T?m ??genler aras?nda iki ?zel t?r vard?r: dik ??genler ve ikizkenar ??genler. Bu t?r ??genler neden bu kadar ?zel? ?ncelikle, bu t?r ??genler, ?o?u zaman, ilk b?l?mdeki Birle?ik Devlet S?nav? problemlerinin ana karakterleri olarak ortaya ??k?yor. ?kincisi, dik ve ikizkenar ??genlerle ilgili problemlerin ??z?m? di?er geometri problemlerine g?re ?ok daha kolayd?r. Sadece birka? kural ve ?zelli?i bilmeniz yeterli. Dik ??genlerle ilgili en ilgin? ?eylerin hepsi burada tart???l?yor, ama ?imdi ikizkenar ??genlere bakal?m. Ve ?ncelikle ikizkenar ??gen nedir? Veya matematik?ilerin dedi?i gibi ikizkenar ??genin tan?m? nedir?

Neye benzedi?ini g?r?n:

Dik ??gen gibi ikizkenar ??genin de kenarlar? i?in ?zel isimler vard?r. ?ki e?it kenar denir taraflar ve ???nc? taraf - temel.

Ve yine resme dikkat edin:

Tabii ki ??yle olabilir:

Yani dikkatli ol: yan taraf - iki e?it kenardan biri bir ikizkenar ??gende ve temel ???nc? bir taraft?r.

?kizkenar ??gen neden bu kadar iyi? Bunu anlamak i?in tabana olan y?ksekli?i ?izelim. Y?ksekli?in ne oldu?unu hat?rl?yor musun?

Ne oldu? Bir ikizkenar ??genden iki dikd?rtgen elde ediyoruz.

Bu zaten iyidir, ancak bu herhangi bir hatta en "e?ik" ??gende bile olacakt?r.

?kizkenar ??gen i?in resim nas?l farkl?d?r? Tekrar bak:

?ncelikle, elbette, bu tuhaf matematik?ilerin sadece g?rmesi yeterli de?il, kesinlikle kan?tlamalar? gerekiyor. Aksi takdirde, bu ??genler birdenbire biraz farkl?la??r, ancak biz onlar? ayn? kabul edece?iz.

Ancak endi?elenmeyin: bu durumda kan?tlamak neredeyse g?rmek kadar kolayd?r.

Ba?layal?m m?? Yak?ndan bak?nca elimizde:

Ve bu demek ki! Neden? Evet, Pisagor teoremini basit?e bulaca??z ve ve (ayn? zamanda bunu da hat?rl?yoruz)

Emin misin? Eh, art?k elimizde

Ve ?? tarafta - ??genlerin e?itli?inin en kolay (???nc?) i?areti.

Peki, ikizkenar ??genimiz iki ?zde? dikd?rtgene b?l?nm??t?r.

Ne kadar ilgin? oldu?unu g?rd?n m?? ?u ortaya ??kt?:

Matematik?iler genellikle bunun hakk?nda nas?l konu?urlar? S?rayla gidelim:

(Burada medyan?n, kenar? ikiye b?len bir tepe noktas?ndan ?izilen bir ?izgi oldu?unu ve a??ortay?n da a?? oldu?unu unutmay?n.)

Peki, burada ikizkenar ??gen verilirse ne gibi g?zel ?eylerin g?r?lebilece?ini tart??t?k. Bir ikizkenar ??gende tabandaki a??lar?n e?it oldu?u ve tabana ?izilen y?ksekli?in, a??ortay ve kenarortan?n ?ak??t??? sonucuna vard?k.

Ve ?imdi ba?ka bir soru ortaya ??k?yor: ikizkenar ??gen nas?l tan?n?r? Yani, matematik?ilerin dedi?i gibi, ikizkenar ??genin i?aretleri?

Ve t?m ifadeleri tersine ?evirmeniz gerekti?i ortaya ??kt?. Bu elbette her zaman ger?ekle?mez, ancak ikizkenar ??gen yine de harika bir ?eydir! “Ciro”dan sonra ne olur?

Peki, bak:
Y?kseklik ve ortanca ?ak???rsa:

Y?kseklik ve a??ortay ?ak???rsa, o zaman:


A??ortay ve medyan ?ak???rsa, o zaman:

Peki, ?unu unutmay?n ve kullan?n:

• Size bir ikizkenar ??gen verilmi?se, y?ksekli?i ?izmekten, iki dik ??gen almaktan ve problemi bir dik ??genle ilgili ??zmekten ?ekinmeyin.
• E?er verilirse iki a?? e?ittir, sonra bir ??gen Kesinlikle ikizkenar ve y?ksekli?i ?izebilirsiniz ve….(Jack'in Yapt??? Ev…).
• Y?ksekli?in ikiye b?l?nd??? ortaya ??karsa, o zaman ??gen, sonraki t?m bonuslarla birlikte ikizkenard?r.
• Y?ksekli?in katlar aras?ndaki a??y? b?ld??? ortaya ??karsa, bu ayn? zamanda ikizkenard?r!
• A??ortay bir kenar? ikiye b?lerse veya kenarortay bir a??y? b?lerse bu da olur sadece ikizkenar ??gende

G?revlerde neye benzedi?ine bakal?m.

Sorun 1(en basit)

Bir ??gende kenarlar ve kenarlar e?ittir, a. Bulmak.

Biz karar veriyoruz:

?lk ?nce ?izim.

Buradaki temel nedir? Kesinlikle, .

Hadi hat?rlayal?m ya e?er, o zaman ve.

G?ncellenmi? ?izim:

ile belirtelim. Bir ??genin a??lar?n?n toplam? nedir? ?

Kullan?r?z:

bu cevap: .

Zor de?il, de?il mi? Y?ksekli?ini ayarlamama bile gerek kalmad?.

Sorun 2(Ayr?ca ?ok zor de?il ama konuyu tekrarlamam?z gerekiyor)

Bir ??gende, . Bulmak.

Biz karar veriyoruz:

??gen ikizkenard?r! Y?ksekli?i ?iziyoruz (bu, ?imdi her ?eye karar verilecek p?f noktas?d?r).

?imdi “hayat?n ?zerinden ge?elim”, sadece bakal?m.

B?ylece sahibiz:

Kosin?slerin tablo de?erlerini hat?rlayal?m (peki ya da hile sayfas?na bakal?m...)

Geriye kalan tek ?ey ?unu bulmak: .

Cevap: .

Burada oldu?umuzu unutmay?n ?ok Dik ??genler ve “tablo” sin?s ve kosin?sler hakk?nda gerekli bilgi. ?o?u zaman bu olur: "?kizkenar ??gen" konular? ve problemler bir arada gider, ancak di?er konularla pek dostane de?ildir.

?kizkenar ??gen. Ortalama seviye.

Bunlar iki e?it taraf arand? taraflar, A ???nc? kenar ikizkenar ??genin taban?d?r.

Resme bak?n: ve - kenarlar, - ikizkenar ??genin taban?.

Bunun neden oldu?unu anlamak i?in bir resim kullanal?m. Bir noktadan y?kseklik ?izelim.

Bu, kar??l?k gelen t?m elemanlar?n e?it oldu?u anlam?na gelir.

T?m! Tek bir hamlede (y?kseklik) t?m ifadeleri ayn? anda kan?tlad?lar.

Ve unutmay?n: Bir ikizkenar ??genle ilgili bir problemi ??zmek i?in, ikizkenar ??genin taban?n?n y?ksekli?ini d???rmek ve onu iki e?it dik ??gene b?lmek genellikle ?ok faydal?d?r.

?kizkenar ??genin i?aretleri

Bunun tersi ifadeler de do?rudur:

Bu ifadelerin neredeyse tamam? "bir ??rp?da" tekrar kan?tlanabilir.

1. Yani, e?it oldu?u ortaya ??kt? ve.

Y?ksekli?ini kontrol edelim. Daha sonra

2. a) ?imdi bir ??geni i?eri alal?m y?kseklik ve a??ortay ?ak???yor.

2. b) Ve e?er y?kseklik ve ortanca ?ak???yorsa? Her ?ey neredeyse ayn?, art?k karma??k de?il!

- iki tarafta

2.c) Ancak y?kseklik yoksa bir ikizkenar ??genin taban?na indirilirse, ba?lang??ta dik ??gen yoktur. K?t?!

Ancak bir ??k?? yolu var - bunu teorinin bir sonraki d?zeyinde okuyun, ??nk? buradaki kan?t daha karma??kt?r, ancak ?imdilik ?unu unutmay?n, e?er medyan ve a??ortay ?ak???rsa, o zaman ??gen de ikizkenar olur ve y?kseklik yine de bu a??ortay ve ortanca ile ?ak??acakt?r.

?zetleyelim:

1. ??gen ikizkenar ise, tabandaki a??lar e?ittir ve tabana ?izilen y?kseklik, a??ortay ve kenarortay ?ak???r.
2. Bir ??gende iki e?it a?? varsa veya ?? ?izgiden ikisi (ortay, ortanca, y?kseklik) ?ak???yorsa, o zaman b?yle bir ??gen ikizkenard?r.

?kizkenar ??gen. K?sa a??klama ve temel form?ller

?kizkenar ??gen, iki e?it kenar? olan bir ??gendir.

?kizkenar ??genin i?aretleri:

1. Belirli bir ??gende iki a?? e?itse, o zaman ikizkenard?r.
2. E?er bir ??gende ?ak???yorlarsa:
   A) y?kseklik ve a??ortay veya
   B) y?kseklik ve ortanca veya
   V) ortanca ve a??ortay,
   bir tarafa ?izilirse, b?yle bir ??gen ikizkenard?r.

Medeniyetimizin ilk tarih?ileri, eski Yunanl?lar, geometrinin do?du?u yer olarak M?s?r'dan bahsederler. Firavunlar?n dev mezarlar?n?n ne kadar ?a??rt?c? bir hassasiyetle dikildi?ini bilerek onlarla ayn? fikirde olmamak zordur. Piramitlerin d?zlemlerinin g?receli d?zeni, oranlar?, ana noktalara y?nelimi - geometrinin temellerini bilmeden b?yle bir m?kemmelli?e ula?mak d???n?lemezdi.

"Geometri" kelimesinin kendisi "d?nyan?n ?l??m?" olarak ?evrilebilir. ?stelik “D?nya” kelimesi g?ne? sisteminin bir par?as? olan bir gezegen olarak de?il, bir u?ak olarak kar??m?za ??k?yor. Tar?m alanlar?n? i?aretlemek b?y?k olas?l?kla geometrik ?ekiller, t?rleri ve ?zellikleri biliminin orijinal temelidir.

Bir ??gen, yaln?zca ?? nokta i?eren (k??eler) en basit uzaysal planimetri ?eklidir (daha az? yoktur). Temellerin temeli, belki de bu y?zden onun i?inde gizemli ve kadim bir ?eyler var gibi g?r?n?yor. Bir ??genin i?indeki her ?eyi g?ren g?z, bilinen en eski ok?lt i?aretlerden biridir ve da??l?m?n?n co?rafyas? ve zaman ?er?evesi tek kelimeyle ?a??rt?c?d?r. Eski M?s?r, S?mer, Aztek ve di?er uygarl?klardan d?nyan?n d?rt bir yan?na da??lm?? daha modern ok?lt a??k topluluklar?na kadar.

??genler nedir?

S?radan bir ?e?itkenar ??gen, hi?biri do?ru olmayan, farkl? uzunluklarda ve ?? a??dan olu?an ?? par?adan olu?an kapal? bir geometrik ?ekildir. Bunun yan? s?ra pek ?ok ?zel t?r? de bulunmaktad?r.

Dar ??genin t?m a??lar? 90 dereceden k???kt?r. Ba?ka bir deyi?le b?yle bir ??genin t?m a??lar? dard?r.

Teoremlerin ?oklu?u nedeniyle okul ?ocuklar?n?n her zaman ?zerinde a?lad?klar? dik ??genin bir a??s? 90 derecedir veya ayn? zamanda d?z bir ?izgi olarak da adland?r?l?r.

Geni? bir ??gen, a??lar?ndan birinin geni? olmas?, yani boyutunun 90 dereceden fazla olmas?yla ay?rt edilir.

E?kenar ??genin e?it uzunlukta ?? kenar? vard?r. B?yle bir ?ekilde t?m a??lar da e?ittir.

Ve son olarak, bir ikizkenar ??genin ikisi birbirine e?it olan ?? kenar? vard?r.

Ay?rt edici ?zellikleri

?kizkenar ??genin ?zellikleri ayn? zamanda onun ana, temel fark?n? da belirler - iki taraf?n?n e?itli?i. Bu e?it kenarlara genellikle kal?alar (veya daha s?kl?kla yanlar) denir ve ???nc? tarafa "taban" denir.

S?z konusu ?ekilde a = b.

?kizkenar ??gen i?in ikinci kriter sin?s teoreminden gelir. a ve b kenarlar? e?it oldu?undan, kar??t a??lar?n?n sin?sleri e?ittir:

a/sin g = b/sin a, dolay?s?yla ?unu elde ederiz: sin g = sin a.

Sin?slerin e?itli?inden a??lar?n e?itli?i ??kar: g = a.

Yani ikizkenar ??genin ikinci i?areti tabana biti?ik iki a??n?n e?itli?idir.

???nc? i?aret. Bir ??gende y?kseklik, a??ortay ve kenarortay gibi unsurlar bulunur.

Sorunu ??zme s?recinde, s?z konusu ??gende bu unsurlardan herhangi ikisinin ?ak??t??? ortaya ??karsa: a??ortay ile y?kseklik; medyanl? a??ortay; y?ksekli?i olan ortanca - kesinlikle ??genin ikizkenar oldu?u sonucuna varabiliriz.

Bir ?eklin geometrik ?zellikleri

1. ?kizkenar ??genin ?zellikleri. ?eklin ay?rt edici ?zelliklerinden biri tabana biti?ik a??lar?n e?itli?idir:

<ВАС = <ВСА.

2. Yukar?da bir ?zellik daha tart???lm??t?: Bir ikizkenar ??gendeki kenarortay, ortaorta ve y?kseklik, e?er tepe noktas?ndan tabana kadar in?a edilmi?lerse ?ak???r.

3. Tabandaki k??elerden ?izilen a??ortaylar?n e?itli?i:

E?er AE, BAC a??s?n?n a??ortay? ise ve CD, BCA a??s?n?n a??ortay? ise: AE = DC.

4. ?kizkenar ??genin ?zellikleri ayn? zamanda tabandaki k??elerden ?izilen y?ksekliklerin e?itli?ini de sa?lar.

ABC ??geninin (AB = BC) y?ksekliklerini A ve C k??elerinden olu?turursak, elde edilen CD ve AE par?alar? e?it olacakt?r.

5. Tabandaki k??elerden ?izilen kenarortaylar da e?it olacakt?r.

Yani, e?er AE ve DC medyan ise, yani AD = DB ve BE = EC ise AE = DC olur.

Bir ikizkenar ??genin y?ksekli?i

Kenarlar?n ve a??lar?n bunlarla e?itli?i, s?z konusu ?eklin elemanlar?n?n uzunluklar?n?n hesaplanmas?na baz? ?zellikler katar.

Bir ikizkenar ??genin y?ksekli?i, ?ekli hipoten?sleri yanlarda olan 2 simetrik dik ??gene b?ler. Bu durumda y?kseklik Pisagor teoremine g?re bacak olarak belirlenir.

Bir ??genin ?? taraf? da e?it olabilir, bu durumda buna e?kenar denir. E?kenar ??genin y?ksekli?i de benzer ?ekilde belirlenir, yaln?zca hesaplamalar i?in yaln?zca bir de?eri bilmek yeterlidir - bu ??genin kenar?n?n uzunlu?u.

Y?ksekli?i ba?ka bir ?ekilde, ?rne?in taban? ve ona biti?ik a??y? bilerek belirleyebilirsiniz.

Bir ikizkenar ??genin medyan?

S?z konusu ??genin t?r?, geometrik ?zellikleri nedeniyle, minimum miktarda ba?lang?? verisi kullan?larak olduk?a basit bir ?ekilde ??z?lebilir. Bir ikizkenar ??gendeki medyan hem y?ksekli?ine hem de a??ortay?na e?it oldu?undan, bunu belirleme algoritmas? bu elemanlar? hesaplama prosed?r?nden farkl? de?ildir.

?rne?in, medyan?n uzunlu?unu bilinen yan kenar ve tepe a??s?n?n b?y?kl??? ile belirleyebilirsiniz.

?evre nas?l belirlenir

S?z konusu planimetrik ?eklin iki taraf? her zaman e?it oldu?undan, ?evreyi belirlemek i?in taban?n uzunlu?unu ve kenarlardan birinin uzunlu?unu bilmek yeterlidir.

Bilinen bir taban ve y?kseklik kullanarak bir ??genin ?evresini belirlemeniz gerekti?inde bir ?rnek d???nelim.

?evre taban?n toplam?na ve kenar uzunlu?unun iki kat?na e?ittir. Yan taraf ise Pisagor teoremi kullan?larak bir dik ??genin hipoten?s? olarak tan?mlan?r. Uzunlu?u, y?ksekli?in karesi ile taban?n yar?s?n?n karesinin toplam?n?n karek?k?ne e?ittir.

?kizkenar ??genin alan?

Kural olarak, ikizkenar ??genin alan?n?n hesaplanmas? zorlu?a neden olmaz. Bir ??genin alan?n? taban?n ?arp?m?n?n yar?s? ve y?ksekli?i olarak belirlemek i?in evrensel kural elbette bizim durumumuzda ge?erlidir. Ancak ikizkenar ??genin ?zellikleri yine i?i kolayla?t?r?r.

Tabana biti?ik y?ksekli?in ve a??n?n bilindi?ini varsayal?m. ?eklin alan?n? belirlemek gerekir. Bu ?u ?ekilde yap?labilir.

Herhangi bir ??genin a??lar?n?n toplam? 180° oldu?undan a??n?n boyutunu belirlemek zor de?ildir. Daha sonra sin?s teoremine g?re derlenen oran kullan?larak ??genin taban?n?n uzunlu?u belirlenir. Taban ve y?kseklik gibi her ?ey - alan? belirlemek i?in yeterli veri - mevcuttur.

?kizkenar ??genin di?er ?zellikleri

Bir ikizkenar ??genin ?evreledi?i dairenin merkezinin konumu, k??e a??s?n?n b?y?kl???ne ba?l?d?r. Yani, e?er bir ikizkenar ??gen dar a??l? ise dairenin merkezi ?eklin i?inde yer al?r.

Geni? bir ikizkenar ??genin ?evreledi?i dairenin merkezi onun d???nda yer al?r. Ve son olarak, tepe noktas?ndaki a?? 90° ise merkez, taban?n tam ortas?nda yer al?r ve dairenin ?ap? taban?n i?inden ge?er.

Bir ikizkenar ??genin ?evreledi?i dairenin yar??ap?n? belirlemek i?in kenar uzunlu?unu tepe a??s?n?n yar?s?n?n kosin?s?n?n iki kat?na b?lmek yeterlidir.

Bu ders “?kizkenar ??gen ve ?zellikleri” konusunu ele alacakt?r. ?kizkenar ve e?kenar ??genlerin neye benzedi?ini ve nas?l tan?mland?klar?n? ??reneceksiniz. ?kizkenar ??genin taban?ndaki a??lar?n e?itli?i teoremini kan?tlay?n. Ayr?ca ikizkenar ??genin taban?na ?izilen a??ortay (medyan ve y?kseklik) ile ilgili teoremi de d???n?n. Dersin sonunda ikizkenar ??genin tan?m?n? ve ?zelliklerini kullanarak iki problemi ??zeceksiniz.

Tan?m:?kizkenar iki kenar? e?it olan ??gene denir.

Pirin?. 1. ?kizkenar ??gen

AB = AC - taraflar. BC - temel.

Bir ikizkenar ??genin alan?, taban ve y?ksekli?inin ?arp?m?n?n yar?s?na e?ittir.

Tan?m:E?kenar?? taraf? da birbirine e?it olan ??gene denir.

Pirin?. 2. E?kenar ??gen

AB = BC = SA.

Teorem 1:?kizkenar ??gende taban a??lar? e?ittir.

Verilen: AB = AC.

Kan?tlamak:?B =?C.

Pirin?. 3. Teorem i?in ?izim

Kan?t: ABC ??geni = Birinci i?arete g?re ACB ??geni (iki e?it kenar ve aralar?ndaki a??). ??genlerin e?itli?inden kar??l?k gelen t?m elemanlar?n e?it oldu?u sonucu ??kar. Bu, ?B = ?C anlam?na gelir ve bunun kan?tlanmas? gerekir.

Teorem 2: Bir ikizkenar ??gende a??ortay tabana ?izilmi? medyan Ve y?kseklik.

Verilen: AB = AC, ?1 = ?2.

Kan?tlamak:ВD = DC, AD BC'ye dik.

Pirin?. 4. Teorem 2'nin ?izimi

Kan?t: ADB ??geni = ilk i?arete g?re ADC ??geni (AD - genel, AB = ko?ula g?re AC, ?BAD = ?DAC). ??genlerin e?itli?inden kar??l?k gelen t?m elemanlar?n e?it oldu?u sonucu ??kar. BD = DC, ??nk? e?it a??larla kar??l?kl?d?rlar. Yani AD medyand?r. Ayr?ca ?3 = ?4 ??nk? kar??l?kl? e?it kenarlarda yer al?yorlar. Ama ayr?ca toplamda e?ittirler. Bu nedenle, ?3 = ?4 = . Bu, AD'nin ??genin y?ksekli?i oldu?u anlam?na gelir ki bunu kan?tlamam?z gerekiyordu.

Tek durumda a = b = . Bu durumda AC ve BD ?izgilerine dik denir.

A??ortay, y?kseklik ve ortanca ayn? segment oldu?undan a?a??daki ifadeler de do?rudur:

Tabana ?izilen ikizkenar ??genin y?ksekli?i medyan ve a??ortayd?r.

Tabana ?izilen bir ikizkenar ??genin ortancas? y?kseklik ve a??ortayd?r.

?rnek 1: Bir ikizkenar ??gende taban kenar?n yar?s? kadard?r ve ?evresi 50 cm'dir.

Verilen: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Bulmak: BC, AC, AB.

??z?m:

Pirin?. 5. ?rne?in ?izim 1

BC taban?n? a olarak g?sterelim, o zaman AB = AC = 2a olur.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Cevap: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

?rnek 2: E?kenar ??gende t?m a??lar?n e?it oldu?unu kan?tlay?n.

Verilen: AB = BC = SA.

Kan?tlamak:?A = ?B = ?C.

Kan?t:

Pirin?. 6. ?rne?in ?izim

AB = AC oldu?undan ?B = ?C ve AC = BC oldu?undan ?A = ?B.

Bu nedenle ?A = ?B = ?C, bunun kan?tlanmas? gerekiyordu.

Cevap: Kan?tlanm??.

Bug?nk? dersimizde ikizkenar ??gene bakt?k ve onun temel ?zelliklerini inceledik. Bir sonraki derste ikizkenar ??genler konusundaki, ikizkenar ve e?kenar ??genin alan?n?n hesaplanmas?yla ilgili problemleri ??zece?iz.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. ve di?erleri Geometri 7. - M .: E?itim.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. ve di?erleri Geometri 7. 5. bask?. - M.: Ayd?nlanma.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometri 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: E?itim, 2010.

1. Akademisyen () ile ilgili s?zl?kler ve ansiklopediler.
2. Pedagojik fikirler festivali “A??k Ders” ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. No. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometri 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: E?itim, 2010.

2. Bir ikizkenar ??genin ?evresi 35 cm'dir ve taban? kenardan ?? kat daha k???kt?r. ??genin kenarlar?n? bulun.

3. Verilen: AB = BC. ?1 = ?2 oldu?unu kan?tlay?n.

4. ?kizkenar ??genin ?evresi 20 cm olup, bir kenar? di?erinin iki kat?d?r. ??genin kenarlar?n? bulun. Sorunun ka? ??z?m? var?

?dev kontrol ediliyor

№ 111.

Verilen: CD = BD , 1 = 2

Kan?t: A B C - ikizkenar

№ 107.

taraf A C AB'den 2 kat daha azd?r

P = 50cm,

P = 50 cm

x + 2x + 2x = 50

x = 10

2 X

2 X

AC = 10cm,

AB = BC = 20 cm

Hangi ??genler ikizkenard?r? ?kizkenar ??genlerin taban?n? ve kenarlar?n? adland?r?n.

Verilen: AD - a??ortay ? BAC, BAC = 74 0. Bulunan: BA D. (?ek. 1)

Verilen: KL – y?kseklik ? KMN. Bul: KLN. (?ncir. 2)

Verilen: QS - medyan ? PQR, PS = 5,3 cm. Bul: PR. (?ek. 3)

• Verilen: ? ABC, AC tabanl? ikizkenard?r, VC bir a??ortayd?r, AC = 46 cm. Bul: AK. (?ek.4)
• Verilen: ? ABC, taban? AC, VC y?ksekli?i ve ABC = 46 0 olan ikizkenard?r. Bul: AVK. (?ekil 5)
• Verilen: ? C BD ikizkenarlar?, B C taban?, DA medyan?, BDC = 120 0. Bul: ADB. (?ek.6)

7. s?n?f

?kizkenar ??genin ?zellikleri

?? yol bilgiye g?t?r?r:

D???nme yolu en asil yoldur,

Taklit yolu en kolay yoldur,

Ve tecr?be yolu en ac? yoldur.

Konf??y?s.

?kizkenar ??gende taban a??lar? e?ittir.

Verilen: ABC ikizkenarlar?

Kan?tlamak:

Kan?t:

1. B a??s?n?n BD a??ortay?n? ?izelim.

2. ? AB D ve ? CBD'yi d???n?n:

AB = BC (ko?ula g?re),

D – ortak tarafta,

? Bir BD = ? C BD

? АВD = ?CBD (??genlerin e?itli?inin 1 i?aretine g?re)

3. E?it ??genlerde kar??l?k gelen a??lar ? A= ? C'dir.

Bir ikizkenar ??gende tabana ?izilen a??ortay kenarortay ve y?ksekliktir.

Verilen: ABC ikizkenarlar?,

A D - a??ortay .

Kan?tlamak: A D - y?kseklik,

A D – medyan.

Kan?t:

1) ?unu da g?z ?n?nde bulundurun:

? K?T? = ?CAD (??genlerin e?itli?i i?in 1 kritere dayal?).

2) E?it ??genlerde kar??l?k gelen kenarlar ve a??lar e?ittir

1 = 2 = 90° (kom?u a??lar).

Bu nedenle AD ortancad?r ve y?kseklik ? ABC'dir.

Problem ??zme.

Savrasova S.M., Yastrebinetsky G.A. “Bitmi? ?izimler ?zerinde planimetri ?al??malar?”

110

70

70

Problem ??zme.

Verilen: AB = B C, 1=130 0.

L. S. Atanasyan. "Geometri 7-9" No. 112.

Problem ??zme.

Bul: AB D.

??gen

ABC - ikizkenar

D – medyan

Bu, B D'nin bir a??ortay oldu?u anlam?na gelir

40 0

40 0

SANT?METRE. Savrasova, G.A. Yastrebinetsky “Haz?r ?izimler ?zerinde al??t?rmalar”

Ev ?devi:

• paragraf 19 (s. 35 – 36), No. 109, 112, 118.

Bir ikizkenar ??genin ?zellikleri a?a??daki teoremlerle ifade edilir.

Teorem 1. Bir ikizkenar ??gende tabandaki a??lar e?ittir.

Teorem 2. Bir ikizkenar ??gende tabana ?izilen a??ortay kenarortay ve y?ksekliktir.

Teorem 3. Bir ikizkenar ??gende tabana ?izilen kenarortay a??ortay ve y?ksekliktir.

Teorem 4. Bir ikizkenar ??gende tabana ?izilen y?kseklik a??ortay ve kenarortayd?r.

Bunlardan birini kan?tlayal?m, ?rne?in Teorem 2.5.

Kan?t. Taban? BC olan bir ABC ikizkenar ??genini ele alal?m ve ? B = ? C oldu?unu kan?tlayal?m. AD, ABC ??geninin ortaortay? olsun (?ekil 1). ABD ve ACD ??genleri, ??genlerin e?itli?inin ilk i?aretine g?re e?ittir (ko?ula g?re AB = AC, AD ortak bir kenard?r, ? 1 = ? 2, ??nk? AD bir a??ortayd?r). Bu ??genlerin e?itli?inden ? B = ? C sonucu ??kar. Teorem kan?tlanm??t?r.

Teorem 1 kullan?larak a?a??daki teorem olu?turulmu?tur.

Teorem 5. ??genlerin e?itli?i i?in ???nc? kriter. Bir ??genin ?? kenar? s?ras?yla ba?ka bir ??genin ?? kenar?na e?itse, bu ??genler e?tir (?ekil 2).

Yorum. ?rnek 1 ve 2'de kurulan c?mleler, bir par?an?n dik a??ortay?n?n ?zelliklerini ifade etmektedir. Bu tekliflerden ?u sonu? ??k?yor Bir ??genin kenarlar?na dik olan a??ortaylar bir noktada kesi?ir.

?rnek 1. D?zlemde bir do?ru par?as?n?n u?lar?ndan e?it uzakl?ktaki bir noktan?n bu par?aya dik a??ortay ?zerinde bulundu?unu kan?tlay?n.

??z?m. M noktas?n?n AB par?as?n?n u?lar?ndan e?it uzakl?kta olmas?na izin verin (?ekil 3), yani AM = BM.

O zaman D AMV ikizkenard?r. AB do?ru par?as?n?n M noktas?ndan ve O orta noktas?ndan ge?en bir p d?z ?izgisi ?izelim. Yap? gere?i, MO segmenti, AMB ikizkenar ??geninin ortancas?d?r ve bu nedenle (Teorem 3) ve y?kseklik, yani MO d?z ?izgisi, AB segmentine dik a??ortayd?r.

?rnek 2. Bir do?ru par?as?na dik a??ortay?n her noktas?n?n u?lar?ndan e?it uzakl?kta oldu?unu kan?tlay?n.

??z?m. p'nin AB par?as?na dik a??ortay ve O noktas? AB par?as?n?n orta noktas? olsun (bkz. ?ekil 3).

p d?z ?izgisi ?zerinde keyfi bir M noktas? d???n?n. AM ve BM do?ru par?alar?n? ?izelim. AOM ve BOM ??genleri e?ittir, ??nk? O k??esindeki a??lar? diktir, OM kenar? ortakt?r ve OA kenar? ko?ula g?re OB baca??na e?ittir. AOM ve BOM ??genlerinin e?itli?inden AM = BM sonucu ??kar.

?rnek 3. ABC ??geninde (bkz. ?ekil 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; ??gende DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

ABC ve DEF ??genlerini kar??la?t?r?n. Kar??l?k gelen e?it a??lar? bulun.

??z?m. Bu ??genler ???nc? kritere g?re e?ittir. Buna uygun olarak, e?it a??lar: A ve E (e?it BC ve FD kenarlar?n?n kar??s?nda bulunur), B ve F (e?it AC ve DE kenarlar?n?n kar??s?nda bulunur), C ve D (e?it AB ve EF kenarlar?n?n kar??s?nda bulunur).

?rnek 4.?ekil 5'te AB = DC, BC = AD, ?B = 100°.

D a??s?n? bulun.

??z?m. ABC ve ADC ??genlerini d???n?n. ???nc? kritere g?re e?ittirler (Ko?ula g?re AB = DC, BC = AD ve AC taraf? ortakt?r). Bu ??genlerin e?itli?inden ? B = ? D sonucu ??kar, ancak B a??s? 100°'ye e?ittir, bu da D a??s?n?n 100°'ye e?it oldu?u anlam?na gelir.

?rnek 5. Taban? AC olan ABC ikizkenar ??geninin C k??esindeki d?? a??s? 123°'dir. ABC a??s?n?n ?l??s?n? bulunuz. Cevab?n?z? derece cinsinden verin.

Videolu ??z?m.