?????????????????????????? LCM ????????? ??????????????????????????? "??????????"

???????? A ???????????????????? A ??????? A ????????????????????? ??????? 15, 20, 25 ???????? ?????????????????????? 5

??????????????????????????????? ??????????????????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????

?????????????? (LCM) ????????? (??? ??????????????) ????????????????????????????????????????????????????????????????

?????????? NOC ????????????????????

??????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? K

???????????? ???????????????????? 4 ?????????:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

??????? ?????????????????????????????????????? 4 ??? 6 ?????????? 24 ????????????????????????:

LCM(4, 6) = 24

??????????????????? ???????????????????????????????????? ???????????????????????? LCM

??????????????????????? ????????????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????????????????????????????? - ????????????

???????????????????????? ?????????????????????????????????

???????????? ????????????????????? 50 ??? 20 ??????????????????

????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????? ??????????????????? ??????????

????????????????????????????????????? 20 ??? 50

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

??????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????

??????? LCM ???????????????????????????? ??????????????????????????????????? ??????????????????

???????????? ????????????????????????????????????? 16, 24, 36

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

??????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (?????????????????????????????????)

?????????????????????????????????????

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

????????????????????????????????????? ??????? ??????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????

???????????? NOCs ????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? LCM ???????????????????????????????????

???????????? LCM(10, 11) = 110

?????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????? (LCM) ???????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????? ???????????????????????????????????????????????? ????????? LCM ????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????

???????

???????????

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10 ???????????????????? ??????????????

• ???????????? ???????????????????????????? 5 ??? 8 ???????????????????????????????? ???????????????????????

1. ?????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????

   • ???????????? ???????????????? 5 ?????? 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40

2. ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

   • ???????????? ???????????????? 8 ?????? 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ??? 64

3. ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????

   • ???????????? ???????????????????????????????????????? 5 ??? 8 ??? 40 ??????? 40 ??????????????????????? 5 ??? 8

   ?????????????????

   1. ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10 ??????? ??????????????????????? ?????????????????

      • ???????????? ????????????????????????? 20 ??? 84 ?????????????????????? 10 ?????????????????????????????

   2. ???????????????????????????? ??????????????????????????? ???????? ????????????????????? ?????????????????????? ????????????????????????????

      • ????????????, 2 x 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)??? 2 x 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). ??????? ?????????????????????? 20 ????????? 2, 2 ??? 5 ???????????????:

   3. ?????????????????????????????????????????.??????????????????????????????????????? ??????? ?????????????????????????????????????

      • ????????????, 2 x 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 x 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)??? 3 x 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). ??????? ?????????????????????? 84 ????????? 2, 7, 3 ??? 2 ???????????????:

   4. ????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? ???????????????????????? (????????????????????????????????????????????????????)

      • ???????????? ???????????????????????????????? 2 ???????????? 2 x (\displaystyle 2\times )????????? 2 ???????????????
      • ???????????????????????????????????????????????? 2 ???????????? 2 x 2 (\displaystyle 2\times 2)????????? 2 ????????????????????????

   5. ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????? ????????????????????????????????????????

      • ???????????? ???????? 20 = 2 x 2 x 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)??????? (2) ???????????????????????????????? ????????? 5 ???????????? ???????????????????????????: 2 x 2 x 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • ???????? 84 = 2 x 7 x 3 x 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) deuces ??????? (2) ????????????? ????????? 7 ??? 3 ???????????? ???????????????????????????: 2 x 2 x 5 x 7 x 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. ???????????????????.????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????

      • ????????????, 2 x 2 x 5 x 7 x 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). ???????????????????????? 20 ??? 84 ??? 420

   ???????????????

   1. ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (?????????) ???????????????????????? ??????????????????????????????????? (???????????????????????? #) ?????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????

      • ???????????? ?????????????????????? 18 ??? 30 ????? 18 ???????????????????????? ???????? 30 ????????????????????????

   2. ??????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? ?????????????????????????????

      • ???????????? 18 ??? 30 ????????????? ?????????????????????????? 2 ??????????????? 2 ?????????????????????

   3. ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????

      • ????????????, 18 ? 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)???????????? 9 ??????? 18
      • 30 ? 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)???????????? 15 ?????? 30

   4. ????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????? ???????? ???????????????????????????????????

      • ???????????? 9 ??? 15 ??????? 3 ????? ??????????????? 3 ????????????????????????

   5. ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

      • ????????????, 9 ? 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)???????????? 3 ?????? 9
      • 15 ? 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)???????????? 5 ?????? 15

   6. ????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????

   7. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

      • ???????????? ?????? 2 ??? 3 ???????????????? ?????????? 3 ??? 5 ???????????????? ???????????????????????????: 2 x 3 x 3 x 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. ??????????.??????????????????????????????????????????????????????????

      • ????????????, 2 x 3 x 3 x 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). ???????????????????????? 18 ??? 30 ??? 90

   ???????????????????

   1. ???????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????? ???????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????

      • ???????????? ???????? 15 ? 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)???????. 3:
        15 ??????????
        6 ??????????
        2 ???????????
        3 ???????????????

???????????????????????????????????

??????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????????????????? LCM ?????????: 99, 30 ??? 28 ????????????????? ??????????????????????????????????????:

?????????????????????????????? 99, 30 ??? 28 ????? ????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

??????? LCM (99, 30, 28) = 13,860 ??????????????????????????? 13,860 ???????????? 99, 30 ???? 28 ?????

???????????????????????????????????? ?????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????

???????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ???????????? ????????????: 20, 49 ??? 33 ???? coprime ?????????????????

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340

??????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231

????????????????

????????????????????????????????????????????????????

??????????? 1 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ? ?????????????? LCM ????????????????????????????????????????? ???????????? ???????????????: 60, 30, 10 ??? 6 ??????????????? 60 ?????:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

?????????? ????????????????????? ????????????????????:

1. ???????????????????????????????????????
2. ????? ??????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????

??????????? 2 ???????????????? 24, 3 ??? 18 ??????????????????? - ????????????? 24 ??????? ????????????? 24 ????????????????????????? 18 ???????? 3:

24 1 = 24 ??????? 3 ??????????????? 18 ????????

24 2 = 48 - ??????? 3 ??????????????? 18 ????????

24 3 \u003d 72 - ??????? 3 ??? 18 ?????

??????? LCM(24, 3, 18) = 72

???????????????????????? LCM

??????????????????????????????????????????? LCM ????????

LCM ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????? 1 ????? LCM ??????????????????????: 12 ??? 8 ????????????????????????: GCD (12, 8) = 4 ?????????????????:

??????????????????????? GCD:

??????? LCM(12, 8) = 24

?????????? LCM ????????????????????? ????????????????????:

1. ????????? ???? LCM ?????????????????? ???????
2. ??????? ??? LCM ??????????????????????????????????
3. ??????? LCM ???????????????????????????????????????????? ???????
4. ??????????????? LCM ?????????????????????????????????????

??????????? 2 ????? LCM ??????????????????????: 12, 8 ??? 9 ????? LCM ????????? 12 ??? 8 ????????????????????????????? (????????????? 24) ???????????????????????????? 24 ???????????? - 9 ????????????????????????: gcd (24, 9) = 3 ??? LCM ??????? 9:

??????????????????????? GCD:

??????? LCM(12, 8, 9) = 72

??????????????????????????????????????????????????????????? LCM - ?????????????? ??????????? ???????? ??????????? ????????????? LCM ???????????????????????? ?????????????????????????? LCM ????????????????????

Yandex.RTB R-A-339285-1

?????????????????????? (LCM) ???? gcd

???????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? ??????????????????? LCM ???? GCD ??? ????????? ????????????????????????????

??????????? 1

????????????????????????????????????????????????????????? LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b)

???????? 1

??????????????? LCM ????????? 126 ??? 70

??????????

????? a = 126 , b = 70 . ??????????????????????????????????????????????????????? LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

????? GCD ????????? 70 ??? 126 ??????????????????????????????????????????: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 ??????? gcd (126 , 70) = 14 .

??????? LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630

???: LCM (126, 70) = 630.

???????? 2

???????????????? 68 ??? 34

??????????

GCD ??????????????? ????????? 68 ??????? 34 ????? ?????????????????????????????: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68

???: LCM(68, 34) = 68.

????????????? ???????????????????????????????????????????? a ??? b: ???????????????????????????????????? LCM ??????????????????????????????????????

????? LCM ??????????????????????????????????????????

?????????????????????? LCM ????????????????????????????????????????????????

??????????? 2

????????????????????? ???????????????????????? ??????

• ?????????????????????????????????????????????????????????????????? LCM
• ????????????????????????????????????????????????
• ???????????????????????????????????????????????????????? LCM ????????????????

????????????????????????????????????????????????????? LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) ??????????????? ???????????: ?????????????? a ??? b ????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????? GCD ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

??????????? 3

??????????????? 75 ??? 210 . ???????????????????????????????????: 75 = 3 5 5??? 210 = 2 3 5 7. ?????????????????????????????????????????????????????????? ????????: 2 3 3 5 5 5 7.

???????????????????????????????? 3 ??? 5 ???????????????????????????????: 2 3 5 5 7 = 1050. ??????????????? LCM ??????????????????? 75 ??? 210

??????????? 4

????? LCM ????????? 441 ??? 700 ?????????????????????????????????????

??????????

????????????????????????????????????????????????:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

??????????????????: 441 = 3 3 7 7 ??? 700 = 2 2 5 5 7 .

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. ????????????????? ????????????? 7 ???????????????????????????: 2 2 3 3 5 5 7 7. ???????? NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

???: LCM (441 , 700) = 44 100 .

???????????????????? LCM ??????????????????????????????????????????

??????????? 3

??????????? ?????????????????????????????????????????????? ??????????????????????:

• ????????????????????????????????????:
• ??????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????
• ???????????????????????????? LCM ?????????????????????????

??????????? 5

??????????????? 75 ??? 210 ??????????????? LCM ???????????????????????????????? ????????????????????????????: 75 = 3 5 5??? 210 = 2 3 5 7. ?????????????????? 3 , 5 ??? 5 ??? 75 ??????????????????????? 2 ??? 7 ??????? 210 . ?????????: 2 3 5 5 7 .?????? LCM ????????? 75 ??? 210

??????????? 6

??????????????? LCM ????????? 84 ??? 648

??????????

?????????????????????????????????????????: 84 = 2 2 3 7??? 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. ??????????????????????? 2 , 2 , 3 ??? 7 ?????? 84 ????????? 2 , 3 , 3 ???
3 ??????? 648 . ??????????????? 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .??????????????????????? 84 ??? 648

???: LCM (84, 648) = 4536

????? LCM ?????????????????????

????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????: ?????????? LCM ???????????????????????????? ??????????????????????

??????? 1

?????????????????????? a 1 , 2 , … , ?. NOC m k???????????????????????????????????????? m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k)

??????????????????????????????????????????????????????????????

???????? 7

????????????????????????????????????????? 140 , 9 , 54 ??? 250 .

??????????

??????????????: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250

???????????????????? m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . ??????????????????????????????????? GCD ????????? 140 ??? 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 ?????????: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260 ??????? ?. 2 = 1 260 .

???????????????????????????????????? m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) ????????????????? ?????? m 3 = 3 780

????????????? m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . ????????????????????????????????? ?????? ?. 4 \u003d 94 500

LCM ????????????????????????????????????? 94500

???: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

??????????????? ???????????????????????????????? ??????????????????????????????????

??????????? 4

????????????????????????????????????????????????:

• ?????????????????????????????????
• ???????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????
• ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???
• ????????????????????????????????????????????????????????????

??????????? 8

??????????????? LCM ??????????????? 84 , 6 , 48 , 7 , 143

??????????

???????????????????????????????????????: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 ????????????????????? 7 ?????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????

????? ??????????????????????????? 2, 2, 3 ??? 7 ???????? 84 ???????????????????????????????????????????? ????????? 6 ??????? 2 ??? 3 ???? ??????????????????????????????????????????? ???????????????????

??????????????????????????????????? ???????????????????? 48 ????????????????????????????????? 2 ??? 2 ?????????????????????????????????? 7 ????????????????????????????? 11 ??? 13 ???????????? ??????: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048 ????????????????????????????????????????

???: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048

?????????????????????????????

????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????

??????????? 9

LCM(54, -34) = LCM(54, 34) ??? LCM(-622,-46, -54,-888) = LCM(622, 46, 54, 888)

????????????????????????????????????????????????????? ????? -- ?????????????
???????????????? ???????????????????????????? -.

???????? 10

??????????????? LCM ?????????? - 145 ??? - 45 .

??????????

??????????????????? - 145 ??? - 45 ??????????????????? 145 ??? 45 . ?????????????????????? ???????? LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 ?????????????????????? GCD ?????????????????????????

???????? LCM ????????? - 145 ??? - 45 ??????? 1 305 .

???: LCM (- 145 , - 45) = 1 305 .

??????????????????????????????????? ???????????????? Ctrl+Enter

????????????????????????????????????????????????? ?????

????????????:

??????? 12 ??????? 1 ????? 2 ??? 3 ??? 4 ??? 6 ??? 12 ?????

??? 36 ??????? 1, 2, 3 ??? 4, 6 ??? 12, ??? 18, 36 ?????

??????????????????????? (?????? 12 ??? 1, 2, 3, 4, 6 ??? 12) ???????? ????????????. ?????????????????????? ?????????????????????????????????????? ???????????? ???????????????????????????????????????????????? ???????? .

????????????????? 12 ??? 36 ???????????? ???????????????????? 1, 2, 3, 4, 6, 12 ??????????????????????????????????????? 12 ???????????????????????????? ????? ???? ??????????????????????????????????????????? ????? ?.

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????, ?????? 9, 18 ??? 45 ??????????????? 180 ??? 90 ??? 360 ???????????????????????????????? ?????????????????????????? ?????????????????????????? ???????????? 90 ?????????????????? ???????????????????? (LCM).

LCM ????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????

?????????????? (LCM) ?????????.

?????????????:

?????:

????????????????? ??? ??? ????????? coprime ???????:

???????????????????????????????? ???? ????????????????????????????? ??????? ???? ?. ????????? ???????????????? ?.?????????????????????? LCM( ?.?).

??????????? ???????????????????????????????????????????????

???????, ???????? Chebyshev. ????????????:

????????????????????????????????????????? ????(n).

???????????????????????????????????????

??????????????????? (LCM)

NOC( ?, ?) ??????????????????????:

1. ?????????????????????? ????????????????????????????????? LCM:

2. ????????????????????????????????????????????????????????????????:

?????? p 1 ,...,p k??????????????????? ??? d 1 ,...,dk??? ?? 1 ,...,??????????????????????????? (????????????????????????????????????????????????????????)

??????? LCM ( ??,?) ????????????:

???????????????? ??????? LCM ???????????????????????????????????????????????????????????????? ?, ??????????????????????????????????????????????????

????????:

???????????????????????????????????????????????????????????? LCM ?????????????????????????????????????:

??.?????????? LCM ???????????? ???????:

- ???????????????????????????

- ??????????????????????????????????????????????????????????? (?????????????????????????????????????????????????) ??????????????????????????????????????? ? ??????????????????????????????????????? ????????????????

- ???????????????????????????? LCM ?????????????????

???????????????????????????????????? LCM ????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????? LCM ????????????????????????????????????????

?????????????????????? 28 (2, 2, 7) ???????????????????????? 3 (????? 21) ????????????? (84) ?????????????????????????????????? 21 ??? 28 ?????

??????????????????????????????????? 30 ???????????????????????? 5 ???????? 25 ???????????????? 150 ???????????????????????? 30 ???????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? (150, 250, 300...) ????????????????????????????????????

?????? 2,3,11,37 ?????????????? ??????? LCM ????????????????????????????????????????

??. ?????????? LCM ????????????? ??????????????????????????????????????????

????????????????:

????????????????????? (LCM) ???????????????????????:

1) ??????????????????????????????????????????? ????

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) ??????????????????????????????:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1

3) ??????????????????????? (??????) ?????????????????????????

4) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????

5) ???????????????

????????. ????? LCM ?????????: 168, 180 ??? 3024

??????????. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

??????????????????????????????????????????????????????????????:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120