Den st?rsta gemensamma divisorn och den minsta gemensamma multipeln ?r viktiga aritmetiska begrepp som g?r att du enkelt kan arbeta med vanliga br?k. LCM och anv?nds oftast f?r att hitta den gemensamma n?mnaren f?r flera br?k.

Grundl?ggande koncept

Divisorn f?r ett heltal X ?r ett annat heltal Y med vilket X ?r delbart utan rest. Till exempel ?r divisorn f?r 4 2 och 36 ?r 4, 6, 9. En multipel av heltal X ?r ett tal Y som ?r delbart med X utan rest. Till exempel ?r 3 en multipel av 15 och 6 ?r en multipel av 12.

F?r alla talpar kan vi hitta deras gemensamma divisorer och multiplar. Till exempel, f?r 6 och 9 ?r den gemensamma multipeln 18, och den gemensamma divisorn ?r 3. Uppenbarligen kan par ha flera divisorer och multipler, s? den st?rsta divisorn f?r GCD och den minsta multipeln av LCM anv?nds i ber?kningarna .

Den minsta divisorn ?r inte meningsfull, eftersom den f?r alla tal alltid ?r ett. Den st?rsta multipeln ?r ocks? meningsl?s, eftersom sekvensen av multiplar tenderar till o?ndlighet.

Hitta GCD

Det finns m?nga metoder f?r att hitta den st?rsta gemensamma divisorn, av vilka de mest k?nda ?r:

• sekventiell uppr?kning av divisorer, urval av vanliga f?r ett par och s?k efter den st?rsta av dem;
• s?nderdelning av tal till odelbara faktorer;
• Euklids algoritm;
• bin?r algoritm.

Idag, i utbildningsinstitutioner, de mest popul?ra metoderna f?r nedbrytning i prim?ra faktorer och den euklidiska algoritmen. Den senare anv?nds i sin tur f?r att l?sa diofantiska ekvationer: s?kningen efter GCD kr?vs f?r att kontrollera ekvationen f?r m?jligheten att l?sa den i heltal.

Att hitta NOC

Den minsta gemensamma multipeln best?ms ocks? exakt genom iterativ uppr?kning eller faktorisering till odelbara faktorer. Dessutom ?r det l?tt att hitta LCM om den st?rsta divisorn redan har best?mts. F?r nummer X och Y ?r LCM och GCD relaterade av f?ljande relation:

LCM(X,Y) = X x Y / GCM(X,Y).

Till exempel, om gcd(15,18) = 3, d? LCM(15,18) = 15 x 18 / 3 = 90. Den mest uppenbara anv?ndningen av LCM ?r att hitta den gemensamma n?mnaren, som ?r den minsta gemensamma multipeln av givna br?k.

Samprimtal

Om ett talpar inte har n?gra gemensamma divisorer, kallas ett s?dant par coprime. GCM f?r s?dana par ?r alltid lika med ett, och baserat p? kopplingen av divisorer och multipler ?r GCM f?r coprime lika med deras produkt. Till exempel ?r talen 25 och 28 coprime, eftersom de inte har n?gra gemensamma divisorer, och LCM(25, 28) = 700, vilket motsvarar deras produkt. Alla tv? odelbara tal kommer alltid att vara coprime.

Gemensam divisor och multipelr?knare

Med v?r kalkylator kan du ber?kna GCD och LCM f?r valfritt antal siffror att v?lja mellan. Uppgifter f?r att ber?kna gemensamma divisorer och multipler finns i aritmetiken i ?rskurs 5 och 6, men GCD och LCM ?r matematikens nyckelbegrepp och anv?nds inom talteori, planimetri och kommunikativ algebra.

Verkliga exempel

Gemensam n?mnare f?r br?k

Den minsta gemensamma multipeln anv?nds f?r att hitta den gemensamma n?mnaren f?r flera br?k. Antag att i ett aritmetiskt problem kr?vs att man summerar 5 br?k:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

F?r att l?gga till br?k m?ste uttrycket reduceras till en gemensam n?mnare, vilket reducerar till problemet med att hitta LCM. F?r att g?ra detta, v?lj 5 siffror i r?knaren och skriv in n?mnarv?rdena i l?mpliga celler. Programmet kommer att ber?kna LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nu m?ste du ber?kna ytterligare faktorer f?r varje br?kdel, som definieras som f?rh?llandet mellan LCM och n?mnaren. S? de extra multiplikatorerna skulle se ut s? h?r:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Efter det multiplicerar vi alla br?k med motsvarande till?ggsfaktor och f?r:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Vi kan enkelt l?gga till s?dana br?k och f? resultatet i form av 159/360. Vi minskar br?ket med 3 och ser det slutliga svaret - 53/120.

L?sning av linj?ra diofantiska ekvationer

Linj?ra diofantiska ekvationer ?r uttryck av formen ax + by = d. Om f?rh?llandet d / gcd(a, b) ?r ett heltal, ?r ekvationen l?sbar i heltal. L?t oss kolla ett par ekvationer f?r m?jligheten till en heltalsl?sning. Kontrollera f?rst ekvationen 150x + 8y = 37. Med hj?lp av en minir?knare hittar vi gcd (150,8) = 2. Dividera 37/2 = 18,5. Talet ?r inte ett heltal, d?rf?r har ekvationen inte heltalsr?tter.

L?t oss kontrollera ekvationen 1320x + 1760y = 10120. Anv?nd en kalkylator f?r att hitta gcd(1320, 1760) = 440. Dividera 10120/440 = 23. Som ett resultat f?r vi ett heltal, d?rf?r ?r Diofantin koefficienten l?slig i heltal .

Slutsats

GCD och LCM spelar en viktig roll i talteorin, och sj?lva begreppen anv?nds i stor utstr?ckning inom olika omr?den av matematiken. Anv?nd v?r kalkylator f?r att ber?kna de st?rsta divisorerna och de minsta multiplerna av valfritt antal tal.

F?r att f?rst? hur man ber?knar LCM b?r du f?rst best?mma inneb?rden av termen "multipel".

En multipel av A ?r ett naturligt tal som ?r delbart med A utan rest. S?ledes kan 15, 20, 25 och s? vidare betraktas som multiplar av 5.

Det kan finnas ett begr?nsat antal divisorer av ett visst tal, men det finns ett o?ndligt antal multiplar.

En gemensam multipel av naturliga tal ?r ett tal som ?r delbart med dem utan rest.

Hur man hittar den minsta gemensamma multipeln av tal

Den minsta gemensamma multipeln (LCM) av tal (tv?, tre eller fler) ?r det minsta naturliga talet som ?r j?mnt delbart med alla dessa tal.

F?r att hitta NOC kan du anv?nda flera metoder.

F?r sm? tal ?r det bekv?mt att skriva ut alla multipler av dessa tal p? en rad tills en gemensam finns bland dem. Multipler betecknas i posten med stor bokstav K.

Till exempel kan multiplar av 4 skrivas s? h?r:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

S? du kan se att den minsta gemensamma multipeln av siffrorna 4 och 6 ?r talet 24. Denna inmatning utf?rs enligt f?ljande:

LCM(4, 6) = 24

Om talen ?r stora, hitta den gemensamma multipeln av tre eller fler tal, d? ?r det b?ttre att anv?nda ett annat s?tt att ber?kna LCM.

F?r att slutf?ra uppgiften ?r det n?dv?ndigt att dekomponera de f?reslagna talen i primtalsfaktorer.

F?rst m?ste du skriva ut expansionen av det st?rsta av siffrorna p? en rad, och under det - resten.

I expansionen av varje nummer kan det finnas ett annat antal faktorer.

L?t oss till exempel faktorisera talen 50 och 20 till primtalsfaktorer.

I expansionen av det mindre antalet b?r man understryka de faktorer som saknas i expansionen av det f?rsta st?rsta antalet, och sedan l?gga till dem till det. I det presenterade exemplet saknas en tv?a.

Nu kan vi ber?kna den minsta gemensamma multipeln av 20 och 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

S?ledes kommer produkten av primfaktorerna f?r det st?rre talet och faktorerna f?r det andra talet, som inte ing?r i s?nderdelningen av det st?rre talet, att vara den minsta gemensamma multipeln.

F?r att hitta LCM f?r tre eller fler tal b?r alla delas upp i primtalsfaktorer, som i f?reg?ende fall.

Som ett exempel kan du hitta den minsta gemensamma multipeln av talen 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

S?ledes inkluderades endast tv? tv?or fr?n s?nderdelningen av sexton i faktoriseringen av ett st?rre antal (en ?r i s?nderdelningen av tjugofyra).

S?ledes m?ste de l?ggas till nedbrytningen av ett st?rre antal.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Det finns speciella fall f?r att best?mma den minsta gemensamma multipeln. S? om ett av talen kan delas utan en rest med ett annat, kommer det st?rsta av dessa tal att vara den minsta gemensamma multipeln.

Till exempel skulle NOC p? tolv och tjugofyra vara tjugofyra.

Om det ?r n?dv?ndigt att hitta den minsta gemensamma multipeln av coprimtal som inte har samma divisorer, kommer deras LCM att vara lika med deras produkt.

Till exempel, LCM(10; 11) = 110.

Den minsta gemensamma multipeln av tv? tal ?r direkt relaterad till den st?rsta gemensamma divisorn av dessa tal. Detta l?nk mellan GCD och NOC definieras av f?ljande teorem.

Sats.

Den minsta gemensamma multipeln av tv? positiva heltal a och b ?r lika med produkten av a och b dividerat med den st?rsta gemensamma divisorn av a och b, dvs. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Bevis.

L?ta M ?r n?gon multipel av talen a och b. Det vill s?ga, M ?r delbart med a, och enligt definitionen av delbarhet finns det n?got heltal k s? att likheten M=a·k ?r sann. Men M ?r ocks? delbart med b, d? ?r a k delbart med b.

Beteckna gcd(a, b) som d . Sedan kan vi skriva ner likheterna a=a 1 ·d och b=b 1 ·d, och a 1 =a:d och b 1 =b:d blir coprimtal. D?rf?r kan villkoret som erh?llits i f?reg?ende stycke att a k ?r delbart med b omformuleras p? f?ljande s?tt: a 1 d k ?r delbart med b 1 d , och detta, p? grund av delbarhetens egenskaper, ?r ekvivalent med villkoret att a 1 k ?r delbart med b ett.

Vi beh?ver ocks? skriva ner tv? viktiga f?ljder fr?n den ?verv?gda satsen.

Gemensamma multipler av tv? tal ?r desamma som multiplar av deras minsta gemensamma multipel.

Detta ?r sant, eftersom varje gemensam multipel av M tal a och b definieras av likheten M=LCM(a, b) t f?r n?got heltalsv?rde t .

Den minsta gemensamma multipeln av positiva samprimtal a och b ?r lika med deras produkt.

Sk?let till detta faktum ?r ganska uppenbart. Eftersom a och b ?r coprime, d? gcd(a, b)=1 , d?rf?r, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Minsta gemensamma multipel av tre eller fler tal

Att hitta den minsta gemensamma multipeln av tre eller flera tal kan reduceras till att successivt hitta LCM f?r tv? tal. Hur detta g?r till anges i f?ljande sats: a 1 , a 2 , …, a k sammanfaller med gemensamma multiplar av tal m k-1 och a k sammanfaller d?rf?r med multiplar av m k . Och eftersom den minsta positiva multipeln av talet m k ?r talet m k sj?lv, s? ?r den minsta gemensamma multipeln av talen a 1 , a 2 , …, a k m k .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. etc. Matematik. ?rskurs 6: l?robok f?r l?roanstalter.
• Vinogradov I.M. Grunderna i talteorin.
• Mikhelovich Sh.Kh. Talteori.
• Kulikov L.Ya. m.fl. Samling av problem i algebra och talteori: L?robok f?r elever i fiz.-mat. pedagogiska institutens specialiteter.

Definition. Det st?rsta naturliga talet med vilket talen a och b ?r delbara utan rest kallas st?rsta gemensamma delare (gcd) dessa siffror.

L?t oss hitta den st?rsta gemensamma delaren av talen 24 och 35.
Divisorerna f?r 24 kommer att vara talen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, och divisorerna f?r 35 kommer att vara talen 1, 5, 7, 35.
Vi ser att talen 24 och 35 bara har en gemensam divisor - talet 1. S?dana tal kallas coprime.

Definition. De naturliga talen kallas coprime om deras st?rsta gemensamma delare (gcd) ?r 1.

St?rsta gemensamma delare (GCD) kan hittas utan att skriva ut alla divisorer f?r de givna talen.

Om vi tar h?nsyn till siffrorna 48 och 36 f?r vi:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Fr?n de faktorer som ing?r i expansionen av det f?rsta av dessa nummer, tar vi bort de som inte ing?r i expansionen av det andra numret (dvs tv? tv?or).
Faktorerna 2 * 2 * 3 kvarst?r. Deras produkt ?r 12. Detta tal ?r den st?rsta gemensamma delaren av talen 48 och 36. Den st?rsta gemensamma delaren av tre eller flera tal finns ocks?.

Att hitta st?rsta gemensamma delaren

2) fr?n de faktorer som ing?r i expansionen av ett av dessa nummer, stryk ?ver de som inte ing?r i expansionen av andra nummer;
3) hitta produkten av de ?terst?ende faktorerna.

Om alla givna tal ?r delbara med ett av dem, s? ?r detta tal st?rsta gemensamma delaren givna siffror.
Till exempel ?r den st?rsta gemensamma delaren f?r 15, 45, 75 och 180 15, eftersom den delar alla andra tal: 45, 75 och 180.

Minsta gemensamma multipel (LCM)

Definition. Minsta gemensamma multipel (LCM) naturliga tal a och b ?r det minsta naturliga talet som ?r en multipel av b?de a och b. Den minsta gemensamma multipeln (LCM) av talen 75 och 60 kan hittas utan att skriva ut multiplar av dessa tal i rad. F?r att g?ra detta delar vi upp 75 och 60 i enkla faktorer: 75 \u003d 3 * 5 * 5 och 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
L?t oss skriva ut faktorerna som ing?r i expansionen av det f?rsta av dessa siffror, och l?gg till dem de saknade faktorerna 2 och 2 fr?n expansionen av det andra talet (det vill s?ga vi kombinerar faktorerna).
Vi f?r fem faktorer 2 * 2 * 3 * 5 * 5, vars produkt ?r 300. Detta tal ?r den minsta gemensamma multipeln av talen 75 och 60.

Hitta ocks? den minsta gemensamma multipeln av tre eller fler tal.

Till hitta den minsta gemensamma multipeln flera naturliga tal, du beh?ver:
1) s?nderdela dem i prim?ra faktorer;
2) skriv ut faktorerna som ing?r i expansionen av ett av talen;
3) l?gg till de saknade faktorerna fr?n expansionerna av de ?terst?ende siffrorna;
4) hitta produkten av de resulterande faktorerna.

Observera att om ett av dessa tal ?r delbart med alla andra tal, s? ?r detta tal den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.
Till exempel skulle den minsta gemensamma multipeln av 12, 15, 20 och 60 vara 60, eftersom den ?r delbar med alla givna tal.

Pythagoras (VI-talet f.Kr.) och hans elever studerade fr?gan om delbarhet av tal. Ett tal lika med summan av alla dess divisorer (utan sj?lva talet), kallade de det perfekta talet. Till exempel ?r siffrorna 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekta. N?sta perfekta siffror ?r 496, 8128, 33 550 336. Pytagoreerna k?nde bara till de tre f?rsta perfekta talen. Den fj?rde - 8128 - blev k?nd p? 1:a ?rhundradet. n. e. Den femte - 33 550 336 - hittades p? 1400-talet. ?r 1983 var 27 perfekta siffror redan k?nda. Men hittills vet forskarna inte om det finns udda perfekta tal, om det finns det st?rsta perfekta talet.
Forntida matematikers intresse f?r primtal beror p? att vilket tal som helst ?r antingen primtal eller kan representeras som en produkt av primtal, det vill s?ga primtal ?r som tegelstenar som resten av de naturliga talen ?r byggda av.
Du har s?kert m?rkt att primtal i serien av naturliga tal f?rekommer oj?mnt - i vissa delar av serien finns det fler av dem, i andra - f?rre. Men ju l?ngre vi g?r l?ngs talserien, desto s?llsyntare blir primtalen. Fr?gan uppst?r: finns det sista (st?rsta) primtalet? Den antika grekiske matematikern Euklid (3:e ?rhundradet f.Kr.) bevisade i sin bok "Begynnelser", som under tv? tusen ?r var den huvudsakliga l?roboken i matematik, att det finns o?ndligt m?nga primtal, det vill s?ga bakom varje primtal finns det ett j?mnt tal. st?rre primtal.
F?r att hitta primtal kom en annan grekisk matematiker fr?n samma tid, Eratosthenes, p? en s?dan metod. Han skrev ner alla siffror fr?n 1 till n?got tal, och str?k sedan ?ver enheten, som varken ?r ett primtal eller ett sammansatt tal, och str?k sedan ?ver alla talen efter 2 (tal som ?r multiplar av 2, dvs. 4, 6, 8, etc.). Det f?rsta ?terst?ende talet efter 2 var 3. Sedan, efter tv?, str?ks alla siffror efter 3 ?ver (tal som ?r multiplar av 3, dvs. 6, 9, 12, etc.). i slut?ndan f?rblev bara primtalen o?verstrukna.

?mnet "Flera nummer" studeras i 5:e klass i en grundskola. Dess m?l ?r att f?rb?ttra de skriftliga och muntliga f?rdigheterna f?r matematiska ber?kningar. I den h?r lektionen introduceras nya begrepp - "multipeltal" och "divisorer", tekniken att hitta divisorer och multiplar av ett naturligt tal, f?rm?gan att hitta LCM p? olika s?tt utarbetas.

Detta ?mne ?r mycket viktigt. Kunskap om det kan till?mpas vid l?sning av exempel med br?k. F?r att g?ra detta m?ste du hitta den gemensamma n?mnaren genom att ber?kna den minsta gemensamma multipeln (LCM).

En multipel av A ?r ett heltal som ?r delbart med A utan rest.

Varje naturligt tal har ett o?ndligt antal multiplar av sig. Det anses vara det minsta. En multipel kan inte vara mindre ?n sj?lva talet.

Det ?r n?dv?ndigt att bevisa att talet 125 ?r en multipel av talet 5. F?r att g?ra detta m?ste du dividera det f?rsta talet med det andra. Om 125 ?r delbart med 5 utan rest, d? ?r svaret ja.

Denna metod ?r till?mplig f?r sm? nummer.

Vid ber?kning av LCM finns det speciella fall.

1. Om du beh?ver hitta en gemensam multipel f?r 2 tal (till exempel 80 och 20), d?r en av dem (80) ?r delbar utan rest med den andra (20), s? ?r detta tal (80) det minsta multipel av dessa tv? tal.

LCM (80, 20) = 80.

2. Om tv? inte har en gemensam divisor, s? kan vi s?ga att deras LCM ?r produkten av dessa tv? tal.

LCM (6, 7) = 42.

T?nk p? det sista exemplet. 6 och 7 i f?rh?llande till 42 ?r divisorer. De delar en multipel utan en rest.

I det h?r exemplet ?r 6 och 7 pardelare. Deras produkt ?r lika med det mest multipla talet (42).

Ett tal kallas primtal om det bara ?r delbart med sig sj?lvt eller med 1 (3:1=3; 3:3=1). Resten kallas komposit.

I ett annat exempel m?ste du best?mma om 9 ?r en divisor med avseende p? 42.

42:9=4 (resten 6)

Svar: 9 ?r inte en divisor av 42 eftersom svaret har en rest.

En divisor skiljer sig fr?n en multipel genom att divisor ?r det tal som naturliga tal divideras med, och multipeln i sig ?r delbar med det talet.

St?rsta gemensamma delare av tal a och b, multiplicerat med deras minsta multipel, ger produkten av sj?lva talen a och b.

N?mligen: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Gemensamma multipler f?r mer komplexa tal finns p? f?ljande s?tt.

Hitta till exempel LCM f?r 168, 180, 3024.

Vi delar upp dessa tal i primtalsfaktorer, skriver dem som en produkt av potenser:

168=2?x3?x7?

2?х3?х5?х7?=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.