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3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich - ??????? 6 ?????? - ?. : ????????, 008. - 233 ?. :????. ????????. ?.10 ?????????????????????????????????????????????????????????
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2. ???????????????????????? ?????????? ().
3. ?????????????????? ().
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1. ???????? ???? 10-11: ???????????????????????????????????????? (??????????????????????) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ??????? 5 ????????????? - M .: Mnemozina, 2008. - 288 p.: ill. ??? 18, 19, 20 ?. 50
2. ??? ????????????? MA???????? IAWS. ???????????????????????????????????????? B, C??? ??.
3. ?????????? MAVS ??? M ??????????? AMB, P ???????????? BMC ??? K ??????????? AC ???????????????????????????????????????? ???? ???? ??
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Orthocentric ?????????????????????????????????????????????????????????;
?????????????????????????????????????????????????????????????????
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??????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????? ????????????????????????? ??????????????????????????? ??????????????????????????? 3 ???????
????????????????????????????????????????????????????????? - ???????? ?????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????? ???? ????????????? ?????? ???????????????????????????????????????? ????????????????? ???????
????????????????????????????????????????????
| ???????????????????????????? 1,2,3,4 (???? 10 ??.) | ???????????????????????????? 5,6,7,8 (???? 10 ??.) | ????????????????????????? 0,1,2,9 (???? 10 ??.) |
 |
 |
|
| JPG | JPG | JPG |
| ???????????????????????????? 1 (???? 10 ??.) | ??????????????????????????? 2 (???? 10 ??.) | ??????????????????????????? 3 (???? 10 ??.) |
 |
 |
 |
| JPG | JPG | JPG |
| ????????????????????????????? (???? - 10 ??.) | ?????????????????????????? (???? 10 ??.) | ????????????????????????????????????????????? (???? - 10 ??.) |
 |
 |
 |
???????????????????????????????????????????:
I. ????????????????:
- ????????????????????????????????????????????
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???????????????? (1 ???????):
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- ???????????????????????????? ???????????????????
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- ??????????????????????????????? (???????)
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????????? 1: ?????????????????
????????? 2: ?????????????????????? 60 °
????????? 3: ?????????????????????????????????? ?????????????? 180°
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?????????:
ABCD ????????????????
AH - ???????
???????:
H - orthocenter
??????????:
1) ??? H ??????????????? A, B, C ??????? ??? H ?B, H ?C
2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,
3) ??????? ABH, BCH, ADH
AD - ?????? => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH
AB \u003d AC \u003d AD t. H - ?????????????????????? ABC
???????
- ???????????? ????????? 5-9 ???????????????????????????????????????????
????????????????????????????????:
?????????????????????????????????
?????????????????????????
??????????? ??????????? (?????????????????):
- ????????????????????
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???. ?????????????? (1-2 ???????):
?????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????? "???????"
????????? 5: ????????????????????????????????????????????????
?????????:
DABC ????????????????
?????? 1 - ??????????????????????????????
O - ?????????????????????????????
N ?????????????????????????????????????????? ABC
???????: O 1 = O
??????????:
??? OA = OB =OD = OC ????????????????????????
????? + (ABC)
AON = CON - ?????????? ???????????????????????????? => AN = CN
?????? OM + (BCD)
COM DOM - ??????????????????????????????????? => CM = DM
????????????? 1 CON COM => ON = OM
ON + (ABC) => ON,OM - ????????????????????????
???????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????? - ???????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? "?????????"
????????? 6: ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????:
ABCD ????????????????
???=BL, AK=CK, AS=DS,
BP=CP, BM=DM, CN=DN
???????:
LO=????=OS=OM=????=OP
??????????.
???????? ABCD - ???? => AO= BO = CO = DO
????????????????? AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD
AO=BO=>?AOB – ???????? =>
OL - ?????????? ??????? ?????????
AO=CO=>?AOC– ???????? =>
???? - ??????????, ???????, ?????????
CO=DO=>?COD– ???????? =>
ON– ?????????? ??????? ????????? AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD–???????? => BOD=BOC=AOD
OM– ?????????? ??????? ?????????
AO=DO=>?AOD– ???????? =>
OS - ??????? ??????? bisector
BO=CO=>?BOC– ???????? =>
OP– ?????????? ??????? ?????????
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD
3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - ?????????????? OL, OK, ON, OM, OS, OP radii
???????????????????????????
??????????:
?????????????????????????????????????
????????? 7:??????????????????? ???????????????????????????????????????
?????????:
DABC ????????????????
H - orthocenter
???????:
??????????:
DABC - ???????????? =>? ADB - ??????????????
(ADB) (EDC) = ED
ED - ??????? ADB => ED + AB,
AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + ????
?????????????????????? ???????????????????????????????
????????? 8: ??????????????????????????????????? ?????????????????????????? O ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????? O ???????????????????????????????????
?????????:
ABCD ????????????????
???????:
O ??????????????????????????????????
6 ??????????????????????? O;
??????????.
CG + BD BCD - ?????????????? => GO + BD (????????????? GO + BD ???????)
BG = GD ????? AG - ?????????? ABD
?????? (ABD)=> ? BOD - ???????? => BO=DO
ED + AB ???? ABD - ?????????????? => OE + AD (????????????????????)
BE = AE ????? DE - ???????????ABD
ABD (ABD) =>?AOB - ???????? =>BO=AO
(AOB) (ABD) = AB
ON + (ABC) ??? + AC (??????
BF + AC ????? ABC - ???????????????)
AF = FC ????? BF - ?????????? ABC
ABC (ABC) => AOC - ???????? => AO = CO
(AOC) ?(ABC) = AC
BO = AO =>AO = BO = CO = DO ??????????????
AO = CO ??????????????????? ABCD
(ABR) (ACG) = AO
(BCT) (ABR) = BO
(ACG) (BCT) = CO
(ADH) (CED) = DO
AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)
????????????:
??? O ???????????????????????????????????
??????????? 6 ????????????????? O
????????? 9: ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 109°28"
?????????:
ABCD ????????????????
O ??????????????????????????????????
???????:
??????????:
1) AS - ???????
ASB = 90 o OSB ???????????????????
2) (???????????????????????????)
3)AO=BO - ????????????????????????
4) 
70 ???? 32"
6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC
(???????????????????????????)
=>AOD=AOC=AOD=COD=BOD=BOC=109°28"
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?????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????? ????????????????????
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????????.
- Potapov V.M. , Tatarinchik S.N. "????????????" ????? 2519
- Babarin V.P. “????????????????????”, ???????????????????, 2000
- Sharygin I. F. “ ???????????????”, ?????, 1984
- ??????????????????????????
- “ School Directory”, ?????, 2544
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?????????????? / ???????? ??????????
????????????? / ??????? ?????????? - ???????????????????
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????? I. ?????????????????????????????????????????
1.1 ?????????????????
§?????. ?????????????????
§2. ?????????? Ceva
§3. ???????????????????????????????????????
1.2 ??????????????????
§?????. ???????????????????
§2. Orthocentric tetrahedra
§3. ?????????? tetrahedra
§???. ???????????????????
§5. ???????????????????
§6. tetrahedra ?????????????????
§7. tetrahedra ????
????? II. ??????????????????????????????????????
§?????. ??????????????????????????????????? "????????" ???????????
§2. ????????????????????????????????????????????????????????????????
????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????? ????????????????????? ?????????????????????????????????????????
?????????????????????????????? stereometry ??????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????? ???????????????????????????? ???????????????????????????? "?????????????????" (????????????????????????) ??????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
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2. ?????????????????????????????????????????????
3. ????????????????????????????????????????????????
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??????????????? ???????????????????? ???????????????????????? ????????? ; . ?????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????? ?????? A 1 , B 1 , C 1 ????????????? BC, AC, AB ???????????????? 
. ????????????????????? A 1, B 1, C 1?????????????????????
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. ???????????????????????????????????? (1) ??? ?????????? ?????? ??????? 1??????????????? AB, ??????????????????????????????????????????
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(2).
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§2. ?????????? Ceva
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???????? A 1, B 1, C 1???????????? Sun, AC??? VA?????????? ABC(?????). ?????????????????????????? ???? 1,
BB 1 , SS 1?????? ? ????????????????????????????????????????????????????????: 
(3) (????????? AA 1 , BB 1 , SS 1???????????????????????)
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???????????. ??????????? AA 1 , BB 1 , SS 1????????????????? ??????????????????? ABC .
??????? S1, S2, S3????????????????? AMS, SMV, AMV??????? ??????? 1 , ??????? 2- ????????????? ?????? ?????? ??????. ???? 
???????????? , . ???????????????????????? ???????????????????????????????????
??????????? ???????? A 1, B 1, C 1???????? Sun, SA, AC
????????????????????????? (3), ????- ????????????????? AA 1??? ???? 1??????? CM???????? AB? ??????? ??????????????????????????????? 
, . ???????????????????????????????????????? Q=C1. ???????????????????????????????
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?????? ????- ???????????????? ????????,?? A 1, B 1, C 1 ??? D 1- ?????????????? CMD
, AMD, AMB??? SMV?????????? AB, B
?
, ??????? DA???????? ???? (???). ??????????: ?????????????? ?????????????? ABC
, BCD 1??? ???? 1????????????
??????????.
????????????????????????????????????????????????????????? A 1, B 1, C 1, D 1?????????????????? (???????????????? A 1 C 1??? ?? 1 ?? 1, ???????????? ????) ??????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????: ??????????????????????????? A 1, B 1, C 1???????????????????????????????????????????????????????? DA? ??????? D1 .
§3. ???????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (????????????????)
??????? (???????????????????????? Menelaus)
?????????????????????????????????????? ????????????????????????? 3:1 ?????????
??????????.
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1
??? CC
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. CL???????????????????? ABC
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,
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, 
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, ???????????????? 
(6). ???????????????????????????????????????
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???????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????
?????? 1
?????????????????????????????? ?, ???????????????????????? p ??? , ?????? f - ??????????????? p ?????????????????????????
??????????.
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???????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????
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??????? 1(???????????????????????????).
????????????????????? ????????, ?????????????? ??, ????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????? ABC .
??????????.
??? a ??????????????????? ABC??? ?????? ??"- ????????? ???????????????? ABC. ???? S DDBC = ???aS DАBC??? S ?D"BC = ? OSaS DDBC(????????? 1) ??????? ? osa = . ? D ?? " BC = .
??????????????????????????????????????????????????????? ?? “????”??? ?? "????". ?????????????????????????????????????????? ?? "??? , ?? "????"??? ?? “????”???????????????????????? ABC, ??????????????????????
???.
?????????????????????????? ?????; ??
,
?
,
?????????????????????????????????? ???????????????? ABC. ???? 
??????????.
???????????????????????????????????????????
????????????
1=
) =>
.
§2. Orthocentric tetrahedra
?????????????????????????????????????????????????? - ?????????????? ?????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????
(1) ???????????????????????????????????
(2) ???????????????????????????????????????????????????????????
(3) ????????????????????????????????????????????
(4) ????????????????????????????????????????????????????????
(5) ??????????????????????????????????????????????????????????????????
(6) ??????????????????????????????????????
(7) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????
??????? (3).
?????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????
????????????? ??????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????
????????? 1
??????????????????? ????????. ??????????.
??????????.
?????? ?=
, ?=
, ?=. ???? 
,
??? ????????????????????????????? ???????????????????????
?????? ?= , ?= ??? c=. ???????????????? 2 + 2 = 2 + 2 , ??????????????. (a,c)=0. ????????????????????????????? ? ????????????? ????????????????????????????????????
?????????????????????????? (6)
???????????????? ?????????????????????:
??????????? "?????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????"
???????????????????????? “??? ????? ????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????? (6) ??? ????????????????????????
???????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????
????????? 2
?????????????????????????????????????????????????? OH 2 \u003d 4R 2 -3d 2, ?????? ???- ?????????????????????????????? ??- ???????????????? R??????????????????????????? d ??????????????????????????????????????????????
??????????.
?????? ?????? ????- ??????????? AB??? ???????????? Dot ????????????????????????????? ??????????? AB?????????? ???- ??????????????????? ?????????? ????.
???????????????????????????????????????????????????????????? - ??????????????? KL. ????????????????????????????????????????? ????????????? ????? ?????????????????? ????, ??????????????? KLMO- ?????????????????? ???????????????????????????? ????????????????????? ???????? AB??? ????, ????????????????? AB 2 + CD 2 = 4d 2 .
????????????????????????????????????? ?????? ??????????????????????????????????????????????
???????????
?????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????
????????? 3
?????????????????????????????????????????????? 9 ??????????????????????????????????????????? (?????? 24 ?????) ???????????????? ?????????????????????????????????????????
????????? 4
???????????????????????????????????????????????? ?????????????????? ?????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????? - ????? 9 ??? (????????)
??????????.
?????? ABC- ????????????? ??- ???????????????? A 1, B 1, C 1- ??????????????????? AN, VN, CH; AA 2- ??????? A 3- ???? ??????????. ???????????????????????????? ABC- ?????????????? ???????? B 1 A 1 C 1 \u003d ?????? DB 1 A 2 C 1 \u003d DB 1 NS 1, ???? B 1 A 2 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, ????. ????? A 1, B 1, A 2, C 1??????????????????? ?????????????? B 1 A 3 C 1 \u003d B 1 HC \u003d 180 ° - B 1 A 1 C 1, ????. ????? A 1, B 1, A 3, C 1????????????????????????? (????????????????????????????????) ??????????????? 9 ??? ??????????????????? ????????????????????? ABC????????????????????????????????
?????????????? 9 ?????????????????????????????????????????????????????????????? H ??????????????? (??????????????????????????????? ABC??? A 1 B 1 C 1). ???????????? ????? 9 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ABC??????????????? (?????????????????????????? ABC ????????????????????????????????????????????????????????)
??????????????????????? 9 ??????? ???????????????????????????????????????????? 3 ???
??????????.
??????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (????????????????????????????? ???????????????????????????????? orthocentricity (5) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????? 9 ???????????????????????????????
????????? 5
???????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2:1 , ??????????????????? (?????? 12 ?????).
??????????.
???????? ?????? ??- ???????? ?????????????????????????????????? ???????????? ????????????????????????????????????????????????????? ????- ???????????? ???(?????????? 2) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????? ????????????? ????????? 1?????????????????? MN??????? 
, ????????? 1????????????????????????????????????????????????????
???????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2:1 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????? ????????????????????????? ??????????????????????????????????? ????????? 1. ?????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????? 1?????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?????? ??'??? ????- ?????????????????????????????? ???????????????? ??????????????????????????? ??'??? H`???????????????????? ?????? ????????????????????????????? ???????????? ??'N'??????????? 1:2 ?????? ??'(??????????????????????????????????????????????) ??????????????????????? (?????) ???????????? ????????? 1??????????????????? - ??? O` 1????????????????????? ????'N', ????. ????????? 1?????????? ??????? H`?????????????????????
§3. ?????????? tetrahedra
?????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????? ???????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????? "???"
????????????????????????????????????????
(1) ?????????????????????????????????????
(2) ???????????????????????????????
(3) ???????????????????????????????????????
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