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???????????????????? b ?????? a (a>0, a ?????????? 1) ????????? c ?????? a c = b: log a b = c <=> a c = b (a > 0, a ? 1, b > 0)

?????????????????????????????????????????????????????????????? ????????? ???????????????????????????????????????????? 1 ???? ???????????????? -2 ????????????? 4 ???????????????????????????????????? -2 ??? 4 ??????? 2

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?????? a b = b (a > 0, a ? 1) (2)

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????? b>0, a>0 ??? a ? 1 ???????? ???????????????????????? b ??? ???????????????????? a ??? ????????????????????? "?????" ??????????????????????????????????????????????????????????????????? OD

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?????? a = 1 (a > 0, a ? 1) (3)
?????? 1 = 0 (a > 0, a ? 1) (4)

?????????? ????????????? a ??????? 1 ?????????????????? ???????????????? a ??????? 1 ????????????? 1

?????????????????????????????????????????

?????? a (b c) = ?????? a b + ?????? a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0) (6)

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????? "????????????" ODZ ??????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ODZ ??????

?????????? ???????????? a (f (x) g (x)) ????????????????????: ????????????????????????????????????????? ????????? f(x) ??? g(x) ?????????????????????????

????????????????????????? log a f (x) + log a g (x) ??????????????????????????????????????????? f(x)>0 ??? g(x)>0 ??????????????????????????? ????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ???????????????????????????? (6)

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?????? a b p = p ?????? a b (a > 0, a ? 1, b > 0) (7)

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?????? a (f (x) 2 = 2 ?????? a f (x)

???????????????????????????????????????????????????????????????????? f(x) ??????????? ?????????????????? f(x)>0 ????????! ???????????????????????????? ?????????? ODZ ???????????????? ??????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????? 2 ???????? ??????????????????????? ????

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?????? a b = ?????? c b ?????? c a (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0, c ? 1) (8)

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?????????????????? b ??????? c ???? ????????????????????????? (8):

?????? a b = 1 ?????? b a (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1) (9)

????????????? ??????????????

??????????? 1 ?????: log2 + log50
????????. log2 + log50 = log100 = 2 ??????????????????????????? (5) ????????????????????????????????

??????????? 2 ?????: lg125/lg5
????????. log125/log5 = log 5 125 = 3 ??????????????????????????????? (8)

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?????? a b = b (a > 0, a ? 1)

?????? a = 1 (a > 0, a ? 1)

?????? 1 = 0 (a > 0, a ? 1)

?????? a (b c) = ?????? a b + ?????? a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b - log a c (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0)

?????? a b p = p ?????? a b (a > 0, a ? 1, b > 0)

?????? a b = ?????? c b ?????? c a (a > 0, a ? 1, b > 0, c > 0, c ? 1)

?????? a b = 1 ?????? b a (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1)

?????????????????????? ?????????????????????? ????????????????????????????????????? ?????????- ??????? ?????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????? ? ??????????????? ?????????? ??????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????

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??????????????????????????????? b ???????? a c ?????????????????????????????? ????? c ?????????????????? ?????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????: log a b=log a a c =c

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??????????????? ????????????????????: lne 5.3 =5.3

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?????? 2 2 -3 =-3 ??? lne 5,3 =5,3

???????????????? b ??????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????? b ???????? a c ???????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 1 ???? 2 ???? 3 ...

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???? 5 25=2 , ??? .

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??????????????????????????? 60 3 ?????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 60 60=1 ???????????? ?????? 60 60=log60(2 2 3 5)= ?????? 60 2 2 +?????? 60 3+?????? 60 5= 2·???? 60 2+???? 60 3+???? 60 5 ???????, 2 ?????? 60 2+?????? 60 3+?????? 60 5=1- ???????????, ???? 60 3=1-2·???? 60 2-???? 60 5=1-2·a-b.

??????? ?????????????????????????: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

?????:

???? 60 27=3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

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???????????????????????????

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??????????????????????????????????????????????????????????????? 1,000 ??? 9,999 (??????????????????) ???????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? - ????????????????? ???? log1.256 ???

???????????????????????????????????????? ????????????????????????????? 1.256 ???????????? 1.2 (????????????????????????????????????????????) ???????????????????? 1.256 (???? 5) ????????????????????????????????????????????????????? (???????????????????) ???????????????????????? 1.256 (???? 6) ??????????????????????????????????????????????????????? (??????????????????????????????) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (????????????????????????????????) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????1.236µ0.0969+0.0021=0.0990.

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1 ??? 9.999 ???????????? ?????????????????????????????????????

??????? lg102.76332 ??? ???????????????????????? ?????????????????????: 102.76332=1.0276332·10 2. ?????????? ?????????????????????????????????????????????????????? 1.0276332 10 2 µ1.028 10 2?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????? ??????? log102.76332µlg1.028·10 2 ?????????????????????????????????: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2- ??????? ????????????????? lg1.028 ??????????????????????? lg1.028µ0.0086+0.0034=0.012 ??????????????????????????????????????????????????????????: log102.76332=log1.0276332 10 2 µlg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2g0.012+2=2.012.

???????????? ?????????????? 2 3 ??? ????????????????????????????????????????? ????? . ??????????????????????? ????? log3g0.4771 ??? log2g0.3010 ???????, .

???????.

?????????? ??.????., ???????? ??.????., ????????? ??.??. ??????? ? ????????????????????????????????????: ?????????????????????? 10 - 11 ???????????????????????
Gusev V.A., Mordkovich A.G. ?????????? (?????????????????????????????????)

????????? - ????? ???? ???????????????????????:

??????????????? x ????????????????? a ??????????? x

????: log a x = b ?????? a ?????? x ??????????????? b ?????????????????????????????

???????????? 2 3 = 8 => log 2 8 = 3 (???????????? 2 ??? 8 ??? 3 ????? 2 3 = 8) ???????????????????????????? 2 64 = 6 ????????? 2 6 = 64

?????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
?????? 2 2 = 1	?????? 2 4 = 2	?????? 2 8 = 3	?????? 2 16 = 4	?????? 2 32 = 5	?????? 2 64 = 6

???????????????????????????????????????????????????? ???? ?????????????? 2 5 ??? 5 ????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????? ????? 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

??????????????????????????????????: ???????????????????????????????????????????????? ??????????????????? ??????????????????????????????? ????????????????????????????: log 2 5, log 3 8, log 5 100

???????????????????????????????????????????????????????????? (??????????????????) ???????? ?????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ?????????????:

???????????????????????????????????????????????????? ????: ???????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????? - ?????????????????? ???????????????????????????! ?????????????????????????????????????????????? - ?????????????????????????

????????????????????????? - ?????????????????????????????????????????????? ???? ???????????????? "??????" ????????? ????????????????????????????????????????????????????????:

?????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????
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???????????????????????? ??????????????????????(ODZ) ???????? ODZ ??????????????????????????: log a x = b => x > 0, a > 0, a ? 1

?????????????????????????????????????? b (???????????????) ???????????? ??????????????????: log 2 0.5 = -1 ????? 0.5 = 2 -1

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?????????????? b ???????????

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???. ??????????????: ?????? 5 25

??????????????????????????????????????????: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

?????????????????????:
?????? 5 25 = b => (5 1) b = 5 2 => 5 b = 5 2 => b = 2 ;

??????????????: 2.

???. ??????????????:

???. ??????????????: ?????? 4 64

???????????????????????????????????????: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
?????????????????????:
?????? 4 64 = b => (2 2) b = 2 6 => 2 2b = 2 6 => 2b = 6 => b = 3 ;
??????????????: 3.

???. ??????????????: log 16 1

???????????????????????????????????????: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
?????????????????????:
?????? 16 1 = b => (2 4) b = 2 0 => 2 4b = 2 0 => 4b = 0 => b = 0 ;
??????????????: 0.

???. ??????????????: ?????? 7 14

?????????????????????????????????????????: 7 = 7 1 ; 14 ????????????????????????? 7 ??? ????????? 7 1< 14 < 7 2 ;
?????????????????? ???????????????????????
???????????????????????????: ?????? 7 14

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???. ????????????????????????????????????????????????: 8; 48; 81; 35; 14.

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48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ???????????????????? ??????????????????????????: 3 ??? 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ??????????????;
35 = 7 · 5 - ????????????????????????????
14 = 7 · 2 - ????????????????????????????

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?????? x = ?????? 10 x

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?????? (x + 3) = 3 + 2 ?????? 5

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?????? a f (x) = b

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b = b 1 = b ?????? a a = ?????? a a b

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?????? 0.5 (3x - 1) = -3

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?????? 0.5 (3x - 1) = ?????? 0.5 0.5 -3

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3x - 1 = 0.5 -3

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3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

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?????? a k b = 1/k loga b

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5 2 ?????? 5 x - ?????? 5 x = 18
10 ???? 5 x - ???? 5 x = 18

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9 ?????? 5 x = 18
?????? 5 x = 2

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?????? 5 x = ?????? 5 5 2
x = 5 2
x = 25

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??????????????

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?????? (x + 3) = 3 + 2 ?????? 5

????????????????????????????:

?????? b = ?????? 10 ?

??????????????????????????????????????? ?????? b ??????????????????????????????????????????????????? 10 ? . ????????????????????????????????????????????????????????????: ????????????????????????? ? ???????? lg 10

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3 = ?????? 10 10 3 = ?????? 10 3

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?????? (x - 3) = ?????? 1,000 + ?????? 25
?????? (x - 3) = ?????? 1,000 25
?????? (x - 3) = ?????? 25,000

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????????? ?????? Canonical ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

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x + 3 = 25,000
x = 24,997

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?????? a f (x) = ?????? a a b

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4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

??????????????????????????????:

? = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = -6

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-6 + 4 = -2 < 0

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-1 + 4 = 3 > 0

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?????? a f (x) = b

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b = ?????? a a b

?????????????? a b ???????????????????????? ???????????????????????????:

?????? a f (x) = ?????? a a b

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? (x) = ?

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x + 5 = 1

x = -4

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?????? 56 = ?????? 2 ?????? 2 7 - 3log (x + 4)

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?????? a bn = nlog a b

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?????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????? ????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????

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????? 56 = ????? 7 - 3????? (x + 4)

?????? lg 7 ?????????????????:

????? 56 - ????? 7 = -3????? (x + 4)

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????? (56/7) = -3????? (x + 4)

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?????? 8 = ?????? (x + 4) -3

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(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

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?????? a f (x) = b

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b = ?????? a a b

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?????? a f (x) = ?????? a a b

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? (x) = ?

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?????? x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

?????? 1 ?????????? x - 2 (x - 2) 1 ?????????????????????????????????????????? b ?????????????????????????????????????? ???? ??????????????????????. ?????????:

?????? x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = ?????? x - 2 (x - 2)

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2x 2 - 13x + 18 = x - 2

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??????? ??????????????????????????????????????????? 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

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x - 2 ? 1

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