak azalan bir geometrik ilerlemenin ve bir say?n?n toplam? olarak temsil edilebilece?ini bilmek ?ok daha faydal?d?r. ve form?l

Sonsuz olarak azalan bir geometrik ilerlemenin toplam? i?in elbette hat?rlanmal?d?r.

Bir al??t?rma olarak, sizi a?a??daki 995-1000 numaral? sorunlara ek olarak, bir kez daha 301 § 38 numaral? soruna d?nmeye davet ediyoruz.

Egzersizler

995. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplam?na ne denir?

996. Sonsuz azalan geometrik ilerlemelerin toplamlar?n? bulun:

997. Hangi de?erler i?in X ilerleme

sonsuz azal?yor? B?yle bir ilerlemenin toplam?n? bulun.

998. Bir kenar? olan bir e?kenar ??gende a kenarlar?n?n orta noktalar? birle?tirilerek yeni bir ??gen ?izilir; bu ??gene ayn? ?ekilde yeni bir ??gen ?izilir ve bu sonsuza kadar s?rer.

a) t?m bu ??genlerin ?evrelerinin toplam?;

b) alanlar?n?n toplam?.

999. Kenar? olan bir karede a kenarlar?n?n orta noktalar? birle?tirilerek yeni bir kare ?izilir; bu kareye ayn? ?ekilde bir kare yaz?l?r ve bu sonsuza kadar s?rer. T?m bu karelerin ?evrelerinin toplam?n? ve alanlar?n?n toplam?n? bulun.

1000. Toplam? 25 / 4'e ve terimlerinin karelerinin toplam? 625 / 24'e e?it olacak ?ekilde sonsuz azalan bir geometrik ilerleme yap?n.

Say? serilerinin ?zellikleri kullan?larak baz? fizik ve matematik problemleri ??z?lebilir. Okullarda ??retilen en basit iki say? dizisi cebirsel ve geometriktir. Bu yaz?da, geometrik azalan bir sonsuz ilerlemenin toplam?n?n nas?l bulunaca?? sorusunu daha ayr?nt?l? olarak ele alaca??z.

geometrik ilerleme

Bu kelimeler, a i'nin ?u ifadeyi kar??layan ??eleri olan bir dizi ger?ek say? anlam?na gelir:

Burada i, dizideki eleman?n say?s?d?r, r, payda ad? verilen sabit bir say?d?r.

Bu tan?m, ilerlemenin herhangi bir terimini ve paydas?n? bilerek, t?m say? dizisini geri y?klemenin m?mk?n oldu?unu g?stermektedir. ?rne?in, 10. element biliniyorsa, onu r'ye b?lerek 9. elementi elde ederiz, sonra tekrar b?lerek 8. elementi elde ederiz. Bu basit arg?manlar, incelenen say? dizisi i?in ge?erli olan bir ifade yazmam?z? sa?lar:

Paydas? 2 olan bir ilerleme ?rne?i ??yle olabilir:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Payda -2 ise, tamamen farkl? bir dizi elde edilir:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Geometrik bir ilerleme cebirsel olandan ?ok daha h?zl?d?r, yani terimleri h?zla artar ve h?zla azal?r.

ilerlemenin i ?yelerinin toplam?

Pratik problemleri ??zmek i?in, genellikle dikkate al?nan say?sal dizinin birka? ??esinin toplam?n? hesaplamak gerekir. Bu durumda a?a??daki form?l ge?erlidir:

S ben \u003d 1 * (r ben -1) / (r-1)

G?r?ld??? gibi, i terimlerinin toplam?n? hesaplamak i?in sadece iki say? bilmeniz gerekir: a 1 ve r, mant?ksald?r, ??nk? bunlar t?m diziyi benzersiz bir ?ekilde belirler.

Azalan dizi ve terimlerinin toplam?

?imdi ?zel bir durumu ele alal?m. Payda r'nin mutlak de?erinin bir'i ge?medi?ini, yani -1 oldu?unu varsayaca??z.

Azalan bir geometrik ilerlemeyi dikkate almak ilgin?tir ??nk? terimlerinin sonsuz toplam? sonlu bir ger?ek say?ya e?ilim g?sterir.

S i i?in bir ?nceki paragrafta verilen ifadeyi yazarsak, bunu yapmak kolayd?r. Sahibiz:

S ben \u003d 1 * (r ben -1) / (r-1)

i->? oldu?u durumu d???n?n. Paydan?n mod?l? 1'den k???k oldu?undan, onu sonsuz bir g?ce y?kseltmek s?f?r verecektir. Bu, r=0.5 ?rne?i kullan?larak do?rulanabilir:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Sonu? olarak, azalan sonsuz bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplam? ?u ?ekli alacakt?r:

Bu form?l genellikle pratikte, ?rne?in ?ekillerin alanlar?n? hesaplamak i?in kullan?l?r. Ayr?ca bir kaplumba?a ve A?il ile Zeno of Elea paradoksunun ??z?m?nde de kullan?l?r.

A??k?a, geometrik bir art???n (r>1) sonsuz ilerlemesinin toplam? d???n?ld???nde, S ? = +? sonucuna yol a?acakt?r.

?lerlemenin ilk terimini bulma sorunu

Problem ??zme ?rne?ini kullanarak yukar?daki form?llerin nas?l uygulanmas? gerekti?ini g?sterece?iz. Sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplam?n?n 11 oldu?u bilinmektedir. ?stelik 7. terimi, ???nc? terimden 6 kat daha azd?r. Bu say? dizisinin ilk eleman? nedir?

?lk ?nce 7. ve 3. elementleri belirlemek i?in iki ifade yazal?m. Al?r?z:

?lk ifadeyi ikinciye b?lerek ve payday? ifade ederek ?unlar? elde ederiz:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 ? (a 7 / a 3)

Yedinci ve ???nc? terimlerin oran? problemin durumunda verildi?i i?in yerine koyabilir ve r'yi bulabiliriz:

r \u003d 4 ? (a 7 / a 3) \u003d 4 ? (1/6) ? 0.63894

r'yi ondal?k noktadan sonra be? anlaml? basamak do?rulukla hesaplad?k. Elde edilen de?er birden k???k oldu?undan, ilerlemenin azald??? anlam?na gelir, bu da form?l?n sonsuz toplam? i?in kullan?lmas?n? hakl? k?lar. ?lk terim i?in ifadeyi S ? toplam? cinsinden yaz?yoruz:

Bilinen de?erleri bu form?lde de?i?tiriyoruz ve cevab? al?yoruz:

a 1 \u003d 11 * (1-0.63894) \u003d 3.97166.

H?zl? A?il ve yava? kaplumba?a ile Zeno'nun ?nl? paradoksu

Eleal? Zeno, M? 5. y?zy?lda ya?am?? ?nl? bir Yunan filozofudur. e. Matematikte sonsuz b?y?k ve sonsuz k???k probleminin form?le edildi?i bir dizi doruk noktas? veya paradokslar? g?n?m?ze ula?m??t?r.

Zeno'nun iyi bilinen paradokslar?ndan biri, A?il ile kaplumba?a aras?ndaki rekabettir. Zeno, A?il'in kaplumba?aya mesafe a??s?ndan bir avantaj sa?lad??? takdirde onu asla ge?emeyece?ine inan?yordu. ?rne?in, A?il'in, ?rne?in ondan 100 metre ?nde olan bir hayvan?n emeklemesinden 10 kat daha h?zl? ko?mas?na izin verin. Sava??? 100 metre ko?tu?unda, kaplumba?a 10 metre geriye s?r?n?r. Yine 10 metre ko?an A?il, kaplumba?an?n 1 metre daha s?r?nd???n? g?recektir. S?resiz b?yle tart??abilirsiniz, rakipler aras?ndaki mesafe ger?ekten azalacak ama kaplumba?a her zaman ?nde olacak.

Zeno'yu hareketin var olmad??? ve nesnelerin etraf?ndaki t?m hareketlerin bir yan?lsama oldu?u sonucuna g?t?rd?. Tabii ki, antik Yunan filozofu yan?l?yordu.

Paradoksun ??z?m?, s?rekli azalan segmentlerin sonsuz toplam?n?n sonlu bir say?ya y?nelmesi ger?e?inde yatmaktad?r. Yukar?daki durumda, A?il'in kat etti?i mesafe i?in ?unu elde ederiz:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplam? i?in form?l? uygulayarak ?unu elde ederiz:

S ? \u003d 100 / (1-0.1) ? 111.111 metre

Bu sonu?, A?il'in kaplumba?ay? sadece 11.111 metre s?r?nd???nde ge?ece?ini g?stermektedir.

Eski Yunanl?lar matematikte sonsuz niceliklerle nas?l ?al??acaklar?n? bilmiyorlard?. Bununla birlikte, A?il'in ?stesinden gelmesi gereken sonsuz say?daki bo?lu?a de?il, ko?ucunun hedefe ula?mak i?in ihtiya? duydu?u s?n?rl? say?da ad?ma dikkat edersek bu paradoks ??z?lebilir.

matematik nedirinsanlar do?ay? ve kendilerini kontrol eder.

Sovyet matematik?i, akademisyen A.N. Kolmogorov

Geometrik ilerleme.

Aritmetik ilerlemelerle ilgili g?revlerin yan? s?ra, matematikteki giri? testlerinde geometrik ilerleme kavram?yla ilgili g?revler de yayg?nd?r. Bu t?r problemleri ba?ar?l? bir ?ekilde ??zmek i?in geometrik ilerlemenin ?zelliklerini bilmeniz ve bunlar? kullanma konusunda iyi becerilere sahip olman?z gerekir.

Bu makale, geometrik bir ilerlemenin ana ?zelliklerinin sunumuna ayr?lm??t?r. Ayr?ca tipik problemlerin ??z?m?ne ili?kin ?rnekler de sa?lar., matematikte giri? testlerinin g?revlerinden ?d?n? al?nd?.

Geometrik bir ilerlemenin temel ?zelliklerini ?nceden not edelim ve en ?nemli form?lleri ve ifadeleri hat?rlayal?m., bu kavramla ili?kilidir.

Tan?m. Say?sal dizi, ikinciden ba?layarak say?lar?n?n her biri bir ?ncekine e?itse, ayn? say? ile ?arp?l?rsa geometrik ilerleme olarak adland?r?l?r. Say?ya geometrik ilerlemenin paydas? denir.

Geometrik bir ilerleme i?inform?ller ge?erlidir

, (1)

nerede . Form?l (1), geometrik bir ilerlemenin genel teriminin form?l? olarak adland?r?l?r ve form?l (2), bir geometrik ilerlemenin ana ?zelli?idir: ilerlemenin her bir ?yesi, kom?u ?yelerinin geometrik ortalamas? ile ?ak???r ve .

Not, tam da bu ?zellik nedeniyle s?z konusu ilerlemeye "geometrik" deniyor.

Yukar?daki (1) ve (2) form?lleri a?a??daki gibi ?zetlenmi?tir:

, (3)

toplam? hesaplamak i?in ilk geometrik bir ilerlemenin ?yeleriform?l ge?erlidir

tayin edersek

nerede . ??nk? form?l (6), form?l (5)'in bir genellemesidir.

Durumda ne zaman ve geometrik ilerlemesonsuz azalmaktad?r. toplam? hesaplamak i?insonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin t?m ?yeleri i?in form?l kullan?l?r

. (7)

?rne?in , (7) form?l? kullan?larak, biri g?sterilebilir, ne

nerede . Bu e?itlikler , (birinci e?itlik) ve , (ikinci e?itlik) ?art?yla form?l (7)'den elde edilir.

Teorem. e?er , o zaman

Kan?t. E?er ?yleyse,

Teorem kan?tlanm??t?r.

"Geometrik ilerleme" konusundaki problem ??zme ?rneklerini d???nmeye devam edelim.

?rnek 1 Verilen: , ve . Bulmak .

??z?m. Form?l (5) uygulan?rsa, o zaman

Cevap: .

?rnek 2?zin ver ve. Bulmak .

??z?m. ve beri, form?l (5), (6) kullan?yoruz ve denklem sistemini elde ediyoruz.

Sistemin (9) ikinci denklemi birinciye b?l?n?rse, sonra veya . Bundan ?u ??kar . ?ki durumu ele alal?m.

1. E?er , daha sonra sistemin (9) ilk denkleminden.

2. E?er , o zaman .

?rnek 3?zin ver ve . Bulmak .

??z?m. Form?l (2)'den veya . O zamandan beri veya .

Duruma g?re. Bununla birlikte . ??nk? ve, o zaman burada bir denklem sistemimiz var

Sistemin ikinci denklemi birinciye b?l?n?rse, o zaman veya .

??nk? denklemin tek bir uygun k?k? vard?r. Bu durumda, sistemin ilk denklemi .

Form?l (7)'yi dikkate alarak elde ederiz.

Cevap: .

?rnek 4 Verilen: ve . Bulmak .

??z?m. O zamandan beri .

??nk?, o zaman veya

Form?l (2)'ye g?re, elimizde . Bu ba?lamda, e?itlikten (10) veya elde ederiz.

Ancak, ko?ula g?re, bu nedenle.

?rnek 5 oldu?u bilinmektedir. Bulmak .

??z?m. Teoreme g?re iki e?itli?imiz var.

O zamandan beri veya . ??nk?, o zaman.

Cevap: .

?rnek 6 Verilen: ve . Bulmak .

??z?m. Form?l (5)'i dikkate alarak, ?unu elde ederiz:

O zamandan beri . , ve , o zamandan beri .

?rnek 7?zin ver ve. Bulmak .

??z?m.(1) form?l?ne g?re yazabiliriz.

Bu nedenle, veya var. Bu ve, bu nedenle ve oldu?u bilinmektedir.

Cevap: .

?rnek 8 Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin paydas?n? bulun:

ve .

??z?m. Form?l (7)'den ?u ?ekildedir: ve . Buradan ve problemin durumundan denklem sistemini elde ederiz.

Sistemin ilk denkleminin karesi al?n?rsa, ve sonra elde edilen denklemi ikinci denkleme b?l?n, sonra al?r?z

Veya .

Cevap: .

?rnek 9, , dizisinin geometrik bir ilerleme oldu?u t?m de?erleri bulun.

??z?m.?zin ver ve . Geometrik bir ilerlemenin ana ?zelli?ini tan?mlayan form?l (2)'ye g?re veya yazabiliriz.

Buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz., kimin k?kleri ve .

Kontrol edelim: e?er, sonra , ve ; e?er , o zaman , ve .

?lk durumda elimizde ve , ve ikinci - ve .

Cevap: , .

?rnek 10denklemi ??z?n

, (11)

Nerede ve .

??z?m. Denklemin (11) sol taraf?, ve ile sa?lanan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplam?d?r: ve .

Form?l (7)'den ?u ?ekildedir:, ne . Bu ba?lamda denklem (11) ?u ?ekli al?r: veya . uygun k?k ikinci dereceden denklem

Cevap: .

?rnek 11. P pozitif say?lar dizisiaritmetik bir ilerleme olu?turur, a - geometrik ilerleme, ne alakas? var. Bulmak .

??z?m.??nk? aritmetik dizi, sonra (bir aritmetik ilerlemenin ana ?zelli?i). ??nk?, sonra veya . Bu ?u anlama gelir, geometrik ilerleme oldu?unu. Form?l (2)'ye g?re, o zaman bunu yazar?z .

O zamandan beri ve , o zaman . Bu durumda, ifade veya ?eklini al?r. Ko?ul olarak, yani denklemdenele al?nan sorunun benzersiz ??z?m?n? elde ederiz, yani .

Cevap: .

?rnek 12. toplam? hesapla

. (12)

??z?m. E?itli?in (12) her iki taraf?n? da 5 ile ?arp?n ve ?unu elde edin:

Sonu?taki ifadeden (12) ??kar?rsak, sonra

veya .

Hesaplamak i?in de?erleri form?l (7) ile de?i?tiririz ve elde ederiz. O zamandan beri .

Cevap: .

Burada verilen problem ??zme ?rnekleri, giri? s?navlar?na haz?rlan?rken adaylar i?in faydal? olacakt?r. Problem ??zme y?ntemleri hakk?nda daha derin bir ?al??ma i?in, geometrik bir ilerleme ile ili?kili, ??reticileri ?nerilen literat?r listesinden kullanabilirsiniz.

1. Y?ksek??retim kurumlar?na ba?vuranlar i?in matematik problemlerinin toplanmas? / Ed. M?. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Lise ??rencileri i?in matematik: ek b?l?mler Okul m?fredat?. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.

3. Medynsky M.M. G?revler ve al??t?rmalarda eksiksiz bir temel matematik dersi. 2. Kitap: Say? Dizileri ve ?lerlemeler. – M.: Editus, 2015. - 208 s.

Sormak istedi?iniz bir ?ey var m??

Bir ??retmenden yard?m almak i?in - kaydolun.

site, materyalin tamamen veya k?smen kopyalanmas?yla, kayna?a bir ba?lant? gereklidir.