ladybe.ru
???????????????????????????????? ??????????????: ????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????? ODZ ???????????????????? ????????????????????????????????????????????? (????????????????) ????????????????????????????????????????????????????
???????????????????? ??? ?????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????
?????????????????????? ??????????????????????????????????:
log a (f g ) = ?????? a f + ?????? a g
??????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????
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???????????? ????????????????????????????????????? f ??? g ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????: ?????????????????????????????? ???????????????????????????????:
????? > 0
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? > 0
???? > 0
????????????????????????????????????? ????????? ???????????????????? f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 ????????????)
???????????????????????????????????????????? ???????????????????????????? ????????????????????? ??????????????????????????????? ?????????????????????????????????
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?????????????:
[???????????] ?????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????:
[???????????] ??????????????? ??????????????????????????????????:
a = ?????? b b a
?????????????????????????????????:
?????? 4 (x - 5) 2 = ?????? 4 1
???????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????:
(x - 5) 2 = 1
|x - 5| = 1
????????: ????????????? ?????????????????????????????????????????????????????:
[???????????] ??????????????????????????????????????:
|? | = ?. (?. > 0) =>f = ±?
x - 5 = ±1 =>x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
?????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????? ??? ???????????????????!
?????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????? ????????????????????:
x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0
????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????:
(x - 5) 2 > 0
????????????????????????????????? ??? ?????????????! ????????????? x - 5 = 0 ??????? ??????????????????????????????????????:
x - 5 ? 0 => x ? 5
??????????????? ???????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????? ??????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????????? ???????: ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????:
x (x - 5) > 0
???????????????????????????????:
x (x - 5) = 0 => x = 0; x = 5
?????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ??????????? ?????????? 5 ?????:
[???????????] ????????????????? (-?; 0) ? (5; ?) ??????????????????????????????????????? ???????????? x = 4 ?????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????? ????????? x = 4 ??????????????: x = 6 ??????????????????????????????????????????? ??????????? ???????????????????????
???????????????????????????:
[???????????] ???????????? ????????????????????????????? ???????????????????????????????? ??????????? ????????????????? lgx - ????????????????????????? ????????????????????:
lgx = ?????? 10 x
????????????????????????????? 2 ??? ??????????????????????????
[???????????] ?????????????????????????????????????????????:
????? + 1/????? = 2;
????? + 1/t - 2 = 0;
(t 2 - 2t + 1)/t = 0;
(t - 1) 2 /t = 0
??????????????? ????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????:
(t - 1) 2 = 0; ????? ? 0
????????????????:
????? - 1 = 0;
????? = 1.
????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????? t ???????? ??????????????? t ???????:
[???????????]?????????????:
logx = 2 logx + 1
2 logx - logx = -1
????x = -1
???????????????????????????????:
logx = ?????? 10 -1
x = 10 -1 = 0.1
???????????????????????? ???????????????? ??????????????????????????? ???????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????:
[???????????] ???????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????? ?????: x = 0.1 ???????????????????????
????????????????????????????????????????????: ??????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????
?????????????????????????????????: ??????????????????????? ??????? ??????????????????????????? ??????????? ????????????????????? ????????????????????????????? (??????????????????????????) ???????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? (???????????????????????????????????????????????????????)
????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????? ???????? ?????????????????????????????????? ??? ???????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????
???????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????? ODZ ??????
????????? ?????????????????? ?????????????????????????????????????????????? t ?????????????????????????????????? ??? ???????????????????!
????????????? t ???? ????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????
????????????????????? "???????"
?????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? a f (x) = b ??????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????? b :
b = ?????? a a b
????????: a b ???????????????? ??????????????? ??????????????? ??????????????????????? f(x) ?????????????????????????????????????????????:
?????? a f (x) = ?????? a a b
?????????????????????????????????????? - ?????????????????????????????????????:
? (x) = ?
???????????????????????? ????????? ???????????????????????? ??????????? f (x) ???????????? ??????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????? ????????????????????????????? ???????????????? 1:
?????? 2 (1 + 3 ?????? 2 x ) = 2
??????????????? ??????????????????????????????????????????? ???????? f (x) ???????????? 1 + 3 log 2 x ????????????????? b ?????????? 2 (???????? a ??????????????????) ???????????????????????????:
??????????????????????????????????????????????????????????? ??????? ????? 5 ??????????????? ???????? 2 = log 5 5 2 ????????? ??????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????? 2
???????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????? ?????????:
?????? 2 (1 + 3 ?????? 2 x ) = ?????? 2 4
??????????????????????????????????????????? - ?????????????????? ??????????????? ???????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? "????????????" - ???????????????????????????????????????????????????????:
1 + 3 ?????? 2 x = 4
???????????????????? 3 log 2 x ???????????????:
3 ?????? 2 x = 3
?????? 2 x = 1
??????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????? ????????????????? ?????????????????????????????????????:
1 = ?????? 2 2 1 = ?????? 2 2
??????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? 2 ??????????? ??????????????????????????????????????????:
?????? 2 x = ?????? 2 2
??????????????????????????????????????? ???????? ??????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ??????????????????????????????:
???????????! ??????????????????????? ???????????????????????????????
?????! ???????????? x ????????????????????? (???? ????????????????????????????????????????????) ?????????????????????????????????
??????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? x ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????
???????????? ???????????????????????? ?????????????????????????????????? x = 2 ???????????? ????????????????????????????????????????????????
???????????????????????? ???????????????????:
?????? 2 (?????? 1/2 (2x - 1) + ?????? 2 4) = 1
?????????????????????????????????????????????????? f (x) ????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????? Canonical ???????????????????????????????? ?????? 2 2 1 = ?????? 2 2
??????????????????????????:
?????? 2 (?????? 1/2 (2x - 1) + ?????? 2 4) = ?????? 2 2
???????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????? ????????????????? 2 4 = 2:
?????? 1/2 (2x - 1) + 2 = 2
?????? 1/2 (2x - 1) = 0
???????????????????????????????????????????????????????????? ?????? a f (x) = b ?????????? Canonical ????????? ???????????????????????????????? 1/2 (1/2)0 = ?????? 1/2 1
????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????:
?????? 1/2 (2x - 1) = ?????? 1/2 1
2x - 1 = 1
??????????????????????????? ????????????????????????????? ???????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????? ?????????????????????????????? x = 1 ???????????????????????
??????????????????????? ????????????????????? x ??????????????? (???? 2x ???????????????????????? ????????????) ?????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????
????????????????????????? ???????????????????????????????? ???????????????: ?????????????????? x ??????????????????????????? ??????????? ??????????????????????? 2 x ????????????????????? x > 0 ???????????? ??????????? ??????????????????????????
???????????? ?????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????? ??? x
???????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????: ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????? ?????????????? ???????????????????????????????????????
????????????????????
????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????? - ???????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????? - ??????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????:
?????? a f (x) = b
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?????????????? ????? b ???????????????????????????????????? a ??????????????????????????? ????????????:
b = ?????? a a b
?????????????? "????????? ? b" ??? "????????? ? a" ??????????????????????????????????????? ????????????????? ???????????????????????????????? a > 0 ??? a ? 1 ????????
???????????? ???????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? a ???????? ????????????? 0 ???????????????????????? 1 ???????????????????????????????????:
?????? a f (x) = ?????? a a b
????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????:
? (x) = ?
??????????????????????????????????????????????????? ????????!
?????? 2 (x 2 + 4x + 11) = ?????? 0.5 0.125
?????????? ??????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? ????????????? ???????????? ???????????????????????????????????????????????? - 2 ???? 0.5 ????????????????????????????:
??????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ????? ???????:
?????? 2 (x 2 + 4x + 11) = ?????? 1/2 1/8
????????????????????????????? ????????????? 1/2 ??? 1/8 ??????????????????????????????????:
[???????????] ?????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
???????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????? Vieta ??????????????????? ??????????????????????????????????:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
???????????! ???????????????????????????????????????? ???????????
????????????????????????? ????????????????????????????????????? ???????????????????????????? x ????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????
???????????????????????? ???????????????????:
?????? 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = ?????? 3 1/9
?????? 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = ?????? 3 9 -1
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????: 1/2 = 2 -1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????? -1:
[???????????] ????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????? ????????????
????????????? ??????????????????????????????????????? ???????????????????????????? 2 ??????????????????????????? 3 ?????????????????????????? ??? ??????????????? ???????????????????? 2 ???? 3 ????????????????????
??????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????? ???????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????? ??????????????????????????? - ?????????????????????????????????????????????????????
????????? 2 ?????????????????? log 2 2 2 = log 2 4 ????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????:
?????? 2 (5x 2 + 9x + 2) = ?????? 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x - 2 = 0
??????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? x 2 ????????????????????? ????????????????????????????????????:
? = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (-9 - 11)/10 = -2
???????????! ??????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????? ??????????????????? x ????????????????????????????????? ??????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????? - ????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????? ?????????????? ????????????????????: ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????? ??????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????? ???????? (?????????????????????????????????????????????????????) ?????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????? ?????????????????????? ??????????????????????????? ??????????????????????
????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????
????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????:
- ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????
- ?????????????????????????????????????????????????????????? "???????????" ??????? - ???????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????? ??????? ?????????????????????????????????????? ??????????? ????????????? ?????????????????
?????????????????????????:
?????? x + 1 (x - 0.5) = ?????? x - 0.5 (x + 1)
?????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????:
?????? a b = 1/?????? b a
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? > 0
1 ? ? > 0
????????????????????????????????????? ???????????? ?????????????????????? 1 ? a > 0 ?????????????????????????? a ?????????????????????????? (??????????? a > 0) ???????????????????????????????????????? . ??? log b 1 = 0 ?????????????????????????? ??????? a ? 1
???????????????????????????????????? ???????????????????????? b? ??????????? ?????????? b > 0 ????????????????????? b ? 1 ?????????????????????????????????????? 1 ?????????? ??????????????????????????????? 1 ? ? > 0
??????????????: ?????????????? (b ? 1) ????????????????? ?????????????????????????????? ???????????????? ???????????????????????? ????????? ???????????????????????????? b ?????????????????????????????!
????????????? ????????????????:
[???????????] 1 ? x - 0.5 > 0; 1 ? x + 1 > 0
????????????????????????????????????????????????? ???????????????????? a ??? b ??????????? 0 ????????????? 1 ?????????????????????????????????????????????????????????:
????????????????????????????:
?????? x + 1 (x - 0.5) = t
????????? ?????????????????????????????????????:
(t 2 - 1)/t = 0
????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????:
(t - 1)(t + 1)/t = 0
??????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? ???????????????????????????????????????:
????? 1 = 1;
????? 2 = -1;
????? ? 0
??????????????????????????????????????????????? ???????????? ??????????????????????????????? ?????????????????????????? t ??????????????? x ???????????????????????????:
?????? x + 1 (x - 0.5) = 1;
?????? x + 1 (x - 0.5) = -1
???????????????????????????????????????:
?????? x + 1 (x - 0.5) = ?????? x + 1 (x + 1) 1
?????? x + 1 (x - 0.5) = ?????? x + 1 (x + 1) -1
????????????????????????????????????????????????????????:
x - 0.5 = x + 1;
x - x = 1 + 0.5;
????????????????????? ?????????????????????????????????????????? ?????????????????? ???????????????????????:
(x - 0.5)/1 = 1/(x + 1)
???????????????????????:
(x - 0.5)(x + 1) = 1
?????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????:
(x - 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;
x 2 + 1/2x - 3/2 = 0
???????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????? Vieta:
(x + 3/2) (x - 1) = 0;
x 1 = -1.5;
x 2 = 1.
?????????????? - ??????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? ???????????????????? ???????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????:
1.5 ? x > 0.5; 0 ? x > -1
??????????????????????????????????????????????????????:
1 ? x > 0.5
???????????????????????????????? x = -1.5 ?????????????? ??? x = 1 ????????????????????? ??????? x = 1 ????????????????????????????????????
??????????????????????:
?????? x 25 + ?????? 125 x 5 = ?????? 25 x 625
???????????? ??????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? ???????? ????????????????? 25, 5 ??? 625 ????????????????? 5:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
???????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????:
?????? a b n = n ? ?????? a b
???????????????????????????????? b ????????????????????? ???????????? b ??????????????? ???????????????????????????? ???????? ??????????????????????:
2 ? ?????? x 5 + ?????? 125 x 5 = 4 ? ?????? 25 x 5
????????????????????????????????????????????????????? ????????? ???????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????? - 5 ??????????????? b ???????????? ??????????????????????????????????????????????????? ?????????????????:
[???????????] ???????????? ??????????????????????????????? ????????????????????????:
?????? 5 x = ?????
????????? ???????????????????????????????:
????????????????????????????:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + ????? 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12
?????????????????????????. ???????????????????:
[???????????] ?????????????????????????:
????? ? 0; ????? ? -3; ????? ? -2
?????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? "???" ???????????? ??????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????? t ????????????????????????????????????????? t ???????:
[???????????] ????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????:
[???????????] ??????????? ??????????????????????????????????????? - ???????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????? x ?????????????????????????:
1 ? x > 0;
????????????????????????? ???????????? x ? 1/125 ????????????????????????????????????????????????????? ??????? x ? 1/25 ????????????????????????
?????????? ??????????????????????????:
1 ? x > 0; x ? 1/125; x ? 1/25
??????????????: ?????????????????????????????????????????? ???????????????????! ????????? 5 ??????????? ?????????????? ??????????? x > 0 ????????????????????????
???????????? 1 = 5 0, 1/25 = 5 -2, 1/125 = 5 -3 ?????????????????????????????????????????????? (????????????????????????????????????????????????????) ??????????????????????????????????????????????
??????????????????????????? ?????????????????????????:
- ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????
- ??????????????????????????: ???????????????????????????????????? ???????????????????????????? ?????????????????????????????????? ?????????????????????????????????? ???????????? ???????????????? ????????????????????????????????????????? ???????????????????????
??????????????? ??????????????????? ??????????? ??????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? Unified State ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????????:
??????????????????????????????:
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*??????????????????????????????????????????????????????
* * *
*????????????????? (???????) ???????????????????????????????????????????
* * *
*???????????????????????????????????????????????????????????????????
* * *
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* * *
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* * *
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????:
??????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ????????????:
?????????????????????????:
* * *
????????????????????? ???????????????????? ??????????????????????
* * *
??????????????? ??????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????? ????????????????? ? ????????????????????????
????? ????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????? ??????? ??????????????????????????????????????? "???????" ????????????????????? ???????????????????????? Unified State ?????????????? ????????!
??????????????! ??????????!
???????????????? Alexander Krutitskikh
?.?. ???????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????? b (b > 0) ?????? a (a > 0, a ? 1)– ????????????????????????? a ??????????? b
???????????? 10 ??? b ?????????????????? ??????(?)??????????????? e (?????????????????) ??? ????(?).
?????????????????????????????????????:
?????????????????????
????????? ?????????????????????.
??? a > 0, a ? 1, x > 0 ??? y > 0
????????? 1. ?????????????????????
?????????????????????????????????????????????:
?????? a (x ? y) = ?????? a x + ?????? a y
????????? 2. ?????????????????
??????????????????????????????????????????:
?????? a (x / y) = ?????? a x – ?????? a y
????????? 3. ?????????????????
?????????????????????????????????????????????????:
???????????????????????????? ???????????????????????:
????????? 4. ???????????????
??????????????????????????????????????????????????????? ??????????????? n ???????????????????? 1/n:
?????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????? ??????????????????:
?????????:
??????????????????????? (??????)
?????????? 2 ???????? f(x) ??? g(x) ????????????????????????????????????????????????????????????????:
????????????????????? ??????????????????????????? a ????:
- ??? a > 0 ???? f(x) > g(x) > 0
- ??? 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
?????????????????????: ????????
?????????????????????????????????????? Unified State ?????????????????????????? 11 ????? 5 ?????? 7 ??????????????????????????????????????????????????????????????? ????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????
????????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ?????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????? ????????????????????? ??????????????????:
?????????????????????????????
????????? - ????????? ???? ??????????
???????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? ????????????? 16 ?????????????????????? ?????????????? 64 ????????????????????? ?????????????????????
????????? - ????? ???? ???????????????????????:
??? a ??????????????? x ?????????????????????? a ???????????????? x
????: log a x = b ?????? a ?????? x ??????????????? b ?????????????????????????????
???????????? 2 3 = 8 =>log 2 8 = 3 (???????????? 2 ??? 8 ??? 3 ????? 2 3 = 8) ?????????????????????? ?????? 2 64 = 6 ????????? 2 6 = 64
??????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| ?????? 2 2 = 1 | ?????? 2 4 = 2 | ?????? 2 8 = 3 | ?????? 2 16 = 4 | ?????? 2 32 = 5 | ?????? 2 64 = 6 |
???????????????????????????????????????????????? ???????????? ?????????????? 2 5 ?????? 5 ????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ????? 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
??????????????????????????????????: ???????????????????????????????????????????????? ??????????????????? ??????????????????????????????? ????????????????????????????: log 2 5, log 3 8, log 5 100
???????????????????????????????????????????????????????????? (??????????????????) ???????? ???????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????? ?????????????:
???????????????????????????????????????????????????? ????: ???????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????? - ?????????????????? ???????????????????????????! ?????????????????????????????????????????????? - ?????????????????????????
???????????????????
????????????????????????? - ?????????????????????????????????????????????? ???? ???????????????? "??????" ????????? ????????????????????????????????????????????????????????:
- ?????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????
- ??????????????????????????? ??????????????????????????????????????????? ??????????? ??????????? “??? ?????????????????????????????????????” ???????????????? ???????????????????!
???????????????????????? ??????????????????????(ODZ). ???????? ODZ ??????????????????????????: log a x = b =>x > 0, a > 0, a ? 1
?????????????????????????????????????? b (???????????????) ???????????? ??????????????????: log 2 0.5 = -1 ????? 0.5 = 2 -1
???????????? ?????????????????????????????????????? ???????????????????? VA ???????????? ????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ???????? DL ??????????????????? ?????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????????????:
- ???????? a ??????????????? x ??????????????????????????????????????????? 1 ?????????????????????????????????????
- ????????????????? b: x = a b ;
- ?????????????? b ???????????
???????????! ??????????????????????????????? ??????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????: ???????????????????????????????? ???????????????????????
????????????????????????????????????????????????????:
???. ??????????????: ?????? 5 25
- ??????????????????????????????????????????: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- ??????????????: 2.
?????????????????????:
?????? 5 25 = b => (5 1) b = 5 2 =>5 b = 5 2 => b = 2;
???. ??????????????:
???. ??????????????: ?????? 4 64
- ???????????????????????????????????????: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- ?????????????????????:
?????? 4 64 = b =>(2 2) b = 2 6 =>2 2b = 2 6 =>2b = 6 => b = 3; - ??????????????: 3.
???. ??????????????: log 16 1
- ???????????????????????????????????????: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- ?????????????????????:
?????? 16 1 = b => (2 4) b = 2 0 =>2 4b = 2 0 =>4b = 0 => b = 0; - ??????????????: 0.
???. ??????????????: ?????? 7 14
- ???????????????????????????????????????????: 7 = 7 1 ; 14 ????????????????????????? 7 ??? ????????? 7 1< 14 < 7 2 ;
- ?????????????????? ???????????????????????
- ???????????????????????????: ?????? 7 14
???????????? ? ???????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????? - ?????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????
???. ????????????????????????????????????????????????: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ????????????? ????? ?????????????????????????????
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ???????????????????? ??????????????????????????: 3 ??? 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ??????????????;
35 = 7 · 5 - ????????????????????????????
14 = 7 · 2 - ????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????
???????????????????????????????????????????????????????????
??????????????? x ?????????????????? 10 ???? ?????????????????????? 10 ?????????????? x ????: lg x.
???????????? ?????? 10 = 1; ????? 100 = 2; lg 1,000 = 3 - ???
???????? ???????????? "Find lg 0.01" ??????????????????? ??????????????????????????????? ????????????????????? ???????????? ????????????????????????????? ?????????????????????????????:
?????? x = ?????? 10 x
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????
????????????????????????????????????? ???????? ????????????????????????? ???????????????????????????????
??????????????? x ?????????????????? e ???? ???????????????????????? e ?????????????? x ????: ln x.
?????????????? ?????? e ???????? ??????????????????? ???????????????????????????????????????? ??????????????????????????????:
?? = 2.718281828459…
?????????????????????????????????????????????????????????? ????????????? e ???????????????????????????:
ln x = ?????? ?? x
??????? ln e = 1; ?? ?? 2 = 2; ?? ?? 16 = 16 - ??????? ???????????? ln 2 ???????????????? ????????? ?????????????????????????????????? ????????????????? ?????? ??????????: ln 1 = 0
??????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????
??????????????:
?????????. ????????????????????? (?????????????????)
????????????????????????????????????
?????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????? ?????????????????? c ???????????????????????????? a ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????? c ??????????????????:
???????? ?????????????????????????????????????????? - ???, ??, ?????????, ???????, ??????????, ???????:
??????????????????????????????? a ??? c ??????????????????????????????? ???????????????????????????????:
??????????????????????? ?????????????????????????
???????????? ????????????????? 2 ??????????????????? 3
????????????????? - 2 ??? 3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????
??? 3 ?????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????? 3 ???????????? 3 ??????????????
2 ?????????? ?????????????????????? 2 ??????????????????????? ??????????????????????:
????????? ???????????
?????????
????????????????? ???????????? ?, ?????? ? > 0, ? ? 1???????????????????????????????????? ???????????? ?.
??????????????????????????????????? ? ?????????:
??????????????????????????????? ? > 0, ? > 0, ? ? 1????????????????? ??????????????????
????????????????????????????????????????????? ????????????
?????????????????????:
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?????????????????????????????????????????????????????? 10 ????????? lg ?
??????????????????????????????????????????????????????????????? ?, ?????? ?- ????????????????????????? 2.7 ??????????????????????????? ln ?.
???????????? ? ???????????????????????????
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??????????????????????????????? ???????????? ?? ?????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????? ?????????????????? ?????????????.
????????????????????????????????????? - ?????????????????? ??????????????????????????????????????????????????? ????????????????????? - ???????????????????????????????????????? ?????????????
???????????????????????
??????????????????????????????????????: ?????? a x ????????? a y ??????????????????????????? ???:
- ?????? a x + ?????? a y = ?????? a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y)
??????? ????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????? ????????: ????????????????????? ??????????????????- ???????????????? ???????????????????!
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (????????? "????????????????") ???????????????:
???? 6 4 + ???? 6 9
?????????????????????????????? ??????????????????:
?????? 6 4 + ?????? 6 9 = ?????? 6 (4 9) = ?????? 6 36 = 2
???. ?????????????????: log 2 48 - log 2 3
?????????? ????????????????:
?????? 2 48 - ?????? 2 3 = ?????? 2 (48: 3) = ?????? 2 16 = 4
???. ?????????????????: log 3 135 - log 3 5
?????????????? ????????????????:
?????? 3 135 - ?????? 3 5 = ?????? 3 (135: 5) = ?????? 3 27 = 3
??????????????? ???????????????????????????????????? "?????" ????????????????????? ?????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????? ??? ?????????????????????????????????????????????????????? (?????????????????????????????????) ???????? Unified State
?????????????????????????????
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