G?R???

Cebir okul dersindeki denklemler ?nde gelen bir yer tutar. Okul matematik dersinin di?er herhangi bir konusuna g?re ?al??malar?na daha fazla zaman ayr?l?r. Denklemler teorisinin g?c?, sadece do?a yasalar?n?n bilgisi i?in teorik ?neme sahip olmas? de?il, ayn? zamanda belirli pratik ama?lara hizmet etmesidir. Ger?ek d?nyan?n uzamsal bi?imleri ve nicel ili?kileriyle ilgili ?o?u problem, ?e?itli denklem t?rlerini ??zmeye indirgenir. ?nsanlar, bunlar? ??zmenin yollar?na hakim olarak, bilim ve teknolojiden (ula??m, tar?m, sanayi, ileti?im vb.) ?e?itli sorulara cevaplar bulurlar. Ayr?ca, denklem ??zme yetene?inin olu?umu i?in, ??rencinin denklem ??zmeyi ??renmede ba??ms?z ?al??mas? b?y?k ?nem ta??maktad?r. Herhangi bir konuyu incelerken, denklemler, ??rencilerin yarat?c? matematiksel etkinliklerinin geli?tirilmesi i?in teorik bilgileri peki?tirmek, derinle?tirmek, tekrarlamak ve geni?letmek i?in etkili bir ara? olarak kullan?labilir.

Modern d?nyada denklemler, matemati?in ?e?itli dallar?nda, ?nemli uygulamal? problemlerin ??z?m?nde yayg?n olarak kullan?lmaktad?r. Bu konu, b?y?k bir sunum derinli?i ve ??renmedeki yard?m? ile kurulan ba?lant?lar?n zenginli?i, sunumun mant?ksal ge?erlili?i ile karakterizedir. Bu nedenle, denklemler sat?r?nda istisnai bir konuma sahiptir. ??renciler, olduk?a b?y?k bir cebirsel ve genel matematiksel kavram, kavram ve beceri sto?una sahip olarak, zaten biraz deneyim kazanm?? olarak "Kare ?? terimli" konusunu incelemeye ba?larlar. B?y?k ?l??de, bu konunun materyali ?zerinde, denklemlerle ilgili materyali sentezlemek, tarihselcilik ve eri?ilebilirlik ilkelerini uygulamak gereklidir.

alaka Konu, tarihselcilik ilkelerini uygulama ihtiyac? ve bunun "?kinci dereceden denklemlerin ??z?m?" konusunda uygulanmas? i?in malzeme eksikli?idir.

Ara?t?rma problemi: ikinci dereceden denklemleri ??zmeyi ??renmek i?in tarihsel materyalin belirlenmesi.

Ama?: matematik derslerinde ikinci dereceden denklemler ?zerinde ?al??ma hakk?nda fikirlerin olu?umu, "?kinci dereceden denklemler" konusunda tarihselcilik unsurlar? ile bir dizi ders se?imi.

?al??man?n amac?: tarihselcilik unsurlar?n? kullanarak 8. s?n?fta ikinci dereceden denklemleri ??zme.

?al??ma konusu: ikinci dereceden denklemler ve tarihsel materyalleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri ??zmeyi ??renme ?zerine derslerin geli?tirilmesi.

G?revler:

ara?t?rma problemi hakk?nda bilimsel ve metodolojik literat?r?n analizini yapmak;

okul ders kitaplar?n? analiz edin ve ikinci dereceden denklemleri ??zmeyi ??renmenin yerini vurgulay?n;

tarihsel materyalleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri ??zme konusunda bir dizi ders al?n.

Ara?t?rma Y?ntemleri:

"?kinci dereceden denklemlerin ??z?m?" konulu literat?r?n analizi;

"?kinci dereceden denklemleri ??zme" konusunda bir ders s?ras?nda ??rencilerin g?zlemlenmesi;

malzeme se?imi: tarihsel referans kullanarak "?kinci dereceden denklemleri ??zme" konulu dersler.

§ 1. ?kinci dereceden denklemlerin ortaya ??k?? tarihinden

Cebir, denklemleri kullanarak ?e?itli problemlerin ??z?m? ile ba?lant?l? olarak ortaya ??kt?. Genellikle problemlerde, istenen ve verilen miktarlar ?zerinde ger?ekle?tirilen baz? eylemlerin sonu?lar?n? bilirken bir veya birka? bilinmeyeni bulmak gerekir. Bu t?r problemler, bir veya birka? denklem sistemini ??zmeye, verilen miktarlar ?zerinde cebirsel i?lemler yard?m?yla istenenleri bulmaya indirgenir. Cebir, nicelikler ?zerindeki eylemlerin genel ?zelliklerini inceler.

Do?rusal ve ikinci dereceden denklemleri ??zmek i?in baz? cebirsel teknikler, 4000 y?l ?nce Eski Babil'de biliniyordu.

Eski Babil'de ?kinci Dereceden Denklemler

Eski zamanlarda sadece birinci de?il, ayn? zamanda ikinci dereceden denklemleri ??zme ihtiyac?, askeri nitelikteki arazi ve toprak i?lerinin yan? s?ra astronomi ve bilimin geli?mesiyle ilgili sorunlar? ??zme ihtiyac?ndan kaynakland?. matemati?in kendisi. Babilliler, M? 2000 civar?nda ikinci dereceden denklemleri nas?l ??zeceklerini biliyorlard?. Modern cebirsel g?sterimi uygulayarak, ?ivi yaz?s? metinlerinde eksik olanlara ek olarak, ?rne?in tam ikinci dereceden denklemler oldu?unu s?yleyebiliriz:

Babil metinlerinde ge?en bu denklemleri ??zme kural?, esasen modern olanla ?rt??mektedir, ancak Babillilerin bu kurala nas?l geldikleri bilinmemektedir. ?imdiye kadar bulunan hemen hemen t?m ?iviyaz?l? metinler, nas?l bulunduklar?na dair hi?bir belirti olmaks?z?n, yaln?zca tarifler ?eklinde belirtilen ??z?mlerle ilgili sorunlar? verir. Babil'de cebirin y?ksek d?zeyde geli?mesine ra?men, ?ivi yaz?l? metinler negatif say? kavram?ndan ve ikinci dereceden denklemleri ??zmek i?in genel y?ntemlerden yoksundur.

Diophantus' Aritmeti?i, cebirin sistematik bir a??klamas?n? i?ermez, ancak a??klamalar?n e?lik etti?i ve ?e?itli derecelerde denklemler form?le ederek ??z?len sistematik bir dizi problem i?erir.

Diophantus denklemleri derlerken ??z?m? basitle?tirmek i?in bilinmeyenleri ustaca se?er.

Burada, ?rne?in, g?revlerinden biri.

G?rev 2. "Toplamlar?n?n 20 ve ?arp?mlar?n?n 96 oldu?unu bilerek iki say? bulun."

Diophantus ??yle tart???r: Problemin ko?ulundan, istenen say?lar?n e?it olmad??? sonucu ??kar, ??nk? e?er e?it olsayd?, ?arp?mlar? 96'ya de?il, 100'e e?it olurdu. B?ylece, bunlardan biri daha fazla olacakt?r. toplamlar?n?n yar?s?, yani.
. Di?eri daha k???kt?r, yani.
. Aralar?ndaki fark
. Dolay?s?yla denklem:

Buradan
. ?stenen say?lardan biri 12, di?eri 8'dir. ??z?m
Diophantus diye bir ?ey yoktur, ??nk? Yunan matemati?i yaln?zca pozitif say?lar? biliyordu.

Bu problemi bilinmeyen say?lardan birini bilinmeyen olarak se?erek ??zersek, denklemin ??z?m?ne gelebiliriz:

Diophantus'un bilinmeyen olarak istenen say?lar?n yar? fark?n? se?erek ??z?m? basitle?tirdi?i a??kt?r; sorunu, tamamlanmam?? bir ikinci dereceden denklemi ??zmeye indirgemeyi ba?ar?r.

Hindistan'da ikinci dereceden denklemler

?kinci dereceden denklemler i?in problemler, Hintli matematik?i ve astronom Aryabhatta taraf?ndan 499'da derlenen astronomik tez Aryabhattam'da zaten bulunur. Ba?ka bir Hintli bilim adam?, Brahmagupta (7. y?zy?l), tek bir kanonik forma indirgenmi? ikinci dereceden denklemleri ??zmek i?in genel kural? ?zetledi:

(1)

(1) numaral? denklemde katsay?lar negatif olabilir. Brahmagupta'n?n kural? esasen bizimkiyle ?rt???r.

Hindistan'da zor sorunlar? ??zmede halka a??k yar??malar yayg?nd?. Eski Hint kitaplar?ndan birinde, bu t?r yar??malar hakk?nda ??yle s?ylenir: "G?ne?, parlakl???yla y?ld?zlar? g?lgede b?rak?yorsa, bilgili bir ki?i de halka a??k toplant?larda, cebirsel problemleri ?nererek ve ??zerek g?rkemi g?lgede b?rakacakt?r." G?revler genellikle ?iirsel bir bi?imde giyinirdi.

??te XII.Y?zy?l?n ?nl? Hintli matematik?isinin sorunlar?ndan biri. Bhaskara.

Bhaskara'n?n ??z?m?, yazar?n ikinci dereceden denklemlerin k?klerinin iki de?erli oldu?unun fark?nda oldu?unu g?sterir.

3. probleme kar??l?k gelen denklem:

Bhaskara kisvesi alt?nda yaz?yor:

ve bu denklemin sol taraf?n? kareye tamamlamak i?in her iki tarafa da 322 ekler ve ?u sonucu al?r:

El-Harezmi'nin ?kinci Dereceden Denklemleri

El-Khwarizmi'nin cebirsel incelemesi, do?rusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir s?n?fland?rmas?n? verir. Yazar, bunlar? a?a??daki gibi ifade eden 6 t?r denklemi listeler:

Negatif say?lar? kullanmaktan ka??nan El-Harezmi i?in, bu denklemlerin her birinin terimleri ??karma de?il toplamad?r. Bu durumda, pozitif ??z?m? olmayan denklemler a??k?a dikkate al?nmaz. Yazar, el-cebr ve el-mukabele tekniklerini kullanarak bu denklemleri ??zme y?ntemlerini ?zetlemektedir. Onun karar? elbette bizimkiyle tamamen ?rt??m?yor. Tamamen retorik oldu?u ger?e?inden bahsetmiyorum bile, ?rne?in, birinci t?rden tamamlanmam?? ikinci dereceden bir denklemi ??zerken, 17. y?zy?ldan ?nceki t?m matematik?iler gibi El-Harezmi'nin s?f?r? hesaba katmad??? belirtilmelidir. ??z?m, muhtemelen belirli pratik g?revlerde ?nemli olmad??? i?in. El-Harezmi, ikinci dereceden tam denklemleri ??zerken, belirli say?sal ?rnekleri ve ard?ndan geometrik kan?tlar?n? kullanarak bunlar? ??zmenin kurallar?n? belirler.

Bir ?rnek alal?m.

Problem 4. “Kare ve 21 say?s? 10 k?ke e?ittir. K?k? bulun "(denklemin k?k? anlam?na gelir)
).

??z?m: K?k say?s?n? ikiye b?l?n, 5 elde edin, 5'i kendisiyle ?arp?n, ?r?nden 21 ??kar?n, 4 kal?r 4'?n k?k?n? al?n, 2 elde edin 5'ten 2 ??kar?n, 3 elde edin, bu olacak istenilen k?k Veya 2'ye 5 ekleyin, bu da 7 verecek, bu da bir k?k.

El-Harezmi'nin incelemesi, ikinci dereceden denklemlerin s?n?fland?r?lmas?n?n sistematik olarak sunuldu?u ve ??z?m form?llerinin verildi?i bize ula?an ilk kitapt?r.

Avrupa'da ikinci dereceden denklemlerXII- XVIIi?inde.

Avrupa'daki El-Harezmi modeli ?zerinde ikinci dereceden denklemleri ??zme bi?imleri ilk olarak 1202'de yaz?lan "Abak?s Kitab?"nda tan?mlanm??t?r. ?talyan matematik?i Leonard Fibonacci. Yazar ba??ms?z olarak baz? yeni cebirsel problem ??zme ?rnekleri geli?tirdi ve Avrupa'da negatif say?lar?n kullan?m?na ilk yakla?an ki?i oldu.

Bu kitap cebirsel bilginin sadece ?talya'da de?il, ayn? zamanda Almanya, Fransa ve di?er Avrupa ?lkelerinde de yay?lmas?na katk?da bulunmu?tur. Bu kitaptaki bir?ok g?rev, 14-17. y?zy?llar?n neredeyse t?m Avrupa ders kitaplar?na aktar?ld?. Tek bir kanonik forma indirgenmi? ikinci dereceden denklemleri ??zmek i?in genel kural
t?m olas? i?aret ve katsay? kombinasyonlar? ile b, c, Avrupa'da 1544'te M. Stiefel taraf?ndan form?le edilmi?tir.

Vieta, ikinci dereceden bir denklemi ??zmek i?in form?l?n genel bir t?revine sahiptir, ancak Vieta yaln?zca pozitif k?kleri tan?d?. ?talyan matematik?iler Tartaglia, Cardano, Bombelli, 16. y?zy?lda ilk olanlar aras?ndayd?. pozitif ve negatif k?klere ek olarak dikkate al?n. Sadece XVII y?zy?lda. Girard, Descartes, Newton ve di?er bilim adamlar?n?n ?al??malar? sayesinde ikinci dereceden denklemleri ??zme y?ntemi modern bir bi?im al?r.

Pratik problemleri ??zmek i?in cebirsel y?ntemlerin k?kenleri, antik d?nyan?n bilimi ile ba?lant?l?d?r. Matematik tarihinden bilindi?i gibi, M?s?r, S?mer, Babil yaz?c?-bilgisayarlar? (M? XX-VI y?zy?llar) taraf?ndan ??z?len matematiksel nitelikteki problemlerin ?nemli bir k?sm? hesaplanm?? bir karaktere sahipti. Bununla birlikte, o zaman bile, zaman zaman, bir niceli?in istenen de?erinin, modern bak?? a??m?za g?re, bir denklemin veya bir denklemler sisteminin form?lasyonunu gerektiren baz? dolayl? ko?ullar taraf?ndan belirlendi?i sorunlar ortaya ??kt?. Ba?lang??ta, bu t?r problemleri ??zmek i?in aritmetik y?ntemler kullan?ld?. Daha sonra cebirsel temsillerin ba?lang?c? olu?maya ba?lad?. ?rne?in, Babil hesap makineleri, modern s?n?fland?rma a??s?ndan ikinci dereceden denklemlere indirgenen sorunlar? ??zebildi. Daha sonra cebirsel bile?eni ve ba??ms?z ?al??mas?n? vurgulamak i?in temel te?kil eden metin problemlerini ??zmek i?in bir y?ntem olu?turuldu.

Bu ?al??ma, ba?ka bir ?a?da, ilk ?nce Arap matematik?iler taraf?ndan (MS VI-X y?zy?llar), denklemlerin standart bir forma indirgendi?i karakteristik eylemleri, benzer terimlerin azalt?lmas?n?, terimlerin bir k?sm?ndan transferini belirleyen ba?ka bir ?a?da ger?ekle?tirilmi?tir. i?aret de?i?ikli?i ile denklemi di?erine. Ve sonra R?nesans'?n Avrupal? matematik?ileri taraf?ndan uzun bir ara?t?rma sonucunda modern cebir dilini, harflerin kullan?m?n?, aritmetik i?lemler i?in sembollerin tan?t?lmas?n?, parantezleri vb. yaratt?lar. 16. y?zy?l?n ba??nda- 17. y?zy?llar. Cebir, kendi konusu, y?ntemi, uygulama alanlar? olan matemati?in belirli bir par?as? olarak zaten olu?turulmu?tur. Zaman?m?za kadar daha da geli?tirilmesi, y?ntemlerin geli?tirilmesinden, uygulama kapsam?n?n geni?letilmesinden, kavramlar?n ve bunlar?n matemati?in di?er dallar?n?n kavramlar?yla olan ba?lant?lar?n?n a??kl??a kavu?turulmas?ndan olu?uyordu.

Bu nedenle, denklem kavram?yla ili?kili malzemenin ?nemi ve geni?li?i g?z ?n?ne al?nd???nda, modern matematik metodolojisindeki ?al??mas?, olu?umu ve i?leyi?inin ?? ana alan? ile ili?kilidir.

?kinci dereceden denklemlere ??z?m geli?tirme tarihi

Aristo

D.I. Mendeleyev

Alan? ise dikd?rtgen ?eklinde olan bir alan?n kenarlar?n? bulun 12 , a

Bu sorunu d???nelim.

• Alan?n uzunlu?u x olsun, sonra geni?li?i olsun,
• onun alan?d?r.
• ?kinci dereceden bir denklem yapal?m:
• Papir?s, karar?n?n kural?n? verir: "12'ye b?l?n".
• 12: .
• Yani, .
• "Alan?n uzunlu?u 4't?r", - papir?ste belirtilmi?tir.

• Azalt?lm?? ikinci dereceden denklem
• ger?ek say?lar nerede.

Babil g?revlerinden birinde, dikd?rtgen bir alan?n uzunlu?unu (onu belirtelim) ve geni?li?ini () belirlemek de gerekiyordu.

Dikd?rtgen bir alan?n uzunlu?unu ve iki geni?li?ini toplayarak 14 elde edersiniz ve alan?n alan? 24't?r. Kenarlar?n? bulun.

Bir denklem sistemi olu?tural?m:

Buradan ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.

Bunu ??zmek i?in ifadeye belirli bir say? ekleriz,

tam kare elde etmek i?in:

Sonu? olarak, .

Genel olarak, ikinci dereceden denklem

?ki k?k? vard?r:

• D?OPANT
• 3. y?zy?lda ya?am?? eski bir Yunan matematik?isi. e. "Aritmetik" in yazar? - cebirsel denklemlerin ??z?m?ne ayr?lm?? bir kitap.
• G?n?m?zde "Diofant denklemleri" genellikle, ??z?mleri tamsay?lar aras?nda bulunmas? gereken tamsay? katsay?l? denklemler olarak anla??lmaktad?r. Diophantus ayr?ca matematiksel g?sterimi ilk geli?tirenlerden biriydi.

"Toplamlar?n?n 20 ve ?arp?mlar?n?n 96 oldu?unu bilen iki say? bulun."

Say?lardan biri toplamlar?n?n yar?s?ndan fazla, yani 10+, di?eri daha az, yani 10- olacakt?r.

Dolay?s?yla denklem ()()=96

??te ?nl?lerin sorunlar?ndan biri

12. y?zy?l Hintli matematik?isi Bhaskara:

Maymun s?r?s?

?yi yemek, e?lenmek.

Sekizinci b?l?m?n karesi

?ay?rda e?lenmek.

Ve asmalarda on iki ...

Atlamaya ba?lad?lar, as?l? kald?lar ...

ka? maymun vard?

Bana bu s?r?de mi s?yl?yorsun?

• Bhaskara'n?n ??z?m?, ikinci dereceden denklemlerin k?klerinin iki de?erli oldu?unun fark?nda oldu?unu g?sterir.
• Denklemin kar??l?k gelen ??z?m?

• Bhaskara ?eklinde yazar ve bu denklemin sol taraf?n? bir kareye tamamlamak i?in her iki tarafa 32 2 ekleriz,

"EL-JABR" - RESTORASYON - AL-HOREZM?, ??ARETTE E??T ?YELER EKLEYEREK, KAR?IT ?YELER EKLEYEREK NEGAT?F ?YE DENKLEM?N?N HER ?K? PAR?ASINDAN DI?LAMA ?ALI?MASI ?A?RISI YAPMI?TIR.

"EL-MUKABALA" - MUHALEFET - DENKLEM?N AYNI ?YELER?N B?L?MLER?NDE ?ND?RME.

"EL-CEBR" KURALI

DENKLEM ??Z?L?RKEN

B?R?NC? B?L?MDE ?SE,

NE OLDU?U ?NEML? DE??L

TANI?MA NEGAT?F ?YE,

HER ?K? PAR?A ???NDEY?Z

E??T ?YE VER?YORUZ,

SADECE BA?KA B?R ??ARETLE,

VE OLUMLU B?R SONU? BULACA?IZ.

1) kareler k?klere e?ittir, yani;

2) kareler bir say?ya e?ittir, yani;

3) k?kler say?ya e?ittir, yani;

4) kareler ve say?lar k?klere e?ittir, yani;

5) kareler ve k?kler bir say?ya e?ittir, yani;

6) k?kler ve say?lar karelere e?ittir, yani.

Bir g?rev . Kare ve 21 say?s? 10 k?ke e?ittir. Bir k?k bulun.

??z?m. K?k say?s?n? ikiye b?l?n - 5 elde edersiniz, 5'i kendisiyle ?arpars?n?z,

4 b?rakarak ?r?nden 21 ??kar?n.

4'?n karek?k?n? al?n ve 2'yi elde edin.

5'ten 2 ??kar?n - 3 elde edersiniz, bu istenen k?k olacakt?r. Veya 5'e ekleyin, bu da 7 verecek, bu da bir k?k.

Fibonacci, muhtemelen 1170'lerde, ?talyan ticaret merkezi Pisa'da do?du. . 1192'de Kuzey Afrika'daki Pisan ticaret kolonisini temsil etmek ?zere atand?. Babas?n?n iste?i ?zerine Cezayir'e ta??nd? ve orada matematik okudu. 1200'de Leonardo Pisa'ya d?nd? ve ilk eseri olan Abak?s Kitab?'n? yazmaya ba?lad?. [ . Matematik tarih?isi A.P.'ye g?re Yushkevich Abak?s kitab?”, y?ntemlerin ?e?itlili?i ve g?c?, problemlerin zenginli?i, sunum kan?tlar? ile XII-XIV y?zy?llar?n Avrupa aritmetik ve cebirsel literat?r?n?n keskin bir ?ekilde ?zerine ??kar ... Sonraki matematik?iler ondan hem problemler hem de problemler ??kard?lar. bunlar? ??zme y?ntemleri ».

fonksiyonu ?izelim

• Grafik, dallar? yukar? do?ru y?nlendirilmi? bir parabold?r, ??nk?

2) Parabol k??e koordinatlar?

W. Sauer konu?tu :

“Bir cebir ??rencisi i?in ayn? problemi ?? ya da d?rt farkl? problemi ??zmektense ?? farkl? ?ekilde ??zmek genellikle daha faydal?d?r. Bir problemi farkl? y?ntemlerle ??zerek hangisinin daha k?sa ve verimli oldu?unu kar??la?t?rma yaparak bulmak m?mk?nd?r. Tecr?be b?yle yap?l?r."

"?ehir farkl?lar?n birli?idir"

Aristo

“Ondal?k i?aretiyle ifade edilen bir say?, bir Alman, bir Rus, bir Arap ve bir Yanki taraf?ndan ayn? ?ekilde okunacakt?r”

?al??man?n hen?z HTML versiyonu yok.

Benzer Belgeler

?kinci dereceden denklemlerin k?kleri i?in form?l geli?tirme tarihi. Eski Babil'de ?kinci Dereceden Denklemler. ?kinci dereceden denklemlerin Diophantus ile ??z?m?. 13. - 17. y?zy?llarda Hindistan, Harezmi ve Avrupa'da ikinci dereceden denklemler. Vieta teoremi, modern cebirsel g?sterim.

deneme, 27.11.2010 eklendi


?kinci Dereceden Denklemlerin Tarihi: Eski Babil ve Hindistan'daki Denklemler. x'de ?ift katsay? i?in form?ller. Belirli bir do?an?n ikinci dereceden denklemleri. Daha y?ksek dereceli polinomlar i?in Vieta teoremi. Bikuadratik denklemlerin incelenmesi. Cordano'nun form?l?n?n ?z?.

?zet, eklendi 05/09/2009


Matematik tarihinde ikinci dereceden bir denklemi ??zmek i?in form?l?n t?retilmesi. ?kinci dereceden denklemleri ??zmek i?in ?e?itli y?ntemlerin teknolojilerinin kar??la?t?rmal? analizi, uygulama ?rnekleri. ?kinci dereceden denklemleri ??zmenin k?sa bir teorisi, bir problem kitab?n?n derlenmesi.

?zet, 18/12/2012 eklendi


Matemati?in hayat?m?zdaki ?nemi. Hesab?n ge?mi?i. G?n?m?zde hesaplamal? matematik y?ntemlerinin geli?imi. Matemati?in di?er bilimlerde kullan?m?, matematiksel modellemenin rol?. Rusya'da matematik e?itiminin durumu.

makale, 01/05/2010 eklendi


Yunan matemati?i. Orta ?a? ve R?nesans. Modern matemati?in ba?lang??lar?. Modern matematik. Matematik mant??a de?il, sa?lam sezgiye dayan?r. Matemati?in temellerinin sorunlar? felsefidir.

?zet, eklendi 09/06/2006


6-14 y?zy?llarda Avrupa'da matematik biliminin geli?iminin tarihi, temsilcileri ve ba?ar?lar?. R?nesans'ta matemati?in geli?imi. Ger?ek hesab?n olu?turulmas?, Fran?ois Vieta'n?n etkinli?i. 16. y?zy?l?n sonlar?nda - 16. y?zy?l?n ba?lar?nda bilgi i?lem alan?ndaki geli?meler

sunum, eklendi 09/20/2015


Avrupa matemati?inin XVII-XVIII y?zy?llardaki geli?iminin g?zden ge?irilmesi. Avrupa biliminin e?itsiz geli?imi. Analitik Geometri. Matematiksel analizin olu?turulmas?. Leibniz'in bilim okulu. XVIII y?zy?lda bilimin genel ?zellikleri. Matemati?in geli?im y?nleri.

sunum, eklendi 09/20/2015


Matemati?in do?du?u d?nem (M? 7-5. y?zy?llara kadar). Sabitlerin matematik zaman? (M? 7-5. y?zy?llar - MS XVII y?zy?l). De?i?kenlerin matemati?i (XVII-XIX y?zy?llar). Matemati?in modern geli?im d?nemi. Bilgisayar matemati?inin ?zellikleri.

sunum, eklendi 09/20/2015


M? 6. yy aras?nda ya?ayan antik Yunan matematik?ilerinin ba?ar?lar?. ve MS 5. yy. Matemati?in ilk geli?im d?neminin ?zellikleri. Pisagor okulunun matemati?in geli?imindeki rol?: Platon, Eudoxus, Zeno, Demokritus, ?klid, Ar?imet, Apollonius.

test, eklendi 09/17/2010


Bir bilim olarak matemati?in olu?um tarihi. ?lk??retim matematik d?nemi. De?i?kenlerin matemati?inin olu?turulma d?nemi. Analitik geometrinin olu?turulmas?, diferansiyel ve integral hesab?. XVIII-XIX y?zy?llarda Rusya'da matemati?in geli?imi.

Ana Sayfa > Rapor

MOU ortaokulu ad?n? Sovyetler Birli?i Kahramanlar?ndan alm??t?r
Sotnikova A.T. ve Shepeleva N.G. s. Uritskoe

Konuyla ilgili rapor:

"??k?? tarihi

ikinci dereceden denklemler"

Taraf?ndan haz?rland?:?zotova Julia,
Ampleeva Elena,
Shepelev Nikolay,

Dyachenko Yuri.

Ah matematik. Y?zy?llar boyunca ihti?amla kapl?s?n,

T?m d?nyevi armat?rlerin armat?r?.

seni g?rkemli krali?e

Gauss'un vaftiz olmas?na ?a?mamal?.

Kat?, mant?kl?, g?rkemli,

U?arken ince, ok gibi,

sonsuz zaferin

?a?lar boyunca ?l?ms?zl?k kazand?.

?nsan akl?n? ?v?yoruz

Sihirli ellerinin eserleri,

Bu ?a??n umudu

T?m d?nya bilimlerinin krali?esi.

Bug?n size s?ylemek istiyoruz

Olay tarihi

Her ??rencinin bilmesi gerekenler

?kinci dereceden denklemlerin tarihi.

?klid, III y?zy?lda M.?. e. ikinci dereceden denklemleri ??zmek i?in gerekli t?m materyalleri i?eren ikinci kitab?n tamam?n? geometrik cebire adad??? "?lkeleri" nde.

Euclid (Enkleidiz), antik Yunan matematik?isi, matematik ?zerine bize ula?an ilk teorik incelemenin yazar?

?klid hakk?nda bilgi son derece azd?r. Bilimsel faaliyetinin M? 3. y?zy?lda ?skenderiye'de ger?ekle?ti?i ancak g?venilir kabul edilebilir. e. ?klid, ?skenderiye okulunun ilk matematik?isidir. Ana ?al??mas? "Ba?lang??lar" (Latincele?tirilmi? formda - "Elementler") planimetri, stereometri ve say? teorisindeki bir tak?m konular?n bir sunumunu i?erir; i?inde Yunan matemati?inin ?nceki geli?imini ?zetledi ve matemati?in daha da geli?mesinin temellerini att?. Bal?k??l - MS 1. y?zy?lda Yunanistan'da ilk kez Yunan matematik?i ve m?hendis. ikinci dereceden bir denklemi ??zmenin tamamen cebirsel bir yolunu verir.

?skenderiye Heron; Heron, ben c. n. e., Yunan makinist ve matematik?i. Hayat?n?n zaman? belirsizdir, sadece Ar?imet'ten (M? 212'de ?len) al?nt? yapt??? bilinmektedir, kendisi Pappus taraf?ndan al?nt?lanm??t?r (MS 300). ?u anda hakim g?r??, 1. y?zy?lda ya?ad??? y?n?ndedir. n. e. Geometri, mekanik, hidrostatik, optik okudu; prototip buhar motorunu ve hassas tesviye aletlerini icat etti. En pop?ler otomatlar otomatik tiyatrolar, ?e?meler ve di?erleriydi.G. teodoliti, statik ve kinetik yasalar?na dayanarak tan?mlad? ve kald?ra?, blok, pervane ve askeri ara?lar?n bir tan?m?n? verdi. Optikte, matematikte ???k yans?mas? yasalar?n? form?le etti - en ?nemli geometrik ?ekilleri ?l?me y?ntemleri. G.'nin ana eserleri Ietrik, Pneumatics, Autopoietics, Mechanics (Frans?zca; eser tamamen Arap?a olarak korunmu?tur), Catoptics (ayna bilimi; sadece Latince terc?mesi korunmu?tur), vb. seleflerinin ba?ar?lar?: ?klid, Ar?imet, Lampsakuslu Strato. Tarz?, bazen ?ok ?zl? veya yap?land?r?lmam?? olsa da, basit ve a??kt?r. G.'nin yaz?lar?na ilgi III. Y?zy?lda ortaya ??kt?. n. e. Yunan ve ard?ndan Bizans ve Arap ??renciler onun eserlerini yorumlay?p terc?me ettiler.

Diophantus- MS 3. y?zy?lda bir Yunan bilim adam?, geometriye ba?vurmadan, baz? ikinci dereceden denklemleri tamamen cebirsel bir ?ekilde ??zd? ve denklemin kendisi ve ??z?m? sembolik bi?imde yaz?lm??t?r.

“Size Yunan matematik?i Diophantus'un ikinci dereceden denklemleri nas?l olu?turdu?unu ve ??zd???n? anlataca??m. ??te, ?rne?in, g?revlerinden biri:"Toplamlar?n?n 20 ve ?arp?mlar?n?n 96 oldu?unu bilen iki say? bulun."

1. Problemin durumundan, istenen say?lar?n e?it olmad??? sonucu ??kar, ??nk? e?it olsayd?, ?r?nleri 96 de?il, 100 olurdu.

2. B?ylece. bunlardan biri toplamlar?n?n yar?s?ndan fazlas? olacak, yani. 10 + x, di?eri daha azd?r, yani. 10 - x.

3. Aralar?ndaki fark 2x'tir.

4. Dolay?s?yla denklem (10 + x) * (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96 x 2 - 4 = 0

5. Cevap x = 2. ?stenen say?lardan biri 12'dir,
di?er - 8. Diophantus i?in x = - 2 ??z?m? yoktur, ??nk? Yunan matemati?i yaln?zca pozitif say?lar? biliyordu.” Diophantus ?ok karma??k denklemleri nas?l ??zece?ini biliyordu, bilinmeyenler i?in harf atamalar? kulland?, hesaplama i?in ?zel bir sembol tan?tt?, kelimelerin k?saltmalar?n? kulland?. Bhaskare - Akarya- MS XII.Y?zy?lda Hintli matematik?i. ikinci dereceden denklemleri ??zmek i?in genel bir y?ntem ke?fetti.

Hintli matematik?ilerin problemlerinden birini, ?rne?in Bhaskara problemini analiz edelim:

“Bir maymun s?r?s? e?leniyor: toplam say?n?n sekizde biri ormanda kare bir e?lencede, kalan on iki h?y???n tepesinde ???l?k at?yor. S?yle bana, orada ka? maymun var?"

Problem hakk?nda yorum yaparken (x/8) 2 + 12 = x denkleminin probleme kar??l?k geldi?ini s?ylemek isterim. Bhaskara, x 2 - 64x \u003d - 768 olarak yazar. Her iki par?aya da kare 32 eklendi?inde denklem ?u ?ekilde olur:

x 2 - 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x - 32) 2 = 256

Karek?k? ??kard?ktan sonra ?unu elde ederiz: x - 32 = 16.

"Bu durumda, der Bhaskara, birinci b?l?m?n negatif birimleri, ikinci b?l?m?n birimleri onlardan daha az olacak ?ekildedir ve bu nedenle ikincisi hem pozitif hem de negatif olarak kabul edilebilir ve bilinmeyenin iki kat de?erini elde ederiz. : 48 ve 16.”

Bhaskara'n?n ??z?m?n?n, ikinci dereceden denklemlerin k?klerinin iki de?erlili?ini bildi?ini g?sterdi?i sonucuna var?lmal?d?r.

Eski Hint Bhaskara problemini ??zmesi ?nerildi:

“Maymunlar?n be?te birinin karesi, ??e indirilmi?, ma?araya saklanm??, bir maymun a?aca t?rmanm??, g?r?n?yordu. Ka? maymun vard?? Bu sorunun, ikinci dereceden bir denkleme indirgenerek temel olarak ??z?ld???ne dikkat edilmelidir.
Al - Harezmi - 825'te "Restorasyon ve Muhalefet Kitab?" kitab?n? yazan bir Arap bilgini. D?nyan?n ilk cebir ders kitab?yd?. Ayr?ca alt? t?r ikinci dereceden denklem verdi ve s?zel olarak form?le etti?i alt? denklemin her biri i?in onu ??zmek i?in ?zel bir kural verdi. Harezmi risalede 6 t?r denklemi s?ralayarak bunlar? ?u ?ekilde ifade eder:

1. "Kareler k?klere e?ittir", yani. balta 2 = i?inde.

2. "Kareler say?ya e?ittir", yani. eksen 2 = s.

3. "K?kler say?ya e?ittir", yani. ah = s.

4. "Kareler ve say?lar k?klere e?ittir", yani. balta 2 + c \u003d in?.

5. "Kareler ve k?kler say?ya e?ittir", yani. eksen 2 + in = s.

6. "K?kler ve say?lar karelere e?ittir", yani. + c \u003d ah 2'de.

?kinci dereceden bir denklemi ??zmeye indirgenen el-Harezmi problemini inceleyelim. "Bir kare ve bir say? k?klere e?ittir." ?rne?in, bir kare ve 21 say?s? ayn? karenin 10 k?k?ne e?ittir, yani. Soru ?u ki, kendisine 21 eklendikten sonra ayn? karenin 10 k?k?ne e?it olan bir kare ne olu?ur?

Ve Harezmi'nin 4. form?l?n? kullanarak ??renciler ?unu yazmal?d?r: x 2 + 21 = 10x

Fran?ois Viet - Frans?z matematik?i, verilen ikinci dereceden denklemin k?klerinin toplam? ve ?arp?m? ?zerinde teoremi form?le etti ve kan?tlad?.

Benim sundu?um sanat yeni ya da en az?ndan barbarlar?n etkisiyle o kadar yozla?t? ki, ona tamamen yeni bir g?r?n?m kazand?rmay? uygun g?rd?m.

Fran?ois Viet

Yine de Fran?ois (1540-13.12. 1603) Poitou ilindeki Fontenay-le-Comte kasabas?nda, ?nl? La Rochelle kalesinin yak?n?nda do?du. Hukuk diplomas? ald?ktan sonra, on dokuz ya??ndan itibaren memleketinde ba?ar?l? bir ?ekilde avukat olarak ?al??t?. Bir avukat olarak Viet, halk aras?nda prestij ve sayg? g?rd?. Geni? e?itimli bir insand?. Astronomi ve matematik biliyordu ve t?m bo? zamanlar?n? bu bilimlere adad?.

Vieta'n?n ana tutkusu matematikti. Cardano, Bombelli, Stevin ve di?erlerinin ?nc?lleri olan klasik Ar?imet ve Diophantus'un eserlerini derinlemesine inceledi. Vieta sadece onlara hayran olmakla kalmad?, ayn? zamanda s?zl? sembolizm nedeniyle anla??lmas? g?? olan b?y?k bir kusur g?rd?: Neredeyse t?m eylemler ve i?aretler kelimelerle kaydedildi, ?imdi kulland???m?z bu kullan??l?, neredeyse otomatik kurallardan hi?bir ipucu yoktu. . Cebirsel kar??la?t?rmalar veya di?er herhangi bir cebirsel ifadeyi yazmak ve bu nedenle genel bir bi?imde ba?lamak imkans?zd?. Say?sal katsay?l? her denklem t?r? ?zel bir kurala g?re ??z?lm??t?r. Bu nedenle, bu say?lara ba?l? olmayan t?m say?lar ?zerinde bu t?r genel eylemlerin oldu?unu kan?tlamak gerekiyordu. Viet ve takip?ileri, s?z konusu say?n?n nesne say?s? m? yoksa par?an?n uzunlu?u mu oldu?unun ?nemli olmad???n? tespit ettiler. Ana ?ey, bu say?larla cebirsel i?lemler yapman?n ve sonu? olarak yine ayn? t?rden say?lar?n elde edilmesinin m?mk?n olmas?d?r. Bu nedenle, baz? soyut i?aretlerle g?sterilebilirler. Viet tam da bunu yapt?. Sadece ger?ek hesab?n? tan?tmakla kalmad?, ayn? zamanda temel olarak yeni bir ke?if yapt? ve kendisine say?lar? de?il, onlar ?zerindeki eylemleri incelemeyi hedefledi. Bu yazma ?ekli, Vieta'n?n cebirsel denklemlerin genel ?zelliklerinin incelenmesinde ?nemli ke?ifler yapmas?na izin verdi. Harf sembollerinin kurucusu olan Vieta'n?n cebirin "babas?" olarak adland?r?lmas? tesad?f de?ildir.

Bilgi kaynaklar?:

http :// som. fio. tr/ kaynaklar/ Karpuhina/2003/12/ Tamamlanm??%20 i?/ Konser/ dizin1. htm

http :// sayfalar. marsu. tr/ iac/ okul/ s4/ sayfa74. html

Eski zamanlarda sadece birinci de?il, ayn? zamanda ikinci dereceden denklemleri ??zme ihtiyac?, askeri nitelikteki arazi ve toprak i?lerinin yan? s?ra astronomi ve bilimin geli?mesiyle ilgili sorunlar? ??zme ihtiyac?ndan kaynakland?. matemati?in kendisi. ?kinci dereceden denklemler yakla??k M? 2000'i ??zebildi. e. Babilliler.

Modern cebirsel g?sterimi uygulayarak, ?ivi yaz?s? metinlerinde eksik olanlara ek olarak, ?rne?in tam ikinci dereceden denklemler oldu?unu s?yleyebiliriz:

X 2 + X = *; X 2 - X = 14.5

Babil metinlerinde ge?en bu denklemleri ??zme kural?, esasen modern olanla ?rt??mektedir, ancak Babillilerin bu kurala nas?l geldikleri bilinmemektedir. ?imdiye kadar bulunan hemen hemen t?m ?iviyaz?l? metinler, nas?l bulunduklar?na dair hi?bir belirti olmaks?z?n, yaln?zca tarifler ?eklinde belirtilen ??z?mlerle ilgili sorunlar? verir.

Babil'de cebirin y?ksek d?zeyde geli?mesine ra?men, ?ivi yaz?l? metinler negatif say? kavram?ndan ve ikinci dereceden denklemleri ??zmek i?in genel y?ntemlerden yoksundur.

Diophantus ikinci dereceden denklemleri nas?l derledi ve ??zd??

Diophantus' Aritmeti?i, cebirin sistematik bir a??klamas?n? i?ermez, ancak a??klamalar?n e?lik etti?i ve ?e?itli derecelerde denklemler form?le ederek ??z?len sistematik bir dizi problem i?erir.

Diophantus denklemleri derlerken ??z?m? basitle?tirmek i?in bilinmeyenleri ustaca se?er.

Burada, ?rne?in, g?revlerinden biri.

G?rev 11."Toplamlar?n?n 20 ve ?arp?mlar?n?n 96 oldu?unu bilerek iki say? bulun"

Diophantus ??yle tart???r: Problemin ko?ulundan, istenen say?lar?n e?it olmad??? sonucu ??kar, ??nk? e?er e?it olsayd?, ?arp?mlar? 96'ya de?il, 100'e e?it olurdu. B?ylece, bunlardan biri daha fazla olacakt?r. toplamlar?n?n yar?s?, yani. 10+x, di?eri daha k???kt?r, yani. 10'lar. Aralar?ndaki fark 2 kere.

Dolay?s?yla denklem:

(10 + x)(10 - x) = 96

Buradan x = 2. ?stenilen numaralardan biri 12 , ba?ka 8 . ??z?m x = -2 Diophantus diye bir ?ey yoktur, ??nk? Yunan matemati?i yaln?zca pozitif say?lar? biliyordu.

Bu problemi istenilen say?lardan birini bilinmeyen olarak se?erek ??zersek denklemin ??z?m?ne ula?m?? oluruz.

y(20 - y) = 96,

de 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Diophantus'un bilinmeyen olarak istenen say?lar?n yar? fark?n? se?erek ??z?m? basitle?tirdi?i a??kt?r; sorunu, tamamlanmam?? bir ikinci dereceden denklemi (1) ??zmeye indirgemeyi ba?ar?r.

Hindistan'da ikinci dereceden denklemler

?kinci dereceden denklemler i?in problemler, Hintli matematik?i ve astronom Aryabhatta taraf?ndan 499'da derlenen astronomik yol "Aryabhattam" da zaten bulundu. Ba?ka bir Hintli bilim adam?, Brahmagupta (7. y?zy?l), tek bir kanonik forma indirgenmi? ikinci dereceden denklemleri ??zmek i?in genel kural? ?zetledi:

ey 2 + bx = c, a > 0. (1)

(1) numaral? denklemde, katsay?lar, a, olumsuz da olabilir. Brahmagupta'n?n kural? esasen bizimkiyle ?rt???r.

Eski Hindistan'da, zor sorunlar? ??zmede halka a??k yar??malar yayg?nd?. Eski Hint kitaplar?ndan birinde, bu t?r yar??malar hakk?nda ??yle s?ylenir: "G?ne?, parlakl???yla y?ld?zlar? g?lgede b?rak?yorsa, bu nedenle, bilgili bir ki?i halka a??k toplant?larda, cebirsel problemleri ?nererek ve ??zerek di?erinin ihti?am?n? g?lgede b?rakacakt?r." G?revler genellikle ?iirsel bir bi?imde giyinirdi.

??te XII.Y?zy?l?n ?nl? Hintli matematik?isinin sorunlar?ndan biri. Bhaskara.

G?rev 13.

"Ufak bir maymun s?r?s? Ve asmalarda on iki...

G?? yemi?, e?lenmi?. Atlamaya ba?lad?lar, as?l? kald?lar ...

Sekizinci b?l?m bir meydanda Ka? maymun vard?,

?ay?rda e?lenmek. Bana bu s?r?de mi s?yl?yorsun?

Bhaskara'n?n ??z?m?, ikinci dereceden denklemlerin k?klerinin iki de?erlili?ini bildi?ini g?sterir (?ekil 3).

Sorun 13'e kar??l?k gelen denklem:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara kisvesi alt?nda yaz?yor:

X 2 - 64x = -768

ve bu denklemin sol taraf?n? bir kareye tamamlamak i?in her iki tarafa da ekler 32 2 , o zaman almak:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, x 2 = 48.