Vad ?r k?rnan i formeln?

Denna formel l?ter dig hitta n?gra EFTER HANS NUMMER" n" .

Sj?lvklart m?ste du kunna den f?rsta termen en 1 och progressionsskillnad d, ja, utan dessa parametrar kan du inte skriva ner en specifik progression.

Det r?cker inte att memorera (eller fuska) denna formel. Det ?r n?dv?ndigt att assimilera dess v?sen och till?mpa formeln i olika problem. Ja, och gl?m inte vid r?tt tillf?lle, ja ...) Hur inte gl?mma- Jag vet inte. Men hur man minns Om det beh?vs, ska jag ge dig en ledtr?d. F?r dem som beh?rskar lektionen till slutet.)

S? l?t oss ta itu med formeln f?r den n:te medlemmen av en aritmetisk progression.

Vad ?r en formel i allm?nhet - vi f?rest?ller oss.) Vad ?r en aritmetisk progression, ett medlemsnummer, en progressionsskillnad - framg?r tydligt i f?reg?ende lektion. Ta en titt om du inte har l?st den. Allt ?r enkelt d?r. Det ?terst?r att ta reda p? vad n:e medlem.

Progressionen i allm?nhet kan skrivas som en serie siffror:

en 1 , en 2 , en 3 , en 4 , en 5 , .....

en 1- betecknar den f?rsta termen i en aritmetisk progression, en 3- tredje medlem en 4- fj?rde, och s? vidare. Om vi ?r intresserade av den femte terminen, l?t oss s?ga att vi jobbar med en 5, om hundra och tjugonde - fr?n en 120.

Hur man definierar generellt n?gra medlem av en aritmetisk progression, s n?gra siffra? V?ldigt enkelt! S? h?r:

en

Det ?r vad det ?r n:e medlemmen av en aritmetisk progression. Under bokstaven n d?ljs alla medlemsnummer p? en g?ng: 1, 2, 3, 4, och s? vidare.

Och vad ger en s?dan skiva oss? T?nk bara, ist?llet f?r en siffra skrev de ner en bokstav ...

Denna notation ger oss ett kraftfullt verktyg f?r att arbeta med aritmetiska progressioner. Anv?nda notationen en, kan vi snabbt hitta n?gra medlem n?gra aritmetisk progression. Och ett g?ng uppgifter att l?sa i forts?ttningen. Du kommer att se vidare.

I formeln f?r den n:e medlemmen av en aritmetisk progression:

a n = ai + (n-1)d

en 1- den f?rsta medlemmen av den aritmetiska progressionen;

n- medlemsnummer.

Formeln l?nkar nyckelparametrarna f?r varje progression: en ; a 1; d och n. Runt dessa parametrar kretsar alla pussel i fortskridande.

Den n:e termformeln kan ocks? anv?ndas f?r att skriva en specifik progression. Till exempel, i problemet kan man s?ga att progressionen ges av tillst?ndet:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ett s?dant problem kan till och med f?rvirra ... Det finns ingen serie, ingen skillnad ... Men om man j?mf?r tillst?ndet med formeln ?r det l?tt att r?kna ut att i denna utveckling a 1 \u003d 5 och d \u003d 2.

Och det kan bli ?nnu argare!) Om vi tar samma villkor: a n = 5 + (n-1) 2, ja, ?ppna f?stena och ge liknande? Vi f?r en ny formel:

an = 3 + 2n.

Det Bara inte generellt, utan f?r en specifik progression. Det ?r h?r fallgropen ligger. Vissa tror att den f?rsta termen ?r en trea. ?ven om den f?rsta medlemmen i verkligheten ?r en femma ... Lite l?gre kommer vi att arbeta med en s?dan modifierad formel.

I uppgifter f?r progression finns det en annan notation - a n+1. Detta ?r, du gissade r?tt, "n plus den f?rsta" termen i progressionen. Dess betydelse ?r enkel och ofarlig.) Detta ?r en medlem av progressionen, vars antal ?r st?rre ?n talet n g?nger en. Till exempel om i n?got problem vi tar f?r en femte terminen allts? a n+1 blir den sj?tte medlemmen. Etc.

Oftast beteckningen a n+1 f?rekommer i rekursiva formler. Var inte r?dd f?r detta fruktansv?rda ord!) Detta ?r bara ett s?tt att uttrycka en term i en aritmetisk progression genom den f?reg?ende. Anta att vi f?r en aritmetisk progression i denna form, med den ?terkommande formeln:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Den fj?rde - genom den tredje, den femte - genom den fj?rde, och s? vidare. Och hur man r?knar omedelbart, s?g den tjugonde termen, en 20:a? Men inget s?tt!) ?ven om den 19:e termen inte ?r k?nd, kan den 20:e inte r?knas. Detta ?r den grundl?ggande skillnaden mellan den rekursiva formeln och formeln f?r den n:e termen. Rekursiv fungerar bara igenom tidigare term, och formeln f?r den n:e termen - genom den f?rsta och till?ter direkt hitta vilken medlem som helst efter dess nummer. R?knar inte hela nummerserien i ordning.

I en aritmetisk progression kan en rekursiv formel l?tt omvandlas till en vanlig. R?kna ett par p? varandra f?ljande termer, ber?kna skillnaden d, hitta vid behov den f?rsta termen en 1, skriv formeln i vanlig form och arbeta med den. I GIA finns ofta s?dana uppgifter.

Till?mpning av formeln f?r den n:e medlemmen av en aritmetisk progression.

L?t oss f?rst titta p? den direkta till?mpningen av formeln. I slutet av f?reg?ende lektion uppstod ett problem:

Givet en aritmetisk progression (a n). Hitta en 121 om a 1 =3 och d=1/6.

Detta problem kan l?sas utan n?gra formler, helt enkelt baserat p? betydelsen av den aritmetiska progressionen. L?gg till, ja l?gg till ... En timme eller tv?.)

Och enligt formeln tar l?sningen mindre ?n en minut. Du kan tajma det.) Vi best?mmer.

Villkoren ger all data f?r att anv?nda formeln: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Det ?terst?r att se vad n. Inga problem! Vi m?ste hitta en 121. H?r skriver vi:

Var uppm?rksam! Ist?llet f?r ett index n ett specifikt nummer d?k upp: 121. Vilket ?r ganska logiskt.) Vi ?r intresserade av medlemmen av den aritmetiska progressionen nummer etthundratjugoett. Det h?r blir v?r n. Det ?r denna betydelse n= 121 kommer vi att ers?tta l?ngre in i formeln, inom parentes. Byt ut alla siffror i formeln och ber?kna:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Det ?r allt som finns. Lika snabbt kunde man hitta den femhundrationde medlemmen, och den tusen och tredje, vilken som helst. Vi l?gger ist?llet n?nskat nummer i indexet f?r bokstaven " en" och inom parentes, och vi ?verv?ger.

L?t mig p?minna dig om k?rnan: denna formel l?ter dig hitta n?gra term f?r en aritmetisk progression EFTER HANS NUMMER" n" .

L?t oss l?sa problemet smartare. L?t oss s?ga att vi har f?ljande problem:

Hitta den f?rsta termen i den aritmetiska progressionen (a n) om a 17 =-2; d=-0,5.

Om du har n?gra problem kommer jag att f?resl? det f?rsta steget. Skriv ner formeln f?r den n:e termen i en aritmetisk progression! Jaja. Skriv f?r hand, direkt i din anteckningsbok:

a n = ai + (n-1)d

Och nu, n?r vi tittar p? bokst?verna i formeln, f?rst?r vi vilka data vi har och vad som saknas? Tillg?ngligt d=-0,5, det finns en sjuttonde medlem ... Allt? Om du tror att det ?r allt, d? kan du inte l?sa problemet, ja ...

Vi har ocks? ett nummer n! I skicket a 17 =-2 dold tv? alternativ. Detta ?r b?de v?rdet p? den sjuttonde medlemmen (-2) och dess nummer (17). De d?r. n=17. Denna "lilla sak" glider ofta f?rbi huvudet, och utan den, (utan "lilla saken", inte huvudet!) kan problemet inte l?sas. Fast ... och utan huvud ocks?.)

Nu kan vi bara dumt ers?tta v?ra data med formeln:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

?h ja, en 17 vi vet att det ?r -2. Okej, l?t oss l?gga in det:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Det ?r i huvudsak allt. Det ?terst?r att uttrycka den f?rsta termen i den aritmetiska progressionen fr?n formeln och ber?kna. Du f?r svaret: a 1 = 6.

En s?dan teknik - att skriva en formel och helt enkelt ers?tta k?nda data - hj?lper mycket i enkla uppgifter. Jo, man m?ste f?rst?s kunna uttrycka en variabel fr?n en formel, men vad ska man g?ra!? Utan denna f?rdighet kan matematik inte studeras alls ...

Ett annat popul?rt problem:

Hitta skillnaden mellan den aritmetiska progressionen (a n) om a 1 =2; a 15 =12.

Vad g?r vi? Du kommer att bli f?rv?nad, vi skriver formeln!)

a n = ai + (n-1)d

T?nk p? vad vi vet: ai=2; a15=12; och (s?rskild h?jdpunkt!) n=15. Ers?tt g?rna i formeln:

12=2 + (15-1)d

L?t oss r?kna.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Detta ?r det korrekta svaret.

Allts? uppgifter en n, en 1 och d best?mt. Det ?terst?r att l?ra sig hur man hittar numret:

Siffran 99 ?r en medlem av en aritmetisk progression (a n), d?r a 1 =12; d=3. Hitta numret p? denna medlem.

Vi ers?tter de k?nda kvantiteterna i formeln f?r den n:e termen:

a n = 12 + (n-1) 3

Vid f?rsta anblicken finns det tv? ok?nda kvantiteter h?r: a n och n. Men en?r n?gon medlem av progressionen med numret n... Och denna medlem av progressionen k?nner vi! Det ?r 99. Vi vet inte hans nummer. n, s? detta nummer m?ste ocks? hittas. Ers?tt progressionsterm 99 i formeln:

99 = 12 + (n-1) 3

Vi uttrycker fr?n formeln n, Vi tror. Vi f?r svaret: n=30.

Och nu ett problem om samma ?mne, men mer kreativt):

Best?m om talet 117 kommer att vara en medlem av en aritmetisk progression (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

L?t oss skriva formeln igen. Vad?, det finns inga alternativ? Hm... Varf?r beh?ver vi ?gon?) Ser vi den f?rsta medlemmen i progressionen? Vi ser. Detta ?r -3,6. Du kan lugnt skriva: a 1 \u003d -3,6. Skillnad d kan avg?ras fr?n serien? Det ?r enkelt om du vet vad skillnaden mellan en aritmetisk progression ?r:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Ja, vi gjorde det enklaste. Det ?terst?r att ta itu med ett ok?nt nummer n och en obegriplig siffra 117. I det f?rra problemet var det ?tminstone k?nt att det var termen f?r progressionen som gavs. Men h?r vet vi inte ens att ... Hur ska man vara!? Tja, hur man ?r, hur man ?r... S?tt p? dina kreativa f?rm?gor!)

Vi anta att 117 trots allt ?r en medlem av v?r progression. Med ett ok?nt nummer n. Och precis som i f?reg?ende problem, l?t oss f?rs?ka hitta detta nummer. De d?r. vi skriver formeln (ja-ja!)) och ers?tter v?ra siffror:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

?terigen uttrycker vi fr?n formelnn, vi r?knar och f?r:

hoppsan! Numret visade sig fraktionerad! Hundra och ett och ett halvt. Och br?ktal i f?rlopp kan inte vara. Vilken slutsats drar vi? ja! Nummer 117 ?r inte medlem av v?r progression. Det ?r n?gonstans mellan 101:a och 102:a medlemmarna. Om antalet visade sig vara naturligt, d.v.s. positivt heltal, d? skulle talet vara en medlem av progressionen med det hittade talet. Och i v?rt fall kommer svaret p? problemet att vara: Nej.

Uppgift baserad p? en riktig version av GIA:

Den aritmetiska progressionen ges av villkoret:

a n \u003d -4 + 6,8n

Hitta den f?rsta och tionde termen i progressionen.

H?r s?tts utvecklingen p? ett ovanligt s?tt. N?gon form av formel ... Det h?nder.) Men den h?r formeln (som jag skrev ovan) - ?ven formeln f?r den n:e medlemmen av en aritmetisk progression! Hon till?ter ocks? hitta en medlem av progressionen efter dess nummer.

Vi s?ker den f?rsta medlemmen. Den som t?nker. att den f?rsta termen ?r minus fyra, ?r fatalt felaktigt!) Eftersom formeln i problemet ?r modifierad. Den f?rsta termen i en aritmetisk progression i den dold. Ingenting, vi hittar det nu.)

Precis som i de tidigare uppgifterna vikarierar vi n=1 i denna formel:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

H?r! Den f?rsta termen ?r 2,8, inte -4!

P? samma s?tt letar vi efter den tionde terminen:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Det ?r allt som finns.

Och nu, f?r dem som har l?st upp till dessa rader, den utlovade bonusen.)

Anta att du i en sv?r stridssituation med GIA eller Unified State Exam gl?mde den anv?ndbara formeln f?r den n:e medlemmen i en aritmetisk progression. N?got kommer att t?nka p?, men p? n?got s?tt os?kert... Huruvida n d?r, eller n+1, eller n-1... Hur man ?r!?

Lugna! Denna formel ?r l?tt att h?rleda. Inte s?rskilt strikt, men f?r att vara s?ker och r?tt beslut det r?cker!) F?r avslutningen r?cker det med att komma ih?g den element?ra betydelsen av aritmetisk progression och ha ett par minuter p? sig. Du beh?ver bara rita en bild. F?r tydlighets skull.

Vi ritar en numerisk axel och markerar den f?rsta p? den. andra, tredje osv. medlemmar. Och notera skillnaden d mellan medlemmarna. S? h?r:

Vi tittar p? bilden och t?nker: vad ?r den andra termen lika med? Andra ett d:

a 2 =a 1+ 1 d

Vad ?r den tredje termen? Tredje term ?r lika med f?rsta term plus tv? d.

a 3 =a 1+ 2 d

F?rst?r du? Jag s?tter inte n?gra ord i fet stil f?r ingenting. Okej, ett steg till.)

Vad ?r den fj?rde termen? Fj?rde term ?r lika med f?rsta term plus tre d.

a 4 =a 1+ 3 d

Det ?r dags att inse att antalet luckor, d.v.s. d, alltid en mindre ?n numret p? den medlem du letar efter n. Det vill s?ga upp till antalet n, antal luckor kommer vara n-1. S? formeln blir (inga alternativ!):

a n = ai + (n-1)d

I allm?nhet ?r visuella bilder till stor hj?lp f?r att l?sa m?nga problem i matematik. F?rsumma inte bilderna. Men om det ?r sv?rt att rita en bild, d? ... bara en formel!) Dessutom l?ter formeln f?r den n:e termen dig koppla hela den kraftfulla arsenalen av matematik till l?sningen - ekvationer, oj?mlikheter, system etc. Du kan inte l?gga in en bild i en ekvation...

Uppgifter f?r sj?lvst?ndigt beslut.

F?r uppv?rmning:

1. I aritmetisk progression (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Hitta en 3:a.

Tips: enligt bilden ?r uppgiften l?st p? 20 sekunder ... Enligt formeln blir det sv?rare. Men f?r att beh?rska formeln ?r den mer anv?ndbar.) I avsnitt 555 l?ses detta problem b?de med bilden och formeln. K?nn skillnaden!)

Och det h?r ?r inte l?ngre en uppv?rmning.)

2. I aritmetisk progression (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Hitta en 3 .

Vad?, ovilja att rita en bild?) Fortfarande! Det ?r b?ttre i formeln, ja...

3. Aritmetisk progression ges av tillst?ndet:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = an+0,5. Hitta den hundra och tjugofemte termen i denna progression.

I denna uppgift ges progressionen p? ett ?terkommande s?tt. Men om man r?knar upp till den hundra tjugofemte termen... Alla kan inte g?ra en s?dan bedrift.) Men formeln f?r den n:e termen ligger inom allas makt!

4. Givet en aritmetisk progression (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Hitta numret p? den minsta positiva termen i progressionen.

5. Enligt villkoret f?r uppgift 4, hitta summan av de minsta positiva och st?rsta negativa medlemmarna i progressionen.

6. Produkten av de femte och tolfte termerna av en ?kande aritmetisk progression ?r -2,5, och summan av de tredje och elfte termerna ?r noll. Hitta en 14 .

Inte den l?ttaste uppgiften, ja...) H?r kommer metoden "p? fingrarna" inte att fungera. Du ska skriva formler och l?sa ekvationer.

Svar (i oordning):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

H?nde? Det ?r bra!)

Allt l?ser sig inte? Det h?nder. F?rresten, i den sista uppgiften finns det en subtil punkt. Uppm?rksamhet n?r du l?ser problemet kommer att kr?vas. Och logik.

L?sningen p? alla dessa problem diskuteras i detalj i avsnitt 555. Och fantasielementet f?r det fj?rde, och det subtila ?gonblicket f?r det sj?tte, och allm?nna tillv?gag?ngss?tt f?r att l?sa eventuella problem f?r formeln f?r den n:e termen - allt ?r m?lat. Jag rekomenderar.

Om du gillar den h?r sidan...

F?rresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser f?r dig.)

Du kan tr?na p? att l?sa exempel och ta reda p? din niv?. Testning med omedelbar verifiering. L?r dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

IV Yakovlev | Material om matematik | MathUs.ru

Aritmetisk progression

En aritmetisk progression ?r en speciell typ av sekvens. D?rf?r, innan vi definierar en aritmetisk (och sedan geometrisk) progression, m?ste vi kort diskutera det viktiga konceptet med en talsekvens.

Efterf?ljd

F?rest?ll dig en enhet p? sk?rmen d?r n?gra nummer visas efter varandra. L?t oss s?ga 2; 7; 13; ett; 6; 0; 3; : : : En s?dan upps?ttning siffror ?r bara ett exempel p? en sekvens.

Definition. En numerisk sekvens ?r en upps?ttning nummer d?r varje nummer kan tilldelas ett unikt nummer (det vill s?ga s?tta i korrespondens med ett enda naturligt nummer)1. Talet med nummer n kallas den n:e medlemmen av sekvensen.

S? i exemplet ovan har det f?rsta talet talet 2, vilket ?r den f?rsta medlemmen i sekvensen, som kan betecknas med a1 ; siffran fem har siffran 6 som ?r den femte medlemmen av sekvensen, som kan betecknas a5 . I allm?nhet betecknas den n:te medlemmen av en sekvens med en (eller bn , cn , etc.).

En mycket bekv?m situation ?r n?r den n:te medlemmen av sekvensen kan specificeras med n?gon formel. Till exempel, formeln an = 2n 3 anger sekvensen: 1; ett; 3; 5; 7; : : : Formeln an = (1)n definierar sekvensen: 1; ett; ett; ett; : : :

Inte varje upps?ttning siffror ?r en sekvens. S?, ett segment ?r inte en sekvens; den inneh?ller 3/4 f?r m?nga? nummer f?r att numreras om. M?ngden R f?r alla reella tal ?r inte heller en sekvens. Dessa fakta bevisas under loppet av matematisk analys.

Aritmetisk progression: grundl?ggande definitioner

Nu ?r vi redo att definiera en aritmetisk progression.

Definition. En aritmetisk progression ?r en sekvens d?r varje term (med b?rjan fr?n den andra) ?r lika med summan av f?reg?ende term och n?got fast tal (kallas skillnaden mellan aritmetisk progression).

Till exempel, sekvens 2; 5; ?tta; elva; : : : ?r en aritmetisk progression med f?rsta term 2 och skillnad 3. Sekvens 7; 2; 3; ?tta; : : : ?r en aritmetisk progression med f?rsta term 7 och skillnad 5. Sekvens 3; 3; 3; : : : ?r en aritmetisk progression med noll skillnad.

Ekvivalent definition: En sekvens an kallas en aritmetisk progression om skillnaden an+1 an ?r en konstant (ej beroende av n).

En aritmetisk progression s?gs ?ka om skillnaden ?r positiv och minskar om skillnaden ?r negativ.

1 Och h?r ?r en mer kortfattad definition: en sekvens ?r en funktion definierad p? m?ngden naturliga tal. Till exempel ?r sekvensen av reella tal funktionen f: N! R.

Som standard anses sekvenser vara o?ndliga, det vill s?ga inneh?ller ett o?ndligt antal tal. Men ingen bryr sig om att ?verv?ga ?ndliga sekvenser ocks?; i sj?lva verket kan vilken ?ndlig upps?ttning tal som helst kallas en ?ndlig sekvens. Till exempel den slutliga sekvensen 1; 2; 3; fyra; 5 best?r av fem siffror.

Formel f?r den n:e medlemmen av en aritmetisk progression

Det ?r l?tt att f?rst? att en aritmetisk progression helt best?ms av tv? tal: den f?rsta termen och skillnaden. D?rf?r uppst?r fr?gan: hur, med kunskap om den f?rsta termen och skillnaden, hitta en godtycklig term f?r en aritmetisk progression?

Det ?r inte sv?rt att f? den ?nskade formeln f?r den n:e termen i en aritmetisk progression. L?t en

aritmetisk progression med skillnad d. Vi har:
an+1 = an + d (n = 1; 2; :: ::):
Speciellt skriver vi:
a2 = al + d;
a3 = a2 + d = (al + d) + d = al + 2d;
a4 = a3 + d = (al + 2d) + d = al + 3d;
och nu blir det klart att formeln f?r an ?r:
an = a1 + (n 1)d:

Uppgift 1. I r?knef?rlopp 2; 5; ?tta; elva; : : : hitta formeln f?r den n:e termen och ber?kna den hundrade termen.

L?sning. Enligt formel (1) har vi:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Egenskap och tecken p? aritmetisk progression

egenskap hos en aritmetisk progression. I aritmetisk progression en f?r n?gon

Med andra ord ?r varje medlem av den aritmetiska progressionen (med b?rjan fr?n den andra) det aritmetiska medelv?rdet f?r de angr?nsande medlemmarna.

	Bevis. Vi har:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

vilket ?r vad som kr?vdes.

Mer allm?nt tillfredsst?ller den aritmetiska progressionen j?mlikheten

a n = a nk+ a n+k

f?r alla n > 2 och alla naturliga k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Det visar sig att formel (2) inte bara ?r ett n?dv?ndigt utan ocks? ett tillr?ckligt villkor f?r att en sekvens ska vara en aritmetisk progression.

Tecken p? en aritmetisk progression. Om likhet (2) g?ller f?r alla n > 2, s? ?r sekvensen an en aritmetisk progression.

Bevis. L?t oss skriva om formeln (2) enligt f?ljande:

a na n 1= a n+1a n:

Detta visar att skillnaden an+1 an inte beror p? n, och detta betyder bara att sekvensen an ?r en aritmetisk progression.

Egenskapen och tecknet f?r en aritmetisk progression kan formuleras som ett p?st?ende; f?r enkelhetens skull kommer vi att g?ra detta f?r tre nummer (detta ?r den situation som ofta uppst?r i problem).

Karakterisering av en aritmetisk progression. Tre siffror a, b, c bildar en aritmetisk progression om och endast om 2b = a + c.

Uppgift 2. (Moscow State University, Ekonomiska fakulteten, 2007) Tre siffror 8x, 3 x2 och 4 i angiven ordning bildar en minskande aritmetisk progression. Hitta x och skriv skillnaden f?r denna progression.

L?sning. Genom egenskapen hos en aritmetisk progression har vi:

2(3 x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x5 = 0, x = 1; x=5:

Om x = 1 erh?lls en minskande progression p? 8, 2, 4 med en skillnad p? 6. Om x = 5 erh?lls en ?kande progression p? 40, 22, 4; detta fall fungerar inte.

Svar: x = 1, skillnaden ?r 6.

Summan av de f?rsta n termerna i en aritmetisk progression

Legenden s?ger att l?raren en g?ng sa till barnen att hitta summan av siffror fr?n 1 till 100 och satte sig ner f?r att l?sa tidningen tyst. Men inom n?gra minuter sa en pojke att han hade l?st problemet. Det var 9-?rige Carl Friedrich Gauss, senare en av historiens st?rsta matematiker.

Lille Gauss id? var denna. L?ta

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

L?t oss skriva denna summa i omv?nd ordning:

S = 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

och l?gg till dessa tv? formler:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Varje term inom parentes ?r lika med 101, och det finns 100 s?dana termer totalt

2S = 101 100 = 10100;

Vi anv?nder denna id? f?r att h?rleda summaformeln

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

En anv?ndbar modifiering av formel (3) erh?lls genom att ers?tta formeln f?r den n:te termen an = a1 + (n 1)d i den:

		2a1 + (n 1)d

Uppgift 3. Hitta summan av alla positiva tresiffriga tal som ?r delbara med 13.

L?sning. Tresiffriga tal som ?r multiplar av 13 bildar en aritmetisk progression med den f?rsta termen 104 och skillnaden 13; Den n:e termen i denna progression ?r:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

L?t oss ta reda p? hur m?nga medlemmar v?r progression inneh?ller. F?r att g?ra detta l?ser vi oj?mlikheten:

en 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

S? det finns 69 medlemmar i v?r utveckling. Enligt formeln (4) hittar vi den n?dv?ndiga m?ngden:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Aritmetisk progression namnge en talf?ljd (medlemmar i en progression)

D?r varje efterf?ljande term skiljer sig fr?n den f?reg?ende genom en st?lterm, som ocks? kallas steg eller progressionsskillnad.

S?ledes, genom att st?lla in steget f?r progressionen och dess f?rsta term, kan du hitta n?got av dess element med hj?lp av formeln

Egenskaper f?r en aritmetisk progression

1) Varje medlem av den aritmetiska progressionen, med b?rjan fr?n den andra siffran, ?r det aritmetiska medelv?rdet av f?reg?ende och n?sta medlem av progressionen

Det omv?nda ?r ocks? sant. Om det aritmetiska medelv?rdet av angr?nsande udda (j?mna) medlemmar av progressionen ?r lika med medlemmen som st?r mellan dem, ?r denna talf?ljd en aritmetisk progression. Genom detta p?st?ende ?r det mycket l?tt att kontrollera vilken sekvens som helst.

Ocks? genom egenskapen aritmetisk progression kan ovanst?ende formel generaliseras till f?ljande

Detta ?r l?tt att verifiera om vi skriver termerna till h?ger om likhetstecknet

Det anv?nds ofta i praktiken f?r att f?renkla ber?kningar i problem.

2) Summan av de f?rsta n termerna i en aritmetisk progression ber?knas med formeln

Kom ih?g v?l formeln f?r summan av en aritmetisk progression, den ?r oumb?rlig i ber?kningar och ?r ganska vanlig i enkla livssituationer.

3) Om du inte beh?ver hitta hela summan, utan en del av sekvensen som b?rjar fr?n dess k-te medlem, kommer f?ljande summaformel att vara anv?ndbar f?r dig

4) Det ?r av praktiskt intresse att hitta summan av n medlemmar av en aritmetisk progression med utg?ngspunkt fr?n det k:te talet. F?r att g?ra detta, anv?nd formeln

Det ?r h?r det teoretiska materialet slutar och vi g?r vidare till att l?sa problem som ?r vanliga i praktiken.

Exempel 1. Hitta den fyrtionde termen i den aritmetiska progressionen 4;7;...

L?sning:

Enligt villkoret har vi

Definiera progressionssteget

Enligt den v?lk?nda formeln finner vi den fyrtionde termen i progressionen

Exempel 2. Den aritmetiska progressionen ges av dess tredje och sjunde medlemmar. Hitta den f?rsta termen i progressionen och summan av tio.

L?sning:

Vi skriver de givna elementen i progressionen enligt formlerna

Vi subtraherar den f?rsta ekvationen fr?n den andra ekvationen, som ett resultat finner vi progressionssteget

Det hittade v?rdet ers?tts i n?gon av ekvationerna f?r att hitta den f?rsta termen i den aritmetiska progressionen

Ber?kna summan av de f?rsta tio termerna i fortskridandet

Utan att till?mpa komplexa ber?kningar hittade vi alla n?dv?ndiga v?rden.

Exempel 3. En aritmetisk progression ges av n?mnaren och en av dess medlemmar. Hitta den f?rsta termen i progressionen, summan av dess 50 termer fr?n 50 och summan av de f?rsta 100.

L?sning:

L?t oss skriva formeln f?r det hundrade elementet i progressionen

och hitta den f?rsta

Baserat p? den f?rsta hittar vi den 50:e terminen av progressionen

Att hitta summan av delen av progressionen

och summan av de f?rsta 100

Summan av utvecklingen ?r 250.

Exempel 4

Hitta antalet medlemmar i en aritmetisk progression om:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

L?sning:

Vi skriver ekvationerna i termer av den f?rsta termen och steget i progressionen och definierar dem

Vi ers?tter de erh?llna v?rdena i summaformeln f?r att best?mma antalet medlemmar i summan

Att g?ra f?renklingar

och l?sa andragradsekvationen

Av de tv? v?rdena som hittades ?r endast siffran 8 l?mplig f?r problemets tillst?nd. S?ledes ?r summan av de f?rsta ?tta termerna av progressionen 111.

Exempel 5

l?sa ekvationen

1+3+5+...+x=307.

L?sning: Denna ekvation ?r summan av en aritmetisk progression. Vi skriver ut dess f?rsta term och hittar skillnaden i progressionen

Summan av en aritmetisk progression.

Summan av en aritmetisk progression ?r en enkel sak. B?de i betydelse och i formel. Men det finns alla m?jliga uppgifter om detta ?mne. Fr?n element?rt till ganska gediget.

L?t oss f?rst ta itu med summans betydelse och formel. Och sedan best?mmer vi. F?r ditt eget n?je.) Betydelsen av summan ?r s? enkel som att s?nka. F?r att hitta summan av en aritmetisk progression beh?ver du bara noggrant l?gga till alla dess medlemmar. Om dessa termer ?r f? kan du l?gga till utan n?gra formler. Men om det ?r mycket, eller mycket ... till?gg ?r irriterande.) I det h?r fallet sparar formeln.

Summaformeln ?r enkel:

L?t oss ta reda p? vilken typ av bokst?ver som ing?r i formeln. Detta kommer att klarna upp mycket.

S n ?r summan av en aritmetisk progression. Till?ggsresultat Allt medlemmar, med f?rst p? sista. Det ?r viktigt. L?gg ihop exakt Allt medlemmar i rad, utan luckor och hopp. Och, exakt, fr?n f?rst. I problem som att hitta summan av den tredje och ?ttonde termen, eller summan av termer fem till tjugonde, kommer direkt till?mpning av formeln att vara en besvikelse.)

en 1 - den f?rsta medlem av progressionen. Allt ?r klart h?r, det ?r enkelt f?rst radnummer.

en- sist medlem av progressionen. Den sista siffran i raden. Inte ett s?rskilt bekant namn, men n?r det appliceras p? m?ngden ?r det mycket l?mpligt. D? f?r du se sj?lv.

n ?r numret p? den sista medlemmen. Det ?r viktigt att f?rst? att i formeln detta nummer sammanfaller med antalet tillagda termer.

L?t oss definiera konceptet sista medlem en. Fyllande fr?ga: vilken typ av medlem kommer sista, om det ges ?ndl?s aritmetisk progression?

F?r ett s?kert svar m?ste du f?rst? den grundl?ggande inneb?rden av en aritmetisk progression och ... l?s uppgiften noggrant!)

I uppgiften att hitta summan av en aritmetisk progression visas alltid den sista termen (direkt eller indirekt), som b?r begr?nsas. Annars en ?ndlig, specifik m?ngd finns bara inte. F?r l?sningen spelar det ingen roll vilken typ av progression som ges: ?ndlig eller o?ndlig. Det spelar ingen roll hur det ges: av en serie siffror eller av formeln f?r den n:e medlemmen.

Det viktigaste ?r att f?rst? att formeln fungerar fr?n den f?rsta termen av progressionen till termen med talet n. Egentligen ser formelns fullst?ndiga namn ut s? h?r: summan av de f?rsta n termerna i en aritmetisk progression. Antalet av dessa allra f?rsta medlemmar, dvs. n, best?ms enbart av uppgiften. I uppgiften ?r all denna v?rdefulla information ofta krypterad, ja ... Men ingenting, i exemplen nedan kommer vi att avsl?ja dessa hemligheter.)

Exempel p? uppgifter f?r summan av en aritmetisk progression.

F?rst och fr?mst anv?ndbar information:

Den st?rsta sv?righeten i uppgifter f?r summan av en aritmetisk progression ?r korrekt best?mning av elementen i formeln.

F?rfattarna till uppdragen krypterar just dessa element med gr?nsl?s fantasi.) Huvudsaken h?r ?r att inte vara r?dd. F?r att f?rst? essensen av elementen r?cker det bara att dechiffrera dem. L?t oss ta en titt p? n?gra exempel i detalj. L?t oss b?rja med en uppgift baserad p? en riktig GIA.

1. Den aritmetiska progressionen ges av villkoret: a n = 2n-3,5. Hitta summan av de f?rsta 10 termerna.

Bra jobbat. L?tt.) Vad beh?ver vi veta f?r att best?mma m?ngden enligt formeln? F?rsta medlem en 1, sista ordet en, ja numret f?r den senaste terminen n.

Var f?r man det sista medlemsnumret n? Ja, p? samma plats, i skicket! Det st?r att hitta summan f?rsta 10 medlemmarna. Ja, vilket nummer blir det sista, tionde medlem?) Du kommer inte att tro det, hans nummer ?r tionde!) D?rf?r ist?llet f?r en vi kommer att ers?tta i formeln en 10:a, men ist?llet n- tio. ?terigen ?r numret p? den sista medlemmen detsamma som antalet medlemmar.

Det ?terst?r att fastst?lla en 1 och en 10:a. Detta ber?knas enkelt med formeln f?r den n:e termen, som ges i problemformuleringen. Vet du inte hur man g?r? Bes?k f?reg?ende lektion, utan detta - ingenting.

en 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

en 10:a\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Vi fick reda p? inneb?rden av alla element i formeln f?r summan av en aritmetisk progression. Det ?terst?r att ers?tta dem och r?kna:

Det ?r allt som finns. Svar: 75.

En annan uppgift baserad p? GIA. Lite mer komplicerat:

2. Givet en aritmetisk progression (a n), vars skillnad ?r 3,7; a 1 \u003d 2.3. Hitta summan av de f?rsta 15 termerna.

Vi skriver omedelbart summaformeln:

Den h?r formeln l?ter oss hitta v?rdet p? vilken medlem som helst efter dess nummer. Vi letar efter en enkel ers?ttning:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Det ?terst?r att ers?tta alla element i formeln f?r summan av en aritmetisk progression och ber?kna svaret:

Svar: 423.

F?rresten, om i summaformeln ist?llet f?r en ers?tt bara formeln f?r den n:e termen, vi f?r:

Vi ger liknande, vi f?r en ny formel f?r summan av medlemmarna i en aritmetisk progression:

Som du kan se kr?vs inte den n:e termen h?r. en. I vissa uppgifter hj?lper den h?r formeln mycket, ja ... Du kan komma ih?g den h?r formeln. Och du kan helt enkelt ta tillbaka den vid r?tt tidpunkt, som h?r. N?r allt kommer omkring m?ste formeln f?r summan och formeln f?r den n:e termen komma ih?g p? alla s?tt.)

Nu uppgiften i form av en kort kryptering):

3. Hitta summan av alla positiva tv?siffriga tal som ?r multiplar av tre.

Hur! Ingen f?rsta medlem, ingen sista, ingen progression alls... Hur ska man leva!?

Du m?ste t?nka med huvudet och dra ut alla delar av summan av en aritmetisk progression fr?n villkoret. Vad ?r tv?siffriga tal - vi vet. De best?r av tv? siffror.) Vilket tv?siffrigt nummer kommer f?rst? 10, f?rmodligen.) sista sak tv?siffrigt nummer? 99 s?klart! De tresiffriga kommer att f?lja honom ...

Multiplar av tre... Hm... Det h?r ?r tal som ?r j?mnt delbara med tre, h?r! Tio ?r inte delbart med tre, 11 ?r inte delbart... 12... ?r delbart! S? n?got h?ller p? att dyka upp. Du kan redan skriva en serie enligt problemets tillst?nd:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Kommer den h?r serien att vara en aritmetisk forts?ttning? Sj?lvklart! Varje term skiljer sig strikt fr?n den f?reg?ende med tre. Om 2, eller 4, l?ggs till termen, s?g resultatet, dvs. ett nytt tal kommer inte l?ngre att delas med 3. Du kan omedelbart best?mma skillnaden mellan den aritmetiska progressionen till h?gen: d = 3. Anv?ndbar!)

S? vi kan s?kert skriva ner n?gra progressionsparametrar:

Vilket blir numret n sista medlem? Den som tror att 99 har fatalt fel ... Siffror - de g?r alltid i rad, och v?ra medlemmar hoppar ?ver de tre b?sta. De matchar inte.

Det finns tv? l?sningar h?r. Ett s?tt ?r f?r de superh?rt arbetande. Du kan m?la f?rloppet, hela serien av siffror och r?kna antalet termer med fingret.) Det andra s?ttet ?r f?r den eftert?nksamma. Du m?ste komma ih?g formeln f?r den n:e termen. Om formeln till?mpas p? v?rt problem f?r vi att 99 ?r den trettionde medlemmen av progressionen. De d?r. n = 30.

Vi tittar p? formeln f?r summan av en aritmetisk progression:

Vi tittar och gl?ds.) Vi drog ut allt som beh?vs f?r att ber?kna beloppet fr?n problemets tillst?nd:

en 1= 12.

en 30= 99.

S n = S 30.

Det som ?terst?r ?r element?r aritmetik. Byt ut siffrorna i formeln och ber?kna:

Svar: 1665

En annan typ av popul?ra pussel:

4. En aritmetisk progression ges:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Hitta summan av termer fr?n den tjugonde till trettiofj?rde.

Vi tittar p? summaformeln och ... vi ?r uppr?rda.) Formeln, l?t mig p?minna dig, ber?knar summan fr?n den f?rsta medlem. Och i problemet m?ste du ber?kna summan sedan det tjugonde... Formeln fungerar inte.

Du kan naturligtvis m?la hela progressionen i rad och s?tta medlemmarna fr?n 20 till 34. Men ... p? n?got s?tt blir det dumt och l?nge, eller hur?)

Det finns en mer elegant l?sning. L?t oss dela upp v?r serie i tv? delar. Den f?rsta delen kommer fr?n f?rsta mandatperioden till nittonde. Den andra delen - tjugo till trettiofyra. Det ?r klart att om vi ber?knar summan av villkoren i den f?rsta delen S 1-19, l?t oss l?gga till det till summan av medlemmarna i den andra delen S 20-34, f?r vi summan av progressionen fr?n den f?rsta termen till den trettiofj?rde S 1-34. S? h?r:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Detta visar att f?r att hitta summan S 20-34 kan g?ras genom enkel subtraktion

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

B?da summorna p? h?ger sida beaktas fr?n den f?rsta medlem, dvs. standardsummans formel ?r ganska till?mplig p? dem. Kommer vi ig?ng?

Vi extraherar progressionsparametrarna fr?n uppgiftsvillkoret:

d = 1,5.

en 1= -21,5.

F?r att ber?kna summan av de f?rsta 19 och de f?rsta 34 termerna beh?ver vi de 19:e och 34:e termerna. Vi r?knar dem enligt formeln f?r den n:e termen, som i uppgift 2:

en 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

en 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Det finns ingenting kvar. Subtrahera summan av 19 termer fr?n summan av 34 termer:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Svar: 262,5

En viktig anm?rkning! Det finns en mycket anv?ndbar funktion f?r att l?sa detta problem. Ist?llet f?r direkt ber?kning vad du beh?ver (S 20-34), vi r?knade vad som verkar inte beh?vs - S 1-19. Och sedan best?mde de sig S 20-34, kassera det on?diga fr?n det fullst?ndiga resultatet. En s?dan "finta med ?ronen" r?ddar ofta i onda pussel.)

I den h?r lektionen unders?kte vi problem f?r vilka det r?cker att f?rst? inneb?rden av summan av en aritmetisk progression. Tja, du m?ste k?nna till ett par formler.)

Praktiskt r?d:

N?r du l?ser ett problem f?r summan av en aritmetisk progression rekommenderar jag att du omedelbart skriver ut de tv? huvudformlerna fr?n detta ?mne.

Formel f?r den n:e termen:

Dessa formler kommer omedelbart att ber?tta vad du ska leta efter, i vilken riktning du ska t?nka f?r att l?sa problemet. Hj?lper.

Och nu uppgifterna f?r oberoende l?sning.

5. Hitta summan av alla tv?siffriga tal som inte ?r delbara med tre.

Coolt?) Tipset ?r g?mt i anteckningen till problem 4. N?v?l, problem 3 kommer att hj?lpa.

6. Aritmetisk progression ges av villkoret: a 1 =-5,5; a n+1 = an+0,5. Hitta summan av de f?rsta 24 termerna.

Ovanligt?) Detta ?r en ?terkommande formel. Du kan l?sa om det i f?reg?ende lektion. Ignorera inte l?nken, s?dana pussel finns ofta i GIA.

7. Vasya sparade pengar till semestern. S? mycket som 4550 rubel! Och jag best?mde mig f?r att ge den mest ?lskade personen (mig sj?lv) n?gra dagar av lycka). Lev vackert utan att f?rneka dig sj?lv n?got. Spendera 500 rubel den f?rsta dagen och spendera 50 rubel mer p? varje efterf?ljande dag ?n den f?reg?ende! Tills pengarna tar slut. Hur m?nga dagar av lycka hade Vasya?

?r det sv?rt?) En ytterligare formel fr?n uppgift 2 kommer att hj?lpa.

Svar (i oordning): 7, 3240, 6.

Om du gillar den h?r sidan...

F?rresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser f?r dig.)

Du kan tr?na p? att l?sa exempel och ta reda p? din niv?. Testning med omedelbar verifiering. L?r dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Aritmetiska progressionsproblem har funnits sedan urminnes tider. De d?k upp och kr?vde en l?sning, eftersom de hade ett praktiskt behov.

S?, i en av papyrierna i det antika Egypten, som har ett matematiskt inneh?ll - Rhind-papyrusen (XIX-talet f.Kr.) - inneh?ller f?ljande uppgift: dela upp tio m?tt br?d i tio personer, f?rutsatt att skillnaden mellan var och en av dem ?r en ?ttondels m?tt.

Och i de gamla grekernas matematiska verk finns eleganta satser relaterade till aritmetisk progression. S?, Hypsicles of Alexandria (2:a ?rhundradet, som sammanst?llde m?nga intressanta problem och lade till den fjortonde boken till Euclids "Elements", formulerade id?n: "I en aritmetisk progression med ett j?mnt antal medlemmar, summan av medlemmarna i den andra halvan ?r st?rre ?n summan av medlemmarna av den 1:a med kvadraten 1 / 2 medlemmar.

Sekvensen an betecknas. Numren p? sekvensen kallas dess medlemmar och betecknas vanligtvis med bokst?ver med index som anger serienumret f?r denna medlem (a1, a2, a3 ... det st?r: "a 1:a", "en 2:a", "en 3:a" ” och s? vidare).

Sekvensen kan vara o?ndlig eller ?ndlig.

Vad ?r en aritmetisk progression? Det f?rst?s som erh?llet genom att l?gga till f?reg?ende term (n) med samma nummer d, vilket ?r skillnaden i progressionen.

Om d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, d? anses en s?dan progression vara ?kande.

En aritmetisk progression s?gs vara finit om bara ett f?tal av dess f?rsta termer beaktas. Med ett mycket stort antal medlemmar ?r detta redan en o?ndlig utveckling.

Varje aritmetisk progression ges av f?ljande formel:

an =kn+b, medan b och k ?r n?gra tal.

P?st?endet, som ?r det motsatta, ?r absolut sant: om sekvensen ges av en liknande formel, ?r detta exakt en aritmetisk progression, som har egenskaperna:

1. Varje medlem av progressionen ?r det aritmetiska medelv?rdet av f?reg?ende medlem och n?sta.
2. Motsatsen: om, fr?n och med 2:an, varje term ?r det aritmetiska medelv?rdet av f?reg?ende term och n?sta, d.v.s. om villkoret ?r uppfyllt, ?r den givna sekvensen en aritmetisk progression. Denna j?mlikhet ?r ocks? ett tecken p? progression, s? det brukar kallas en karakteristisk egenskap f?r progression.
   P? samma s?tt ?r satsen som ?terspeglar denna egenskap sann: en sekvens ?r en aritmetisk progression endast om denna likhet ?r sann f?r n?gon av medlemmarna i sekvensen, med b?rjan fr?n 2:an.

Den karakteristiska egenskapen f?r alla fyra tal i en aritmetisk progression kan uttryckas med formeln an + am = ak + al om n + m = k + l (m, n, k ?r talen f?r progressionen).

I en aritmetisk progression kan alla n?dv?ndiga (N:te) termer hittas genom att anv?nda f?ljande formel:

Till exempel: den f?rsta termen (a1) i en aritmetisk progression ?r given och ?r lika med tre, och skillnaden (d) ?r lika med fyra. Du m?ste hitta den fyrtiofemte termen i denna progression. a45 = 1+4(45-1)=177

Formeln an = ak + d(n - k) l?ter dig best?mma den n:te medlemmen av en aritmetisk progression genom n?gon av dess k:te medlem, f?rutsatt att den ?r k?nd.

Summan av medlemmarna i en aritmetisk progression (f?rutsatt att de 1:a n medlemmarna av den slutliga progressionen) ber?knas enligt f?ljande:

Sn = (al+an) n/2.

Om den f?rsta termen ocks? ?r k?nd, ?r en annan formel l?mplig f?r ber?kning:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Summan av en aritmetisk progression som inneh?ller n termer ber?knas enligt f?ljande:

Valet av formler f?r ber?kningar beror p? f?ruts?ttningarna f?r uppgifterna och de initiala uppgifterna.

Den naturliga serien av alla tal som 1,2,3,...,n,... ?r det enklaste exemplet p? en aritmetisk progression.

F?rutom den aritmetiska progressionen finns det ocks? en geometrisk s?dan, som har sina egna egenskaper och egenskaper.