grundl?ggande egenskaper.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

samma grunder

log6 4 + log6 9.

L?t oss nu komplicera uppgiften lite.

Exempel p? att l?sa logaritmer

Vad h?nder om det finns en grad i basen eller argumentet f?r logaritmen? Sedan kan exponenten f?r denna grad tas ut ur logaritmens tecken enligt f?ljande regler:

Naturligtvis ?r alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ? 1, x >

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket:

?verg?ng till en ny stiftelse

L?t logaritmen logax ges. Sedan f?r vilket tal c som helst s? att c > 0 och c ? 1, ?r likheten sann:

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket:

Se ?ven:

Grundl?ggande egenskaper hos logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponenten ?r 2,718281828…. F?r att komma ih?g exponenten kan du studera regeln: exponenten ?r 2,7 och tv? g?nger Leo Tolstojs f?delse?r.

Grundl?ggande egenskaper hos logaritmer

Genom att k?nna till denna regel kommer du att veta b?de det exakta v?rdet p? exponenten och Leo Tolstojs f?delsedatum.

Exempel p? logaritmer

Ta logaritmen av uttryck

Exempel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Med egenskaper 3,5 ber?knar vi

2.

3.

4. var .

Exempel 2 Hitta x if

Exempel 3. L?t v?rdet p? logaritmer anges

Ber?kna log(x) if

Grundl?ggande egenskaper hos logaritmer

Logaritmer, som alla tal, kan l?ggas till, subtraheras och konverteras p? alla m?jliga s?tt. Men eftersom logaritmer inte ?r helt vanliga tal finns det regler h?r som kallas grundl?ggande egenskaper.

Dessa regler m?ste vara k?nda - inga allvarliga logaritmiska problem kan l?sas utan dem. Dessutom ?r det v?ldigt f? av dem – allt g?r att l?ra sig p? en dag. S? l?t oss b?rja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta tv? logaritmer med samma bas: logax och logay. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

S? summan av logaritmerna ?r lika med produktens logaritm, och skillnaden ?r logaritmen f?r kvoten. Observera: nyckelpunkten h?r ?r - samma grunder. Om grunderna ?r olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hj?lper till att ber?kna det logaritmiska uttrycket ?ven n?r dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad ?r en logaritm"). Ta en titt p? exemplen och se:

Eftersom logaritmernas baser ?r desamma anv?nder vi summaformeln:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log2 48 - log2 3.

Baserna ?r desamma, vi anv?nder skillnadsformeln:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log3 135 - log3 5.

?terigen, baserna ?r desamma, s? vi har:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se ?r de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "d?liga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. M?nga tester ?r baserade p? detta faktum. Ja, kontroll - liknande uttryck p? fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga f?r?ndringar) erbjuds vid tentamen.

Ta bort exponenten fr?n logaritmen

Det ?r l?tt att se att den sista regeln f?ljer deras tv? f?rsta. Men det ?r b?ttre att komma ih?g det ?nd? - i vissa fall kommer det att minska m?ngden ber?kningar avsev?rt.

Naturligtvis ?r alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ? 1, x > 0. Och en sak till: l?r dig att till?mpa alla formler inte bara fr?n v?nster till h?ger, utan ocks? vice versa, d.v.s. du kan ange siffrorna f?re logaritmens tecken i sj?lva logaritmen. Detta ?r vad som oftast kr?vs.

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log7 496.

L?t oss bli av med graden i argumentet enligt den f?rsta formeln:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket:

Observera att n?mnaren ?r en logaritm vars bas och argument ?r exakta potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet beh?ver f?rtydligas. Var har logaritmerna tagit v?gen? Fram till sista stund arbetar vi bara med n?mnaren.

Formler f?r logaritmer. Logaritmer ?r exempel p? l?sningar.

De presenterade basen och argumentet f?r logaritmen som stod d?r i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre v?ningar" br?kdel.

L?t oss nu titta p? huvudfraktionen. T?ljaren och n?mnaren har samma nummer: log2 7. Eftersom log2 7 ? 0 kan vi reducera br?ket - 2/4 blir kvar i n?mnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra ?verf?ras till t?ljaren, vilket gjordes. Resultatet ?r svaret: 2.

?verg?ng till en ny stiftelse

P? tal om reglerna f?r att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad h?nder om grunderna ?r olika? Vad h?nder om de inte ?r exakta potenser av samma tal?

Formler f?r ?verg?ng till en ny bas kommer till unds?ttning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

L?t logaritmen logax ges. Sedan f?r vilket tal c som helst s? att c > 0 och c ? 1, ?r likheten sann:

I synnerhet, om vi s?tter c = x, f?r vi:

Det f?ljer av den andra formeln att det ?r m?jligt att v?xla basen och argumentet f?r logaritmen, men i det h?r fallet "v?nds hela uttrycket om", dvs. logaritmen ?r i n?mnaren.

Dessa formler finns s?llan i vanliga numeriska uttryck. Det ?r m?jligt att utv?rdera hur bekv?ma de ?r endast n?r man l?ser logaritmiska ekvationer och oj?mlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls g?r att l?sa f?rutom genom att flytta till en ny stiftelse. L?t oss ?verv?ga ett par av dessa:

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log5 16 log2 25.

Observera att argumenten f?r b?da logaritmerna ?r exakta exponenter. L?t oss ta ut indikatorerna: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

L?t oss nu v?nda den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ?ndras fr?n permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och tv? och r?knade sedan ut logaritmerna.

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log9 100 lg 3.

Basen och argumentet f?r den f?rsta logaritmen ?r exakta potenser. L?t oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

L?t oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundl?ggande logaritmisk identitet

Ofta i processen f?r att l?sa det kr?vs att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det h?r fallet kommer formlerna att hj?lpa oss:

I det f?rsta fallet blir talet n exponenten i argumentet. Talet n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara ?r v?rdet p? logaritmen.

Den andra formeln ?r faktiskt en omskriven definition. Det heter s? h?r:

Ja, vad h?nder om talet b h?js till en s?dan potens att talet b till denna potens ger talet a? Det st?mmer: det h?r ?r samma nummer a. L?s det h?r stycket noggrant igen - m?nga m?nniskor "h?nger" p? det.

Liksom de nya basomvandlingsformlerna ?r den grundl?ggande logaritmiska identiteten ibland den enda m?jliga l?sningen.

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket:

Observera att log25 64 = log5 8 - tog bara ut kvadraten fr?n basen och logaritmens argument. Givet reglerna f?r att multiplicera potenser med samma bas f?r vi:

Om n?gon inte ?r insatt var detta en riktig uppgift fr?n Unified State Examination ?

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge tv? identiteter som ?r sv?ra att kalla egenskaper – snarare ?r dessa konsekvenser fr?n definitionen av logaritmen. De ?terfinns st?ndigt i problem och skapar ?verraskande problem ?ven f?r "avancerade" elever.

1. logaa = 1 ?r. Kom ih?g en g?ng f?r alla: logaritmen till valfri bas a fr?n sj?lva basen ?r lika med ett.
2. loga 1 = 0 ?r. Basen a kan vara vad som helst, men om argumentet ?r ett ?r logaritmen noll! Eftersom a0 = 1 ?r en direkt f?ljd av definitionen.

Det ?r alla egenskaper. Se till att tr?na p? att oms?tta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i b?rjan av lektionen, skriv ut det och l?s problemen.

Se ?ven:

Logaritmen f?r talet b till basen a betecknar uttrycket. Att ber?kna logaritmen inneb?r att hitta en s?dan potens x () vid vilken likheten ?r sann

Grundl?ggande egenskaper hos logaritmen

Ovanst?ende egenskaper m?ste vara k?nda, eftersom, p? grundval av dem, n?stan alla problem och exempel l?ses baserat p? logaritmer. De ?terst?ende exotiska egenskaperna kan h?rledas genom matematiska manipulationer med dessa formler

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Vid ber?kning av formlerna f?r summan och skillnaden av logaritmer (3.4) p?tr?ffas ganska ofta. Resten ?r n?got komplexa, men i ett antal uppgifter ?r de oumb?rliga f?r att f?renkla komplexa uttryck och ber?kna deras v?rden.

Vanliga fall av logaritmer

N?gra av de vanliga logaritmerna ?r de d?r basen till och med ?r tio, exponentiell eller deuce.
Bas tio logaritmen brukar kallas f?r bas tio logaritmen och betecknas helt enkelt lg(x).

Av journalen framg?r att grunderna inte finns inskrivna i journalen. Till exempel

Den naturliga logaritmen ?r den logaritm vars grund ?r exponenten (betecknad ln(x)).

Exponenten ?r 2,718281828…. F?r att komma ih?g exponenten kan du studera regeln: exponenten ?r 2,7 och tv? g?nger Leo Tolstojs f?delse?r. Genom att k?nna till denna regel kommer du att veta b?de det exakta v?rdet p? exponenten och Leo Tolstojs f?delsedatum.

Och en annan viktig bas tv?-logaritm ?r

Derivatan av funktionens logaritm ?r lika med en dividerad med variabeln

Integral- eller antiderivatlogaritmen best?ms av beroendet

Ovanst?ende material ?r tillr?ckligt f?r att du ska l?sa en bred klass av problem relaterade till logaritmer och logaritmer. F?r att tillgodog?ra mig materialet kommer jag bara att ge n?gra vanliga exempel fr?n skolans l?roplan och universitet.

Exempel p? logaritmer

Ta logaritmen av uttryck

Exempel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Med egenskaper 3,5 ber?knar vi

2.
Genom skillnadsegenskapen hos logaritmer har vi

3.
Med hj?lp av egenskaper 3.5 hittar vi

4. var .

Ett till synes komplext uttryck som anv?nder en serie regler f?renklas till formen

Hitta logaritmv?rden

Exempel 2 Hitta x if

L?sning. F?r ber?kningen till?mpar vi fastigheterna 5 och 13 fram till sista terminen

Ers?ttare i protokollet och s?rja

Eftersom baserna ?r lika likst?ller vi uttrycken

Logaritmer. F?rsta niv?n.

L?t v?rdet p? logaritmerna anges

Ber?kna log(x) if

L?sning: Ta variabelns logaritm f?r att skriva logaritmen genom summan av termerna

Detta ?r bara b?rjan p? bekantskapen med logaritmer och deras egenskaper. ?va ber?kningar, berika dina praktiska f?rdigheter - du kommer snart att beh?va de f?rv?rvade kunskaperna f?r att l?sa logaritmiska ekvationer. Efter att ha studerat de grundl?ggande metoderna f?r att l?sa s?dana ekvationer kommer vi att ut?ka dina kunskaper f?r ett annat lika viktigt ?mne - logaritmiska oj?mlikheter ...

Grundl?ggande egenskaper hos logaritmer

Logaritmer, som alla tal, kan l?ggas till, subtraheras och konverteras p? alla m?jliga s?tt. Men eftersom logaritmer inte ?r helt vanliga tal finns det regler h?r som kallas grundl?ggande egenskaper.

Dessa regler m?ste vara k?nda - inga allvarliga logaritmiska problem kan l?sas utan dem. Dessutom ?r det v?ldigt f? av dem – allt g?r att l?ra sig p? en dag. S? l?t oss b?rja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta tv? logaritmer med samma bas: logax och logay. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

S? summan av logaritmerna ?r lika med produktens logaritm, och skillnaden ?r logaritmen f?r kvoten. Observera: nyckelpunkten h?r ?r - samma grunder. Om grunderna ?r olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hj?lper till att ber?kna det logaritmiska uttrycket ?ven n?r dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad ?r en logaritm"). Ta en titt p? exemplen och se:

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log6 4 + log6 9.

Eftersom logaritmernas baser ?r desamma anv?nder vi summaformeln:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log2 48 - log2 3.

Baserna ?r desamma, vi anv?nder skillnadsformeln:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log3 135 - log3 5.

?terigen, baserna ?r desamma, s? vi har:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se ?r de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "d?liga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. M?nga tester ?r baserade p? detta faktum. Ja, kontroll - liknande uttryck p? fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga f?r?ndringar) erbjuds vid tentamen.

Ta bort exponenten fr?n logaritmen

L?t oss nu komplicera uppgiften lite. Vad h?nder om det finns en grad i basen eller argumentet f?r logaritmen? Sedan kan exponenten f?r denna grad tas ut ur logaritmens tecken enligt f?ljande regler:

Det ?r l?tt att se att den sista regeln f?ljer deras tv? f?rsta. Men det ?r b?ttre att komma ih?g det ?nd? - i vissa fall kommer det att minska m?ngden ber?kningar avsev?rt.

Naturligtvis ?r alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ? 1, x > 0. Och en sak till: l?r dig att till?mpa alla formler inte bara fr?n v?nster till h?ger, utan ocks? vice versa, d.v.s. du kan ange siffrorna f?re logaritmens tecken i sj?lva logaritmen.

Hur man l?ser logaritmer

Detta ?r vad som oftast kr?vs.

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log7 496.

L?t oss bli av med graden i argumentet enligt den f?rsta formeln:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket:

Observera att n?mnaren ?r en logaritm vars bas och argument ?r exakta potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet beh?ver f?rtydligas. Var har logaritmerna tagit v?gen? Fram till sista stund arbetar vi bara med n?mnaren. De presenterade basen och argumentet f?r logaritmen som stod d?r i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre v?ningar" br?kdel.

L?t oss nu titta p? huvudfraktionen. T?ljaren och n?mnaren har samma nummer: log2 7. Eftersom log2 7 ? 0 kan vi reducera br?ket - 2/4 blir kvar i n?mnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra ?verf?ras till t?ljaren, vilket gjordes. Resultatet ?r svaret: 2.

?verg?ng till en ny stiftelse

P? tal om reglerna f?r att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad h?nder om grunderna ?r olika? Vad h?nder om de inte ?r exakta potenser av samma tal?

Formler f?r ?verg?ng till en ny bas kommer till unds?ttning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

L?t logaritmen logax ges. Sedan f?r vilket tal c som helst s? att c > 0 och c ? 1, ?r likheten sann:

I synnerhet, om vi s?tter c = x, f?r vi:

Det f?ljer av den andra formeln att det ?r m?jligt att v?xla basen och argumentet f?r logaritmen, men i det h?r fallet "v?nds hela uttrycket om", dvs. logaritmen ?r i n?mnaren.

Dessa formler finns s?llan i vanliga numeriska uttryck. Det ?r m?jligt att utv?rdera hur bekv?ma de ?r endast n?r man l?ser logaritmiska ekvationer och oj?mlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls g?r att l?sa f?rutom genom att flytta till en ny stiftelse. L?t oss ?verv?ga ett par av dessa:

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log5 16 log2 25.

Observera att argumenten f?r b?da logaritmerna ?r exakta exponenter. L?t oss ta ut indikatorerna: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

L?t oss nu v?nda den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ?ndras fr?n permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och tv? och r?knade sedan ut logaritmerna.

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log9 100 lg 3.

Basen och argumentet f?r den f?rsta logaritmen ?r exakta potenser. L?t oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

L?t oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundl?ggande logaritmisk identitet

Ofta i processen f?r att l?sa det kr?vs att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det h?r fallet kommer formlerna att hj?lpa oss:

I det f?rsta fallet blir talet n exponenten i argumentet. Talet n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara ?r v?rdet p? logaritmen.

Den andra formeln ?r faktiskt en omskriven definition. Det heter s? h?r:

Ja, vad h?nder om talet b h?js till en s?dan potens att talet b till denna potens ger talet a? Det st?mmer: det h?r ?r samma nummer a. L?s det h?r stycket noggrant igen - m?nga m?nniskor "h?nger" p? det.

Liksom de nya basomvandlingsformlerna ?r den grundl?ggande logaritmiska identiteten ibland den enda m?jliga l?sningen.

En uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket:

Observera att log25 64 = log5 8 - tog bara ut kvadraten fr?n basen och logaritmens argument. Givet reglerna f?r att multiplicera potenser med samma bas f?r vi:

Om n?gon inte ?r insatt var detta en riktig uppgift fr?n Unified State Examination ?

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge tv? identiteter som ?r sv?ra att kalla egenskaper – snarare ?r dessa konsekvenser fr?n definitionen av logaritmen. De ?terfinns st?ndigt i problem och skapar ?verraskande problem ?ven f?r "avancerade" elever.

1. logaa = 1 ?r. Kom ih?g en g?ng f?r alla: logaritmen till valfri bas a fr?n sj?lva basen ?r lika med ett.
2. loga 1 = 0 ?r. Basen a kan vara vad som helst, men om argumentet ?r ett ?r logaritmen noll! Eftersom a0 = 1 ?r en direkt f?ljd av definitionen.

Det ?r alla egenskaper. Se till att tr?na p? att oms?tta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i b?rjan av lektionen, skriv ut det och l?s problemen.

L?t oss b?rja med egenskaper hos enhetslogaritmen. Dess formulering ?r som f?ljer: logaritmen f?r enhet ?r lika med noll, det vill s?ga, logga en 1=0 f?r vilken som helst a>0, a?1. Beviset ?r enkelt: eftersom a 0 =1 f?r varje a som uppfyller ovanst?ende villkor a>0 och a?1, s? f?ljer den bevisade likhetsloggen a 1=0 omedelbart av definitionen av logaritmen.

L?t oss ge exempel p? till?mpning av den aktuella egenskapen: log 3 1=0 , lg1=0 och .

L?t oss g? vidare till n?sta fastighet: logaritmen f?r ett tal lika med basen ?r lika med ett, det ?r, log a a=1 f?r a>0, a?1. Faktum ?r att eftersom a 1 =a f?r vilket a som helst, d? logaritmen log a a=1 enligt definitionen av logaritmen.

Exempel p? anv?ndning av denna egenskap hos logaritmer ?r log 5 5=1 , log 5,6 5,6 och lne=1 .

Till exempel log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 och .

Logaritm av produkten av tv? positiva tal x och y ?r lika med produkten av logaritmerna av dessa tal: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a?1. L?t oss bevisa egenskapen hos produktens logaritm. P? grund av gradens egenskaper a log a x+log a y =a log a x a log a y, och eftersom av den logaritmiska huvudidentiteten a log a x =x och en log a y = y , sedan en log a x a log a y = x y . S?ledes, a log a x+log a y = x y , varav den erforderliga likheten f?ljer av definitionen av logaritmen.

L?t oss visa exempel p? hur du anv?nder egenskapen f?r produktens logaritm: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 och .

Produktlogaritmegenskapen kan generaliseras till produkten av ett ?ndligt antal n av positiva tal x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +...+ log a x n . Denna j?mlikhet ?r l?tt bevisad.

Till exempel kan den naturliga logaritmen f?r en produkt ers?ttas med summan av tre naturliga logaritmer av talen 4 , e , och .

Logaritm av kvoten av tv? positiva tal x och y ?r lika med skillnaden mellan logaritmerna f?r dessa tal. Quotientlogaritmegenskapen motsvarar en formel av formen , d?r a>0 , a?1 , x och y ?r n?gra positiva tal. Giltigheten av denna formel bevisas som formeln f?r produktens logaritm: sedan , sedan enligt definitionen av logaritmen .

H?r ?r ett exempel p? hur du anv?nder denna egenskap hos logaritmen: .

L?t oss g? vidare till egenskap hos gradlogaritmen. Logaritmen f?r en grad ?r lika med produkten av exponenten och logaritmen av modulen f?r basen f?r denna grad. Vi skriver denna egenskap hos gradens logaritm i form av en formel: log a b p =p log a |b|, d?r a>0 , a?1 , b och p ?r tal s? att graden av b p ?r vettig och b p >0 .

Vi bevisar f?rst denna egenskap f?r positiv b . Den grundl?ggande logaritmiska identiteten till?ter oss att representera talet b som en log a b , sedan b p =(a log a b) p , och det resulterande uttrycket, p? grund av potensegenskapen, ?r lika med a p log a b . S? vi kommer fram till likheten b p =a p log a b , fr?n vilken vi, enligt logaritmens definition, drar slutsatsen att log a b p = p log a b .

Det ?terst?r att bevisa denna egenskap f?r negativ b . H?r noterar vi att uttrycket log a b p f?r negativt b ?r vettigt bara f?r j?mna exponenter p (eftersom v?rdet p? graden b p m?ste vara st?rre ?n noll, annars kommer logaritmen inte att vara vettig), och i detta fall b p =|b| sid. Sedan b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, varifr?n log a b p =p log a |b| .

Till exempel, och ln(-3)4=4 ln|-3|=4 ln3.

Det f?ljer av den tidigare fastigheten egenskapen f?r logaritmen fr?n roten: logaritmen f?r roten av den n:e graden ?r lika med produkten av br?ket 1/n och logaritmen av rotuttrycket, det vill s?ga, , d?r a>0 , a?1 , n ?r ett naturligt tal st?rre ?n ett, b>0 .

Beviset ?r baserat p? likheten (se ), som ?r giltig f?r alla positiva b , och egenskapen f?r gradens logaritm: .

H?r ?r ett exempel p? hur du anv?nder den h?r egenskapen: .

Nu ska vi bevisa omvandlingsformel till den nya basen av logaritmen sn?ll . F?r att g?ra detta r?cker det att bevisa giltigheten av likhetsloggen c b=log a b log c a . Den grundl?ggande logaritmiska identiteten till?ter oss att representera talet b som en log a b , sedan log c b=log c a log a b . Det ?terst?r att anv?nda egenskapen f?r gradens logaritm: log c a log a b = log a b log c a. D?rmed ?r likhetsloggen c b=log a b log c a bevisad, vilket inneb?r att formeln f?r ?verg?ngen till en ny bas av logaritmen ocks? bevisas.

L?t oss visa ett par exempel p? hur denna egenskap hos logaritmer till?mpas: och .

Formeln f?r att flytta till en ny bas l?ter dig g? vidare till att arbeta med logaritmer som har en "bekv?m" bas. Till exempel kan den anv?ndas f?r att g? till naturliga eller decimala logaritmer s? att du kan ber?kna v?rdet p? logaritmen fr?n tabellen ?ver logaritmer. Formeln f?r ?verg?ngen till en ny bas av logaritmen till?ter ocks? i vissa fall att hitta v?rdet f?r en given logaritm, n?r v?rdena f?r vissa logaritmer med andra baser ?r k?nda.

Ofta anv?nds ett specialfall av ?verg?ngsformeln till en ny bas av logaritmen f?r c=b i formen . Detta visar att log a b och log b a – . Till exempel, .

Formeln anv?nds ocks? ofta , vilket ?r anv?ndbart f?r att hitta logaritmv?rden. F?r att bekr?fta v?ra ord kommer vi att visa hur v?rdet p? formul?rets logaritm ber?knas med hj?lp av det. Vi har . F?r att bevisa formeln det r?cker med att anv?nda ?verg?ngsformeln till den nya basen av logaritmen a: .

Det ?terst?r att bevisa logaritmers j?mf?relseegenskaper.

L?t oss bevisa att f?r alla positiva tal b 1 och b 2 , b 1 log a b 2 , och f?r a>1, olikheten log a b 1 =a log a b 2 , откуда в силу основного логарифмического тождества следует, что b 1 >=b 2 . Так мы получили противоречие условию b 1

Slutligen ?terst?r det att bevisa den sista av de listade egenskaperna hos logaritmer. Vi begr?nsar oss till att bevisa dess f?rsta del, det vill s?ga vi bevisar att om en 1 >1, en 2 >1 och en 1 1 ?r sant log a 1 b>log a 2 b . De ?terst?ende uttalandena av denna egenskap hos logaritmer bevisas av en liknande princip.

L?t oss anv?nda den motsatta metoden. Antag att f?r en 1 >1, en 2 >1 och en 1 =log a 2 b , а при b>1 log a 1 b<=log a 2 b ?r sant. Genom logaritmernas egenskaper kan dessa oj?mlikheter skrivas om som och respektive, och av dem f?ljer att log b a 1 <=log b a 2 respektive log b a 1 >=log b a 2. Sedan, genom egenskaperna hos potenser med samma bas, m?ste likheterna b log b a 1 >=b log b a 2 och b log b a 1 >= b log b a 2 vara uppfyllda, det vill s?ga a 1 >=a 2 . D?rmed har vi kommit fram till en mots?gelse till villkoret a 1

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och b?rjan av analys: En l?robok f?r ?rskurserna 10-11 av allm?nna utbildningsinstitutioner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual f?r s?kande till tekniska skolor).

I relation med

uppgiften att hitta n?got av de tre numren fr?n de andra tv?, givna, kan st?llas in. Givet a och sedan hittas N genom exponentiering. Om N ges och sedan a hittas genom att extrahera roten av potensen x (eller exponentiering). Betrakta nu fallet n?r, givet a och N, det kr?vs att hitta x.

L?t talet N vara positivt: talet a ?r positivt och inte lika med ett: .

Definition. Logaritmen f?r talet N till basen a ?r exponenten till vilken du beh?ver h?ja a f?r att f? talet N; logaritmen betecknas med

S?ledes, i likhet (26.1), hittas exponenten som logaritmen av N till basen a. Inl?gg

har samma betydelse. J?mlikhet (26.1) kallas ibland den grundl?ggande identiteten f?r logaritmteorin; i sj?lva verket uttrycker det definitionen av begreppet logaritm. Enligt denna definition ?r basen f?r logaritmen a alltid positiv och skiljer sig fr?n enhet; det logaritmerbara talet N ?r positivt. Negativa tal och noll har inga logaritmer. Det kan bevisas att vilket tal som helst med en given bas har en v?ldefinierad logaritm. D?rf?r inneb?r j?mst?lldhet. Observera att villkoret ?r v?sentligt h?r, annars skulle slutsatsen inte vara motiverad, eftersom likheten ?r sann f?r alla v?rden p? x och y.

Exempel 1. Hitta

L?sning. F?r att f? numret m?ste du h?ja bas 2 till potensen D?rf?r.

Du kan spela in n?r du l?ser s?dana exempel i f?ljande form:

Exempel 2. Hitta .

L?sning. Vi har

I exempel 1 och 2 hittade vi enkelt den ?nskade logaritmen genom att representera det logaritmbara talet som graden av basen med en rationell exponent. I det allm?nna fallet, till exempel f?r etc., kan detta inte g?ras, eftersom logaritmen har ett irrationellt v?rde. L?t oss uppm?rksamma en fr?ga relaterad till detta uttalande. I § 12 gav vi begreppet m?jligheten att best?mma vilken reell styrka som helst av ett givet positivt tal. Detta var n?dv?ndigt f?r inf?randet av logaritmer, som i allm?nhet kan vara irrationella tal.

Betrakta n?gra egenskaper hos logaritmer.

Egenskap 1. Om talet och basen ?r lika, d? ?r logaritmen lika med ett, och omv?nt, om logaritmen ?r lika med ett, d? ?r talet och basen lika.

Bevis. L?t Enligt definitionen av logaritmen har vi och varifr?n

Omv?nt, l?t sedan per definition

Egenskap 2. Logaritmen av enhet till valfri bas ?r lika med noll.

Bevis. Enligt definitionen av logaritmen (nollpotensen f?r en positiv bas ?r lika med ett, se (10.1)). H?rifr?n

Q.E.D.

Det omv?nda p?st?endet ?r ocks? sant: om , d? N = 1. Vi har faktiskt .

Innan vi anger f?ljande egenskap hos logaritmer ?r vi ?verens om att s?ga att tv? tal a och b ligger p? samma sida av ett tredje tal c om de b?da ?r antingen st?rre ?n c eller mindre ?n c. Om ett av dessa tal ?r st?rre ?n c och det andra ?r mindre ?n c, s? s?ger vi att de ligger p? motsatta sidor av c.

Egenskap 3. Om talet och basen ligger p? samma sida av enheten ?r logaritmen positiv; om talet och basen ligger p? motsatta sidor av enheten ?r logaritmen negativ.

Beviset f?r egenskap 3 bygger p? att graden av a ?r st?rre ?n ett om basen ?r st?rre ?n en och exponenten ?r positiv, eller basen ?r mindre ?n en och exponenten ?r negativ. Graden ?r mindre ?n en om basen ?r st?rre ?n en och exponenten ?r negativ, eller basen ?r mindre ?n en och exponenten ?r positiv.

Det finns fyra fall att ?verv?ga:

Vi begr?nsar oss till analysen av den f?rsta av dem, l?saren kommer att ?verv?ga resten p? egen hand.

L?t d? exponenten i likhet varken vara negativ eller lika med noll, d?rf?r ?r den positiv, d.v.s. vilket kr?vdes f?r att bevisas.

Exempel 3. Ta reda p? vilka av f?ljande logaritmer som ?r positiva och vilka som ?r negativa:

L?sning, a) eftersom siffran 15 och basen 12 ?r placerade p? samma sida av enheten;

b) eftersom 1000 och 2 ?r placerade p? samma sida av enheten; samtidigt ?r det inte n?dv?ndigt att basen ?r st?rre ?n det logaritmiska talet;

c), eftersom 3.1 och 0.8 ligger p? motsatta sidor av enheten;

G); Varf?r?

e) ; Varf?r?

F?ljande egenskaper 4-6 kallas ofta logaritmreglerna: de till?ter att, genom att k?nna till logaritmerna f?r vissa tal, hitta logaritmerna f?r deras produkt, kvot, grad av var och en av dem.

Egenskap 4 (regeln f?r produktens logaritm). Logaritmen av produkten av flera positiva tal i en given bas ?r lika med summan av logaritmerna f?r dessa tal i samma bas.

Bevis. L?t positiva tal ges.

F?r logaritmen f?r deras produkt skriver vi likheten (26.1) som definierar logaritmen:

H?rifr?n finner vi

Genom att j?mf?ra exponenterna f?r det f?rsta och sista uttrycket f?r vi den erforderliga likheten:

Observera att tillst?ndet ?r v?sentligt; logaritmen av produkten av tv? negativa tal ?r vettig, men i det h?r fallet f?r vi

I allm?nhet, om produkten av flera faktorer ?r positiv, ?r dess logaritm lika med summan av logaritmerna f?r modulerna av dessa faktorer.

Egenskap 5 (kvotlogaritmregel). Logaritmen f?r en kvot av positiva tal ?r lika med skillnaden mellan logaritmerna f?r utdelningen och divisorn, taget i samma bas. Bevis. Konsekvent hitta

Q.E.D.

Egenskap 6 (regeln f?r gradens logaritm). Logaritmen f?r potensen av ett positivt tal ?r lika med logaritmen f?r det talet g?nger exponenten.

Bevis. Vi skriver igen huvudidentiteten (26.1) f?r numret:

Q.E.D.

F?ljd. Logaritmen f?r roten av ett positivt tal ?r lika med logaritmen f?r rottalet dividerat med exponenten f?r roten:

Vi kan bevisa giltigheten av denna f?ljd genom att presentera hur och anv?nda egenskap 6.

Exempel 4. Logaritm f?r att basera a:

a) (det antas att alla v?rden b, c, d, e ?r positiva);

b) (det antas att ).

L?sning, a) Det ?r l?mpligt att i detta uttryck ?verg? till br?kpotenser:

Baserat p? j?mlikheter (26.5)-(26.7) kan vi nu skriva:

Vi m?rker att enklare operationer utf?rs p? logaritmer f?r siffror ?n p? sj?lva talen: n?r man multiplicerar siffror l?ggs deras logaritmer till, n?r de divideras subtraheras de, etc.

Det ?r d?rf?r logaritmer har anv?nts i ber?kningspraxis (se avsnitt 29).

?tg?rden invers till logaritmen kallas potentiering, n?mligen: potentiering ?r den ?tg?rd genom vilken detta tal i sig hittas av den givna logaritmen f?r ett tal. Potentiering ?r i huvudsak ingen speciell handling: det handlar om att h?ja basen till en potens (lika med talets logaritm). Termen "potentiering" kan anses synonymt med termen "exponentiering".

Vid potentiering ?r det n?dv?ndigt att anv?nda reglerna som ?r inversa till logaritmreglerna: ers?tt summan av logaritmerna med produktens logaritm, skillnaden mellan logaritmerna med kvotens logaritm, etc. I synnerhet om det finns n?gon faktor framf?r logaritmens tecken, d? m?ste den under potentieringen ?verf?ras till indikatorgraderna under logaritmens tecken.

Exempel 5. Hitta N om det ?r k?nt att

L?sning. I samband med den nyss angivna potentieringsregeln kommer faktorerna 2/3 och 1/3, som ligger framf?r logaritmernas tecken p? h?gra sidan av denna likhet, att ?verf?ras till exponenterna under dessa logaritmers tecken; vi f?r

Nu ers?tter vi skillnaden mellan logaritmer med logaritmen f?r kvoten:

f?r att erh?lla den sista br?kdelen i denna kedja av likheter befriade vi den f?reg?ende br?kdelen fr?n irrationalitet i n?mnaren (avsnitt 25).

Egenskap 7. Om basen ?r st?rre ?n ett, s? har det st?rre talet en st?rre logaritm (och det mindre har en mindre), om basen ?r mindre ?n ett, s? har det st?rre talet en mindre logaritm (och det mindre en har en st?rre).

Denna egenskap ?r ocks? formulerad som en regel f?r logaritmen av oj?mlikheter, vars b?da delar ?r positiva:

N?r man tar logaritmen f?r oj?mlikheter till en bas som ?r st?rre ?n ett, bevaras olikhetstecknet, och n?r man tar en logaritm till en bas som ?r mindre ?n ett, omkastas olikhetens tecken (se ?ven punkt 80).

Beviset ?r baserat p? egenskaperna 5 och 3. Betrakta fallet n?r If , then och, med logaritmen, vi f?r

(a och N/M ligger p? samma sida av enheten). H?rifr?n

Fall a f?ljer, kommer l?saren att ta reda p? det sj?lv.

Ett av delarna i primitiv niv?algebra ?r logaritmen. Namnet kommer fr?n det grekiska spr?ket fr?n ordet "tal" eller "grad" och betyder i vilken grad det ?r n?dv?ndigt att h?ja siffran vid basen f?r att hitta det slutliga talet.

Typer av logaritmer

• log a b ?r logaritmen f?r talet b till basen a (a > 0, a ? 1, b > 0);
• lg b - decimallogaritm (logaritmbas 10, a = 10);
• ln b - naturlig logaritm (logaritmbas e, a = e).

Hur l?ser man logaritmer?

Logaritmen f?r talet b till basen a ?r en exponent, vilket kr?ver att basen a h?js till talet b. Resultatet uttalas s? h?r: "logaritm av b till basen av a". L?sningen p? logaritmiska problem ?r att du m?ste best?mma den givna graden av talen med de angivna talen. Det finns n?gra grundl?ggande regler f?r att best?mma eller l?sa logaritmen, samt att transformera sj?lva notationen. Med hj?lp av dem l?ses logaritmiska ekvationer, hittas derivator, integraler l?ses och m?nga andra operationer utf?rs. I grund och botten ?r l?sningen p? sj?lva logaritmen dess f?renklade notation. Nedan ?r huvudformlerna och egenskaperna:

F?r alla a ; a > 0; a ? 1 och f?r valfritt x ; y > 0.

• a log a b = b ?r den grundl?ggande logaritmiska identiteten
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , f?r k ? 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - formel f?r ?verg?ngen till en ny bas
• log a x = 1/log x a

Hur man l?ser logaritmer - steg f?r steg instruktioner f?r att l?sa

• Skriv f?rst ner den n?dv?ndiga ekvationen.

Observera: om baslogaritmen ?r 10, s? f?rkortas posten, en decimallogaritm erh?lls. Om det finns ett naturligt tal e, s? skriver vi ner och reducerar till en naturlig logaritm. Det betyder att resultatet av alla logaritmer ?r den potens till vilken bastalet h?js f?r att erh?lla talet b.

Direkt ligger l?sningen i ber?kningen av denna grad. Innan man l?ser ett uttryck med en logaritm m?ste det f?renklas enligt regeln, det vill s?ga med hj?lp av formler. Du kan hitta huvudidentiteterna genom att g? tillbaka lite i artikeln.

N?r du adderar och subtraherar logaritmer med tv? olika tal men med samma bas, ers?tt med en enda logaritm med produkten eller divisionen av talen b respektive c. I det h?r fallet kan du till?mpa ?verg?ngsformeln p? en annan bas (se ovan).

Om du anv?nder uttryck f?r att f?renkla logaritmen finns det n?gra begr?nsningar att ta h?nsyn till. Och det vill s?ga: basen f?r logaritmen a ?r bara ett positivt tal, men inte lika med ett. Talet b, liksom a, m?ste vara st?rre ?n noll.

Det finns fall n?r du, efter att ha f?renklat uttrycket, inte kommer att kunna ber?kna logaritmen i numerisk form. Det h?nder att ett s?dant uttryck inte ?r vettigt, eftersom m?nga grader ?r irrationella tal. Under detta villkor, l?mna potensen av talet som en logaritm.

(fr?n grekiskan logos - "ord", "relation" och ?rithmos - "tal") siffror b av sk?l a(log a b) kallas ett s?dant nummer c, och b= a c, det vill s?ga log a b=c och b=ac?r likv?rdiga. Logaritmen ?r vettig om a > 0, a ? 1, b > 0.

Med andra ord logaritm tal b av sk?l a formulerad som en exponent till vilken ett tal m?ste h?jas a f?r att f? numret b(logaritmen finns bara f?r positiva tal).

Av denna formulering f?ljer att ber?kningen x= log a b, ?r ekvivalent med att l?sa ekvationen a x =b.

Till exempel:

log 2 8 = 3 eftersom 8=2 3 .

Vi noterar att den angivna formuleringen av logaritmen g?r det m?jligt att omedelbart best?mma logaritmv?rde n?r talet under logaritmens tecken ?r en viss potens av basen. I sj?lva verket g?r formuleringen av logaritmen det m?jligt att motivera att if b=a c, sedan logaritmen f?r talet b av sk?l a lika Med. Det ?r ocks? tydligt att ?mnet logaritm ?r n?ra relaterat till ?mnet antalsgrad.

Det h?nvisas till ber?kningen av logaritmen logaritm. Logaritm ?r den matematiska operationen att ta en logaritm. N?r man tar en logaritm omvandlas produkterna av faktorer till summor av termer.

Potentiering?r den matematiska operationen invers till logaritm. Vid potentiering h?js den givna basen till styrkan av uttrycket p? vilket potentieringen utf?rs. I detta fall omvandlas termernas summor till produkten av faktorer.

Ganska ofta anv?nds riktiga logaritmer med baser 2 (bin?r), e Eulertal e ? 2,718 (naturlig logaritm) och 10 (decimal).

I detta skede ?r det v?rt att ?verv?ga prover av logaritmer log 7 2 , ln ? 5, lg0,0001.

Och posterna lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ?r inte vettiga, eftersom i den f?rsta av dem ett negativt tal placeras under logaritmens tecken, i den andra - ett negativt tal i basen, och i den tredje - och ett negativt tal under logaritmen och enhetens tecken i basen.

Villkor f?r att best?mma logaritmen.

Det ?r v?rt att ?verv?ga villkoren a > 0, a ? 1, b > 0 separat. definition av en logaritm. L?t oss ?verv?ga varf?r dessa begr?nsningar tas. Detta kommer att hj?lpa oss med en likhet av formen x = log a b, kallad den grundl?ggande logaritmiska identiteten, som direkt f?ljer av definitionen av logaritmen som ges ovan.

Ta tillst?ndet a?1. Eftersom ett ?r lika med ett i valfri potens, s? ?r likheten x=log a b kan bara finnas n?r b=1, men log 1 1 kommer att vara valfritt reellt tal. F?r att eliminera denna oklarhet tar vi a?1.

L?t oss bevisa n?dv?ndigheten av villkoret a>0. P? a=0 enligt logaritmens formulering, kan endast existera n?r b=0. Och sedan d?refter log 0 0 kan vara vilket reellt tal som helst som inte ?r noll, eftersom noll till vilken potens som inte ?r noll ?r noll. F?r att eliminera denna oklarhet, villkoret a?0. Och n?r a<0 vi skulle beh?va f?rkasta analysen av logaritmens rationella och irrationella v?rden, eftersom exponenten med rationell och irrationell exponent endast definieras f?r icke-negativa baser. Det ?r av denna anledning som villkoret a>0.

Och det sista villkoret b>0 f?ljer av oj?mlikheten a>0, eftersom x=log a b, och v?rdet av graden med en positiv bas a alltid positiv.

Funktioner hos logaritmer.

Logaritmer k?nnetecknas av s?rskiljande funktioner, vilket ledde till att de anv?ndes i stor utstr?ckning f?r att i h?g grad underl?tta noggranna ber?kningar. I ?verg?ngen "till logaritmernas v?rld" omvandlas multiplikation till en mycket enklare addition, division till subtraktion och att h?ja till en potens och att sl? rot omvandlas till multiplikation respektive division med en exponent.

Formuleringen av logaritmer och en tabell ?ver deras v?rden (f?r trigonometriska funktioner) publicerades f?rst 1614 av den skotske matematikern John Napier. Logaritmiska tabeller, f?rstorade och detaljerade av andra forskare, anv?ndes i stor utstr?ckning i vetenskapliga och tekniska ber?kningar och f?rblev relevanta tills elektroniska minir?knare och datorer b?rjade anv?ndas.