Den minsta gemensamma multipeln av tv? tal ?r direkt relaterad till den st?rsta gemensamma divisorn av dessa tal. Detta l?nk mellan GCD och NOC definieras av f?ljande teorem.

Sats.

Den minsta gemensamma multipeln av tv? positiva heltal a och b ?r lika med produkten av a och b dividerat med den st?rsta gemensamma divisorn av a och b, dvs. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

Bevis.

L?ta M ?r n?gon multipel av talen a och b. Det vill s?ga, M ?r delbart med a, och enligt definitionen av delbarhet finns det n?got heltal k s? att likheten M=a·k ?r sann. Men M ?r ocks? delbart med b, d? ?r a k delbart med b.

Beteckna gcd(a, b) som d . Sedan kan vi skriva ner likheterna a=a 1 ·d och b=b 1 ·d, och a 1 =a:d och b 1 =b:d blir coprimtal. D?rf?r kan villkoret som erh?llits i f?reg?ende stycke att a k ?r delbart med b omformuleras p? f?ljande s?tt: a 1 d k ?r delbart med b 1 d , och detta, p? grund av delbarhetens egenskaper, ?r ekvivalent med villkoret att a 1 k ?r delbart med b ett.

Vi beh?ver ocks? skriva ner tv? viktiga f?ljder fr?n den ?verv?gda satsen.

Gemensamma multipler av tv? tal ?r desamma som multiplar av deras minsta gemensamma multipel.

Detta ?r sant, eftersom varje gemensam multipel av M tal a och b definieras av likheten M=LCM(a, b) t f?r n?got heltalsv?rde t .

Den minsta gemensamma multipeln av positiva samprimtal a och b ?r lika med deras produkt.

Sk?let till detta faktum ?r ganska uppenbart. Eftersom a och b ?r coprime, d? gcd(a, b)=1 , d?rf?r, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Minsta gemensamma multipel av tre eller fler tal

Att hitta den minsta gemensamma multipeln av tre eller flera tal kan reduceras till att successivt hitta LCM f?r tv? tal. Hur detta g?r till anges i f?ljande sats: a 1 , a 2 , …, a k sammanfaller med gemensamma multiplar av tal m k-1 och a k sammanfaller d?rf?r med multiplar av m k . Och eftersom den minsta positiva multipeln av talet m k ?r talet m k sj?lv, s? ?r den minsta gemensamma multipeln av talen a 1 , a 2 , …, a k m k .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. etc. Matematik. ?rskurs 6: l?robok f?r l?roanstalter.
• Vinogradov I.M. Grunderna i talteorin.
• Mikhelovich Sh.Kh. Talteori.
• Kulikov L.Ya. m.fl. Samling av problem i algebra och talteori: L?robok f?r elever i fiz.-mat. pedagogiska institutens specialiteter.

Hur man hittar LCM (minsta gemensamma multipel)

Den minsta gemensamma multipeln av tv? heltal ?r den minsta av alla heltal som ?r j?mnt och utan rest delbar med b?da givna talen.

Metod 1. Du kan i sin tur hitta LCM f?r vart och ett av de givna talen, skriva ut i stigande ordning alla siffror som erh?lls genom att multiplicera dem med 1, 2, 3, 4, och s? vidare.

Exempel f?r nummer 6 och 9.
Vi multiplicerar talet 6 sekventiellt med 1, 2, 3, 4, 5.
Vi f?r: 6, 12, 18 , 24, 30
Vi multiplicerar talet 9, sekventiellt, med 1, 2, 3, 4, 5.
Vi f?r: 9, 18 , 27, 36, 45
Som du kan se kommer LCM f?r siffrorna 6 och 9 att vara 18.

Denna metod ?r praktisk n?r b?da talen ?r sm? och det ?r l?tt att multiplicera dem med en sekvens av heltal. Det finns dock fall d? du beh?ver hitta LCM f?r tv?siffriga eller tresiffriga nummer, och ?ven n?r det finns tre eller till och med fler initiala nummer.

Metod 2. Du kan hitta LCM genom att dekomponera de ursprungliga talen i primtalsfaktorer.
Efter s?nderdelning ?r det n?dv?ndigt att stryka ut samma siffror fr?n den resulterande serien av primtalsfaktorer. De ?terst?ende siffrorna f?r det f?rsta numret kommer att vara faktorn f?r det andra, och de ?terst?ende siffrorna f?r det andra numret kommer att vara faktorn f?r det f?rsta.

Exempel f?r nummer 75 och 60.
Den minsta gemensamma multipeln av talen 75 och 60 kan hittas utan att skriva ut multiplar av dessa tal i rad. F?r att g?ra detta delar vi upp 75 och 60 i primtalsfaktorer:
75 = 3 * 5 * 5, och
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Som du kan se f?rekommer faktorerna 3 och 5 i b?da raderna. Mentalt "kryssar" vi dem.
L?t oss skriva ner de ?terst?ende faktorerna som ing?r i expansionen av vart och ett av dessa siffror. N?r vi dekomponerade talet 75 l?mnade vi siffran 5, och n?r vi s?nderdelade talet 60 l?mnade vi 2 * 2
S? f?r att best?mma LCM f?r talen 75 och 60 m?ste vi multiplicera de ?terst?ende talen fr?n expansionen av 75 (detta ?r 5) med 60, och siffrorna som ?terst?r fr?n expansionen av talet 60 (detta ?r 2 * 2 ) multiplicera med 75. Det vill s?ga, f?r att underl?tta f?rst?elsen s?ger vi att vi multiplicerar "korsvis".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
S? h?r hittade vi LCM f?r siffrorna 60 och 75. Det h?r ?r siffran 300.

Exempel. Best?m LCM f?r nummer 12, 16, 24
I det h?r fallet kommer v?ra handlingar att vara n?got mer komplicerade. Men f?rst, som alltid, delar vi upp alla tal i primtalsfaktorer
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
F?r att korrekt best?mma LCM v?ljer vi det minsta av alla siffror (detta ?r talet 12) och g?r successivt igenom dess faktorer och stryker ?ver dem om minst en av de andra raderna med tal har samma multiplikator som ?nnu inte har korsats. ut.

Steg 1 . Vi ser att 2 * 2 f?rekommer i alla serier av tal. Vi stryker ?ver dem.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Steg 2. I primtalsfaktorerna f?r talet 12 ?terst?r bara talet 3. Men det finns i primtalsfaktorerna f?r talet 24. Vi stryker ?ver talet 3 fr?n b?da raderna, medan ingen ?tg?rd f?rv?ntas f?r talet 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Som du kan se, n?r vi s?nderdelade talet 12, "strekade vi ?ver" alla siffror. S? uppt?ckten av NOC ?r klar. Det ?terst?r bara att ber?kna dess v?rde.
F?r talet 12 tar vi de ?terst?ende faktorerna fr?n talet 16 (den n?rmaste i stigande ordning)
12 * 2 * 2 = 48
Det h?r ?r NOC

Som du kan se var det i det h?r fallet n?got sv?rare att hitta LCM, men n?r du beh?ver hitta den f?r tre eller fler nummer, l?ter den h?r metoden dig g?ra det snabbare. B?da s?tten att hitta LCM ?r dock korrekta.

Den st?rsta gemensamma divisorn och den minsta gemensamma multipeln ?r viktiga aritmetiska begrepp som g?r att du enkelt kan arbeta med vanliga br?k. LCM och anv?nds oftast f?r att hitta den gemensamma n?mnaren f?r flera br?k.

Grundl?ggande koncept

Divisorn f?r ett heltal X ?r ett annat heltal Y med vilket X ?r delbart utan rest. Till exempel ?r divisorn f?r 4 2 och 36 ?r 4, 6, 9. En multipel av heltal X ?r ett tal Y som ?r delbart med X utan rest. Till exempel ?r 3 en multipel av 15 och 6 ?r en multipel av 12.

F?r alla talpar kan vi hitta deras gemensamma divisorer och multiplar. Till exempel, f?r 6 och 9 ?r den gemensamma multipeln 18, och den gemensamma divisorn ?r 3. Uppenbarligen kan par ha flera divisorer och multipler, s? den st?rsta divisorn f?r GCD och den minsta multipeln av LCM anv?nds i ber?kningarna .

Den minsta divisorn ?r inte meningsfull, eftersom den f?r alla tal alltid ?r ett. Den st?rsta multipeln ?r ocks? meningsl?s, eftersom sekvensen av multiplar tenderar till o?ndlighet.

Hitta GCD

Det finns m?nga metoder f?r att hitta den st?rsta gemensamma divisorn, av vilka de mest k?nda ?r:

• sekventiell uppr?kning av divisorer, urval av vanliga f?r ett par och s?k efter den st?rsta av dem;
• s?nderdelning av tal till odelbara faktorer;
• Euklids algoritm;
• bin?r algoritm.

Idag, i utbildningsinstitutioner, de mest popul?ra metoderna f?r nedbrytning i prim?ra faktorer och den euklidiska algoritmen. Den senare anv?nds i sin tur f?r att l?sa diofantiska ekvationer: s?kningen efter GCD kr?vs f?r att kontrollera ekvationen f?r m?jligheten att l?sa den i heltal.

Att hitta NOC

Den minsta gemensamma multipeln best?ms ocks? exakt genom iterativ uppr?kning eller faktorisering till odelbara faktorer. Dessutom ?r det l?tt att hitta LCM om den st?rsta divisorn redan har best?mts. F?r nummer X och Y ?r LCM och GCD relaterade av f?ljande relation:

LCM(X,Y) = X x Y / GCM(X,Y).

Till exempel, om gcd(15,18) = 3, d? LCM(15,18) = 15 x 18 / 3 = 90. Den mest uppenbara anv?ndningen av LCM ?r att hitta den gemensamma n?mnaren, som ?r den minsta gemensamma multipeln av givna br?k.

Samprimtal

Om ett talpar inte har n?gra gemensamma divisorer, kallas ett s?dant par coprime. GCM f?r s?dana par ?r alltid lika med ett, och baserat p? kopplingen av divisorer och multipler ?r GCM f?r coprime lika med deras produkt. Till exempel ?r talen 25 och 28 coprime, eftersom de inte har n?gra gemensamma divisorer, och LCM(25, 28) = 700, vilket motsvarar deras produkt. Alla tv? odelbara tal kommer alltid att vara coprime.

Gemensam divisor och multipelr?knare

Med v?r kalkylator kan du ber?kna GCD och LCM f?r valfritt antal siffror att v?lja mellan. Uppgifter f?r att ber?kna gemensamma divisorer och multipler finns i aritmetiken i ?rskurs 5 och 6, men GCD och LCM ?r matematikens nyckelbegrepp och anv?nds inom talteori, planimetri och kommunikativ algebra.

Verkliga exempel

Gemensam n?mnare f?r br?k

Den minsta gemensamma multipeln anv?nds f?r att hitta den gemensamma n?mnaren f?r flera br?k. Antag att i ett aritmetiskt problem kr?vs att man summerar 5 br?k:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

F?r att l?gga till br?k m?ste uttrycket reduceras till en gemensam n?mnare, vilket reducerar till problemet med att hitta LCM. F?r att g?ra detta, v?lj 5 siffror i r?knaren och skriv in n?mnarv?rdena i l?mpliga celler. Programmet kommer att ber?kna LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nu m?ste du ber?kna ytterligare faktorer f?r varje br?kdel, som definieras som f?rh?llandet mellan LCM och n?mnaren. S? de extra multiplikatorerna skulle se ut s? h?r:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Efter det multiplicerar vi alla br?k med motsvarande till?ggsfaktor och f?r:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Vi kan enkelt l?gga till s?dana br?k och f? resultatet i form av 159/360. Vi minskar br?ket med 3 och ser det slutliga svaret - 53/120.

L?sning av linj?ra diofantiska ekvationer

Linj?ra diofantiska ekvationer ?r uttryck av formen ax + by = d. Om f?rh?llandet d / gcd(a, b) ?r ett heltal, ?r ekvationen l?sbar i heltal. L?t oss kolla ett par ekvationer f?r m?jligheten till en heltalsl?sning. Kontrollera f?rst ekvationen 150x + 8y = 37. Med hj?lp av en minir?knare hittar vi gcd (150,8) = 2. Dividera 37/2 = 18,5. Talet ?r inte ett heltal, d?rf?r har ekvationen inte heltalsr?tter.

L?t oss kontrollera ekvationen 1320x + 1760y = 10120. Anv?nd en kalkylator f?r att hitta gcd(1320, 1760) = 440. Dividera 10120/440 = 23. Som ett resultat f?r vi ett heltal, d?rf?r ?r Diofantin koefficienten l?slig i heltal .

Slutsats

GCD och LCM spelar en stor roll i talteorin, och sj?lva begreppen anv?nds i stor utstr?ckning inom olika omr?den av matematiken. Anv?nd v?r kalkylator f?r att ber?kna de st?rsta divisorerna och de minsta multiplerna av valfritt antal tal.

?verv?g tre s?tt att hitta den minsta gemensamma multipeln.

Hitta genom faktorisering

Det f?rsta s?ttet ?r att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att faktorisera de givna talen i primtalsfaktorer.

Anta att vi beh?ver hitta LCM f?r siffror: 99, 30 och 28. F?r att g?ra detta delar vi upp vart och ett av dessa tal i primtalsfaktorer:

F?r att det ?nskade talet ska vara delbart med 99, 30 och 28 ?r det n?dv?ndigt och tillr?ckligt att det inkluderar alla primtalsfaktorerna f?r dessa divisorer. F?r att g?ra detta m?ste vi ta alla primtalsfaktorer f?r dessa tal till den h?gsta f?rekommande potensen och multiplicera dem med varandra:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

S? LCM (99, 30, 28) = 13 860. Inget annat tal mindre ?n 13 860 ?r j?mnt delbart med 99, 30 eller 28.

F?r att hitta den minsta gemensamma multipeln av givna tal m?ste du faktorisera dem i primtalsfaktorer, sedan ta varje primtal med den st?rsta exponenten som den f?rekommer och multiplicera dessa faktorer tillsammans.

Eftersom samprimtal inte har n?gra gemensamma primtalsfaktorer ?r deras minsta gemensamma multipel lika med produkten av dessa tal. Till exempel ?r tre tal: 20, 49 och 33 coprime. Det ?r d?rf?r

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Detsamma b?r g?ras n?r man letar efter den minsta gemensamma multipeln av olika primtal. Till exempel, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hitta genom urval

Det andra s?ttet ?r att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att passa.

Exempel 1. N?r det st?rsta av de givna talen ?r delbart med andra givna tal, ?r LCM f?r dessa tal lika med det st?rre av dem. Till exempel med fyra siffror: 60, 30, 10 och 6. Var och en av dem ?r delbar med 60, d?rf?r:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

I andra fall, f?r att hitta den minsta gemensamma multipeln, anv?nds f?ljande procedur:

1. Best?m det st?rsta antalet fr?n de givna talen.
2. D?refter hittar vi tal som ?r multiplar av det st?rsta talet, multiplicerar det med naturliga tal i stigande ordning och kontrollerar om de ?terst?ende givna talen ?r delbara med den resulterande produkten.

Exempel 2. Givet tre siffror 24, 3 och 18. Best?m det st?rsta av dem - det h?r ?r talet 24. Hitta sedan talen som ?r multiplar av 24, kontrollera om vart och ett av dem ?r delbart med 18 och med 3:

24 1 = 24 ?r delbart med 3 men inte delbart med 18.

24 2 = 48 - delbart med 3 men inte delbart med 18.

24 3 \u003d 72 - delbart med 3 och 18.

S? LCM(24, 3, 18) = 72.

S?kning genom sekventiell s?kning LCM

Det tredje s?ttet ?r att hitta den minsta gemensamma multipeln genom att successivt hitta LCM.

LCM f?r tv? givna tal ?r lika med produkten av dessa tal dividerat med deras st?rsta gemensamma delare.

Exempel 1. Hitta LCM f?r tv? givna tal: 12 och 8. Best?m deras st?rsta gemensamma delare: GCD (12, 8) = 4. Multiplicera dessa tal:

Vi delar upp produkten i deras GCD:

S? LCM(12, 8) = 24.

F?r att hitta LCM f?r tre eller fler nummer anv?nds f?ljande procedur:

1. F?rst hittas LCM f?r tv? av de givna talen.
2. Sedan, LCM f?r den hittade minsta gemensamma multipeln och det tredje givna talet.
3. Sedan, LCM f?r den resulterande minsta gemensamma multipeln och det fj?rde talet, och s? vidare.
4. LCM-s?kningen forts?tter allts? s? l?nge det finns siffror.

Exempel 2. L?t oss hitta LCM f?r tre givna siffror: 12, 8 och 9. Vi har redan hittat LCM f?r talen 12 och 8 i f?reg?ende exempel (detta ?r talet 24). Det ?terst?r att hitta den minsta gemensamma multipeln av 24 och det tredje givna talet - 9. Best?m deras st?rsta gemensamma divisor: gcd (24, 9) = 3. Multiplicera LCM med talet 9:

Vi delar upp produkten i deras GCD:

S? LCM(12, 8, 9) = 72.

L?t oss forts?tta diskussionen om den minsta gemensamma multipeln som vi startade i avsnittet LCM - Minsta gemensamma multipel, definition, exempel. I det h?r ?mnet kommer vi att ?verv?ga s?tt att hitta LCM f?r tre siffror eller fler, vi kommer att analysera fr?gan om hur man hittar LCM f?r ett negativt tal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ber?kning av minsta gemensamma multipel (LCM) till gcd

Vi har redan etablerat f?rh?llandet mellan den minsta gemensamma multipeln och den st?rsta gemensamma divisorn. L?t oss nu l?ra oss hur man definierar LCM genom GCD. L?t oss f?rst ta reda p? hur man g?r detta f?r positiva siffror.

Definition 1

Du kan hitta den minsta gemensamma multipeln genom den st?rsta gemensamma divisorn med formeln LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Exempel 1

Det ?r n?dv?ndigt att hitta LCM f?r siffrorna 126 och 70.

L?sning

L?t oss ta a = 126 , b = 70 . Ers?tt v?rdena i formeln f?r att ber?kna den minsta gemensamma multipeln genom den st?rsta gemensamma divisorn LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Hittar GCD f?r talen 70 och 126. F?r detta beh?ver vi Euklids algoritm: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , d?rav gcd (126 , 70) = 14 .

L?t oss ber?kna LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Svar: LCM (126, 70) = 630.

Exempel 2

Hitta nok f?r siffrorna 68 och 34.

L?sning

GCD i det h?r fallet ?r l?tt att hitta, eftersom 68 ?r delbart med 34. Ber?kna den minsta gemensamma multipeln med formeln: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Svar: LCM(68; 34) = 68.

I det h?r exemplet anv?nde vi regeln f?r att hitta den minsta gemensamma multipeln av positiva heltal a och b: om det f?rsta talet ?r delbart med det andra, s? kommer LCM f?r dessa tal att vara lika med det f?rsta talet.

Hitta LCM genom att faktorisera siffror till prim?ra faktorer

L?t oss nu titta p? ett s?tt att hitta LCM, som ?r baserat p? s?nderdelningen av tal till primtalsfaktorer.

Definition 2

F?r att hitta den minsta gemensamma multipeln m?ste vi utf?ra ett antal enkla steg:

• vi g?r upp produkten av alla primtalsfaktorer av tal f?r vilka vi beh?ver hitta LCM;
• vi utesluter alla prim?ra faktorer fr?n deras erh?llna produkter;
• produkten som erh?lls efter eliminering av de vanliga primfaktorerna kommer att vara lika med LCM f?r de givna talen.

Detta s?tt att hitta den minsta gemensamma multipeln baseras p? likheten LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Om man tittar p? formeln blir det tydligt: produkten av talen a och b ?r lika med produkten av alla faktorer som ?r involverade i expansionen av dessa tv? tal. I det h?r fallet ?r GCD f?r tv? tal lika med produkten av alla primtalsfaktorer som ?r n?rvarande samtidigt i faktoriseringarna av dessa tv? tal.

Exempel 3

Vi har tv? nummer 75 och 210 . Vi kan r?kna ut dem s? h?r: 75 = 3 5 5 och 210 = 2 3 5 7. Om du g?r produkten av alla faktorer av de tv? ursprungliga talen f?r du: 2 3 3 5 5 5 7.

Om vi exkluderar de faktorer som ?r gemensamma f?r b?de siffrorna 3 och 5 f?r vi en produkt av f?ljande form: 2 3 5 5 7 = 1050. Denna produkt kommer att vara v?r LCM f?r nummer 75 och 210.

Exempel 4

Hitta LCM f?r siffror 441 och 700 , nedbrytning av b?da talen i primtalsfaktorer.

L?sning

L?t oss hitta alla primtalsfaktorer f?r talen som ges i villkoret:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Vi f?r tv? talkedjor: 441 = 3 3 7 7 och 700 = 2 2 5 5 7 .

Produkten av alla faktorer som deltog i expansionen av dessa siffror kommer att se ut s? h?r: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. L?t oss hitta de gemensamma faktorerna. Detta nummer ?r 7 . Vi utesluter det fr?n den allm?nna produkten: 2 2 3 3 5 5 7 7. Det visar sig att NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Svar: LCM (441 , 700) = 44 100 .

L?t oss ge ytterligare en formulering av metoden f?r att hitta LCM genom att s?nderdela tal i primtalsfaktorer.

Definition 3

Tidigare har vi uteslutit fr?n det totala antalet faktorer som ?r gemensamma f?r b?da siffrorna. Nu ska vi g?ra det annorlunda:

• L?t oss dekomponera b?da talen i primtalsfaktorer:
• l?gg till produkten av primtalsfaktorerna f?r det f?rsta talet de saknade faktorerna f?r det andra talet;
• vi f?r produkten, som kommer att vara den ?nskade LCM av tv? nummer.

Exempel 5

L?t oss g? tillbaka till siffrorna 75 och 210, f?r vilka vi redan letade efter LCM i ett av de tidigare exemplen. L?t oss dela upp dem i enkla faktorer: 75 = 3 5 5 och 210 = 2 3 5 7. Till produkten av faktorerna 3, 5 och 5 nummer 75 l?gg till de saknade faktorerna 2 och 7 nummer 210 . Vi f?r: 2 3 5 5 7 . Detta ?r LCM f?r siffrorna 75 och 210.

Exempel 6

Det ?r n?dv?ndigt att ber?kna LCM f?r siffrorna 84 och 648.

L?sning

L?t oss dekomponera talen fr?n villkoret till primtalsfaktorer: 84 = 2 2 3 7 och 648 = 2 2 2 3 3 3 3. L?gg till produkten av faktorerna 2 , 2 , 3 och 7 nummer 84 saknar faktorer 2 , 3 , 3 och
3 nummer 648 . Vi f?r produkten 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Detta ?r den minsta gemensamma multipeln av 84 och 648.

Svar: LCM (84, 648) = 4536.

Hitta LCM f?r tre eller fler nummer

Oavsett hur m?nga siffror vi har att g?ra med, kommer algoritmen f?r v?ra handlingar alltid att vara densamma: vi kommer sekventiellt att hitta LCM f?r tv? siffror. Det finns ett teorem f?r detta fall.

Sats 1

Anta att vi har heltal a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k av dessa tal finns i sekventiell ber?kning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) .

L?t oss nu titta p? hur teoremet kan till?mpas p? specifika problem.

Exempel 7

Du m?ste ber?kna den minsta gemensamma multipeln av de fyra talen 140 , 9 , 54 och 250 .

L?sning

L?t oss presentera notationen: en 1 \u003d 140, en 2 \u003d 9, en 3 \u003d 54, en 4 \u003d 250.

L?t oss b?rja med att ber?kna m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . L?t oss anv?nda den euklidiska algoritmen f?r att ber?kna GCD f?r talen 140 och 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Vi f?r: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. D?rf?r ?r m 2 = 1 260 .

L?t oss nu ber?kna enligt samma algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Under ber?kningarna f?r vi m 3 = 3 780.

Det ?terst?r f?r oss att ber?kna m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Vi agerar enligt samma algoritm. Vi f?r m 4 \u003d 94 500.

LCM f?r de fyra talen fr?n exempelvillkoret ?r 94500.

Svar: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Som du kan se ?r ber?kningarna enkla, men ganska m?dosamma. F?r att spara tid kan du g? ?t andra h?llet.

Definition 4

Vi erbjuder dig f?ljande algoritm f?r ?tg?rder:

• dekomponera alla tal i primtalsfaktorer;
• till produkten av faktorerna f?r det f?rsta talet, l?gg till de saknade faktorerna fr?n produkten av det andra talet;
• l?gg till de saknade faktorerna f?r det tredje numret till produkten som erh?llits i f?reg?ende steg, etc.;
• den resulterande produkten kommer att vara den minsta gemensamma multipeln av alla tal fr?n villkoret.

Exempel 8

Det ?r n?dv?ndigt att hitta LCM f?r fem siffror 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

L?sning

L?t oss dekomponera alla fem talen i primtalsfaktorer: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Primtal, som ?r talet 7, kan inte r?knas in i primtalsfaktorer. S?dana tal sammanfaller med deras nedbrytning i primtalsfaktorer.

L?t oss nu ta produkten av primfaktorerna 2, 2, 3 och 7 av talet 84 och l?gga till de saknade faktorerna f?r det andra talet. Vi har dekomponerat talet 6 till 2 och 3. Dessa faktorer finns redan i produkten av det f?rsta talet. D?rf?r utel?mnar vi dem.

Vi forts?tter att l?gga till de saknade multiplikatorerna. Vi v?nder oss till talet 48, fr?n produkten av primtalsfaktorer som vi tar 2 och 2 av. Sedan l?gger vi till en enkel faktor 7 fr?n det fj?rde talet och faktorerna 11 och 13 av det femte. Vi f?r: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Detta ?r den minsta gemensamma multipeln av de fem ursprungliga talen.

Svar: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Hitta den minsta gemensamma multipeln av negativa tal

F?r att hitta den minsta gemensamma multipeln av negativa tal m?ste dessa tal f?rst ers?ttas med tal med motsatt tecken, och sedan ska ber?kningarna utf?ras enligt ovanst?ende algoritmer.

Exempel 9

LCM(54, -34) = LCM(54, 34) och LCM(-622,-46, -54,-888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

S?dana ?tg?rder ?r till?tna p? grund av det faktum att om det accepteras att a och - a- motsatta siffror
sedan upps?ttningen av multiplar a sammanfaller med m?ngden multiplar av ett tal - a.

Exempel 10

Det ?r n?dv?ndigt att ber?kna LCM f?r negativa tal - 145 och - 45 .

L?sning

L?t oss ?ndra siffrorna - 145 och - 45 till deras motsatta nummer 145 och 45 . Nu, med hj?lp av algoritmen, ber?knar vi LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , efter att tidigare ha best?mt GCD med Euklid-algoritmen.

Vi f?r att LCM f?r siffror - 145 och - 45 lika 1 305 .

Svar: LCM (- 145 , - 45) = 1 305 .

Om du m?rker ett fel i texten, markera det och tryck p? Ctrl+Enter