??????????????????????? ???????????

???????????- ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [ ] ???????????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????? ???????????????????????? (????????????) ????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????? ??????? ??????????????????????? ??????????????????? ????????????????????????

????

??????????????????????????????????????????? ????????? ?????????????????????????????? "???????????????????????????????????? ???????"

???????????????????????????????????? ?????. ??????????? ??????????????????? (??????) ??????????????????????????? ????????: ?????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????? ??????????????????????? ?????????????.

????????????????????????????????????????????????? ?????, ??????????????? (???????????????????????????????????????????????) ????????? ???????? ??????????????????????????????????????????????????? ?????, ????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????? (?????????????????????????????????????) ????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????

??????????????????????????????????????-?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????.

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???? ??????????????????????????? ????????????????????????? ???????????????

???????

?????? X (\displaystyle X)????????????????????????

?????????????????????????????????????? X (\displaystyle X)???????? mapping g: R x X -> X (\displaystyle g\colon R\times X\to X), ??????????????????????? g t (x) (\displaystyle g^(t)(x)), ?????? t ? R , x ? X (\displaystyle t\in R,x\in X)?????????????????????? ??? g 0 (\displaystyle g^(0))- ???????????????????????????? X (\displaystyle X). ?????????????????????????????????? ?????????????????????? ( g t: t ? R ) (\displaystyle \(g^(t):t\in R\))?????????????????????????????????????????????????? X (\displaystyle X)???????????????????????????????????????? t 1 , t 2 ? R (\displaystyle t_(1),t_(2)\in R)????? g t 1 ? g t 2 = g t 1 + t 2 (\displaystyle g^(t_(1))\circ g^(t_(2))=g^(t_(1)+t_(2))).

???????????????????????????? ?. (\displaystyle ?.)???????????????????????? g t (x 0) (\displaystyle g^(t)(x_(0)))???????????????????????????????????? ??????????????????????????? R x X (\displaystyle R\times X)???????? ?????????????(????) ??????????? ????????????????? X (\displaystyle X)??????????????????????????? ???????(????) ???????????

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????

????????????????????? ???????????????????????????????? X (\displaystyle X), ?????????? T (\??????????????? T)?????????? ????????????????????????????????????????????????? ????????????? T (\??????????????? T)?????????????????????????? (????????????????? ??????????????) ??????????????????????????????????? ( ????????????????). ???????????? "?????????????" ??????????????????????????? "??????" ????????????????????????????????: ?????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????? ?????? ???????????? ???????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????: ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????

????????????? X (\displaystyle X)??????????????????????????????????????? ??????????????????? ????????????????????????????????????????????? x (\displaystyle x)?????????? ???????????????? ????????????????????????????????????? v (x) (\displaystyle v(x)). ????????????????????????????????????????????????? d x d t = v (x) (\displaystyle (\frac (dx)(dt))=v(x))?????????????????????? x (0) = x 0 (\displaystyle x(0)=x_(0)). ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

?????

?????? X (\displaystyle X)???????????????????? f: X -> X (\displaystyle f\colon X\to X)- ???????????????????????? X (\displaystyle X)???????????? ???????????????????????????????? ???????? ????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? X (\displaystyle X)???????????? T = N (\displaystyle T=\mathbb (N) ). ???????????????????????????????? x 0 ? X (\displaystyle x_(0)\in X)????????? 1 (\displaystyle 1)???????? x 1 = f (x 0) ? X (\displaystyle x_(1)=f(x_(0))\in X). ?????????? 2 (\displaystyle 2)???????????????? x 2 = f (x 1) = f (f (x 0)) (\displaystyle x_(2)=f(x_(1))=f(f(x_(0))))???????

??????????? ? (\displaystyle f)???????? ???????????????? ???????????????????: x - 1 = f - 1 (x 0) (\displaystyle x_(-1)=f^(-1)(x_(0))), x - 2 = f - 1 (f - 1 (x 0)) (\displaystyle x_(-2)=f^(-1)(f^(-1)(x_(0))))??????? ????????????????????????????????????????? T = Z (\displaystyle T=\mathbb (Z) ).

????????

?????????????????????

( d x d t = v d v d t = - k x (\displaystyle (\begin(cases)(\frac (dx)(dt))=v\\(\frac (\frac (dv)(dt))=-kx\end(cases)))

?????????????????????????????????????????? "??????????????????????" ???????????????????????? (x , v) (\displaystyle (x,v)), ?????? v (\displaystyle v)- ??????????? x (\displaystyle x). ???????????????????????????????????????????????????????????? - ???????????? ?????????????????????? ??????????????????????????????????????????????

??????????????????????????????

?????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????? (????????????????????????) ?????????????????????????????? ????????????:

???????????????????? ??????? ????????????????????????????????????????????????????????
manifolds ???????????? (???????????????????????) ????????????
?????????????????????????????????????????? "????????" ??????????????????????????????????
???????????????????????????????????? - ?????????????????????????????????????????????????????

???????????????????? ????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????? ??? "???????????" "?????????" ?????????????????? "?????????????????????????????"

??????:????

????????????????? 2010 .

??????????????
??????????????????????

????? "????????????????" ???????????????? ???????:

?????????????????????????- ???????????????????????????... ???????????????????

???????????????????????????- ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????? ??? (Tt) ??????????? ???? (??????????????????????????????????) ???????????? W ????????????????? ??? … ???????????????????

???????????????????????????????????????????? VMK MSU- ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? M.V. Lomonosov (NDSiPU VMK MSU) ??????????? (????????? 1989) - ?????????????????????????????, ??? (???????????????????????????????), ... ... Wikipedia

?????????????? (??????????)- ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (???????????) ?????????????????????????????????????? ????? "?????????" ??? "??????????????" ?????????????????Ren? Thom ??? ... ... Wikipedia

???????????????- ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (??????????????????????) ?????? 1 ?????? 2 ?????????????????? ... Wikipedia

?????????????????????- ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (LSS) ?????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? ??????????????????????? ... ... Wikipedia

?????????????????- ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????? ???????????????. ?????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????? ... ... Wikipedia

????????- ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????? ??????????????????????????????????????????????? ? ???????????????? ????????????????? ? ?????? 1 ... ... Wikipedia

??????????????????- ????? Kolmogorov ??? Arnold Moser ????????? KAM ?????????????????????? A. N. Kolmogorov, V. I. Arnold ??? Yu. Moser ????????????????????????????????????????????????????????????????? ... ... Wikipedia

?????????????? (????????????)- ??????????????: ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (???????????) ?????????????????????????????????????? ????????????? (??????????????) ... ... Wikipedia

???????

???????????????????????? ???????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? - ??????????????????????????? ??????? ... ?????????? 735 ??????
??????????????, G. A. Stepanyants. ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????? ...

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????: ?????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????? ???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????? Levin ????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????????????????????????????? ??? Lewin ???????????????????????????????????? ? ???????????????????????? ???????? ?????? ????????? ????????????? - ??????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? Lewin ???????????????????? "?????????????????" ?????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????? "Aufforderungscharakter" ???????????????????? (???????????????????) ????????????? (????????????????????????) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????? ?????????????? ????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????: "?????????????????????????????????????????????? ????????????????????????? -?????????????; ????? - ?????????? "????????????????????????????????????????? (????????????????????????) ?????? Levin ??????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? ???????????????????

Lewin ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????: ??????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????? ?????????????????????????????????????????? ????????????? ??????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????? ??????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? (???????????????????????????????)

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????? (??????) ????????? Valence ?????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????? ????????????????????????????????????? ????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? Lewin ?????????????????????????? - ?????????????? (?????????????????) ???????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????? Levin ????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????? - ?????? ????????? ??? ??????????? - ??????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? (?????????????????????) ???????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????? ??????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? "?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????"

???????????????????????????????????????? "???????" ???????????????????????????????????? ???????????? ???????????????????? ???????????????????????????????????????????? ?????????????? ??????????????????????????????????????????? ?????? "????????????-???????" ?????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? "????" ???????????????????????????????????????? ??????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????? ????????? ????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????? "???????????-???????????" ????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? Lewin ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (???? ??????????????????????????????????????) ???????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????: ??????????????????????????????????????????? ??????????? ????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????? ? ????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????

????????????? ??????????????????

???? -????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????? ? ?????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????

??????????????????????????????????:

?????????????????????????????????? - ??????????????????????????????????????????

S(t) ????????????????????? ? ???? t

U(t) – ??????????????????????????? t.

a(t) ??????????????????????????????????? t

E(t) - ???????????????????????????????????? t

Y(t) ?????????????????????????????? ? ???? t

???????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????:

Y(t) =f(S(t), S(t-1), …,U(t),U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E (?),E(t-1),…)

(Y(t) = g (S(t), a(t), E(t)) (1)

?????????????????????:

???????? (??????):

????????? (????????????):

????? (??????):

?????????????????:

??????????????? - ?????????????????????

????????????????????????? ??????????????????????????????????:

???????????????????????????????? ? ???? S(t) ????????????? (?????????????????) ???????

????? S(t) ???
???????????????????????????????

????????????????????????????

???????????????????????????????????? S(t) ?????????????????????????????????????

3. ?????????? - ???????????????????????????????

?????????

?? S(t+1), S(t+2),… ???

???????????????????????????????????????????? U(t), U(t+1),…, U(S), S > t ?????????????????? S(t) = X ?????????? S (?) = ?.

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? U*(t) ??????????? 4 ?????????????????????????????????????????:

F(S(t)), t = 0,1,2,…

??????????:

???????????????????????????:

?????????

???? - ?????????????????????????????????????

2. ?????????????????????????:

??????????????????????

????????????????????

3. ?????????????????????????????????:

???? Markov - ???????????????? 1 ??? 2 ???????????????????????????????????????????????????? ?????????? ?????????? Markov ????? (1) ????????????: G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E( ?????), E(t-1)) = 0

?????? Markovian

???????????????????????????????:

????????????????????????????????????????????????? ?????????. ????: ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????? - ??????????????????????????????????????????????????????????????? U ???????????? Y ?? ? ??????????????

?????????? - ???????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????

?????????? - ??????????????????????????????????? (??????) ??????????????????????????????? (????) ?????????????????

?????????? - ???????????????????????????????????????????? (????) ?????????????????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

???????????? ? ???? t ???????????????????????? X(t)

X(t) = ….. , X(t) R n (R ?????????????????????????)

?????????????????????????????????????????????????

G (X 0, t, ) , ??????

X 0 – ????????????????????

t ???????;

- ???????????????????

???????? g(*) ??????????????????????????????????????

???????? g(*) ?????????????????????????????????????????????????? ???????????????? ??????????????

???????????? X t = X 0 (1+ ) t = ?. (X 0, t, )

???????????????????????? g(*) ???????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????????????????????????????????????: F (t, X t , X t +1 , …, X t + m , ) = 0 (1), ??????

X t ??????????????? ? ???? t

????????????? (1) ???????????????????

X t = X 0, X 1 ,…,

?????????????????????? (1) ??????????????????????????????????? X t + m ??????????????????????????????????????? - ?????:

X t+m = f (t, X t , X t+1 , …,X t+m-1 , )(2)

????????????:

Xt +2 = Xt + Xt +1 /2 + t

???????????????????????? (2) ????????

??????????? (2)??????????????????? F(*) ?????????????????????????????????? (????????????????????????????????????? )

??????? (1) ??? (2) ??? m ???????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????

????????: X t \u003d f (X t -1, Y t -1) - ???????????? 2

???????? Y t \u003d X t -1

X t \u003d f (X t -1, Y t -1)

???????????????????????????????????? 1 ???????????????????:

X ????? -1 = ?(?????, X ????? , ) (3)

????? (3) ???????????????? t ??????????????????????????????????

????????:

?????????????????????????????????????

K t ???????????????????????????????????????????? t

- ?????????????????? ???????% ????????????????????????????????????????????????

I t = ???????????????????????

K ????? +1 = (1 - )K t + I t ????????????????? ???????? ?????? t = I ????

K ????? +1 = (1 - )K t + I ??????????????

?????? ????? = ???(t) ???????????? (????????????????)

????????????? (3) ???????????????????????? (X ????? ) ??????????????? (3) ?????????????????????????????? ??????????????????????????? ????? (3) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? .

???????????????????? X 0 ????????????????????????????????????????????????????????????????? (3) ????????????????????????????????????:

X ????? +1 = ? (?????, X ????? , )

X 1 \u003d ? (0, X 0, ) = ?. (0, X 0, )

X 2 \u003d ? (1, X, ) = f (1; f (0, X 0 , );) = ?. (1, X 0 , )

X ?????+1 = ? (?????, X ????? , ) = f (t, g, (t – 1, X 0 , ),) = ?. (?????, X 0 , )

??? f (*) ???????????????????? ????????????????? ????????????????????????????? (3) ?????? X 0 ???

??????????????????? f (t, X t , ) = / X t ????????????????????

??? f(*) ?????????????????????????????????????? ????????????????????????????????? ??? X0

????????????????????????????????????? X 0

??????????????????????????????????????????? (3) ??????????????????????????????:

X s = X s (4)

?????????? (4) - S = 0 ???????????????????????

????? (3) ????????????? ???????? (3) + (4) - ?????????????????? ???????????????????????????????????????????????? (3):

X ????? ?. = X(?????, ?, ) = (X ????? (X ????? +1 = f (?????, X ????? , ))) ????????????????? e ??????????????????????

X t - ????????????????????? t

Z - % ??? ?????

X ????? +1 = X ????? (1+ z) ; X 0 = ...

X 1 = X 0 (1 + z)

X 2 \u003d X 1 (1 + z) \u003d X 0 (1 + z) 2 \u003d g (X 0, t, z) ?????? t \u003d 2

????????????????????????????????? (3) . ?????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????????????????????????????????????????????? lth (?????????????????????????????)

?????????????

???????????????????????????????????????????????

X ????? +1 \u003d f (X t, ) (1)

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????

X t \u003d 1 \u003d f (t, X t, )

X t \u003d X t +1 - X t \u003d f (t, X t, ) - X t = d (?????, X ????? , ) (2)

???????? d (*) ??????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????? X t ?????????????????????????? X t ????????????????????? (2) ???????? d (*) ?????????????????? ????????????

X 0 /t = 0

???????????????????
???

??????????????? ??????????????????????? X 0 ??????????????????????? ???????????????????? ??????????????????????????????????????????? X 0

?????????????????????? X 0 ??????????????? ??????????? (1):

????????????????????

????????????? f t ??????????????????????????????? f() ?????????????????? t ????? ???????? f t ???????????????????????????????? t ????????????????

X t - ?????????????????????????? X 0 ?????????????? t

???????? f t ?????????????????????????????

???????????? ????????????? ??????????.

??????????????? ???????????????????????? ??????? ????????????????????????????????????? t -> ?

???????????

??????? ???
??????????
.

??? X ??????????????
???????????????????????????????
.

Dot ????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????????????????????????????

???
???? 1 ???????? 0

??????????????????????????

Dot ???????? Lyapunov ??????????????????????? ?
??????????????? ,
???????????
??????????????
.

????????????????????????????

- ??????????

???????????????????????? X

Dot ????????????? Lyapunov ?????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????? .

Dot ?????????????????????????????????????????? Lyapunov ???:

?????????????????????????????????????? ??????????????? ??????????????????????????????????????

??????????????????:

– ?????????????

– ????????????????????? k ???????

?????????????????????????????????
?????????????????????
?????? p ???????????????????????????

??????? ???????????????????????????????????????
.

????????

???????????????????????????
:

????? ? ??????????????

??????????????????????

???????????????????????????:
(1)

???????????????? ? ???? t

?????????????? (1)
, ????
?????????????????????????????

????????????????????????????????

????????????????? ????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????

???? 1.0

??????????????????????????

-???????? ??? a=1 ??????? 45 0 - ????????

?????? 0

??????? 2 -1

????????????????

??????? 3 a>1

??????? 4.<-1

??????? 5.a = 1

??????? 6 a = 0

??????? 7 a = -1 x t+1 = -x t

???
, ????

, ????

??????????????????????????????????????????????????????????????????

???
,
,

???????????????????????????????????????????????

(1)

-??????

????????????????????????????????????????? ?????????? "???????" ????????????

?????????????????????????????????????????? (1) ???????????????????????????:

(2)

?????? ??????????????????????????????? (1):
????????????????????????

????????????????? ???????????????? (1)

?????????? (1)

??????????:

??? ???????????????? (1) ????
.

??? ????????????????????????? (1) ????

????????????????
????????????? ???????? (1).

2. [Necessity] ??????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????
????????????????????????? (1) ??????????????????????????????????????????????? (1) ?????????????????? ???????????????????????????:

??????????????????????? (1), ??? :

???????

- ?????????????????
z t = ca t

-=ca t
=+ca t

????????????????

X ????? +1 =???? ????? + ??? (3)

=+ (2)

= ???

= + ???
=

=+ ???

???

??????????????
??????????????????????????? ->??????????????????? U ?????????? ???????????????????????????? ??????????? (3) ???????????????????

???
???????????????????????????????????????? ????? ??????????????????????????????????????????

?????????????????? (3) ????????:

(4)

????????????????????? x s =x s:

(5)

?????????????????????????????

X t +1 =ax t + ??? t

X t+1 =ax t +U t =a(ax t-1 +U t-1)+U t =a 2 x t-1 +a U t-1 + U t = a 2 (???? t-2 +U t-2)+ aU t-1 + U t = a 3 x t-2 +a U t-2 + aU t-1 + U t)=

???
, ????

????????????? U ????? ??? ????? ??????? ??? <= ?????? t.

??????? - ??????????

????????????????????????????????????????????????

??????????????????????????????

???????????????????????:

????????????????????????????

??????????????????

???????????????????????????????????????

?????? d 0 , d 1 >0

??????:

?????? S 1 >0, S 0 <=0 (???????????????? 0 ????????????????????)

?????:

d 0 -d 1 P t \u003d S 0 + S 1 P t-1

d 1 P t \u003d d 0 -S 0 -S 1 P t-1 |: d 1

P t =
(*)

???????????????????????????????????????????????? ??????????????? ???? S 1 d1
?????????????????????????????????

?????????????????

???????????????????????????

d 1 p * \u003d d 0 -S 0 -S 1 p *

??????????????????????????????????

S - ??????????????????????????

D - ??????????????????????????

P t ???????????????????????? t

d t ???????????????????? t

r ???????????????????????????????

- ??????????????????????? ? ???? t+1

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????????????????????

(1)

???????????????????????????? Kharkov:

P t \u003d 30,000 ???????

D t =2 ????????? ????? - ???????

-??????????????????????????????

\u003d 33-2 \u003d 31,000 ???????

???????????????

1. ?????????????????????????????

=
?????? 0<=<=1

0
=

1
=

- ?????????????????????????????????????? (2)

(1)

(2)

???????? d t =d=const ?????? t . ???

??????????????????:
?????? Р 0 ????????????????????????

??<1,
?? ?? ?? 0
0

????????????????????

a t P 0 – ??????????????????

2. ?????????????????????????????????

??????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????? ???? ??????????????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????? ?????????????????????????????? (R. Lucas) ????????????????? 1970

????????????????????? ????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????? ??????????????????: ?????????????????????????????????????????????????????????

- ?????????????????????????? ????????
- ??????????????????????????? P t +1 ; ????
=P t +1 +E t

E t – ????????????????????????

????????????????????????????????????????????????????????? (?????????????????????????????????????) ???????????????????????????????? 0

???????????????????????????????? ???????? E t =0, ????
=P t +1

???????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????????????????:

(1+r) P t =dt

(1+r) P t =dtP t+1

=Pt+1

P t+1 =(1+r) Pt-d (3)

P t ????????? P t ->? ????????? (1+r) > ????????????????????????????:

??? P t = ???? P t + k =

d=0, P ????? +1 =(1+r) Pt

DYNAMIC SYSTEM ????????????????????????????????????????????? (????????? ?????? ???????? ???) ?????????????????????????????????????????????????????????

??????????????. ????????????????????????????? A. Poincare ??? A. M. Lyapunov ???????????? 19 - ???????????? 20 ??????????????????????????????????? (??????????????????????????????????????????????????? ??? ) ????????????????????????? ??????????????????? x(t) ????????????????????????????? (ODE) ??????????????? ?????????????????? (????????????) ???????????????????????????????? ??????????? (???? ??????) ????????? x(t) ?????????????????????????????????????????????????????????? (???? ?????????????? x) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????? x(t) ????????????????????????????????

???????????????????????? 20 ?????????????????????????????????????????????????????????????? ???????? A. A. Andronov ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????? ?????????? ???????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? Andronov ?????????????????????????????????????????????????? Poincar? ????????????????????????????????? - ??????????????????? ??????? L. S. Pontryagin ?????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????? (?????????) ???????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? - ????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????????????????????? 20 D. V. Anosov, V. I. Arnold, R. Bowen, R. Manet, Ya. G. Sinai, S. Smale, S. Hayashi, L. P. Shilnikov ?????????? ????????????????? Andronov ?????????????????????????????????????? ???????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????????????????????????? (x) ??????????????? (??) ????????????? f ????? ??????????????? ????? ?????????????????????????? x 0 ?????????? x ????? ? ???? ????? ???????????????????????????????????????? x ????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? ?????????? ??? ??????????? (???) ?????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? - ?????????????????????????????? ???????????? ?????????????????????? n ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ODE ??????????????

????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? - ??????????????? ???????????????????????? - ??????????? ??????????????????????? ???????????????? m ?????????? - ?????????? ??????? m ???????????????????? ?????????????????????? (?????????????????????) ??????? dissipative ???????????????????? - ???????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????? ????? - ???????????????? (?????????????) ?????????????????????????????????????????????????????????? ? - ???????????????????????????????????????

???????????????????????????????? ???????????????????????????????????? (???????????????????) ????????????? (??????) ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????? Hamiltonian ????????????? Hamiltonian ????????????????? ?????????? dissipative ?????????????????????????? ??????????????????????????????? (???????????????????) ?????????????????????????? ??????

???????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????? ODE x = f(x) (x ???????????????????????????? ????????????????????????????) ????????????????????????????????????????????? x ?????????? x 0 ?????????????????????????????????????? ?(x 0) = 0 ?????????????????????????????????????? O ?????????????????????????????????????????? O ???????? ????? l 1 , l 2 ,.., l n ?????????????????

?????? d ij ??????????????????????? ??? Re l j ???????????? p ???????????? q root ??? p + q = n ??? p \u003d n (q \u003d n) ??? O ???????????????????? (?????????) ???????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? t -> +? ???????????????????????????? ????? t-> -? ??? p?0, q?0 ??? O ??????????? ??????????????????????: p-dimensional W s O ??? q-dimensional W u O ??????????????? O ??????????????????????????? O ??????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? O ???? t ->+? ??? t -> -? ???????? ????????????????????????? t -> ± ? (?????? 1)

???????????????????? W s O W u O ???????? (???????????? O) ???????? Homoclinic ???? Saddle separatrix loop ????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????? x = p(t) ??????? x = f(x) ??????????????????????: p(t) = p(t+T) ?????? t ??? ?????? T ?????? ???????????????????????????????????? L ???????????? ??????????????????????????????????????????????????????? L ??????????????????????? g 1 , ..., g n ???????????????????????????????????????????? L ???????????? g n ??????? 1 ???? ??? |g i |< 1 (|g i | >1) ????????????? i = 1, 2, ..., n - 1 ??????????? L ??????? (?????????) ????????? p ???????????? q ????????????????????????????????????? p + q = n - 1 ??????? L ??????????????????? ?????????????????????????????: (p + 1) - ???? W s L ??? (q + 1) - ???? W u L (???????????????????????????) ??????? W s L (W u L) ?????????????????????????? L ???? t -> +? (t ->- ?) ?????? n = 3 ??? p = q=1 ??????? W s L (W u L) ??????????????????????????????? ????????? g ???????????????????? 1 (?????? 2)

?????????????????????????????????????? L ???????????????????????????????????????????? D (n - 1) D ????????? (????????????) L ????????????????????????? ?????? m 0 ?? D ??????????? L ????? ??????????????? m 0 ???????? D ?????????? m ??????????????????? (?????? Poincar?) (?????? 3)

???????????????????????????? Poincar? ???????????? L ??? D ????????????????????? Jacobi ???????????????????? g 1 , ..., g n-1 ???????????????????? L.

?????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????? W s L ??? W u L ????????????? L ??? homoclinic ??????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (?? ??????????????????????????)

???????????????????????????????????????????????? G ??????????????????????????????: x n+1 = G(x n) ????????????????????????????? f t , t = m ??????????????? G ??? m ?????: f n x=G(G(...G(x)...)) ???????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (n + 1), x n + 1 ???????????????????? x n ???????????????: x n + 1 \u003d ax n - bx 2 n, a, b > 0 - ????????????? ????????????????? a ??? b ????????????????????????????????????????????? (????????????????????????????????) ?????????????????????

?????? Poincar? ???????????????????????????? ???????????? ????????????????????????????????????????????????????? ODE ?????????????????????? x = f(x, th), th = o ?????? f ????????????????????????????? th ??????? Poincar? ???? ??????????? ?????????????????? ????????? Poincar? secant ??????? th = 0 ?????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

A. Poincar? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? L . Boltzmann ??? J. W. Gibbs ????????????????????????? ????????????????????????????????????????????? Ergodic ???????????????? "?????" ??????? "???" ???????????????????????????????

Lit.: ??????????????????????????????????????????? ?., 1967; Kornfeld I. P. , Sinai Ya. G. , Fomin S. V. ?????????????????????? ?., 1980; ????????????????????????????????? ????? ??????????????????????? ????????????? ?., 2528-2534. [?. 1-9]: ???????????; Katok A. , Hasselblatt B. ????????????????????????????????????????????????. ?., 1999.

V. S. Afraimovich, M. I. Rabinovich