Boltzmanns konstant (k (\displaystyle k) eller k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) - Fysisk konstant som best?mmer f?rh?llandet mellan temperatur och energi. Uppkallad efter den ?sterrikiske fysikern Ludwig Boltzmann, som gjorde ett stort bidrag till statistisk fysik, d?r denna konstant spelar en nyckelroll. Dess experimentella v?rde i International System of Units (SI) ?r:

Siffrorna inom parentes indikerar standardfelet i de sista siffrorna i v?rdet.

Encyklopedisk YouTube

1 / 3

? Termisk str?lning. Stefan-Boltzmann lag

? Boltzmann distributionsmodell.

? Fysik. MKT: Mendeleev-Clapeyrons ekvation f?r en idealisk gas. Foxford Online Learning Center

undertexter

Samband mellan temperatur och energi

I en homogen idealgas vid absolut temperatur T (\displaystyle T), energin som kan tillskrivas varje translationell frihetsgrad av ?r, enligt Maxwell-f?rdelningen, kT / 2 (\displaystyle kT/2). Vid rumstemperatur (300 °C) ?r denna energi 2 , 07 x 10 - 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21)) J eller 0,013 eV. I en monoatomisk idealgas har varje atom tre frihetsgrader motsvarande tre rumsliga axlar, vilket inneb?r att varje atom har energi i 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).

Genom att k?nna till den termiska energin kan man ber?kna rot-medelkvadrat-atomhastigheten, som ?r omv?nt proportionell mot kvadratroten av atommassan. Medelkvadrathastigheten vid rumstemperatur varierar fr?n 1370 m/s f?r helium till 240 m/s f?r xenon. N?r det g?ller en molekyl?r gas blir situationen mer komplicerad, till exempel har en diatomisk gas fem frihetsgrader (vid l?ga temperaturer, n?r vibrationer av atomer i en molekyl inte exciteras).

Definition av entropi

Entropin i ett termodynamiskt system definieras som den naturliga logaritmen f?r antalet olika mikrotillst?nd Z (\displaystyle Z) motsvarande ett givet makroskopiskt tillst?nd (till exempel ett tillst?nd med en given total energi).

Proportionalitetsfaktor k (\displaystyle k) och ?r Boltzmann-konstanten. Detta ?r ett uttryck som definierar f?rh?llandet mellan mikroskopiska ( Z (\displaystyle Z)) och makroskopiska tillst?nd ( S (\displaystyle S)), uttrycker den centrala id?n om statistisk mekanik.

Antaget v?rde fix

Den XXIV allm?nna konferensen om m?tt och vikt, som h?lls den 17-21 oktober 2011, antog en resolution, som i synnerhet f?reslog en framtida revidering av det internationella enhetssystemet p? ett s?dant s?tt att v?rdet p? Boltzmann-konstanten fastst?lls , varefter det kommer att anses s?kert exakt. Som ett resultat kommer det att k?ras exakt j?mlikhet k=1.380 6X?10 -23 J/K, d?r X ers?tter en eller flera signifikanta siffror som ska fastst?llas i framtiden baserat p? de b?sta CODATA-rekommendationerna. En s?dan p?st?dd fixering ?r f?rknippad med ?nskan att omdefiniera enheten f?r termodynamisk temperatur, kelvin, genom att relatera dess v?rde till v?rdet p? Boltzmann-konstanten.

Boltzmann Ludwig (1844-1906)- den store ?sterrikiske fysikern, en av grundarna av den molekyl?ra kinetiska teorin. I Boltzmanns verk upptr?dde den molekyl?r-kinetiska teorin f?rst som en logiskt sammanh?ngande, konsekvent fysikalisk teori. Boltzmann gav en statistisk tolkning av termodynamikens andra lag. Han har gjort mycket f?r utvecklingen och populariseringen av Maxwells teori om det elektromagnetiska f?ltet. Boltzmann, en fighter av naturen, f?rsvarade passionerat behovet av en molekyl?r tolkning av termiska fenomen och tog p? sig b?rdan av kampen mot vetenskapsm?n som f?rnekade existensen av molekyler.

Ekvation (4.5.3) inkluderar f?rh?llandet mellan den universella gaskonstanten R till Avogadro-konstanten N A . Detta f?rh?llande ?r detsamma f?r alla ?mnen. Den kallas Boltzmann-konstanten, f?r att hedra L. Boltzmann, en av grundarna av den molekyl?ra kinetiska teorin.

Boltzmanns konstant ?r:

(4.5.4)

Ekvation (4.5.3), med h?nsyn till Boltzmann-konstanten, skrivs enligt f?ljande:

(4.5.5)

Den fysiska betydelsen av Boltzmann-konstanten

Historiskt sett introducerades temperatur f?rst som en termodynamisk storhet, och en m?ttenhet fastst?lldes f?r den - en grad (se § 3.2). Efter att ha fastst?llt sambandet mellan temperatur och den genomsnittliga kinetiska energin f?r molekyler, blev det uppenbart att temperatur kan definieras som den genomsnittliga kinetiska energin f?r molekyler och uttrycks i joule eller ergs, d.v.s. ist?llet f?r kvantiteten T ange v?rde T* s? att

Den s?lunda best?mda temperaturen ?r relaterad till temperaturen uttryckt i grader enligt f?ljande:

D?rf?r kan Boltzmann-konstanten betraktas som en kvantitet som relaterar temperaturen, uttryckt i energienheter, med temperaturen, uttryckt i grader.

Gastryckets beroende av koncentrationen av dess molekyler och temperatur

Uttrycker E fr?n relation (4.5.5) och genom att ers?tta formeln (4.4.10) f?r vi ett uttryck som visar gastryckets beroende av koncentrationen av molekyler och temperatur:

(4.5.6)

Av formel (4.5.6) f?ljer att vid samma tryck och temperaturer ?r koncentrationen av molekyler i alla gaser densamma.

Detta inneb?r Avogadros lag: lika volymer gaser vid samma temperaturer och tryck inneh?ller samma antal molekyler.

Den genomsnittliga kinetiska energin f?r molekylers translationsr?relse ?r direkt proportionell mot den absoluta temperaturen. Proportionalitetsfaktor- Boltzmanns konstantk \u003d 10 -23 J / K - beh?ver komma ih?g.

§ 4.6. Maxwell distribution

I ett stort antal fall ?r det inte tillr?ckligt att bara k?nna till medelv?rdena f?r fysiska kvantiteter. Att till exempel k?nna till m?nniskors genomsnittliga h?jd till?ter inte att planera produktionen av kl?der i olika storlekar. Du m?ste veta det ungef?rliga antalet personer vars h?jd ligger i ett visst intervall. P? samma s?tt ?r det viktigt att k?nna till antalet molekyler som har andra hastigheter ?n genomsnittet. Maxwell var den f?rsta att hitta hur dessa siffror kan best?mmas.

Sannolikhet f?r en slumpm?ssig h?ndelse

I §4.1 har vi redan n?mnt att J. Maxwell introducerade begreppet sannolikhet f?r att beskriva beteendet hos en stor upps?ttning molekyler.

Som upprepade g?nger betonats ?r det i princip om?jligt att f?lja f?r?ndringen i hastigheten (eller r?relsem?ngden) f?r en molekyl ?ver ett l?ngt tidsintervall. Det ?r ocks? om?jligt att exakt best?mma hastigheten f?r alla gasmolekyler vid en given tidpunkt. Fr?n de makroskopiska f?rh?llandena d?r gasen befinner sig (en viss volym och temperatur) f?ljer inte n?dv?ndigtvis vissa v?rden p? molekylernas hastigheter. En molekyls hastighet kan betraktas som en slumpm?ssig variabel, som under givna makroskopiska f?rh?llanden kan anta olika v?rden, precis som n?r man kastar en t?rning, valfritt antal po?ng fr?n 1 till 6 (antal sidor p? t?rningen ?r sex) kan falla ut. Det ?r om?jligt att f?ruts?ga hur m?nga po?ng som kommer att falla ut i ett givet t?rningskast. Men sannolikheten att rulla, s?g, fem po?ng ?r f?rsvarbar.

Vad ?r sannolikheten f?r att en slumpm?ssig h?ndelse intr?ffar? L?t ett mycket stort antal produceras N tester (N ?r antalet kast med t?rningen). Samtidigt, i N" fall var det ett gynnsamt resultat av testerna (d.v.s. f?rlust av fem). D? ?r sannolikheten f?r denna h?ndelse lika med f?rh?llandet mellan antalet fall med ett gynnsamt resultat och det totala antalet f?rs?k, f?rutsatt att detta antal ?r godtyckligt stort:

(4.6.1)

F?r en symmetrisk t?rning ?r sannolikheten f?r valfritt antal punkter fr?n 1 till 6 .

Vi ser att mot bakgrund av m?nga slumpm?ssiga h?ndelser avsl?jas ett visst kvantitativt m?nster, ett antal dyker upp. Detta nummer - sannolikheten - l?ter dig ber?kna medelv?rden. S?, om du g?r 300 kast av en t?rning, kommer det genomsnittliga antalet kast av en femma, enligt formel (4.6.1), att vara lika med: 300 = 50, och det ?r helt likgiltigt att kasta samma t?rning 300 g?nger eller samtidigt 300 identiska t?rningar.

Utan tvekan ?r beteendet hos gasmolekyler i ett k?rl mycket mer komplicerat ?n r?relsen av en kastad t?rning. Men ?ven h?r kan man hoppas uppt?cka vissa kvantitativa regelbundenheter som g?r det m?jligt att ber?kna statistiska medelv?rden, om bara problemet st?lls p? samma s?tt som i spelteorin, och inte som i klassisk mekanik. Det ?r n?dv?ndigt att ?verge det ol?sliga problemet med att best?mma det exakta v?rdet av en molekyls hastighet vid ett givet ?gonblick och f?rs?ka hitta sannolikheten f?r att hastigheten har ett visst v?rde.

Fj?rilar vet naturligtvis ingenting om ormar. Men f?glar som jagar fj?rilar vet om dem. F?glar som inte k?nner igen ormar ?r mer ben?gna att...

Enligt Stefan-Boltzmann lagen, t?theten av den integrala halvsf?riska str?lningen E0 beror endast p? temperatur och varierar i proportion till fj?rde potensen av absolut temperatur T:

Stefan - Boltzmanns konstant s 0 ?r en fysikalisk konstant som ing?r i lagen som best?mmer volymt?theten f?r termisk j?mviktsstr?lning fr?n en svart kropp:

Historiskt sett formulerades Stefan-Boltzmann-lagen f?re Plancks str?lningslag, varav den f?ljer som en f?ljd. Plancks lag fastst?ller beroendet av str?lningsfl?dets spektrala t?thet E 0 p? v?gl?ngd l och temperatur T:

d?r l ?r v?gl?ngden, m; Med\u003d 2.998 10 8 m / s - ljusets hastighet i vakuum; T– kroppstemperatur, K;
h\u003d 6,625 x 10 -34 J x s - Plancks konstant.

Fysisk konstant k lika med f?rh?llandet mellan den universella gaskonstanten R\u003d 8314J / (kg x K) till Avogadros nummer NA\u003d 6,022 x 10 26 1 / (kg x mol):

Antal olika systemkonfigurationer fr?n N partiklar f?r en given upps?ttning tal n i(antal partiklar i i-tillst?ndet som energin e i motsvarar) ?r proportionellt mot v?rdet:

V?rde W det finns ett antal s?tt att distribuera N partiklar efter energiniv?er. Om relation (6) ?r giltig, anses det ursprungliga systemet f?lja Boltzmann-statistiken. Upps?ttning siffror n i, d?r numret W maximum, f?rekommer oftast och motsvarar den mest sannolika f?rdelningen.

Fysisk kinetik– mikroskopisk teori om processer i statistiskt icke-j?mviktssystem.

Beskrivningen av ett stort antal partiklar kan framg?ngsrikt utf?ras med probabilistiska metoder. F?r en monoatomisk gas best?ms tillst?ndet f?r en upps?ttning molekyler av deras koordinater och av v?rdena f?r hastighetsprojektionerna p? motsvarande koordinataxlar. Matematiskt beskrivs detta av en f?rdelningsfunktion som k?nnetecknar sannolikheten f?r att en partikel ?r i ett givet tillst?nd:

?r det f?rv?ntade antalet molekyler i volymen d d , vars koordinater ligger i intervallet fr?n till +d , och vars hastigheter ligger i intervallet fr?n till +d.

Om den tidsgenomsnittliga potentiella energin f?r interaktionen mellan molekyler kan f?rsummas i j?mf?relse med deras kinetiska energi, s? kallas gasen ideal. En idealgas kallas en Boltzmann-gas om f?rh?llandet mellan v?gl?ngden f?r molekyler i denna gas och den karakteristiska storleken p? fl?det L naturligtvis, d.v.s.

d?rf?r att k?rl?ngden ?r omv?nt proportionell nd 2(n ?r taldensiteten 1/m3, d ?r molekylens diameter, m).

v?rdet

kallad H- Boltzmann-funktionen f?r en volymenhet, som ?r relaterad till sannolikheten att detektera ett system av gasmolekyler i ett givet tillst?nd. Varje tillst?nd motsvarar vissa ockupationsnummer f?r sexdimensionella rymdhastighetsceller, i vilka fasutrymmet f?r de betraktade molekylerna kan delas in. Beteckna W sannolikheten att det i den f?rsta cellen i det aktuella utrymmet kommer att finnas N 1 molekyler, i den andra cellen N 2, etc.

Upp till en konstant som best?mmer ursprunget f?r sannolikheten ?r f?ljande relation giltig:

,

var – H-funktion f?r omr?det i rymden MEN upptagen av gas. Av (9) kan man se att W och H sammanh?ngande, dvs. en f?r?ndring av sannolikheten f?r ett tillst?nd leder till en motsvarande utveckling av H-funktionen.

Boltzmann-principen etablerar ett samband mellan entropi S fysiskt system och termodynamisk sannolikhet W hennes status:

(tryckt enligt publikationen: Kogan M.N. Dynamics of rarefied gas. - M .: Nauka, 1967.)

Allm?n bild av KUBEN:

var ?r kroppskraften p? grund av n?rvaron av olika f?lt (gravitationsf?lt, elektriska, magnetiska) som verkar p? molekylen; J?r kollisionsintegralen. Det ?r denna term i Boltzmann-ekvationen som tar h?nsyn till kollisioner av molekyler med varandra och motsvarande f?r?ndringar i hastigheterna hos de interagerande partiklarna. Kollisionsintegralen ?r en femdimensionell integral och har f?ljande struktur:

Ekvation (12) med integral (13) erh?lls f?r kollisionen av molekyler, i vilka det inte finns n?gra tangentiella krafter, dvs. kolliderande partiklar antas vara helt j?mna.

I interaktionsprocessen f?r?ndras inte molekylernas inre energi, d.v.s. det antas att dessa molekyler ?r idealiskt elastiska. Tv? grupper av molekyler anses ha hastigheter respektive f?re kollision (kollision) med varandra (Fig. 1), och efter kollision respektive hastigheter och . Skillnaden i hastigheter kallas den relativa hastigheten, d.v.s. . Det ?r tydligt att f?r en smidig elastisk kollision. Distributionsfunktioner f 1 ", f", f 1 , f beskriva molekylerna f?r motsvarande grupper efter och f?re kollisioner, d.v.s. ; ; ; .

Ris. 1. Kollision av tv? molekyler.

Ekvation (13) inkluderar tv? parametrar som k?nnetecknar platsen f?r kolliderande molekyler i f?rh?llande till varandra: b och e; b- siktavst?nd, d.v.s. det minsta avst?ndet som molekylerna skulle n?rma sig i fr?nvaro av interaktion (fig. 2); e kallas vinkelkollisionsparametern (fig. 3). Integration ?ver b fr?n 0 till ? och fr?n 0 till 2p (tv? externa integraler i (12)) t?cker hela kraftplanet vinkelr?tt mot vektorn

Ris. 2. Bana f?r molekylers r?relse.

Ris. 3. ?verv?gande av interaktionen mellan molekyler i ett cylindriskt koordinatsystem: z, b, e

Boltzmanns kinetiska ekvation h?rleds under f?ljande antaganden och antaganden.

1. Man tror att fr?mst kollisioner av tv? molekyler f?rekommer, d.v.s. rollen av kollisioner av tre eller flera molekyler samtidigt ?r obetydlig. Detta antagande g?r det m?jligt att anv?nda enpartikelf?rdelningsfunktionen f?r analys, som helt enkelt kallades f?rdelningsfunktionen ovan. Att ta h?nsyn till kollisionen mellan tre molekyler leder till behovet av att anv?nda en tv?partikelf?rdelningsfunktion i studien. F?ljaktligen blir analysen mycket mer komplicerad.

2. Antagande om molekyl?rt kaos. Det uttrycks i det faktum att sannolikheterna f?r att detektera partikel 1 vid faspunkten och partikel 2 vid faspunkten ?r oberoende av varandra.

3. Lika sannolika kollisioner av molekyler med valfritt anslagsavst?nd, d.v.s. f?rdelningsfunktionen ?ndras inte p? interaktionsdiametern. Det b?r noteras att det analyserade elementet m?ste vara litet f?r att f inom detta element f?r?ndras inte, men samtidigt, s? att den relativa fluktuationen ~ inte ?r stor. Interaktionspotentialerna som anv?nds vid ber?kningen av kollisionsintegralen ?r sf?riskt symmetriska, d.v.s. .

Maxwell-Boltzmann distribution

Gasens j?mviktstillst?nd beskrivs av den absoluta Maxwellska f?rdelningen, som ?r den exakta l?sningen av Boltzmanns kinetiska ekvation:

d?r m ?r molekylens massa, kg.

Den allm?nna lokalt-Maxwellska distributionen kallas annars Maxwell-Boltzmann-distributionen:

i fallet n?r gasen r?r sig som en helhet med en hastighet och variablerna n , T beror p? koordinaten
och tid t.

I jordens gravitationsf?lt visar den exakta l?sningen av Boltzmann-ekvationen:

var n 0 = densitet n?ra jordens yta, 1/m 3 ; g- tyngdacceleration, m / s 2; h?r h?jden, m. Formel (16) ?r den exakta l?sningen av Boltzmanns kinetiska ekvation antingen i ett o?ndligt utrymme eller i n?rvaro av gr?nser som inte bryter mot denna f?rdelning, samtidigt som temperaturen ocks? m?ste f?rbli konstant.

Den h?r sidan designades av Puzina Yu.Yu. med st?d av den ryska stiftelsen f?r grundforskning - projekt nr 08-08-00638.

Boltzmanns konstant (k (\displaystyle k) eller k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) ?r en fysisk konstant som best?mmer f?rh?llandet mellan temperatur och energi. Uppkallad efter den ?sterrikiske fysikern Ludwig Boltzmann, som gjorde stora bidrag till statistisk fysik, d?r denna konstant spelar en nyckelroll. Dess v?rde i International System of Units SI enligt ?ndringen i definitionerna av de grundl?ggande SI-enheterna (2018) ?r exakt lika med

Samband mellan temperatur och energi

I en homogen idealgas vid absolut temperatur T (\displaystyle T), energin per translationell frihetsgrad ?r, enligt Maxwell-f?rdelningen, kT / 2 (\displaystyle kT/2). Vid rumstemperatur (300 °C) ?r denna energi 2 , 07 x 10 - 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21)) J eller 0,013 eV. I en monoatomisk idealgas har varje atom tre frihetsgrader motsvarande tre rumsliga axlar, vilket inneb?r att varje atom har energi i 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).

Genom att k?nna till den termiska energin kan man ber?kna rot-medelkvadrat-atomhastigheten, som ?r omv?nt proportionell mot kvadratroten av atommassan. Medelkvadrathastigheten vid rumstemperatur varierar fr?n 1370 m/s f?r helium till 240 m/s f?r xenon. N?r det g?ller en molekyl?r gas blir situationen mer komplicerad, till exempel har en diatomisk gas 5 frihetsgrader - 3 translationell och 2 roterande (vid l?ga temperaturer, n?r vibrationer av atomer i molekylen inte exciteras och ytterligare grader av frihet tillkommer inte).

Definition av entropi

Entropin i ett termodynamiskt system definieras som den naturliga logaritmen f?r antalet olika mikrotillst?nd Z (\displaystyle Z) motsvarande ett givet makroskopiskt tillst?nd (till exempel ett tillst?nd med en given total energi).

Proportionalitetsfaktor k (\displaystyle k) och ?r Boltzmann-konstanten. Detta ?r ett uttryck som definierar f?rh?llandet mellan mikroskopiska ( Z (\displaystyle Z)) och makroskopiska tillst?nd ( S (\displaystyle S)), uttrycker den centrala id?n om statistisk mekanik.