??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??? ???????????????? GCD ??? NOC??????????????????????????

???????.

?????????????????????????????????? a ??? b ??????????????? a ??? b ??????????????????????? a ??? b ??????? LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

??????????.

?????? M ???????????????? a ??? b ??????? M ??????? a ????? ????????????????????????? ????????????? k ???????????????????????????? M=a·k ???????? ??? M ????????? b ????? ???? a k ??????? b ?????

??????? gcd(a, b) ???? d ????????????????????????????????????? a=a 1 ·d ??? b=b 1 ·d ??? a 1 =a:d ??? b 1 =b:d ??????????? coprime ??????? ????????????????????????????????????? a k ??????? b ????? ???????????????????????????? a 1 d k ??????? b 1 d ????? ??????????????????????????????? b ?????????????????? a 1 k ??????? b ?????

????????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????????? ???????????????????????????? M a ??? b ??????????????????????????? M=LCM(a, b) t ???????????????????????? t

????????????????????????? coprime a ??? b ?????????????????????

???????????????????????????????????????? ????????? a ??? b ???? coprime ??????? gcd(a, b)=1 ??????? LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

???????????????????????????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????????? LCM ??????????????????????? ??????????????????????????????????????????? a 1 , a 2 , …, a k ???????????????????????? m k-1 ??? a k ??????? ?????????????? m k ????????????????????????????????????????? m k ???????? m k ??? ????????????????????????????? a 1 , a 2 , …, a k ??? m k

??????????.

• Vilenkin N.Ya. ??????? ??????????. ?.6 ????????????????????????
• Vinogradov I.M. ????????????????????
• Mikhelovich Sh.Kh. ??????????
• Kulikov L.Ya. ????????. ?????????????????????????????????????? : ?????????????????????????? fiz.-mat. ????????????????????????????

????????? LCM (??????????????)

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????? 1. ???????????? ??????? LCM ????????????????????????? ??????????????????????????????????????????? 1, 2, 3, 4 ???????? ????????????????????

????????????????????? 6 ??? 9
??????????? 6 ???????????? 1, 2, 3, 4, 5
?????????: 6, 12, 18 , 24, 30
??????????? 9 ???????????? 1, 2, 3, 4, 5
?????????: 9, 18 , 27, 36, 45
??????????????? LCM ???????????? 6 ??? 9 ?????? 18

???????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????? ???????????? ?????????????????????????????? LCM ?????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????

??????? 2. ??????????? LCM ?????????????????????????????????????
????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????? 75 ??? 60
??????????????????????? 75 ??? 60 ???????????????????????????????????????????????????????? ?????????????? ?????? 75 ??? 60 ???????????????:
75 = 3 * 5 * 5 ???
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
??????????????? ?????? 3 ??? 5 ???????????????????? ??????????? "??????" ??????
????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? 75 ?????????? 5 ??????????????? 60 ???????? 2 * 2
??????? ?????????? LCM ???????????? 75 ??? 60 ??????????????????????????????????????? 75 (?????? 5) ???? 60 ??????????????????????????????????????? 60 (?????? 2 * 2 ) ??????? 75 ????????????????????????? ??????????????? "????"
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
?????????????????? LCM ???????????? 60 ??? 75 ????????????? 300

????????. ????? LCM ???????????? 12, 16, 24
????????? ??????????????????????????????? ??????????? ??????? ????????????????????????????????????
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
?????????? LCM ?????????? ????????????????????????????????????? (????????????? 12) ????????????????????? ???????? ??????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????? ???.

?????????? 1 . ???????????? 2*2 ?????????????????????????? ??????????????????
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

?????????? 2 ??????????????????????? 12 ????????????????? 3 ??????????????????????????????????? 24 ????????????? 3 ??????????????????????????????????????????? ? ????????????? 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

??????????????? ?????????????????? 12 ??? "??????" ????????????? ??????????????? NOC ????????????????? ???????????????????????????????????????
????????? 12 ???????????????????????????? 16 (???????????????????????????????????)
12 * 2 * 2 = 48
?????? NOC

??????????????? ????????? ???????? LCM ??????????????? ?????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? ???????????? ????????????????????? LCM ???????????

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? LCM ????????????????????????????????????????????????

?????????????

?????????????????? X ????????????? Y ?????? X ???????????????????????? ???????????? ????????? 4 ??? 2 ??? 36 ??? 4, 6, 9 ????????????????? X ???????? Y ?????????? X ????????????????????? ???????????? 3 ????????????? 15 ??? 6 ????????????? 12

????????????????? ?????????????????????????????????????????? ???????????? ?????? 6 ??? 9 ????????????? 18 ???????????????? 3 ????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????? GCD ????????????????????????? LCM ?????????????????? .

???????????????????????????????? ?????????????????? ? ?????????????????? ????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????

????? GCD

?????????????????????????????? ???????????????????????????????:

• ??????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????
• ?????????????????????????????????????????????
• ???????????????????
• ????????????????

????????? ???????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? ???????????????????????????: ???????? GCD ????????????????????????????????????????????????????????????????????

????? NOC

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????? ???? LCM ??????? ??????????????????????????????? ???????????? X ??? Y LCM ??? GCD ??????????????????????????????????:

LCM(X,Y) = X x Y / GCM(X,Y).

???????????? ??? gcd(15,18) = 3 ??????? LCM(15,18) = 15 x 18 / 3 = 90 ?????? LCM ?????????????????????????????????? ????????????????????????? ??????????

Coprime ???????

?????????????????????????????? ????????????????? coprime GCM ??????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? GCM ?????? coprime ???????????????????????? ???????????? ?????? 25 ??? 28 ???? coprime ???????????????????????? ??? LCM(25, 28) = 700 ???????????????????? ??????????? ? ?????????????????? coprime ????

?????????????????????????????????

??????????????????????? ?????????????? GCD ??? LCM ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????? 5 ??? 6 ???????????? GCD ??? LCM ????????????????????????????????????????????? ??????????? ?????????????????????

?????????????????

????????????????????

??????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? 5 ???:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

??????????????? ??????????????????????????????????? ??????????????????????????? LCM ????????????????? ?????????????? 5 ????????????????????????????????????????????????????? ?????????????? LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ??????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????? LCM ?????????? ??????????????????????????????????:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

?????????????????????????????????????????????????????????????????????:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

??????????????????????????????????????????????????????????????? 159/360 ?????????????? 3 ????????????????? - 53/120

????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????? ax + by = d ???????????? d / gcd(a, b) ????????????? ????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????? ??????????????? 150x + 8y = 37 ??????????????????? ?????????? gcd (150.8) = 2 ??? 37/2 = 18.5 ????????????????????? ??????? ?????????????????????????

?????????? 1320x + 1760y = 10120 ?????????????????? gcd(1320, 1760) = 440 ??? 10120/440 = 23 ??????? ??????????????? ??????? ?????????????????????????????????????????????????????? .

??????

GCD ??? LCM ???????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????

??????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????? LCM ?????????: 99, 30 ??? 28 ????????????????? ??????????????????????????????????????:

?????????????????????????????? 99, 30 ??? 28 ????? ????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

??????? LCM (99, 30, 28) = 13,860 ??????????????????????????? 13,860 ???????????? 99, 30 ???? 28 ?????

???????????????????????????????????? ?????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ???????????? ????????????: 20, 49 ??? 33 ???? coprime ?????????????????

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340

??????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231

????????????????

????????????????????????????????????????????????????

??????????? 1 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ? ?????????????? LCM ????????????????????????????????????????? ???????????? ???????????????: 60, 30, 10 ??? 6 ??????????????? 60 ?????:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

?????????? ????????????????????? ????????????????????:

1. ???????????????????????????????????????
2. ????? ??????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????

??????????? 2 ???????????????? 24, 3 ??? 18 ??????????????????? - ????????????? 24 ??????? ????????????? 24 ????????????????????????? 18 ???????? 3:

24 1 = 24 ??????? 3 ??????????????? 18 ????????

24 2 = 48 - ??????? 3 ??????????????? 18 ????????

24 3 \u003d 72 - ??????? 3 ??? 18 ?????

??????? LCM(24, 3, 18) = 72

???????????????????????? LCM

??????????????????????????????????????????? LCM ????????

LCM ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????? 1 ????? LCM ??????????????????????: 12 ??? 8 ????????????????????????: GCD (12, 8) = 4 ?????????????????:

??????????????????????? GCD:

??????? LCM (12, 8) = 24

?????????? LCM ????????????????????? ????????????????????:

1. ????????? ???? LCM ?????????????????? ???????
2. ??????? ??? LCM ??????????????????????????????????
3. ??????? LCM ???????????????????????????????????????????? ???????
4. ??????????????? LCM ?????????????????????????????????????

??????????? 2 ????? LCM ??????????????????????: 12, 8 ??? 9 ????? LCM ????????? 12 ??? 8 ????????????????????????????? (????????????? 24) ???????????????????????????? 24 ???????????? - 9 ????????????????????????: gcd (24, 9) = 3 ??? LCM ??????? 9:

??????????????????????? GCD:

??????? LCM(12, 8, 9) = 72

??????????????????????????????????????????????????????????? LCM - ?????????????? ??????????? ???????? ??????????? ????????????? LCM ???????????????????????? ?????????????????????????? LCM ????????????????????

Yandex.RTB R-A-339285-1

?????????????????????? (LCM) ???? gcd

???????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? ??????????????????? LCM ???? GCD ??? ????????? ????????????????????????????

??????????? 1

????????????????????????????????????????????????????????? LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b)

???????? 1

??????????????? LCM ????????? 126 ??? 70

??????????

????? a = 126 , b = 70 . ??????????????????????????????????????????????????????? LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

????? GCD ????????? 70 ??? 126 ??????????????????????????????????????????: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 ??????? gcd (126 , 70) = 14 .

??????? LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630

???: LCM (126, 70) = 630.

???????? 2

???????????????? 68 ??? 34

??????????

GCD ??????????????? ????????? 68 ??????? 34 ????? ?????????????????????????????: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68

???: LCM(68, 34) = 68.

????????????? ???????????????????????????????????????????? a ??? b: ???????????????????????????????????? LCM ??????????????????????????????????????

????? LCM ??????????????????????????????????????????

?????????????????????? LCM ????????????????????????????????????????????????

??????????? 2

????????????????????? ???????????????????????? ??????

• ?????????????????????????????????????????????????????????????????? LCM
• ????????????????????????????????????????????????
• ???????????????????????????????????????????????????????? LCM ????????????????

????????????????????????????????????????????????????? LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) ??????????????? ???????????: ?????????????? a ??? b ????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????? GCD ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????? 3

??????????????? 75 ??? 210 . ???????????????????????????????????: 75 = 3 5 5??? 210 = 2 3 5 7. ?????????????????????????????????????????????????????????? ????????: 2 3 3 5 5 5 7.

???????????????????????????????? 3 ??? 5 ???????????????????????????????: 2 3 5 5 7 = 1050. ??????????????? LCM ??????????????????? 75 ??? 210

??????????? 4

????? LCM ????????? 441 ??? 700 ?????????????????????????????????????

??????????

????????????????????????????????????????????????:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

??????????????????: 441 = 3 3 7 7 ??? 700 = 2 2 5 5 7 .

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. ????????????????? ????????????? 7 ???????????????????????????: 2 2 3 3 5 5 7 7. ???????? NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

???: LCM (441 , 700) = 44 100 .

???????????????????? LCM ??????????????????????????????????????????

??????????? 3

??????????? ?????????????????????????????????????????????? ??????????????????????:

• ????????????????????????????????????:
• ??????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????
• ???????????????????????????? LCM ?????????????????????????

??????????? 5

??????????????? 75 ??? 210 ??????????????? LCM ???????????????????????????????? ????????????????????????????: 75 = 3 5 5??? 210 = 2 3 5 7. ?????????????????? 3 , 5 ??? 5 ??? 75 ??????????????????????? 2 ??? 7 ??????? 210 . ?????????: 2 3 5 5 7 .?????? LCM ????????? 75 ??? 210

??????????? 6

??????????????? LCM ????????? 84 ??? 648

??????????

?????????????????????????????????????????: 84 = 2 2 3 7??? 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. ??????????????????????? 2 , 2 , 3 ??? 7 ?????? 84 ????????? 2 , 3 , 3 ???
3 ??????? 648 . ??????????????? 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .??????????????????????? 84 ??? 648

???: LCM (84, 648) = 4536

????? LCM ?????????????????????

????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????: ?????????? LCM ???????????????????????????? ??????????????????????

??????? 1

?????????????????????? a 1 , 2 , … , ?. NOC m k???????????????????????????????????????? m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k)

??????????????????????????????????????????????????????????????

???????? 7

????????????????????????????????????????? 140 , 9 , 54 ??? 250 .

??????????

??????????????: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250

???????????????????? m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . ??????????????????????????????????? GCD ????????? 140 ??? 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 ?????????: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260 ??????? ?. 2 = 1 260 .

???????????????????????????????????? m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) ????????????????? ?????? m 3 = 3 780

????????????? m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . ????????????????????????????????? ?????? ?. 4 \u003d 94 500

LCM ????????????????????????????????????? 94500

???: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

??????????????? ???????????????????????????????? ??????????????????????????????????

??????????? 4

????????????????????????????????????????????????:

• ?????????????????????????????????
• ???????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????
• ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???
• ????????????????????????????????????????????????????????????

??????????? 8

??????????????? LCM ??????????????? 84 , 6 , 48 , 7 , 143

??????????

???????????????????????????????????????: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 ????????????????????? 7 ?????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????

????? ??????????????????????????? 2, 2, 3 ??? 7 ???????? 84 ???????????????????????????????????????????? ????????? 6 ??????? 2 ??? 3 ???? ??????????????????????????????????????????? ???????????????????

??????????????????????????????????? ???????????????????? 48 ????????????????????????????????? 2 ??? 2 ?????????????????????????????????? 7 ????????????????????????????? 11 ??? 13 ???????????? ??????: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048 ????????????????????????????????????????

???: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048

?????????????????????????????

????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????

??????????? 9

LCM(54, -34) = LCM(54, 34) ??? LCM(-622,-46, -54,-888) = LCM(622, 46, 54, 888)

????????????????????????????????????????????????????? ????? -- ?????????????
???????????????? ???????????????????????????? -.

???????? 10

??????????????? LCM ?????????? - 145 ??? - 45 .

??????????

??????????????????? - 145 ??? - 45 ??????????????????? 145 ??? 45 . ?????????????????????? ???????? LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 ?????????????????????? GCD ?????????????????????????

???????? LCM ????????? - 145 ??? - 45 ??????? 1 305 .

???: LCM (- 145 , - 45) = 1 305 .

??????????????????????????????????? ???????????????? Ctrl+Enter