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1. ????????. ???? 10-11: ??????????????????????????????????? / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
2. ????????. ???? 10 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich - ??????? 6 ?????? - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: ill.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru()
4. Tutoronline.ru ().

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????????. ???? 10-11: ??????????????????????????????????? (??????????????????????) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ??????? 5 ????????????? - M .: Mnemozina, 2008. - 288 p.: ill.

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