Diskte elips ?ekilebilir e?ri ?izgi. Apa??k,
yuvarlak bir "pastay?" bir topun veya kavunun ?zerine uzatabilece?iniz ve
s?rt ?antas? gibi bir kordonla ba?lay?n.

N'nin boyutlu bir elipsoid oldu?unu varsaymak mant?kl?d?r;
N boyutlu bir k?re dahil ve benzer y?zeyler ?zerine, belki
N-1 boyutlu k?re bir hiperkord ile gerilir ve s?k?l?r. Eliptik
k?re, k?re veya "kavun" ?zerine e?it ?ekilde gerilemez
daha y?ksek boyut s?ras?. Bir k?reyi di?erine ?ekme giri?imleri
en y?ksek boyutta bir fig?r, ?rne?in bir ??rek, b?y?k olas?l?kla
ba?ar?s?z olacakt?r.

N'inci mertebeden y?zeyin tamam?n? kaplad???n? d???nmek ilgin?tir.
N-1 dereceli y?zey, daha k???k boyutlu bir "diki?" b?rak?yor.

Topoloji, kullanarak daha y?ksek boyutlar?n ?z?n? anlamaya yard?mc? olur.
daha k???k boyutlu y?zeylerin s?rekli deformasyonlar?.
Yani, kavisli uzay?m?z?n tan?m? bize anahtar? verir.
Daha y?ksek boyutlar?n uzay?n? anlamak.

Matematik?i G. Perelman ?? boyutlu k?renin tek oldu?unu kan?tlad?
y?zeyi tek bir noktaya dayanabilen ?? boyutlu bir ?ekil
baz? varsay?msal "hiperkord".

Http://kp.ru/daily/24466.4/626061/#EDRT

Evrenimizin ?ekli. Ve iyi bir nedene izin veriyor
bunun ayn? ?? boyutlu k?re oldu?unu varsayal?m. Ama e?er Evren
bir noktaya ?ekilebilecek tek “fig?r”, o zaman muhtemelen m?mk?n
ve noktadan itibaren gerin. Bol?oy teorisinin dolayl? olarak do?rulanmas? i?levi g?ren ?ey
patlama, ?unu belirtir: Evren bu noktadan kaynakland?.
Perelman'?n Poincar? ile birlikte s?zde ?zg?n oldu?u ortaya ??kt?
yarat?l????lar - evrenin ilahi ba?lang?c?n?n destek?ileri. Ve d?kt?ler
materyalist fizik?ilerin de?irmenine ???t?lecek."

Elbette Evren herhangi bir k?reden ?ok daha karma??kt?r.
boyutlar! Ve Evrenin s?zde bir noktadan geli?imi kavram?
teori b?y?k patlama, di?er de?irmenlere ?ok daha fazla su d?k?yor -
Evrenimizin ?lahi k?kenine dair teoriler!

Yorumlar

Evrenin k?kenine dair herhangi bir teori savunulamaz!
Evren hakk?ndaki bilginin k?keni hakk?nda spek?lasyon yapmak caizdir.
Evrenin g?rsel alg?s? tamamen fiziksel yeteneklerle s?n?rl?d?r,
evrenin geni?li?ini g?zlemlemek i?in optik kanal,
D?nya ?zerinde veya y?r?ngede bulunan g?zlemci.
Evreni g?zlemleme olanaklar?n?n ikinci s?n?rlamas?, radyasyon kayna??n?n g?c?n?n evren uzay?ndaki fiziksel, do?al da??l?m?d?r.
???nc? s?n?rlama ise mek?n?n kendisi taraf?ndan dayat?l?yor, d?n???yor,
bulundu?u ortamda elektromanyetik titre?imler g?r?n?r ???k, uzunluklu elektromanyetik dalga, optik aral?kta:
400 nanometreden, ..., - 700 nanometreye kadar, - radyo frekans?n?n elektromanyetik sal?n?mlar?na - g?z spektrumu taraf?ndan g?r?lemeyen (k?z?l?tesi, milimetre alt?, milimetre, santimetre, desimetre, metre ve ?tesi, yar? statik manyetik etkiye ve yar?-statik elektrik, kar??l?k gelen
sonsuz uzun dalgalar) -
evrenin s?n?rs?z do?as?n?n anla??lmas?na yol a?ar.
A! Galaksi ve evren kavramlar?n? kar??t?ran yar? bilim adamlar?n?n ve evet, evreni k?rsal bir kilisedeki cemaat?ilerin say?s? olarak kabul eden kilisenin do?as?nda var olan kavramlar?n ortaya ??kard??? kafa kar???kl???n?n, atanm?? oldu?u d???n?lmelidir. bu kavramlar? ta??yanlar?n vicdan?na. B?y?k patlama teorisinin vaizlerinin vicdan? da buna dahil.
G?relilik teorisinin kurucusu Albert Einstein bu nedenle teorisine "G?relilik Teorisi" ad?n? vermi?tir ??nk? onun teorisi "Mutlakl?k" teorisi de?il, matematiksel "ba??nt?" kavram?ndan yola ??kan g?relilik teorisidir. ?l??mlerde kullan?l?r ve "?l??ler" ile ili?kili olarak uygulan?r. A! Bu ?l??lemez miktarlara tamamen uygulanamaz. Hangisini i?ermelidir insan kavram? evren.
Albert Einstein, g?relilik kavram?n? evrenin mutlakl??? kavram?na geni?letmeye ?al??an "sahte arkada?lar?n?n" ?srarlar?na hemen direnmeye ba?lad?. Albert Einstein'?n sahte dostlar?, g??l? birliktelikleri ile bilim adam?n?n iradesini k?rm??, ancak bu durum onun ciddi bilimsel ?al??malar?n?n yok olmas?na yol a?m??t?r.
Evren kavram? kesin bilimlerin s?n?rlar?n?n ?tesine ge?er ve bu nedenle bir "mihenk ta??" veya "t?kezleyen bir bloktur"
- Filozoflar i?in "Pasifik'in kilit ta??".

06 A?ustos 2010 Cuma, 18:28:00 - Omsk meridyen zaman?.
Viktor Dmitriyevi? Perepelkin

Merhaba! Sevgili Vsevolod Novopashin!
Viktor Perepelkin Omsk'tan geldi.
Galaksilerin birbirinden ayr?lmas? diye bir ?ey yoktur!!!
??nk? ayr? u?mak kurguya dayal? bir ?ey
ke?if i?in Nobel ?d?l? alma arzusu ?zerine
evrenin patlamas? - k?rm?z?y? i?aret ederek
"yer de?i?tirme" - sonucun atfedildi?i yer
Spektrumlarda frekanslar?n Doppler "kaymas?"
D?nya'ya bu kadar uzak olan galaksiler
radyasyon g?c?n?n ?ok zay?f oldu?u
uzay ve b?yle bir s?n?ra kadar,
h?zl?, yani enerjik titre?imler
m?mk?nd?r, ancak yava? olanlar g?zlemciye ula??r,
yani zay?flam?? titre?imler.
Bundan ?nce SSCB Bilimler Akademisi'nin muhabir ?yesi
7.s?n?f e?itimi ald?m ve ?al??t?m
in?aat?? olarak Uzakdo?u yolunda
Ve
8, 9 ve 10. s?n?flarda bilimi anlamadan 3. s?n?f? atlamak -
ikincil s?n?flar ortaokul, ile
Uzak Do?u ?niversitesi'ne kabul,
A
daha sonra Moskova ?niversitesi,
do?ruca Astronomi Enstit?s?'ne ba?vurmu? olmas?na ra?men
ciddi g?rme bozukluklar? vard?,
neden orduya ve hatta cepheye al?nmad???n?,
Radyo astronomisi yaparken yazd? ve yay?nlad?
"Hayat D?nya Evreni" ba?l?kl? kitab?,
b?y?k patlama fikirlerini tan?tt???,
evrenin ortaya ??kt??? iddia edilen yer
Ve
radyo frekanslar?nda radyasyonu kal?nt? haline getirmek,
ve spektrumlar?n k?rm?z?ya kaymas? hakk?nda,
g?zlemlenen Doppler etkisi gibi,
esas olarak demiryolu ?zerinde,
v?z?ldayan bir buharl? lokomotif yak?nlardan ge?ti?inde,
A
uzun mesafelerde Doppler etkisi
?nemli de?il.
Bu nedenle k?rm?z? "kayma" dikkate al?namaz
evrenin ka?mas?n?n etkisi gibi.
Evren UZAKLA?MAZ!
Evren her zaman vard?
Ve
evren her zaman var olacakt?r.
Evrenin alan? s?n?rl? de?ildir.
Galaksiler birbirinden ayr?lm?yor!
Teleskobun oda??n? de?i?tirmek ?u etkiyi yarat?r:
g?r?nt?n?n sa??lmas?, ancak galaksilerin sa??lmas? de?il.
Optik ill?zyon. ?nsan alg?s?n?n sonucu
video monit?r ekran?nda hareketli i?aretler.

Ba?ka bir soru: "Alg? s?n?rlamalar? hakk?nda
evrenin uzay?n?n adam?."

Alg? s?n?rlamas? var!

Hi?bir teknik ara? yok
- g?rmene izin verme
olas?l?klar?n ?tesinde ne var
optik alg? kanal?
Evrenin alg? s?n?rlar?n? geni?letmek,
e?er kabul edersen m?mk?n olur
?le
yaln?zca bir filtrenin varl???yla de?il
Bahsedildi?i gibi uzay etkisi
?kizler burcu,
Ancak
Ve
i?inde mevcut uzay etki
Enerjik titre?imleri daha fazlas?na d?n??t?rmek
kar??l?k gelen uzun dalga titre?imleri
radyo frekans? titre?imlerinin zay?flam?? enerjisi,
optikte g?r?nm?yor
elektromanyetik titre?im aral???,
??plak g?zle eri?ilebilir.
Samimi olarak! Victor Perepelkin
2010, 28 Eyl?l Sal?, 22:56:00,-
Omsk meridyen zaman?

Matematik

• ??retici

Daha 19. y?zy?lda, iki boyutlu bir y?zey ?zerinde bulunan herhangi bir kapal? d?ng?n?n bir noktaya kadar daralt?lmas? durumunda b?yle bir y?zeyin kolayl?kla k?reye d?n??t?r?lebilece?i biliniyordu. Evet, y?zey balon bir k?reye d?n??ebilecek, ancak ??rek y?zeyi olmayacak (bir ??rek durumunda bir noktaya kadar s?k?lmayacak bir d?ng? hayal etmek kolayd?r). Frans?z matematik?i Henri Poincar?'nin 1904'te ?ne s?rd??? bir varsay?m, benzer bir ifadenin ?? boyutlu manifoldlar i?in de ge?erli oldu?unu belirtmektedir.

Poincare'in varsay?m? ancak 2003 y?l?nda kan?tland?. Kan?t yurtta??m?z Grigory Perelman'a ait. Bu ders bir hipotezi form?le etmek i?in gereken nesnelere, kan?t aray???n?n tarihine ve ana fikirlerine ???k tutmaktad?r.

Ders, Moskova Devlet ?niversitesi Mekanik ve Matematik Fak?ltesi do?entleri Ph.D. taraf?ndan verilmektedir. N. Alexander Zheglov ve Ph.D. N. Fyodor Popelensky.

Matematiksel ayr?nt?lara girmeden Poincar? varsay?m?n?n ortaya att??? soru ?u ?ekilde olabilir: (?? boyutlu) bir k?re nas?l karakterize edilir? Bu konuyu do?ru bir ?ekilde anlamak i?in topolojideki en ?nemli kavramlardan biri olan homeomorfizm hakk?nda bilgi sahibi olman?z gerekir. Bunu anlad???m?zda Poincar? varsay?m?n? tam olarak form?le edebiliriz.

Bi?imsel tan?m?n matematiksel detaylar?na hi? girmemek ad?na, yak?n noktalar? olan bu ?ekillerin noktalar? aras?nda b?yle bire bir yaz??ma kurulabiliyorsa iki ?eklin homeomorfik kabul edildi?ini s?yleyece?iz. Bir ?eklin yak?n noktalar? ba?ka bir ?eklin yak?n noktalar?na kar??l?k gelir ve bunun tersi de ge?erlidir. Ka??rd???m?z ayr?nt?lar tam olarak noktalar?n yak?nl???n?n yeterli bir ?ekilde resmile?tirilmesinden ibarettir.

Y?zeyleri "bozman?n" yasak oldu?u (y?rtmak, alanlar? bir noktaya ezmek, delik a?mak vb.) Biri di?erinden keyfi deformasyonla elde edilebiliyorsa, iki ?eklin homeomorfik oldu?unu anlamak kolayd?r.

?rne?in, yukar?daki resimde g?sterildi?i gibi bir diskten bir yar?m k?re ??karmak i?in, d?? kenar? tutarak yukar?dan merkezine do?ru bast?rmam?z yeterlidir. Y?zeylerin m?kemmel kau?uktan yap?ld???, b?ylece t?m fig?rlerin istenildi?i gibi s?k??t?r?l?p uzat?labilece?i hayal edilebilir. Yaln?zca iki ?eyi yapamazs?n?z: y?rtmak ve yap??t?rmak.

Bir i?leme daha izin verirsek, homeomorfik ?ekiller hakk?nda daha do?ru (ancak kesinlik a??s?ndan hala nihai olmayan) bir fikre sahip olaca??z: ?ekli kesebilir, b?kebilir, ba?layabilir, ??zebilirsiniz. vb., ancak kesi?i oldu?u gibi kapatt???n?zdan emin olun.

Ba?ka bir ?rnek verelim. ??inde solucan?n d???m ?eklinde bir delik ve k???k bir ma?ara kemirdi?i bir elma hayal edelim.

Topolojik a??dan bak?ld???nda bu elman?n y?zeyi hala k?re ?eklinde kalacakt?r ??nk? Hepsini belli bir ?ekilde bir araya getirirsek, elman?n y?zeyini solucan yemeye ba?lamadan ?nceki haliyle ayn? hale getiririz.

Bunu g??lendirmek i?in Latin alfabesindeki harfleri homeomorfizme g?re s?n?fland?rmay? deneyin (yani hangi harflerin homeomorf oldu?unu, hangilerinin olmad???n? ??renin). Cevap, harflerin stiline (yaz? tipine veya yaz? tipine) ba?l?d?r ve stilin en basit versiyonu i?in a?a??daki ?ekilde g?sterilmektedir:

26 harften sadece 8 ders al?yoruz.

A?a??daki resimde bir a??rl?k, bir kahve fincan?, bir simit, bir kurutucu ve bir ?ubuk kraker g?sterilmektedir. Topolojik a??dan bak?ld???nda bir a??rl???n, bir kahve fincan?n?n, bir donutun ve bir kurutucunun y?zeyleri ayn?d?r; homeomorfik. ?ubuk krakere gelince, burada topolojide genellikle ?ubuk kraker olarak adland?r?lan y?zeyle kar??la?t?rma i?in g?sterilmi?tir (?eklin sa? alt k??esinde g?sterilmi?tir). Muhtemelen zaten anlad???n?z gibi, hem topolojik ?ubuk kraker hem de yenilebilir ?ubuk kraker simitten farkl?d?r.

Sorunun resmi form?lasyonu

M boyutu 3 olan kapal? ba?lant?l? bir manifold olsun. ?zerindeki herhangi bir ilmek bir noktaya kadar daralt?ls?n. O halde M ?? boyutlu bir k?reye homeomorfiktir.

Burada haz?rl?ks?z bir ki?i i?in en b?y?k zorluk “boyut 3 manifoldu” kavram? ve ?zellikleridir. kelimelerle ifade edilen"kapal?" ve "ba?l?". Bu nedenle, t?m bu kavramlar? ve ?zellikleri boyut 2 ?rne?ini kullanarak anlamaya ?al??aca??z, bu durumda bir?ok ?ey radikal bir ?ekilde basitle?tirilmi?tir.

Y?zeyler i?in Poincar? varsay?m?

M kapal? ba?lant?l? bir y?zey (boyutu 2 olan bir manifold) olsun. ?zerindeki herhangi bir ilmek bir noktaya ?ekilsin. O zaman M y?zeyi iki boyutlu bir k?reye homeomorfiktir.

?ncelikle y?zeyin ne oldu?unu tan?mlayal?m. Sonlu bir ?okgen k?mesi alal?m, t?m kenarlar?n? (kenarlar?n?) ?iftlere b?lelim (yani t?m ?okgenlerin toplam kenar say?s? ?ift say? olmal?d?r), her ?iftte ikisinden hangisini se?elim olas? yollar Bunlar? birbirine yap??t?raca??z. Birbirine yap??t?r?n. Sonu? kapal? bir y?zeydir.

Ortaya ??kan y?zey birka? ayr? par?adan de?il de tek par?adan olu?uyorsa, bu durumda y?zeyin ba?lant?l? oldu?u s?ylenir. Bi?imsel a??dan bak?ld???nda bu, herhangi bir ?okgenin herhangi bir k??esinden yap??t?rd?ktan sonra kenarlar boyunca ba?ka herhangi bir k??eye gidebilece?iniz anlam?na gelir.

Resmi olarak, yap??t?rmadan sonra herhangi bir ?okgenin herhangi bir k??esinden herhangi bir ?okgenin herhangi bir k??esine (kenarlar boyunca) gitmenin m?mk?n olmas?n? talep etmemiz gerekir.

Ba?lant?l? bir y?zeyin tek bir ?okgenden birbirine yap??t?r?labilece?ini anlamak zor de?ildir. ?ekil bunun nas?l hakl? oldu?u fikrini g?stermektedir:

Basit yap??t?rma ?rneklerine bakal?m:

?lk durumda bir k?re elde ederiz:

?kinci durumda, bir simit elde ederiz (??re?in y?zeyi, onunla daha ?nce tan??m??t?k):

???nc? durumda Klein ?i?esi ad? verilen ?i?eyi al?rs?n?z:

?okgenin t?m kenarlar?n? birbirine yap??t?rmazsan?z, kenar? olan bir y?zey elde edersiniz:

Yap??t?rd?ktan sonra “yara izlerinin” tamamen “kozmetik” oldu?una dikkat etmek ?nemlidir. Y?zeyin t?m noktalar? e?ittir: herhangi bir noktan?n diske homeomorfik bir kom?ulu?u vard?r.

Her birinin yap??t?rma desenleri, yap??t?rma desenleri ayn? olacak ?ekilde daha k???k ?okgenlerden yap??t?rma desenleri halinde kesilebiliyorsa, iki y?zey homeomorfik olarak kabul edilir.

Bu ifadeyi, bir k?p?n y?zeyini bir tetrahedronun a??n?n olu?turulabilece?i par?alara b?lme ?rne?ini kullanarak analiz edelim:

Daha genel bir ger?ek de do?rudur: t?m d??b?key ?oky?zl?lerin y?zeyleri k?redir.

?imdi d?ng? kavram?na daha yak?ndan bakal?m. D?ng?, s?z konusu y?zeydeki kapal? bir e?ridir. ?ki ilmek, biri y?zeyde kalarak k?r?lmadan veya birbirine yap??madan di?erine d?n??ebiliyorsa homotopik olarak adland?r?l?r. A?a??da bir d?zlem veya k?re ?zerinde bir d?ng?n?n daralt?lmas?n?n en basit durumu verilmi?tir:

Bir d?zlem veya k?re ?zerindeki bir ilmek kendi kendine kesi?imlere sahip olsa bile yine de daralt?labilir:

Bir d?zlemdeki herhangi bir d?ng?y? s?k?la?t?rabilirsiniz:

??te bir torus ?zerindeki d?ng?ler:

Bu t?r d?ng?leri s?kmak imkans?zd?r. (Maalesef kan?t hikayemizin kapsam?n?n ?ok ?tesine ge?iyor.) ?stelik g?sterilen simit ?zerindeki ilmekler homotopik de?il. Dinleyicileri veya okuyucular? simit ?zerinde bu ikisiyle homotopik olmayan ba?ka bir d?ng? bulmaya davet ediyoruz - bu ?ok basit bir soru. Bundan sonra, simit ?zerinde bu ???ne homotopik olmayan d?rd?nc? bir d?ng? bulmaya ?al???n - bu biraz daha zor olacakt?r.

Euler karakteristi?i

Art?k Poincar? varsay?m?n?n form?lasyonundaki t?m temel kavramlara a?ina oldu?umuza g?re, iki boyutlu durumun ispat?na ilerlemeye ?al??al?m (bir kez daha bunun ?? boyutlu durumdan bir?ok kez daha basit oldu?unu belirtelim) ). Euler karakteristi?i de bu konuda bize yard?mc? olacakt?r.

M y?zeyinin Euler karakteristi?i B-P+Г say?s?d?r. Burada G, ?okgenlerin say?s?d?r, P, yap??t?rmadan sonraki kenar say?s?d?r (s?z konusu y?zeyler s?z konusu oldu?unda, bu, t?m ?okgenlerin kenar say?s?n?n yar?s?d?r), B, yap??t?rmadan sonra elde edilen k??elerin say?s?d?r yap??t?rma.

?ki yap??t?rma ?emas? homeomorfik y?zeyleri tan?ml?yorsa, bu ?emalar i?in B-P+Г say?lar? ayn?d?r, yani B-P+Г y?zeyin de?i?mezidir.

Y?zey zaten bir ?ekilde verilmi?se, ?zerine bir t?r grafik ?izmeniz gerekir, b?ylece onu kestikten sonra y?zey disklere homeomorfik par?alara ayr?l?r (?rne?in, halkalar yasakt?r). Daha sonra B-P+G de?erini hesapl?yoruz - bu, y?zeyin Euler karakteristi?idir.

Ayn? Euler ?zelliklerine sahip y?zeylerin homeomorfik olup olmayaca??n? daha sonra ??renece?iz. Ancak y?zeylerin Euler karakteristikleri farkl? ise y?zeylerin homeomorfik olmad???n? kesinlikle s?yleyebiliriz.

D??b?key ?okgenler i?in ?nl? B-P+Г=2 ili?kisi (Euler teoremi), bu teoremin ?zel bir durumudur. Bu durumda hakk?nda konu?uyoruz belirli bir y?zey hakk?nda - bir k?re hakk?nda. A??klama G?sterimi: M y?zeyinin Euler karakteristi?i ch(M) ile g?sterilecektir: ch(M) = B - P + G

M y?zeyi ba?lant?l?ysa, ch(M) <= 2 ve ch(M) = 2 ancak ve ancak M'nin bir k?reye homeomorfik olmas? durumunda.

Dersi sonuna kadar izledikten sonra Poincar? varsay?m?n?n 2. boyutta nas?l kan?tland???n?, Grigory Perelman'?n 3. boyutta bunu nas?l kan?tlamay? ba?ard???n? ??reneceksiniz.

?? ba??ms?z matematik?i grubu Poincar? varsay?m?n? tamamen kan?tlad?klar?n? iddia ediyor. karma??k g?revler XX y?zy?l. Nihai karar yak?nda a??klanacak Uluslararas? Kongre matematik?iler.

Poincar? varsay?m?n? kan?tlama s?reci g?r?n??e g?re art?k son a?amas?na giriyor. ?? grup matematik?i nihayet Grigory Perelman'?n fikirlerini ??zd?ler ve ge?ti?imiz birka? ay i?inde bu hipotezin tam kan?t?n? sunan versiyonlar?n? sundular.

Hipotezi kan?tlad??? i?in Poincare'e bir milyon dolarl?k bir ?d?l verildi ki bu ?a??rt?c? g?r?nebilir: sonu?ta ?ok ?zel, ilgin? olmayan bir ger?ekten bahsediyoruz. Asl?nda matematik?iler i?in ?nemli olan ?? boyutlu y?zeyin ?zellikleri de?il, ispat?n zor olmas?d?r. Bu problem, ?nceden var olan geometri ve topoloji fikirleri ve y?ntemleri kullan?larak kan?tlanamayan ?eyleri konsantre bir bi?imde form?le eder. Yaln?zca "yeni neslin" fikirlerinin yard?m?yla ??z?lebilecek sorunlar katman?na daha derin bir d?zeyde bakman?za olanak tan?r.

Poincar? varsay?m? 20. y?zy?l?n ba??nda ortaya at?ld?. Frans?z matematik?i Henri Poincar?. Form?le etmek i?in ?unu verelim

Tan?m. Topolojik uzay X yol ba?lant?l?ysa ve her s?rekli e?leme basit ba?lant?l? olarak adland?r?l?r.
X uzaya do?ru daireler ?iziyor X s?rekli g?sterime kadar devam edilebilir
b?t?n daire
. K?renin oldu?unu g?rmek zor de?il basit?e ba?l? N 2.

Poincare'in varsay?m?. Her kapal? basit ba?lant?l? ?? boyutlu manifold, ?? boyutlu bir k?reye homeomorfiktir.

Boyut 4 ve daha b?y?k manifoldlarla ilgili Poincar? varsay?m?n?n analoglar? kan?tlanm??t?r. Ayr?ca, t?m kapal? basit ba?lant?l? d?rt boyutlu manifoldlar?n topolojik s?n?fland?rmas? da elde edilmi?tir.

Bu ilgin?: Neredeyse 100 y?l ?nce Poincar?, iki boyutlu bir k?renin basit ba?lant?l? oldu?unu tespit etti ve ?? boyutlu bir k?renin de basit ba?lant?l? oldu?unu ?ne s?rd?.

Ba?ka bir deyi?le, Poincar? varsay?m? her basit ba?lant?l? kapal? ?? boyutlu manifoldun ?? boyutlu bir k?reye homeomorfik oldu?unu belirtir. Bu varsay?m 1904'te Poincar? taraf?ndan form?le edilmi?tir. Genelle?tirilmi? Poincar? varsay?m?, herhangi bir durum i?in ?unu belirtir: N n boyutunda her manifold, boyut k?resine e?de?er homotopidir N ancak ve ancak kendisine homeomorfik ise. A??klamak i?in a?a??daki resmi kullan?n: Bir elmay? lastik bantla sararsan?z, prensip olarak band? s?karak elmay? bir noktaya s?k??t?rabilirsiniz. Ayn? band? bir donutun (ortas? delik olan bir turta) etraf?na sararsan?z, o zaman ne ??rek ne de lasti?i y?rtmadan onu bir noktaya kadar s?k??t?ramazs?n?z. Bu ba?lamda elma “basit ba?lant?l?” fig?r olarak adland?r?l?r, ancak ??rek basit ba?lant?l? de?ildir.

Jules Henri Poincar? ke?fetti ?zel teori G?relilik teorisini Einstein (1905) ile ayn? zamanda ortaya koymu? ve t?m insanl?k tarihinin en b?y?k matematik?ilerinden biri olarak kabul edilmektedir.

Poincar?'nin varsay?m? yirminci y?zy?l boyunca kan?tlanmadan kald?. Matematik d?nyas?nda Fermat'n?n Son Teoremine benzer bir stat? kazanm??t?r.

Poincar? varsay?m?n?n kan?t? i?in Matematik Enstit?s?. Kley'e bir milyon dolarl?k bir ?d?l verildi, bu ?a??rt?c? g?r?nebilir: Sonu?ta ?ok ?zel, ilgin? olmayan bir ger?ekten bahsediyoruz. Asl?nda matematik?iler i?in ?nemli olan ?? boyutlu y?zeyin ?zellikleri de?il, ispat?n zor olmas?d?r. Bu problem, ?nceden var olan geometri ve topoloji fikirleri ve y?ntemleri kullan?larak kan?tlanamayan ?eyleri konsantre bir bi?imde form?le eder. Yaln?zca "yeni neslin" fikirlerinin yard?m?yla ??z?lebilecek sorunlar katman?na daha derin bir d?zeyde bakman?za olanak tan?r. Fermat teoremindeki durumda oldu?u gibi Poincar? varsay?m?n?n da ?u oldu?u ortaya ??kt?:?zel durum

keyfi ?? boyutlu y?zeylerin geometrik ?zellikleri hakk?nda ?ok daha genel bir ifade - Thurston'un Geometriizasyon Varsay?m?. Bu nedenle, matematik?ilerin ?abalar? bu ?zel durumu ??zmeyi de?il, bu t?r problemlerle ba?a ??kabilecek yeni bir matematiksel yakla??m olu?turmay? ama?l?yordu. . Rus matematik?i Grigory Perelman, Matematik Enstit?s?'n?n St. Petersburg ?ubesinin geometri ve topoloji laboratuvar?n?n ?al??an?. V.A. Steklova, Poincar? varsay?m?n? kan?tlad???n?, yani ??z?lmemi? en ?nl? matematik problemlerinden birini ??zd???n? iddia ediyor. S?ra d??? olan, Perelman'?n kan?tlar?n? kamuya a??klamay? se?mesiydi. Bunu sayg?n bir bilimsel dergide yay?nlamak yerine, ki bu arada,?nko?ul

Bir milyon dolarl?k ?d?le lay?k g?r?len Perelman, ?al??mas?n? ?nternet ar?ivlerinden birinde yay?nlad?. Kan?t sadece 61 sayfa uzunlu?unda olmas?na ra?men bilim d?nyas?nda sansasyon yaratt?. Bilim d?nyas?, alt?n da?lar? ve fahri unvanlar vaat eden dehay? alk??lad?. Amerikan Clay Matematik Enstit?s? ona 1 milyon dolarl?k bir ?d?l vermeye haz?rd?. D?nya Matematik?iler Kongresi'nin Perelman'? kazanan ilan edece?inden kimsenin ??phesi yoktu. Bu arada bildi?iniz gibi ?d?l alan bilim insanlar? aras?nda matematik?iler yok. K?t? diller bu ger?e?in tesad?fi olmad???n? iddia ediyor. Sonu?ta s?ylentilere g?re, gen?li?inde sevgili k?z?n? elinden alan ?nl? ?sve?li Alfred Nobel'in g?z?nden d??en matematik?iydi. Bu arada, Rus dehas? bir milyonu reddetti, ke?fini ?zel yay?nlarda yay?nlamadan Matematik Enstit?s?'nden istifa etti. Steklov RAS, inzivaya ?ekildi ve ?spanya Kral? I. Juan Carlos'un takdim etti?i ?d?l t?renine kat?lmad?. ?d?lle ilgili mesaja ve onu alma davetine hi?bir ?ekilde tepki vermedi, ancak arkada?lar?n?n dedi?i gibi: dahi, St. Petersburg yak?nlar?nda mantar toplamak i?in "ormana gitti".

Bilim insanlar?, 38 ya??ndaki Rus matematik?i Grigory Perelman'?n Poincar? problemine do?ru ??z?m? ?nerdi?ine inan?yor. Stanford ?niversitesi'nde matematik profes?r? olan Keith Devlin bunu Exeter'deki (?ngiltere) bilim festivalinde s?yledi.

Poincar? problemi (problem veya hipotez olarak da adland?r?l?r), her birinin ??z?m? gerektiren en ?nemli yedi matematik probleminden biridir. Clay Matematik Enstit?s? bir milyon dolarl?k ?d?le lay?k g?r?ld?. Matematiksel fizik laboratuvar? ?al??an? Grigory Perelman'?n elde etti?i sonu?lara bu kadar ilgi ?eken ?ey buydu. Steklov Matematik Enstit?s?'n?n St. Petersburg ?ubesi.

D?nyan?n d?rt bir yan?ndaki bilim adamlar?, Perelman'?n ba?ar?lar?n? yazar?n yay?nlad??? iki ?n bask?dan (tam te?ekk?ll? bir bilimsel yay?ndan ?nceki makaleler) ??rendiler. Kas?m 2002'de Ve Mart 2003?n ?al??ma ar?ivinin web sitesinde Los Alamos Bilimsel Laboratuvar?.

Clay Enstit?s?'n?n Bilimsel Dan??ma Kurulu taraf?ndan kabul edilen kurallara g?re, yeni bir hipotezin "uluslararas? itibar" konusunda uzmanla?m?? bir dergide yay?nlanmas? gerekiyor. Ayr?ca Enstit?n?n kurallar?na g?re, ?d?l? ?deme karar? nihai olarak "matematik toplulu?u" taraf?ndan veriliyor: kan?t?n yay?nland?ktan sonraki iki y?l i?inde ??r?t?lmemesi gerekiyor. Her kan?t matematik?iler taraf?ndan kontrol edilir. farkl? ?lkeler bar??.

Poincar? sorunu

Poincar?'nin problemi, manifoldlar?n topolojisi ad? verilen alanla - farkl? boyutlara sahip ?zel bir ?ekilde d?zenlenmi? uzaylarla - ilgilidir. ?ki boyutlu manifoldlar, ?rne?in ?? boyutlu cisimlerin y?zeyi (k?re (topun y?zeyi) veya simit (??re?in y?zeyi)) ?rne?i kullan?larak g?rselle?tirilebilir.

Bir balonun deforme olmas? (b?k?lmesi, b?k?lmesi, ?ekilmesi, s?k??t?r?lmas?, s?k??mas?, s?nmesi veya ?i?mesi) durumunda ba??na ne gelece?ini hayal etmek kolayd?r. Yukar?daki t?m deformasyonlarla topun ?eklini geni? bir aral?kta de?i?tirece?i a??kt?r. Ancak bir topu asla y?zeyinin s?reklili?ini bozmadan, yani par?alamadan donut (ya da tam tersi) haline getiremeyece?iz. Bu durumda topologlar k?renin (top) torusa (halka) g?re homeomorfik olmad???n? s?yl?yor. Bu, bu y?zeylerin birbiriyle e?lenemeyece?i anlam?na gelir. Konu?uyorum basit bir dille, k?re ve torus topolojik ?zellikleri bak?m?ndan farkl?d?r. Ve bir balonun y?zeyi, t?m olas? deformasyonlara ra?men, t?pk? bir cankurtaran simidinin y?zeyinin bir torusa g?re oldu?u gibi, bir k?reye homeomorfiktir. Ba?ka bir deyi?le, a??k delikleri olmayan herhangi bir kapal? iki boyutlu y?zey, iki boyutlu bir k?re ile ayn? topolojik ?zelliklere sahiptir.

Poincar?'nin problemi ?? boyutlu manifoldlar i?in ayn? ?eyi belirtir (k?re gibi iki boyutlu manifoldlar i?in bu nokta 19. y?zy?lda kan?tlanm??t?r). Frans?z matematik?inin belirtti?i gibi, iki boyutlu bir k?renin en ?nemli ?zelliklerinden biri, ?zerinde yatan herhangi bir kapal? d?ng?n?n (?rne?in bir kementin) y?zeyden ayr?lmadan bir noktaya ?ekilebilmesidir. Bir simit i?in bu her zaman do?ru de?ildir: deli?inden ge?en bir ilmek, ya simit k?r?ld???nda ya da ilme?in kendisi k?r?ld???nda bir noktaya kadar b?z?l?r. 1904'te Poincar?, e?er bir d?ng? kapal? ?? boyutlu bir y?zey ?zerindeki bir noktaya kadar b?z?l?yorsa, bu t?r bir y?zeyin ?? boyutlu bir k?reye homeomorfik oldu?unu ?ne s?rd?. Bu hipotezi kan?tlaman?n son derece zor bir g?rev oldu?u ortaya ??kt?.

Hemen a??kl??a kavu?tural?m: Bahsetti?imiz Poincar? probleminin form?lasyonu, pek de zorlanmadan hayal edebilece?imiz ?? boyutlu bir toptan de?il, ?? boyutlu bir k?reden, yani d?rt boyutlu bir k?renin y?zeyinden bahsediyor. hayal edilmesi ?ok daha zor olan boyutlu bir top. Ancak 1950'lerin sonlar?nda, y?ksek boyutlu manifoldlarla ?al??man?n ?? ve d?rt boyutlu manifoldlarla ?al??mak yerine ?ok daha kolay oldu?u aniden ortaya ??kt?. A??k?as?, netlik eksikli?i matematik?ilerin ara?t?rmalar?nda kar??la?t?klar? temel zorluktan ?ok uzakt?r.

5 ve ?zeri boyutlar i?in Poincar?'ninkine benzer bir problem 1960 y?l?nda Stephen Smale, John Stallings ve Andrew Wallace taraf?ndan ??z?ld?. Ancak bu bilim adamlar?n?n kulland??? yakla??mlar?n d?rt boyutlu manifoldlara uygulanamad??? ortaya ??kt?. Onlara g?re Poincar? problemi ancak 1981'de Michael Freedman taraf?ndan kan?tland?. ?? boyutlu durumun en zoru oldu?u ortaya ??kt?; Grigory Perelman kendi ??z?m?n? ?neriyor.

Perelman'?n bir rakibi oldu?unu da belirtmekte fayda var. Nisan 2002'de, Southampton Britanya ?niversitesi'nde matematik profes?r? olan Martin Dunwoody, Poincar? problemini ??zmek i?in kendi y?ntemini ?nerdi ve ?u anda Clay Enstit?s?'nden gelecek karar? bekliyor.

Uzmanlar, Poincar? probleminin ??z?lmesinin, karma??k ?? boyutlu nesnelerdeki fiziksel s?re?lerin matematiksel olarak tan?mlanmas?nda ciddi bir ad?m at?lmas?n? m?mk?n k?laca??na ve bilgisayar topolojisinin geli?tirilmesine yeni bir ivme kazand?raca??na inan?yor. Grigory Perelman'?n ?nerdi?i y?ntem geometri ve topolojide yeni bir y?n?n a??lmas?na yol a?acak. St. Petersburglu matematik?i Fields ?d?l?'ne (matematikte verilmeyen Nobel ?d?l?'ne benzer) lay?k olabilir.

Bu arada baz?lar? Grigory Perelman'?n davran???n? tuhaf buluyor. ?ngiliz The Guardian gazetesi ??yle yaz?yor: “B?y?k olas?l?kla Perelman'?n Poincar? sorununu ??zme yakla??m? do?ru. Ancak her ?ey o kadar basit de?il. Perelman, ?al??man?n tam te?ekk?ll? bir bilimsel yay?n (?n bask?) olarak yay?nland???na dair kan?t sunmuyor. Ve e?er ki?i Clay Enstit?s?'nden ?d?l almak istiyorsa bu gerekli de?ildir. ?stelik onun parayla hi?bir ilgisi yoktur."

G?r?n??e g?re Grigory Perelman i?in, ger?ek bir bilim insan? i?in oldu?u gibi, as?l mesele para de?il. Ger?ek bir matematik?i, s?zde "milenyum problemleri"nden herhangi birini ??zmek i?in ruhunu ?eytana satacakt?r.

GR?GOR? PERELMAN

13 Haziran 1966'da Leningrad'da ?al??an bir ailede do?du.

Derinlemesine matematik ?al??mas?yla ?nl? 239 numaral? ortaokuldan mezun oldu.

1982'de Sovyet okul ?ocuklar? ekibinin bir par?as? olarak Budape?te'de d?zenlenen Uluslararas? Matematik Olimpiyatlar?na kat?ld?. Leningrad Devlet ?niversitesi'nde matematik ve mekanik derslerine s?navs?z kaydoldu. Fak?lte, ?ehir ve t?m Birlik ??renci matematik olimpiyatlar?n? kazand?. Lenin bursu ald?. ?niversiteden mezun olduktan sonra Perelman, Steklov Matematik Enstit?s?'n?n St. Petersburg ?ubesinde y?ksek lisans okuluna girdi.

Fiziksel ve Matematik Bilimleri Aday?. Matematiksel fizik laboratuvar?nda ?al???r. Xinhua haber ajans?n?n haberine g?re, ?inli matematik?iler 1904'te form?le edilen Poincar? varsay?m?n?n tam bir kan?t?n? yay?nlad?lar. ?ok boyutlu y?zeylerin (daha do?rusu manifoldlar?n) s?n?fland?r?lmas?na ili?kin hipotez, Amerikan Kil Enstit?s?'n?n her birinin ??z?m? i?in bir milyon dolarl?k ?d?l verdi?i "Milenyum Problemleri"nden biriydi.

Poincar?'ye g?re, herhangi bir kapal? ?? boyutlu "deliksiz y?zey" (basit?e ba?l? manifold), ?? boyutlu bir k?reye, yani d?rt boyutlu bir topun y?zeyine e?de?erdir. Einstein'?n teorisinin matematiksel aparat?n?n yazar? olan Poincar? ilk gerek?eyi sundu, ancak daha sonra kendi ak?l y?r?tmesinde bir hata ke?fetti. Bu form?lasyondaki hipotez, 70 sayfal?k ?al??mas? halen uzmanlar taraf?ndan kontrol edilen Rus matematik?i Grigory Perelman taraf?ndan 2003 y?l?nda kan?tland?. Di?er durumlar (d?rd?nc? boyut ve daha y?ksek) daha ?nce tart???lm??t?.

Yazarlara g?re, Asian Journal of Mathematics'teki 300 sayfal?k yeni makale ba??ms?z de?il ve ?ncelikle Perelman'?n sonu?lar?na dayan?yor. Zhu Xiping ve Cao Huaidong, Perelman'?n yaln?zca ana hatlar?n? ?izdi?i ?stesinden gelme y?ntemleri olan bir tak?m zorluklar? art?k ortadan kald?rd?klar?n? iddia ediyorlar. Topolojik ?al??malar? (?zellikle Calabi-Yau manifoldlar? teorisi) anahtar kabul edilen ispat ?al??malar?na Shin-Tun Yau'nun da kat?ld??? biliniyor.

modern teori dizeler Uzmanlar, yeni ?al??man?n ayn? zamanda uzun s?reli yeniden kontrol gerektirece?ini belirtiyor. Alexandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Geometri. M.: Nauka, 1990 ?zet 2'ye ek:(1854-1912) ve onun ad?n? ta??yor. Poincar?'nin matematikteki rol? hakk?nda ansiklopedide s?ylenenden daha iyi bir ?ey s?ylemek zordur: “Poincar?'nin matematik alan?ndaki ?al??malar? bir yandan klasik y?n? tamamlarken di?er yandan geli?menin yolunu a??yor. niceliksel ili?kilerin yan? s?ra niteliksel karaktere sahip ger?eklerin de belirlendi?i yeni matematik" (TSB, 3. bask?, cilt 2). Poincar? varsay?m? tam olarak niteliksel bir yap?ya sahiptir - ilgili oldu?u ve Poincar?'nin belirleyici bir rol oynad??? t?m matematik alan? (yani topoloji) gibi.

A??k modern dil Poincar?'nin varsay?m? ?u ?ekildedir: S?n?rs?z her basit ba?lant?l? kompakt ?? boyutlu manifold, ?? boyutlu bir k?reye homeomorfiktir.

A?a??daki paragraflarda bu korkun? s?zl? form?l?n anlam?n? en az?ndan k?smen ve ?ok kabaca a??klamaya ?al??aca??z. Ba?lang?? olarak, s?radan bir topun y?zeyi olan s?radan bir k?renin iki boyutlu oldu?unu (ve topun kendisinin de ?? boyutlu oldu?unu) not ediyoruz. ?ki boyutlu bir k?re, merkez ad? verilen ve k?reye ait olmayan se?ilmi? bir noktadan e?it uzakl?kta olan ?? boyutlu uzay?n t?m noktalar?ndan olu?ur. ?? boyutlu bir k?re, d?rt boyutlu uzay?n merkezinden e?it uzakl?kta olan (k?reye ait olmayan) t?m noktalardan olu?ur. ?ki boyutlu k?relerden farkl? olarak ?? boyutlu k?reler m?sait de?il do?rudan g?zlemimizdir ve Vasily ?vanovi?'in ?nl? ?akadaki kare ?? terimliyi hayal etmesi ne kadar zorsa, bizim i?in bunlar? hayal etmek o kadar zordur. Ancak hepimizin ?? boyutlu bir k?re i?inde olmas?, yani Evrenimizin ?? boyutlu bir k?re olmas? m?mk?nd?r.

Sonucun anlam? budur Perelman fizik ve astronomi i?in. "Basit ba?lant?l?, kompakt, ?? boyutlu, kenar? olmayan manifold" terimi, Evrenimizin varsay?lan ?zelliklerine dair g?stergeler i?erir. "Homeomorfik" terimi belirli bir y?ksek derecede benzerlik anlam?na gelir. belli bir anlamda ay?rt edilemezlik Bu nedenle, bir b?t?n olarak form?lasyon ?u anlama gelir: E?er Evrenimiz, kenar? olmayan basit ba?lant?l? kompakt ?? boyutlu bir manifoldun t?m ?zelliklerine sahipse, o zaman - ayn? "bilinen anlamda" - ?? boyutlu bir k?redir.

Basit ba?lant?l?l?k kavram? olduk?a basit bir kavramd?r. ?ok elastik bir lastik bant (yani u?lar? yap??t?r?lm?? bir lastik iplik) hayal edelim, e?er onu tutmazsan?z bir noktaya kadar k???lecek. Ayr?ca elastik band?m?zdan bir noktaya ?ekildi?inde yerle?tirdi?imiz y?zeyin d???na ta?mamas?n? da isteyece?iz. B?yle bir elastik band? bir d?zlem ?zerinde gerer ve serbest b?rak?rsak, hemen bir noktaya kadar k???lecektir. Bir k?renin y?zeyine, yani k?renin ?zerine elastik bir bant yerle?tirdi?imizde de ayn? ?ey olacakt?r. Bir cankurtaran ?amand?ras?n?n y?zeyi i?in durum tamamen farkl? olacakt?r: iyi niyetli bir okuyucu, s?z konusu y?zeyin ?tesine ge?meden lasti?i bir noktaya ?ekmenin imkans?z oldu?u bu y?zeydeki elastik d?zenlemelerini kolayl?kla bulacakt?r. Geometrik bir ?ekil varsa basit ba?lant?l? olarak adland?r?l?r kapal? d?ng? Bu ?ekil i?erisinde yer alan , belirtilen limitlerin d???na ??kmadan bir noktaya ?ekilebilir. D?zlem ile k?renin basit bir ?ekilde ba?lant?l? oldu?unu ancak cankurtaran simidinin y?zeyinin basit bir ?ekilde ba?lant?l? olmad???n? g?rd?k. ??inde bir delik bulunan bir d?zlem de basit bir ?ekilde ba?lant?l? de?ildir. Basit ba?lant?l?l?k kavram? ?? boyutlu ?ekiller i?in de ge?erlidir. B?ylece, bir k?p ve bir top basit bir ?ekilde ba?lan?r: kal?nl?klar?nda bulunan herhangi bir kapal? kontur bir noktaya kadar daralt?labilir ve daralma i?lemi s?ras?nda kontur her zaman bu kal?nl?kta kalacakt?r. Ancak simit basit bir ?ekilde ba?lant?l? de?ildir: i?inde bir noktaya kadar daralt?lamayan bir kontur bulabilirsiniz, b?ylece b?z?lme i?lemi s?ras?nda kontur her zaman simit hamurunun i?inde olur. ?ubuk kraker de tek ba?lant?l? de?ildir. ?? boyutlu k?renin basit bir ?ekilde ba?lant?l? oldu?u kan?tlanabilir.

Okuyucunun okulda ??retilen bir par?a ile bir aral?k aras?ndaki fark? unutmad???n? umuyoruz. Bir do?ru par?as?n?n iki ucu vard?r; bu u?lardan ve bunlar?n aras?nda yer alan t?m noktalardan olu?ur. Bir aral?k yaln?zca u?lar? aras?nda bulunan t?m noktalardan olu?ur; u?lar?n kendileri aral??a dahil edilmez: aral???n, u?lar? ??kar?lm?? bir par?a oldu?unu ve bir par?an?n, u?lar? eklenmi? bir aral?k oldu?unu s?yleyebiliriz. BT. Bir aral?k ve bir par?a, tek boyutlu manifoldlar?n en basit ?rnekleridir; burada aral?k, kenar? olmayan bir manifolddur ve par?a, kenar? olan bir manifolddur; bir segment durumunda bir kenar iki u?tan olu?ur. Manifoldlar?n tan?mlar?n?n alt?nda yatan ana ?zelli?i, manifoldda, kenardaki noktalar (var olmayabilecek) hari?, t?m noktalar?n kom?uluklar?n?n tamamen ayn? ?ekilde d?zenlenmesidir.

Bu durumda bir A noktas?n?n kom?ulu?u, bu A noktas?na yak?n t?m noktalar?n toplam?d?r. Kenar? olmayan bir manifoldda ya?ayan ve bu manifoldun yaln?zca kendisine en yak?n noktalar?n? g?rebilen mikroskobik bir canl?, Varl???n hangi noktada oldu?unu belirler: Kendi ?evresinde hep ayn? ?eyi g?r?r. Kenar? olmayan tek boyutlu manifoldlara daha fazla ?rnek: d?z ?izginin tamam?, bir daire. Manifold olmayan tek boyutlu bir ?ekle ?rnek olarak T harfi ?eklindeki bir ?izgi verilebilir: kom?ulu?u di?er noktalar?n kom?ulu?una benzemeyen ?zel bir nokta vard?r - bu ?? noktan?n bulundu?u noktad?r. kesimler bulu?uyor. Tek boyutlu bir manifoldun ba?ka bir ?rne?i sekiz rakaml? bir ?izgidir; D?rt ?izgi burada ?zel bir noktada birle?iyor. Bir d?zlem, bir k?re ve bir cankurtaran simidinin y?zeyi, kenar? olmayan iki boyutlu manifoldlara ?rnektir. ??inde bir delik a??lm?? bir d?zlem de bir manifold olacakt?r; ancak kenar? olsun veya olmas?n, deli?in d?? hatlar?n? nereye yerle?tirdi?imize ba?l?d?r. Bunu bir deli?e y?nlendirirsek kenar? olmayan bir manifold elde ederiz; konturu d?zlemde b?rak?rsak, bu konturun hizmet edece?i kenar? olan bir manifold elde ederiz. Elbette burada ideal bir matematiksel kesim akl?m?zdayd? ve makasla ger?ek fiziksel kesimde konturun nereye ait oldu?u sorusu hi?bir anlam ifade etmiyor.

?? boyutlu manifoldlar hakk?nda birka? s?z. K?re, y?zeyi g?revi g?ren k?reyle birlikte, kenar? olan bir manifolddur; belirtilen k?re tam olarak bu kenard?r. Bu topu ?evredeki uzaydan ??kar?rsak kenar? olmayan bir manifold elde ederiz. Topun y?zeyini soyarsak, matematik jargonunda "z?mparalanm?? top" olarak adland?r?lan ?eyi elde ederiz ve daha bilimsel bir dille - a??k top. A??k bir topu ?evredeki alandan ??kar?rsak, kenar? olan bir manifold elde ederiz ve kenar, toptan kopard???m?z k?renin ayn?s? olacakt?r. Simit, kabu?uyla birlikte kenar? olan ?? boyutlu bir manifolddur ve kabu?unu (sonsuz ince, yani y?zey olarak ele ald???m?z) kopar?rsan?z, i?inde kenar? olmayan bir manifold elde ederiz. "z?mparalanm?? simit" ?eklinde. Bir b?t?n olarak uzay, e?er lisede anla??ld??? gibi anlarsak, kenar? olmayan ?? boyutlu bir manifolddur.

Matematiksel kompaktl?k kavram? k?smen "kompakt" kelimesinin g?nl?k Rus?adaki anlam?n? yans?t?r: "yak?n", "s?k??t?r?lm??". Geometrik bir ?ekil, sonsuz say?da noktas?n?n herhangi bir d?zenlemesi i?in, ayn? ?eklin noktalar?ndan birinde veya bir?ok noktas?nda birikiyorsa kompakt olarak adland?r?l?r. Bir par?a kompaktt?r: Par?adaki noktalar?n herhangi bir sonsuz k?mesi i?in, herhangi bir kom?ulu?u s?z konusu k?menin sonsuz say?da eleman?n? i?eren en az?ndan bir s?zde s?n?r noktas? bulunmaktad?r. Bir aral?k kompakt de?ildir: sonuna do?ru ve yaln?zca ona do?ru biriken noktalar?n bir k?mesini belirleyebilirsiniz - ancak son, aral??a ait de?ildir!

Yerimiz olmad???ndan bu yorumla s?n?rl? kalaca??z. Diyelim ki ele ald???m?z ?rneklerden kompakt olanlar? bir segment, bir daire, bir k?re, bir simit ve bir simitin y?zeyleri, bir top (k?resiyle birlikte), bir simit ve bir simit (birlikte) kabuklar?). Buna kar??l?k aral?k, d?zlem, kumlu top, simit ve ?ubuk kraker kompakt de?ildir. Kenar? olmayan ?? boyutlu kompakt geometrik ?ekiller aras?nda en basit olan? ?? boyutlu k?redir, ancak bu t?r ?ekiller her zamanki "okul" alan?m?za uymuyor. Belki de hipotezle ba?lant?l? olan kavramlar?n en derini Poincar? homeomorfi kavram?d?r. Homeomorfi geometrik ayn?l???n en y?ksek seviyesidir . ?imdi yava? yava? yakla?arak bu kavram?n yakla??k bir a??klamas?n? vermeye ?al??aca??z.

Zaten okul geometrisinde iki t?r ayn?l?kla kar??la??yoruz - ?ekillerin uyumu ve benzerlikleri. ?st ?ste bindirildi?inde birbirleriyle ?ak??malar? durumunda ?ekillerin uyumlu olarak adland?r?ld???n? hat?rlay?n. Okulda uyumlu ?ekiller birbirinden ay?rt edilemiyor gibi g?r?n?yor ve bu nedenle uyumlulu?a e?itlik ad? veriliyor. E? fig?rler t?m detaylar?nda ayn? boyutlara sahiptir. Benzerlik, ayn? boyut gerektirmeden, bu boyutlar?n ayn? oranlar? anlam?na gelir; bu nedenle benzerlik, ?ekillerin uyumdan daha temel bir benzerli?ini yans?t?r. Geometri genel olarak fizikten daha y?ksek d?zeyde bir soyutlamad?r ve fizik, malzeme biliminden daha y?ksektir.

?rne?in bilyal? yata??, bilardo topunu, kroket topunu ve topunu ele alal?m. Fizik, yap?ld?klar? malzeme gibi ayr?nt?lara girmez, yaln?zca hacim, a??rl?k, elektriksel iletkenlik vb. ?zelliklerle ilgilenir. Matematik i?in bunlar?n hepsi toplard?r ve yaln?zca boyutlar? farkl?d?r. E?er toplar varsa farkl? boyutlar metrik geometri i?in farkl?d?rlar, ancak benzerlik geometrisi i?in hepsi ayn?d?r. Geometri a??s?ndan bak?ld???nda t?m toplar ve t?m k?pler benzerdir ancak top ve k?p ayn? de?ildir.

?imdi torusa bakal?m. ?stte, ?ekli direksiyon simidi ve cankurtaran simidi ?eklinde olan geometrik fig?r var. Ansiklopedi, simidi, bir dairenin dairenin d???nda bulunan bir eksen etraf?nda d?nd?r?lmesiyle elde edilen bir ?ekil olarak tan?mlar. Nazik okuyucuyu, top ve k?p?n birbirlerine simitten daha "benzer" oldu?unu fark etmeye ?a??r?yoruz. A?a??daki d???nce deneyi, bu sezgisel fark?ndal??? kesin anlamla doldurmam?za olanak tan?r. B?k?lebilen, gerilebilen, s?k??t?r?labilen ve genel olarak istedi?iniz ?ekilde deforme olabilen, y?rt?lmayan veya birbirine yap??t?r?lamayan esnek bir malzemeden yap?lm?? bir top hayal edelim. A??k?as?, top daha sonra k?p haline getirilebilir, ancak simit haline getirilmesi imkans?zd?r. S?zl?k Ushakova, ?ubuk krakerleri B harfi ?eklindeki bir hamur i?i (kelimenin tam anlam?yla: tereya?l? burgulu ??rek gibi) olarak tan?ml?yor. Bu harika s?zl??e t?m sayg?mla, “8 rakam? ?eklindeki” kelimeleri bana daha do?ru g?r?n?yor; ancak homeomorfi kavram?yla ifade edilen bak?? a??s?na g?re 8 rakam? ?eklindeki pi?irme, B harfi ?eklindeki pi?irme ve fita ?eklindeki pi?irme ayn? ?ekle sahiptir. F?r?nc?lar?n yukar?da belirtilen esneklik ?zelliklerine sahip hamur elde edebildiklerini varsaysak bile, g?zya?? ve yap??t?rma olmadan bir ??rek imkans?zd?r! - t?pk? son iki unlu mamul?n birbirine kar??mas? gibi, ne simit ne de simit haline getirin. Ancak k?resel bir ??re?i k?p veya piramide d?n??t?rebilirsiniz. Nazik bir okuyucu ??phesiz b?yle bir ?ey bulabilecektir. olas? bi?im ne ??rek, ne ?ubuk kraker, ne de simitin d?n??t?r?lemeyece?i f?r?nlanm?? ?r?nler.

Bu kavrama isim vermeden homeomorfi ile zaten tan??m?? olduk. ?ki ?ekil, e?er biri di?erine s?rekli (yani k?rmadan veya yap??t?rmadan) deformasyonla d?n??t?r?lebiliyorsa homeomorfik olarak adland?r?l?r; bu t?r deformasyonlar?n kendilerine homeomorfizma denir. Topun k?p ve piramite g?re homeomorfik oldu?unu, ancak torusa veya ?ubuk krakere homeomorfik olmad???n? ve son iki cismin birbirine homeomorfik olmad???n? ??rendik. Okuyucunun, homeomorfi kavram?n?n mekanik d?n???m a??s?ndan yaln?zca yakla??k bir tan?m?n? verdi?imizi anlamas?n? istiyoruz.

Homeomorfi kavram?n?n felsefi y?n?ne de?inelim. D???nen bir ?eyin baz?lar?n?n i?inde ya?ad???n? hayal edelim. geometrik ?ekil Ve Olumsuz bu fig?re d??ar?dan, “d??ar?dan” bakma f?rsat? buluyor. Onun i?in i?inde ya?ad??? fig?r Evreni olu?turur. Ayr?ca ?evreleyen fig?r s?rekli deformasyona maruz kald???nda varl???n da onunla birlikte deforme oldu?unu d???nelim. E?er s?z konusu ?ekil bir top ise, o zaman canl? onun top mu, k?p m?, piramit mi oldu?unu hi?bir ?ekilde ay?rt edemez. Ancak Evreninin simit ya da ?ubuk kraker ?eklinde olmad???na ikna olmas? m?mk?nd?r. Genel olarak bir canl?, kendisini ?evreleyen uzay?n ?eklini ancak homeomorfiye kadar olu?turabilir, yani bu formlar homeomorfik oldu?u s?rece bir formu di?erinden ay?rt edemez.

Matematik i?in bir hipotezin anlam? Poincar??imdi bir hipotezden Poincar?-Perelman teoremine d?n??en bu denklem muazzamd?r (problemin ??z?m? i?in bir milyon dolar?n teklif edilmesi bo?una de?ildir), t?pk? Perelman'?n bunu kan?tlamak i?in buldu?u y?ntemin ?neminin muazzam olmas? gibi, ancak bu ?nemi burada a??klamak bizim yetene?imizi a?ar. ??in kozmolojik y?n?ne gelince, belki de bu hususun ?nemi gazeteciler taraf?ndan biraz abart?lm??t?r.

Ancak baz? yetkili uzmanlar, Perelman'?n ger?ekle?tirdi?i bilimsel at?l?m?n kara deliklerin olu?um s?re?lerinin ara?t?r?lmas?na yard?mc? olabilece?ini s?yl?yor. Bu arada kara delikler, d?nyan?n bilinebilirli?ine ili?kin tezin do?rudan ??r?t?lmesine hizmet ediyor - 70 y?l boyunca zavall? kafalar?m?za zorla dayat?lan o en geli?mi?, tek ger?ek ve her ?eye g?c? yeten ??retinin temel h?k?mlerinden biri. Sonu?ta fizi?in ??retti?i gibi prensipte bu deliklerden gelen hi?bir sinyal bize ula?amaz, dolay?s?yla orada neler oldu?unu bulmak imkans?zd?r. Genel olarak Evrenimizin bir b?t?n olarak nas?l ?al??t??? hakk?nda ?ok az ?ey biliyoruz ve bunu ??renip ??renemeyece?imiz de ??pheli. Ve yap?s?yla ilgili sorunun anlam? tam olarak belli de?il. ??retime g?re bu sorunun ?u sorulardan biri olmas? m?mk?nd?r. Buda, Olumsuz bir cevap var. Fizik, yaln?zca a?a?? yukar? ayn? fikirde olan cihaz modellerini sunar bilinen ger?ekler. Bu durumda fizik, kural olarak, matematik taraf?ndan kendisine sa?lanan ?nceden geli?tirilmi? haz?rl?klar? kullan?r.

Matematik elbette Evrenin herhangi bir geometrik ?zelli?ini belirleme iddias?nda de?ildir. Ancak di?er bilimlerin ke?fetti?i ?zellikleri anlamam?z? sa?lar. Dahas?. Hayal edilmesi zor olan baz? ?zellikleri daha anla??l?r hale getirmemizi sa?l?yor; bunun nas?l olabilece?ini a??kl?yor. Bu t?r olas? (vurguluyoruz: sadece m?mk?n!) ?zellikler aras?nda Evrenin sonlulu?u ve y?nlendirilemezli?i de yer al?yor.

Uzun bir s?re, Evrenin geometrik yap?s?n?n akla gelebilecek tek modeli, ?? boyutlu ?klid uzay?, yani hepimizin bildi?i uzayd?. lise. Bu uzay sonsuzdur; ba?ka hi?bir fikrin m?mk?n olmad??? g?r?l?yordu; Evrenin sonlulu?unu d???nmek ??lg?nca g?r?n?yordu. Ancak art?k Evrenin sonlulu?u fikri, onun sonsuzlu?u fikrinden daha az me?ru de?ildir. ?zellikle ?? boyutlu k?re sonludur. Fizik?ilerle ileti?im kurdu?umda baz?lar?n?n "b?y?k olas?l?kla" diye yan?tlad??? izlenimini edindim. Evren sonsuzdur” derken di?erleri “b?y?k olas?l?kla Evren sonludur” dedi.

Uspensky V.A. , Matematikten ?z?r veya manevi k?lt?r?n bir par?as? olarak matematik hakk?nda, dergi " Yeni d?nya", 2007, N 12, s. 141-145.