??????????????: ???????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????? ????????????? ??????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????

???????????????? ?????????????????????????????????????? ????????????????????????? ????????????? 6 ???

???????????????

?????????????????????????????????????????? ???????????????????????? "????" ????????????????????????? ???????????? ... ???????????? ??????????????????????????? ???????? ????????????????? - ?????????????????????????????????

??????????????????????????? ??????????????????????????????????????:

?????? 2 x ?????? 2 (x - 3) + 1 = ?????? 2 (x 2 - 3x )

???????? ???????????? x 2 - 3x ?????????????????????:

?????? 2 x (x - 3)

????????????????????????????:

?????? a fg = ?????? a f + ?????? a g

?????????????? ?????: ???????????????????? a, f ??? g ???????????????? ???????????????????? ????????????????????????????????????? ??????????????????????????:

?< 0; g < 0

????????? ????????? fg ???????????? ??????? log a ( fg ) ???????? ??? log a f ??? log a g ?????????????? ??????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????? ??????? ???????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? f ??? g ??????????

???????????? ????????????????? ????????????????????????? 2 x ??????????????? ??????? x > 0 (??????????? ?????? x ??????????????????) ???????????????????? 2 (x - 3) ??????? x - 3 > 0

??????? ???????????????? 2 x (x - 3) ??????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????:

?????? 2 x ?????? 2 (x - 3) + 1 = ?????? 2 x + ?????? 2 (x - 3)

?????? 2 x ?????? 2 (x - 3) + 1 - ?????? 2 x - ?????? 2 (x - 3) = 0

??????????????????????????????????? ?????????? ??????????????????????????????! ?????????????????????????????????????? ?????????????????????:

?????? 2 x = a

?????? 2 (x - 3) = b

a b + 1 - a - b = 0

????????????????????????????????????????:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

????????????????????????????????????????? b -1 (???????????? ??????????? "??" ????????????) ???????????????????????????????:

a (1 b - 1) - (b - 1) = 0

(b - 1)(a 1 - 1) = 0

?????????????????????????????????????: ????????????????????????????????????????????????????????????:

b - 1 = 0 => b = 1;

a - 1 = 0 => a = 1

???????? b ??? a ??????? ????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????:

?????? 2 x = 1 => ?????? 2 x = ?????? 2 2 => x 1 =2;

?????? 2 (x - 3) = 1 => ?????? 2 (x - 3) = ?????? 2 2 => x 2 = 5

????????????????? ?????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????? ?????????????????????? ?????????????????????:

x > 0

??????????????????????????? ???????????????????????:

x - 3 > 0 => x > 3

????????????? x = 2 ?????????? ??? x = 5 ????????????????????? ??????? ????????????? x = 5

?????? 0.7 (x 2 - 6x + 2) = ?????? 0.7 (7 - 2x)

???????????????????????????????????????? ??????????????????????????? ??????????????????????? ??????????????????????????????????????:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

??????????????????????????????????? ???????????????????? ?????????? Vieta:

(x - 5) (x + 1) = 0;

x - 5 = 0 => x = 5;

x + 1 = 0 => x = -1

????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????? ??????? ????????????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????? ?????????????? ???????????????????????????????????????????:

x 2 - 6x + 2 > 0

???????????? ????????????????????????????????????????:

7 - 2x > 0

?????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? ?????? ????????????????????????????? ?????????????????????????????????????? ??????????????????????????????

?????????????????????????????????? ?????????????????? ???????????????????????????? ?????????????????????? x 2 - 6x + 2 > 0 ??? 7 - 2x > 0 ??????? ??????????? ????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????:

-2x > -7

x< 3,5

????????????????????????????????????? ????????????????????????????????

??????????????? ODZ ?????????????? ??????????????? ???????????? ??????????????????????????????????????????????????? ???????????????????? x = -1 ????????????????????????????? x = 5 > 3.5

???????????????????: x = 1 ???????????????????????????????????????

????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????? ??????????????????????????????? ???????????? ??????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????? ??????? ????????????????????? ?????????????????????????????????????? ??????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????????? ????????????????? ???????????????? f > 0 ??? g > 0 ????????????????? f = g ???????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ????????? ????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????

????????????????????????????????????????????????? :)

?????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????-??????????????????

??????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? ??????????????? ?????????????????????????????

?????????????? ?????????: ??????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????!

???????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????? ????????????????????????? ??????????????:

4 ?????? 25 (x - 1) - ?????? 3 27 + 2 ?????? x - 1 5 = 1

??????????????? ?????????????? “???????????????????????????????????????? ???????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????

???????: 4 ?????? 25 (x - 1) ????????????????????????? ?????????????????????????????? x ?????????????????????????????????????????? ??????????????.

???????????? log 3 27. ???????? 27 = 3 3 . ??????? ???????????????????????????????????????:

?????? 3 27 = 3 3 = 3

?????????????????? ??????????: 2 log x - 1 5. ???????????????????????????????: ?????????????? ???????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????:

???? a b = 1/???? b a

???????????????????????????????????? b ? 1 ???????? ?????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? b = 5 ??????????????????????????:

2 ?????? x - 1 5 = 2/?????? 5 (x - 1)

????????????????????????????????????????????????:

4 ?????? 25 (x - 1) - 3 + 2/ ?????? 5 (x - 1) = 1

????????? 5 (x - 1) ??????????????????? ??????? 25 (x - 1) ????????? ??? 25 \u003d 5 2 ??????????????????????????????????????????????????????????:

??????????? ?????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????:

4 1/2 log 5 (x - 1) - 3 + 2/ log 5 (x - 1) - 1 = 0

?????????????????????????????????????????????????? ?????????????????:

?????? 5 (x - 1) = t;

2t - 4 + 2/t = 0;

??????????????????????-?????? ????????????????????????? 8-9 ????????????????????????????:

????? - 2 + 1/t = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0

?????????????????????????????????????? ?????????:

(t - 1) 2 /t = 0

????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????:

(t - 1) 2 = 0

t=1

????? ? 0

???????? t ???????:

?????? 5 (x - 1) = 1

?????? 5 (x - 1) = ?????? 5 5

???????????????????? ???????????????????? ??????????????:

x - 1 = 5 => x = 6

???????. ??????????. ??????????????????????????????????????????????????????????????? x ???????? ??????? ???????????????????????????????? ????????? x - 1 ??????????????????????????? ?????????????????????????:

x - 1 > 0

???????????? x - 1 ????????????????????????? ??????????????????????????????????:

x - 1 ? 1

?????????????????:

x > 1; x ? 2

?????????????????????????????????????? ??? x = 6 ???????????????????????? ??????? x = 6 ????????????????????????????????????

????????????????????:

???????? ?????????????????????????:

?????? 4 (x + 1) - ??????????????? ??????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????? ??????????????????????:

?????? 4 (x + 1) = 1/2 ?????? 2 (x + 1)

???????????????????????????????????? x ???????? ????????????????? - ????????????????????????????????????????:

8 ?????? x + 1 2 = 8 (1/?????? 2 (x + 1)) = 8/?????? 2 (x + 1)

???????????????? 2 8 ??????????????? ??????????????????????????????????????????????? ??????????:

?????? 2 8 = ?????? 2 2 3 = 3

??????????????????????????????????????????:

??????????????????????????:

1/2 ?????? 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) - 3 - 1 = 0;

???? 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) - 4 = 0

???????????????????????????????????:

?????????????????????????-?????????????? ?????????????????:

????? = ?????? 2 (x + 1)

??????????????????????????????????????:

?????: ???????????? ?????????????????? ????????????????????????????????????:

???????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????:

(t - 4) 2 = 0 => t = 4;

????? ? 0

?????????????????????????????????????? ???????????????????????????? x:

?????? 2 (x + 1) = 4;

?????? 2 (x + 1) = ?????? 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

??????????? ?????????????????? ????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????

??????? ?????? x + 1 ?????????????????????????????? ??????? x + 1 > 0 ???????????? x + 1 ?????????????????? x + 1 ? 1. ???????:

0 ? x > -1

????????????????????????????????????? ??????????????? ??????? x = 15 ?????????????????????????????????

???????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????? ????????????????????????????????? ?????????????????????????!

?????????????????????????????????????? (x) ????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ???
??????????????????????????????

????????????????????? ?????? a x = b?????? a ??? b ???????????????? x ?????????????????
??????????????????????? x = a b ?????????: a > 0, a 1

??????????????? x ????????????????????????????? ???? log 2 x \u003d x-2 ???????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???? x + 2 \u003d log 2 2 ?????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????

??????????? ???????????????????????? ??????? ????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????

??????????????????? log 2 x \u003d log 2 16 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? x \u003d 16

??????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? a x = b ???????????????????? ??????????????????????????????????? ????????????????????????????????

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????:

???????????????????????????
????????????????????????????????????? ???????? ?????????????????????????? ??????????????

????????????????????? 2 x \u003d 2log 2 (1- x) ???????????????????????? - ??????????????? 2 ??????????????????? ?????????????????? ?????? 2 x + ?????? 2 (1 - x) = ?????? 2 (1 + x) ????????????????????????????????????????? - ???????????????????????????? ????????????????????? - ?????????????????????????????!

????????? ????????????????????????????????????????????????????

?????? a(...) = ?????? a(...)

????????? ????????????????????????????????????? ?????????????????????????? potentiation ??????????? ???????????????????????????? ??????????????????????????? - ???????? ????????????? ??????????? ??? ?????????????????????????????????????

?????????????????????:

?????? 3 (2x-5) = ?????? 3 x

?????? potentiation ?????????:

?????? 3 (2x-1) = 2

?????????????????????????? ???????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????? (4x-1) ?????????:

??????????????????? log 3 (2x-1) = 2 ?????????????????????:

????????? 2 ????????????? ???? ?????? 3 9 ????? 3 2 =9

??????????? 3 (2x-1) = ?????? 3 9 ?????????????????????????????? 2x-1 = 9 ????????????????????????

?????????????????????????????????????????? ????????? ????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????? ???????????????????????? ???????????????????????????????? ????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????? (ODV) ??????????????????????????????????? ????????????????? ODD ????????????????????????? ??????????????????????????

?????????????????????:

?????? 3 (x 2 -3) = ?????? 3 (2x)

????????????????????????????????????????????????? ??????????????:

?????? 3 (x 2 -3) = ?????? 3 (2x)

?????? potentiation ????????????????????? ????????????????????????????????

????????????????:

????????

?????: 3 ??? -1

?????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????

????????????? x 1 = 3:

?????? 3 6 = ?????? 3 6

????????????? ????????? x 2 = -1:

?????? 3 (-2) = ?????? 3 (-2)

??? ????! ???????????????????????? ??????? - ????????????????????????! ???????????????????? x \u003d -1 ??????????????????????????????? ???????????????????????????? 3 ?????? 2 ??????????????

???????????????? ODZ ???????????????? ????????????

??????????????????????????????????????????????? ?????????????? x ?????????????????????????????????????????????????????????????????

???????? ODZ ??????????????? ????????????????????? ??????????? ???????????????????? - 50/50

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????? ?????????????? ????????????????????????

????????????????????????? ?????????????????????????? ?????????????????????????????????????

??? ??????????????????????????????????????????? ???!

????????????????????????????????? ?????????? ODZ ???? ?????????????? ?????????????????????????????????????????????? ?????????????????????? ????????????????????????????????????????? ODZ ????????? ????????????????????????

????????????????????????????? ODZ ??????? ?????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ???? ?????????? x ?????????????? ??????? ?????????????????????? ???????????? x ??????????? ??????????????? x ???? ????????????????????????? 0 ??????????????????????????????? ????????????????????????? ??????????? ??????? x ??????????????????????????? ???????????????????????????????? ODZ

???????????????????????:

?????? 3 (x 2 -3) = ?????? 3 (2x)

??????????????? ??????????????? 0 ????????????????????? ???????????????? x ??????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? > 0 ???? ??????????????????????????? ODZ:

?????????. ???????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????

ODZ ??????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????? x > v3 ??????????????????? x ??????????????????? ?????????????????????????????????? ????????????????

?????????????????? x 1 \u003d 3 ??? x 2 \u003d -1 ??????????????????????? x1 \u003d 3 ?????????????????????????????????????????????????

??????????? ??????????????????????????????: ??????????????????????? ?? 2 ??????? ?????? - ?????????????? ????????? - ????????????????? ODZ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????

?????????????????? ??????????????????????????????:

???????? ????????????? ??????????????? ??????????????????????????????????????

???????????????????? ?????????????????????????????????????? ?????????????????????????????? ?????????????????????????????? ?????????????????????????????

????????: Academy of Social Education (KSUE) ?????????????????????????

????

???????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????? ??????? ???????????????????????????????????????????? ??????? Mikhail Stiefel ???????????????? Stiefel ???????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? John Napier (1550-1617) ??? Swiss Jobst Burgi (1552-1632) Napier ???????????????????????????? 1614 ?????? "???????????????????????????????????" ????????????????? Napier ??????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????? ??????????????? Napier ???????????????????????????????? Burgi B?rgi ??????????????????? Napier ??? ??????????????????????????????????????????? ?.?. 1620 ???????? Napier ???????????????????????????????? 1594 ??????????????????????? 20 ??????? ???????? ?????????????????????????? "???????????" ?????????????????????? "???????????" ???????????????????? "?????????" ?????????????????????? "???????????????????" ???????????????????????????????????? ?????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ??????????? ??????????????????????????????????? 1703 ?????????????????????????????????????????????? 18 ???.???.?????????? ???????????????????????? ????????????????? ???????? ???????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????? ????????????? "???????????????" ??? "????????" ????????????????????????????????????? 10 ??????????????????????????????????????? ?????????????????????? ??????????????????????? ????????????????????????????????????????? brigs ????? "???????????" ???????????????????

????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? ??????????????? ????????????????????? ?????? ????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????? ??????? ??? ???? ????????????????????????????????????????? ???????????? ??????????????????????????????????????????????? ?????? ??????????? ????????????????????????????? ???????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? ???????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????: "????!", "?????!", "???????????????" ???????? ???????????? "???????" ??????????????????????? Diophantus of Alexandria (????????? 3) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

???????????? ????????????????????????????????????? 9 ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????? ??? ???? ????????????. ????? "al-jabr" ????????????????????????????? - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("The Book of Restoration and Contrasting") - ???????????????????????????? "???????" ????????????????? ?????? al-Khwarizmi ??????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????

1. ??????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????????????????????????????

?????? ?? x = ? . (1)

???????? 1. ??? ?? > 0, ??? 1 ????? (1) ?????????????????? ?????????????? x = ? .

??????????? 1 ????????:

?) ??????2 x= 3, b) ?????? 3 x= -1, ?)

??????????. ?????????????? 1 ????????? a) x= 2 3 ???? x= 8; ?) x= 3 -1 ???? x= 1/3; ?)

???? x = 1.

??????????????????????????????????

?.1 ?????????????????????????:

?????? ?? > 0, ??? 1 ??? ? > 0.

?2. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????:

?????? ?? ???????? · ??? 2 = ?????? ?? ??? 1 + ?????? ?? ??? 2 (?? > 0, ?? ? 1, ??? 1 > 0, ??? 2 > 0).

??????????? ??? ???????? · ??? 2 > 0 ????????????? P2 ???????????

?????? ?? ???????? · ??? 2 = ?????? ?? |??? 1 | +?????? ?? |??? 2 | (?? > 0, ?? ? 1, ???????? · ??? 2 > 0).

?.3 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

(?? > 0, ?? ? 1, ??? 1 > 0, ??? 2 > 0).

??????????? ???

, (???????????????? ??? 1 ??? 2 > 0) ???????????????? P3 ???????????

(?? > 0, ?? ? 1, ??? 1 ??? 2 > 0).

?4. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????:

?????? ?? ??? k = k?????? ?? ??? (?? > 0, ?? ? 1, ??? > 0).

??????????? ??? k- ?????? ( k = 2?), ????

?????? ?? ??? 2? = 2??????? ?? |??? | (?? > 0, ?? ? 1, ??? ? 0).

?5. ??????????????????????????:

(?? > 0, ?? ? 1, ? > 0, ? ? 1, ??? > 0),

??????????? ??? = ?, ?????????

(?? > 0, ?? ? 1, ? > 0, ? ? 1). (2)

??????????????? P4 ??? P5 ??????????????????????????????????????

(?? > 0, ?? ? 1, ? > 0, ? ? 0), (3) (?? > 0, ?? ? 1, ? > 0, ? ? 0), (4)

(?? > 0, ?? ? 1, ? > 0, ? ? 0), (5)

???????? (5) ?- ?????? ( ? = 2?) ????????

(? > 0, ?? ? 0, |?? | ? 1). (6)

?????????????????????????????????????????????? ? (x) = ?????? ?? x :

1. ??????????????????????????????????????????

2. ????????????????????????????????????????????????

3. ??????? ??> 1 ???????????????????????????????????????? (0< x 1 < x 2 ?????? ?? x 1 < log?? x 2) ?????? 0< ?? < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 ?????? ?? x 1 > ?????? ?? x 2).

4 ?????? ?? 1 = 0 ????????? ?? ?? = 1 (?? > 0, ?? ? 1).

5. ??? ??> 1 ??????????????????????????????????? x(0;1) ???????????????? x(1;+?) ?????? 0< ?? < 1, то логарифмическая функция положительна при x? (0;1) ?????????????????? x (1;+?).

6. ??? ??> 1 ?????????????????????????????? ??? if ??(0;1) - ?????

??????????????? (?????????? ) ?????????????????????????

????????????? ??????????????????? ??????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? - ????????.

?????? 0.5 (3x - 1) = -3

????? (x + 3) = 3 + 2 ????? 5

???????????????????????????????????????????????????????:

?????? a f(x) = b

?????????????????? x ??????????????????????????????????? ??????? ??????????????? f(x) ????????? a ??? b ??????????????????????? ???????????????? ????????????????????????? x

??????????????????????

???????????????????????????????????????? ???????????? ??????????????????????????????????: ???????????? f ( x ) ??????????????? ?( x ) = ?. ?????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????????????????????? ???????????? ?????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????? a ???????????? b

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????? ???????????? ??????????????????? ?????????????.

??????????????????????????????????? ??????????????????????: ???????????? log a ???????????????? a ????????????????? ??????????????????????????????????? x ??????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????:

1 ? ? > 0

???????????? ??????????????????? ?????????????????????????????????????? b ??????????????????? ??????????????? ??????????????????????????? ?????????????????? ????????????????????????????????? f(x) ???

?????????????????????????????????????????????? b ??? ???????????????????????????? a ??? a ??????? b:

b = ?????? a b

?????????????????????? ?????????? ???????????????????????????:

b = b 1 = b ?????? a a

?????? ????????? ???????????????????????????????????????????? ?????? ?????????????????????????????????? ????????????????? b ???????????? a ?????????:

b = b 1 = b ?????? a = ?????? a b

????????????????????????????????????????????????:

?????? a f (x) = ?????? a a b -> f (x) = a b

????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????????????????: ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??? ???????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????

??????????????????????????? ???????????????????????? ?????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????? ???????????? ????????????????????????????:

?????? a f(x) = ?????? a b

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??? ??????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????

???????????????????????? ?????????????:

?????? 0.5 (3x - 1) = -3

??????????????????:

?????? 0.5 (3x - 1) = ?????? 0.5 0.5 -3

??????????????????????????????????? 0.5 ????????????????????????????????????????? ????????? ???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????

???????????? ???????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????? ?????:

3x - 1 = 0.5 -3

??????????????????????????????? ?????????????????????????????????? x ???????????? ????????? ?????????????????? 0.5 ??????? -3 ??????????? 0.5 ??? 1/2

(1/2) -3 = (2/1) 3 = 8

?????????????????????????????????????????????????????

??????????????????:

3x - 1 = 8
3x=9
x=3

???????????????????????? ????????????????????

?????????

????????????????????:

??????????????? ???????????????????????????????????????? ?????????????????????????????? ?????????????????????????????????

?????????????????????????????????????? ????????? ??????????????? ????????????????: ???????????????????????:

?????????????: ??????????????????????? ??????????????????? ???????? ?????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????? ??????????????:

?????????????????????????????????????????????????: ??????????????? ?????????????????? ??????????????????? ???????????? ??????????????????????:

?????? a k b = 1/k loga b

5 2 ?????? 5 x - ?????? 5 x = 18
10 ?????? 5 x - ?????? 5 x = 18

????????: ?????????????? ???????????????????????????????? ??????????????????? 4-5 ?????????????????????????????????: ????????????????????? ??????????????????????? ????????? ???????????????????????????????????? 10 ??????????:

9 ?????? 5 x = 18
?????? 5 x = 2

???????????????????????????????????????? ???????????????????????????? ??????????????????????????????:

?????? 5 x = ?????? 5 5 2
x = 5 2
x=25

????????????????? ?????????????????????????

??????????????

????????????????????:

????? (x + 3) = 3 + 2 ????? 5

??????????????:

log b = ?????? 10 b

?????????????????????????????????????????? lg b ?????????????????????? ?????????????? log 10 b ??? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????: ??????? ??? ??????????????? ???? lg 10

???????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????? ?????????????????????????????? 2 ???? lg 5 ?????????????????????? 5 ????????? ??????? 3 ????????????????????????????? ????????????????????????????????????

???????????????????: ???????? ? ???????????????????????????? 10:

3 = ?????? 10 10 3 = ?????? 10 3

??????????????????????????????????????????????????????:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x - 3) = lg 1,000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

??????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????? ??????? ???????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????

?????????????? ????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????:

x + 3 = 25,000
x = 24997

???????! ??????????.

???????????????????????

???????? ??????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????: “?????????????????????????????? ????????????????????????????????? f (x) ????????????????!” ??????????? ????????????????????????: ??????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????

???????????? ????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????? x ?????????????????? (??????????????????????????????????????????????????????) ??????????????????????????????????? x ????????????? ????????????????????????????????????

???????????????????: ?????????? ?????? 3x - 1 ??????? ?????????????????????? 8 ??????????????????????????? 3x - 1 ??????????????

????????????????????????? ????????????????????????????? x ??????????? 5 2 ??????? ??????????????????????? ??????????????? ?????? x + 3 = 25,000 ??????? ??????????????????????????? ???????????????? ?????????????????????? ?????? x ???????????????????????????????????????????????

????????????????????????????????????????????? ??????????????????????? ???????????????????? ??????????????????????????????????????? ???

???????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????????????? ???????????????? ???????????????????????????????????????????????????????? - ????????????????????????? ?????????????????????????????????????

????????????????

????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????? ???????????????????????

?????? a f(x) = b

???????????????????????????????? - ??????????????????????? ????????? a ??? b ??????????????? ????????????????????????????????????????????????? x ?????????????????? ??????????????????????:

b = ?????? a b

??????????????????????????????????????????? ???????????????????????? ??????????????:

?????? a f(x) = ?????? a b

f(x) = ?

????????????????????????????????????????? ????????????????????????: ????????????????? f ( x ) ????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????:

f(x) > 0

?????????????????????????????????????????????????? ??????? ??????????????????????? ????????????????????????? ???????????????????????????????????????????

??? ????????????????????????????? ???????????????????????????? ????????????????? ???????????????????:

f(x) = ?

?????????????????? a ???????????????? 0 - ??????????????????????????????? ?????? a ??????? ????????????????????????? ????? ????????????? b ?????????????????? ?????????????????????????????????????? ????????????????????????????????? ??????? ???????? f (x) > 0 ?????????????????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? ??????????????????? ???????????????????????????? ???????.

??????:

??????????: ????????????????????? ?????????:

?????????????????????????????????????????????????????:

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????? 9 ???????? ??????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 0 ?????????????????????? 0 ???????? ??????????????????????????????? 2 ??????????????? "????????????" ????????????????????? ????.

????????????????????:

??????????????????????? ????????????????????? ?????????:

????????????????????????????????????????????:

??????????????????????????????? ????? ????????????:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 -4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

?????????????????????????????????????:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

??? x = -6 ?????????????? ???????????????????????????????? ????????:

-6 + 4 = -2 < 0

???????????? ????????????????? 0 ??????????????????? ?????????? ??? x = -1 ???????????:

-1 + 4 = 3 > 0

????????????????????????? x = -1 ???????????????????? ?????????????????????????????????????

??????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????? ????????????????????????????????????:

?????? a f(x) = b

???????????? a ??? b ??????????????? ????????????? f (x) ?????? x ???????????? ??????????????????????? ??????? x ?????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????

b = ?????? a b

??? a b ????????????????????? ???????????????????????????:

?????? a f(x) = ?????? a b

?????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????? a ????????? ?????????????????????? ??????????????????????? ????????????????????????? ????????????????????????????????????????????:

f(x) = ?

???????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????

????????????????????????:

???????? ??????????????????????????????? ?????????????? ????????????????????????? ???????????????????????????????????????????:

??????????????????????? ?????????????????????????? ????????????????????????????????????????????? c ??? ????? ?????? 0< с ? 1.

???????: ?????????????????????????????????????????????????? c ????????????? ?. ????????? ?????????????????????????:

???????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? log a b ?????????:

???????????????? ?????????????????????????????? ???????????????????????????????????????? ?????????????????????

???????????????????????????????????????????????????????????:

???????????????? ???????????? k ??????????????????? ???????????????????????????? ???????????????????????????:

???????????????????????????????????????? ?????????????? ????????????????????????????????????????????? (?????????????? ??????????????? ?????????????????????????????????????????????????) ??????? ????????????? 1/4 ?????????????????????????:

????????????????????????????????????????? (????????????????????????) ?????????:

x + 5 = 1

x = -4

????????????????? ??????????????????????????????? ???????????: ??????????? ?????? x ????????????????????????????? ??????????????????????????? ??????????????????????????????????? ?????????? x = -4 ??????????????

????????????????????????:

?????? 56 = ?????? 2 ?????? 2 7 - 3 ?????? (x + 4)

?????? ??????????????????????? ?????????????????? lg f (x) ????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????

??????? lg 2 log 2 ???????????? 7. ????????????????????????????????????? ??????????????????? log ??? lg ????????? ?????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????:

?????? a b n = n ?????? a b

???????????????? ???????????????????????? b ?????????????????????????????????????????????? ?????????????????????? lg 2 log 2 7. ???????? lg 2 - ?????????????????? ???????????????????????????:

????????? ??????????????????????????????? ? ??????????? ????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????? ??????????:

?????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????? ???????????????????????? ????????????????????????????????????????????????? ??????????????

????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? lg 7 ?????:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

???? lg 7 ?????????????????:

????? 56 - ????? 7 = -3lg (x + 4)

?????????????????????????????????????????????:

????? (56/7) = -3lg (x + 4)

????? ?????????????????????????? ????????????????????????????????? ????????????? -3 ?????????????? ??????????????????????? lg ??????????:

????? 8 = ????? (x + 4) -3

???????????????????????????????????????? ?????????????????????????????? lg ????????????????????????????:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

??????????????! ????????????????????????????????? ????????? ?????????????????????????????????? ???????????????????? x ?????????????????????????????????

?????????????????????????????????

????????? ?????????????????????? ?????????????????????????????????????? ????????:

??????????????????????????????????????????????? (?????????????????????????????????????);
???????????????????????????????????????????? ?????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? log f (x) ??? ?????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????

??????? ??????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????? x ????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????? ??????????? ???????????????????????????????????????????????

???????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????

?????? a f(x) = b

????????????????????? ????????????????????????:

b = ?????? a b

??????????????????????????????????:

?????? a f(x) = ?????? a b

??????????????????????????????????? ??????? ????????:

f(x) = ?

??????:

?????? x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

?????? 1 ???? log x - 2 (x - 2) 1 . ???????????????????????????????? ?????????? ?????? b ??????????????????????????????????? ?????????????????????? ?????????:

?????? x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = ?????? x - 2 (x - 2)

???????????? ???????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????? ?????????:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

???????????????????????????? ???????????????????????????????? ?????????? ??????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????

??????? ?????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????:

???????? ??????????????????????????????????????????? 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

???????????? ????????????????????????? 0 ???????? ???????????????????? 1:

x - 2 ? 1

??????????????????????:

?????????????????: ??????????????????????????? ??????????????????????????????????????????

???????????????????: ?????????????? ?????????????????????????????????????? ??????????????? ?????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????

????????? ???????????????? x - 2 > 0 ????????????????? 2x 2 - 13x + 18 > 0 ???????????? ??????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????

?????? ???????????????????????????????????????????????????? ???? ?????? x - 2 > 0 ??????????? 2x 2 - 13x + 18 > 0 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????? ????????????????????????????? ???????????????????????

????????? ??????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????? ??????????????????????????????

?????????????????????:

????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? Vieta ??? ?????????:

(x - 5)(x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

??????????????????? ???????? x = 2 ?????????????? ?????????????? x ??????? 2 ??????????????

??? x \u003d 5 ?????????????????????: ??????? 5 ??????? 2 ????????????????? 5 ?????????? 3 ??????????????????????????????? x \u003d 5

?????????????????????????? ?????????? ODZ ???? ????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????:

??????????: ???????????????????????? ??????????????????????????????????????? ?????????????? ????????????????? 9 ?????????:

????????????????????????????? ????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????? ??????????:

???????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

???????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

????????????? ????????????????????????????????????????????????????? ?????????? ???????????????????????????????? (????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????)

???????? ??????????????????????????????? 0 ????????:

??????????????????????????????????????????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????

????????? ?????????????????????????????????????????????????????? (??????????????????????????????????? ?????????????????????????? ??????????????????????????????????? - ?????????????????????????????? ????????????????????????? ????????????????????????????????????)

???????????????????????????????? ?????????????????? ???????????????????????????? ??????????????????????????????????? ?????????:

??????????????????????????????????????:

-2 ? x > -3

???????????: x 1 = -3 ???? x 2 = -1 ?????????????????????? ???????????????????? x = -1 ????? x = -3 ????????????????????? (?????????????????????????????????????) ?????????? ???????????????????? ?????????????????: x = -1 ??????????? ????????

?????????????????????????????:

???????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????? log a f ( x ) = b ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????? ?????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????: ???????????????????????????????????????????????????????? 0 ???????????????????? 1

?????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????

??????????? 3 ?????????? ???????? 81 ????????????????????????????????? ??????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????? ????????? ????????????????? ??????????????????????????? ???????????????? ????????????????????????????? ? ??? ?????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????? ?????????????????????? ???????????????????????????? USE ???????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????????? x ?????????????????? A ??? b ?????????????? ????????? ????????????????????????????????????????????? ??????????????

???????????????? ???????????????????? - ????????????? ?????????????????? ????????????????????????? ???????????????? a ?????????? ???????????????????????? A ?????????????????????????????? ?.????????????? ?????????????? ????????????????? ? ???????????????????

?????????????????????????????????????????????????????????????:

??????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????

??????????? OOF!

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????? F(x) ????????????????? 0 ??? ??????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????? ????????????????????????????????????? ????????????????? ???????????????????? ?????????????????????????? ???????????????????????? ??????????????

????????????????????????????????????

????????????? ??????????????????? ?????????????????????? ????????????????????????????????????

??????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? (????????????? c=b)

???????????????????????????????????? ??????.

?????????? ???????????????????????????????????????? ??????????????????!

???????????????????????????????????????????????? ????????????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????

????????

???????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????